Resumo EDO 2 ordem

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Equac¸o˜es Diferenciais de 2a Ordem
Teorema: O Problema de Valor Inicial
y′′ (x) + P (x)y′ +Q (x)y = R (x)
y (x0) = y0, y
′ (x0) = y′0
para P (x) , Q (x) e R (x) func¸o˜es cont´ınuas em um intervalo aberto I contendo t0 tem uma u´nica soluc¸a˜o neste intervalo.
Uma EDO de segunda ordem linear da forma
y′′ + P (x)y′ +Q (x)y = 0 (1)
e´ dita homogeˆnea. Para as equac¸o˜es lineares homogeˆneas e´ va´lido o princ´ıpio da superposic¸a˜o.
Princ´ıpio da Superposic¸a˜o: Se y1 (x) e y2 (x) sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o homogeˆnea, enta˜o
y (x) = c1y1 (x) + c2y2 (x)
para c1 e c2 constantes, tambe´m o e´.
Teorema: Sejam y1 (x) e y2 (x) duas soluc¸o˜es da equac¸a˜o (1) em um intervalo aberto I, onde P (x) e Q (x) sa˜o
cont´ınuas, tais que, em um ponto x0 ∈ I,
det
[
y1 (x0) y2 (x0)
y′1 (x0) y
′
2 (x0)
]
6= 0.
Enta˜o para todo par de condic¸o˜es iniciais (y0, y
′
0) , existem constantes c1 e c2 tais que o PVI tem como u´nica soluc¸a˜o
no intervalo I,
y (x) = c1y1 (x) + c2y2 (x)
Definic¸a˜o: (a) O determinante
W [y1, y2] (x0) = det
[
y1 (x0) y2 (x0)
y′1 (x0) y
′
2 (x0)
]
e´ chamado de wronskiano das func¸o˜es y1 (x) e y2 (x) em x0;
(b) Se duas soluc¸o˜es y1 (x) e y2 (x) de (1), em um intervalo aberto I onde P (x) e Q (x) sa˜o cont´ınuas, sa˜o tais que
seu wronskiano e´ diferente de zero em um ponto x0 ∈ I dizemos que elas sa˜o soluc¸o˜es fundamentais no intervalo I da
equac¸a˜o (1).
Teorema: Se y1 (x) e y2 (x) sa˜o soluc¸o˜es fundamentais de (1) em um intervalo aberto I, enta˜o a famı´lia de soluc¸o˜es
y (x) = c1y1 (x) + c2y2 (x)
para constantes c1 e c2 arbitra´rias e´ a soluc¸a˜o geral de (1) em I.
Teorema: Se y1 (x) e y2 (x) sa˜o tais que
W [y1, y2] (x0) = det
[
y1 (x0) y2 (x0)
y′1 (x0) y
′
2 (x0)
]
6= 0, para algum x0 ∈ I
enta˜o y1 (x) e y2 (x) sa˜o linearmente independenters em I.
Equac¸o˜es Homogeˆneas
Reduc¸a˜o de Ordem
Considere uma equac¸a˜o linear de 2a ordem homogeˆnea
y′′ + P (x)y′ +Q (x)y = 0
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Seja y1 (x) uma soluc¸a˜o conhecida da equac¸a˜o acima num intervalo I onde P (x) e Q (x) sa˜o cont´ınuas e tal que
y1 (x) 6= 0 para todo x ∈ I. Vamos procurar uma segunda soluc¸a˜o da equac¸a˜o acima da forma
y (x) = v (x)y1 (x)
Da´ı deriva-se e substitui na equac¸a˜o afim de encontrarmos v (x) .
Equac¸o˜es Homogeˆneas com Coeficientes Constantes
No caso em que P e Q de (1) sa˜o constantes, consideremos a equac¸a˜o, dita equac¸a˜o caracter´ıstica,
λ2 + bλ+ c = 0
Digamos que λ1 e λ2 sejam as ra´ızes da equac¸a˜o caracter´ıstica:
(I) Se λ1 6= λ2, λ1 e λ2 reais, a soluc¸a˜o geral sera´:
y = Aeλ1x + Beλ2x (A,B ∈ R)
(II) Se λ1 = λ2, a soluc¸a˜o geral sera´
y = eλ1x [A+ Bx] (A,B ∈ R)
(III) Se as ra´ızes forem complexas λ = α± βi, a soluc¸a˜o geral sera´
y = eαx [A cos (βx) + B sen (βx)] (A,B ∈ R)
Equac¸o˜es de Euler
As equac¸o˜es de Euler sa˜o equac¸o˜es que podem ser escritas na forma
x2y′′ + bxy′ + cy = 0
em que b e c sa˜o constantes reais. Para x > 0, a subtituic¸a˜o t = ln x transforma a equac¸a˜o de Euler numa equc¸a˜o com
coeficientes constantes.
