analise linear de sistemas

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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
ANA´LISE LINEAR DE SISTEMAS
JOSE´ C. GEROMEL
DSCE / Faculdade de Engenharia Ele´trica e de Computac¸a˜o
UNICAMP, CP 6101, 13083 - 970, Campinas, SP, Brasil,
geromel@dsce.fee.unicamp.br
Campinas, Novembro de 2006
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
NOTA AO LEITOR
Este material foi preparado como suporte a`s aulas e e´
inteiramente baseado no livro texto :
Jose´ C. Geromel e Alvaro G. B. Palhares, Ana´lise Linear de
Sistemas Dinaˆmicos : Teoria, Ensaios Pra´ticos e Exerc´ıcios,
ISBN 85-212-0335-7, Editora Edgard Blu¨cher Ltda, Sa˜o Paulo,
SP, 2004.
onde o leitor podera´ encontrar maiores informac¸o˜es e detalhes
a respeito dos to´picos aqui abordados.
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Conteu´do
1 Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Modelagem de processos dinaˆmicos
Mecaˆnica translacional
Mecaˆnica rotacional
Eletricidade
Eletromagnetismo
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Modelagem de processos dinaˆmicos
Modelagem de processos dinaˆmicos
A construc¸a˜o de um modelo matema´tico normalmente
baseia-se em quatro atributos :
Leis ba´sicas
Simplicidade
Precisa˜o
Validac¸a˜o
Os treˆs primeiros podem ser adotados va´rias vezes na
tentativa de atender o u´ltimo. Note a dificuldade para atingir
o paradigma caracterizado por ma´xima simplicidade e ma´xima
precisa˜o. E´ claro que particular cautela deve ser adotada ao
aplicar-se as leis ba´sicas que regem o comportamento de um
determinado fenoˆmeno f´ısico. As hipo´teses para aplicac¸a˜o de
cada uma delas devem ser absolutamente observadas.
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Modelagem de processos dinaˆmicos
Modelagem de processos dinaˆmicos
Para ilustrar estas considerac¸o˜es a figura abaixo mostra o
movimento de um corpo sob a ac¸a˜o da gravidade.
R
M
m
y
v0
em t = 0 o corpo menor, de massa m << M, encontra-se na
superf´ıcie e parte com velocidade v0. Deseja-se obter o
modelo matema´tico para o seu deslocamento vertical.
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Modelagem de processos dinaˆmicos
Modelagem de processos dinaˆmicos
A lei ba´sica a ser aplicada e´ a Lei Universal da Gravitac¸a˜o que
estabelece que o corpo de massa m estara´ sob a ac¸a˜o de uma
forc¸a radial com intensidade
f (y) =
MmG
(R + y)2
= m
g
(1 + y/R)2
onde f (0) = mg e´ o seu peso em repouso na superf´ıcie do
corpo maior. Invocando a Segunda Lei de Newton que
segundo a qual a variac¸a˜o do momento linear do corpo menor
e´, em todo instante de tempo, e´ igual a` forc¸a externa :
y¨(t) +
g
(1 + y(t)/R)2
= 0
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Modelagem de processos dinaˆmicos
Modelagem de processos dinaˆmicos
Trata-se de uma equac¸a˜o diferencial na˜o linear cuja soluc¸a˜o, a
partir das condic¸o˜es iniciais y(0) = 0 e y˙(0) = v0, na˜o e´ fa´cil
de ser determinada. Entretanto, para deslocamentos verticais
tais que |y(t)| << R podemos adotar a aproximac¸a˜o
y¨(t) + g = 0
que e´ uma equac¸a˜o diferencial linear bastante simples de ser
resolvida. E´ importante saber decidir sob quais condic¸o˜es a
aproximac¸a˜o pode ser adotada. No presente caso, integrando
a equac¸a˜o original obtemos a velocidade da massa m a uma
altura y :
v(y)2 = v20 − 2g
y
1 + y/R
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Modelagem de processos dinaˆmicos
Modelagem de processos dinaˆmicos
Notamos que a velocidade pode se anular desde que
v0 ≤ ve :=
√
2gR onde ve e´ denominada velocidade de escape
pois se v0 > ve o corpo de massa m escapa da ac¸a˜o
gravitacional do corpo maior com massa M.
Com a equac¸a˜o aproximada, a conclusa˜o e´ diversa. A
velocidade em func¸a˜o da altura e´ dada por
v(y)2 = v20 − 2gy
e, portanto, para qualquer velocidade inicial v0 o corpo de
massa m atinge uma certa altura em que a velocidade se
anula. No modelo aproximado na˜o ha´ possibilidade de escape
da ac¸a˜o gravitacional. Em situac¸o˜es extremas os modelos sa˜o
diversos mas para |y | << R ambos fornecem resultados muito
parecidos.
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Modelagem de processos dinaˆmicos
Modelagem de processos dinaˆmicos
Em conclusa˜o, para movimentos tais que |y(t)| << R , o
modelo aproximado deve ser adotado. Pore´m, quando esta
hipo´tese na˜o se verifica e´ mandato´rio considerar o modelo
original.
Considere enta˜o o modelo aproximado para descrever a queda
do corpo de massa m de uma altura h0 << R com velocidade
inicial nula. Resolvendo a equac¸a˜o diferencial obtemos
y(t) = h0 − 1
2
gt2 , v(t) = −gt
Portanto o corpo cai e atinge o solo com velocidade no
momento do impacto igual a vi = −
√
2gh0 que aumenta
segundo a altura inicial aumenta. Se isto fosse verdade na˜o
haveria nenhum paraquedista vivo !!!
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Modelagem de processos dinaˆmicos
Modelagem de processos dinaˆmicos
O modelo na˜o leva em conta a existeˆncia de atrito viscoso
entre o ar e o corpo de massa m. No ar, a acelerac¸a˜o de um
corpo em queda na˜o e´ constante mas sim diminui conforme a
velocidade aumenta. Este fenoˆmeno e´ melhor descrito por
y¨(t) +
(
b
m
)
y˙(t) + g = 0
onde b e´ denominado coeficiente de atrito viscoso. Para
v(t) = y˙(t) obtemos
v(t) =
mg
b
(
e−(b/m)t − 1
)
A velocidade no impacto independe de h0 como observamos
na pra´tica!!!
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Modelagem de processos dinaˆmicos
Modelagem de processos dinaˆmicos
Outro ponto fundamental em modelagem diz respeito a`s
hipo´teses que devemos observar para aplicar determinadas leis
ba´sicas. Ilustramos este aspecto com a Segunda Lei de
Newton e referenciais inerciais. A figura abaixo mostra um
artista tentando equilibrar um peˆndulo de comprimento ℓ e
massa m na posic¸a˜o vertical (φ = 90o).
x
y
p
q
φ
ma˜o
mg
T
m
ℓ
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Modelagem de processos dinaˆmicos
Modelagem de processos dinaˆmicos
O referencial (x , y) e´ inercial. Com a ma˜o parada o mesmo
ocorre com o referencial (p, q). Em relac¸a˜o a este referencial
aplicamos a Segunda Lei de Newton para obter :
Na direc¸a˜o horizontal
m
d2
dt2
(ℓcos(φ)) − T cos(φ) = 0
Na direc¸a˜o vertical
m
d2
dt2
(ℓsen(φ)) − T sen(φ) +mg = 0
Eliminando T obtemos o modelo para o deslocamento angular
φ(t) do peˆndulo na forma
ℓφ¨(t) + gcos(φ(t)) = 0
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Modelagem de processos dinaˆmicos
