Baixe o app para aproveitar ainda mais
Leia os materiais offline, sem usar a internet. Além de vários outros recursos!
Apostila Matrizes Determinantes Sistemas Lineares
Compartilhar
Prévia do material em texto
1
Ministério da Educação
Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR
Campus Toledo
l
Apostila
Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares
Adriana Camila Braga
Araceli Ciotti de Marins
Daniela Trentin
Dione Milani
Gustavo Henrique Dalposso
Marcio Paulo de Oliveira
Rodolfo Eduardo Vertuan
Suellen Ribeiro Pardo
Sérgio Schimith
Vanderlei Galina
Toledo - 2011
2
1. Matrizes
1.1 Definição
As matrizes são tabelas de números reais utilizadas em quase todos os ramos da
ciência e da engenharia. Várias operações realizadas por computadores são através de
matrizes. Vejamos um exemplo. Considere a tabela abaixo que apresenta o peso, a idade e a
altura de 5 pessoas.
Nome Peso(kg) Idade(anos) Altura(m)
Ricardo 70 23 1,70
José 60 42 1,60
João 55 21 1,65
Pedro 50 18 1,72
Augusto 66 30 1,68
O conjunto ordenado dos números que formam a tabela é denominado matriz e cada
número é chamado elemento da matriz.
68,13066
72,11850
65,12155
60,14260
70,12370
ou
68,13066
72,11850
65,12155
60,14260
70,12370
Neste exemplo temos uma matriz de ordem 5 x 3 (lê-se: cinco por três), isto é, uma
matriz formada por 5 linhas e 3 colunas. Representa-se uma matriz colocando-se seus
elementos entre parênteses ou entre colchetes.
Exemplos:
8
1
6
3
7
2
: matriz de ordem 2 x 3 (2 linhas e 3 colunas)
314
: matriz de ordem 1 x 3 (1 linha e 3 colunas)
3
5
3
4,0 : matriz de ordem 2 x 1 (2 linhas e 1 coluna)
1.2 Representação Algébrica
Utilizamos letras maiúsculas para indicar matrizes genéricas e letras minúsculas
correspondentes para os elementos. Algebricamente, uma matriz pode ser representada por:
*
21
22221
11211
com
...
nem
aaa
aaa
aaa
mnmm
n
n
Pode-se abreviadamente representar a matriz acima por A = (aij)n x m
aij = i – linha
j – coluna
a42 = 18 (lê-se: a quatro dois é igual a dezoito)
(na tabela significa a idade de Pedro 18)
Exemplo: Achar os elementos da matriz A = (aij)3 x 2 em que aij = 3i – j.
Resolução: A representação genérica da matriz é:
233231
2221
1211
x
aa
aa
aa
A
jiaij 3
7233
8133
4223
5123
1213
2113
32
31
22
21
12
11
a
a
a
a
a
a
7
4
1
8
5
2
A
1.3 Matriz Quadrada
4
Se o número de linhas de uma matriz for igual ao número de colunas, a matriz é dita
quadrada.
Exemplo:
01
43
A
é uma matriz quadrada de ordem 2
Observações:
1ª) Quando todos os elementos de uma matriz forem iguais a zero, dizemos que é uma
matriz nula.
2ª) Os elementos de uma matriz quadrada, em que i = j, formam uma diagonal
denominada diagonal principal. A outra diagonal é chamada diagonal secundária.
Resolva:
1) Ache os elementos da matriz A = (aij) de ordem 3, em que
22 jiaij
2) Escreva os elementos da matriz A = (aij) de ordem 3, definida por
jise
jise
a
ji
ij
,0
,1
3) Escreva os elementos da matriz A = (aij)4x2 , definida por
jiseji
jiseji
aij
,
,
1.4 Matriz unidade ou matriz identidade
A matriz quadrada de ordem n, em que todos os elementos da diagonal principal são
iguais a 1 e os demais elementos são iguais a 0, é denominada matriz unidade ou matriz
identidade. Representa-se a matriz unidade por In.
Exemplo:
10
01
2I
100
010
001
3I
1.5 Matriz tranposta
5
Se A é uma matriz de ordem m x n, denominamos transposta de A a matriz de ordem n
x m obtida pela troca ordenada das linhas pelas colunas. Representa-se a matriz transposta de
A por At.
Exemplo:
7
4
1
8
5
2
A
a sua transposta é
7
8
4
5
1
2
tA
1.6 Igualdade de Matrizes
Sejam as matrizes A e B de mesma ordem. Se cada elemento de A for igual ao
elemento correspondente de B, as matrizes A e B são ditas iguais.
mxnij
aA
mxnij
bB
32232221
131211
x
aaa
aaa
A
32232221
131211
x
bbb
bbb
B
ijij baBA
Exemplo: Dadas as matrizes
13
5
110
52
yx
yx
BeA
, calcular x e y para que
A =B.
Resolução:
13:
132233
124
103
2
yexSolução
yyyx
x
yx
yx
Resolva:
1) Determine x e y, sabendo que
16
7
3
32
yx
yx
2) Determine a, b, x e y, sabendo que
70
13
2
2
bayx
bayx
6
3) Dada as matrizes
z
xBeyA
84
13
560
215
36
420
, calcule x, y e z para que
B = At.
4) Sejam
ca
Be
a
A
b
3
3
2
92
81
1
log27
16
1
calcule a, b e c para que A=B.
1.7 Operações com matrizes
Adição e Subtração: a adição e subtração de duas matrizes do mesmo tipo é efetuada
somando-se ou subtraindo-se os seus elementos correspondentes.
Exemplo:
BAC
2221
1211
2221
1211
2221
1211
bb
bb
aa
aa
cc
cc
52
0²cos²
31
²cos²cos
21
²cos² sensen
C
52
01
C
Matriz oposta: denomina-se matriz oposta de uma matriz A a matriz – A cujos
elementos são os simétricos dos elementos correspondentes de A
Exemplo:
52
01
52
01
AA
Propriedades da Adição:
Comutativa: A + B = B + A
Associativa: A + (B + C) = (A + B) +C
Elemento Neutro: A + 0 = A
7
Elemento Oposto: A + (-A) = 0
Exemplo: Dadas as matrizes
16
03
52
10
,
43
12
CeBA
, calcule:
a)
91
02
52
10
43
12
BA
b)
28
11
16
03
51
20
43
12
CBA t
Exemplo: Dadas as matrizes
2
4
1
5
2
3
BeA
, calcular a matriz X tal que
0BAX
O segundo membro da equação é uma matriz nula de ordem 3 x 1.
