Derivada do produto de uma função constante por uma função

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1
DERIVADAS 
 
A derivada de uma função )(xfy = num 0xx = , é igual ao valor da 
tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva 
representativa de )(xfy = , no ponto 0xx = , ou seja, a derivada é o coeficiente 
angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto 0x . 
A derivada de uma função )(xfy = , pode ser representada também 
pelos símbolos: 'y , 
dx
dy ou )(' xf . 
A derivada de uma função )(xf no ponto 0x é dado por: 
h
xfhxf
xx
xfxfxfx
dx
df
xxx
)()(lim)()(lim)(')( 00
0
0
0
00
0
−+=−
−== →→ 
 
1) Derivadas fundamentais 
Nas formulas abaixo, u e v são funções da variável x e c uma 
constante. 
a)Derivada da função constante 
0)( =c
dx
d 
Exemplo: 05 =
dx
d 
b) Derivada da função potência 
1.)( −= nn xnx
dx
d , portanto 1)( =x
dx
d 
Exemplo: 67 7xx
dx
d = 
c) Derivada de um produto de uma constante por uma função 
dx
ducuc
dx
d .).( = 
Exemplo: 334 20.4.55 xxx
dx
d == 
d) Derivada da função senxxf =)( 
xsenx
dx
d cos)( = 
e) Derivada da função xxf cos)( = 
senxx
dx
d −=)(cos 
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2
Exercícios 
Calcule a derivada )(' xf das seguintes funções: 
a) 8)( =xf b) 6 5)( xxf = c) 5)( −= xxf d) 41)( xxf = 
e) xxf 4)( −= f) 10
5
3)( xxf = g) 4
2
1)( −−= xxf h) 105)( xxf = 
i) senxxf 4)( = j) xxf cos5)( −= k) xxf cos
3
1)( −= l) xxf cos3)( = 
m) 3
5
6)( xxf = n) 2
3
8)( xxf = o) 45)( xxf −= 
 
Gabarito 
a) 0 b) 
66
5
x
 c) 6
5
x
− d) 54x
− e) –4 f) 96x 
g) 5
2
x
 h) 
10 92
1
x
 i) xcos4 j) senx5 k) senx
3
1 l) senx3− 
m) 3 210 x n) x12 o) 320x− 
 
2) Propriedades operatórias 
Considere u e v funções da variável x . 
a)Derivada de uma soma de funções 
''' vuyvuy +=⇒+= 
''' vuyvuy −=⇒−= 
Exemplo: Dada a função 1524)( 23 ++−= xxxxf , calcular )(' xf . 
( ) 5412054120.5.2.2.3.41524 20211121323 +−=++−=++−=++− −−− xxxxxxxxxxx
dx
d 
b) Derivada de um produto de funções 
uvvuyvuy '.'.'. +=⇒= 
Exemplo: Calcular a derivada de )37)(52()( xxxf −+= . 
)37)(52( xxy −+= uvvuyvuy '.'.'. +=⇒= 
xuxu 2'12 =⇒+= xxxxuvvuy 1561535)52)(3()37.(5'.'.' −−−=+−+−=+= 
3'37 −=⇒−= vxv 2030' +−= xy 
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3
c) Derivada de um quociente de funções 
2
'.'.'
v
uvvuy
v
uy −=⇒= 
Exemplo: Sendo 
3
1)(
2
−
+=
x
xxf , calcular )(' xf . 
3
1)(
2
−
+=
x
xxf 2
'.'.'
v
uvvuy
v
uy −=⇒= 
xuxu 2'12 =⇒+= 
96
162
)3(
)1(1)3(2'.'.' 2
22
2
2
2 +−
−−−=−
+−−=−=
xx
xxx
x
xxx
v
uvvuy 
1'1 =⇒−= vxv 
96
16' 2
2
+−
−−=
xx
xxy 
 
