MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS

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1 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ 
SETOR DE TECNOLOGIA/SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL/ 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MÉTODOS NUMÉRICOS 
EM ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS: 
 
, 
por 
Lucas Máximo Alves 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURITIBA – PARANÁ 
MARÇO – 2007 
 2 
LUCAS MÁXIMO ALVES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS: 
 
, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURITIBA – PARANÁ 
MARÇO – 2007 
 3 
LUCAS MÁXIMO ALVES 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS: 
 
, 
 
 
Apostila organizada como resultado do estudo das aulas 
para obtenção de créditos da Disciplina de MÉTODOS DOS 
ELEMENTOS FINITOS do curso de Doutorado do 
Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos do 
Setor de Tecnologia/Setor de Ciências Exatas, 
Departamento de Engenharia Civil/Departamento de 
Matemática da Universidade Federal do Paraná 
 
 
 
 
Orientador: Prof. Dr. José Viriato Coelho Vargas 
 
Orientador: Prof. Dr. 
 
 
 
 
CURITIBA – PARANÁ 
MARÇO – 2007 
 4 
Dedicatória 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dedico, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
Agradecimentos 
 
 Agradeço a Deus pelo seu imenso amor e misericórdia revelado nas oportunidades 
que a vida me trouxe. Quero também agradecer: 
 À minha Família pelo apoio emocional e espiritual, ao meu orientador o Prof. Dr. 
....., ao meu Co-Orientador o Prof. Dr. .... , a Maristela Bradil pela amizade e dedicação com 
que nos atende, aos amigos, ...., .... ...., ......., e toda a galera do CESEC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6 
Epígrafe 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“vida é um algo multidimensional cuja 
imprevisível curvatura temporal só é 
conhecida quando se experimenta os fatos a 
cada dia e, mesmo assim, não se consegue 
prever com exatidão a curvatura temporal dos 
fatos seguintes, mesmo que se expanda esta (a 
curvatura futura) numa vizinhança em torno 
do fato no instante presente” (Lucas M. Alves) 
 
 
 
 
 
 
 
 7 
Sumário 
 
Apresentação ............................................................................................................................17 
Capítulo – I ...............................................................................................................................18 
INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS APROXIMADOS ............................................................18 
1. 1 – Objetivos do capítulo......................................................................................................18 
1. 2 – Introdução ............................................................................................................18 
1. 3 – Motivação e Conceitos Fundamentais ............................................................................19 
1. 4 – Simplificação de um Problema Real ..............................................................................19 
1. 5 – Tipos de Métodos Numéricos.........................................................................................20 
1. 6 – Discretização do Problema .............................................................................................20 
1. 7 – Exemplos e Aplicações...................................................................................................21 
1. 8 – Equações Diferenciais e Algébricas do Problema..........................................................24 
1. 9 – Método dos Elementos Finitos .......................................................................................25 
1. 10 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................26 
1. 11 – Exercícios e Problemas.................................................................................................27 
Capítulo – II..............................................................................................................................28 
O PROBLEMA DOS ELEMENTOS FINITOS UNIDIMENSIONAL - 1D ..........................28 
2. 1 - Objetivos do capítulo ......................................................................................................28 
2. 2 - Introdução ............................................................................................................29 
2. 3 – Variações dos Modelos no Método de Elementos Finitos .............................................31 
2. 4 – Definição Matemática e Desenvolvimento do Método ..................................................33 
2. 5 - O problema 1D forma mais forte (clássica) ....................................................................38 
2. 6- Forma Fraca ou Variacional do Problema de Valor de Contorno 1D (P.V.C.) ...............43 
2. 7- Equivalência de Formas Forte e Fraca; Condições de Contorno Naturais.......................46 
2. 8 - Método de Aproximação de Galerkin .............................................................................52 
2. 9- Equações na Forma Matricial (Matriz de Rigidez K) ......................................................56 
2. 10 - Exemplo de 1 e 2 graus de Liberdade ...........................................................................61 
2. 11 - Espaço de Elementos Finitos Lineares..........................................................................73 
2. 12- Propriedades da Matriz de Rigidez K ............................................................................77 
2. 13- Análise Matemática........................................................................................................80 
2. 14- Interlúdio: Eliminação de Gauss; Versão do Cálculo a Mão .........................................91 
2. 15 - O Ponto de Vista do Elemento ......................................................................................99 
2. 16- Matriz de Rigidez Elementar e Vetor Forças ...............................................................103 
2. 17 - Montagem da Matriz e Vetor Forças Globais .............................................................106 
 8 
2. 18 – Cálculo Explícito da Matriz de Rigidez e do Vetor Forças........................................110 
2. 19 - Exemplos e Aplicações Teóricas.................................................................................116 
2. 20 - Exercícios e Problemas Teóricos: Teoria da Viga de Euler-Bernoulli e Cúbicas 
Hermíticas ..........................................................................................................120 
2. 21 - Exemplos Práticos e Aplicações .................................................................................127 
2. 22 - Exercícios e Problemas Práticos .................................................................................143 
Capítulo – III ..........................................................................................................................149 
O PROBLEMA BI E TRIDIMENSIONAL - 2D E 3D .........................................................149 
3. 1 - Objetivos do capítulo ....................................................................................................149 
3. 2 – Introdução ..........................................................................................................149 
3. 3 – O problema 2D e 3D.....................................................................................................150 
3. 4 – O Problema da Conduçãode Calor Linear Clássica.....................................................152 
3. 5 – O Problema da Elasticidade Linear ..............................................................................158 
3. 6 – Estado de Tensões Planas e Deformações Planas ........................................................163 
3. 7 – Análise Acoplada..........................................................................................................168 
3. 8 – Apresentação do Código FEAP....................................................................................169 
3. 9 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................170 
3. 10 – Exercícios e Problemas...............................................................................................172 
Capítulo – IV ..........................................................................................................................187 
ELEMENTOS ISOPARAMÉTRICOS ..................................................................................187 
4. 1 - Objetivos do capítulo ....................................................................................................187 
4. 2 – Introdução ..........................................................................................................188 
4. 3 – Elementos Isoparamétricos e o seu Conceito de Programação ....................................190 
4. 4 – Elemento Quadrilateral Bilinear ...................................................................................192 
4. 5 – Elementos Isoparamétricos...........................................................................................194 
4. 6 – Elementos Triangular Linear ........................................................................................196 
4. 7 – Polinômios de Lagrange – 1D ......................................................................................198 
4. 8 – Elementos com um Número Variável de Nós ..............................................................199 
4. 9 – Quadratura Gaussiana...................................................................................................200 
4. 10 – Subrotinas de Funções de Interpolação e de Cálculo de Rigidez Elementar..............201 
4. 11 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................202 
4. 12 – Exercícios e Problemas...............................................................................................203 
Capítulo – V ...........................................................................................................................204 
MÉTODOS MISTOS E DE PENALIDADE .........................................................................204 
5. 1 - Objetivos do capítulo ....................................................................................................204 
5. 2 – Introdução ..........................................................................................................204 
 9 
5. 3 – Métodos Mistos e de Penalidade ..................................................................................205 
5. 4 – Normas de Sobolev.......................................................................................................206 
5. 5 – Melhor Aproximação e Estimativa de Erro..................................................................207 
5. 6 – Elasticidade Incompressível .........................................................................................208 
5. 7 – Escoamento de Stokes ..................................................................................................209 
5. 8 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................210 
5. 9 – Exercícios e Problemas.................................................................................................211 
Capítulo – VI ..........................................................................................................................212 
PROBLEMAS TRANSIENTES ............................................................................................212 
6. 1 - Objetivos do capítulo ....................................................................................................212 
6. 2 – Introdução ..........................................................................................................212 
6. 3 - Problemas Transientes...................................................................................................213 
6. 4 - Problemas Parabólicos (Equação de Calor) ..................................................................214 
6. 5 - Problemas Hiperbólicos (Elastodinâmica e Dinâmica Estrutural) ................................215 
6. 6 – Algoritmos Computacionais .........................................................................................216 
6. 7 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................217 
6. 8 – Exercícios e Problemas.................................................................................................218 
Capítulo – VII.........................................................................................................................219 
INTRODUÇÃO A ANÁLISE NÃO-LINEAR TÉRMICA E ELÁSTICA ...........................219 
7. 1 - Introdução ..........................................................................................................219 
7. 2 – A Formulação do Problema Forte e Fraca de Problemas Térmicos Não-Lineares ......220 
7. 3 – A Formulação do Problema Forte e Fraca de Problemas Elásticos Não-Lineares.......232 
7. 3 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................245 
7. 3 – Exercícios e Problemas.................................................................................................246 
Capítulo – VIII .......................................................................................................................247 
MECÂNICA DOS FLUIDOS................................................................................................247 
8. 1 - Introdução ..........................................................................................................247 
8. 2 - Fundamentação Teórica ................................................................................................249 
8. 3 - Equação de Navier-Stokes para Escoamento Laminar .................................................250 
8. 4 - Modelo de Penalidade para o Problema de Navier-Stokes ...........................................257 
8. 4 – Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos...........................................................262 
8. 5 – Projetos de Análise Não-Linear....................................................................................269 
8. 6 – Equação de Navier-Stokes em 3D................................................................................270 
8. 7 – Solução Numérica da Equação de Navier-Stokes + Energia I .....................................274 
8. 8 – Formulação de Transferência de Calor Fluido/Sólido..................................................287 
8. 9 – Solução Numérica da Equação de Navier-Stokes + Energia II ....................................290 
 10 
8. 10 – Fluidos Não-Newtonianos Inelásticos ........................................................................291 
8. 11 – Fluidos Não-Newtonianos Viscoelásticos ..................................................................292 
8. 11 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................293 
8. 11 –Exercícios e Problemas...............................................................................................294 
Capítulo – IX ..........................................................................................................................295 
SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES ..................................................................................295 
NÃO-LINEARES...................................................................................................................295 
9. 1 – Introdução ..........................................................................................................295 
9. 2 – O Método do Ponto Fixo ..............................................................................................296 
9. 3 – O Método de Piccard de Susbtituição Sucessiva..........................................................298 
9. 4 – O Método de Newton ...................................................................................................299 
9. 5 – Métodos de Newton Modificados ou (Quase-Newton)................................................300 
9. 6 – Métodos de Continuação ..............................................................................................308 
9. 6 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................321 
9. 6 – Exercícios e Problemas.................................................................................................322 
2ª Prova...................................................................................................................................326 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR COMPUTACIONAL.......................................................326 
Solução Por Newton-Raphson................................................................................................326 
Solução Por Newton-Raphson Modificado com Jacobiano calculado Numericamente ........331 
Solução Por Newton-Raphson com Line-Search ...................................................................332 
Solução Por Newton-Raphson com estratégia de Comprimento de Arco..............................333 
Capítulo – X ...........................................................................................................................334 
ELEMENTOS FINITOS UNIDIMENSIONAL ....................................................................334 
6. 9 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................349 
6. 10 – Enfoque Variacional ...................................................................................................370 
6. 11 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................378 
6. 12 – Um Caso Especial de Elementos Finitos....................................................................385 
6. 13 – Exercícios e Problemas...............................................................................................392 
Projeto Condução de Calor em Placa Rugosa Fractal ............................................................393 
Apêndices ...............................................................................................................................397 
A. 1 – Funções de Interpolação Local Lineares .....................................................................397 
A. 2 – Funções de Interpolação Local Quadráticas ................................................................402 
A. 3 – Tutorial para entrar no ENGTERM9 via WebtermXpower Plugin .............................408 
A. 4 – Tutorial para entrar no ENGTERM9 via VNC Server ................................................413 
A. 5 – Manual de Operação do Programa FEAP-Linux.........................................................414 
A. 6 – Manual de Comandos Internos do Programa FEAP-Linux.........................................420 
 11 
A. 7 – Como preparar um Arquivo de Entrada do Programa FEAP-Linux ...........................424 
A. 8 – Exemplo de um Arquivo de Entrada do Programa FEAP-Linux ................................431 
A. 9 – Procedimento para Análise Estrutural 2D no Programa FEAP-Linux ........................434 
A. 10 – Algoritmo do Método de Newton Raphson implementado no Maple IX .................435 
A. 11 – Tablea de Resultados Gerado pelo Método de Newton Raphson implementado no 
Maple IX ..........................................................................................................437 
Bibliografia.............................................................................................................................438 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12 
Lista de Figuras 
 