Se
3
2
4
2
4
1
5
2
3
0 BAXBAX
Resolva:
1) Dada a matriz
210
432
011
A
, obtenha a matriz X tal que tAAX
2) Sendo A = (aij)1x3 tal que
jiaij 2
e B = (bij)1x3 tal que
1 jibij
, calcule
A+B.
3) Ache m, n, p e q, de modo que:
51
87
3
2
qq
nn
pp
mm
4) Calcule a matriz X, sabendo que BAXeBA T
2
3
0
1
2
5
,
3
0
2
4
1
1
Multiplicação de um número real por uma matriz
Para multiplicar um número real por uma matriz multiplicamos o número por todos os
elementos da matriz, e o resultado é uma matriz do mesmo tipo.
8
A = (aij) K = número real
B = (bij), onde, bij = K.aij
i
{1, 2, ... , m}
j
{1, 2, ... , n}
Exemplo:
1.
450
123
A
113
024
B
a)
02 BAX
2
2
AB
XBAX
563
141
.
2
1
450
123
113
024
.
2
1
X
2/532/3
2/12/2/1
X
b)
023 BAX
BAXBAX 2.
3
1
23
9113
262
.
3
1
113
024
8100
246
.
3
1
X
33/111
3/223/2
X
Resolva:
1) Para
450
123
A
113
024
B
Resolva
02 BAX
2) Para
450
123
A
113
024
B
Resolva
BA
X
2
3
9
3) Resolva o sistema
BAYX
BAYX
2
, sendo
5
1
2
3
BeA
.
Multiplicação de Matrizes
Não é uma operação tão simples como as anteriores; não basta multiplicar os
elementos correspondentes. Vejamos a seguinte situação.
Durante a 1ª fase da Copa do Mundo de 1998 (França), o grupo do Brasil era formado
também pela escócia, Marrocos e Noruega. Os resultados estão registrados abaixo em uma
matriz A, de ordem 4 x 3.
País Vitória Empate Derrota
Brasil 2 0 1
Escócia 0 1 2
Marrocos 1 1 1
Noruega 1 2 0
Então:
0
1
2
1
2
1
1
0
1
1
0
2
A
A pontuação pode ser descrita pela matriz B, de ordem 3 x 1
Número de Pontos
Vitória 3
Empate 1
Derrota 0
Então:
0
1
3
B
10
Terminada a 1ª fase a pontuação é obtida com o total de pontos feitos por cada país.
Essa pontuação pode ser registrada numa matriz que é representada por AB (produto de A por
B).Veja como é obtida a classificação:
5001231:
4011131:cos
1021130:
6011032:
Noruega
Marro
Escócia
Brasil
5
4
1
6
AB
Esse exemplo sugere como deve ser feita a multiplicação de matrizes. Observe a
relação que existe entre as ordens das matrizes:
141334 xxx ABBA
Observe que definimos o produto AB de duas matrizes quando o número de colunas
de A for igual ao de linhas de B; além disso, notamos que o produto AB possui o número de
linhas de A e o número de colunas de B.
pmpnnm ABBA
Exemplo 1:
32
232
121
x
A
e
23
12
41
32
x
B
A matriz existe se n = p ( o número de coluna de A é igual o número de linha da B.)
1.24.33.22.21.32.2
1.1423.12.11.22.1
C
22
203
102
x
C
Exemplo 2:
Dada as matrizes:
12
01
A
10
12
B
20
02
C
Calcule:
11
a) A.B =
34
12
1204
0102
10
12
.
12
01
b) B.A =
12
14
1020
1022
12
01
.
10
12
c) A.C =
24
02
2004
0002
20
02
.
12
01
d) C.A =
24
02
2040
0002
12
01
.
20
02
Observação: 1ªPropriedade Comutativa A.B=B.A, não é valida na multiplicação de
matrizes.
Exemplo 3:
11
11
A
11
11
B
Calcule:
A.B =
00
00
1111
1111
11
11
.
11
11
Observação: Se A e B são matrizes tais que AB = 0 (matriz nula), não podemos
garantir que uma delas (A ou B) seja nula.
Exemplo 4:
041
011
021
A
222
111
321
B
111
111
321
C
a) A.B =
043042041
013012011
023022021
222
111
321
.
041
011
021
723
232
143
.BA
12
b) A.C =
043042041
013012011
023022021
111
111
321
.
041
011
021
723
232
143
.CA
Observação: A.B = A.C , B
C. – na álgebra a.b = a.c
b = c
3ª Propriedade: o cancelamento do produto de matrizes não é válido.
Propriedades:
- Distributiva: A.(B + C) = A.B + A.C
- Associativa: A.(B.C) = (A.B).C
- Elemento neutro: A.In = A
Resolva:
1) Efetue:
a)
2
3
41
35
b)
3
0
2
531
c)
30
12
41
25
2) Dada a matriz
100
001
012
A
, calcule A2.
3) Sabendo que
11
02
10
21
NeM
, calcule MN-NM.
13
Matriz Transposta
Seja A uma matriz m x n. Denomina-se matriz transposta de A (indica-se
At) a matriz n x m cujas linhas são ordenadamente, as colunas de A.
Exemplos
6
2
0
1
10
3
6
1
2
10
0
3
22
02
20
22
t
t
AA
AA
Propriedades da Transposta:
tt BABA
AA tt
tt AKAK ..
(K real)
ttt BABA
ttt ABBA ..
( no produto de A.B, inverte a ordem)
Resolva:
1) Sendo A =
43
21
e B =
21
02
, mostre que
ttt ABBA ..
.
Matriz simétrica
Quando A = At dizemos que A é matriz simétrica.
Exemplo:
985
843
532
985
843
532
tAA
Matriz anti-simétrica
Quando A = - At dizemos que A é matriz anti-simétrica.
Exemplo:
14
085
804
540
085
804
540
tAA
Matriz Inversa
Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X é uma matriz tal que AX =
In e XA = In, então X é denominada matriz inversa de A e é indicada por A-1.
Quando existe a matriz inversa de A, dizemos que A é uma matriz inversível ou
não-singular.
Exemplo: Verifique se existe e, em caso afirmativo, determine a matriz
inversa de A =
32
85
.
