Lista 2 vetores (4)

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Ministe´rio da Educac¸a˜o
Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´
Campus Campo Moura˜o
Wellington Jose´ Correˆa
Nome:
2a¯Lista de Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear
1. Um carro move-se, em linha reta, 5 km na direc¸a˜o norte e, em seguida, tambe´m em linha
reta, 5 km na direc¸a˜o leste. Qual foi o deslocamento do carro.
2. Sendo −→a = (4, 0, 3),−→b = (−2, 1, 5), determine:
(a) ||−→a || (b) −→a +−→b (c) −→a −−→b (d) 3−→b (e) 2−→a + 5−→b
3. Na figura abaixo, representa-se um paralelep´ıpedo ABCDEFGH. Sendo −→u = −→AB,−→v = −−→AD
e −→w = −→AE, exprima −→AG e −−→EC em func¸a˜o de −→u ,−→v e −→w .
4. Determine a soma dos vetores indicados.
1
5. Calcule a soma dos vetores indicados em cada figura abaixo
6. Na figura a seguir, os hexa´gonos sa˜o regulares. Em cada caso, determine a soma dos vetores
indicados.
7. Dados quatro pontos A,B, C, X e m um nu´mero real tais que
−−→
AX = m
−−→
XB. Exprima
−−→
CX
em func¸a˜o de
−→
CA,
−−→
CB e m.
8. Sejam OABC um tetraedro e X o ponto definido por
−−→
BX = m
−−→
BC. Exprima
−−→
OX e
−−→
AX em
func¸a˜o de
−→
OA,
−−→
OB,
−→
OC,m.
9. Considere o hexa´gono regular de arestas A,B,C,D,E e F . Exprima
−→
AB +
−→
AC +
−−→
AD +
−→
AE +
−→
AF em termos de
−→
AO, onde O e´ o centro do hexa´gono.
10. Prove que {−→u ,−→v ,−→w } e´ L.I. se, e somente se, {−→u +−→v ,−→u +−→w ,−→v +−→w } e´ L.I.
11. Verifique se −→u ,−→v e −→w sa˜o L.I. ou L.D.
(a) −→u = (1, 0, 0),−→v = (200, 2, 1),−→w = (300, 1, 2).
(b) −→u = (1, 2, 1),−→v = (1,−1, 7),−→w = (4, 5,−4).
2
Nos exerc´ıcios a seguir, todas as coordenadas referem-se a uma base ortonormal positiva
fixada.
12. Dados −→u = (2, 0,−3) e −→v = (1, 1, 1). Calcule em radianos, a medida angular entre −→u e −→v .
13. Determine x de modo que −→u = (x, 0, 3) e −→v = (1, x, 3) sejam ortogonais.
14. Obtenha a tripla de coordenada do vetor que tem norma
√
3, e´ ortogonal a (1, 1, 0) e a
(−1, 0, 1) e forma aˆngulo obtuso com (0, 1, 0).
15. Prove a relac¸a˜o de Euler:
−→
AB · −−→CD + −−→BC · −−→AD + −→CA · −−→BD = 0 quaisquer que sejam os
pontosA,B,C e D.
16. Em relac¸a˜o a` base ortonormal positiva B = (
−→
i ,
−→
j ,
−→
k ), sa˜o dados −→u = (6,−2,−4) e
−→v = (−1,−2, 1). Calcule −→u ∧ −→v .
17. A medida angular entre −→u e −→v e´ pi
6
e suas normas sa˜o 2 e 3, respectivamente. Calcule
||−→u ∧ −→v ||.
18. Calcule a a´rea do paralelogramo ABCD, sendo
−→
AB = (1, 1,−1) e −−→AD = (2, 1, 4).
19. Calcule um vetor ortogonal unita´rio a −→u = (1, 2, 3) e −→v = (−1, 1, 2).
20. Calcule o volume do paralelep´ıpedo determinado pelos vetores −→u = (1, 0, 1),−→v = (2, 1, 2) e
−→w = (0, 3, 3).
21. Fac¸a o que lhe for solicitado:
(a) Verifique que o triaˆngulo retaˆngulo cujos ve´rtices sa˜o A(3,3), B(0,1) e C(1,6) e´ retaˆngulo
em A.
(b) Calcule a projec¸a˜o do cateto AB sobre a hipotenusa BC.
(c) Determine o pe´ da altura do triaˆngulo relativo ao ve´rtice A (sugesta˜o: seja P (x, y) o
pe´ da altura relativa ao ve´rtice A, enta˜o,
−−→
BP = proj
−→
BA−−→
BC
.)
Respostas:
1. 5
√
2
3
2. (a) 5 (b) (2,1,8) (c) (6,-1,-2) (d) (-6,3,15) (e) (-2,1,5)
3.
−→
AG = −→u +−→v +−→w . −−→EC = −→u +−→v −−→w .
4. No primeiro e no terceiro tetraedros,
−−→
AD. No segundo
−→
0 . No u´ltimo,
−→
AC.
5. (a)
−→
AF (b)
−→
BL (c)
−→
AF
6. (a)
−→
EA (b)
−→
FC (c)
−→
FC (d)
−−→
OD
7.
−−→
CX =
1
1 +m
−→
CA+
m
1 +m
−−→
CB.
8.
−−→
OX = (1−m)−−→OB +m−→OC. −−→AX = −−→OA+ (1−m)−−→OB +m−→OC.
9. 6
−→
AO 10. Use a definic¸a˜o de vetores L.I.
11. (a) L.I. (b) L.D.
12. θ = arccos(− 1/
√
39).
13. x = −9
14. −→x = (1,−1, 1)
15. Use por exemplo que
−→
BA =
−−→
BC +
−→
CA.
16. (−10,−2,−14).
17. 3.
18.
√
62
19.
1√
35
(1,−5, 3).
20. 3.
b
1
2
√
26
21. P
(
1
2
, 7
2
)
Bom trabalho!!!
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