Figura - 1. 1. Diagrama de passos simplificadores de um problema real.................................19 
Figura - 1. 2. Problema de carregamento de tensão mecânica em uma placa com um furo 
circular no centro. .....................................................................................................................20 
Figura - 1. 3. .............................................................................................................................21 
Figura - 1. 4. .............................................................................................................................21 
Figura - 1. 5. .............................................................................................................................22 
Figura - 1. 6. Diagrama de substituição de um Modelo Contínuo exato por um Modelo 
Discreto Aproximado. ..............................................................................................................24 
Figura - 1. 7. Diagrama de Transformação de Equações Diferenciais em Equações Algébricas 
equivalentes. .............................................................................................................................24 
Figura - 1. 8. .............................................................................................................................25 
Figura - 1. 9. .............................................................................................................................25 
Figura - 2. 1. .............................................................................................................................39 
Figura - 2. 2. Função bolha.......................................................................................................49 
Figura - 2. 3. Funções para o exemplo de 1 grau de liberdade. (estas funções são secretamente 
a mais simples funções de interpolação dos elementos finto no contexto de um elemento.)...61 
Figura - 2. 4. A solução de Galerkin para o exemplo de 1 grau de liberdade. .........................63 
Figura - 2. 5. Comparação das soluções particulares exatas e de Galerkin, Exemplo 1 caso (ii).
..................................................................................................................................................64 
Figura - 2. 6. Comparação das soluções particulares exatas e de Galerkin, Exemplo 1 caso 
(iii). ...........................................................................................................................................65 
Figura - 2. 7. Funções o exemplo para 2 graus de liberdade. (Estas funções são secretamente 
as funções mais simples dos elementos finitos em um contexto de dois elementos.) ..............66 
Figura - 2. 8. Função peso típico e solução tentativa para o exemplo com 2 graus de liberdade.
..................................................................................................................................................67 
Figura - 2. 9. Comparação dassoluções particulares e exata e de Galerkin, Exemplo 2, caso 
(ii). ............................................................................................................................................70 
Figura - 2. 10. Comparação das soluções particulares exata e de Galerkin, Exemplo 2, caso 
(iii). ...........................................................................................................................................71 
Figura - 2. 11. Funções de base para um espaço compacto de elementos finitos lineares .......74 
Figura - 2. 12. Um membro típico de h hw V .........................................................................74 
Figura - 2. 13. ...........................................................................................................................75 
Figura - 2. 14. Se 1B A  , as partes não nulas de BN e AN não se sobrepõem. .................77 
Figura - 2. 15. ...........................................................................................................................78 
Figura - 2. 16. Funções generalizadas elementares. a) Parênthesis de MaCaulay <x-y> b) 
Função de Heaviside H(x-y) = <x-y>,x c) (x-y) = H(x-y),x....................................................81 
Figura - 2. 17. Funções de Green. ............................................................................................82 
Figura - 2. 18. ...........................................................................................................................85 
Figura - 2. 19. ...........................................................................................................................86 
Figura - 2. 20. Descrição Local e Global do e’ésimo elemento. ............................................102 
Figura - 2. 21. .........................................................................................................................103 
Figura - 2. 22. X’s indica termos não-nulos; todos os outros termos são zero.......................105 
Figura - 2. 23. arranjo LM para o problema exemplo ............................................................106 
Figura - 2. 24. Fluxograma de um algoritmo de montagem de um elemento finito...............108 
Figura - 2. 25. Aproximação para f por uma interpolação linear de valores nodais...............112 
Figura - 1. 10. .........................................................................................................................121 
 13 
Figura - 2. 26. Elemento quadrilateral de duas dimensões para o uso na geração de malhas no 
FEAP. .....................................................................................................................................127 
Figura - 3. 1. ...........................................................................................................................150 
Figura - 3. 2 ............................................................................................................................166 
Figura - 6. 1. Rede de pontos nodais do Domínio,  e dos Subdomínios, e . ....................29 
Tabela - VI. 1.Quadro Resumo das Diferentes Formulações do Método de Elementos Finitos
..................................................................................................................................................32 
Figura - 6. 2. Mudança do domínio contínuo de coodenadas (x,y) para o discreto de 
coordenadas (i,j) .......................................................................................................................33 
Figura - 6. 3. Rede de pontos nodais do Domínio,  e dos Subdomínios, e . ....................35 
Figura - 6. 4. Intervalo de aplicação do Método de Galerkin .................................................337 
Figura - 6. 5. Elemento Finito linear entre dois pontos. .........................................................398 
Figura - 6. 6. Estruturação unidimensional dos Elementos Finitos. .......................................400 
Figura - 6. 7. Intervalo de aplicação do Método de Galerkin .................................................362 
Figura - 6. 8. ...........................................................................................................................374 
Figura - 6. 9. ...........................................................................................................................378 
Figura - 6. 10. Elemento Finito Quadrático entre três pontos ................................................402 
Figura - 6. 11. Estruturação unidimensional dos Elementos Finitos Quadráticos..................407 
Figura - A. 1. ..........................................................................................................................409 
Figura - A. 2. ..........................................................................................................................412 
Figura - A. 3. ..........................................................................................................................416 
Figura - A. 4. ..........................................................................................................................419 
Figura - A. 5. ..........................................................................................................................420 
Figura - A. 6. ..........................................................................................................................422 
Figura - A. 7. ..........................................................................................................................424 
Figura - A. 8. ..........................................................................................................................433 
Figura - A. 9. ..........................................................................................................................433 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 14 
Lista de Tabelas 
 
Tabela - VI. 1.Quadro Resumo das Diferentes Formulações do Método de Elemntos Finitos
................................................................................................................................................172 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 15 
Lista de Siglas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16 
Lista de Símbolos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 17 
Apresentação 
 Esta apostila é resultado da digitação das aulas do prof. Dr. Eng. Jose Vriato 
Coelho Vargas, ministradas no curso de Análise Térmica e Estrutural I no Departamento de 
Engenharia Mecânica da Universidade Federal do Paraná. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 18 
Capítulo – I 
INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS APROXIMADOS 
RESUMO 
 Neste capítulo será visto como a utilização de métodos aproximados pode ajudar a 
resolver problemas de equações diferenciais, quando a solução analítica é inacessível. 
Abordaremos o tema das hipóteses simplificadoras e a utilização de equações algébricas na 
substituição de equações diferenciais complexas. 
1. 1 – Objetivos do capítulo 
 i) Entender a problemática dos Métodos Aproximados aplicados a Engenharia. 
 ii) Distinguir situações onde a utilização dos Métodos Aproximados é viável. 
 iii) Saber da existência de diversos Métodos Aproximados. 
1. 2 – Introdução 
 A partir de agora estudaremos diferentes métodos de simplificação de problemas 
reais e de aproximação das soluções das equações diferenciais presentes na Engenharia. 
 A motivação do uso de métodos aproximadosestá em: 
 Validar a prática ou o experimento através do equacionamento matemático que 
modela um problema físico qualquer. 
 Por exemplo, o deslocamento medido por strain gauges, as medidas de 
temperatura, as medidas de velocidades em um túnel de vento são exemplos de medidas 
experimentais que podem ser validadas através de uma simulação numérica, para execução de 
um projeto futuro. 
 19 
1. 3 – Motivação e Conceitos Fundamentais 
 Uma pergunta básica é: 
Por que usar Métodos Aproximados? 
 Pode-se utilizar métodos numéricos para a obtenção de medições inviáveis 
economicamente, tais como tensão máxima, max , Temperatura máxima, maxT 
 As vantagens de se utilizar métodos numéricos são: 
1) Tempo de projeto reduzido com redução de custos. 
2) Simula condições impossíveis em experimentos 
3) Proporciona informações detalhadas e compreensíveis 
4) Viabiliza a OTIMIZAÇÃO (não há nada melhor dada os critérios utilizados) 
 A implementação de Métodos Numéricos está relacionada com as condições de 
SOFTWARE e HARDWARE. Os métodos Numéricos representam o caminho para a 
soluaçào de um problema físico, e o software deve ser desenvolvido de forma adequada. 
Contudo, o grande limitante da solução do problema é o hardware. Por exemplo, Análise 
Complexas em três dimensões, 3D, requer processamentos mais eficazes. 
 Os tipos de processamentos que podem ser utilizados são o Escalar: que utiliza 
um único computador, e o Vetorial, que utiliza dois ou mais computadores processando em 
paralelo, ou ainda um super-computador com diversas unidades de processamento. 
1. 4 – Simplificação de um Problema Real 
 Na tentativa de se descrever quantitativamente um problema (fenômeno) físico, ou 
seja, de se obter uma expressão matemática que corresponda ao fenômeno em questão, 
inicialmente o problema físico real é substituído por um problema equivalente, mais simples. 
 