Resolução: Pela definição temos,
10
01
3232
8585
10
01
32
85
dbca
dbca
dc
ba
Pela igualdade de matrizes, temos os sistemas,
23
032
185
cea
ca
ca
58
132
085
deb
db
db
Então X =
52
83
, para AX = I2.
A seguir verificamos se XA = I2.
10
01
32
85
52
83
OK
10
01
3.58.22.55.2
3.88.32.85.3
Então
52
83
é a matriz inversa de
32
85
.
15
A-1 =
52
83
1) Determine a inversa das matrizes:
a)
01
43
A
b)
021
131
001
B
Equações matriciais do tipo AX = B ou XA = B, para A inversível.
Seja A uma matriz tal que exista A-1. Sabendo que AX = B, vamos demonstrar que
X = A-1B.
BAX
BAIX
BAXAA
BAAXA
BAX
1
1
11
11
O mesmo também é válido para
1 BAXBXA
1) Sabendo que
13
52
01
01
BeA
a) verifique se
11
01
1A
b) determine X tal que AX = B
Exercícios
1. Construa a matriz real quadrada A de ordem 3, definida por:
jij
ji
aij
se 1i
se 2
2
ji
16
Resposta:
789
3234
1681
2. Sendo
534
201
321
M
,
100
010
001
N
e
023
102
110
P
, calcule:
a) N – P + M
b) 2M – 3N – P
c) N – 2(M – P)
d)
Resposta: a)
65-7
3-11
232
b)
78-11
5-3-0
551-
c)
9-10-14-
612-
4-6-1-
3. Calcule a matriz X, sabendo que
34
01
21
A
,
202
315
B
e
BAX t
.
Resposta:
1-1-
02
4-4
X
4. Dadas as matrizes
a
a
A
0
0
e
1
1
b
b
B
, determine a e b, de modo que AB = I, em
que I é a matriz identidade.
Resposta: a = 1 e b = 0
5. Dadas as matrizes
30
21
A
e
02
31
B
. Calcule:
a) A²
b) A³
c) A²B
d) A² + 3B
Resposta: a)
90
8-1
b)
270
26-1
c)
018
3-15
d)
96
17-4
6. Dadas as matrizes
13
21
A
e
34
12
B
, calcule AB + tB
Resposta:
39
118
17
7. Resolva a equação:
1122
3211
1
2
1
32
yx
y²x
y
x
.
yx
x
Resposta: V = {(2,3),(2,-3)}
8. Sendo
20
03
A
,
53
12
P
e
b
a
B
75
10
13
1
, determine os valores de a e b,
tais que
1 P.A.PB
.
Resposta: a = 24 e b = -11
9. Determine os valores de x, y e z na igualdade abaixo, envolvendo matrizes reais 2 x 2:
0
00
00
0
0
00
zy
yz
zx
yxx
.
x
Resposta: x = 0, y = 0 e z = 0 ou x = 3, y = 6, z = 9
10. Dada a matriz
22xij
aA
, tal que
se
se
2
ji jcos
ji isen
aij
, determine:
a) tA
b) A²
c) 1A
Resposta: a)
01
11
b)
11
10
c)
11
10
Testes:
11. A é uma matriz m x n e B é uma matriz m x p. A afirmação falsa é:
a) A + B existe se, e somente se, n = p.
b) tAA implica m = n
c) A.B existe se, e somente se, n = p
d)
tB.A
existe se, e somente se, n = p.
e)
B.At
sempre existe.
Resposta: letra C
12. Seja
ijaA
a matriz real quadrada de ordem 2, definida por
jii
ji
a
ji
ij
para 1
para2
2
.
Então:
a)
55
82
A
b)
65
82
A
c)
58
42
A
d)
52
82
A
e) n.d.a.
Resposta: letra A
18
13. Dadas as matrizes
31
02
A
e
13
2
12
B
, então a matriz -2AB é igual a:
a)
714
28
b)
714
28
c)
714
28
d)
714
28
e)
714
28
Resposta: letra E14. Considere as matrizes:
ijaA
, 4 x 7 onde
jiaij
ijbB
, 7 x 9 onde
ibij
ijcC
, tal que C = AB.
O elemento
63C
:
a) é -112.
b) é -18.
c) é -9.
d) é 112.
e) não existe.
Resposta: letra E
15. Dadas as matrizes
00
11
A
e
10
10
B
, para A.B temos:
a)
00
10
b)
00
00
c)
10
10
d)
00
20
e)
1
1
Resposta: letra B
16. O produto M.N da matriz
1
1
1
M
pela matriz
111N
;
a) não se define.
b) É a matriz identidade de ordem 3
c) É uma matriz de uma linha e uma coluna.
d) É uma matriz quadrada de ordem 3.
e) Não é uma matriz quadrada.
Resposta: letra D
17. A inversa da matriz
11
34
é:
a)
11
3
1
4
1 b)
41
31
c) Inexistente. d)
11
3
1
4
1 e)
11
34
Resposta: letra B
18. Se
3
9
21
12
y
x
.
, então:
a) x = 5 e y = -7
19
b) x = -7 e y = -5
c) x = -5 e y = -7
d) x = -7 e y = 5
e) x = 7 e y = -5
Resposta: letra B
19. Sendo
42
71
A
e
04
13
B
, então a matriz X, tal que
3
2
2
BXAX
, é
igual a:
a)
73
41
b)
80
97
c)
94
21
d)
1210
179
e)
129
87
Resposta: letra D
20. Se A e B são matrizes tais que:
x
A 1
2
e
1
2
1
B
, então a matriz
B.AY t
será nula
para:
a) x = 0
b) x = -1
c) x = -2
d) x = -3
e) x = -4
Resposta: letra E
21. A Matriz
1
1
x
x
, na qual x é um número real, é inversível se, e somente se:
a)
0x
b)
1x
c)
2
1
x
d)
2
1
e
2
1
xx
e)
1 e 1 xx
Resposta: letra E
22. A solução da equação matricial
3
2
1
101
210
121
z
y
x
.
é a matriz:
a)
1
2
3
b)
0
2
3
c)
2
0
3
d)
0
3
2
e)
3
0
2
Resposta: letra B
23. Considere as seguintes matrizes:
45
100
734 xx
A
,
22
05
43
B
,
11
1
x
xx
C
e
41
510
100
D
. O valor de x para que se tenha: A + BC = D é:
a) 1
b) -1
c) 2
20
d) -2
Resposta: letra C
24. As matrizes abaixo comutam,
2a
aa
e
33
30
. O valor de a é:
a) 1
b) 0
c) 2
d) -1
e) 3
Resposta: letra A
21
2. Determinantes
2.1 Definição
Determinante é um número real que se associa a uma matriz quadrada.
