Teoria Integrais de Linha e de Superfície Parte 1

Prévia do material em texto

Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis UFU Pa´gina 1
Integrais de Linha e de Superf´ıcie
Integrais de Linha
Definiremos uma integral que e´ semelhante a` integral unidimensional, exceto que, ao inve´s de integrarmos sobre
um intervalo [a, b] , integraremos sobre uma curva C. Tais integrais sa˜o chamadas integrais de linha, embora ”integrais
de curva”seria melhor terminologia. Elas foram inventadas no comec¸o do se´culo XIX para resolver problemas que
envolviam escoamento de fluidos, forc¸as, eletricidade e magnetismo.
Seja C uma curva plana dada pelas equac¸o˜es parame´tricas
x = x (t) y = y (t) a ≤ t ≤ b
ou, o que e´ equivalente, pela equac¸a˜o vetorial r (t) = x (t) i + y (t) j, e suponhamos que C seja uma curva suave, ou
seja, r′ e´ cont´ınua e r′ (t) 6= 0. De forma ana´loga a` soma de Riemann, dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos,
que implica em uma divisa˜o na curva C em n subarcos de comprimento ∆s1, ∆s2, ..., ∆sn e, tomando um ponto
t∗i ∈ [ti−1, ti] e assim, um ponto (x∗i , y∗i ) = (x (t∗i ) , y (t∗i )) , calculamos f (x∗i , y∗i ) , multiplicamos pelo comprimento ∆si
e somamos. Logo, temos a definic¸a˜o:
Se f e´ definida sobre uma curva suave C, enta˜o a integral de linha sobre C e´∫
C
f (x, y)ds = lim
n→∞
n∑
i=1
f (x∗i , y
∗
i )∆si
se esse limite existir.
Como ja´ vimos, o comprimento da curva C e´
L =
∫b
a
√(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
dt
Assim, podemos reescrever
∫
C
f (x, y)ds =
∫b
a
f (x (t) , y (t))
√(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
dt
O valor da integral de linha na˜o depende da parametrizac¸a˜o da curva, desde que a curva seja percorrida uma u´nica
vez quando t cresce de a para b.
lais@ufu.br sites.google.com/site/laisufu La´ıs Rodrigues
Pa´gina 2 UFU Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis
No caso especial em que C e´ um segmento de reta unindo (a, 0) a (b, 0) , a integral de linha se reduz a integral
unidimensional. (basta fazer x = t e y = 0, a ≤ t ≤ b)
Podemos, assim como para integrais unidimensionais, interpretar a integral de linha de uma func¸a˜o positiva como
a´rea. Nesse caso, temos a a´rea de uma ”cerca”ou ”cortina”como na figura abaixo.
Exemplo: Calcule
∫
C
(
2+ x2y
)
ds, onde C e´ a metade superior do c´ırculo unita´rio x2 + y2 = 1.
Quando estamos nos preparando para resolver uma integral de linha, a`s vezes o mais dif´ıcil e´ pensar na representac¸a˜o
parame´trica da curva cuja descric¸a˜o geome´trica foi dada. Frequentemente, e´ preciso parametrizar um segmento de
reta que inicia em r0 e termina r1. Recordemos que tal parametrizac¸a˜o e´ dada por
r(t) = (1− t) r0 + tr1 0 ≤ t ≤ 1
Suponha agora que C seja uma curva suave por partes, ou seja, C e´ a unia˜o de um nu´mero finito de curvas suaves
C1, C2, ..., Cn onde, o ponto inicial de Ci+1 e´ o ponto final de Ci. Nesse caso, definimos a integral de f ao longo de C
como a soma das integrais de f ao longo de cada parte suave de C :∫
C
f (x, y)ds =
∫
C1
f (x, y)ds+
∫
C2
f (x, y)ds+ ...+
∫
Cn
f (x, y)ds
Exemplo: Calcule
∫
C
2xds, onde C e´ formada pelo arco C1 da para´bola y = x
2 de (0, 0) a (1, 1) seguido pelo
segmento de reta vertical C2 de (1, 1) a (1, 2) .
Duas outras integrais de linha sa˜o obtidas trocando-se ∆si por ∆xi = xi − xi−1 ou ∆yi = yi − yi−1 na definic¸a˜o
anterior. Elas sa˜o chamadas, respectivamente, integrais de linhas ao longo de C com relac¸a˜o a x e y :∫
C
f (x, y)dx = lim
n→∞
n∑
i=1
f (x∗i , y
∗
i )∆xi∫
C
f (x, y)dy = lim
n→∞
n∑
i=1
f (x∗i , y
∗
i )∆yi
Quando queremos distinguir a integral de linha original
∫
C
f (x, y)ds das equac¸o˜es anteriores, esta e´ chamada de
integral de linha com relac¸a˜o ao comprimento de arco.
La´ıs Rodrigues sites.google.com/site/laisufu lais@ufu.br
Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis UFU Pa´gina 3
As fo´rmulas seguintes dizem que as integrais de linha com relac¸a˜o a x e y podem ser calculadas escrevendo-se tudo
em termos de t : x = x (t) , y = y (t) , dx = x′ (t)dt, dy = y′ (t)dt∫
C
f (x, y)dx =
∫b
a
f (x (t) , y (t)) x′ (t)dt∫
C
f (x, y)dy =
∫b
a
f (x (t) , y (t))y′ (t)dt
Frequentemente acontece de as integrais de linha com relac¸a˜o a x e y ocorrerem em conjunto. Quando isso acontece,
e´ comum abreviar escrevendo∫
C
P (x, y)dx+
∫
C
Q (x, y)dy =
∫
C
P (x, y)dx+Q (x, y)dy.
Exemplo: Calcule
∫
C
y2dx+ xdy onde
(a) C = C1 e´ o segmento de reta de (−5,−3) a (0, 2)
(b) C = C2 e´ o arco da para´bola x = 4− y
2 de (−5,−3) a (0, 2)
Observe que as respostas para os itens (a) e (b) sa˜o diferentes, apesar de as duas curvas terem as mesmas extremi-
dades. Assim, em geral, o valor de uma integral de linha na˜o depende apenas das extremidades da curva, mas tambe´m
da trajeto´ria.
Integrais de Linha no Espac¸o
Suponhamos que C seja uma curva espacial suave dada pelas equac¸o˜es parame´tricas
x = x (t) y = y (t) z = z (t) a ≤ t ≤ b
ou, por uma equac¸a˜o vetorial r (t) = x (t) i + y (t) j+z(t)k. Se f e´ uma func¸a˜o de treˆs varia´veis que e´ cont´ınua em
alguma regia˜o contendo C, enta˜o definimos a integral de linha de f ao longo de C de maneira ana´loga
∫
C
f (x, y, z)ds =
∫b
a
f (x (t) , y (t) , z (t))
√(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
+
(
dz
dt
)2
dt
ou, de maneira reduzida ∫b
a
f (r (t)) |r′ (t)|dt
As propriedades das integrais de linha sa˜o ana´logas a`s propriedades das integrais definidas.
Suponha que C e´ uma curva suave, ou suave por partes e que f (x, y, z) e g (x, y, z) sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em cada
ponto de C.
a)
∫
C
kf (x, y, z)ds = k
∫
C
f (x, y, z)ds, onde k e´ uma constante
b)
∫
C
[f (x, y, z) + g (x, y, z)]ds =
∫
C
f (x, y, z)ds+
∫
C
g (x, y, z)ds
c) Supondo que C seja composta de duas curvas suaves C1 e C2∫
C
f (x, y, z)ds =
∫
C1
f (x, y, z)ds+
∫
C2
f (x, y, z)ds
d)
∫
C
f (x, y, z)ds =
∫
−C
f (x, y, z)ds, onde −C representa a curva C orientada no sentido oposto.
lais@ufu.br sites.google.com/site/laisufu La´ıs Rodrigues
Pa´gina 4 UFU Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis
Exemplo: Calcule
∫
C
y sen zds, onde C e´ a he´lice circular dada pelas equac¸o˜es x = cos t, y = sen t, z = t,
0 ≤ t ≤ 2pi.
