DERIVADAS - ENGENHARIA CIVIL

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Capítulo 4: DerivadaCapítulo�4:�Derivada
Parte�1
¾ A reta tangente¾ A�reta�tangente;
¾A�derivada�de�uma�função�num�ponto;ç p
¾ A�derivada�de�uma�função;
¾ Exemplos�e�exercícios.
A�reta�tangente�(contexto�geométrico):
Exemplos:
A�derivada�de�uma�função�num�ponto:ç p
A�derivada�de�uma�função:
Uma outra notação utilizada para representar a derivada é:Uma�outra�notação�utilizada�para�representar�a�derivada�é:
Exemplos:
Continuidade�de�funções�deriváveis:
Teorema:�Toda�função�derivável�num�ponto�x1 é�contínua�
neste�ponto.
MAS,�f(x)�ser�contínua�em�x1 não�implica�a�existência�de�
f’(x1).
Capítulo�4:�Derivada
Parte�2
¾ Regras�de�derivação;
¾ Derivada�da�função�composta�
Regras�de�derivação:
1. Função constante:
2 R d P tê i2. Regra da Potência:
3. Derivada de uma constante por uma função:
4. Derivada da soma de funções:
5. Derivada do produto de funções:
5. Derivada do quociente de funções:
a)
b)
Exercícios�...
Derivada�de�Função�composta:
6. Regra da Cadeia
Exemplos:
a)a)
b)b)
Exemplos:
c)
Podemos�resumir��as�proposições�anteriores�na�seguinte�tabela�de�derivadas:
Capítulo�4:�Derivada
Parte�3
¾Derivadas�de�funções�elementares;
¾ Derivadas�sucessivas.
Derivadas�das�funções�elementares:
Exponenciais, logarítmicas e trigonométricas
1.���Derivada da função exponencial:
2.���Derivada da função logaritmica:
3.���Derivada da função exponencial�composta:
Exemplos:
Determinar a derivada das seguintes funções:
a)
b)
c)
d)
e)
f)f)
Derivadas das funções trigonométricas: 
seno e cosseno
Função Seno:
Função Cosseno:
Derivadas�das��demais�funções�trigonométricas:
E lExemplos:
Determinar a derivada das seguintes funções:
a)
b)
c))
d)
e)e)
f)
Derivadas�Sucessivas
Seja f�uma função definida�num�certo�intervalo.�A�sua�derivada�f�´ é�
uma�função,�definida�no�mesmo�intervalo.��Podemos,��portanto,����pensar���na
derivada�da�função�f�´ derivável.
Definição:����Seja�f�uma�função�derivável.��Se��f�´ também�for�derivável,��então
d i d é h d d d i d d d f é t da�sua�derivada�é�chamada�de�derivada�segunda�de��f��e��é��representada����por��������������������
f�´´ .�
S f ´´ é f ã d i á l d i d d f ´´´Se�f�´´ é��uma�função�derivável,�sua�derivada,�representada�por�f�´´´,
é�chamada�de�derivada�terceira�da�variável�da�função�inicial.
A�derivada de�ordem n�ou nͲésima derivada de�f,�representada por
f�(�n�)� ,�é�obtida derivandoͲse�a�derivada de�ordem nͲ1�de�f.
Exemplos:
(i) Se�f(x)�=�3x2 +�8x�+�1,�então
f ´(x) = 6x + 8 ef� (x)�=�6x�+�8������e
f�´´(x)�=�6
(ii) Se f(x) = tg(x) então(ii) Se�f(x)� �tg(x),�então
f�´(x)�=�sec2(x)����e
f�´´(x)�=��2sec(x)�.�sec(x)�.�tg(x)���
=��2�sec2(x)�.�tg(x)
Mais�exemplos: