Sistema de primeira e segunda ordem

Prévia do material em texto

Ana´lise de resposta transito´ria para
sistemas de primeira e segunda ordem
Controle I
Paulo Roberto Brero de Campos
0.1 Introduc¸a˜o
Nesta apostila sera˜o estudadas as respostas transito´rias de sistemas de primeira e segunda
ordem, analisadas no domı´nio do tempo.
No estudo dos sistemas de controle, as equac¸o˜es diferenciais lineares de primeira ordem
e segunda ordem sa˜o muito importantes, porque os sistemas de ordem mais elevadas podem
ser aproximados para estes tipos de sistemas.
0.2 Sistemas de primeira ordem
Um sistema de primeira ordem possui a seguinte func¸a˜o de transfereˆncia:
C(s)
R(s)
= 1
Ts+1
Na forma de diagrama de blocos tem-se:
R(s) - 1
Ts+1
-C(s)
Figura 1: Diagrama em blocos
Uma maneira de se analisar uma func¸a˜o de transfereˆncia e´ aplicar um degrau unita´rio na
entrada e observar a resposta na sa´ıda. Sendo o degrau unita´rio R(s) = 1
s
, a resposta sera´
dada por:
C(s) = 1
Ts+1
R(s) = 1
Ts+1
1
s
Separando em frac¸o˜es parciais, obte´m-se:
C(s) = A
Ts+1
+ B
s
= −T
Ts+1
+ 1
s
= 1
s
− 1
s+ 1
T
Calculando a transformada inversa, obte´m-se:
c(t) = 1− e− tT para t ≥ 0
A resposta ao degrau possui a seguinte forma:
1
0 1 2 3 4 5
0
0.5
1
1.5
t
c(
t)
Substituindo t por valores mu´ltiplos da constante de tempo, tem-se:
para t = 0, c(t) = 0
para t = T , c(t) = 0, 632
para t = 2T , c(t) = 0, 865
para t = 3T , c(t) = 0, 950, que e´ a resposta dentro da faixa de 5% do valor final
para t = 4T , c(t) = 0, 982, que e´ a resposta dentro da faixa de 2% do valor final
para t = 5T , c(t) = 0, 993, que e´ a resposta dentro da faixa de 1% do valor final
0.3 Definic¸a˜o da constante de tempo
Ja´ foi visto que a resposta de um sistema de primeira ordem a uma entrada degrau e´
dada por:
c(t) = 1− e− tτ
O valor de t que torna o expoente de e igual a −1 e´ definido como uma Constante de
tempo.
Assim: −t
τ
= −1 enta˜o t = τ . Assim τ =constante de tempo.
A partir da func¸a˜o de transfereˆncia:
G(s) = 1
τs+1
=
1
τ
s+ 1
τ
Na func¸a˜o de transfereˆncia, observa-se que τ =constante de tempo e quando se isola o
termo em s, obtem-se 1
τ
=po´lo. Enta˜o o po´lo e´ o inverso da constante de tempo.
Exemplo: Considerando a func¸a˜o de transfereˆncia G(s) = 100
s+20
:
a) Calcule o valor do po´lo: o po´lo e´ o valor de s que faz a func¸a˜o tender ao infinito, enta˜o
po´lo=s=-20 rad/s.
b) Calcule a constante de tempo: pela definic¸a˜o, constante de tempo = τ = 1
20
= 0, 05s
2
c) Calcule o valor final da sa´ıda, aplicando o Teorema do Valor final:
f(∞) = lim
t→∞ f(t) = lims→0 sF (s) = lims→0 s
100
s+ 20
1
s
= 5
d) Calcule o valor final de sa´ıda, pela resposta no tempo: separando em frac¸o˜es parciais,
obte´m-se:
C(s) = 100
s+20
1
s
= A
s
+ B
s+20
= 5
s
− 5
s+20
Calculando a anti-transformada de Laplace:
c(t) = 5− 5e−20t
Para t =∞, obtem-se c(s) = 5.
e) Calcule o valor de c(t) para uma constante de tempo: a constante de tempo e´ obtida
como: −20t = −1 e t = τ = 0, 05. Substituindo este valor de t na equac¸a˜o do item anterior,
c(t) = 3, 16.
Exerc´ıcio: Considere a resposta de um sistema desconhecido. A partir da resposta no
tempo obtenha a func¸a˜o de transfereˆncia.
Figura 2: Exerc´ıcio
0.4 Sistemas de segunda ordem
A equac¸a˜o diferencial padronizada de um sistema de segunda ordem e´ dada por:
d2y(t)
dt2
+ 2ξωn
dy(t)
dt
+ ωn
2y(t) = ωn
2x(t)
A constante ξ e´ chamada Coeficiente de amortecimento (ou raza˜o de amortecimento)
A constante ωn e´ chamada frequeˆncia natural na˜o amortecida.