Exemplo: Calcule
∫
C
xyds, onde C e´ a intersec¸a˜o das superf´ıcies x2 + y2 = 4 e y+ z = 8.
Tambe´m podemos definir integrais de linha ao longo de C em relac¸a˜o a x, y e z. Por exemplo,∫
C
f (x, y, z)dz = lim
n→∞
n∑
i=1
f (x∗i , y
∗
i , z
∗
i )4zi =
∫b
a
f (x (t) , y (t) , z (t)) z′ (t)dt.
Portanto, podemos calcular integrais da forma∫
C
P (x, y, z)dx+Q (x, y, z)dy+ R (x, y, z)dz
escrevendo tudo (x, y, z, dx, dy, dz) em termos do paraˆmetro t.
Exemplo: Calcule
∫
C
ydx + zdy + xdz, onde C consiste no segmento de reta C1 de (2, 0, 0) a (3, 4, 5) , seguido
pelo segmento de reta vertical C2 de (3, 4, 5) a (3, 4, 0) .
No´s tratamos molas e fios como massas distribu´ıdas ao longo de curvas lisas no espac¸o. A distribuic¸a˜o e´ descrita
por uma func¸a˜o de densidade cont´ınua ρ (x, y, z) representando massa por unidade de comprimento. Quando uma
curva C e´ parametrizada por r (t) = x (t) i + y (t) j + z (t)k, a ≤ t ≤ b, enta˜o x, y e z sa˜o func¸o˜es do paraˆmetro t, a
densidade e´ a func¸a˜o ρ (x (t) , y (t) , z (t)) , e a diferencial do comprimento de arco e´ fornecida por
ds =
√(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
+
(
dz
dt
)2
dt.
A massa e o centro de massa da mola ou do fio sa˜o enta˜o calculados com as fo´rmulas a seguir, com as integrac¸o˜es
em termos do paraˆmetro t sobre o intervalo [a, b] . Por exemplo, a fo´rmula para massa torna-se
M =
∫b
a
ρ (x (t) , y (t) , z (t))
√(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
+
(
dz
dt
)2
dt.
Essas fo´rmulas se aplicam tambe´m a hastes finas.
Massa: M =
∫
C
ρds
Primeiros momentos emrelac¸a˜o aos eixos coordenados:
Myz =
∫
C
xρds, Mxz =
∫
C
yρds, Mxy =
∫
C
zρds
Coordenadas do centro de massa:
x =
Myz
M
, y =
Mxz
M
, z =
Mxy
M
Exemplo: Um arco meta´lico fino, mais denso na base que no topo, encontra-se ao longo do semic´ırculo y2+z2 = 1,
z ≥ 0, no plano yz. Encontre o centro de massa do arco se a densidade no ponto (x, y, z) no arco for ρ (x, y, z) = 2− z.
La´ıs Rodrigues sites.google.com/site/laisufu lais@ufu.br
Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis UFU Pa´gina 5
Integrais de Linha de Campos Vetoriais
Seja D um conjunto em R2 (uma regia˜o plana). Um campo vetorial em R3 e´ uma func¸a˜o F que associa a cada
ponto (x, y) em D um vetor bidimensional F (x, y) = P (x, y) i+Q (x, y) j
Seja D um conjunto em R3 (uma regia˜o plana). Um campo vetorial em R3 e´ uma func¸a˜o F que associa a cada
ponto (x, y, z) em D um vetor tridimensional F (x, y, z) = P (x, y, z) i+Q (x, y, z) j+ R (x, y, z)k.
Para representarmos graficamente um campo vetorial, tomamos alguns pontos P ∈ D e desenhamos o vetor F (P)
como uma seta com a origem P (transladada paralelamente da origem para P).
Um tipo importante de campo vetorial e´ formado por todos os vetores gradientes da func¸a˜o.