Modelagem de processos dinaˆmicos
Com a ma˜o em movimento o referencial (p, q) deixa de ser
inercial e, portanto, a Segunda Lei de Newton deve ser
aplicada ao referencial (x , y). Considerando que a ma˜o so´ se
desloca na horizontal em uma posic¸a˜o x(t), temos
Na direc¸a˜o horizontal
m
d2
dt2
(x + ℓcos(φ))− T cos(φ) = 0
Na direc¸a˜o vertical
m
d2
dt2
(ℓsen(φ)) − T sen(φ) +mg = 0
Eliminando T obtemos o modelo para o deslocamento angular
φ(t) do peˆndulo na forma
ℓφ¨(t) + gcos(φ(t)) = sen(φ(t))x¨(t)
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Modelagem de processos dinaˆmicos
Modelagem de processos dinaˆmicos
O deslocamento angular do peˆndulo e´ descrito por uma
equac¸a˜o diferencial na˜o linear de 2a ordem.
Para x¨(t) = 0 ela admite soluc¸o˜es de equil´ıbrio φ(t) = φ0
para todo t ≥ 0 com φ0 = ±90o . Definindo θ(t) := φ(t)− φ0
podemos determinar modelos lineares aproximados, a saber :
Va´lido entorno a φ0 = +90
o:
ℓθ¨(t)− gθ(t) = x¨(t)
Va´lido entorno a φ0 = −90o:
ℓθ¨(t) + gθ(t)= −x¨(t)
Na figura seguinte as trajeto´rias pontilhadas se referem aos
modelos linearizados obtidos acima.
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Modelagem de processos dinaˆmicos
Modelagem de processos dinaˆmicos
A figura mostra a simulac¸a˜o do modelo para ℓ = 1 [m],
g = 9.8 [m/s2] e condic¸o˜es iniciais φ(0) = 45o , φ˙(0) = 0.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
−250
−200
−150
−100
−50
0
50
100
150
t [s]
Com a ma˜o parada, o peˆndulo oscila em torno de φ = −90o .
Com a ma˜o em movimento e x¨(t) definida em func¸a˜o de
(φ(t), φ˙(t)), o peˆndulo se equilibra em φ = 90o .
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Mecaˆnica translacional
Mecaˆnica translacional
As leis de Newton sa˜o fundamentais para a modelagem de
sistemas mecaˆnicos. O deslocamento de uma massa m sob a
ac¸a˜o de uma forc¸a externa F (t) obedece a equac¸a˜o
p˙(t) = F (t)
onde p(t) := mr˙(t) e´ o momento linear e r(t) e´ o vetor que
define a posic¸a˜o da massa em um referencial inercial. Sendo
m constante obte´m-se
mr¨(t) = F (t)
Deve ser enfatizado que esta equac¸a˜o so´ e´ va´lida para um
referencial inercial. Este aspecto foi ilustrado anteriormente
com o problema do equil´ıbrio do peˆndulo.
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Mecaˆnica translacional
Mecaˆnica translacional
Quando estamos diante de um conjunto de part´ıculas o
seguinte conceito e´ pertinente :
Definic¸a˜o (Centro de massa)
O centro de massa rc de um conjunto de N massas mi , situadas
nas posic¸o˜es ri para i = 1, · · · ,N e´ dado por
rc :=
1
m
N∑
i=1
mi ri
onde m =
∑N
i=1mi e´ a massa total.
Para um corpo com massa distribu´ıda
rc =
1
m
∫
corpo
rdm , m =
∫
corpo
dm
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Mecaˆnica translacional
Mecaˆnica translacional
A importaˆncia do centro de massa torna-se aparente quando
consideramos o movimento de N part´ıculas, cada uma delas
com massa mi , sob a ac¸a˜o de uma forc¸a externa Fi(t) para
todo i = 1, · · · ,N. Temos enta˜o
mr¨c(t) =
N∑
i=1
mi r¨i(t)
=
N∑
i=1
Fi(t)
Ou seja, o ca´lculo da resultante das forc¸as Fi(t), como se elas
atuassem no centro de massa, permite obter a equac¸a˜o que
descreve o seu movimento.
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Mecaˆnica translacional
Mecaˆnica translacional
Algumas forc¸as e seus modelos :
Forc¸a peso : Forc¸a produzida pela ac¸a˜o gravitacional
fp(t) = mg
onde g = 9.8 [m/s2] e´ a acelerac¸a˜o da gravidade.
Forc¸a de deformac¸a˜o : Forc¸a produzida por molas de extensa˜o
fκ(t) = κd(t)
onde κ [N/m] e´ o coeficiente de elasticidade e d(t) a
deformac¸a˜o.
Forc¸a de atrito viscoso : Forc¸a produzida pelo contato do
corpo com fluidos, com efeitos ana´logos aos dos amortecedores
fb(t) = bv(t)
onde b [Ns/m] e´ o coeficiente de atrito viscoso e v(t) a
velocidade relativa entre o corpo e o meio viscoso.
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Mecaˆnica translacional
Mecaˆnica translacional
A elaborac¸a˜o de um modelo torna-se mais simples se :
O sistema for decomposto em partes, identificando as
interac¸o˜es entre elas (forc¸as e momentos).
As forc¸as externas forem identificadas e modeladas.
As forc¸as produzidas pelos dispositivos ba´sicos (molas e
amortecedores) forem consideradas dissipativas segundo os
referenciais inerciais adotados.
O Princ´ıpio de D’Alembert for adotado :
Fato (Princ´ıpio de D’Alembert)
Em cada instante de tempo, inclu´ıda a forc¸a de ine´rcia com intensidade
mr¨c(t) como dissipativa, a resultante das forc¸as que agem no centro de
massa e´ nula.
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Mecaˆnica translacional
Exemplos
No sistema abaixo uma forc¸a externa com intensidade F e´
aplicada na massa M. Deseja-se determinar o deslocamento
da massa m a partir do repouso.
x y
κ1
κ2
b m M
F
Com o procedimento anterior obtemos :
m : mx¨ + bx˙ + κ1x + κ2(x − y) = 0
M : My¨ + κ2(y − x) = F
Duas equac¸o˜es diferenciais lineares de 2a ordem acopladas.
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Mecaˆnica translacional
Exemplos
No sistema abaixo deseja-se determinar a posic¸a˜o horizontal
do peˆndulo de comprimento ℓ que se encontra no interior de
um carro de massa M.
x
y
κ
θ
b
mg
T F
Em relac¸a˜o ao referencial inercial, sendo x a posic¸a˜o do carro,
a posic¸a˜o do peˆndulo sera´ (x + ℓsen(θ), ℓcos(θ)).
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Mecaˆnica translacional
Exemplos
Com o procedimento anterior obtemos as equac¸o˜es do
movimento :
Carro :
Mx¨ + bx˙ + κx = T sen(θ) + F
Peˆndulo - horizontal :
m
d2
dt2
(x + ℓsen(θ)) + T sen(θ) = 0
Peˆndulo - vertical :
m
d2
dt2
(ℓcos(θ)) + T cos(θ) = mg
Se na˜o tivermos interesse em determinar a forc¸a de trac¸a˜o T ,
estas equac¸o˜es podem ser simplificadas.
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Mecaˆnica translacional
Exemplos
Explicitando as derivadas indicadas obtemos :
Com as duas primeiras equac¸o˜es :
(M +m)x¨ + bx˙ + κx +mℓcos(θ)θ¨ −mℓsen(θ)θ˙2 = F
Com as duas u´ltimas equac¸o˜es :
cos(θ)x¨ + ℓθ¨ + gsen(θ) = 0
Estas equac¸o˜es podem ser linearizadas considerando-se
pequenos deslocamentos em torno de (θ, θ˙) = (0, 0) :
(M +m)x¨ +mℓθ¨ + bx˙ + κx = F
x¨ + ℓθ¨ + gθ = 0
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Mecaˆnica translacional
Exemplos
Vale a pena obter a representac¸a˜o de estado do sistema
linearizado a partir da definic¸a˜o das varia´veis de estado
ξ1 = x , ξ2 = θ, ξ3 = x˙ e ξ4 = θ˙, de entrada F e de sa´ıda
y = x + ℓsen(θ) ≈ [ 1 ℓ 0 0 ]︸ ︷︷ ︸
C
ξ
⇓

