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Painel ► Agrupamentos de Turmas ► 20162 ► ARA7107-03655/05653 (20162) ► Probabilidade ► Variáveis Aleatórias Contínuas - 5 Questão 1 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Questão 2 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Iniciado em segunda, 17 Out 2016, 17:09 Estado Finalizada Concluída em segunda, 17 Out 2016, 17:46 Tempo empregado 36 minutos 40 segundos Notas 46,00/46,00 Avaliar 10,00 de um máximo de 10,00(100%) A direção de uma imperfeição em relação a uma linha de referência em um objeto circular como um pneu, um rotor de freio ou um volante normalmente apresenta alguma incerteza. Considere a linha de referência que conecta a válvula do pneu até o ponto central e seja o ângulo medido no sentido horário até o local da imperfeição. Uma distribuição de probabilidade (ou função de densidade de probabilidade) possível de é Baseando-se nestas informações, calcule as probabilidades pedidas. Qual a probabilidade de o ângulo de ocorrência estar a da linha de referência, ou seja, ? Resposta: 0 Qual a probabilidade de o ângulo de ocorrência estar entre e da linha de referência, ou seja, ? Resposta: 0,25 Observe que para esta pergunta, ângulos positivos e negativos podem estar no intervalo de interesse � � " 4 � � � ��� � � Þ 4 � ��� DBTP�DPOUSáSJP� �� + � � � � �� + Verificar �� + ��� + � � � � �� + ��� + Verificar Questão 3 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Questão 4 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Qual a probabilidade ? Resposta: 0,25 Observe que para esta pergunta, ângulos positivos e negativos podem estar no intervalo de interesse Qual a probabilidade de o ângulo de ocorrência estar dentro de da linha de referência? Resposta: 0,5 Observe que para esta pergunta, ângulos positivos e negativos podem estar no intervalo de interesse � Þ � Þ �� + ��� + Verificar �� + Verificar Questão 5 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 "Tempo de avanço" no ᝬuxo do tráfego é o tempo entre o instante em que um carro termina de passar por um ponto ᝬxo e o instante em que o próximo carro começa a passar por esse ponto. Seja X o tempo de avanço para dois carros consecutivos escolhidos ao acaso, em uma estrada durante um período de tráfego intenso. A seguinte função densidade de probabilidade de X é essencialmente a sugerida em "The Statistical Properties of Freeway Traᝬc" (Transportation Research, vol. 11, p. 221-228): O gráᝬco de é mostrado na ᝬgura. Não há densidade associada aos tempos de avanço inferiores a 0,5 e a densidade do avanço decresce exponencialmente à medida que aumenta. Determine a probabilidade do tempo de avanço ser no máximo 5 segundos. Resposta: 0,491 " 4 � � � ��! Ã� �� 4Ã� � � 4 ß � � DBTP�DPOUSáSJP " 4 4 Verificar Questão 6 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Questão 7 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 "Tempo de avanço" no ᝬuxo do tráfego é o tempo entre o instante em que um carro termina de passar por um ponto ᝬxo e o instante em que o próximo carro começa a passar por esse ponto. Seja X o tempo de avanço para dois carros consecutivos escolhidos ao acaso, em uma estrada durante um período de tráfego intenso. A seguinte função densidade de probabilidade de X é essencialmente a sugerida em "The Statistical Properties of Freeway Traᝬc" (Transportation Research, vol. 11, p. 221-228): O gráᝬco de é mostrado na ᝬgura. Não há densidade associada aos tempos de avanço inferiores a 0,5 e a densidade do avanço decresce exponencialmente à medida que aumenta. Determine a probabilidade do tempo de avanço ser no máximo 5 segundos. Resposta: 0,491 Determine o valor de Resposta: 1 " 4 � � � ��! Ã� �� 4Ã� � � 4 ß � � DBTP�DPOUSáSJP " 4 4 Verificar " 4 4� Ì ÃÌ Verificar Questão 8 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Questão 9 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Questão 10 