Definimos o campo gradiente de uma func¸a˜o deriva´vel f (x, y, z) como o campo de vetores gradiente
∇f = ∂f
∂x
i+
∂f
∂y
j+
∂f
∂z
k
Em cada ponto (x, y, z), o campo gradiente fornece um vetor apontando na direc¸a˜o e sentido do maior crescimento
de f, com a magnitude sendo o valor da derivada direcional naquela direc¸a˜o.
Um campo vetorial F e´ chamado campo vetorial conservativo se ele for o gradiente de alguma func¸a˜o escalar, ou
seja, se existir uma func¸a˜o f tal que F = ∇f. Nessa situac¸a˜o, f e´ denominada func¸a˜o potencial de F.
Na F´ısica, o trabalho realizado por uma forc¸a constante F, para desolcar uma part´ıcula em linha reta, e´ definido
como o produto da componente da forc¸a da direc¸a˜o do deslocamento pelo deslocamento, ou seja, se denotarmos por
W o trabalho realizado por F para mover a particula de A ate´ B temos
W = (|F| cosα)
∣∣∣−→AB∣∣∣ = |F| ∣∣∣−→AB∣∣∣ cosα = F · −→AB
lais@ufu.br sites.google.com/site/laisufu La´ıs Rodrigues
Pa´gina 6 UFU Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis
De maneira geral, quando uma part´ıcula se move ao longo de uma curva C suave, sujeita a` ac¸a˜o de um campo de
forc¸as varia´vel F, podemos dividir C em pequenos arcos e aproximar cada arco por um segmento retil´ınio tangente a`
curva (consideraremos o vetor tangente T como sendo unita´rio). Enta˜o, o trabalho feito pela forc¸a F para mover a
part´ıcula de Pi−1 para Pi e´ aproximadamente
F (x∗i , y
∗
i , z
∗
i ) · [4siT (t∗i )] = [F (x∗i , y∗i , z∗i ) ·T (t∗i )]4si
ou seja, o trabalho total executado e´ a soma de do trabalho para mover a part´ıcula ao longo de cada trecho.
Intuitivamente, percebemos que essa aproximac¸a˜o torna-se cada vez melhor quanto maior e´ a quantidade de diviso˜es.
Portanto, definimos o trabalho W feito por um campo de forc¸as F como o limite de tal soma, ou seja,
W =
∫
C
F (x, y, z) ·T (x, y, z)ds =
∫
C
F ·Tds
Se a curva C e´ dada por r (t) = (x (t) , y (t) , z (t)) , t ∈ [a, b] , enta˜o T (t) = r
′ (t)
|r (t)|
e,
W =
∫b
a
[
F (r (t)) · r
′ (t)
|r (t)|
]
|r (t)|dt =
∫b
a
F (r (t)) · r′ (t)dt
Essa u´ltima integral e´ frequentemente abreviada como
∫
C
F · dr e ocorre tambe´m em outras a´reas da F´ısica.
Portanto, definimos a integral de linha de qualquer campo vetorial cont´ınuo como:
Seja F um campo vetorial cont´ınuo definido sobre uma curva suave C dada pela func¸a˜o vetorial r (t), a ≤ t ≤ b .
Enta˜o, a integral de linha de F ao longo de C e´∫
C
F · dr =
∫b
a
F (r (t)) · r′ (t)dt =
∫
C
F ·Tds
Exemplo: Determine o trabalho feito pelo campo de forc¸a F (x, y) = x2i − xyj ao se mover uma part´ıcula do
longo de um quarto de c´ırculo r (t) = cos ti+ sen tj, 0 ≤ t ≤ pi
2
.
Exemplo: Calcule
∫
C
F · dr, onde F (x, y, z) = xyi + yzj + zxk e C e´ a cu´bica retorcida dada por x = t, y = t2,
z = t3, 0 ≤ t ≤ 1.