2.2 Determinate de uma matriz quadrada de 2ª ordem
Dada a matriz de 2ª ordem
11 12
21 22
a a
A
a a
, chama-se determinante associado a matriz
A (ou determinante de 2ª ordem) o número real obtido pela diferença entre o produto dos
elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.
Então, determinante de
11 22 12 21A a a a a
Indica-se
11 12
11 22 12 21
21 22
det
a a
A A a a a a
a a
Observação: Dada a matriz A de ordem 1, define-se como determinante de A o seu
próprio elemento, isto é:
11det A A a
Exemplo:
22
13
42
x
1224.31.2det A
10det A
Resolva:
1) Resolva a equação:
3 2
0
1 5
x
x
Resposta:
17
3
S
2) Resolva a equação:
0
11
53
x
x
Resposta:
4, 2S
3) Resolva a inequação:
3
2
x
x
x
Resposta:
23| xouxRxS
22
4) Sendo
02
31
20
31
BeA
, calcule det(AB).
Resposta: -12
2.3 Menor Complementar
O menor complementar
ijD
do elemento
ija
da matriz quadrada A, é o determinante
que se obtém de A, eliminando–se dela a linha “i” e a coluna “j”, ou seja, eliminando a linha e
a coluna que contém o elemento
ija
considerado.
Exemplo:
Dada a matriz
125
410
312
A
, calcular D11, D12, D13, D21, e D32.
Resolução:
981
12
41
11
D
20
15
40
12 D
5
25
10
13
D
561
12
31
21
D
8
40
32
32 D
2.4 Cofator
Consideremos a matriz quadrada de 3ª ordem A =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
.
Chama-se Cofator do elemento
ija
da matriz quadrada o número real que se obtém
multiplicando-se
ji1
pelo menor complementar de
ija
e que é representado por
ij
ji
ij DA .1
.
Exemplo: Dada a matriz
873
204
213
A
, calcular:
a) A11 b) A13 c) A32
14141
87
20
1
11
11
A
28281
73
04
1
31
13
A
23
14861
24
23
1
23
32
A
Resolva: Dada a matriz
172
543
210
A
determine A13 , A21 , A32 e A33.
Resposta: A13 = 29, A21 = 15, A32 = 6 e A33 = 3.
2.5 Definição de Laplace
O determinante associado a uma matriz quadrada A de ordem
2n
é o número que se
obtém pela soma dos produtos dos elementos de uma linha (ou de uma coluna) qualquer pelos
respectivos cofatores. Exemplo:
Sendo
341
025
132
A
uma matriz de ordem 3, podemos calcular o det A a partir de
determinantes de ordem 2 e da definição de Laplace. Escolhendo os elementos da primeira
linha temos:
1518451218115362
41
25
11
31
05
13
34
02
12
det
312111
131312121111
AaAaAaA
Observação: Para se aplicar esse método é melhor escolher a linha ou coluna que tiver o
maior número de zeros.
Resolva: Calcule o determinante da matriz A utilizando a definição de Laplace:
a)
301
430
112
A
Resposta: det A = 11
b)
126
540
312
A
24
Resposta: det A = -74
2.6 Regra de Sarrus (regra prática para calcular determinantes de ordem 3)
Seja a matriz
124
012
321
, repetimos as duas primeiras colunas à direita e efetuamos as
seis multiplicações em diagonal. Os produtos obtidos na direção da diagonal principal
permanecem com o mesmo sinal. Os produtos obtidos da diagonal secundária mudam de
sinal. O determinante é a soma dos valores obtidos.
340121201
122201)413(223402)111(det
24124
12012
21321
124
012
321
A
Resolva:
a) Calcule o determinante da matriz
341
025
132
A
Resposta: det A = 15
b) Resolva a equação
0
423
121
53
x
x
Resposta:
4
23
x
c) Dada as matrizes
121
32
011
93
2
xBe
x
A
, determine x para que det A = det B
Resposta:
2
13
x
d) Resolva a equação
0
44
4
x
xx
xxx
Resposta:
40,S
25
e) Seja M = (mij) a matriz quadrada de ordem 3, em que:
jise,ji
jise,ji
jise,
mij
0
. Ache o valor
do determinante de M.
Resposta: 48
f) Calcule o determinante da matriz P2 , em que P é a matriz
220
112
112
P
Resposta: 64
2.7 Determinante de uma matriz quadrada de ordem n>3
Seja a matriz quadrada de ordem 4 A =
6230
1251
3124
0132
, vamos calcular o determinante de
A. Para tanto, aplicaremos o teorema de Laplace, até chegarmos a um determinate de 3ª
ordem, e depois empregaremos a regra de Sarrus. Assim, desenvolvendo o determinate acima,
segundo os elementos da 1ª linha, temos:
)(AaAaAaAaAdet 11414131312121111
34172
623
125
312
12 111111
)(Aa
132443
620
121
314
13 211212
)(Aa
1111111
630
151
324
11 311313
)(Aa
0
230
251
124
10 411414
)(Aa
Substituindo em (1) temos:
1311113234 Adet
Resolva: Calcule o determinante a seguir, desenvolvendo-o segundo os elementos da 1ª linha.
26
1231
1251
4134
1312
Resposta: -180
2.8 Propriedade dos Determinantes
1ª propriedade: Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada A
forem iguais a zero, seu determinante será nulo, isto é, det A = 0.
Exemplo:
0048
3
1
0
3
1
0
480
2ª propriedade: Se os elementos correspondentes de duas linhas (ou de duas colunas) de uma
matriz quadrada A forem iguais, seu determinante será nulo, isto é, det A = 0
Exemplo:
04554
54
54
3ª propriedade: Se uma matriz quadrada A possui duas linhas (ou colunas) proporcionais,
seu determinante será nulo, isto é , det A = 0
Exemplo:
097213
219
73
4ª propriedade: Se todos os elementos de uma linha (ou de uma coluna) de uma matriz
quadrada são multiplicados por um mesmo número real k, então seu determinante fica
multiplicado por k.