Exercícios 
Determine a derivada )(' xf das seguintes funções: 
a) 473)( 2 +−= xxxf b) 234 2510)( xxxxf −−= c) 42 4310)( xxxf +−= 
d) 12)( 23 +−+= xxxxf e) xxxf += 2)( f) xxxf cos32)( −= 
g) senxxxf .3)( = h) xsenxxf cos.)( = i) xxxf cos.)( 2= 
j) )32.()( 23 xxxxf −= k) )23.()( 22 +−= xxxxf l) )2).(4()( −+= xxxf 
m) )32).(1()( −−= xxxf n) )1).(1()( 22 +−= xxxf o) 22
2
)1(
)( −= x
xxf 
p) 
23
54)( +
−=
x
xxf q) 
x
xxf
4
52)( += r) 
4
1)( 2 −= xxf 
s) 2
2
4
1)(
xx
xxxf −+
+−= t) 2
23 3472)(
x
xxxxf ++−= 
 
Gabarito 
a) 76 −x b) xxx 41540 23 −− c) xx 616 3 − d) 143 2 −+ xx e) 
x
x
2
12 + 
f) senx32 + g) )cos(3 xxsenx + h) xsenx 22cos − i) )cos2( xsenxxx − 
j) 34 1210 xx − k) xxx 494 23 +− l) 22 +x m) 54 −x n) 34x o) 22 )1(
2
−
−
x
x 
p) 2)23(
23
+x q) 216
5
x
− r) 22 )4(
2
−
−
x
x s) 22 )4(
510
xx
x
−+
− t) 32 642 xx −− 
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4
3) Derivada da potência de uma função 
Consideremos g uma função da variável x e n uma constante. 
( ) '..' 1 ggnygy nn −=⇒= 
Exemplo: Dada a função 4)12()( += xxf , calcular )(' xf . 
2)('12)( =⇒+= xgxxg 
( ) 33144 )12.(82.)12(4'..4' +=+==⇒= − xxggygy 
 
4) Derivada de uma função exponencial 
Consideremos g uma função da variável x . 
aayay xx ln.'=⇒= 
agayay gg ln'..'=⇒= 
Exemplos: a) Calcular a derivada de xxf 2)( = 
2ln.2'2)( xx yxf =⇒= 
b) Calcular a derivada de 523)( −= xxf 
3ln.2.3'3)( 5252 −− =⇒= xx yxf 
 
5) Derivada da função logarítmica 
Consideremos g uma função da variável x . 
x
yxy 1'ln =⇒= 
e
x
yxy aa log.
1'log =⇒= 
Exemplos: a) Dada a função 4).(ln)( xxxf = , determinar )(' xf . 
A função dada é da forma: 
ghhgfhgf '.'.'. +=⇒= 
x
gxg 1'ln =⇒= 34 4' xhxh =⇒= 
)ln.41(ln4ln.4.1'.'.' 33334 xxxxxxxx
x
ghhgf +=+=+=+= 
 
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5
b) Dada a função 3)(log)( xxf = , determinar )(' xf . 
A função dada é da forma: ( ) '..' 1 ggny n−= 
e
x
gxg log.1'log =⇒= 
( )
x
exe
x
xggny n log.)(log3log.1.)(log3'..'
2
21 === − 
Exercícios 
Determine as derivadas das seguintes funções: 
a) ( )23 2)( xxxf −= b) ( )224 13)( +−= xxxf c) 21)( xxf −= 
d) 3 14)( += xxf e) 22 )1()( ++= xxxf f) xxxf 23)( +−= 
g) 
x
xf ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
2
1)( h) 133)( += xxf i) xxf 2.5)( = 
j) xexf .10)( = k) 2)(ln)( xxf = l) xxf ln
2
1)( = 
m) xxf 2log.3)( = n) 2)(log)( xxf = o) x
xxf
ln
)(
2
= 
 
Gabarito 
a) xxx 8166 35 +− b) xxxx 1244368 357 −+− c) 
21 x
x
−
−
 d) 
3 2)14(3
4
+x 
e) 24 +x f) 
xx 2
1
32
1 +−
−
 g) 
2
1ln.
2
1 x⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
 h) 3ln.3 13 +x i) 2ln.2.5 x j) xe.10 
k) 
x
xln2
 l) 
x2
1
 m) e
x 2
log3 n) 
x
ex log.log2
 o) 2)(ln
)1ln(
x
xxx − 
 