A transformada de Laplace com condic¸o˜es iniciais nulas e´ dada por:
Y (s)s2 + 2ξωnsY (s) + ωn
2Y (s) = ωn
2X(s)
A func¸a˜o de transfereˆncia e´ dada por:
G(s) = Y (s)
X(s)
= ωn
2
s2+2ξωns+ωn2
Os po´los da func¸a˜o sa˜o dados por:
s = −ξωn ± ωn
√
ξ2 − 1
O coeficiente de amortecimento (ξ) fornece indicac¸o˜es de como sera´ a resposta transito´ria
do sistema:
3
1. Se ξ > 1, o sistema possui dois po´los reais e distintos
2. Se 0 ≤ ξ < 1, o sistema possui po´los complexos conjugados, localizados em: s =
−ξωn ± jωn
√
1− ξ2 = −σ ± jωd
3. Se ξ = 1, o sistema possui duas ra´ızes reais iguais.
onde: σ = taxa de decaimento
ωd = frequeˆncia natural amortecida
Resumo:
a)0 ≤ ξ < 1 – sistema sub-amortecido (amortecimento sub-cr´ıtico)
b) ξ = 1 – amortecimento cr´ıtico
c) ξ > 1 – sistema super-amortecido (amortecimento super-cr´ıtico)
0 10 20 30 40 50
0
0.5
1
t
c(
t)
ξ < 1
ξ = 1
ξ > 1
Para ξ < 1 o lugar geome´trico dos po´los e´ mostrado na figura 3.
-
6
@
@
@I
.
.
.
+jωd
−jωd-
−σ
*
*
θ θ = cos−1ξ
. . ....
.. .
...
.
.
s = −σ + jωd
s = −σ − jωd
Figura 3: Plano s
0.5 Definic¸a˜o de constante de tempo para sistemas de
segunda ordem, com ξ < 1
Neste caso os po´los sa˜o complexos conjugados:
4
s = −ξωn ± jωn
√
1− ξ2 = −σ ± jωd
A func¸a˜o de transfereˆncia e´ dada por:
F (s) = ω
2
n
(s+σ+jωd)(s+σ−jωd)
No tempo, calculando a anti-transformada de Laplace, obte´m-se:
f(t) = A1e
(−σ−jωd)t + A2e(−σ+jωd)t = Ae−σtsen(ωdt+ φ)
O termo e−σt e´ denominado taxa de decaimento.
Pela definic¸a˜o de constante de tempo, vista na parte inicial da apostila: −σt = −1,
t = 1
σ
= τ , desta forma:
τ = 1
σ
= 1
ξωn
0 20 40 60 80 100 120
−0.5
0
0.5
1
t
c(
t)
Ae(−σt)sen(ωdt+ φ)
e(−σt)
Exerc´ıcio: desenhe as regio˜es para: ξ,ωn, ωd, σ constantes.
0.5.1 Exemplo
Analise o sistema abaixo, sendo ξ = 0, 5 e ωn = 10rad/s:
E(s)- ω2n
s(s+2ξωn)
-i C(s)-+R(s)
- 6
Figura 4: Diagrama em blocos
a) Calcule os po´los em malha fechada:
b) Calcule a frequeˆncia natural amortecida:
c) Calcule a constante de tempo do sistema
d) Determine o tio de resposta que o sistema exibe
5
0.6 Especificac¸o˜es de Resposta transito´ria para siste-
mas de segunda ordem
As caracter´ısticas de desempenho desejadas de sistemas de controle sa˜o especificadas em
termos de grandezas no domı´nio do tempo.
Sistemas com armazenamento de energia na˜o podem responder instantaneamente e tera˜o
respostas transito´rias sempre que sujeitos a alterac¸o˜es na entrada ou sujeitos a perturbac¸o˜es.
Frequentemente as caracter´ısticas de desempenho de um sistema de controle sa˜o especi-
ficadas em termos da resposta transito´ria para uma entrada em degrau unita´rio, pois esta
entrada e´ fa´cil de gerar e e´ suficientemente severa.
As seguintes informac¸o˜es sa˜o usadas para especificar a resposta no tempo:
1) Tempo de atraso (delay) – td
2) tempo de subida (rise time) – tr
3) Instante de pico – tp
4) Sobressinal ma´ximo – Mp
5) tempo de acomodac¸a˜o – ts
Figura 5: Resposta de um sistema de segunda ordem
1) Tempo de atraso (td) – e´ o tempo necessa´rio para a resposta alcanc¸ar pela primeira
vez a metade do valor final.
2) Tempo de subida (tr) – e´ o tempo necessa´rio para a resposta passar de 10% a 90%, de
6
5% a 95% ou de 0 a 100%. Normalmente usa-se de 10% a 90%.
3) Instante de pico (tp) – e´ o tempo necessa´rio para a resposta alcanc¸ar o primeiro pico
do sobressinal.
4) Sobressinal Ma´ximo ( Mp em valor percentual) – e´ o valor de pico da curva de resposta
medido a partir do valor unita´rio, para a sa´ıda padronizada.
Se o valor final do regime estaciona´rio de resposta difere da unidade, enta˜o normalmente
se usa o ma´ximo sobressinal percentual:
Mp(%) = c(tp)−c(∞)
c(∞) 100%
O valor do sobressinal ma´ximo (percentual) fornece indicac¸o˜es da estabilidade relativa
do sistema.
