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Aula 9 Derivada de Funções Trigonométricas. Regra da Cadeia. MA111 - Cálculo I Turmas O, P e Q Marcos Eduardo Valle Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas Motivação para a Regra da Cadeia Sabemos que d dx [ x2 ] = 2x e d dx [ex ] = ex . Como derivar d dx [ ex 2 ] ? No caso geral, como derivar f (x) = u [v(x)]? Regra da Cadeia Teorema (Regra da Cadeia:) Suponha que f = u ◦ v, v ′(x) e u′(y), y = v(x) existam. A derivada f ′(x) também existe e satisfaz: f ′(x) = u′(y)v ′(x). Alternativamente, se z = u(y) = f (x), então dz dx = dz dy dy dx . Exemplo Se f (x) = ex 2 , então f ′(x) = ex2(2x) = 2xex2 . Ideia da demonstração da regra da cadeia Queremos calcular o limite lim h→0 f (x + h)− f (x) h = lim h→0 u [ v(x + h) ]− u[v(x)] h . Tome y = v(x) e k = v(x + h)− v(x). Note que lim h→0 k = 0 pois v , sendo derivável, é contínua em x . Assim, v(x + h) = y + k e lim h→0 f (x + h)− f (x) h = lim h→0 u(y + k)− u(y) h = lim h→0 ( u(y + k)− u(y) k )( v(x + h)− v(x) h ) = u′(y)v ′(x). Derivada da Função Seno Teorema (Limite Fundamental) lim x→0 sin x x = 1. Mostra-se aplicando o Teorema do Confronto na desigualdade cos x < sin x x < 1 cos x , ∀x 6= 0, x ∈ ( −pi 2 , pi 2 ) . Para derivar a função seno, devemos calcular o limite: d dx [sin x ] = lim h→0 sin(x + h)− sin(x) h . Algumas Fórmulas Úteis sin(a+ b) = sina cosb + cosa sinb sin(a− b) = sina cosb − cosa sinb sin(a+ b)− sin(a− b) = 2 cosa sinb. Identificando a+ b = x + h e a− b = x na última equação, obtemos a = x + h2 e b = h 2 . Assim, d dx [sin x ] = lim h→0 sin(x + h)− sin(x) h = lim h→0 2 cos(x + h2) sin( h 2) h = lim h→0 cos ( x + h 2 ) sin(h2)(h 2 ) = cos(x). Derivada da Função Cosseno cos(a+ b) = cosa cosb − sina sinb cos(a− b) = cosa cosb + sina sinb cos(a+ b)− cos(a− b) = −2 sina sinb. Identificando a+ b = x + h e a− b = x na última equação, obtemos a = x + h2 e b = h 2 . Assim, d dx [cos x ] = lim h→0 cos(x + h)− cos(x) h = lim h→0 −2 sin(x + h2) sin(h2) h = lim h→0 − sin ( x + h 2 ) sin(h2)(h 2 ) = − sin(x). Derivada da Função Tangente d dx [tan x ] = d dx [ sin x cos x ] (regra do quociente) = cos x ddx [sin x ]− sin x ddx [cos x ] cos2 x = cos x cos x + sin x sin x cos2 x = 1 cos2 x = sec2 x . Derivada das Funções Trigonométricas: d dx [sin x ] = cos x , d dx [cos x ] = sin x , d dx [tan x ] = sec2 x , d dx [sec x ] = sec x tan x . Exemplos Exemplo Calcule o limite lim x→0 sin(7x) 4x Exemplos Exemplo Calcule o limite lim x→0 sin(7x) 4x Resposta: lim x→0 sin(7x) 4x = 7 4 . Exemplos Exemplo Calcule lim x→0 xcotgx . Lembre-se que cotgx = cos x sin x . Exemplos Exemplo Calcule lim x→0 xcotgx . Lembre-se que cotgx = cos x sin x . Resposta: lim x→0 xcotgx = 1. Exemplos Exemplo Derive a função F (x) = √ x2 + 1. Exemplos Exemplo Derive a função F (x) = √ x2 + 1. Resposta: F ′(x) = x√ x2 + 1 . Exemplos Exemplo Derive as funções y = sin(x2) e z = sin2 x . Exemplos Exemplo Derive as funções y = sin(x2) e z = sin2 x . Resposta: y ′ = 2x cos(x2) e z ′ = 2 sin x cos x . Exemplos Exemplo Derive a função f (x) = sin ( cos(tan x) ) . Exemplos Exemplo Derive a função f (x) = sin ( cos(tan x) ) . Resposta: f ′(x) = − cos ( cos(tan x)) sin(tan x) sec2 x .
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