6) Derivada da função composta (regra da cadeia) 
Sejam f e g são funções da variável x . 
))(( xgfy =
 
e )(xgu = então )(ufy = e )(').(')(' xvvuxf = . 
Exemplos: a) Seja xsenxf 3)( = , determine )(' xf . 
)(').(')('))(()( xvvuxfxvuxf =⇒= 
3)('3)( =⇒= xvxxv 
xvxfsenvvu 3coscos)(')( ==⇒= 
Então: 
xxxfxsenxf 3cos33).3(cos)('3)( ==⇒= 
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6
b) Seja )65ln()( 2 +−= xxxf ,determine )(' xf . 
A função é da forma )(').(')('))(()( xvvuxfxvuxf =⇒= 
52)('65)( 2 −=⇒+−= xxvxxxv 
65
11)('ln)( 2 +−==⇒= xxvxfvvu 
Então: 
65
52)52.(
65
1)(')65ln()( 22
2
+−
−=−+−=⇒+−= xx
xx
xx
xfxxxf 
 
Exercícios 
Calcule as derivadas das funções: 
a) xxf 6cos)( =
 
b) )13()( += xsenxf
 
c) )ln()( senxxf = 
d) )3log()( 2 xxxf −=
 
e) 52 )23log()( +=xxf
 
f) 23 )4()( −= xxf 
g) 
23
1)( −= xxf h) 
32 )83()( +−= xxxf
 
i) 5)78()( −−= xxf 
j) 
6
2
2 1)( ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
x
xxf
 
k) 3 2 5)( xxxf +=
 
l) )4(2)4.(3)( 2 xxxf += 
m) 33)( senxxxf =
 
n) 32 )125()( −+−= xxxf
 
o) 424 )158()( +−= xxxf 
 
Gabarito 
a) xsen66−
 
b) )13cos(3 +x
 
c) gxcot d) 
)3(
log)32(
2 xx
ex
−
−
 
e) 
)23(
log30
2 +x
ex 
f) 25 246 xx −
 
g) 
2
3
)23(2
3
−
−
x 
h) )32.()83(3 22 −+− xxx
 
i) 6)78(
5
−
−
x
 
j) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ − 3
5
2
2 1.112
x
x
x
x
 
k) 
3 22 )5(3
52
xx
x
+
+
 l) 836 +x m) 3532 cos33 xxsenxx + 
n) 42 )125(
630
+−
−
xx
x
 o) )164.()148(4 3324 xxxx −+− 
 
 
 
 
 
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7
7) Regra de L’Hôspital 
Esta regra permite calcular certos tipos de limites, cujas indeterminações 
são do tipo 
0
0 ou ∞
∞ , aplicando as regras de derivação. 
Sejam f e g funções deriváveis num certo intervalo aberto I , exceto 
possivelmente, num ponto Ia∈ . Se 
)(
)(
xg
xf
 tem a forma indeterminada 
0
0 ou ∞
∞
 em 
ax = e se 0)(' ≠xg para ax ≠ então 
)('
)('lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
axax →→ = desde que 
)('
)('lim
xg
xf
ax→ exista, ou ∞=→ )('
)('lim
xg
xf
ax
 
Exemplos: a) Calcule o 
3
9lim
2
3 −
−
→ x
x
x
. 
Pelo cálculo do limite temos 
0
0
33
9)3(
3
9lim
22
3
=−
−=−
−
→ x
x
x
, o que é uma indeterminação, pela regra de 
L’Hôspital tem-se: 
( ) xx
dx
d 292 =− e ( ) 13 =−x
dx
d 
Logo 63.2
1
2lim
3
==→
x
x
 
b) Calcule o 
x
ex
x→∞lim . 
Pelo cálculo do limite temos 
∞
∞=∞=
∞
→∞
e
x
ex
x
lim , o que é uma indeterminação, pela regra de L’Hôspital 
tem-se: 
( ) xx ee
dx
d = e ( ) 1=x
dx
d 
Logo +∞== ∞→ e
ex
x 1
lim
3
 