Exemplo:
3294772027745937
94
53
7
329140189435921
94
3521
5ª propriedade: Se uma matriz quadrada A de ordem n é multiplicada por um número real k,
o seu determinante fica multiplicado por kn, isto é:
n
n
n Adetk)kAdet(
27
Exemplo:
751752003755
2510
2015
5
7815
52
43
2
AdetA
AdetA
6ª propriedade: O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua
transposta, isto é, det A = det At.
Exemplo:
db
ca
Ae
dc
ba
A t
bcdaAdetecbdaAdet t
7ª propriedade: Se trocarmos de posição entre si duas linhas (ou colunas) de uma matriz
quadrada A, o determinante da nova matriz obtida é o oposto do determinante da matriz
anterior.
Exemplo:
19500610015
522
035
121
AdetA
19150106050
522
053
112
AdetA
8ª propriedade: O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos
da diagonal principal.
Exemplo:
40425
413
021
005
AdetA
9ª propriedade: Sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz-
produto, então
BdetAdetABdet
(teorema de Binet)
Exemplo:
613784236
63
146
41030
8660
6
43
20
13103
15
23
ABdetAB
BdetBAdetA
28
10ª propriedade: Seja A uma matriz quadrada. Se multiplicarmos todos os elementos de uma
linha (ou coluna) pelo mesmo número e somarmos os resultados aos elementos
correspondentes de outra linha (ou coluna), formando uma matriz B, então det A=det B
(Teorema de Jacobi).
Exemplo:
11209
94
51
AdetA
Multiplicando a 1ª linha por -2 e somando os resultados à 2ª linha obtemos:
11101
12
51
AdetA
2.9 Exercícios:
1. Dadas as matrizes
12
01
A
e
31
20
B
, calcule:
a) det (A²)
b) det (B²)
c) det (A² + B²)
Resp: a) 1 b) 4 c) 18
2. (Faap – SP) Resolva a inequação
14
24
3
x
xx
.
Resposta:
71 x|Rx
3. Determine a solução da equação
0
2
83
x
x
Resposta: {-2,2}
4. Sendo
31
21
A
e
12
10
B
, dê o valor de:
a) det (A). det(B)
b) det (A.B)
Resposta: a) -10 b) -10
5. Seja a matriz A = (aij) de ordem 3, tal que:
ji se 1
e ji se ,
ji se 1,
ij Rkka
. Calcule k,
de modo que o determinante da matriz A seja nulo.
Resposta: k = 0
29
6. (UFPR) Considere as matrizes
xzy
xyz
zyx
A
e
xzyz
zxyx
B
e
42
64
C
.
Sabendo que a matriz B é igual à matriz C. Calcule o determinante da matriz A.
Resposta: 72
7. Calcule o determinante da matriz M = (AB). C, sendo
3
2
1
A
,
532B
e
413
012
201
C
.
Resposta: zero
2.10 Testes:
1. (UEL – PR) A soma dos determinantes
ab
ba
ab
ba
é igual a zero.
a) quaisquer que sejam os valores reais de a e de b.
b) se e somente se a = b.
c) se e somente se a = - b.
d) se e somente se a = 0.
e) se e somente se a = b = 1.
Resp: a)
2. (FMU – SP) O determinante da matriz
xx
xx
sen 2cos2
cossen
é igual a:
a) sen 2x b) 2 c) -2 d) 2 sen²x e) cos 2xResposta: b)
3. (Mack – SP) A solução da equação
0
02/13/2
51
321
x
a) 1 b) 58 c) -58 d)
9
67
e) 2
Resposta: d)
30
4. (Mack – SP) Sendo A = (aij) uma matriz quadrada de ordem 2 e aij = j – i², o determinante
da matriz A é:
a) 0 b) 11 c) 2 d) 3 e) 4
Resposta: d)
5. (Fatec – SP) Determine x, de modo que
0
94
32
111
2
x
x
.
a) x < -3 ou x > 2 b) -3 < x < 2 c) Não existe
Rx
d)Para todo
Rx
f) N.D.A.
Resposta: b)
6. (PUC – RS) A equação
12
0
114
312
nn
n
tem como conjunto verdade:
a) {-6, 2} b) {-2, 6} c) {2, 6} d) {-6, 6} e) {-2, 2}
Resposta: b)
7. (PUC – SP) O determinante da matriz
0412
5632
3221
1111
vale:
b) -3 b) 6 c) 0 d) 1 e) -1
Resp: a)
8. (FGV – SP) Seja a a raiz da equação 16
2000
302
211
000
x
x
x
; então o valor de a² é:
a) 16 b) 4 c) 0 d) 1 e) 64
Resposta: b)
31
9. (PUC – RS) A solução da equação
x
x
x
x
213
132
321
2
92 é:
a) {-11, 5} b) {-6, 3} c) {0, 3} d) {0, 6} e) {5, 11}
Resposta: {0,3}
3 Sistemas Lineares
3.1 Equação Linear
Toda equação da forma
bxa...xaxa nn 2211
é denominada equação linear, em que:
na,..,a,a 21
são coeficientes
nx,...,x,x 21
são as incógnitas
b é um termo independente
Exemplos:
a)
532 321 xxx
é uma equação linear de três incógnitas.
b)
1 tzyx
é uma equação linear de quatro incógnitas.
Observações:
1º) Quando o termo independente b for igual a zero, a equação linear denomina-se equação
linear homogênea. Por exemplo:
05 yx
.
2º) Uma equação linear não apresenta termos da forma
21
2
1 x.x,x
etc., isto é, cada termo da
equação tem uma única incógnita, cujo expoente é sempre 1.
As equações
323 2
2
1 xx
e
24 zy.x
não são lineares.
3º) A solução de uma equação linear a n incógnitas é a seqüência de números reais ou ênupla
n,...,, 21
, que, colocados respectivamente no lugar de
nx,...,x,x 21
, tornam verdadeira
a igualdade dada.
4º) Uma solução evidente da equação linear homogênea
03 yx
é a dupla
00,
.
Vejamos alguns exemplos:
1º exemplo: Dada a equação
523 yx
, determinar para que a dupla (-1, ) seja solução da
equação.
32
Resolução:
,1
y
x 1
482
523
521.3
Resposta: = – 4
Exercícios Propostos:
1. Determine m para que
2,1,1
seja solução da equação
62 zymx
.
Resposta: -1
2. Dada a equação
1
32
yx
, ache para que
1,
torne a sentença verdadeira.