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 (M +m) mℓ
0 0 1 ℓ


︸ ︷︷ ︸
E
ξ˙ =


0 0 1 0
0 0 0 1
−κ 0 −b 0
0 −g 0 0


︸ ︷︷ ︸
A0
ξ+


0
0
1
0


︸ ︷︷ ︸
B0
F
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Mecaˆnica translacional
Exemplos
Como E e´ sempre uma matriz na˜o singular, podemos obter a
representac¸a˜o de estado na forma padra˜o ja´ estudada, isto e´
(A,B ,C ,D) com A = E−1A0, B = E
−1B0 e D = 0.
Com M = 10 [Kg], m = 1 [Kg], g = 9.8 [m/s2], ℓ = 1 [m],
κ = 10 [N/m] e b = 4 [Ns/m] determinamos a func¸a˜o de
transfereˆncia entre yˆ(s) e Fˆ (s) como sendo
H(s) =
0.98
s4 + 0.4s3 + 11.78s2 + 3.92s + 9.8
e com per´ıodo de amostragem 0.5 [s] a func¸a˜o de transfereˆncia
pulsada com um segurador de ordem zero na entrada
R(z) = 10−2
0.22z3 + 1.99z2 + 1.91z + 0.20
z4 − 1.48z3 + 1.57z2 − 1.47z + 0.82
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Mecaˆnica translacional
Exemplos
A figura abaixo mostra a posic¸a˜o horizontal do peˆndulo em
relac¸a˜o ao referencial inercial adotado, a partir do repouso,
com F = 10 [N].
0 5 10 15 20 25
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
t, kT [s]
Observe a perfeita concordaˆncia entre os modelos a tempo
cont´ınuo e a tempo discreto.
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Mecaˆnica rotacional
Mecaˆnica rotacional
Considere uma massa m sob a ac¸a˜o de uma forc¸a externa
F (t). A grandeza H(t) := r(t)× p(t) onde p(t) = mr˙(t) e
r(t) e´ o vetor posic¸a˜o da massa em um referencial inercial e´
denominada momento angular relativo a` origem O do sistema
de refereˆncia adotado. A partir de
H˙(t) = r˙(t)× p(t) + r(t)× p˙(t)
= r(t)× F (t)
obtemos a relac¸a˜o fundamental
H˙(t) = τ(t)
indicando que a variac¸a˜o do momento angular e´ igual ao
torque τ(t) := r(t)× F (t) produzido pela forc¸a externa.
28 / 71Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Mecaˆnica rotacional
Mecaˆnica rotacional
Para um sistema constitu´ıdo por N massas, obtemos
H˙(t) =
N∑
i=1
ri (t)× p˙i(t)
=
N∑
i=1
τi(t)
ou seja, a variac¸a˜o do momento angular total e´ igual a` soma
dos torques produzidos pelas forc¸as externas. Portanto, e´
essencial individualizar as forc¸as aplicadas em cada massa mi
para calcular o torque total. Apenas em casos especiais, a
determinac¸a˜o da forc¸a resultante aplicada no centro de massa
e´ relevante para o ca´lculo do torque total.
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Mecaˆnica rotacional
Mecaˆnica rotacional
Este e´ precisamente o caso da forc¸a peso. A forc¸a peso que
age em uma massa dm e´ −gdmj , portanto para um corpo
com massa total m temos
τ =
∫
corpo
r × (−gdmj)
=
(∫
corpo
rdm
)
× (−gj)
= mrcm × (−gj)
= rcm × (−mgj)
ou seja, o torque devido a` forc¸a peso pode ser calculado como
se toda a massa do corpo estivesse concentrada no seu centro
de massa.
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Mecaˆnica rotacional
Mecaˆnica rotacional
A figura abaixo mostra o movimento circular de uma massa m
em um plano.
i
j
k
mr(t)
φ
O
No referencial indicado r(t) = ℓcos(φ)i + ℓsen(φ)j e portanto
o vetor velocidade e´ dado por
r˙ = −ℓφ˙sen(φ)i + ℓφ˙cos(φ)j
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Mecaˆnica rotacional
Mecaˆnica rotacional
O qual permite calcular o momento angular relativo ao centro
de rotac¸a˜o O :
H = r ×mr˙
= mℓ2φ˙ det

 i j kcos(φ) sen(φ) 0
−sen(φ) cos(φ) 0


= mℓ2φ˙ k
como sendo um vetor ortogonal ao plano do movimento com
intensidade proporcional a` velocidade angular. O coeficiente
de proporcionalidade J = mℓ2 ou, para sistemas com massa
distribu´ıda
J =
∫
corpo
r2dm
e´ denominado momento de ine´rcia.
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Mecaˆnica rotacional
Mecaˆnica rotacional
Com os resultados anteriores, chegamos enta˜o a` equac¸a˜o
ba´sica que permite modelar sistemas rotacionais :
Jφ¨(t) = τ(t)
Os seguintes aspectos sa˜o relevantes :
A equac¸a˜o acima tem importaˆncia equivalente a` da equac¸a˜o
mr¨(t) = F (t) para a translac¸a˜o.
Na˜o ha´ dificuldades para enunciar o Princ´ıpio de D’ Alembert
para a rotac¸a˜o : Em cada instante de tempo, inclu´ıdo o torque
de ine´rcia com intensidade Jφ¨ como dissipativo, o torque
resultante relativo ao centro de rotac¸a˜o e´ nulo.
Para corpos r´ıgidos o ca´lculo de J e´ bastante simplificado pelo
chamado teorema dos eixos paralelos : Os momentos de
ine´rcia relativos a dois eixos paralelos, distantes d e, com um
deles passando pelo centro de massa se relacionam por :
J = Jcm +md
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Mecaˆnica rotacional
Mecaˆnica rotacional
A equac¸a˜o fundamental da translac¸a˜o mr¨(t) = F (t) so´ e´
va´lida para um referencial inercial. A equac¸a˜o fundamental da
rotac¸a˜o Jφ¨(t) = τ(t) tambe´m so´ se aplica para um centro de
rotac¸a˜o que e´ fixo em relac¸a˜o a um referencial inercial, com
uma nota´vel excec¸a˜o : o centro de massa. Ou seja, apenas
para o centro de massa vale a equac¸a˜o
H˙cm = τcm
e por conseguinte Jcmφ¨(t) = τcm(t) independentemente do
fato do centro de massa estar ou na˜o em movimento em
relac¸a˜o ao referencial inercial.
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Mecaˆnica rotacional
Mecaˆnica rotacional
Alguns torques e seus modelos :
Torque de deformac¸a˜o : Torque dissipativo produzido pela
reac¸a˜o a um deslocamento angular θ(t) com intensidade
τκ(t) = κθ(t)
que ocorre na direc¸a˜o do eixo de rotac¸a˜o, onde κ [Nm/rad] e´
o coeficiente de elasticidade torcional.
Torque de atrito viscoso : Torque dissipativo devido ao
movimento de rotac¸a˜o em meio viscoso - fluido.
τb(t) = bθ˙(t)
que ocorre na direc¸a˜o do eixo de rotac¸a˜o, onde b [Nms/rad] e´
o coeficiente de atrito viscoso torcional.
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Mecaˆnica rotacional
Exemplos
A figura abaixo mostra um cilindro com momento de ine´rcia
Jc e raio c que se move quando a massa m cai. A corda passa
por uma roldana com momento de ine´rcia Jr e raio r .
Deseja-se determinar o modelo para a rotac¸a˜o do cilindro.
φ
θ
y
f
F
b
Parte do cilindro esta´ imerso em um l´ıquido que produz um
atrito viscoso torcional com coeficiente b.
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Mecaˆnica rotacional
Exemplos
As equac¸o˜es dos movimentos dos quatro corpos sa˜o :
Cilindro :
Jc φ¨+ bφ˙ = fc
Roldana :
Jr θ¨ + fr = Fr
Massa :
my¨ + F = mg
Corda : considerada inextens´ıvel leva a
cφ = rθ = y
Eliminado as varia´veis f , F , θ e y obtemos o modelo para o
deslocamento angular do cilindro :(
Jc +
c2
r2
Jr +mc
2
)
φ¨+ bφ˙ = mgc
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Mecaˆnica rotacional
Exemplos
A figura abaixo mostra dois peˆndulos, como o mesmo
comprimento ℓ, que esta˜o acoplados atrave´s de uma mola. A
mola esta´ presa na metade do comprimento de cada peˆndulo
e, durante o movimento, permanece na horizontal.
φ
OM Om
θ
mg
Mg
κ
Supondo que os peˆndulos estejam imersos em um ambiente
desprovido de atrito, deseja-se determinar os seus
deslocamentos angulares segundo os referenciais adotados.
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Mecaˆnica rotacional
Exemplos
Os momentos de ine´rcia das massas M e m em relac¸a˜o a OM
e Om sa˜o dados por Mℓ2 e mℓ2, respectivamente. A forc¸a
produzida pela mola e´ ±κ((ℓ/2)sen(φ)− (ℓ/2)sen(θ)) e, por
conseguinte, a equac¸a˜o dos momentos fornece :
Peˆndulo M :
Mℓ2φ¨+ κ
ℓ2
4
cos(φ)(sen(φ)− sen(θ)) +Mgℓsen(φ) = 0
Peˆndulo m :
mℓ2θ¨ + κ
ℓ2
4
cos(θ)(sen(θ)− sen(φ)) +mgℓsen(θ) = 0
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Mecaˆnica rotacional
Exemplos
Na˜o ha´ dificuldades para linearizar estas equac¸o˜es em torno
dos pontos de equil´ıbrio (φ, φ˙) = (0, 0) e (θ, θ˙) = (0, 0) :
Mℓ2φ¨+ κ
ℓ2
4
(φ− θ) +Mgℓφ = 0
mℓ2θ¨ + κ
ℓ2
4
(θ − φ) +mgℓθ = 0
e determinar a sua representac¸a˜o de estado a partir das
varia´veis x1 = φ, x2 = φ˙, x3 = θ e x4 = θ˙ :
x˙ =


