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Unidade III
5 Estrutura dE grupo
Seja G um conjunto munido de uma operação * (tem de ser binária, isto é, uma regra que faz 
corresponder, a cada par de elementos do conjunto G, um único elemento desse mesmo conjunto). 
Diremos que G tem uma estrutura de grupo ou é um grupo em relação à operação *, ou ainda que 
(G, *) é um grupo se:
I. a operação * é associativa, isto é: a * (b * c) = (a * b) * c, quaisquer que sejam a, b, c ∈ G;
II. existe, em A, o elemento neutro e para a operação *, isto é:
a * e = a = e * a, para todo a ∈ G;
III. cada elemento a ∈ A admite um simétrico a´ para a operação *, isto é: a´ * a = e = a * a´, para 
todo a ∈ G.
Caso as condições anteriores sejam satisfeitas, então (G, *) é um grupo. Em outras palavras, se (G, *) 
satisfaz as três propriedades anteriores e também atende a seguinte propriedade:
•	 a	operação	*	é	comutativa, isto é: a * b = b * a, quaisquer que sejam a, b ∈ G. Então, (G, *) é um 
grupo abeliano ou comutativo.
 Lembrete
O termo simétrico pode se referir a nomes diferentes, dependendo 
do tipo operação que utilizamos. Sendo utilizada a adição usual, o 
simétrico aditivo de n ∈ G é denotado por –n e conhecido na literatura 
como oposto, mas se utilizamos a multiplicação usual, o simétrico 
multiplicativo de n ∈ G é denotado por n–1, conhecido na literatura 
como inverso.
São exemplos de grupo abeliano:
Exemplo 1
Grupo aditivo dos números inteiros (Z, +).
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Exemplo 2
Grupo aditivo dos números racionais (Q, +).
Exemplo 3
Grupo aditivo dos números reais (R, +).
Exemplo 4
Grupo aditivo dos números complexos (C, +).
Exemplo 5
Grupo multiplicativo dos números racionais (sem o zero) (Q*, . ).
Exemplo 6
Grupo multiplicativo dos números reais (sem o zero) (R*, . ).
Exemplo 7
Grupo multiplicativo dos números complexos (sem o zero) (C*, . ).
Exemplo 8
Todos os espaços vetoriais para adição.
Exemplo 9
O conjunto das simetrias de um triângulo equilátero.
Exemplo 10
GL
n (R), x, isto é, o conjunto das matrizes reais quadradas (n x n) inversíveis com n > 1, para 
multiplicação usual de matrizes.
Contraexemplos, ou melhor, não são grupos abelianos:
•	 o	conjunto	dos	naturais	com	operação	adição	usual	(N,	+);
•	 o	conjunto	dos	naturais	com	operação	de	potenciação,	sendo	x*	y	=	xy	(N,	*);
•	 o	conjunto	dos	reais	com	operação	de	multiplicação	(R,	x);
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•	 Mn(R), x, isto é, o conjunto das raízes reais quadradas (n x n) para multiplicação usual de matrizes;
•	 o	conjunto	dos	números	inteiros	Z.	Este	e	a	operação	de	multiplicação	não	formam	uma	estrutura	
de grupo, pois nenhum número inteiro a, exceto 1 e –1, tem inverso em Z.
Voltando aos exemplos de grupos, como ilustração, provaremos que o conjunto dos números 
complexos C, munido da operação de adição, forma uma estrutura de grupo abeliano. Inicialmente, 
devemos lembrar que um número complexo é representado algebricamente por x = a + bi, em que a e 
b são números reais e i = −1 .
Voltando a abordar os exemplos sobre grupos, verifiquemos se o conjunto dos números complexos 
com a operação de adição (C, +) é um grupo abeliano. Para tanto, vamos ver quais as propriedades 
válidas para que os complexos sejam tal grupo. Vamos lá:
I.	 a	operação	de	multiplicação	é	associativa,	isto	é:	x	*	(y	*	z)	=	(x	*	y)	*	z,	quaisquer	que	sejam	
x,	y,	z	∈ C.
Para verificar a validade da propriedade associativa, vamos definir três números complexos: x = a + 
bi;	y	=	c	+	di;	z	=	e	+	fi.	Substituindo,	temos:
•	 x	*	(y	*	z)	=	(x	*	y)	*	z
•	 x	*	(c	+	di	+	e	+	fi)	=	(a	+	bi	+	c	+	di)	*	z
•	 a	+	bi	+	(c	+	di	+	e	+	fi)	=	(a	+	bi	+	c	+	di)	+	e	+	fi
•	 a	+	c	+	e	+	(b	+	d	+	f)i	=	a	+	c	+	e	+	(b	+	d	+	f)i
Há, portanto, atendimento à propriedade associativa.
II. Existe, em A, o elemento neutro e para a operação *, isto é:
x * e = x = e * x, para todo x ∈ A;
Então, temos, por um lado:
i)
x * e = x
a + bi + e = a + bi
e = a + bi – (a + bi)
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Álgebra
e = 0
e, por outro lado:
ii)
e * x = x
e + a + bi = a + bi
e = a + bi – (a + bi)
e = 0
Portanto, como i = ii, o elemento neutro existe e é o número 0 (zero).
Cada elemento x ∈ A admite um simétrico x´ para a operação *, isto é:
x´ * x = e = x * x´, para todo x ∈ C.