 Figura - 1. 1. Diagrama de passos simplificadores de um problema real 
 Neste novo problema são selecionados os parâmetros considerados fundamentais 
e que podem ser descritos matematicamente através de um sistema de equações diferenciais 
 20 
válido em todo o domínio do problema. A esse sistema são impostas condições de contorno 
e/ou condições iniciais apropriadas. O próximo passo é a busca da solução para o problema. 
1. 5 – Tipos de Métodos Numéricos 
 Os Métodos Numéricos se dividem em Locais e Globais. Os socais são 
representados pelo Métodos de Diferenças Finitas, Métodos dos Elementos Finitos, Métodos 
dos Volumes Finitos, etc. O Métodos Globais são Representados pelos Métodos Espectrais de 
Domínios Alternativos que utilizam Transformadas Integrais de Laplace e Fourier, etc. 
 Todo método numéricos precisa passar por uma etapa chamada de discretização 
seja do domínio ou do contorno. 
1. 6 – Discretização do Problema 
 Discretização é processo de conversão das Equações Diferenciais de Domínio 
Contínuo para Equações Algébricas de Domínio Discreto, conforme mostra a exemplo da 
Figura - 1. 2 
 
 Figura - 1. 2. Problema de carregamento de tensão mecânica em uma placa com um furo circular 
no centro. 
 
 
 
 21 
1. 7 – Exemplos e Aplicações 
 
1.7.1 - Domínio e Análise 
 
 
 Figura - 1. 3. 
1.7.2 - Método Numérico 
1) Obtenção da Solução nos Nós 
2) Mecanismo de Interpolação da Solução 
 
0,1 Não é expresso exatamente no computador. 
 
 Figura - 1. 4. 
 22 
1.7.3 - Natureza de um Problema Bem Posto 
1) Existe Solução 
2) A Solução é única 
 
Exemplo: 
 Considere o seguinte Problema de Valor Inicial (P.V.I.) 
cxy  arctan (1. 1) 
 
21
1
xdx
dy

 (1. 2) 
 
0)0( xy (1. 3) 
 
 
3) Estabelecimento das Condições de Contorno 
 
 
 Figura - 1. 5. 
 
 
 23 
A
F
 (1. 4) 
 
 E (1. 5) 
 
j
i
ij
o x
u
L
L


 

 (1. 6) 
 
 
 
1.7.4 - Condições de Contorno 
 
1) Dirichilet (u) 
 
 
 
2) Neumann ( ixu  / ) 
 
 
 
3) Mista ou de Robin ( kxuu i  / ) 
 
 24 
1. 8 – Equações Diferenciais e Algébricas do Problema 
 Um sistema de equações diferenciais constitui um modelo contínuo, que possui 
infinitos graus de liberdade, uma vez que as variáveis se distribuem continuamente em todo o 
domínio do problema. Com exceção de alguns casos mais simples, em geral não é possível 
encontrar soluções analíticas para o problema. Recorre-se, então, aos modelos discretos (ou 
numéricos), obtidos dos modelos contínuos através de hipóteses simplificadoras: As variáveis 
que constituem infinitos graus de liberdade, são expressos em termos de um número finito de 
graus de liberdade. Esses graus de liberdade são incógnitas dos modelos discretos dos 
sistemas equivalentes e são determinados a partir da solução de um sistema de equações 
algébricas. 
 
Figura - 1. 6. Diagrama de substituição de um Modelo Contínuo exato por um Modelo Discreto Aproximado. 
 Resumidamente, quando o modelo contínuo é substituído por um modelo discreto, 
o problema matemático da solução de um sistema de equações diferenciais é substituído pelo 
problema da solução de um sistema de equações algébricas. 
 
Figura - 1. 7. Diagrama de Transformação de Equações Diferenciais em Equações Algébricas equivalentes. 
 
1.8.1 - Precisão da Solução Aproximada 
 
1) Comparação com solução exata (se existir) – Calibração do Método. 
2) Refinamento – Leva a uma Convergência da Solução 
3) Comparação com Resultados Experimentais - 
 25 
4) Reprodutibilidade dos Resultados - Para as mesmas condições experimentais com as 
considerações dos erros e as variações estatísticas sobre a dispersão dos valores obtidos em 
relação aqueles previstos pelo modelo. 
1. 9 – Método dos Elementos Finitos 
 Em geral, o Método de Elementos Finitos envolve dividir um sistema em 
componentes menores por meio do processo de DISCRETIZAÇÃO. 
 Considere a treliça que é um objeto da engenharia. 
 
 Figura - 1. 8. 
 
 Figura - 1. 9. 
 
 
 
 
 
 
 
 26 
1. 10 – Exemplos e Aplicações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 27 
1. 11 – Exercícios e Problemas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 28 
Capítulo – II 
O PROBLEMA DOS ELEMENTOS FINITOS 
UNIDIMENSIONAL - 1D 
RESUMO 
 Neste capítulo será visto a origem do Método dos Elementos Finitos. Este método 
se apresenta como uma alternativa ao Método Variacional e ao Método dos Resíduos 
Ponderados e por sua vez deu origem ao Método dos Elementos de Contorno. A formulação 
unidimensional do método dos elementos finitos. A formulação de Galerkin. A montagem da 
matriz de rigidez elementar, a descrição matemática de elementos finitos unidimensionais 
lineares. Alguns teoremas fundamentais e a solução de exemplos acadêmicos e discussão 
destes exemplos. 
2. 1 - Objetivos do capítulo 
 i) Entender a origem do Método dos Elementos Finitos 
 ii) Capacitar aluno a resolver problemas físicos lineares modelados por equações 
diferenciais, pelo Método dos Elementos Finitos, como por exemplo a análise de 
equipamentos sob solicitações térmicas e mecânicas, independentes ou combinadas 
 iii) Entender os conceitos fundamentais do Método dos Elementos Finitos na sua 
versão unidimensional. 
 iv) Saber formular matematicamente um problema unidimensional e saber montar 
a equação matricial elementar e global dos elementos finitos. 
 v) Saber aplicar o Método dosElementos Finitos a problemas unidimensionais. 
 vi) Saber aplicar o Método dos Elementos Finitos nas suas mais diferentes formas 
 vii) Resolver problemas de equações diferenciais pertinentes ao método. 
 29 
2. 2 - Introdução 
 O Método dos Elementos Finitos é um método de solução aproximada de 
equações diferenciais muito úteis em ciência e engenharia. Ele possibilita a simulação de 
situações reais em um espaço discreto, cujo limite infinitesimal tende ao contínuo. A 
visualização computacional também tem seguido a implementação dos cálculos por este 
método permitindo uma análise visual das situações determinadas através do cálculo 
numérico. 
 A idéia básica do Método dos Elementos Finitos consiste em subdividir, 
inicialmente, o domínio do problema, em subdomínios de dimensões finitas tais que, o 
conjunto de todos os subdomínios seja igual ao domínio original. Em seguida, sobre cada 
subdomínio, isoladamente, adota-se um comportamento aproximado, local, para as incógnitas 
do problema, conforme esquematiza a Figura - 2. 1. 
 Em geral, esse comportamento local é descrito com o emprego de funções 
simples. A característica principal desse procedimento, então, consiste em utilizar 
aproximações locais nos subdomínios, nos quais o domínio original foi dividido, em vez de 
utilizar aproximações de caráter global. Para a obtenção de respostas cada vez melhores, 
aumenta-se o número de subdomínios, mantendo-se o mesmo comportamento local já adotado 
em cada subdomínio, no lugar de se adotar funções de ordem maior na aproximação de caráter 
global. Os subdomínios são denominados elementos finitos. 
 Os elementos finitos são definidos por sua forma geométrica, pelas funções de 
aproximação adotadas e pelos tipos de problemas para os quais foram desenvolvidos. Cada 
elemento possui um número determinado de pontos nodais, ou nós, que podem ser internos ou 
externos. Os nós externos fazem a conexão com os elementos vizinhos. 
 