0 1 0 0
−κ/4M − g/ℓ 0 κ/4M 0
0 0 0 1
κ/4m 0 −κ/4m − g/ℓ 0


︸ ︷︷ ︸
A
x
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Mecaˆnica rotacional
Exemplos
Na figura abaixo vemos uma simulac¸a˜o dos dois peˆndulos
acoplados com ℓ = 10 [m], M = 10 [Kg], m = 3 [Kg],
κ = 15 [N/m] e g = 9.8 [m/s2]. Os peˆndulos partem do
repouso nas posic¸o˜es −φ(0) = θ(0) = 30o . Para comparac¸a˜o,
note nos mesmos gra´ficos os peˆndulos oscilando sem
acoplamento (κ = 0).
−50
0
50
0 5 10 15 20 25 30
−100
−50
0
50
100
t [s]
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Mecaˆnica rotacional
Exemplos
A figura abaixo mostra uma haste r´ıgida com duas massas nas
suas extremidades. O peˆndulo esta´ imerso em um meio que
produz em cada massa uma forc¸a de atrito viscoso com
coeficiente de atrito b.
θ
mg
Mg
p
q
O
i
j
Deseja-se determinar o modelo matema´tico que descreve o
deslocamento angular do peˆndulo.
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Mecaˆnica rotacional
Exemplos
Para usar a equac¸a˜o de equil´ıbrio de momentos e´ preciso
calcular o torque produzido pela forc¸a de atrito. Para a massa
M a sua posic¸a˜o e´ dada por rM = psen(θ)i − pcos(θ)j . Como
forc¸a de atrito e´ dada por br˙M , o torque por ela produzido em
O sera´ :
τM = rM × br˙M
= bp2θ˙k
A posic¸a˜oda massa m e´ rm = −qsen(θ)i + qcos(θ)j e, por
conseguinte, τm = bq
2θ˙k. O torque total produzido pela forc¸a
de atrito em ambas as massas, que e´ dissipativo, tem
intensidade
τatr = b(p
2 + q2)θ˙
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Mecaˆnica rotacional
Exemplos
Aplicando a equac¸a˜o de equil´ıbrio de momentos chega-se a
(Mp2 +mq2)θ¨ + b(p2 + q2)θ˙ + (Mp −mq)gsen(θ) = 0
A figura abaixo mostra duas simulac¸o˜es a partir de condic¸o˜es
iniciais θ(0) = 0 e θ˙(0) > θ˙(0).
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
−2
0
2
4
6
8
10
t [s]
Observe o fenoˆmeno na˜o linear : Na segunda situac¸a˜o o
peˆndulo da´ uma volta completa antes de parar!!!
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Eletricidade
Eletricidade
O modelamento de circuitos ele´tricos planares aqui proposto
baseia-se na determinac¸a˜o de uma base para o espac¸o nulo :
Espac¸o nulo : Seja A ∈ Rn×m com m > n. Determina-se uma
matriz T ∈ Rm×r tal que AT = 0 e T ′T = I . A dimensa˜o
r ≥ m − n faz com que todas as soluc¸o˜es de Ax = 0 com
x ∈ Rm sejam expressas na forma
x = T ξ , ξ ∈ Rr
Considere os seguintes exemplos ilustrativos :
A =
[
1 2 1
1 2 1
]
=⇒ T =