Por um lado, temos:
i)
x´ * x = e
x´ + a + bi = 0
x´ = – a – bi + 0
x´ = – a – bi
Por outro lado, temos:
ii)
x * x´ = e
a + bi + x´ = 0
x´ = – a – bi + 0
x´ = – a – bi
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Portanto, como i = ii, todo número complexo tem um simétrico para a operação de adição, que é x´ = – a – bi.
A operação * é comutativa,	isto	é:	x	*	y	=	y	*	x	para	quaisquer	que	sejam	x,	y	∈ C.
•	 x	*	y	=	y	*	x
•	 a	+	bi	+	c	+	di	=	c	+	di	+	a	+	bi
•	 a	+	c	+	(b	+	d)i	=	a	+	c	+	(b	+	d)i
Portanto, vale a propriedade associativa. Podemos concluir, então, que (C, +) é um grupo abeliano.
Você encontrará, em seus estudos, várias simplificações de notação. Desse modo, ao invés do grupo 
G com a operação estrela (G*), muitos autores dizem apenas grupo G quando não existe ambiguidade 
no que se refere à operação considerada. Geralmente, quando falamos da operação de multiplicação, 
substitui‑se	x*y	por	x	.	y	ou	ainda	xy.	Nessa	operação,	o	inverso	de	cada	elemento	x	será	x–1.
O elemento neutro de um grupo G, genericamente falando, é denotado por e. Quando trabalhamos 
com a operação aditiva, se temos um grupo abeliano, o elemento neutro é simbolizado por 0 e o inverso 
é genericamente chamado de elemento simétrico do elemento x e representado por –x.
Apresentaremos agora algumas propriedades básicas de um grupo G, usando a notação da 
multiplicação entre elementos.
Se	x	e	y	são	elementos	de	G,	então,	o	inverso	de	xy,	isto	é,	(xy)–1	é	dado	por:	(xy)–1	=	y–1 x–1. Como 
consequência, temos a propriedade aplicada à multiplicação de matrizes n x n: (AB)–1 = B–1 A–1.
Outra	propriedade	diz	respeito	à	lei	de	cancelamento.	Se	x	e	y	são	elementos	de	um	grupo	G,	então,
xy	=	xz	⇒	y	=	z	→ lei de cancelamento à esquerda
yx	=	zx	⇒	y	=	z	→ lei de cancelamento à direita.
Essa propriedade é importante na multiplicação de matrizes, na qual, geralmente, AB ≠ BA, mas vale 
a lei do cancelamento.
Se temos uma expressão do tipo: XA = B, em que X, A e B são matrizes n x n e A admite inversa (A–1), para 
determinarmos a matriz X, usamos a lei do cancelamento à direita, isto é, multiplicamos a expressão XA = B 
por A–1 pela direita, obtendo XAA–1 = BA–1 ⇒ XI = BA–1 ⇒ X = BA–1, em que I é a matriz identidade de ordem n.
A lei geral de associatividade é provada por indução (veja observação a seguir).
Consideremos um conjunto finito de elementos x1, x2, ..., xn de um grupo G. Podemos combinar, 
usando a operação de multiplicação, de diversas formas diferentes, quaisquer que sejam, e obteremos 
sempre o mesmoresultado.
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Álgebra
 observação
O princípio da indução finita é um método matemático importante para 
mostrar, de uma forma dedutiva, se uma indução ou proposição matemática 
é completamente verdadeira ou falsa. É utilizado para proposições que 
estão inseridas no conjunto dos números naturais. Vale dizer que esse não 
é o único método para tal fim.
Para verificar a validade de uma propriedade ou proposição, tomemos o conjunto dos números 
naturais	(N)	ou	inteiros	positivos	(Z+) e indiquemos P(n) como sendo uma propriedade ou proposição 
verdadeira ou falsa aplicável aos números naturais. Seguimos então os seguintes passos:
1) determinamos P(1) (para n =1). Se essa proposição for verdadeira, seguimos para o próximo;
2) supondo, então, que P(k), para um k genérico, seja verdadeira, determinamos e avaliamos P(k +1) ∀k ∈	N;
3) se P(k +1) também for verdadeira, a proposição P(n) será verdadeira ∀k ∈	N.
 saiba mais
Para aprofundar seu conhecimento sobre indução finita, veja exemplos 
e exercícios disponíveis em: E‑CÁLCULO. O princípio da indução finita. São 
Paulo: USP. Disponível em: <http://ecalculo.if.usp.br/ferramentas/pif/pif.
htm> Acesso em: 02 out. 2012.
5.1 subgrupo
O subgrupo de um grupo G possui uma estrutura com a mesma operação definida no grupo G.
Os grupos G e {e} são subgrupos do grupo G; são chamados de subgrupos triviais de G. Os demais 
subgrupos, caso existam, são chamados subgrupos próprios.
Consideremos H ≠ ∅ um subconjunto de G se, e somente se:
a) a operação entre dois elementos de H ainda pertencer a H,	isto	é,	para	todo	x,	y	∈	H,	temos	xy	∈ H;
b) o elemento neutro pertencer a H;
c) o inverso de todo elemento de H também pertencer a H, ou seja, para todo x ∈ H, temos x–1 ∈ H.
