complexos ita

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Números Complexos 
 
1. (ITA 2009) Se cos
5
π e b = sen
5
π , então, o número complexo 
54
5
πseni
5
πcos ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + é igual a 
(A) a + bi. 
(B) −a + bi. 
(C) (1− 2a2b2) + ab(1+ b2)i. 
(D) a − bi. 
(E) 1− 4a2b2 + 2ab(1− b2)i. 
 
2. (ITA 2008) Sejam α, β ∈ C tais que ||α| = |β| = 1 e |α – β| = 2 . Então α2 + β2 é igual a 
(A) –2 
(B) 0 
(C) 1 
(D) 2 
(E) 2i. 
 
3. (ITA 2004) Considere a função f : IR ? C, f(x) = 2 cos x + 2i sen x. Então ∀x, y ∈ IR, o valor do produto 
f(x)f(y) é igual a 
(A) f(x + y) 
(B) 2f(x + y) 
(C) 4i f(x + y) 
(D) f(xy) 
(E) 2f(x) + 2if(y). 
 
4. (ITA 2001) Se z = 1 + i 3 , z . w = 1 e α ∈ [0,2 π ] é um argumento de z . w, então α é igual a: 
(A)
3
π 
(B) π 
(C) 
3
2π 
(D) 
3
5π 
(E) 
2
3π . 
 
5. (ITA 2008) Determine as raízes em C de 4z6 + 256 = 0, na forma a + bi, com a, b ∈ IR, que pertençam a S = {z ∈ C; 1 < 
|z + 2⎟ < 3}. 
 
6. (ITA 2007) Assinale a opção que indica o módulo do número complexo ,
xgcoti1
1
+ x ≠ kπ, k ∈ Z. 
(A) |cos x| 
(B) (1 + sen x)/2 
(C) cos2 x 
(D) |cossec x| 
(E) |sen x|. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. (ITA 2006) Se para todo z ∈ C, |f(z)| = |z| e |f(z) – f(1)| = |z – 1|, então, para todo z∈C, f(1) f(z) + f(1) f(z) é igual 
a: 
(A) 1 
(B) 2z 
(C) 2 Rez 
(D) 2 Imz 
(E) 2 |z|2. 
 
8. (ITA 2006) Se α ∈ [ 0, 2 π ) é o argumento de um número complexo z ≠ 0 e n é um número natural tal que (z/|z|)n 
=isen(n α ), então, é verdade que: 
(A) 2n α é múltiplo de 2 π 
(B) 2n α – π é múltiplo de 2 π 
(C) n α – π /4 é múltiplo de π /2 
(D) 2n α – π é múltiplo não nulo de 2 
(E) n α – 2 π é múltiplo de π . 
 
9. (ITA 2001) O número complexo 
 z = αα
α−
cossen
cos1
 + i α
α+α−
2sen
sen2cos21
, α ∈ ]0, π /2[ tem argumento π /4. Neste caso, α é igual a: 
(A) 
6
π 
(B) 
3
π 
(C) 
4
π 
(D) 
5
π 
(E) 
9
π . 
 
10. (ITA 2000) Seja 0z o número complexo i1 + . Sendo S o conjunto solução no plano complexo de 
2zzzz 00 =+=− , então o produto dos elementos de S é igual a: 
(A) )i1(4 − 
(B) )i1(2 + 
(C) )1i(2 − 
(D) i2− 
(E) i2 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. (ITA 1999) Sejam ak e bk números reais com k = 1, 2, ..., 6. Os números complexos zk = ak + ibk são tais que 
| zk | = 2 e bk ≥ 0, para todo k = 1, 2, ..., 6. Se (a1, a2, ..., a6) é uma progressão aritmética de razão – 5
1 e soma 9, então z3 é 
igual a: 
(A) 2i 
(B) i
5
6
5
8 + 
(C) 3 + i 
(D)
5
73
5
33 +− i 
(E)
5
172
5
24 + i. 
 
12. (ITA 2009) Sejam x, y ∈ IR e w = x2 (1+ 3i) + y2 (4 − i) − x(2 + 6i) + y(−16 + 4i) ∈ C. Identifique e esboce o 
conjunto 
Ω = {(x, y) ∈ IR2 ; Rew ≤ −13 e Im w ≤ 4}. 
 
13. (ITA 2007) Considere a equação: 
43
i1
i1
i1
i1
ix1
ix116 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
−−−
+=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
− . 
Sendo x um número real, a soma dos quadrados das soluções dessa equação é: 
(A) 3. 
(B) 6. 
(C) 9. 
(D) 12. 
(E) 15. 
 