 0.9129 0−0.3651 −0.4472
−0.1826 0.8944


A =
[
1 2 1
1 1 1
]
=⇒ T =

 −0.7071−0.0000
0.7071


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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Eletricidade
Eletricidade
E a determinac¸a˜o da decomposic¸a˜o de uma matriz em valores
singulares :
Valores singulares : Seja A ∈ Rn×n. Esta matriz pode ser
escrita na forma A = RZS ′ onde R , S ∈ Rn×n sa˜o matrizes
unita´rias (RR ′ = I , SS ′ = I ) e Z = diag(σ1, . . . , σn) com
σi ≥ σi+1 ≥ 0 para todo i = 1, . . . , n − 1. Se σi = 0 para
i = r + 1 . . . , n temos :
Z =
[
Z
1/2
+ 0
0 I
] [
Ir×r 0
0 0
]
︸ ︷︷ ︸
Σ
[
Z
1/2
+ 0
0 I
]
com Z+ = diag(σ1, . . . , σr ). Portanto podemos fatorar
A = VΣU
onde V e U sa˜o matrizes na˜o singulares.
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Eletricidade
Eletricidade
Os seguintes exemplos ilustram a decomposic¸a˜o em valores
singulares :
Exemplo 1 : A matriz A =
[
1 2
1 2
]
e´ fatorada na forma
A =
[ −1.2574 −0.7071
−1.2574 0.7071
]
︸ ︷︷ ︸
V
[
1 0
0 0
]
︸ ︷︷ ︸
Σ
[ −0.7953 −1.5905
−0.8944 0.4472
]
︸ ︷︷ ︸
U
Exemplo 2 : A matriz A =
[
1 2
2 2
]
e´ fatorada na forma
A =
[ −1.1614 −0.5907
−1.4875 0.4612
]
︸ ︷︷ ︸
V
[
1 0
0 1
]
︸ ︷︷ ︸
Σ
[ −1.1614 −1.4875
0.5907 −0.4612
]
︸ ︷︷ ︸
U
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Eletricidade
Eletricidade
Considere um conjunto de b bipolos, cada um deles definido
por uma relac¸a˜o entre corrente ik(t) e tensa˜o vk(t) para todo
k = 1, · · · , b e uma fonte externa g(t). Definindo os vetores
de corrente e tensa˜o
i(t) :=


i1(t)
...
ib(t)

 , v(t) :=


v1(t)
...
vb(t)