 
Obs.: Pode ocorrer que ao aplicarmos a regra de L’Hôspital a expressão 
)('
)('lim
xg
xf
x→∞
ainda seja indeterminada neste caso desde que as condições da regra estejam 
verificadas aplicamos a regra novamente. 
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8
c) Calcule o 
2795
233lim 234
234
1 +−+−
−+−−
→ xxxx
xxxx
x
. 
Pelo cálculo do limite temos 
0
0
2795
233lim 234
234
1
=+−+−
−+−−
→ xxxx
xxxx
x
, o que é uma indeterminação, pela regra de 
L’Hôspital tem-se: 
0
0
718154
3634lim
)('
)('lim 23
23
11
=−+−
+−−=
→→ xxx
xxx
xg
xf
xx
 aplicando a regra novamente 
temos: 
0
0
183012
6612lim
)(''
)(''lim 2
2
11
=+−
−−= →→ xx
xx
xg
xf
xx
 aplicando a regra novamente temos: 
3
6
18
3024
624lim
)('''
)('''lim
11
−=−=−
−= →→ x
x
xg
xf
xx
 
Logo 3
2795
233lim 234
234
1
−=+−+−
−+−−
→ xxxx
xxxx
x
 
Exercícios 
Ache o limite se existir: 
a) 
x
senx
x 2
lim
0→ b) 25
21lim 25 −
−−
→ x
x
x
 c) 
675
252lim 2
2
2 −−
+−
→ xx
xx
x
 
d) 
12
23lim 2
3
1 +−
+−
→ xx
xx
x
 e) 20
1lim
x
ex x
x
−+
→ f) 30lim x
senxx
x
−
→ 
g) 
x
senx
x
2
2
cos
1lim +
→π
 h) 
x
x
x ln
lim
2
→∞ i) xsenx
senxee xx
x
2lim
0
−− −
→ 
j) 20 2
coslim
x
exx x
x
−
→
+
 k) 
45
132lim 2
2
++
++
→∞ xx
xx
x
 l) 
xx
xx
x ln
lnlim +→∞ 
m) x
x
x 55
33lim −
−
−∞→ n) 23
3 ln2lim
xe
xe
x
x
x +
−
∞→ o) 2
lnlim
x
x
x ∞→ 
 
Gabarito 
a) 
2
1
 b) 
40
1
 c) 
13
3
 d) ∞ e) 
2
1− f) 
6
1
 g) ∞ h) ∞ i) 0 j) ∞ k) 
5
2 
l) ∞ m) 
5
3
 n) 2 o) 0 
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9
8) Aplicações das derivadas 
Regra da primeira derivada 
Consideremos uma função real f , definida num domínio D , tal que f é 
derivável em D . Os sinais da função derivada 'f estão relacionados ao 
crescimento ou decrescimento de f . 
Valem as seguintes propriedades 
⇒Se 0)(' >af , então )(xf é crescente em ax = . 
⇒Se 0)(' <af , então )(xf é decrescente em ax = . 
Os pontos em que 0)(' =xf podem ser de máximo ou de mínimo ou de 
inflexão. Estes pontos são chamados pontos críticos de f . 
 
 
 
Exemplos: a) Determine os pontos críticos e estudar a variação da função 
xxxf 3)( 3 −= , ℜ∈x . 
33)('3)( 23 −=⇒−= xxfxxxf 
111330330)(' 222 ±=±=⇒=⇒=⇒=−⇒= xxxxxf (ponto crítico) 
Vamos pegar pontos antes de depois dos pontos críticos. 
01234.33)2(3)2(')2(' 2 >=−=−−=−⇒− ff 
0330.33)0(3)0(')0(' 2 <−=−=−=⇒ ff 
 Gráfico de f 
 
 
 
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10
b) Determinar os pontos críticos e estudar a variação da função 
543)( 34 +−= xxxf , ℜ∈x . 
2334 1212)('543)( xxxfxxxf −=⇒+−= 
0)1(12012120)(' 223 =−⇒=−⇒= xxxxxf 
0012 2 =⇒=⇒ xx (ponto crítico) 
101 =⇒=−⇒ xx (ponto crítico) 
Vamos pegar pontos antes de depois dos pontos críticos. 
0241212)1(12)1(12)1(')1(' 23 <−=−−=−−−=−⇒− ff 
02/3)2/1(12)2/1(12)2/1(')2/1(' 23 <−=−=⇒ ff 
048)2(12)2(12)2(')2(' 23 >=−=⇒ ff 
 