14. (ITA 2007) Determine o conjunto A formado por todos os números complexos z tais que 
3
i2z
z2
i2z
z =++− e 0 < ⏐z – 2i⏐ ≤ 1. 
 
15. (ITA 2005) Seja z ∈ C com | z | = 1. Então, a expressão 
wz
wz1
−
− assume valor 
(A) maior que 1, para todo w com |w| > 1. 
(B) menor que 1, para todo w com |w| < 1. 
(C) maior que 1, para todo w com w ≠ z. ⎯ 
(D) igual a 1,independente de w com w ≠ z. 
(E) crescente para | w | crescente, com |w| < |z|. 
 
16. (ITA 2004) A soma das raízes da equação z3 + z2 – |z|2 + 2z = 0, z ∈ C, é igual a 
(A) –2 
(B) –1 
(C) 0 
(D) 1 
(E) 2. 
17. (ITA 2004) Sendo z = 
2
i1+ , calcule 
6032
60
1n
n z...zzzz ++++=∑
=
. 
 
 
 
 
 
 
 
18. (ITA 2003) Seja z ∈ C. Das seguintes afirmações independentes: 
I. Se ω = 
z2z3zi2z31
iz5zi2
22
2
++++
−+
, então 
 ϖ =
z2z3zi2z31
iz5zi2
22
2
++−+
++− . 
II. Se z ≠ 0 e ω = 
z)i21(
3i3zi2
+
++
, então 
z5
23z2 +≤ϖ . 
III. Se ω= 
i434
z)i1( 2
+
+ , então 2 arg z + 
12
π é um argumento de ω. 
é (são) verdadeira(s): 
(A) todas 
(B) apenas I e II 
(C) apenas II e III. 
(D) apenas I e III. 
(E) apenas II. 
 
19. (ITA 2003) Das afirmações abaixo sobre a equação z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0 e suas soluções no plano 
complexo: 
 
I. A equação possui pelo menos um par de raízes reais. 
II. A equação possui duas raízes de módulo 1, uma raiz de módulo menor que 1 e uma raiz de módulo maior que 1. 
III. Se n ∈ IN* e r é uma raiz qualquer desta equação, então ∑
=
<
n
1h
k
2
1
3
r . 
 
é (são) verdadeira(s): 
(A) nenhuma 
(B) apenas I 
(C) apenas II 
(D) apenas III 
(E) apenas I e III. 
 
20. (ITA 2003) Determine o conjunto dos números complexos z para os quais o número 
 
w = 
31z1z
2zz
−++−
++ 
 
pertence ao conjunto dos números reais. Interprete (ou identifique) este conjunto geometricamente e faça um esboço 
do mesmo. 
 
 
21. (ITA 2002) Seja a equação em C Z4 – Z2 + 1 = 0. Qual dentre as alternativas abaixo é igual à soma de duas 
das raízes dessa equação? 
 
(A) 2 3 (B) –
2
3 (C) + 
2
3 (D) –i (E)
2
i . 
 
 
 
 
 
 
 
 
22. (ITA 2002) Sejam a e b dois números complexos não-nulos, tais que a2 + b2 = 0. Se Z, W ∈ C satisfazem a 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−
=+
b8WZWZ
a6WZWZ
 
determine o valor de a de forma que WZ = 1. 
 
22. (ITA 2001) A parte imaginária de ((1+cos 2x)+ + i sen 2x)k, k inteiro positivo, x real, é 
(A) 2 . senkx . coskx 
(B) senkx . coskx 
(C) 2k . sen kx . coskx 
(D) 2k . senkx . coskx 
(E) sen kx . coskx. 
 
 
23. (ITA 1999) O conjunto de todos os números complexos z, z ≠ 0, que satisfazem à igualdade 
⏐z + 1 + i⏐= ⏐⎢z⎪ – ⎢1 + i⎪⏐ 
é 
(A) {z ∈C: arg z = 
4
5π + 2kπ, k ∈ Z} 
(B) {z ∈C: arg’ z = 
4
π + 2kπ, k ∈ Z} 
(C) {z ∈C: arg ⎮z⎮ = 1 e arg z = 
6
π + kπ, k ∈ Z} 
(D) {z ∈C: ⎮z⎮ = 2 e arg z = 
4
π + 2 kπ, k ∈ Z} 
(E) {z ∈C: arg z = 
4
π + kπ, k ∈ Z}. 
 
 
 
 
 
Gabarito 
 
1- B 
2- B 
3- B 
4- C 
5- 
6- E 
7- C 
8- B 
9- A 
10- E 
11- B 
12- 
13- B 
14- 
15- D 
16- A 
17- 
18- A 
19- D 
20- 
21- D 
22- 
23- C 
24- A