Resposta: -8/5
3.2 Sistema linear.
Denomina-se sistema linear de m equações nas n incógnitas
nxxx ,...,, 21
todo sistema da forma:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...
...
...
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
11 12 1 1 2, ,..., , , ,...,n ma a a b b b
são números reais.
Se o conjunto ordenado de números reais
1 2, ,..., n
satisfizer a todas as equações do sistema,
será denominado solução do sistema linear.
Observações:
1ª) Se o termo independente de todas as equações do sistema for nulo, isto é,
021 n'' b...bb
, o sistema linear será dito homogêneo. Veja o exemplo:
0325
04
02
zyx
zyx
zyx
Uma solução evidente do sistema linear homogêneo é x = y = z = 0.
Esta solução chama-se solução trivial do sistema homogêneo. Se o sistema homogêneo admitir
outra solução em que as incógnitas não são todas nulas, a solução será chamada solução não-
trivial.
2ª) Se dois sistemas lineares, S1 e S2, admitem a mesma solução, eles são ditos sistemas
equivalentes.
33
Exercícios Propostos:
1. Seja o sistema
2
52
032
321
321
321
1
xxx
xxx
xxx
:S
.
a) Verifique se (2, -1, 1) é solução de S.
b) Verifique se (0,0,0) é solução de S.
Resposta: a) é b) não é
2. Seja o sistema:
32
93 2
kyx
kyx
. Calcule k para que o sistema seja homogêneo.
3. Resposta: k = -3
4. Calcular m e n de modo que sejam equivalentes os sistemas:
52
1
yx
yx
e
2
1
mynx
nymx
.
Resposta: m = 0 e n = 1
3.3 Expressão matricial de um sistema de equações lineares.
Dentre suas diferentes aplicações, as matrizes são utilizadas na resolução de um sistema de
equações lineares.
Seja o sistema linear:
nnmnmm
nn
nn
bxa...xaxa
...
...
bxa...xaxa
bxa...xaxa
2211
22222121
11212111
Utilizando matrizes, podemos representar este sistema da seguinte forma:
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
............
...
...
21
22221
11211
.
nx
x
x
...
...
2
1
=
nb
b
b
...
...
2
1
matriz constituída matriz coluna matriz coluna
pelos coeficientes constituída pelas dos termos
das incógnitas incógnitas independentes
34
Observe que se você efetuar a multiplicação das matrizes indicadas irá obter o sistema dado. Veja
também que, a multiplicação é perfeitamente possível (justifique).
Se a matriz constituída pelos coeficientes das incógnitas for quadrada, o seu determinante é dito
determinante do sistema.
Exemplo:
Seja o sistema:
827
1634
052
321
321
321
xxx
xxx
xxx
. Ele pode ser representado por meio de matrizes, da
seguinte forma:
8
1
0
.
217
634
152
3
2
1
x
x
x
3.4 Classificação dos sistemas lineares
Os sistemas lineares são classificados, quanto ao número de soluções, da seguinte forma:
3.5 Regra de Cramer
A regra de Cramer consiste num método para se resolver um sistema linear.
nnmnmm
nn
nn
bxa..xaxa
...
...
bxa..xaxa
bxa..xaxa
2211
22222121
11212111
:sistema o Seja
Vamos determinar a matriz A dos coeficientes das incógnitas:
35
mnmm
n
n
a...aa
...
...
...
a...aa
a...aa
A
21
22221
11211
Vamos determinar agora a matriz Ax1, que se obtém a partir da matriz A, substituindo-se a coluna
dos coeficientes de x1 pela coluna dos termos independentes.
mnmn
n
n
x
a...ab
...
...
...
a...ab
a...ab
A
2
2222
1121
1
Pela regra de Cramer:
AdetAdet
x x11
De maneira análoga podemos determinar os valores das demais incógnitas:
mnnm
n
n
x
a...ba
...
...
...
a...ba
a...ba
A
1
2221
1111
2
Adet
Adet
x x22
nmm
xn
b...aa
...
...
...
b...aa
b...aa
A
21
22221
11211
Adet
Adet
x xnn
Generalizando, num sistema linear o valor da incógnita x1 é dado pela expressão:
Adet
Adet
x ii
tes.independen termosdos coluna pela
xde escoeficient dos colunas as
se-dosubstituinA de obtida matriz a é A
sistema. do incompleta matriz a éA
i
i
Vejamos alguns exemplos.
36
1º Exemplo: Resolver o sistema
2
5
yx
yx
.
Resolução:
0
11
11
AdetA
7
12
15
xx AdetA
7
21
51
yy AdetA
0
7
Adet
Adet
x x
impossível
0
7
Adet
Adet
y
y
impossível
Resposta:
S
2º Exemplo: Resolver o sistema
1
10543
02
321
321
321
xxx
xxx
xxx
.
Resolução:
1º) Cálculo do determinante da matriz incompleta.
126543104
111
543
121
AdetA
2º) Cálculo do determinante das incógnitas.
24200410100
111
5410
120
11
AdetA
1205103010
111
5103
101
22
AdetA
061000204
111
1043
021
33
AdetA
3º) Cálculo das incógnitas.
2
12
241
1
Adet
Adet
x
37
1
12
122
2
Adet
Adet
x
0
12
03
3
Adet
Adet
x
Resposta:
012 ,,S
Sistema Possível e Determinado.
Exercícios Propostos:
1. Solucione os sistemas a seguir, utilizando a regra de Cramer.
a)
432
52
yx
yx
Resposta: {(1,2)}
b)
93
143
yx
yx
Resposta: {(3,2)}
2. Calcule os valores de x, y e z nos sistemas:
a)
3233
932
22
zyx
zyx
zyx
Resposta: {(1,2,3)}
b)
03
05
010
zy
zx
yx
Resposta: {(6,4,1)}
3. Resolva as equações matriciais:
a)
13
9
31
12
y
x
.
Resposta:
5
2
b)
8
2
2
115
632
741
z
y
x
.
Resposta:
1
2
1
4.5 Discussão de um sistema linear
Seja o sistema linear de n equações a n incógnitas.
38
nnnnnn
nn
nn
bxa...xaxa
...
...
bxa...xaxa
bxa...xaxa
2211
22222121
11212111
Discutir o sistema é saber se ele é possível, impossível ou determinado.