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Determine o tempo de avanço médio (ou esperado). Resposta: 7,166 Determine o desvio padrão do tempo de avanço. Resposta: 6,667 A Distribuição Normal, conhecida também como Distribuição de Gauss ou Gaussiana, é a mais importante de todas em probabilidade e estatística. Muitas populações numéricas possuem distribuições que podem ser ajustadas aproximadamente por uma curva normal apropriada. Os exemplos incluem alturas, pesos e outras características físicas, erros de medida em experimentos cientíᝬcos, medidas antropométricas em fósseis, tempos de reação em experimentos psicológicos, medidas de inteligência e aptidão, pontuações em testes variados e numerosas medidas e indicadores econômicos. Mesmo quando a distribuição em questão é discreta, a curva normal frequentemente fornece aproximação excelente. Além disso, ainda que as próprias variáveis individuais não sejam normalmente distribuídas, as somas e as médias das variáveis terão uma distribuição aproximadamente normal sob condições adequadas. Uma variável aleatória contínua possui uma distribuição normal com parâmetros e , onde e possui função densidade de probabilidade Determine o valor de Resposta: 1 Verificar Verificar � N U ÃÌ � N � Ì U � � " 4�N U � ÃÌ � 4 � Ì � U�R ÃÃ Ê ! à 4ÃN � �U � " 4�N U 4� Ì ÃÌ Verificar Questão 11 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Questão 12 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Questão 13 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Utilize as deᝬnições e técnicas de integração para demonstrar que μ corresponde ao valor esperado , enquanto σ corresponde ao desvio padrão da variável aleatória X. É possível demonstrar também que o valor de σ é a distância de μ até os pontos de inᝬexão da curva f(x; μ, σ). Sua resposta está correta. A integral \[\int^b_a f(x; \mu, \sigma)\,dx\] pode ser utilizada para calcular Escolha uma ou mais: a. \(P(a\le X\le b)\) b. \(P(X\le b)\) c. \(1-P(X>b)\) d. \(P(X<b)\) e. \(P(a<X<b)\) f. \(P(X<b)-P(X<a)\) g. \(P(b\le X\le a)\) Sua resposta está correta. A distribuição \[f(x)=\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{(x-3)^2}{8}}\] possui valor esperado igual a Resposta: 3 Verificar Verificar Verificar Questão 14 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Questão 15 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 A distribuição \[f(x)=\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{(x-3)^2}{8}}\] possui variância igual a Resposta: 4 A distribuição de probabilidade \[f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{z^2}{2}}\] é uma distribuição normal. Seu valor esperado é igual a 0 , enquanto seu desvio padrão é igual a 1 . Seu gráᝬco é representado pela curva verde . Sua resposta está correta. Esta é a distribuição normal padrão e \(Z\) é a variável aleatória normal padrão. Verificar Verificar Questão 16 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Questão 17 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Questão 18 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 O comprimento do pé de um homem é, em geral, um pouco maior do que de uma mulher. O comprimento médio do pé dos homens é 28 cm, com desvio padrão de 3,8, enquanto para as mulheres a média é 24 com desvio padrão de 3 cm. Assumimos que estas distribuições de probabilidade tenham um comportamento normal (gaussiano). O comprimento do pé de Marcelinho é de 23 cm, enquanto o pé de Rosinha tem comprimento igual a 21. Quantos desvios padrão o pé de Rosinha é menor que a média? Resposta: 1 Quantos desvios padrão o pé de Marcelinho é menor que a média? Resposta: 1,3 Para comparar medidas de dois grupos diferentes, cada um com sua média e desvio padrão, é útil padronizar estas medidas, como ᝬzemos no caso dos comprimentos dos pés deMarcelinho e Rosinha. A variável aleatória normal padrão \(Z\) pode ser usada para alcançar este objetivo. A padronização é feita com base em qual das relações? Escolha