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Exemplos:
1) Para todo n ∈	N,	o	conjunto	dos	múltiplos	de	n é um subgrupo de (Z, +), ou seja, nZ = {nx / x ∈ Z}.
2) Todos os conjuntos de raízes de índice n > 1 são subgrupos de C – {0}.
3) Sejam H1, H2, ..., Hn subgrupos de G. Então, H = H1 ∩ H2 ∩ ... ∩ Hn é um subgrupo de G.
4) Seja G o conjunto de todas as retas do plano com coeficiente angular não nulo. G = {f: R → R / 
f(x) = ax + b, a ≠ 0 e a, b ∈ R} é um grupo com a operação composição de funções. Tomemos 
H como sendo o conjunto das retas do plano com coeficiente angular igual a 1, isto é, H = {f : R 
→ R / f(x) = 1x + b; b ∈ R}. Então, H é subgrupo de G.
5.2 semigrupo
Um semigrupo é um conjunto S com uma operação binária2, na qual se verificam as seguintes 
propriedades:
a) Sejam a, b ∈ S o resultado da operação de a e b pertencente a S (a * b ∈ S), que é denominada 
propriedade de fechamento.
b) Para qualquer a, b, c, ∈ S, temos: (a*b)* c = a* (b*c) = a* b* c, que é denominada propriedade 
associativa.
Exemplo:
O conjunto S = {2n / n ∈	N*},	conjunto	dos	números	pares	sem	o	zero,	é	um	semigrupo	comutativo	
em relação à multiplicação.
Nenhuma	outra	restrição	é	colocada	com	relação	a	um	semigrupo.	Sendo	assim,	não	é	necessário	se	
ter um elemento neutro. Logo, um conjunto que é fechado para uma determinada operação, que possui 
propriedade associativa, é um semigrupo, que, com um elemento neutro, será chamado de monoide, 
como veremos a seguir.
5.3 Monoide
Um	monoide	é	um	semigrupo	com	elemento	neutro.	Dizemos	que	M	é	um	monoide	comutativo	se	
(M,*)	for	comutativo.
2 Dado um conjunto B não vazio, uma função *: B × B → B é chamada de operação binária sobre o conjunto B, 
definindo, assim, uma estrutura algébrica [B,*]. 
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Álgebra
Exemplos:
1) as operações de multiplicações sobre os naturais;
2) as operações de multiplicações sobre os inteiros;
3) as operações de multiplicações sobre os racionais;
4) as operações de multiplicações sobre os reais.
 observação
Seja	(N*, *), que corresponde ao conjunto dos números naturais sem 
o zero com a operação estrela. Definimos * da seguinte forma: dados 
a, b ∈	N,	a*	b	=	ab, é definida a propriedade de potenciação sobre os 
naturais sem o zero, que não é associativa, nem comutativa, nem possui 
elemento neutro.
6 anéis E Corpos
Enunciaremos, a seguir, as propriedades que deverão ser satisfeitas para que um conjunto munido 
de duas operações (em particular nos restringiremos à adição e à multiplicação) tenha uma estrutura 
de anel. Buscaremos apresentar tais propriedades de forma mais objetiva para favorecer a compreensão 
dessa estrutura.
Por meio da extensão das propriedades de anel para anel com unidade, anel comutativo e domínio de 
integridade, definiremos uma estrutura de corpo, de modo que, a cada nova estrutura, serão satisfeitas, 
além das propriedades anteriores, mais algumas novas propriedades.
Seja A um conjunto não vazio, no qual estejam definidas duas operações: adição e 
multiplicação. Chamaremos (A, +, .) de anel se as seguintes propriedades forem verificadas para 
quaisquer a, b, c ∈ A:
I. associativa da adição: a + (b + c) = (a + b) + c;
II. existe, em A, o elemento neutro 0 para a adição, isto é: a + 0 = a = 0 + a;
III. cada elemento a ∈ A admite um simétrico, denotado por ‑a para a adição, isto é: ‑a + a = 0 = a 
+ (‑a), para todo a ∈ A;
IV. comutativa da adição: a + b = b + a;
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V. associativa da multiplicação: a.(b.c) = (a.b)c;
VI. distributiva da multiplicação em relação à adição (esquerda e direita): a.(b + c) = a.b + a.c; 
(a + b).c = a.c + b.c.
Se forem satisfeitas as propriedades anteriores, diremos que A, munido das operações de adição e 
multiplicação, forma uma estrutura de anel, ou simplesmente que (A, +, .) é um anel.
6.1 anel com identidade
Se um anel satisfizer a propriedade:
•	 existe	1	∈ A, 0 ≠ 1, tal que a . 1 = a = 1. a, para qualquer a ∈ A, dizemos que (A, +, .) é um anel 
com unidade ou anel com identidade.
6.2 anel comutativo
Se um anel satisfizer a propriedade:
•	 a . b = b . a, para quaisquer a, b ∈ A, dizemos que (A, –, .) é um anel comutativo.
6.3 domínio de integridade
Se um anel satisfizer a propriedade:
•	 a	.	b	=	0	→ a = 0 ou b = 0, para quaisquer a, b ∈ A, dizemos que (A, +, .) é um anel sem divisores 
de zero.
Se (A, +, .) é um anel comutativo, com unidade e sem divisores de zero, dizemos que (A, +, .) é um 
domínio de integridade.