5) Tempo de estabilizac¸a˜o (acomodac¸a˜o) (ts) – e´ o tempo necessa´rio para a curva de
resposta alcanc¸ar e permanecer dentro de uma faixa em torno dovalor final (normalmente
±1%, ±2% ou ±5%)
O tempo de estabilizac¸a˜o esta´ relacionado com a maior constante de tempo do sistema
de controle.
A escolha de que percentagem usar no crite´rio de erro, pode ser determinada a partir dos
objetivos do projeto do sistema em questa˜o.
Comenta´rios:
Estas especificac¸o˜es sa˜o importantes, pois os sistemas de controle atuam no domı´nio do
tempo, devendo apresentar respostas temporais satisfato´rias.
E´ deseja´vel que a resposta transito´ria seja suficientemente ra´pida e suficientemente amor-
tecida.
Para um sistema de segunda ordem a resposta deve estar na faixa: 0, 4 ≤ ξ ≤ 0, 8.
Valores menores que ξ ≤ 0, 4 resultam em sobressinal excessivo. Valores maiores que
ξ ≥ 0, 8, o sistema responde de forma lenta.
0.7 Resumo
1) Rise-time – tempo de subida (tr)
tr(10%−90%) ∼= 0,8+2,5ξωn
2) Tempo de pico e sobressinal (tp e Mp)
tp =
pi
ωd
7
Mp = e
− piξ√
1−ξ2 (algumas vezes Mp e´ expresso em valores percentuais (exemplo, Mp =
10%), mas na equac¸a˜o deve ser escrito como Mp = 0, 10.
3) Tempo de estabilizac¸a˜o (ts)
ts1% ∼= 4,6σ
ts2% ∼= 4σ
ts5% ∼= 3σ
0.8 Resposta transito´ria para sistemas de segunda or-
dem, para um degrau unita´rio na entrada.
A figura abaixo mostra as respostas padronizadas para um sistema de segunda ordem.
Figura 6: Resposta padronizada para um sistema de segunda ordem
0.9 Efeito dos zeros
Zeros tem um efeito significante na resposta transito´ria, para sistemas sobre-amortecidos,
especialmente se eles esta˜o pro´ximos a` origem.
8
0.10 Resposta natural e resposta forc¸ada
Quando um sistema dinaˆmico e´ sujeito a forc¸as externas na sua entrada, a sa´ıda resultante
pode ser separada em duas partes: a resposta natural yn(t) e a resposta forc¸ada yf (t).
A resposta natural e´ definida como a parte da resposta completa que consiste dos mo-
dos naturais do sistema. A resposta forc¸ada consiste de termos adicionais modais que sa˜o
definidos pela entrada u(t).
0.11 Exerc´ıcios
1. Para os exemplos usados nesta apostila, determine as respostas natural e forc¸ada.
2. Dado os sistemas abaixo, reduza a um u´nico bloco e escreva a func¸a˜o de transfereˆncia.
Figura 7: Diagramas de blocos
3. Dada a func¸a˜o de transfereˆncia F(s)=C(s)/R(s) que representa um sistema em malha
aberta, sendo R(s) um degrau unita´rio, 8, determine:
a) o valor dos po´los e os localize no plano s;
b) tipo de resposta;
c) coeficiente de amortecimento (ξ);
d) frequ¨eˆncia natural na˜o amortecida (ωn) e a frequ¨eˆncia natural amortecida (ωd);
e) Tr, Ts5%, Ts2%, Tp e Mp;
9
f) constante de tempo.
-
9
s2+2s+9 -
Figura 8: Diagrama em blocos
4. Considere o sistema representado pela func¸a˜o de transfereˆncia que possui um zero real
em s = −1
α
.
G(s) = αω
2
ns+ω
2
n
s2+2ξωns+ω2n
Considerando a resposta no tempo para um degrau unita´rio, analise as respostas para:
a) α = 0; b) α = 1; c) α = 2; d) Comparando com uma func¸a˜o sem zero, α = 0, que
termo que aparece devido ao zero?
5. Fac¸a os exerc´ıcios propostos na apostila ”Efeitos de polos e zeros na
resposta.pdf”que esta´ no site http://pessoal.utfpr.edu.br/brero/controle 1/2 sem
2012/Exercicios/. Estes exerc´ıcios devem ser entregues ao professor, valendo 0,4 pon-
tos.
6. Projete o sistema mostrado na figura 9 para obter-se ξ = 0, 7.
a) calcule ts5%, Mp e tp
b) calcule o valor do po´los em malha fechada.
E(s)- K30
s(s+30)
-i C(s)-+R(s)
- 6
Figura 9: Exerc´ıcio
10
	Introdução
	Sistemas de primeira ordem
	Definição da constante de tempo
	Sistemas de segunda ordem
	Definição de constante de tempo para sistemas de segunda ordem, com < 1 
	Exemplo
	Especificações de Resposta transitória para sistemas de segunda ordem
	Resumo
	Resposta transitória para sistemas de segunda ordem, para um degrau unitário na entrada.
	Efeito dos zeros
	Resposta natural e resposta forçada
	Exercícios