 Figura - 2. 1. Rede de pontos nodais do Domínio,  e dos Subdomínios, e . 
 30 
 Nos nós comuns aos diferentes elementos, o valor das variáveis do problema é o 
mesmo, independentemente do elemento que esteja sendo considerado. 
 Após a definição da malha de elementos finitos e do tipo de elemento (linear, 
triangular, quadrático, etc), as matrizes características correspondentes a cada elemento 
podem ser formadas e, em seguida, agrupadas, formando o sistema global de equações. A 
solução deste sistema fornece os valores das incógnitas nos pontos nodais. Através do 
comportamento aproximado local, as incógnitas do problema, em qualquer ponto do 
elemento, são calculadas em função dos valores nodais das mesmas incógnitas nos pontos 
nodais já conhecidos, isto é, as aproximações locais são funções de interpolação, por meio dos 
quais os valores das incógnitas em qualquer ponto pertencente ao elemento finito são 
calculados em função dos valores nodais. 
2.2.1 – A origem do Método dos Elementos Finitos 
 O trabalho de Turner, Cough, Martin e Topp “Stiffness and Deflection Analysis of 
Complex Structures” publicado em 1956 no Journal of Aeronautical Sciences. Vol. 23, pag. 
805-823, é reconhecido como um dos primeiros a apresentar os fundamentos do Método dos 
Elementos Finitos. 
 As bases teóricas do método foram mais bem definidas no início da década de 60 
com o estudo mais aprofundado dos Métodos Energéticos e de Técnicas Variacionais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 31 
2. 3 – Variações dos Modelos no Método de Elementos Finitos 
 Para problemas de Mecânica dos Sólidos, podem ser identificados quatro 
formulações, ou modelos básicos, que pertencem ao “Enfoque Variacional” do método: 
2.3.1 - Modelo Compatível 
 Baseia-se no Princípio da Energia Potencial Mínima. Sobre cada elemento é 
adotado um campo de deslocamento, escolhidos de tal maneira que haja continuidade de 
deslocamentos e, eventualmente, de suas derivadas, entre os elementos. As incógnitas são os 
deslocamentos nos pontos nodais. 
2.3.2 - Modelo de Equilíbrio 
 Baseia-se no Princípio da Energia Complementar Mínima. Sobre cada elemento é 
adotado um campo de tensões em equilíbrio; o equilíbrio entre elementos também é mantido. 
As incógnitas são as tensões nos pontos nodais. É um modelo pouco utilizado na prática. 
2.3.3 - Modelo Híbrido 
 Há dois tipos. O primeiro tipo se baseia em um Princípio de Energia 
Complementar Mínima Modificado. No interior de cada elemento é adotado um campo de 
tensões em equilíbrio e, no contorno de cada elemento, um campo de deslocamento é adotado, 
devendo haver compatibilidade de deslocamento entre elementos vizinhos. As incógnitas são 
os deslocamentos nodais. Aplicações Práticas: Problemas de estado plano de tensão ou 
deslocamento e de flexão de placas. 
 O segundo tipo se baseia em um Principio de Energia Potencial Mínima 
Modificado. No interior de cada elemento é adotado um campo de deslocamentos e, no 
contorno de cada elemento, um campo de tensões é adotado, devendo haver equilíbrio de 
tensões (forças de superfícies) entre elementos vizinhos. As incógnitas são as tensões, ou 
forças de superfícies nos pontos nodais. Esse modelo é pouco utilizado. Vantagem do Modelo 
Híbrido: Os resultados são mais precisos. 
2.3.4 - Modelo Misto 
 Baseia-se em um Princípio Variacional Generalizado, como o Princípio de 
Reissner. Sobre cada elemento são adotados, simultaneamente e independentemente, campos 
de tensões e de deslocamentos. As incógnitas são as tensões (ou forças de superfícies) e os 
 32 
deslocamentos nos pontos nodais. Vantagem do Modelo Misto: Deslocamentos e tensões são 
determinados com a mesma precisão. 
 No final da década de 70 foram introduzidos formulações baseadas na aplicação 
localizada do Método de Galerkin, o que possibilitou que o Método dos Elementos Finitos 
fosse empregado na solução de problemas que não possuam Formulação Variacional. De 
uma maneira geral, qualquer um dos Métodos de Resíduos Ponderados pode ser utilizado no 
cálculo pelo Método dos Elementos Finitos. 
 Tabela - VI. 1.Quadro Resumo das Diferentes Formulações do Método de Elementos Finitos 
Método Principio Utilizado Elementos 
Incógnitas 
nos pontos 
nodais 
Condições Vantagens Aplicações Práticas 
Compatível 
Princípio da 
Energia 
Potencial 
Mínima 
Campo de 
Deslocamento Deslocamentos 
Continuidade nos 
Deslocamentos e 
suas derivadas 
 
Equilíbrio 
Princípio da 
Energia 
Complementar 
Mínima 
Campo de 
Tensão em 
equilíbrio 
Tensão Equilíbrio pouco utilizado 
Híbrido do 
1º Tipo 
Princípio da 
Energia 
Complementar 
Mínima 
Modificado 
Campo de 
Tensão em 
equilíbrio no 
domínio e 
campo de 
Deslocamentos 
no contorno 
Deslocamentos 
Compatibilidade 
nos 
Deslocamentos 
entre os 
elementos 
vizinhos 
Resultados 
mais precisos 
Problemas 
de flexões 
em placas 
Híbrido do 
2º Tipo 
Princípio da 
Energia 
Potencial 
Mínima 
Modificado 
Campo de 
Deslocamentos 
no domínio e 
Campo de 
Tensões no 
contorno 
Tensões ou 
forças de 
superfícies 
Equilíbrio de 
Tensões (ou 
forças de 
superfícies) entre 
elementos 
vizinhos 
Resultados 
Mais precisos 
Misto 
Princípio da 
Variacional 
Generalizado 
(Reissner) 
Campo Tensões 
e 
Deslocamentos 
no domínio 
Tensões (ou 
forças de 
superfícies) e 
os 
Delocamentos 
 
Deslocamentos 
e Tensões 
determinados 
com mesma 
precisão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 33 
2. 4 – Definição Matemática e Desenvolvimento do Método 
 O Método de Elementos Finitos teve sua origem nos Métodos Variacionais 
aproximados, mas a partir doMétodo dos Resíduos Ponderados, este vínculo passou a ser não 
mais necessário. Portanto, por ser esta última situação de abragência mais geral, para o 
Método de Elementos Finitos, começaremos a representá-lo, em primeiro lugar, a partir do 
Método de Resíduos Ponderados, apesar de não ser a ordem histórica de evolução do método. 
Depois trataremos o Enfoque Variacional do Método de Elementos Finitos. 
2.4.1 – Aproximação do Problema Contínuo pela Discretização do Domínio 
 Seja um problema unidimensional dado pela seguinte equação diferencial: 
L(u) = b em  , (2. 1) 
sujeito as condições de contorno 
S(u) = g em  , (2. 2) 
onde L e S são operadores lineares. 
 Este problema será aproximado por uma função do tipo: 




1
1
M
m
mm Nuuu em  , (2. 3) 
cujo o domínio continuo,  será substituído por um domínio equivalente, discreto conforme 
mostra a Figura - 2. 2. 
 
 Figura - 2. 2. Mudança do domínio contínuo de coodenadas (x,y) para o discreto de coordenadas 
(i,j) 
 34 
 Logo, no domínio discretizado, teremos: 
L(u ) = b em  , (2. 4) 
e no contorno discretizado, temos: 
S(u ) = g em . (2. 5) 
Substituindo (2. 3) em (2. 4)e (2. 5) ficamos com: 
L 



1
1
)(
M
m
mm bNu em  (2. 6) 
e, no contorno: 
S 



1
1
)(
M
m
mm gNu em . (2. 7) 
Como L e S são operadores lineares, no domínio, podemos escrever: 



1
1
M
m
mu L bNm )( em  , (2. 8) 
e no contorno, 



1
1
M
m
mu S( gNm )( ) em . (2. 9) 
2.4.2 - Definição dos Elementos Finitos Unidimensional 
 Se o domínio  é dividido ou discretizado em E subdomínios, e, da seguinte 
forma: 



E
e
e
1
 (2. 10) 
E, se em correspondência a divisão do domínio, o contorno, , é dividido em B partes, b, da 
seguinte forma: 



B
b
b
1
 . (2. 11) 
 35 
 
 Figura - 2. 3. Rede de pontos nodais do Domínio,  e dos Subdomínios, e . 
Logo, teremos: 


E
e 1
L(


1
1
M
m
e
mm Nu ) = b em e , (2. 12) 
sujeito as condições de contorno 


B
b 1
S(


1
1
M
m
e
mm Nu ) = g em b . (2. 13) 
Como L e S são operadores lineares temos: 



1
11
M
m
m
E
e
u L ( emN ) = b em e , (2. 14) 
sujeito as condições de contorno 



1
11
M
m
m
B
b
u S( emN ) = g em b. (2. 15) 
 
2.4.3 – Inclusão do Método dos Resíduos Ponderados Unidimensional 
 A sentença de resíduos ponderados de caráter global (onde as funções de 
aproximação são válidas em  e em ): 
0   
 
 dwdw ll . (2. 16) 
 Logo, os erros cometidos no domínio é: 
 36 
 L(


1
1
M
m
mmNu ) – b  0 em  (2. 17) 
E no contorno: 
 S(


1
1
M
m
mmNu ) – g  0 em  (2. 18) 
Como L e S são operadores lineares temos: 
no domínio: 




1
1
M
m
mue L (Nm) - b  0 em e (2. 19) 
e no contorno 




1
1
M
m
mue S(Nm) - g  0 em b (2. 20) 
 Se o domínio  é dividido em E subdomínios, e, e se, em correspondência a 
divisão do domínio, o contorno, , é dividido em B partes, b. A sentença de resíduos 
ponderados de caráter global é substituída por: 
0
11
 

blb
B
b
ele
E
e
dwdw
b
e b
e
 
 
 , (2. 21) 
onde, as funções de aproximação são definidas localmente, sendo válidas somente para e e 
b e não mais para  e , da seguinte forma: 
0  bleele dwdw b
e b
e
 
 
 (2. 22) 
Portanto, temos: 




1
1
M
m
mue L (Nm) - b  0 em e (2. 23) 
e no contorno 
 37 




1
1
M
m
mue S(Nm) - g  0 em b (2. 24) 
 Portanto, 



1
1
[
M
m
mle uw
e
L(Nm) 