6.4 Corpo
Finalmente, se um domínio de integridade (A, +, .) satisfaz a propriedade:
•	 para	qualquer	a	∈ A, a ≠ 0, existe b ∈ A, tal que a. b = b. a = 1, dizemos que (A, +, .) é um corpo 
ou que tem uma estrutura de corpo, pois este possui um elemento inverso com relação à 
multiplicação.
Vejamos agora alguns exemplos das estruturas definidas anteriormente.
Exemplo 1
Anel comutativo dos números inteiros (Z, +,. ).
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Álgebra
Exemplo 2
Anel comutativo dos números racionais (Q, +,. ).
Exemplo 3
Anel comutativo dos números reais (R, +, .).
Exemplo 4
Anel comutativo dos números complexos (C,+, .).
Exemplo 5
Todos os anéis numéricos Z, Q, R e C são anéis de integridade ou domínios de integridade.
Observe que todos os exemplos citados são anéis, anéis com unidade, anéis comutativos e domínios 
de integridade.
Exemplo 6
O conjunto Q dos números racionais, com as operações 
p
q
p
q
pq p q
qq
+ =
+‘
‘
‘ ‘
‘
 e 
p
q
p
q
+
‘
‘
. A igualdade 
p
q
p
q
pq p q= ↔ =
‘
‘
‘ ‘
.
O simétrico de 
p
q
 é −
p
q
.
O zero é 
0
q
, para q ≠ 0; o inverso do número racional 
p
q
≠ 0 é 
q
p
.
Exemplo 7
Tomemos A M
a a
a a
a a a a= =



 ∈

2
11 12
21 22
11 12 21 22( ) / , , ,� � , o conjunto das matrizes (2 x 2) com 
termos reais.
Definindo‑se para todas as 
a a
a a
b b
b b
A11 12
21 22
11 12
21 22







 ∈, , a soma e o produto, respectivamente por:
a a
a a
b b
b b
a b a b
a b
11 12
21 22
11 12
21 22
11 11 12 12
21 2



 +



 =
+ +
+ 11 22 22a b+




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a a
a a
b b
b b
a b a b a b11 12
21 22
11 12
21 22
11 11 12 12 11 12


 ⋅



 =
+ + aa b
a b a b a b a b
12 22
21 11 22 21 21 12 22 22+ +



 ,
temos	(M2	(R);	+,	.)	o	denominado	anel	das	(2	x	2)	–	matrizes	reais.
Exemplo 8
Corpo dos números reais (R, +, .).
Exemplo 9
O corpo Z2 ={0, 1}, formado apenas por dois elementos distintos 0 e 1, com as operações 0 + 1 = 1 
+ 0 = 1, 0 + 0 = 1 + 1 = 0, 0.0 = 0.1 = 1.0 = 0 e 1.1 = 1. Aqui, o simétrico de cada elemento é ele próprio 
(e o inverso também).
Exemplo 10
No	conjunto	Q(t),	das	funções	racionais	r t
p t
q t
( ) = ( )( ) , em que p e q são polinômios com coeficientes 
racionais, sendo q não identicamente nulo, tem‑se 
p t
q t
p t u t
q t u t
( )
( ) =
( ) ( )
( ) ( )
.
.
.
As operações em Q(t) são definidas de maneira usual.
Exemplo 11
Para este exemplo, retomaremos o conceito de congruência módulo m. Dizemos que a é congruente 
a b módulo m, isto é, a ≡ b(mod m), se existir um inteiro k, tal que a = b + km. Note	que	b equivale 
ao resto da divisão de a por m. Com esse conceito, podemos definir Z / 〈m〉 como sendo o conjunto 
formado pelos restos da divisão de um número inteiro por m. Desse modo, temos Z / 〈4〉 = {0, 1, 2, 3}, 
visto que o menor resto de uma divisão por 4 é 0 e o maior possível é 3.
O conjunto Z / 〈4〉, com as operações de adição e multiplicação, isto é, (Z / 〈4〉, +, .) é um exemplo 
de um anel que não é domínio de integridade, que, por sua vez, não pode ser um corpo. Lembrando 
que, para ser domínio de integridade, é preciso satisfazer a condição: a . b = 0 → a = 0 ou b = 
0, para quaisquer a, b ∈ A.	Nessa	categoria,	estão	todos	os	casos	de	Z	/	〈m〉, para m não primo. 
Avaliando	a	tabela	multiplicativa,	em	seguida,	você	pode	ver	que	2	•	2	=	0	e,	como	2	≠ 0, Z / 〈4〉 não 
é domínio de integridade.
A seguir, apresentamos as tabelas de operações de Z / 〈4〉, nas quais aparecem apenas os restos das 
divisões de qualquer número inteiro por 4.
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Tabela 4 Tabela 5
+ 0 1 2 3 • 0 1 2 3
0 0 1 2 3 0 0 0 0 0
1 1 2 3 0 1 0 1 2 3
2 2 3 0 1 2 0 2 0 2
3 3 0 1 2 3 0 3 2 1
As operações dos elementos de Z / 〈4〉 são feitas da seguinte maneira:
Adição:
Tomamos como exemplo a operação entre o número 7 e o número 5. O resto da divisão de 7 por 4 
resulta em 3, que é o que aparece na parte azul da tabela, e o resto da divisão de 5 por 4 resulta em 1, 
que também aparece na parte azul da tabela. A soma dos restos resulta em 4, que, dividido por 4, tem 
como resultado resto 0. Ao cruzarmos os valores em azul da tabela, 3 com 1, temos, então, resultado 0. 