Observac¸a˜o: Apesar de
∫
C
F · dr = ∫
C
F ·Tds e as integrais em relac¸a˜o ao comprimento de arco na˜o trocarem de
sinal quando a orientac¸a˜o do caminho for invertida, e´ verdade que∫
−C
F · dr = −
∫
C
F · dr
pois o vetor tangente e´ substitu´ıdo por sua negativa quando C e´ substitu´ıdo por −C.
Observemos agora, a relac¸a˜o entre as integrais de linha de campos vetoriais e as integrais de linha de campos
escalares: ∫
C
F · dr =
∫
C
Pdx+Qdy+ Rdz onde F = Pi+Qj+ Rk
La´ıs Rodrigues sites.google.com/site/laisufu lais@ufu.br
Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis UFU Pa´gina 7
Independeˆncia do caminho
Se considerarmos o vetor gradiente de uma func¸a˜o f de duas ou treˆs varia´veis como uma espe´cie de derivada de f,
enta˜o o teorema seguinte pode ser visto como uma versa˜o do Teorema Fundamental do Ca´lculo para as integrais de
linha:
Teorema: Seja C uma curva suave dada pela func¸a˜o r (t) , a ≤ t ≤ b. Seja f uma func¸a˜o diferencia´vel de duas ou
treˆs varia´veis cujo vetor gradiente ∇f e´ cont´ınuo em C. Enta˜o,∫
C
∇f · dr = f (r (b)) − f (r (a))
Suponha que C1 e C2 sejam curvas suaves por partes (denominadas caminhos) que teˆm o mesmo ponto inicial A
e o mesmo ponto final B. Sabemos que em geral
∫
C1
F · dr 6= ∫
C2
F · dr. Mas, pelo teorema acima∫
C1
∇f · dr =
∫
C2
∇f · dr
sempre que ∇f for cont´ınua. Em outras palavras, a integral de linha de um campo vetorial conservativo depende
somente das extremidades da curva.
Em geral, se F for um campo vetorial cont´ınuo com domı´nio D, dizemos que a integral de linha e´ independente do
caminho se
∫
C1
F · dr = ∫
C2
F · dr para quaisquer caminhos C1 e C2 em D que tenham os mesmos pontos iniciais e
finais.
Dizemos que uma curva e´ fechada se seu ponto final coincide com o ponto inicial, ou seja, se r (a) = r (b) .
Enta˜o
∫
C
F · dr e´ independende do caminho em D se e somente se ∫
C
F · dr =0 para todo caminho fechado C em
D.
Uma regia˜o simplesmente conexa no plano e´ uma regia˜o conexa por caminhos D tal que toda curva fechada simples
(ou seja, sem autointersecc¸o˜es) em D inclui apenas pontos que esta˜o D.
O resultado a seguir nos ajuda a decidir se um campo vetorial e´ conservativo:
Se F (x, y) = P (x, y) i+Q (x, y) j e´ um campo vetorial conservativo, onde P e Q teˆm derivadas parciais de primeira
ordem cont´ınuas em um domı´nio D, enta˜o em todos os pontos de D temos
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
Exemplo: Determine se o campo vetorial F (x, y) = (x− y) i+ (x− 2) j e´ ou na˜o conservativo.
A rec´ıproca do resultado anterior vale para regio˜es abertas simplesmente conexas.
Seja F = Pi +Qj um campo vetorial em uma regia˜o aberta simplesmente conexa D. Suponha que P e Q tenham
derivadas cont´ınuas de primeira ordem e que
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
em todo D. Enta˜o F e´ conservativo.
Este resultado, entretanto, na˜o mostra como encontrar a func¸a˜o potencial f tal que F = ∇f. Vejamos o processo
para encontrar f com um exemplo.
Exemplo:
(a) Se F (x, y) = (3+ 2xy) i+
(
x2 − 3y2
)
j, encontre uma func¸a˜o f tal que F = ∇f.
(b) Calcule a integral de linha
∫
C
F · dr, onde C e´ a curva dada por
r (t) = et sen ti+ et cos tj, 0 ≤ t ≤ pi.
lais@ufu.br sites.google.com/site/laisufu La´ıs Rodrigues