Exercícios 
Para cada função ℜ∈xxf ),( , determinar os pontos críticos e estude a variação. 
a) 23)( 23 +−= xxxf b) 44)( 34 +−= xxxf c) 2159)( 23 ++−= xxxxf 
d) 333)( 23 ++−= xxxxf e) 22)( 24 +−= xxxf f) 2475)( xxxf −−= 
g) 1202)( 23 +−+= xxxxf h) 18)( 24 +−= xxxf i) 23 )1(10)( −= xxxf 
j) 596)( 2 +−= xxxf 
 
Gabarito 
a) Pontos críticos 0 e 2; 0 é ponto de máximo e 2 é ponto de mínimo. 
b) Pontos críticos 0 e 3; 0 é ponto de inflexão e 3 é ponto de mínimo. 
c) Pontos críticos 1 e 5; 1 é ponto de máximo e 5 é ponto de mínimo. 
d) Ponto crítico 1; 1 é ponto de inflexão. 
e) Pontos críticos –1, 0 e 1; –1 é ponto de mínimo, 0 é ponto de máximo e 1 é 
ponto de mínimo. 
f) Ponto crítico -7/8; -7/8 é ponto de máximo. 
g) Pontos críticos –2 e 5/3; –2 é ponto de máximo e 5/3 é ponto de mínimo. 
h) Pontos críticos –2, 0 e 2; –2 é ponto de mínimo, 0 é ponto de máximo e 2 é 
ponto de mínimo. 
i) Pontos críticos 0, 3/5 e 1; 0 é ponto de inflexão,3/5 é ponto de máximo e 1 é 
ponto de mínimo. 
j) Ponto crítico 3/4 ; ¾ é ponto de mínimo. 
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11
Regra da segunda derivada 
Consideremos uma função real f , definida num domínio D , tal que f é 
derivável até segunda ordem em D , isto é, existem )(' xf e )('' xf em D . Os sinais 
da função derivada ''f estão relacionadas à concavidade do gráfico f . 
Valem as seguintes propriedades 
⇒Se 0)('' >af , então )(xf tem concavidade para cima em ax = . 
⇒Se 0)('' <af , então )(xf tem concavidade para baixo em ax = . 
Um ponto 0x em que 0)('' 0 =xf e ''f muda de sinal (antes e depois de0x ) é um ponto de inflexão de f . Se também 0)(' 0 =xf , dizemos que é um ponto 
de inflexão horizontal pois a reta tangente é paralela ao eixo x . 
 
Se 0)('' 0 =xf mas ''f não muda de sinal (antes e depois de 0x ), então 
f não muda de concavidade em 0x , portanto, neste caso, 0x não é ponto de 
inflexão. 
Exemplos: a) Determine os pontos de inflexão e estudar a concavidade da função 
3
)(
3xxf = , ℜ∈x . 
xxfxxxfxxf 2)(''
3
3)('
3
)( 2
23
=⇒==⇒= 
0020)('' =⇒=⇒= xxxf 
Vamos pegar pontos antes de depois de 0=x . 
02)1(2)1('')1('' <−=−=−⇒− ff 
02)1(2)1('')1('' >==⇒ ff 
 
 
 
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12
b) Determine os pontos de inflexão e estudar a concavidade da função 
8
)(
4xxf = , ℜ∈x . 
23
34
2
3)(''
2
1
8
4)('
8
)( xxfxxxfxxf =⇒==⇒= 
00
2
30)('' 2 =⇒=⇒= xxxf 
Vamos pegar pontos antes de depois de 0=x . 
0
2
3)1(
2
3)1('')1('' 2 >=−=−⇒− ff 
0
2
3)1(
2
3)1('')1('' 2 >==⇒ ff 
 
Não há ponto de inflexão. 
Exercícios 
Determine os pontos de inflexão e estude a concavidade da função f , ℜ∈x , 
dada. 
a) 5)( xxf = b) 
12
)(
6xxf = c) 24)( xxf = d) 23 3)( xxxf −= 
e) xxxf 6)( 3 +−= f) 34 8)( xxxf −= g) 24 6)( xxxf −= h) xxxf 4)( 4 −= 
 