1
1
[]
M
m
mlee uwdb
e
 S(Nm) 0]  bdg  (2. 25) 
OBS: 
 Se as integrais em (2. 16) e (2. 21) contêm derivadas de ordem s nos integrandos, 
deve-se assegurar que as funções de aproximação tenham derivadas de ordem superior a (s -1) 
contínuas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 38 
2. 5 - O problema 1D forma mais forte (clássica) 
 Os principais constituintes de um método de elementos finitos para a solução de 
um problema de valor de contorno são: 
 i. O estabelecimento da forma variacional ou fraca do problema, e 
 ii. A solução aproximada das equações variacionais através do uso de “funções de 
elementos finitos” 
 Para esclarecer os conceitos nós começaremos com o seguinte exemplo. 
 Suponha que nós estamos resolver a seguinte equação diferencial para u: 
0,  fu xx (2. 26) 
)(xu é a solução (incógnita) a ser encontrada em ]1,0[x , onde a vírgula estabelece a 
derivada (i. e. 22 /, dxudu xx  ). Nós supomos que f é uma função suave dada. A qual é uma 
função de valor escalar definida no intervalo. Nós escrevemos: 
Rf ]1,0[: (2. 27) 
onde [0;1] se estabelece para o intervalo (i.e. a série de pontos de x tal que 0 1x  ) e  se 
estabelece para número reais. Em outras palavras, a equação (2. 27) estabelece que para um 
dado x em [0;1], f(x) é um número real. (frequentemente nós usaremos  para designar 
em”ou “um membro de”. Então para cada ]1,0[x , ( )f x  .). Também, [0;1] é dito ser o 
domínio de f, e  é seu espaço. Dizemos que f é uma função prescrita tendo uma 
forma suave se pelo menos esta é contínua e possui 1ª derivada contínua, isto é: 
]1,0[1Cf  (2. 28) 
 Nós temos descrito a dada função f como sendo suave. Intuitivamente você 
provavelmente sabe o que isto significa. Rigorosamente falando, se nós esquematizamos o 
gráfico da função f, nós queremos que esta seja suave sem descontinuidades ou quebras. Nós 
fazemos isto para evitar dificuldades técnicas. Certo que agora nós não desejamos elaborar 
além do que isto seja divergir-nos a partir do tema principal. Em algum ponto anterior para ir 
ao próximo capítulo, o leitor pode desejar consultar o Apêndice 1.I, Uma discussão Elementar 
da Continuidade, Diferenciabilidade e Suavidade”, para observações posteriores sobre este 
importante aspecto do trabalho de elementos finitos. O exercício na Secção 1.16 já usa um 
pouco da linguagem descrita no Apêndice 1.I. A terminologia pode ser algo não familiar para 
 39 
engenharia e estudantes de ciências físicas, mas este é agora largamente usado na literatura de 
elementos finitos e portanto é correto tornar-se acostumado a isto. 
 A equação (2. 26) é conhecida governar o deslocamento transverso de uma corda 
sob tensão e também o deslocamento longitudinal de uma barra elástica. Nestes casos, 
par6ametros físicos, tais como a magnitude da tensão na corda, ou módulo elástico no caso da 
barra, aparece em (2. 26). Nós temos omitido estes parâmetros para simplificar os 
desenvolvimentos subseqüentes. 
 Antes de nós irmos em frente, nós introduzimos algumas notações e terminologias 
adicionais. Seja ]0;1[ denota o intervalo unitário sem pontos extremos (i. e. a série de pontos x 
tal que 0 1x  ). ]0;1[ a [0;1] são referido como intervalos unitários aberto e fechado, 
respectivamente. Para simplificar escritas subseqüentes e tiras na notação empregadas depois 
em situações multidimensionais, nós adotaremos as definições: 
 Define-se o intervalo  como 
]0;1[  (aberto) (2. 29) 
onde este é um conjunto aberto e o intervalo  como 
[0;1]  (fechado) (2. 30) 
onde este é um conjunto fechado. Veja a Figura - 2. 4 
 
 Figura - 2. 4. 
 Neste ponto, considerações tais como estas podem parecerpedantes. Nossa 
proposta, contudo, é desenvolver uma linguagem para a articulação precisa do problema de 
valor de contorno, o qual é necessário para um bom trabalho de elementos finitos. 
2.5.1 - Forma Forte do Problema de Valor de Contorno (P.V.C.) 
 Um problema de valor de contorno para (2. 26) envolve imposição de condições 
de contorno sobre a função ( )u x . Existem uma variedade de possibilidades. Nós suporemos 
que ( )u x é requerido satisfazer 
 40 
gu )1( (2. 31) 
e 
hu x  )0(, (2. 32) 
onde g e h são constantes dadas. As equações (2. 26) e (2. 32) requer que u tome valores 
sobre o valor g em x = 1 e a derivada de u (i. e. a inclinação) tome valores –h em x = 0, 
respectivamente. Esta série de condições de contorno nos possibilitará depois para ilustrar 
certos aspectos da formulação variacional. Por razões obvias, condições de contorno do tipo 
(2. 31) e (2. 32) leva ao tão chamado problema de valor de contorno de dois pontos. 
 A forma forte do problema de valor de contorno, (S), é estabelecida como segue: 
Seja o problema (S), dado por :f R  e constantes ,g h devemos encontrar 
:u R  como solução da equação diferencial tal que: 
0,  fu xx em  (2. 33) 
Sujeito as condições de contorno: 
gu )1( (2. 34) 
e 
hu x  )0(, (2. 35) 
onde g e h são constantes dadas. 
 Quando nós escrevemos 0,  fu xx em  nós queremos dizer que 
, ( ) ( ) 0xxu x f x  para todo x  . É claro, a solução exata de (S) é trivial obter, 
notadamente 
( ), ( )xxu x dx f x dx   (2. 36) 
integrando 
0
0
( ), ( )
x
x
xu x f z dz  (2. 37) 
logo 
 41 
0
, ( ) , (0) ( )
x
x xu x u f z dz   (2. 38) 
Substituindo , (0)xu h  temos: 
0
, ( ) ( )
x
xu x h f z dz   (2. 39) 
Integrando mais uma vez 
1 1 1
0
, ( ) ( )
x
x
x x x
u z dz hdz f z dz dz
 
    
 
    (2. 40) 
temos: 
1
1 1
0
( ) ( )
x
x x
x
u z hz f z dz dz
 
    
 
  (2. 41) 
e 
1
0
(1) ( ) (1 ) ( )
x
x
u u x h x z f z dz dz
 
      
 
  (2. 42) 
Substituindo gu )1( , a solução exata é dada por; 
dydzzfhxgxu
x
y
  








1
0
)()1()( (2. 43) 
onde z é usado para denotar variáveis mudas. Contudo, este não é o principal fato aqui. Nós 
estamos interessados em desenvolver esquemas para obter soluções aproximadas par (S) que 
será aplicável a situações muito mais complexas no qual as soluções exatas são possíveis. 
 Alguns métodos de aproximação começam diretamente com a condição forte do 
problema. O exemplo mais notável é o método de diferenças finitas (e.g., veja [1]). O método 
de elementos finitos requer uma formulação diferente, a qual é tratada na próxima secção. 
 Observe que todos os pontos do contorno devem ser especificados e para qualquer 
problema sempre haverá uma condição de Dirichilet no contorno, conforme se descreve 
abaixo (para que a solução do problema seja única). 
 42 
 O problema (S) pode ser resolvido diretamente por Diferenças Finitas, onde 
aplica-se a discretização diretamente em sua formulação forte. Por outro lado, no Método dos 
Elementos Finitos não se aplica a discretização diretamente a (S) mas usa-se a sua formulação 
“fraca” que é chamado de problema equivalente (W). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 43 
2. 6- Forma Fraca ou Variacional do Problema de Valor de 
Contorno 1D (P.V.C.) 
 A forma variacional é aplicado em problemas de trocadores de calor, por 
exemplo, onde temos grandezas tais como, Calor, Q, Trabalho, W, e massa, M com restrição 
de volume fixo e gostaríamos de maximizar ou minimizar algum parâmetro ou grandeza 
física. Nesta situação devemos alterar o problema para o caso onde: 
MwWwQwF 32
1
1 
 (2. 44) 
cujas quantidades física são normalizadas, ou seja pertencentes ao intervalo ]1,0[1Q e 
321 ,, www são pesos utilizados para equacionar o problema de forma ponderada. 
 Na Formulação Variacional Fraca do PVC tem-se como objetivo: 
 1) Reduzir a ordem diferencial do problema 
 2) Permitir o uso de Formas Integrais de grau mais baixo ao invés de Formas 
Derivadas (formulação forte), isto para que seja possível resolver o problema com elementos 
lineares na funções de interpolação para a aproximação local do problema. 
 3) Simplificar o problema em relação a sua forma original, 
e por último 
 4) Forma alternativa tenha as mesma solução que a forma original. 
 Para definir a contrapartida fraca, ou variacional de (S), nós necessitamos 
caracterizar duas classes de funções tais que: 
1) A primeira deve ser composta de candidatas, ou soluções tentativas. A partir do 
principio, nós requereremos que estas possíveis soluções devem satisfazer as condições de 
contorno, ou seja, para as soluções candidatas Su exige-se que: 
gu )1( (2. 45) 
onde 1Hu . A outra condição de contorno será requerida na definição. Além do mais, para 
que certas expressões sejam empregáveis faz sentido, nós requerermos que as derivadas das 
soluções tentativas sejam quadrado integráveis. Isso é se u é uma solução tentativa, então as 
funções devem possuir suavidade tal que: 
 
1
0
2),( dxu x (2. 46) 
 44 
Funções que satisfazem (2. 46) são chamadas de 1funções H , implicando que xu, não 
“diverge” em  e xu, isto é, elas são quadraticamente integráveis 
1Hu , isto é )(xu e 
pertencente ao espaço de Hilbert . Algumas vezes o domínio é explicitamente incluído, i. e., 
  1 0;1u H . 
 Então a coleção de soluções tentativas, denotada por S, consiste de todas as 
funções as quais possuem derivadas quadrado integráveis e tomam valores sobre g em x =1. 
Isto é escrito como segue: 
 guHuuS  )1(,/ 1 (soluções tentativas) (2. 47) 
O fato que S é uma coleção, ou seqüências, de objetos é indicado pelas chaves (chamados 
chaves) em (2. 47). A notação para o membro típico da seqüência, neste caso, u, venha 
primeiro dentro do lado esquerdo das chaves. Seguindo a linha vertical (|) são propriedades 
satisfeitas por membros da seqüência. 
2) Define-se a segunda coleção de funções é chamada de funções peso, ou variações. 
Esta coleção é muito similar as soluções tentativas exceto que nós requeremos que a 
contrapartida homogênea da condição de contorno-g. Isto é, nós requeremos funções, w, para 
satisfazer exige-se que: 
0)1( w Vw (2. 48) 
onde 1Hw , a qual é a contra-parte homogênea da condição de contorno de Dirichilet. 
 0)1(,/ 1  wHwwV (funções pesos) (2. 49) 
Isto simplifica o assunto o que continua a pensar de :f   como sendo suave. 
(Contudo, o que segue permanece para uma classe consideravelmente grande de f’s). 
 Em termos das definições precedentes, nós podemos agora estabelecer uma forma 
fraca adequada para o problema do valor de contorno. 
 Logo o problema (W) é definido por dados f, g, h como antes, ache Su tal que 
para todo Vw , temos: 
 