dy
dx
=
dy
dt
dt
dx
=
1
x
dy
dt
y′′ =
d2y
dx2
=
d
dx
(
dy
dx
)
=
d
dx
(
1
x
dy
dt
)
= −
1
x2
dy
dt
+
1
x
d
dx
(
dy
dt
)
= −
1
x2
dy
dt
+
1
x
d
dt
(
dy
dt
)
dt
dx
= −
1
x2
dy
dt
+
1
x2
d2y
dt2
Substituindo-se na equac¸a˜o de Euler obtemos a equac¸a˜o linear com coeficientes constantes
d2y
dt2
+ (b− 1)
dy
dt
+ cy = 0
Se y1 (t) e y2 (t) sa˜o soluc¸a˜o fundamentais desta equac¸a˜o enta˜o,
y (x) = c1y1 (ln x) + c2y2 (ln x)
(ou seja, substitua t = ln x) e´ a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o de Euler para x > 0
Equac¸o˜es na˜o homogeˆneas
Uma equac¸a˜o diferencial linear de 2a ordem e´ na˜o homogeˆnea se ela pode ser escrita como
y′′ + P (x)y′ +Q (x)y = R (x) (2)
com R (x) uma func¸a˜o na˜o-nula.
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Para resolver uma equac¸a˜o linear na˜o homogeˆnea (2), precisamos, primeiramente, ser capazes de resolver a equac¸a˜o
homogeˆnea associada y′′ + P (x)y′ +Q (x)y = 0.
Toda soluc¸a˜o yp (x) , livre de paraˆmetros, que satisfaz (2) e´ chamada de soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o.
Teorema: Seja yp (x) uma soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o (2). Sejam y1 (x) e y2 (x) soluc¸o˜es fundamentais da
equac¸a˜o homogeˆnea correspondente (ou seja, y′′ + P (x)y′ + Q (x)y = 0). Enta˜o a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o na˜o-
homogeˆnea (2) e´
y (x) = c1y1 (x) + c2y2 (x) + yp (x) .
Equac¸o˜es Na˜o Homogeˆneas com Coeficientes Constantes (Coeficientes a determinar)
Vamos tratar equac¸o˜es da forma
ay′′ + by′ + cy = R (x) ((3))
em que a, b, c sa˜o nu´meros reais e a 6= 0.
Este me´todo funciona quando a func¸a˜o R (x) tem uma das seguintes formas:
(1) R (x) = a0 + ...+ anx
n, em que a0, ..., an ∈ R.
Neste caso deve-se procurar uma soluc¸a˜o particular na forma
yp (x) = x
k (A0 + ...+Anx
n)
em que k e´ o menor inteiro na˜o negativo que garanta que nenhuma parcela de yp (x) seja soluc¸a˜o da equac¸a˜o homogeˆnea
correspondente e A0, ..., An, sa˜o coeficientes a determinar substituindo-se yp (x) em (3).
(2) R (x) = (a0 + ...+ anx
n) eαx, em que a0, ..., an ∈ R.
Neste caso, deve-se procurar uma soluc¸a˜o particular na forma
yp (x) = x
k (A0 + ...+Anx
n) eαx
em que k e´ o menor inteiro na˜o negativo que garanta que nenhuma parcela de yp (x) seja soluc¸a˜o da equac¸a˜o homogeˆnea
correspondente e A0, ..., An, α sa˜o coeficientes a determinar substituindo-se yp (x) em (3).
(3) R (x) = (a0 + ...+ anx
n) eαx cos (βx) ou R (x) = (a0 + ...+ anx
n) eαx sen (βx) em que a0, ..., an, α, β ∈ R.
Neste caso, deve-se procurar uma soluc¸a˜o particular na forma
yp (x) = x
keαx [(A0 + ...+Anx
n) cos (βx) + (B0 + ...+ Bnx
n) sen (βx)]
em que k e´ o menor inteiro na˜o negativo que garanta que nenhuma parcela de yp (x) seja soluc¸a˜o da equac¸a˜o homogeˆnea
correspondente e A0, ..., An, B0, ..., Bn sa˜o coeficientes a determinar substituindo-se yp (x) em (3).
Me´todo de Variac¸a˜o dos Paraˆmetros
Este me´todo funciona para qualquer equac¸a˜o linear de 2a ordem
y′′ + P (x)y′ +Q (x)y = R (x)
para qual se conhec¸a duas soluc¸o˜es fundamentais y1 (x) e y2 (x) da equac¸a˜o homogeˆnea correspondente em um intervalo
I, onde o wronskiano W [y1, y2] (x) 6= 0, para todo x ∈ I.
Lembramos que, neste caso, a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o homogeˆnea correspondente e´
y (x) = c1y1 (x) + c2y2 (x)
Vamos procurar uma soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o homogeˆnea na forma
y (x) = u1 (x)y1 (x) + u2 (x)y2 (x) .
Temos que u1 e u2 devem satisfazer o sistema de equac¸o˜es lineares{
y1 (x)u1 (x) + y2 (x)u2 (x) = 0
y′1 (x)u1 (x) + y
′
2 (x)u2 (x) = R (x)