Logo, basta operarmos com os restos de dois números para sabermos o resultado do resto da soma, não 
sendo necessário somar os dois números em si.
Apresentamos, em seguida, outro exemplo, agora buscando o resto da divisão da soma dos números 
(125 e 87) por 4.
125 → Resto = 1
87 → Resto = 3
Somando os restos:
1 + 3 = 4 → Resto = 0
Logo,	a	soma	dos	restos	da	divisão	de	128	e	87	por	4	resulta	em	um	resto	igual	a	0.	Na	tabela,	podemos	
ver esse resultado, ao cruzar, na parte em azul, o número 3 com o número 1. Se considerarmos 125 + 87 = 
212, ao dividirmos por 4, obteremos também resto 0, o que ilustra que podemos trabalhar com a soma do 
resto de cada número individualmente, em vez de operarmos com o resultado da soma dos números em si.
Multiplicação:
Tomamos como exemplo a operação entre o número 9 e o número 11. Faremos da mesma maneira 
que na adição, só que agora considerando o produto entre os restos da divisão desses dois números pelo 
número 4.
9 → Resto = 1
11 → Resto = 3
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Multiplicando	os	restos:	1	x	3	=	3.	Nesse	caso,	ao	dividirmos	3	por	4,	obteremos	0	no	quociente	e	
resto 3, que é o valor que vemos na tabela, ao cruzarmos, em vermelho, os números 1 e 3. Observe que, 
se multiplicarmos 9 x 11 = 99, em que 99= 4 x 24 + 3, isto é, o resto também é 3. Isso ilustra também, 
assim como no caso da adição, que não precisamos trabalhar com os números em si para a realização 
de tais operações, mas apenas com seus restos.
Exemplo 12
O conjunto Z / 〈5〉 , com as operações de adição e multiplicação, isto é, (Z / 〈5〉, +, .) é um exemplo de um anel 
que, mais do que ser domínio de integridade, é um corpo, pois obedece a condição: a. b = 0 → a = 0 ou b = 0, para 
quaisquer a, b ∈	A.	Nessa	categoria,	estão	todos	os	casos	de	Z	/	〈p〉, para p primo.
A seguir, apresentamos as tabelas de operações de Z / 〈5〉 , em que aparecem apenas os restos das 
divisões de qualquer número inteiro por 5.
Tabela 6 Tabela 7
+ 0 1 2 3 4 • 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0
1 1 2 3 4 0 1 0 1 2 3 4
2 2 3 4 0 1 2 0 2 4 1 3
3 3 4 0 1 2 3 0 3 1 4 2
4 4 0 1 2 3 4 0 4 3 2 1
As operações são efetuadas como no exemplo anterior, com o resto da divisão de cada elemento. 
O que vemos de diferente nesse último caso, e que se estende para todos os Z / 〈p〉, com p primo, é 
que, na operação de multiplicação, jamais ocorrerá a . b = 0 sem que tenhamos ou a = 0 ou b = 0. Essa 
propriedade faz com que o conjunto dos Z / 〈p〉 faça parte das estruturas de corpos.
Exemplo 13
Vejamos agora o corpo dos números complexos. Vamos verificar cada uma das propriedades de 
corpo para esse conjunto.
A operação * é associativa,	isto	é:	x	*	(y	*	z)	=	(x	*	y)	*	z,	quaisquer	que	sejam	x,	y,	z	∈ C. Para verificar 
a	sua	validade,	vamos	definir	três	números	complexos:	x	=	a	+	bi;	y	=	c	+	di;	z	=	e	+	fi.
•	 x	*	(y	*	z)	=	(x	*	y)	*	z
•	 x	*	(c	+	di	+	e	+	fi)	=	(a	+	bi	+	c	+	di)	*	z
•	 a	+	bi	+	(c	+	di	+	e	+	fi)	=	(a	+	bi	+	c	+	di)	+	e	+	fi
•	 a	+	c	+	e	+	(b	+	d	+	f)i	=	a	+	c	+	e	+	(b	+	d	+	f)i
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Álgebra
Portanto, satisfaz a propriedade associativa. Existe, em, A o elementoneutro e para a operação *, isto 
é: x * e = x = e * x, para todo x ∈ C.
Por um lado temos:
i) x * e = x 
a + bi + e = a + bi
e = a + bi – (a + bi)
e = 0
Por outro lado, temos:
ii) e * x = x
e + a + bi = a + bi
e = a + bi – (a + bi)
e = 0
Portanto, como i = ii, o elemento neutro existe e é número 0.
Cada elemento x ∈ A admite um simétrico x´ para a operação *, isto é: x´ * x = e = x * x´ para todo x ∈ C.
Por um lado, temos:
x´ * x = e
x´ + a + bi = 0
x´ = – a – bi + 0
x´ = – a – bi
e, por outro lado:
x * x´= e
a + bi + x´ = 0
x´ = – a – bi + 0
x´ = – a – bi
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Portanto, como i = ii, todo número complexo tem um simétrico para a operação de adição, que é 
x´ = – a – bi.