e considerando a convenc¸a˜o gerador para as fontes e receptor
para os elementos passivos tais como resistores, indutores e
capacitores, as equac¸o˜es dos b bipolos se escrevem na forma
C
dv
dt
(t)− Gv(t) + Ldi
dt
(t)− Ri(t) = Fg(t)
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Eletricidade
Eletricidade
Onde e´ importante notar que :
As matrizes C , G , L e R teˆm dimenso˜es b × b e geralmente
sa˜o diagonais.
O vetor F tem dimensa˜o b × 1.
Um circuito planar espec´ıfico com n no´s, constru´ıdo com os b
bipolos ja´ modelados, e´ definido atrave´s das equac¸o˜es
Ni(t) = 0 , Mv(t) = 0
onde :
N ∈ R(n−1)×b e´ denominada matriz de incideˆncia e expressa a
lei das correntes em n − 1 no´s.
M ∈ Rb−(n−1)×b e´ denominada matriz de malha e expressa a
lei das malhas em b − (n − 1) malhas.
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Eletricidade
Eletricidade
O objetivo e´ determinar as tenso˜es e correntes em todos os
bipolos para todo t ≥ 0 a partir de condic¸o˜es iniciais dadas.
Sabemos calcular, atrave´s da determinac¸a˜o do espac¸o nulo,
todas as soluc¸o˜es do sistema com b equac¸o˜es e 2b inco´gnitas :
[
N 0
0 M
] [
i(t)
v(t)
]
=
[
0
0
]
na forma [
i(t)
v(t)
]
= T ξ(t) =
[
Ti
Tv
]
ξ(t)
onde T ∈ R2b×b, Ti ∈ Rb×b, Tv ∈ Rb×b e ξ ∈ Rb
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Eletricidade
Eletricidade
Com a equac¸a˜o diferencial anterior obtemos
(CTv + LTi )ξ˙(t) = (GTv + RTi)ξ(t) + Fg(t)
A dificuldade e´ que a matriz CTv + LTi geralmente na˜o
admite inversa. Basta existir um resistor no circuito e isto
acontece ! Aplicando a decomposic¸a˜o em valores singulares
estabelecemos CTv + LTi = VΣU com V e U na˜o singulares e
Σ =
[
I 0
0 0
]
Observe que a dimensa˜o da matriz indentidade e´ determinada
pela pro´pria decomposic¸a˜o em valores singulares.
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Eletricidade
Eletricidade
Multiplicando a equac¸a˜o diferencial anterior a` esquerda por
V−1 e definindo x(t) := Uξ(t) temos
Σx˙(t) = Φx(t) + Γg(t)
onde
Φ := V−1(GTv + RTi)U
−1 , Γ := V−1F
que pode ser escrita na forma particionada[
x˙1(t)
0
]
=
[
Φ11 Φ12
Φ21 Φ22
] [
x1(t)
x2(t)
]
+
[
Γ1
Γ2
]
g(t)
Fica claro que a segunda equac¸a˜o acima na˜o e´ diferencial mas
sim alge´brica (de fato, linear) e pode ser resolvida desde que
Φ22 seja na˜o singular !
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Eletricidade
Eletricidade
Φ22 e´ uma matriz na˜o singular. Verifica-se que esta hipo´tese
na˜o e´ satisfeita apenas em casos considerados patolo´gicos.
Com
x2(t) = −Φ−122 Φ21x1(t)− Φ−122 Γ2g(t)
a equac¸a˜o do circuito assume a forma final
x˙1(t) = A1x1(t) + B1g(t)
onde
A1 := Φ11 − Φ12Φ−122 Φ21 , B1 = Γ1 − Φ12Φ−122 Γ2
Mais uma vez e´ imperativo observar que as dimenso˜es das
matrizes A1 e B1 sa˜o determinadas pela decomposic¸a˜o em
valores singulares.
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Eletricidade
Eletricidade
Com x1(t) e g(t) podemos determinar as correntes e tenso˜es
em todos os bipolos :
[
i(t)
v(t)
]
= T
ξ(t)︷ ︸︸ ︷
U−1x(t)
= C1x1(t) + D1g(t)
onde
C1 := TU
−1
[
I
−Φ−122 Φ21
]
, D1 := TU
−1
[
0
−Φ−122 Γ2
]
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Eletricidade
Eletricidade
Para completar o modelo, e´ preciso impor as condic¸o˜es
iniciais. Em t = 0 as correntes nos indutores e as tenso˜es nos
capacitores sa˜o conhecidas. Ou seja, o vetor c0 e a matriz E
que seleciona as correntes e tenso˜es sa˜o conhecidos e
satisfazem
c0 = E
[
i(0)
v(0)
]
Portanto
x1(0) = (EC1)
−1c0
Note que a validade das condic¸o˜es iniciais que se deseja impor
requer que a matriz EC1 seja quadrada e na˜o singular. O
modelo obtido tem representac¸a˜o de estado (A1,B1,C1,D1) e
condic¸a˜o inicial x1(0).
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Eletricidade
Exemplo
A figura abaixo mostra uma fonte controlada alimentando
uma carga indutiva RL. Deseja-se determinar o modelo para a
tensa˜o y(t) = v9(t) no resistor R9, em func¸a˜o da tensa˜o de
entrada v1(t) = g(t).
g 2 3
4
5
6
7
8
y
+
−
Sa˜o indicados os nu´meros dos bipolos. O bipolo 4 e´ uma
fonte de tensa˜o v4 = µ(v2 − v3). Note os pontos + e −.