1
0
1
0
)0(,, hwwfdxdxuw xx (2. 50) 
 45 
Formulação deste tipo são frequentemente chamada de formulação de trabalhos virtuais, ou 
formulação de deslocamentos virtuais, ou pricipios em mecânica. Os w’ são os 
deslocamentos virtuais. 
 A equação (2. 50) é chamada de equação variacional, ou (especialmente em 
mecânica) a equação do trabalho virtual. 
 A solução de (W) é chamada de fraca, ou solução generalizada. A definição 
dada de uma formulação fraca não é somente uma possível, mas é a mais natural daquela dos 
problemas que nós desejamos considerar.46 
2. 7- Equivalência de Formas Forte e Fraca; Condições de 
Contorno Naturais 
 Claramente, vemos que deve existir alguma relação entre a versões forte e fraca 
do problema, ou ainda não deveria ser ponto na introdução fraca. Uma vez que a solução das 
formas fraca e forte são idênticas. Nós estabeleceremos isto supondo que todas as funções são 
suaves. Isto nos permitirá proceder expeditiosamente sem invocar condições técnicas com as 
quais supõem-se que é familiar ao leitor. As “provas” deste tipo são algumas vezes 
eufemisticamente referidas como “provas formais”. O intento é não ser completamente 
rigoroso mas tornar plausível a verdade da proposição. Com esta filosofia em mente, nós 
“provaremos”o seguinte: 
2.7.1 - Proposição 
 a) Seja u a solução de (S). Então u é também solução de (W) 
 b) Seja u a solução de (W). Então u é também solução de ((S) 
Um outro resultado, o qual nós não nos preocuparemos em verificar mas de fato é facilmente 
estabelecido, é que ambos (S) e (W) possui solução única. Então, por (a) e (b), as soluções 
forte e fraca são uma e a mesma. Consequentemente, (W) é equivalente a ((S). 
2.7.2 - Prova Formal 
a) Uma vez que u é suposto ser uma solução de (S), nós podemos escrever: 
0,  fu xx em  (2. 51) 
e 
  0,  fuw xx  w  V (2. 52) 
logo 
  0,
1
0
  dxfuw xx (2. 53) 
Para qualquer w  V. Integração (2. 53) por partes   vduuvudv , onde 
, ; , ,x xx xu w du w dx dv u v u      . 
 Logo: 
 47 
1 1
1
0
0 0
, , , ,xx x x xwu dx wu w u dx
 
    
 
   w  V (2. 54) 
ou substituindo (2. 54) em (2. 53) temos: 
0,,,
1
0
1
0
1
0
  xxx uwwfdxdxuw  w  V (2. 55) 
Rearranjando e fazendo uso do fato de que: 
0)1(;,  whu x (2. 56) 
Logo resulta em: 
1 1
0 0
, , (0)x xw u dx wfdx w h    w  V (2. 57) 
Além disso, uma vez que u é solução de (S), ela satisfaz  (1)u g e portanto está em S. 
Finalmente, uma vez que u também satisfaz (2. 57), para todo Vw , u satisfaz a definição 
de uma solução fraca dada por (W), logo: 
(S)  (W) (2. 58) 
b) 
 Agora suponha que u é uma solução fraca de (S). Integra-se por partes o lado 
esquerdo da equação (2. 57), onde,   vduuvudv , e 
, , ; ,x xx xu u du u dx dv w v w      . Então: 
1 1
1
0
0 0
, , (0)x xxwu wu dx wfdx w h    (2. 59) 
 
1 1
1
0
0 0
, , (0) 0xx xwu dx wu wfdx w h      (2. 60) 
trocando o sinal de todos os termos: 
 48 
1 1
1
0
0 0
, , (0) 0xx xwu dx wu wfdx w h     (2. 61) 
reescrevendo temos: 
 
1
1
0
0
, , (0) 0xx xw u f dx wu w h    (2. 62) 
Ou 
 
1
0
, (1) , (1) (0) , (0) (0) 0xx x xw u f dx w u w u w h     (2. 63) 
Usando o fato de que (1) 0w  
   
1
0
, (0) , (0) 0xx xw u f dx w u h    (2. 64) 
e , (0)xu h  logo temos que: 
 
1
0
, 0xxw u f dx  (2. 65) 
 Para provar que u é uma solução de (S) é suficiente mostrar que as equações de 
Euler-Lagrange, (2. 65), implica ( 1) em: 
i) 
0)(,  fxu xx em  (2. 66) 
ii) 
0)0(,  hu x em  (2. 67) 
2.7.3 - Prova de i 
 Primeiro nós provaremos i). Defina w em (2. 65) por: 
 fuw xx , (2. 68) 
 
1 Estas equações são algumas vezes chamadas de equações de Euler-Lagrange da formulação fraca 
 49 
onde  é suave; ( ) 0x  para todo ]0;1[x   ; e (0) (1) 0   . Por exemplo, nós 
podemos tomar: 
 ( ) 1x x x   (2. 69) 
A qual satisfaz todos os requerimentos estipulados (veja Figura - 2. 4). 
 
 Figura - 2. 5. Função bolha. 
 Segue-se que 0)1( w e então w V , assim (2. 68) defina um legítimo membro 
de V . Substituindo (2. 68) em (2. 69) resulta em: 
     0,0,
1
0 0
2
0


hudxfu xxx
em


 (2. 70) 
ou 
   00,
1
0 0
2
0


dxfu xx
em


 (2. 71) 
Uma vez que 0  em  , segue-se de (2. 71) que (i) deve ser satisfeita. Portanto, 
0,  fu xx (2. 72) 
Agora que nós temos estabelecido (i), nós podemos usar este em (2. 68) para provar (ii),. 
2.7.4 - Prova de ii) 
 Notadamente, temos que: 
   0,)0(
00


 huw x (2. 73) 
 50 
e que w V não põe restrição sobre seu valor em 0x  . Portanto, nós podemos supor que o 
w em (2. 73) é tal que (0) 0w  . Então (ii) é também mostrado ser válida, o que completa a 
prova da proposição. 
 
Observações : 
 1. A condição de contorno ou fronteira hu x )0(, não é explicitamente 
mencionada na afirmação de (W)  condição de contorno natural.. Da prova precedente, nos 
vimos que esta condição de fronteira é, contudo, subentendida pela satisfação da equação 
variacional. Condições de fronteira deste tipo são referidas como condições de contorno 
natural. Por outro lado, soluções teste são explicitamente requeridas para satisfazer as 
condições de contorno u(1) = g. Condições de contorno deste tipo são chamadas de condições 
de contorno essenciais. O fato que as soluções da equação variacional satisfazem as 
condições de contorno naturais é extremamente importantes nas mais situações complicadas 
que nos consideraremos mais tarde. 
 2. O método usado para provar a parte (b) desta proposição leva o nome de lema 
fundamental na literatura do cálculo variacional. Na essência, esta é a metodologia que nos 
capacita a deduzir a equação diferencial e as condições de contorno impostas pela formulação 
fraca. Para desenvolver corretamente a forma fraca para problemas complexos, problemas 
multidimensionais, é essencial ter um entendimento profundo destes procedimentos. 
gu )1( porque Su é uma condição de contorno essencial. 
 Agora nós vemos que para obter soluções aproximadas para o problema de valor 
de contorno original nos temos alternativos pontos de partida, isto é, as afirmações fortes ou 
fracas do problema. Os métodos de elementos finitos são baseados no posterior. 
Grosseiramente falando, a idéia básica é aproximar S e V por convenientes conjuntos de 
funções de dimensão finita. (Claramente, S e V contêm infinitas funções). As equações 
variacionais são então resolvidas em um contexto de dimensão finita. Um exemplo explícito 
de como trataremos isso está na próxima seção. Contudo, nós introduziremos algumas 
notações adicionais para simplificar a subseqüente escrita. 
2.7.5 - Notação Abstrata 
 O produto escalar de funções w e u será denotado por: 
 51 

1
0
),( wfdxfw (2. 74) 
 O produto escalar da derivada de funções w e u será denotado por: 

1
0
,,),( dxuwuwa xx (2. 75) 
Em termos de (2. 73) e (2. 74), a equação variacional toma a forma: 
hwfwuwa )0(),(),(  (2. 76) 
também satisfaz a condição de simetria Aqui ),( a , ),(  são exemplos de formas 
bilineares, simétricas. O que a bilinearidade significa é que: Seja 1c e 2c constantes e seja u, 
v, e w seja funções. Então a propriedade de simetrias em cada posição é: 
),(),( uvvu  (2. 77) 
A bilinearidade significa que em cada um das “posições”, por exemplo 
),(),(),( 2121 wvacwuacwvcuca  (2. 78) 
e 
1 2 1 2( , ) ( , ) ( , )c u c v w c u w c v w   (2. 79) 
o que é obviamente linear na 2ª posição também. 
 
Exercício 1. 
 Use a definição de a(.,.) e (.,.) para verificar as propriedades de simetria e 
bilineariedade. 
 
