Demonstrações de Fórmulas de Integração

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DEMONSTRAÇÕES DE FÓRMULAS DE INTEGRAÇÃO
	Para justificar a fórmula 1, observe que 
, assim 
 logo 
mas a função cuja derivada é o integrando da integral à esquerda é 
, portanto do conceito de integral indefinida, segue-se o resultado. Além disso, obtém-se
 ou seja, 
logo a diferencial da integral de uma função (em relação a sua variável independente) é igual à função vezes a diferencial da variável independente da função. Sendo assim, pode-se considerar que os símbolos de diferenciação d e integração 
funcionam como operadores inversos um do outro, ou seja: as operações derivação e integração, podem ser consideradas como operações inversas.
	Para demonstrar a fórmula 2, veja que 
 
 para qualquer constante K e 
 logo 
 daí (pelo corolário do teorema 2 de 3.2.1 – pág. 196) 
 e 
 diferem de uma constante C, isto é, 
 Como K é uma constante qualquer, tomando 
 a demonstração está concluída.
	A demonstração da fórmula 3 é similar a da segunda fórmula e está sugerida no exercício 83 do exercitando deste tópico.
	Como 
 equivale a 
 de cada uma das fórmulas de derivação, resultará uma fórmula de integração. Assim, obtém-se as fórmulas 4 até 20, resultantes das fórmulas básicas de derivação. As fórmulas 11 a 17, a princípio não são evidentes, pois das fórmulas básicas de derivação do texto, não se obtém diretamente o integrando. Mais precisamente, por exemplo, a fórmula 9 é óbvia pois existe a fórmula básica 
 (ou a fórmula em termos de diferenciais correspondente, dada por 
 entretanto, a fórmula 13 (por exemplo) não é evidente, uma vez que a fórmula 
� não faz parte do conjunto de fórmulas básicas de derivação já estudadas. Demonstrações alternativas para as fórmulas 11 a 17, podem ser feitas partindo-se do lado esquerdo e usando algumas das fórmulas restantes para chegar no lado direito. Por exemplo: a demonstração da fórmula 13,
a demonstração da fórmula 15,
onde esta última igualdade é pela fórmula 
 decorrente de 
 dada no tópico 2 da aula 1 de Matemática I;
a demonstração da fórmula 27,
onde a última igualdade decorre da fórmula 18 deste tópico e as barras do 
� foram omitidas pois 
 para todo u; a demonstração da fórmula 29,
onde a última igualdade decorre da fórmula 16 deste tópico; as demonstrações das fórmulas 31 a 35 são análogas a da fórmula 15 usando as derivadas das funções hiperbólicas inversas.
	Além de tais demonstrações, no caso particular das fórmulas 15 a 17 e 31 a 35, existem ainda outras demonstrações usando a técnica da substituição trigonométrica ou hiperbólica que será estudada na aula 6.
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