Gabarito 
a) Concavidade p/baixo em ]-∞, 0]e concavidade p/cima em [0, +∞[; Ponto de 
inflexão. 
b) Concavidade p/cima; Não há ponto de inflexão. 
c) Concavidade p/cima; Não há ponto de inflexão. 
d) Concavidade p/baixo em ]-∞, 1]e concavidade p/cima em [1, +∞[; Ponto de 
inflexão. 
e) Concavidade p/cima em ]-∞, 0]e concavidade p/baixo em [0, +∞[; Ponto de 
inflexão. 
f) Concavidade p/cima em ]-∞, 0]; concavidade p/baixo em [0, 4] e concavidade p/ 
cima [4, +∞[; Ponto de inflexão. 
g) Concavidade p/cima em ]-∞, -1]; concavidade p/baixo em [-1, 1] e concavidade 
p/ cima [1, +∞[; Ponto de inflexão. 
h) Concavidade p/cima; Não há ponto de inflexão. 
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13
Máximos e mínimos 
Lembremos que os pontos de máximos ou de mínimos de uma função 
f podem ser determinados analisando os sinais da derivada primeira de 'f . 
Outro recurso que pode ser empregado na identificação de pontos de 
máximos ou de mínimos é analisar o sinal da derivada segunda nos pontos que 
anulam a derivada primeira. 
Valem as seguintes propriedades 
⇒ 0)(' 0 =xf e 0)('' 0 >xf , se, e somente se 0x é ponto de mínimo de f . 
⇒ 0)(' 0 =xf e 0)('' 0 <xf , se, e somente se 0x é ponto de máximo de f . 
Exemplos: a) Identificar os pontos críticos da função 46)( 26 +−= xxxf , ℜ∈x . 
1230)(''126)('46)( 4526 −=⇒−=⇒+−= xxfxxxfxxxf 
44
45
5
202
006
0)2(6126
01260)('
±=⇒=−⇒
=⇒=⇒
=−=−
=−⇒=
xx
xx
xxxx
xxxf
 
Vamos aplicar o critério dos sinais da derivada segunda nos pontos 
críticos: 
Para 0=x 
01212)0(30)0(''1230)('' 44 <−=−=⇒−= fxxf 
Então, 0=x é ponto de máximo local de f . 
Para 4 2+=x 
04812)2(30)2(''1230)('' 4444 >=−+=+⇒−= fxxf 
Então, 4 2+=x é ponto de mínimo local de f . 
Para 4 2−=x 
04812)2(30)2(''1230)('' 4444 >=−−=−⇒−= fxxf 
Então, 4 2−=x é ponto de mínimo local de f . 
 
b) Identificar os pontos críticos da função 6)( xxf = , ℜ∈x . 
456 30)(''6)(')( xxfxxfxxf =⇒=⇒= 
0060)(' 5 =⇒=⇒= xxxf 
Para 0=x 
0)0(30)0(''30)('' 44 ==⇒= fxxf (nada podemos concluir) 
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14
Sinais de 56)(' xxf = 
Vamos pegar pontos antes de depois dos pontos críticos. 
06)1(6)1(')1(' >−=−=−⇒− ff 
06)1(6)1(')1(' >==⇒ ff 
 
Portanto 0=x é ponto de mínimo local de f . 
 
Exercícios 
Identificar os pontos críticos e se é ponto de máximo ou mínimo das seguintes 
funções 
a) 4)( xxf −= b) 44)( xxxf −= c) 55)( 5 +−= xxxf 
d) 55)( 25 +−= xxxf e) 12)( 23 ++−= xxxxf f) 643)( 34 +−= xxxf 
g) 46 62)( xxxf −= h) 22 )1()( −= xxf 
 
Gabarito 
a)Ponto critico 0; Ponto de máximo. 
b) Ponto critico 1; Ponto de máximo. 
c) Pontos críticos –1 e 1; Ponto de mínimo em –1 e ponto de máximo em 1. 
d) Pontos críticos 0 e 23 ; Ponto de mínimo em 23 e ponto de máximo em 0. 
e) Pontos críticos 1 e 1/3; Ponto de mínimo em 1 e ponto de máximo em 1/3. 
f) Ponto critico 0; Ponto de mínimo. 
g) Pontos críticos 0, 2 e 2− ; Ponto de mínimo em 2 e 2− e ponto de 
máximo em 0. 
h) Pontos críticos 0,1 e 1− ; Ponto de mínimo em 1 e 1− e ponto de máximo em 0.