 As notações acima são muito concisas, e ao mesmo tempo elas capturam a 
característica matemática essencial e portanto nos conduz para um entendimento matemático 
dos métodos de elementos finitos e variacional. Diversas classes de problemas físicos podem 
ser escritos essencialmente de modo similar a (2. 76). Portantoas idéias desenvolvidas e 
resultados obtidos são vistos imediatamente por terem uma aplicabilidade ampla. 
 52 
2. 8 - Método de Aproximação de Galerkin 
 Nós agora descreveremos um método de obter soluções aproximadas para 
problemas de valor de contorno baseados na formulação fraca. Nossa introdução para este 
tópico é tratado de modo um tanto abstrato. Contudo, o significado deve ser significamente 
reforçado pelas seções restantes deste capítulo. Isto pode ser louvável para o leitor consultar 
esta seção novamente antes de completar o resto do capítulo para ter certeza de uma completa 
compreensão da matéria está alcançada. 
 O primeiro passo no desenvolvimento do método é construir aproximações de 
dimensão finita de S e V. Estas coleções de funções serão denotadas por Sh e Vh 
respectivamente. Os super-escritos referem-se a associação com a malha, ou discretização, do 
domínio, o qual é parametrizado por um comprimento de escala característico, h . Nós 
desejamos acreditar que hS e hV sejam subsequ6encias de S e V, respectivamente. Isto é 
escrito como: 
 Seja 
 (i.e., se ,então )h h h hS S u S u S   (2. 80) 
E 
 (i.e., se ,então )h h h hV V w V w V   (2. 81) 
onde o significado preciso é dado em parêntesis(2). Conseqüências de (2. 80)e (2. 81) são 
respectivamente que se h hu S e h hw V , são as condições de contorno: 
gu h )1( (2. 82) 
e 
0)1( hw (2. 83) 
 As coleções, S, V, hS , e hV , são freqüentemente referidas como funções de 
espaços. A terminologia espaço na matemática usualmente denota uma estrutura linear. Isto 
possui o seguinte significado: Se 1c e 2c são constantes e v e w estão em V , então 
 
2 Esta condição pode ser considerada padrão. Contudo, é frequentemente violada na prática. Strang [2] cunhou a 
terminoloogia “crimes variacionais” para aplicar a esta, e outras situações nas quais as regras clássicas de 
métodos variacionais são violadas. Muitos “crimes variacionais” tem sido dado um rigorosa base matemática (e. 
g. veja [2]). Nós teremos mais a dizer sobre este assunto em capítulos subseqüentes. 
 53 
1 2c v c w está também em V . Ambos V e 
hV são então visto possuir a propriedade de um 
espaço linear. Contudo, esta propriedade está claramente não dividida por S e hS devido as 
condições de contorno não homogêneas. Por exemplo, se 1u e 2u são membros de S , então 
1 2u u S  , uma vez que 1 2(1) (1) 2u u g g g    na violação da definição de S . 
Portanto, a terminologia da função espaço é ainda (avulsamente) aplicado a S e hS 
2.8.1 - Método de Bubnov-Galerkin 
 Suponha que a coleção hV é dada. Então para cada membro h hv V , nós 
construímos uma função h hu S , ou seja, para cada hhhh SuVv  
hhh gvu  (2. 84) 
onde hg é uma função conhecida satisfazendo as condições de contorno essenciais, i. e. 
(1)hg g (2. 85) 
Note que (2. 84) satisfaz também o requesito da condição de contorno: 
 ggvu
g
hhh   )1()1()1(
0
 (2. 86) 
ou 
(1) 0hu g g   (2. 87) 
Então (2. 84) constitui uma definição de hS , isto é, hS é toda função da forma (2. 84). O 
ponto chave é observar é que, a menos da função hg , hS e hV são composta de coleção 
idêntica de funções. Este propriedade será mostrada depois para ter conseqüências 
significantes para certas classes de problemas. 
 Nós agora escrevemos a equação variacional, da forma (2. 76), em termos de 
 e h h h hw V u S  . 
( , ) ( , ) (0)h h h ha w u w f w h  (2. 88) 
 54 
Esta equação deve ser pensada como uma definição aproximada (solução fraca), hu . 
Substituindo (2. 84) em (2. 88) e a bilinearidade de ( , )a   permite-nos escrever: 
hwfwgvwa hh
ADEBILINEARID
hhh )0(),(),(    (2. 89) 
Essa bilinearidade implica em: 
),(),(),( hhhhhhh gwavwagvwa  (2. 90) 
Portanto, a partir de: 
( , ) ( , ) ( , ) (0)h h h h h ha w v a w g w f w h   (2. 91) 
Logo 
( , ) ( , ) (0) ( , )h h h h h h
incógnita
a w v w f w h a w g   (2. 92) 
 O lado direito da equação consiste da totalidade dos termos associados com os 
dados fornecidos (i. e. f, g e h). A equação (2. 92) deve ser definida hv , a parte desconhecida 
de hu . 
 A forma de Bubnov-Galerkin do problema, denotada por (G) é definida da 
seguinte maneira: 
 Dados f, g, h, definidos como antes, encontramos hhh gvu  onde 
hhhh VwparaqtVv  .. , temos: 
),()0(),(),( hhhhhh gwahwfwvwa  (2. 93) 
 Note que  G é apenas uma versão de  W posta em termos de uma coleção de 
funções finitos dimensionais, notadamente, hV . 
 Para fazer o assunto mais especifico, hg e hV tem que ser explicitamente 
definida. Antes de fazer isto é correto mencionar que uma larga classe de métodos de 
aproximações, chamada Métodos de Petrov-Galerkin, nos quais hv está contido em uma 
coleção de funções do que outras hV . Recente atenção tem sido prestada aos métodos desse 
tipo, especificamente no contexto da mecânica dos fluídos. Por esta vez, nos trataremos 
 55 
exclusivamente com o Método de Bubnov-Galerkin. O método de Bubnov-Galerkin é 
comumente referido como simplesmente o método de Galerkin, terminologia que nos 
adotaremos de agora em diante. A equação (2. 92) é algumas vezes referida com a equação 
de Galerkin. 
 Métodos de Aproximação desse tipo considerado são exemplos de tão chamados 
métodos dos resíduos ponderados. A referência padrão que trata desse assunto é Finlayson 
[3]. Para uma apresentação mais sucinta contendo um acontecimento histórico interessante, 
veja Finlayson e Scriven [4]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 56 
2. 9- Equações na Forma Matricial (Matriz de Rigidez K) 
 O método de Galerkin leva a um sistema acoplado de equações algébricas 
lineares. Para ver isto nós precisamos dar uma estrutura além da definição de hV . Seja hV 
consistindo de todas as combinações lineares de funções denotadas por :AN   , onde 
1,2,...,A n . Por issso nós dizemos que se h hw V , então existe constantes Ac , 
1,2,...,A n , tal que: 
1
int
1 1 2 2
, ( ) , [0;1]
...
n
h
A A A
A funções de
erpolação
n n
w c N N x x
c N c N c N

 
   
 
 (2. 94) 
As AN ’s são referidas como funções de forma, funções de base ou funções de 
interpolação. Nós requeremos que AN satisfaça: 
nAN A ,...,1,0)1(  (2. 95) 
Para o qual segue-se de (2. 94) que (1) 0hw  , como é necessário. hV é dito ter dimensão n, 
por razões obvias. 
 Para definir os membros de hS nós precisamos especificar hg . Para este fim, nós 
introduzimos uma outra função de forma, 1 :nN   , a qual possui a seguinte 
propriedade: 
1)1(1 nN (2. 96) 
(Note que 1
h
nN V  .) Então 
hg é dado por: 
)(1 xgNg n
h
 (2. 97) 
E então 
(1)hg g (2. 98) 
Com estas definições, um típico h hu S pode ser escrito como: 
 57 
1
1


  n
n
A
AA
hhh gNNdgvu (2. 99) 
onde as Ad ’s são constantes e do qual é aparente que: 
(1)hu g (2. 100) 
Substituindo (2. 94) e (2. 99) em dentro da equação de Galerkin (2. 93) temos: 
),()0(),(),( 1
11111


  n
n
A
AA
n
A
AA
n
A
AA
n
B
BB
n
A
AA gNNcahNcfNcNdNca
 
(2. 101) 
ou 
0),()0(),(),( 1
11






 


  
AG
nAAABBA
n
B
n
A
A gNNahNfNdNNac (2. 102) 
Pelo uso da bilinearidade de ( , )a   e ( , )  , (2. 101), como as funções NA são ortogonais no 
espaço de funções temos que: 
0
1


A
n
A
AGc (2. 103) 
tem que valer hw e tem que valerAc , e. g. todos os 0Ac . Logo obrigatoriamente 
temos que: 
0AG (2. 104) 
Donde resulta que 
1
1
( , ) ( , ) (0) ( , ) 0
n
A A B B A A A n
B
G a N N d N f N h a N N g

     (2. 105) 
Agora a equação de Galerkin é mantida para todo h hw V . Por (2. 94), isto significa para 
todo Ac ’s, 1,2,...,A n . Desde que os Ac ’s são arbitrárias em (2. 103), é necessariamente 
segue que cada uma AG , 1,2,...,A n , deve ser identicamente zero, i. e. de (2. 105). 
 58 
1
1
( , ) ( , ) (0) ( , )
n
A B B A A A n
B
a N N d N f N h a N N g

   (2. 106) 
Note que todas as coisas é conhecida em (2. 106) exceto os Bd ’s. Então (2. 106) constitui um 
sistema de n equações em n incógnitas, onde as incógnitas são os sdB ' . Isto pode ser escrito 
de uma forma mais concisa como segue: 
 Chamando de: 
),( BAAB NNaK  (2. 107) 
e 
gNNahNfNF nAAAA ),()0(),( 1 (2. 108) 
Então (2. 106) torna-se e ficamos com a seguinte equação: 
AB
n
B
AB FdK 
1
 1,2,...,A n (2. 109) 
Além disso a simplicidade é ganha pela notação matricial. Onde 
 
11 12 1
12 22 2
1 2
...
...
: _ : :
...
n
n
AB
n n nn
K K K
K K K
K
K K K
 
 
  