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Eletricidade
Exemplo
Em um sistema de unidades coerentes os seguintes valores
foram adotados R2 = 1, R3 = 2, R5 = 1, C6 = 1, R7 = 1,
L8 = 1, R9 = 1 e µ = 1.5. Com o procedimento discutido
anteriormente obtemos
A1 =
[ −0.3333 0.6305
0.3525 −1.6667
]
, B1 =
[ −1.8057−0.0000
]
C1 =
[
0.0000 −0.7856 ] , D1 = [ 0.0000 ]
que corresponde a` func¸a˜o de transfereˆncia
H(s) =
0.5
s2 + 2s + 0.3333
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Eletricidade
Exemplo
A figura abaixo mostra duas simulac¸o˜es em linhas tracejadas
para as entradas g(t) = 0.9 e g(t) = 0.5 para todo t ≥ 0,
respectivamente. As simulac¸o˜es em linhas cont´ınuas
correspondem a entradas chaveadas entre os n´ıveis
0 ≤ g(t) ≤ 1 com fator de ocupac¸a˜o de 90% e 50% e per´ıodo
de 2 e 5 segundos, respectivamente.
0 5 10 15 20 25 30 35
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
t [s]
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Eletromagnetismo
Eletromagnetismo
A seguir ilustramos interac¸o˜es eletromagne´ticas. Em ambos os
casos um fio condutor de comprimento ℓ esta´ imerso em um
campo magne´tico, sendo B o vetor induc¸a˜o magne´tica.
Fm
(a) (b)
ℓ
BB
v
+
−
i
Importante : Uma part´ıcula com carga ele´trica q e
velocidade v , imersa em um campo magne´tico, sofre a ac¸a˜o
de uma forc¸a dada por F = qv × B .
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Eletromagnetismo
Eletromagnetismo
Ac¸a˜o motora (a) : Ao ser percorrido por uma corrente
ele´trica de intensidade i o fio condutor sofre a ac¸a˜o de uma
forc¸a Fm. Devido a corrente, a velocidade das cargas em
movimento e´ definida pelo fio que e´ ortogonal a B .
Lembrando que idℓ = vdq enta˜o
dFm = vdq × B = idℓ× B
Portanto, integrando entre 0 e ℓ obtemos a intensidade da
forc¸a como sendo
Fm = ℓB︸︷︷︸
K
i
Mantendo a ortogonalidade entre o condutor e o campo
magne´tico, a forc¸a e´ ma´xima e e´ proporcional a` corrente. Sob
sua ac¸a˜o, o condutor se move !
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Eletromagnetismo
Eletromagnetismo
Ac¸a˜o geradora (b) : Ao movimentar o fio condutor em
aberto, com velocidade v ortogonal ao campo magne´tico, as
cargas no seu interior sofrem a ac¸a˜o da forc¸a Fm = qv × B .
Um campo ele´trico E se desenvolve de tal forma que a forc¸a
eletrosta´tica Fe = qE se iguale a Fm. Isto e´ necessa´rio para
que as cargas atinjam uma situac¸a˜o de repouso e assim
E = v × B . Como em um comprimento dℓ temos a diferenc¸a
de potencial de = vBdℓ, integrando entre 0 e ℓ obtemos
e = ℓB︸︷︷︸
K
v
Mantendo a ortogonalidade entre o condutor e o campo
magne´tico, a diferenc¸a de potencial entre os seus terminais e´
ma´xima e e´ proporcional a` velocidade.
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Eletromagnetismo
Motor de corrente cont´ınua
Um motor de corrente cont´ınua e´ esquematizado abaixo. O
estator e´ fixo e produz um campo magne´tico radial. O rotor e´
mo´vel e e´ constitu´ıdo por N espiras em se´rie com largura d e
comprimento ℓ. O comutador mante´m os sentidos das
correntes de forma apropriada a gerar um torque l´ıquido a ser
aplicado na carga com momento de ine´rcia Jc e coeficiente de
atrito viscoso torcional b.
Fm
Fm
B
V
R
L
J, b
θ
i
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Eletromagnetismo
Motor de corrente cont´ınua
Torque : A forc¸a produzida em cada metade da espira e´
Fm = ℓBi e, portanto, o torque total sera´
Ttot = N
(
Fm
d
2
+ Fm
d
2
)
= NℓdB︸ ︷︷ ︸
K
i
Tensa˜o : Em contra-partida, sendo θ˙ a velocidade angular do
rotor, a velocidade linear e´ v = (d/2)θ˙ com o mesmo sentido
e direc¸a˜o de Fm, fazendo com que a tensa˜o produzida em cada
metade da espira seja e = ℓBv e, portanto, a tensa˜o total sera´
etot = N (ℓBv + ℓBv) = NℓdB︸ ︷︷ ︸
K
θ˙
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Eletromagnetismo
Motor de corrente cont´ınua
O modelo final do motor de corrente cont´ınua com campo
constante (B) fica na forma :
Parte ele´trica : As espiras do estator podem ser modeladas
como uma resisteˆncia R em se´rie com uma indutaˆncia L,