A operação * é comutativa,	isto	é:	x	*	y	=	y	*	x,	quaisquer	que	sejam	x,	y	∈ C.
•	 	x	*	y	=	y	*	x
•	 	a	+	bi	+	c	+	di	=	c	+	di	+	a	+	bi
•	 a	+	c	+	(b	+	d)i	=	a	+	c	+	(b	+	d)i
Até aqui, mostramos que C é um grupo comutativo em relação à adição.
Associativa	da	multiplicação:	x.	(y.	z)	=	(x.	y)z:
•	 x.	(y.	z)	=	(x.	y)z
•	 (a	+	bi)	[(c	+	di)(e	+	fi)]	=	[(a	+	bi)(c	+	di)]	(e	+	fi)
•	 (a	+	bi)(ce	+	cfi	+	dei	–	df)=(ac	+	adi	+	bci	–	bd)(e	+	fi)
•	 ace	+	acfi	+	adei	–	adf	+	bcei	–	bcf	–	bde	–	bdfi	=	ace	+	adei	+	bcei	–	bde	+	acfi	–	adf	–	bcf	–	bdfi
•	 ace	–	adf	–	bcf	–	bde	+	(acf	+	ade	+	bce	–	bdf)i	=	ace	–	adf	–	bcf	–	bde	+	(acf	+	ade	+	bce	–	bdf)i
Portanto, vale a associativa na multiplicação.
Distributiva	da	multiplicação	em	relação	à	adição	(esquerda	e	direita):	x	.	(y	+	z)	=	x.y	+	x.z	(esquerda):
•	 (a	+	bi)(c	+	di	+	e	+	fi)	=	(a	+	bi)(c	+	di)	+	(a	+	bi)(e	+	fi)
•	 (a	+	bi)(c	+	e	+	di	+	fi)	=	ac	+	adi	+	bci	–	bd	+	ae	+	afi	+	bei	–	bf
•	 ac	+	ae	–	bd	–	bf	+	(ad	+	af	+	bc	+	be)i	=	ac	+	ae	–	bf	–	bd	+	(ad	+	bc	+	af	+	be)i	
Portanto, vale a distributiva à esquerda.
Vamos, agora, verificar a propriedade distributiva da multiplicação à direita, isto é:
•	 (x	+	y).	z	=	x	.	z	+	y.	z	(direita)
•	 (a	+	bi	+	c	+	di)(e	+	fi)	=	(a	+	bi)(e	+	fi)+(c	+	di)(e	+	fi)
•	 ae	+	bei	+	ce	+	dei	+	afi	–	bf	+	cfi	–	df	=	ae	+	afi	+	bei	–	bf	+	ce	+	cfi	+	dei	‑	df
•	 ae	+	ce	–	bf	–	df	+	(be	+	de	+	af	+	cf)i	=	ae	+	ce	–	bf	–	df	+	(af	+	be	+	cf	+	de)i
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Álgebra
Portanto, vale a distributiva à direita.
Mostramos	até	aqui	que	(C,	+,.)	é	um	anel.
Existe 1 ∈ A, 0≠1, tal que x . 1 = x = 1. x para qualquer x ∈ C:
•	 (a	+	bi)1= a + bi = 1 (a + bi)
Portanto, (C, +, .) é um anel com unidade.
x . y = y . x para quaisquer a, b ∈ A:
•	 (a	+	bi)(c	+	di)	=	(c	+	di)(a	+	bi)
•	 ac	+	adi	+	bci	–	bd	=	ac	+	cbi	+	adi	–	bd
•	 ac	–	bd	+	(ad	+	bc)i	=	ac	–	bd+(ad	+	cb)i
Portanto, (C, +,.) é um anel comutativo.
x . y = 0 → x = 0 ou y = 0	para	quaisquer	x,	y	∈ C.
0 . (c + di) = 0c + 0di = 0 (a + bi) . 0 = a0 + 0bi = 0.
Essa propriedade é validada imediatamente, já que a e b são números reais.
Portanto, (C, +,.) é um domínio de integridade.
Para qualquer x ∈ C, x ≠ 0, existe x` ∈ C, tal que x . x´ = x´. x = 1.
a bi a b i a b i
a bi a bi
a bi
a bi
a bi
+( ) +( ) = + =
+
→
+




−
−



 =
−
’ ’ ’ ’
1 1
aa b2 2+
a b i
a
a b
b
a b
i’ ’+ =
+
−
+2 2 2 2
Mostramos,	assim,	que	(C,	+,	.)	é	um	corpo,	ou	seja,	o	conjunto	dos	números	complexos,	munido	da	
adição e da multiplicação, forma uma estrutura de corpo.
Retomando conceitos:
Para termos um corpo, precisamos de um anel (A), conjunto não vazio, em que estejam definidas 
duas operações (adição e multiplicação) e se verifiquem as propriedades: associativa (para a adição 
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e multiplicação); comutativa (para a adição); distributiva (da multiplicação em relação à adição), e, 
além disso, que admita um único elemento neutro (para adição) e simétrico (para multiplicação). 