Utilizando a regra de Cramer, temos:
Adet
Adet
x,...,
Adet
Adet
x,
Adet
Adet
x nn
2
2
1
1
Possível e Determinado
0Adet
Possível e Indeterminado
0
0
21 nAdet...AdetAdet
e
Adet
Impossível
0 um menos pelo
0
nAdet
e
Adet
Vejamos alguns exemplos:
1º) Exemplo: Discutir o sistema
1
23
yx
myx
.
Resolução: Vamos calcular o valor dos determinantes:
mAdet
m
A
3
11
3
mAdet
m
A
2
11
2
11
1
11
23
22
AdetA
Fazendo:
3030 mmAdet
20201 mmAdet
Resposta: SPD
3 m
(sistema possível e determinado)
SPI
m
(sistema possível e indeterminado), pois det A2 = 1 para qualquer valor de m
SI
3 m
(sistema impossível)
39
2º) Exemplo: Determinar m, de modo que o sistema
4
0
2
zyx
zmyx
yx
seja incompatível.
Resolução:
1
111
11
011
mAdetmA
62
114
10
012
mAdetmA xx
4
141
101
021
yy AdetA
66
411
01
211
mAdetmA zz
Fazendo:
1010 mmAdet
30620 mmAdet x
10660 mmAdet z
Para m = –1, teremos:
0
4
x
(impossível)
0
4
y
(impossível)
0
0
z
(indeterminado).
Resposta: SI
1 m
3º) Exemplo: Verificar se o sistema
0
023
yx
yx
é determinado ou indeterminado.
Resolução: Vamos calcular o valor dos determinantes:
5det
11
23
AA
0det
10
20
xx AA
0det
01
03
yy AA
Como
05det A
, o sistema é determinado.
Vamos achar a solução:
0
5
0
det
det
A
A
x x
e
0
5
0
det
det
A
A
y
y
0,0S
Resposta: O sistema é determinado e
0,0S
.
40
Observação:
Todo sistema homogêneo é sempre possível, pois admite a solução (0, 0,.., 0) chamada solução
trivial.
Observe que para um sistema homogêneo teremos sempre
0det,...,0det,0det 21 nAAA
Portanto, para a discussão de um sistema linear homogêneo, é suficiente o estudo do determinante
dos coeficientes das incógnitas.
Determinado
0det A
Indeterminado
0det A
4º)Exemplo: Calcular o valor de a para que o sistema
0
0
ayax
yax
tenha soluções diferentes da
trivial.
Resolução: Neste caso, o sistema deve ser indeterminado, e teremos
0det A
.
1ou 001.0²det
1
aaaaaaA
aa
a
A
Resposta:
1,0
Exercícios Propostos:
1. Discuta os sistemas:
a)
myx
ymx 2
b)
2
1
yx
ykx
c)
qpzyx
zyx
zyx
4
6
1037
2. Classifique, quanto ao número de soluções, os seguintes sistemas homogêneos.
a)
086
043
21
21
xx
xx b)
03
0422
0
zyx
zyx
zyx
c)
04
03
02
yx
zyx
zyx
3. Determine a e b para que o sistema
byx
ayx
44
126
seja indeterminado.
4. Calcule os valores de a para que o sistema
04
123
yax
yx
seja compatível e
determinado.
41
5. Dê o valor de a para que o sistema
054
02
02
azyx
azyx
yax
seja impossível.
6. Determine o valor de k para que o sistema
kxy
zx
yz
332
224
143
seja indeterminado.
7. Qual o valor de p para que o sistema
2
0
4
yx
zpyx
zypx
admita uma solução única?
8. (Fuvest-SP) Para quais valores de k o sistema linear
2
323
1
kzy
zyx
zyx
é compatível e
determinado?
Respostas exercícios propostos:
1. Discussão de um Sistema Linear.
1. a) SPD se
1m
SI se m = –1
b) SPD se
1k
SI se k = 1
c) SPD se
1p
; SPI se p = –1 e q = 8; SI se p = –1 e
8q
2. a) indeterminado.
b) indeterminado.
c) determinado
3. a = 6 e b = 8
4.
6a
5.
1ou 4 aa
6. k = 5
7.
1 p/Rp
8.
4
1
k/Rk
4.6 Escalonamento de Sistemas Lineares
Considerando um sistema genérico m x n, dizemos que ele está escalonado quando os
coeficientes aij, com i > j , são todos nulos.
Exemplos:
84
123
752
z
zy
zyx
454
11723
zy
zyx
1054
92
tz
tzyx
42
Classificação e resolução de sistemas lineares escalonados
1º
105
024
623
z
zy
zyx
Sistema 3 x 3 já escalonado (número de equações = número de incógnitas)
Da 3ª equação tiramos z = 2
Da 2ª equação, fazendo z = 2, tiramos y = 1
Fazendo y =1 e z = 2 na 1ª equação tiramos x = -2
Podemos concluir que o sistema é possível e determinado, com S={(-2,1,2)}
2º
90
325
642
1329
w
wz
wzy
wzyx
Sistema 4 x 4 já escalonado.
A 4ª equação permite dizer que o sistema é impossível, logo S =
3ª
063
0
zy
zyx
Sistema 2 x 3 já escalonado (número de equações < número de incógnitas)
Quando um sistema escalonado tem mais incógnitas do que equações e pelo menos um
coeficiente não nulo em cada equação, ele é possível e indeterminado. A variável que não
aparece no começo das equações é chamada variável livre. Nesse exemplo z é a variável
livre. Fazemos z = k, com k
R, para descobrir a solução geral do sistema.
Da 2ª equação, temos
kyzy 2063
.
Usando z = k e y = 2k, temos
kxkkx 302
.
Portanto, o sistema é possível e indeterminado e sua solução geral é (-3k, 2k, k).
4º
132
22
tz
tzyx
Aqui o sistema é possível e indeterminado (está escalonado e tem 2 equações e 4
incógnitas) e duas são variáveis livres (y e t).
Fazemos
ReRcom,tey
.