alimentadas pela fonte de tensa˜o V (t), ou seja
L
d
dt
i(t) + Ri(t) = V (t)−K d
dt
θ(t)
Observe a tensa˜o etot produzida pelo movimento do rotor, em
oposic¸a˜o a` tensa˜o da fonte.
Parte mecaˆnica : Sendo J = Jc + Jr o momento de ine´rcia da
carga e do rotor em relac¸a˜o ao eixo de rotac¸a˜o temos
J
d2
dt2
θ(t) + b
d
dt
θ(t) = Ki(t)
Observe o torque Ttot gerado para deslocar a carga e o rotor.
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Eletromagnetismo
Exemplo
O diagrama de blocos mostra o controle da velocidade angular
ν(t), em regime permanente, de um motor de corrente
cont´ınua com a fonte de tensa˜o estudada anteriormente (Σ).
Para o motor e a carga foram adotados, em um sistema
coerente de unidades, os seguintes valores nume´ricos J = 10,
b = 2, L = 3, R = 1 e k = 10.
Σgˆ
Vˆ
R
L
J, b
ν
iˆ
+
−
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Eletromagnetismo
Exemplo
Circuito Σ : Como se trata de um circuito linear, aplicando
Laplace vem
gˆ(s) = Hgi (s)Iˆ (s) + Hgv (s)Vˆ (s)
O procedimento ja´ introduzido para a modelagem de circuitos
ele´tricos se aplica :
Com Iˆ (s) = 0 obtemos
Vˆ (s) =
0.50
s + 0.3333︸ ︷︷ ︸
Hgv (s)−1
gˆ(s)
Com Vˆ (s) = 0 obtemos
Iˆ (s) =
0.75
s︸︷︷︸
Hgi (s)−1
gˆ(s)
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Eletromagnetismo
Exemplo
Motor : Lembrando que ν(t) = θ˙(t), com Laplace calculamos
[
Iˆ (s)
Vˆ (s)
]
=
[
s + 0.2
3.0s2 + 1.6s + 10.2
]
νˆ(s)
Com as relac¸o˜es anteriores determinamos a func¸a˜o de
transfereˆncia desejada
νˆ(s) =
9.549
6s3 + 6.533s2 + 21.73s + 6.8︸ ︷︷ ︸
Hν(s)
gˆ(s)
sendo Hν(s) expressa em [rpm/volt].
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Eletromagnetismo
Exemplo
Como Hν(s) e´ uma func¸a˜o de transfereˆncia esta´vel, adotado
g(t) como um degrau de amplitude Va [volts], em regime
permanente teremos
νperm(t) ≈ Hν(0)Va = 1.40Va
A figura a seguir mostra em linhas tracejadas a velocidade do
motor ν(t) [rpm] para Va = 50, Va = 75 e Va = 95 volts.
A mesma figura mostra em linhas cont´ınuas a velocidade do
motor para a entrada chaveada (em volts)
g(t) =
{
100 kT ≤ t ≤ (k + foc)T
0 (k + foc)T < t < (k + 1)T
onde k ∈ N, T = 2 [s] e´ o per´ıodo de chaveamento e
foc ∈ [0, 1] e´ o fator de ocupac¸a˜o. Consideramos foc = 50%,
foc = 75% e foc = 95%.
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Eletromagnetismo
Exemplo
E´ importante salientar que com uma fonte de tensa˜o chaveada
podemos estudar a evoluc¸a˜o da velocidade do motor atrave´s
de um modelo a tempo discreto. De fato, como g(t) e´
constante por partes para todo t ≥ 0, com a representac¸a˜o de
estado de Hν(s) definida pelas matrizes (A,B ,C ,D)
determinamos
x((k + 1)T ) = Fx(kT ) + Jg(kT )
ν(kT ) = Cx(kT ) +Dg(kT )
va´lida para todo k ∈ N, onde
F = eAT , J =
∫ T
(1−foc )T
eAτBdτ
podem ser calculadas com o procedimento baseado em
exponenciais de matrizes aumentadas.
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Eletromagnetismo
Exemplo
Finalmente, aplicando a transformada Z obtemos a func¸a˜o de
transfereˆncia pulsada
νˆ(z) =
(
C (zI − F )−1J + D)︸ ︷︷ ︸
Hν(z)
gˆ(z)
Com os dados nume´ricos do motor determinamos a func¸a˜o de
transfereˆncia pulsada Hν(z) = Nν(z)/Dν(z) onde
Dν(z) = z
3 + 0.3377z2 − 0.2107z − 0.1133
depende de T mas na˜o depende de foc e
foc = 50% =⇒ Nν(z) = 0.5113z2 + 0.2097z + 0.0334
foc = 75% =⇒ Nν(z) = 0.6568z2 + 0.3405z + 0.1043
foc = 95% =⇒ Nν(z) = 0.6844z2 + 0.4875z + 0.1853
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Cap´ıtulo III - Fundamentos de Processos Dinaˆmicos
Eletromagnetismo
Exemplo
Na figura abaixo os pontos • correspondem a` resposta de
Hν(z) para aentrada g(kT ) = 100 [volts] que sa˜o as
amostras da tensa˜o de entrada da fonte g(t) em t = kT para
todo k ∈ N. Note a perfeita concordaˆncia, mesmo durante o
transito´rio, entre os modelos a tempo cont´ınuo e a tempo
discreto !
0 5 10 15 20 25
0
50
100
150
t, kT [s]
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	Capítulo III - Fundamentos de Processos Dinâmicos
	Modelagem de processos dinâmicos
	Mecânica translacional
	Mecânica rotacional
	Eletricidade
	Eletromagnetismo