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UFBA – Departamento de Estatística
Noções de 
Probabilidade –
Modelos
Rosemeire L. Fiaccone
Modelos Probabilísticos
 Uma forma de caracterizar matematicamente situações
envolvendo variáveis de um mesmo tipo.
 A maioria das variáveis na área de saúde produz valores
diferentes quando observadas em repetições feitas
mesmo sob condições idênticas.
 Exemplo: Crianças de mesma idade, mesmo sexo,
mesma classe social, medidas pelo mesmo pediatra têm
pesos diferentes
Fiaccone,R.L. (Departamento de 
Estatística-UFBA)
Modelos Probabilísticos
 Assim o peso de uma criança deve ser estudado através
do conceito de variável aleatória.
 A palavra aleatória indica apenas que peso está sujeito
à variabilidade.
 Variável Aleatória : variável intrinsecamente sujeita a
variabilidade.
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Estatística-UFBA)
Variável Aleatória
 Uma função X que associa a cada elemento do espaço
amostral um valor x pertencente ao conjuntos dos reais
é denominada uma variável aleatória.
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Estatística-UFBA)
Variável Aleatória
 De uma maneira geral uma variável aleatória é uma característica 
numérica de um experimento aleatório
 A variável aleatória pode ser classificada em:
• Variável aleatória discreta: São aquelas que assumem um 
número finito de valores.
Ex.: número de consultas médicas anuais de um plano de saúde.
• Variável aleatória contínua: São aquelas que podem assumir 
todos os valores de um intervalo.
Ex.: Tempo de vida de uma célula humana, Pressão arterial de um 
homem.
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Variável Aleatória
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Variável Aleatória
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Modelos Probabilísticos e 
Variáveis Aleatórias
 As variáveis aleatórias referem-se ao resultado de um fenômeno ou
experimento aleatório.
 A cada resultado da variável aleatória tem-se uma probabilidade
associada de ocorrência.
 A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória especifica
seus possíveis valores e probabilidades correspondentes.
 A distribuição de probabilidade ou modelo probabilístico de uma
variável aleatória depende do tipo de variável.
 Os modelos probabilísticos são fundamentais para a realização de
inferência estatística.
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Modelos Probabilísticos de Variável 
Aleatória Discreta
 Seja X o número de meninos em uma família com duas crianças.
 Os possíveis valores de X : 0 , 1, 2.
 A distribuição de probabilidade de X pode ser representada por:
 X é uma variável aleatória discreta.
Número de meninos Probabilidade
0 1/4
1 2/4
2 1/4
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Modelos Probabilísticos de Variável 
Aleatória Discreta
 Exemplo 2: O Departamento de Estatística é formado por 35
professores, sendo 21 homens e 14 mulheres. Uma comissão de 3
professores será constituída sorteando, ao acaso, três membros do
departamento.
 Qual é a probabilidade da comissão ser formada por pelo menos
pelo menos duas mulheres duas mulheres?
 Vamos definir uma variável aleatória representanto
 X: nº. de mulheres na comissão.
 Quais são os possíveis valores que X pode assumir?
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Modelos Probabilísticos de Variável 
Aleatória Discreta
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Modelos Probabilísticos de Variável 
Aleatória Discreta
 Seja X uma v. a. discreta que assume valores no conjunto 
{x1, x2, ... , xn}.
 Função de probabilidade: É a função que atribui a cada valor xi da 
v. a. discreta X sua probabilidade de ocorrência. Pode ser 
representada pela tabela:
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Modelos Probabilísticos de Variável 
Aleatória Discreta
 Exemplo 3: Um dado é lançado duas vezes, de forma
independente. Defina uma variável aleatória representando a soma
dos pontos nos dois lançamentos do dado. Determine a função de
probabilidade.
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Modelo Binário
 Na prática, existem muitos experimentos que admitem apenas dois 
resultados.
 Exemplos: 
• uma peça é classificada como boa ou defeituosa;
• o resultado de um exame médico para detecção de uma
doença é positivo ou negativo;
• um paciente submetido a um tratamento, durante um
período de tempo fixo, cura-se ou não da doença;
• um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita;
• no lançamento de um dado ocorre ou não a face 5.
 Situações com alternativas dicotômicas podem ser representadas, 
genericamente, por respostas do tipo sucesso-fracasso.
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Modelo Binário
 Esses experimentos recebem o nome de Ensaios de Bernoulli e 
originam uma v.a. com distribuição Bernoulli
Variável aleatória de Bernoulli: É uma v.a. que assume apenas 
dois valores:
• 1 se ocorrer sucesso,
• 0 se ocorrer fracasso.
Geralmente, a probabilidade de sucesso é representada
por p, 0 < p < 1.
Repetições independentes de um ensaio de Bernoulli (com a
mesma probabilidade de ocorrência de “sucesso”) dão origem ao
modelo de probabilidade binomial.
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Modelo Binomial 
 Consideremos experimentos que têm por objetivo verificar se uma 
determinada característica está presente nos resultados. Vejamos 
alguns exemplos
1) Uma pessoa é escolhida ao acaso entre os pacientes de uma clínica 
e verifica-se se ela possui ou não de uma determinada doença.
2) Uma pessoa é escolhida ao acaso entre os moradores de uma certa 
cidade e pergunta-se se ela é a favor ou contra certo projeto 
governamental.
 Agora suponha que repetimos um experimento deste tipo n vezes 
independentemente, ou seja, obtemos uma amostra de tamanho n. 
 30 pacientes são selecionados ao acaso da clínica (n=30)
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Modelo Binomial
 Chama-se experimento binomial ao experimento que se constitui 
de :
i ) n repetições de um experimento básico que tem apenas dois 
resultados possíveis;
ii ) as repetições são independentes; 
iii) a probabilidade de ocorrer o evento no qual estamos interessados 
(sucesso) em cada repetição é sempre igual a p.
 Se estas condições forem satisfeitas podemos associar a este
experimento uma variável aleatória X correspondente ao número
de ocorrências do evento de interesse nas n repetições
(“número de sucessos”).
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Estatística-UFBA)
Modelo Binomial
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Modelo Binomial
 Utilizando a fórmula acima podemos resolver as seguintes questões:
 Dez pacientes são escolhidos ao acaso da clínica; qual a probabilidade
de que 3 pacientes, dentre os selecionados, tenham a doença,
sabendo-se que10% dos pacientes são doentes ?
 Número de repetições - n=10
 Probabilidade de ter a doença em cada repetição - p = 0,10 ou 10% 
 X = número de pessoas doentes selecionadas nas 10 repetições 
(X pode ser 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10)
 Então 






 73 )90,0()10,0(
3
10
)3X(P
0,0574 ou 5,74%
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Modelo Binomial
 Sabe-se que 90% das pessoas de uma cidade são favoráveis a
um projeto governamental. Escolhendo-se 20 pessoas ao acaso
entre os moradores, qual a probabilidade de que 18 sejam
favoráveis ao projeto?
 Número de repetições - n=20
 Probabilidade de favorável em cada repetição - p = 0,90 ou 90% 
 X = número de pessoas favoráveis nas vinte repetições






 218 )10,0()90,0(18
20
)18X(P
0,2852 ou 28,52%
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Modelo Binomial
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Modelo Binomial
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Modelo Binomial
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Modelo Binomial
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