Substituindo nas equações:
43
4
352
3524
4231242
2
31
2
2
31
312132
xx
xx
zzz
Solução geral:
,,,
2
31
4
352
Exercício: Classifique e resolva os sistemas lineares escalonados:
a)
62
12
032
z
zy
zyx
b)
0
22
dc
dcba
4.7 Processo para escalonamento de um sistema linear
Para escalonar um sistema linear e depois classificá-lo e resolvê-lo, alguns procedimentos
podem ser feitos:
1º) Eliminamos uma equação que tenha todos os coeficientes e o termo independente
nulos. Por exemplo: 0x + 0y + 0z = 0 pode ser eliminada, pois todos os termos de números
reais são soluções:
2º) Podemos trocar a posição das equações. Exemplo:
623
14
14
623
yx
yx
yx
yx
3º) Podemos multiplicar todos os termos de uma equação pelo mesmo número real
diferente de zero:
1022653 zyxzyx
Podemos multiplicar os 2 membros de uma equação por um mesmo número real diferente
de zero e somarmos aos membros correspondentes da outra equação. Regra de Chio de
matrizes = 10ª propriedade. Exemplo:
43
742
25953
3742
zy
zyx
zyx
zyx
4º) Se no processo de escalonamento obtivermos uma equação com todos os coeficientes
nulos e o termo independente diferente de zero, esta equação é suficiente para afirmar que
o sistema é impossível., isto é, S =
.
Exemplo 1:
44
3216
135
72
73
3135
72
135
73
72
8253
2172
3272
z
zy
zyx
zy
zy
zyx
zy
zy
zyx
zyx
zyx
zyx
O sistema obtido está escalonado e é equivalente ao sistema dado. Podemos agora
resolver:
17232
31325
2
16
32
xx
yy
z
Sistema possível e determinado, com S = {(-1,3,2)}
Exemplo 2:
)inarlime(zyx
zy
zyx
zyx
zyx
zyx
0000
847
32
6242
13
2332
847
32
zy
zyx
Sistema possível e indeterminado (escalonado e 2 x 3). Variável livre: z.
7
48
847
y
yz
7
5
3
7
48
2
xx
Solução geral:
,,
7
48
7
5
Exercícios propostos:
1) Escalone, classifique e resolva os sistemas lineares abaixo:
a)
02
833
132
zy
zyx
zyx
Resp: Sistema possível e determinado, com S = {(1,-1,2)}
b)
5232
2
zyx
zyx
Resp: Sistema possível e indeterminado, com S = {(1+5k, 1-4k,
k)}
45
3.8 Testes
1. (FMU – SP) O valor de a para que o sistema
543
182
ayx
yx
seja possível e
indeterminado é:
a) -6 b) 6 c) 2 d) -2 e) 3/2
Resposta: a)
2. (FGV – SP) O sistema
014
042
032
zx
zyx
zyx
é:
a) determinado.
b) Impossível
c) Determinado e admite como solução (1, 1, 1).
d) Indeterminado.
e) N.D.A.
Resposta: d)
3. (UFRN) A solução do sistema
1323
524
6
zyx
zyx
zyx
é:
a) (-2, 7, 1) b) (4, -3, 5) c) (0, 1, 5) d) (2, 3, 1) e) (1, 2, 3)
Resposta: e)
4. (Osec – SP) O sistema linear
724
9432
22
zyx
zyx
zyx
:
a) admite solução única;
b) admite infinitas soluções;
c) admite apenas duas soluções;
d) não admite solução;
e) N.D.A.
Resposta: b)
5. (Efoa – MG) O sistema de equações
0
55
ybx
yax
, terá uma única solução se:
a)
ba 5
b)
05 ba
c)
05 ba
d)
05 ab
46
e)
05 ab
Resposta: c)
6. (Faap – SP) Para que o sistema linear
152
7
yx
byax
admita uma única solução, é
necessário que:
a)
5
2b
a
b)
5
2b
a
c)
2
5b
a
d)
5
2b
a
c)
2
5b
a
Resposta: a)
7. (FCC – BA) O sistema linear
12 yxa
ayx é impossível se e somente se:
a)
1a
e
1ab)
1a
ou a = –1 c)
1a
d)
1a
e)
Ra
Resposta: d)
8. (FEI – SP) Se x = A, y = B e z = C são as soluções do sistema
104
4
3
zy
zx
yx
, então
ABC vale:
a) -5 b) 8 c) -6 d) -10 e) 5
Resposta: c)
9. (UFRS) O sistema sobre R
11114
2
132
zyx
bzyx
zyx
, terá solução apenas se o valor de b
for igual a:
a) 6 b) 4 c) 1 d) -11 e) -12
Resposta: b)
10. (Mack – SP) O sistema
24
2
myx
kyx é indeterminado. Então k + m vale:
a) 1/2 b) 1 c) 3/2 d) 2 e) 3
Resposta: e)
11. (UFSC) Para qual valor de m o sistema
023
02
02
yx
zmyx
zymx
admite infinitas soluções?
a) m = 0 b)
0m
c) m = 2 d) m = 10 e) m = 1
Resposta: c)
12. (FCC – BA) O sistema
0
02
kyx
yxk nas incógnitas x e y:
a) é impossível se
1k
47
b) admite apenas a solução trivial se k = 1
c) é possível e indeterminado se k = -1
d) é impossível para todo k real
e) admite apenas a solução trivial para todo k real.
Resposta: c)
13. (Cesgranrio) O sistema
byx
zayx
zyax
1
0
tem uma infinidade de soluções. Então, sobre
os valores dos parâmetros a e b, podemos concluir que:
a) a = 1 e b arbitrário
b) a = 1 e
0b
c) a = 1 e b = 1
d) a = 0 e b = 1
e) a = 0 e b = 0
Resposta: d)
14. (Fuvest – SP) O sistema linear:
3
1
02
zyx
zyx
zyx
não admite solução se for igual a:
a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2
Resposta: e)
15. (PUC – SP) Certo dia, numa mesma casa de câmbio, Sassa trocou 40 dólares e 20 euros
por R$ 225,00 e Lili trocou 50 dólares e 40 euros por R$ 336,00. Nesse dia, 1 euro estava
cotado em:
a) R$ 3,80 b) R$ 3,75 c) R$ 3,70 d) R$ 3,68 e) 3,65
Resposta: e)
16. (UPF – RS) A empresa brinque muito realizou uma grande doação de brinquedos para um
orfanato. Essa doação compreendeu 535 brinquedos, entre bolas e bonecas, 370
brinquedos, entre bonecas e carimbos, e o total de doação entre bolas e carimbos foi de 455
brinquedos. É possível afirmar que, para realizar a doação, a empresa produziu:
a) 320 bolas
b) 145 carimbos
c) 235 bonecas
d) 780 brinquedos
e) 1350 brinquedosMateriais relacionados
273 pág.
4 pág.
34 pág.
46 pág.
Perguntas relacionadas
Perguntas Recentes
Compartilhar