uma: a. \[z=\frac{x-\mu}{\sigma}\] b. \[z=(x-\mu)\sigma\] c. \[z=\frac{x-\sigma}{\mu}\] Sua resposta está correta. Verificar Verificar Verificar Questão 19 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Questão 20 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Questão 21 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Questão 22 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 O cálculo de probabilidades utilizando a função densidade de probabilidade normal não pode ser feito utilizando técnicas de integração como substituição de variáveis ou integração por partes (a não ser a probailidade total, entre \((-\infty,\infty)\)). Desta forma, podem ser utilizadas ferramentas computacionais, ou até mesmo tabelas com os resultados. Utilize o gráᝬco interativo desenvolvido especialmente para que vocês possam estimar as probabilidades pedidas nos próximos itens. Recomendo também que desenvolvam suas próprias ferramentas. Calcule a probabilidade de \(z\) ser pelo menos um desvio padrão inferior à média, ou seja, \(P(z<-1)). Resposta: 0,1586 Retomando o problema dos comprimentos dos pés, calcule a probabilidade de que o comprimento de uma mulher selecionada aleatoriamente seja pelo menos um desvio padrão inferior à média, ou seja, \(P(x<\mu-\sigma)=P(x<21)\). Lembre de ajustar os valores da média e desvio padrão: \(\mu=24\) e \(\sigma=3\). Resposta: 0,1586 As probabilidades calculadas nos dois exercícios anteriores são diferentes. Escolha uma opção: Verdadeiro Falso As probabilidades são iguais, a variável aleatória normal padrão \(z\) pode ser usada para cálculo de probabilidades para qualquer distribuição normal. Qual a probabilidade de um homem selecionado aleatoriamente ter pé com comprimento entre 25 e 30 centímetros? Resposta: 0,4857 Verificar Verificar Verificar Verificar Questão 23 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Questão 24 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Questão 25 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Para o cálculo aproximado da probabilidade pedida no exercício anterior, quais das alternativas representam um método correto. Escolha uma ou mais: a. \[\int^{-0.53}_{0.79}f(z)\,dz\] b. \[\int^{-0.79}_{0.53}f(x; 0, 1)\,dx\] c. \[\int^{30}_{15}f(x; 0, 1)\,dx\] d. \[\int^{-0.79}_{0.53} f(z)\,dz\] e. \[\int^{30}_{15}f(x; 28, 3.8)\,dx\] Sua resposta está correta. O Sr. Schumacher, fabricante de calçados, decide fabricar peças que caibam em 90% da população. Para isso, resolve não atender tanto os 5% de clientes com pés mais compridos, quanto os 5% de clientes com pés mais curtos. O mesmo critério será aplicado para a população feminina e para a população masculina. Ajude o Sr. Shoemaker a deᝬnir quais os comprimentos máximos e mínimos de sapatos serão fabricados homens e mulheres. Quais destas probabilidades ajudariam a resolver o problema? Escolha uma ou mais: a. \[P(-a<x<a)=0.90\] b. \[P(\mu-a<x<\mu+a)=0.90\] c. \[P(-a<z<a)=0.90\] Sua resposta está correta. Utilizando a distribuição normal padrão, encontre o valor aproximado de \(a\). Resposta: 1,645 Verificar Verificar Verificar Questão 26 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Questão 27 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Questão 28 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Questão 29 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Questão 30 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Os calçados femininos serão fabricados para que sirvam pés cujos comprimentos estejam entre 19 e 28.9 centímetros. Para os masculinos, os comprimentos contemplados estão entre 21.75 e 34.25 centímetros. Sua resposta está correta. Utilize a tabela de probabilidades da distribuição normal cara calcular as probabilidades pedidas. Se desejar, compare os valores encontrados com aqueles calculados utilizando o gráᝬco. \[P(Z\le 1,25)\] Resposta: 0,8944 \[P(Z>1,25)\] Resposta: 0,1056 \[P(Z<-1,25)\] Resposta: 0,1056 \[P(-0.38<Z\le 1,25)\] Resposta: 0,5424 Verificar Verificar Verificar Verificar Verificar Questão 31 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Questão 32 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Questão 33 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Questão 34 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 A probabilidade é 0.01 que uma variável aleatória padronizada seja menor que qual valor? Resposta: 2,33 \(P(Z<z)=0.01\), qual é o valor de \(z\)? A probabilidade é 0.15 que uma variável aleatória padronizada seja maior que qual valor? Resposta: 1,04 \(P(Z>z)=0.15\), qual é o valor de \(z\)? A probabilidade é 0.95 que uma variável aleatória padronizada esteja em um intervalo de quantos desvios padrão da sua média? Resposta: 2 \(P(\abs{Z}<z)=0.95\), qual é o valor de \(z\)? A duração, em dias, de uma gestação humana selecionada aleatoriamente é uma variável aleatória normal com \(\mu=266\) e \(\sigma=16\). Qual a probabilidade de uma gestação durar menos que 246 dias? Resposta: 0,1056 \(P(X<246)=P(Z<-1.25)\) Verificar Verificar Verificar Verificar Questão 35 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Questão 36 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Questão 37 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Questão 38 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Qual a probabilidade de uma gestação durar mais do que 240 dias? Resposta: 0,9484 \(P(X>240)=P(Z>-1.63)\) Qual a probabilidade de uma gestação durar mais do que 400 dias? Resposta: 0 \(P(X>400)=P(Z>8.375)\) que é um valor que não está na tabela, mas é muito próximo de zero. Suponha que o marido de uma mulher grávida tenha planejado suas viagens de trabalho de maneira que esteja com ela entre o 235 e o 295 dias de gestação. Qual a probabilidade que o nascimento ocorra neste período? Resposta: 0,9387 \(P(235<X<295)=P(-1.94<Z<1.81)=P(Z<1.81)-P(Z<-1.94)\) Um estudo relata que o gasto semanal com almoço de um trabalhador em São Bento do Sul é uma variável aleatória normal com média de $35 e desvio padrão de $5. 97% é a probabilidade que um trabalhador São Bentense gaste menos que quanto em uma semana? (Expresse sua resposta apenas com números, sem o símbolo $) Resposta: 44,4 Verificar Verificar o o Verificar Verificar Questão 39 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Questão 40 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Questão 41 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Há 30% de chance que o gasto semanal seja maior do que quanto? (Expresse sua resposta apenas com números, sem o símbolo $) Resposta: 37,6 Utilize a ferramenta de computação gráᝬca e a tabela de probabilidade da distribuição normal padrão para calcular: \[P(\mu-\sigma<x<\mu+\sigma)\] Resposta: 0,6827 \[P(\mu-2\sigma<x<\mu+2\sigma)\] Resposta: 0,9545 Verificar Verificar Verificar Questão 42 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Questão 43 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Questão 44 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 \[P(\mu-3\sigma<x<\mu+3\sigma)\] Resposta: 0,9973 Utilizando os resultados dos exercícios anteriores, determine qual a probabilidade do comprimento do pé de uma mulher selecionada aleatoriamente estar entre 21 e 27 cm, lembrando que a média é 24 cm com 3 cm de desvio padrão. \[P(21<x<27)\] Resposta: 0,6827 Determine a probabilidade do comprimento do pé de uma mulher selecionada aleatoriamente estar entre 18 e 30 cm. \[P(18<x<30)\] Resposta: 0,9545 Verificar Verificar Verificar Questão 45 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Questão 46 Correto Atingiu 1,00 de 1,00 Determine a probabilidade do comprimento do pé de uma mulher selecionada aleatoriamente estar entre 18 e 30 cm. \[P(15<x<33)\] Resposta: 0,9973 Qual o maior comprimento entre as mulheres que estãona faixa das 16% com pés mais curtos. Resposta: 21 Verificar Verificar
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