Lista de Integrais de Linha

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Lista de Integrais de Linha
Obs: Entregar resolvida em folha A4 com capa no dia da P1.
01. Calcule
∫
γ
−→
F · d~r sendo dados:
a)
−→
F (x, y, z) = x~i + y~j + z~k e γ(t) = (cos t, sin t, t), 0 ≤ t ≤ 2pi.
b)
−→
F (x, y, z) = (x + y + z)~k e γ(t) = (t, t, 1 − t2), 0 ≤ t ≤ 1.
c)
−→
F (x, y) = x2~j e γ(t) = (t2, 3), −1 ≤ t ≤ 1.
d)
−→
F (x, y) = x2~i + (x − y)~j e γ(t) = (t, sin t), 0 ≤ t ≤ pi.
e)
−→
F (x, y, z) = x2~i + y2~j + z2~k e γ(t) = (2 cos t, 3 sin t, t), 0 ≤ t ≤ 2pi.
02. Definimos o trabalho W realizado por
−→
F de γ(a) até γ(b) por
W =
∫
γ
−→
F · dγ =
b∫
a
−→
F (γ(t)) · γ′(t)dt
Uma partícula desloca-se em um campo de forças dado por
−→
F (x, y, z) = −y~i + x~j + z~k.
Calcule o trabalho realizado por
−→
F no deslocamento da partícula de γ(a) até γ(b), sendo
dados:
a) γ(t) = (cos t, sin t, t); a = 0 e b = 2pi.
b) γ(t) = (2t + 1, t − 1, t); a = 1 e b = 2.
03. Calcule
∫
γ
xdx + ydy + zdz, onde γ é o segmento de extremidades (0, 0, 0) e (1, 2, 1),
percorrido no sentido de (1, 2, 1) para (0, 0, 0).
04. Calcule
∫
γ
−ydx + xdy, onde γ é uma curva cuja imagem é o triângulo de vértices
(0, 0), (1, 0) e (1, 1), orientada no sentido anti-horário.
05. Calcule
∫
γ
(x2 + y2)ds, onde γ(t) = (t, t), −1 ≤ t ≤ 1.
06. Calcule
∫
γ
(xyz)ds onde γ(t) = (cos t, sin t, t), 0 ≤ t ≤ 2pi.
07. Calcule a massa do fio γ(t) = (t, 2t, 3t), 0 ≤ t ≤ 1, cuja densidade linear é
δ(x, y, z) = x + y + z.
08. Verifique se a forma diferencial dada é exata, justificando:
a) xdx + ydy + zdz
b) 2xydx + x2dy
c) (x + y)dx + (y − x)dy
09. Calcule
(1,1)∫
(2,2)
ydx + xdy.
10. Determine se a integral
∫
γ
x2ydx + 3xy2dy é independente do caminho de integração.
11. Calcule
∫
γ
y2dx + xdy, onde γ é o arco de parábola x = 4 − y2 de (-5,-3) a (0,2).
12. Mostre que, se um campo vetorial
−→
F (x, y, z) = P(x, y, z)~i +Q(x, y, z)~j + R(x, y, z)~k é
conservativo e P,Q,R têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
∂P
∂z
=
∂R
∂x
∂Q
∂z
=
∂R
∂y
13. Use o exercício (12.) para mostrar que a integral de linha
∫
γ
ydx + xdy + xyzdz não é
independente do caminho.
14. Seja
−→
F (x, y) =
−y~i + x~j
x2 + y2
.
a) Mostre que
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
.
b) Mostre que
∫
γ
−→
F · d~r não é independente do caminho.
[ Dica: Calcule
∫
γ1
−→
F · d~r e
∫
γ2
−→
F · d~r, onde γ1 e γ2 são as metades superior e inferior do
círculo x2 + y2 = 1 de (1,0) a (-1,0) ].
15. Calcule
∫
ψ
y(x−z) ds, ondeψ é a intersecção das superfícies x2+ y2+z2 = 9 e x+z = 3.
16. Calcule
∫
ψ
xy ds, onde ψ é a intersecção das superfícies x2 + y2 = 4 e y + z = 8.
2
17. Calcule
∫
ψ
(x + y) ds, onde ψ é a intersecção das superfícies x + y = 2 e
x2 + y2 + z2 = 2(x + y).
18. Calcule
∫
ψ
x2 ds, onde ψ é o arco da hipociclóide: x
2
3 + y
2
3 = a
2
3 , a > 0, 1.0 quadrante.
19. Calcule
∫
ψ
y2 ds, onde ψ é o primeiro arco da ciclóide:
−→r (t) = 2(t − sin t)−→i + 2(1 − cos t)−→j .
20. Calcule
∫
ψ
(x2 + y2 + z2) ds, onde ψ é a intersecção das superfícies
x2
16
+
y2
9
+
z2
16
= 1 e
y = 2.
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