Se existe 1 ∈ A, 0 ≠ 1, tal que a . 1 = a = 1 . a, para qualquer a ∈ A, temos um anel com unidade. 
Se tivermos um anel comutativo com unidade e sem divisores de zero, dizemos ter um domínio de 
integridade. Finalmente, se dado um domínio de integridade (A, +, .), tal que, para qualquer a ∈ 
A, a ≠ 0, existe b ∈ A, e a . b = b . a = 1, dizemos que (A, +, .) é um corpo, ou que (A, +, .) tem uma 
estrutura de corpo, pois possui um elemento inverso com relação à multiplicação.
Anéis
Anéis com identidade
Anéis comutativos com identidade
Domínios de integridade
(n não primo)
Corpos
QR
C, Z / 〈p〉 (p primo)
M,	(Z)
Z / 〈n〉
Z
Figura 20
Nessa	representação,	temos	bem	clara	a	divisão	das	estruturas,	vemos	os	corpos	fazendo	parte	do	
domínio de integridade. Podemos ver que fazem parte dos corpos os conjuntos dos números reais, 
racionais e complexos, mas também faz parte o Z 〈p〉 com p primo, pois, como vimos, esse conjunto 
corresponde ao resto da divisão de dados números por p. Contudo, como vimos no exemplo de Z / 〈5〉, 
que é primo, ao efetuarmos a operação de multiplicação de dois elementos desse conjunto, tal que 
a . b = 0, isso só ocorre quando a = 0 ou b = 0, o que situa esse conjunto na estrutura domínios 
de integridade. Finalmente, o que o enquadra nos corpos é o fato de que, nesse conjunto, existem 
elementos a e b, tal que ab = ba = 1, ou seja, o elemento possui um inverso.
O domínio de integridade faz parte dos anéis comutativos com identidade, e vemos inserido nessa 
estrutura o conjunto dos números inteiros Z, o qual obedece a condição de que a . b = 0 só ocorre 
quando a = 0 ou b = 0. Entretanto, o fato de não haver dois elementos no conjunto dos números 
inteiros, tal que ab = ba = 1 (pois para satisfazer essa relação, b teria de ser o inverso de a, e o inverso 
de um número inteiro não é um número inteiro) faz com que os números inteiros não estejam inseridos 
na estrutura de um corpo.
Os anéis comutativos com identidade fazem parte dos anéis com identidade, diferenciando‑se pelo 
fato de, nessa estrutura, a operação de multiplicação obedecer a condição de comutação (ab = ba). 
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Álgebra
Temos na figura, nessa estrutura, o conjunto Z / 〈n〉 para n não primo, pois, como vimos em Z / 〈4〉, esse 
caso não obedece a condição de que a . b = 0 só ocorre quando a = 0 ou b = 0, pois para a = 2 e b = 2, 
obtivemos um resultado 0.
Os anéis com identidade fazem parte dos anéis, diferenciando‑se apenas no fato de que, nessa 
estrutura, o conjunto deve ter um termo neutro. Vemos, nessa estrutura, o conjunto formado por 
matrizes quadradas (ordem n), no qual sabemos que o termo neutro de uma matriz quadrada é a 
matriz identidade. Contudo, as matrizes não se encaixam nos anéis comutativos com identidade, pois a 
multiplicação destas não obedece a lei de comutação.
Por fim, temos os anéis, que devem ter definidas as operações de adição e multiplicação com as 
propriedades: associativa (para a adição e multiplicação); comutativa (para a adição); distributiva (da 
multiplicação em relação à adição), mas não precisa necessariamente satisfazer as condições das outras 
estruturas. Um exemplo de anéis que não se encaixam nas outras estruturas são matrizes retangulares, 
emque não há um termo neutro para multiplicação, isto é, não conseguimos construir uma matriz 
identidade se a matriz não for quadrada.
 resumo
Nesta	 unidade	 estudamos	 e	 retomamos	 os	 principais	 conceitos	 de	
estruturas algébricas de grupos, corpos e anéis.
Quanto às principais características de um grupo, vimos que um 
conjunto G é um grupo, em relação a uma operação * ou (G*), se:
1) a operação * é associativa, isto é: a * (b * c) = (a * b) * c, quaisquer 
que sejam a, b, c ∈ G;
2) existe, em A, o elemento neutro e para a operação *, isto é:
a * e = a = e * a, para todo a ∈ G;
3) cada elemento a ∈ A admite um simétrico a´ para a operação *, isto 
é: a´ * a = e = a * a´, para todo a ∈ G.
Se, além disso, a operação * é comutativa, isto é: a * b = b * a, quaisquer 
que sejam a, b ∈ G, então (G, *) é um grupo abeliano ou comutativo.
Lembrando de que conceito de subgrupo, dado H, H ≠ ∅, um subconjunto 
de G, H será subgrupo se, e somente se:
a) a operação entre dois elementos de H ainda pertencer a H; isto é, 
para	todo	x,	y	∈ H,	temos	xy	∈ H;
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b) o elemento neutro pertencer a H;
c) o inverso de todo elemento de H também pertencer a H, ou seja, para 
todo x ∈ H, temos x–1 ∈ H.
Lembremos ainda do conceito de semigrupo: um conjunto S com uma 
operação binária, em que se verificam as seguintes propriedades:
a) Sejam a, b ∈ S o resultado da operação de a e b pertencente a S (a * 
b ∈ S), que é denominada propriedade de fechamento.
b) Para qualquer a, b, c ∈ S, temos: (a * b) * c = a * (b * c) = a * b * c, que 
é denominada propriedade associativa.
Dentro da classificação de semigrupos, vale lembrarmos ainda do 
monoide, que é um semigrupo com elemento neutro.
Relembremos, agora, as principais características e propriedades 
de um anel. Seja A um conjunto não vazio no qual estejam definidas 
duas operações: adição e multiplicação. Chamaremos (A, +, .) a um 
anel se as seguintes propriedades forem verificadas para quaisquer 
a, b, c ∈ A:
1) associativa da adição: a + (b + c) = (a + b) + c;
2) existe, em A, o elemento neutro 0 para a adição +, isto é: a + 0 = a = 
0 + a;
3) cada elemento a ∈ A admite um simétrico, denotado por – a para a 
adição, isto é: – a + a = 0 = a + (– a), para todo a ∈ A;
4) comutativa da adição: a + b = b + a;
5) associativa da multiplicação: a . (b.c) = (a.b) . c;
6) distributiva da multiplicação em relação à adição (esquerda e direita): 
a . (b + c) = a . b + a . c; (a + b) . c = a . c + b . c.
Teremos um anel com identidade se, além das propriedades de um 
anel, ainda for satisfeita a propriedade: existe 1 ∈ A, 0 ≠ 1, tal que a. 1 = 
a = 1. a, para qualquer a ∈ A.
Será um anel comutativo se, além das anteriores, ainda satisfizer a 
propriedade: a . b = b . a, para quaisquer a, b ∈ A.
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Álgebra
Será um domínio de integridade se, além de tudo, ainda satisfizer esta 
propriedade: a . b = 0 → a = 0 ou b = 0, para quaisquer a, b ∈ A.
Teremos um corpo se um domínio de integridade satisfizer a propriedade: 
para qualquer a ∈ A, a ≠ 0, existe b ∈ A, tal que a . b = b . a = 1.
 Exercícios
Questão 1. As afirmações a seguir são de estrutura de grupo, anéis e corpos.
I. O subconjunto H= { , , }0 2 4 não é subgrupo do grupo (Z5, +). 
II. O subconjunto H= { , , }0 2 4 não é subgrupo do grupo (Z6, +).
III. 3Z = {3x ; x ∈ Z} é subanel do anel (Z, +, • ). 
IV. O anel ( Z7,+, • ) não é um anel de integridade.
Assinale a alternativa com os itens incorretos:
A) I.
B) II.
C) I e III.
D) II e IV.
E) III e IV.
Resposta correta: alternativa D.
Análise das afirmativas
I – Afirmativa correta.
Justificativa: o subconjunto H= { , , }0 2 4 não é um subgrupo do grupo (Z5,+), pois, por exemplo, 
2 4 1+ = ∉H (resto da divisão por 5).
II – Afirmativa incorreta.
Justificativa: o subconjunto H= { , , }0 2 4 é um subgrupo do grupo (Z6,+), pois a soma de quaisquer 
dois dos elementos de H é também um elemento de H.
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0 0 0
0 2 2 0 2
0 4 4 0 4
2 2 4
+ = ∈
+ = + = ∈
+ = + = ∈
+ = ∈
H
H
H
H
2 4 4 2 0+ = + = ∈H (resto da divisão por 6).
4 4 2+ = ∈H (resto da divisão por 6).
III – Afirmativa correta.
Justificativa: 3Z = {3x ; x ∈ Z} é um subanel do anel (Z, +, • ), pois ∀ 3x,	3y	∈ 3Z, tem‑se:
·	 3x	+	(–3y)	=	3x	–	3y	=	0	∈ 3Z (–3y	é	o	simétrico	aditivo	de	3y).
·	 3x	.	(3y)	=	3	.	3	.	x	.	y	=	3	.	(3xy),	e	como	“3xy”	é	um	número	inteiro,	3	.	(3xy)	∈ 3Z.
IV – Afirmativa incorreta.
Justificativa: o anel ( Z7,+, • ) é um anel de integridade, pois a adição é associativa, é comutativa, 
admite elemento neutro, e todo elemento de � 7 tem simétrico aditivo. A multiplicação é associativa, é 
comutativa, admite elemento neutro e é distributiva em relação à adição. Se x ⨂		y		=		0A, então, ou 
x = 0A			ou			y	=	0A.
Questão 2.	(ENADE	2005,	Matemática) A respeito da solução de equações em estruturas algébricas, 
assinale a opção incorreta.
A) Em um grupo (G,	•), a equação a•X	=	b tem solução para quaisquer a e b pertencentes a G.
B) Em um anel (A,	+,	•), a equação a + X = b tem solução para quaisquer a e b pertencentes a A.
C) Em um anel (A,	+,	•), a equação a•X	=	b tem solução para quaisquer a e b pertencentes a A. 
D) Em um corpo (K,	+,	•), a equação a•X	=	b tem solução para quaisquer a e b pertencentes a K, a ≠ 
0.
E) Em um corpo (K,	+,	•), a equação a•X	+	b	=	c tem solução para quaisquer a, b e c pertencentes a 
K, a ≠ 0.
Resolução desta questão na plataforma.