 
 
 
K (2. 110) 
com 
 
1
2
:A
n
F
F
F F
F
 
 
    
 
  
 (2. 111) 
e 
 
1
2
:B
n
d
d
d d
d
 
 
    
 
  
 (2. 112) 
Portanto, a forma Matricial (M) para o problema (2. 109) pode ser escrita como: 
 59 
Fd

K (2. 113) 
As seguintes terminologias são frequentemente aplicadas, especialmente quando o problema 
sob consideração pertence a um sistema mecânico. 
K = Matriz de Rigidez 
F

 = Vetor força 
d

= Vetor deslocamento 
 Uma variedade de interpretações físicas são é claro possíveis. 
 Neste ponto, nós podemos estabelecer a matriz equivalente (M), do rpoblema de 
Galerkin. 
 Dada a matriz coeficiente K e o vetor F

, ache d

 tal que: 
Fd

K (2. 114) 
 A solução de (M) é, claro, apenas 1d F K
 
 (suponde que a inversa de K , 1K , 
existe). Uma vez que d

 é conhecido, a solução de (G) pode ser obtida em qualquer ponto 
x  pelo emprego de (2. 99), viz., de posse da solução nós podemos reconstruir a solução: 
)()()( 1
1
xgNxNdxu n
n
A
AA
h


 (2. 115) 
Desta forma, as derivadas de hu , se requeridas, podem ser obtidas pela derivação termo a 
termo. Deve-se enfatizar que a solução de (G) é uma solução aproximada de (W). 
Consequentemente, a equação diferencial e as condições de contorno naturais são somente 
aproximadamente satisfeita. A qualidade da aproximação depende apenas da escolha 
específica dos AN ’s e do número n. 
Observações: 
 1. A matriz K é simétrica. Isto segue da simetria de ( , )a   e do uso do método 
de Galerkin (i. e. as mesmas funções de forma são usadas para as variações e as soluções 
tentativas): 
 
 
,
,
AB A B
B A
BA
K a N N
a N N
K



 (2. 116) 
Na notação matricial 
 60 
TK K (2. 117) 
Onde o superscrito T denota a matriz transposta. A simetria de K possui conseqüências 
computacionais importantes: 
 2. Vamos recuperar os esquematicamente os passos que levaram ao problema 
matricial, como elas são típicos do processo deve-se ir através do desenvolvimento do método 
dos elementos finitos para um dado problema: 
( ) ( ) ( ) ( )S W G M   (2. 118) 
A única aproximação aparente feita então está em resolver aproximadamente (W) via (G). 
Nas situações mais complicadas, encontradas na prática, o número de aproximações aumenta. 
Por exemplo, os dados f, g e h podem ser aproximados, bem como o domínio  , cálculo de 
integrais e assim por diante. A prova da convergência e análise de erro envolve a 
consideração de cada aproximação. 
 3. É algumas vezes conveniente escrever: 
1
1
( ) ( )
n
h
A A
A
u x d N x


 (2. 119) 
onde 1nd g  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 61 
2. 10 - Exemplo de 1 e 2 graus de Liberdade 
 Nesta secção nós realizaremos os cálculos detalhados que envolvidos na 
formulação e solução do problema de Galerkin. As funções empregadas são extremamente 
simples, então dispensando-se a computação, mas eles são também exemplos primitivos de 
funções típicas de elementos finitos. 
 
 
2.10.1 - Exemplo 1 (1 Grau de Liberdade) 
 Neste caso n = 1. Então 1 1
hw c N e 1 1 2
h h hu v g d N gN    . A única 
incógnita é 1d . O espaço de funções deve satisfazer 1(1) 0N  e 2(1) 1N  (veja (2. 95) e 
(2. 96)). Vamos tomar 1( ) 1N x x  e 2( )N x x . Estas funções são ilustradas na Figura - 
2. 6 e claramente satisfaz as condições requeridas. 
 
 Figura - 2. 6. Funções para o exemplo de 1 grau de liberdade. (estas funções são secretamente a 
mais simples funções de interpolação dos elementos finto no contexto de um elemento.) 
Uma vez que nós estamos tratando somente com 1 grau de liberdade, a parafernália matricial 
colapsa como segue: 
 11 11K K K (2. 120) 
 
 1 1F F F 

 (2. 121) 
 
 62 
 1 1d d d 

 (2. 122) 
e 
  
1
11 1 1 1 1
0 1 1
, , , 1x xK a N N N N dx
 
   (2. 123) 
e 
   

1 1 1 1 2
1 1
1 1
0 0 1 1
1
0
, (0) ,
(1 ) ( ) , ,
(1 ) ( )
x x
F N f N h a N N g
x f x dx h g N N dx
x f x dx h g
 
   
    
   
 

 
(2. 124) 
e 
1
1 11 1d K F F
  (2. 125) 
Consequentemente 
1
1
0
( ) (1 ) ( ) (1 )h
d
u x y f y dy h g x gx
 
 
      
 
  


 (2. 126) 
Em (2. 126), y executa o papel de uma variável muda. Uma ilustração de (2. 126) aparece na 
Figura - 2. 7. 
 63 
 
 Figura - 2. 7. A solução de Galerkin para o exemplo de 1 grau de liberdade. 
 Para se obter uma sensibilidade da natureza da aproximação, vamos comparar (2. 
126) com a solução exata (veja (2. 43)). É útil considerar formas específicas de f. 
 i. Para 0f  . Então 
( ) ( ) (1 )hu x u x g x h    (2. 127) 
que é, a solução aproximada é exata. De fato, isto está claro pela inspeção de (2. 126) e (2. 43) 
que a solução homogênea (isto é, a parte da solução correspondente a f = 0) é sempre 
representada exatamente. A única aproximação própria para a solução particular ( isto é, a 
parte da solução correspondente a f ≠ 0). 
 ii. . Agora nos introduziremos uma função não nula f. Suponha que f(x) = p, uma 
constante. Então a solução particular toma a forma 
2(1 )( )
2part
p xu x  (2. 128) 
e 
(1 )( )
2part
p xu x  (2. 129) 
As equações (2. 128) e (2. 129) são comparadas na Figura - 2. 8. Note que hpartu é exata em x 
= 0 e x = 1 e ,
h
part xu é exata em x = ½. (Isto seria claro que é impossível de 
h
partu ser exata em 
todos os x nas circunstancias presentes. A solução exata (2. 128), contém um termo 
 64 
quadrático em x, Uma vez que a solução aproximada é limitada por uma variação linear em x 
pela definição de N1 e N2). 
 
 Figura - 2. 8. Comparação das soluções particulares exatas e de Galerkin, Exemplo 1 caso (ii). 
 iii. Desta vez seja f(x)`= qx, onde q é uma constante. Esta escolha de f leva-nos 
para 
3(1 )( )
6part
q xu x  (2. 130) 
e 
(1 )( )
6part
q xu x  (2. 131) 
as quais são comparadas na Figura - 2. 9. Novamente note que hpartu é exata em x = 0 e x = 1. 
Existe um ponto 1
3
x  na qual ,
h
part xu é exata. 
 Deixe-nos resumir o que nos observamos neste exemplo: 
 a. A parte homogênea de hu é exata em todosos casos. 
 b Na presença de uma função f não nula, hu é exata em x = 0 e x = 1. 
 c. Para cada caso, existe pelo menos um ponto onde ,
h
xu é exata. 
 65 
 
 Figura - 2. 9. Comparação das soluções particulares exatas e de Galerkin, Exemplo 1 caso (iii). 
2.10.2 - Exemplo 2 (2 Graus de Liberdade) 
 Neste caso para n = 2 então: 
2211 NcNcw
h  (2. 132) 
onde 
0)1()1( 21  NN (2. 133) 
e 
32211 gNNdNdu
h  (2. 134) 
onde 1)1(3 N . 
 Defina-se AN ’s como se segue: 









1
2
1;0
2
10;21
)1(1
x
xx
N (2. 135) 
e 
 66 









1
2
1;)1(2
2
10;2
)1(2
xx
xx
N (2. 136) 
e 









1
2
1;12
2
10;0
)1(3
xx
x
N (2. 137) 
 As funções de forma ilustradas na Figura - 2. 10. Típicos h hw V e h hu S e 
suas derivadas são mostradas na Figura - 2. 11. 
 
 Figura - 2. 10. Funções o exemplo para 2 graus de liberdade. (Estas funções são secretamente as 
funções mais simples dos elementos finitos em um contexto de dois elementos.) 
Para n = 2 a parafernália matricial toma a seguinte forma: 







2221
1211
KK
KK
K (2. 138) 
e 
 67 
 
 
 Figura - 2. 11. Função peso típico e solução tentativa para o exemplo com 2 graus de liberdade. 







2
1
F
F
F (2. 139) 
e 







2
1
d
d
d (2. 140) 
Onde 
 
  
asdescontínu serem funções
das derivadas as devido se-separa
1
2/1
2/1
0
1
0
,,,,,,, dxNNdxNNdxNNNNaK xBxAxBxAxBxABAAB   (2. 141) 
 68 
 
 
Para 
4;2;2 22211211  KKKK (2. 142) 
Logo 









21
11
2K (2. 143) 
e 
   
dxNNhNdxfN
gNNahNfNF
xxAAA
AAAA
,,)0(
,)0(,
3
1
2/1
1
0
3
 

 (2. 144) 
donde: 
  hdxxfxF  
2/1
0
1 )(21 (2. 145) 
e 
1/ 2 1
2
0 1/ 2
2 ( ) 2 (1 ) ( ) 2F xf x dx x f x dx g     (2. 146) 
 Note que devido ao formato das descontinuidades das funções na tangente em 
x=½ , é conveniente expressar a integral em integrais em subintervalos [0, ½] e [½ ,1] (por 
exemplo, veja (2. 141) e (2. 144). Nós não precisamos nos preocupar sobre o valor das 
derivadas de AN em x=½ (sofre uma descontinuidade lá e portanto não é bem-definida no 
modo clássico) desde que isto não tem efeito sobre as integrais em (2. 141). Isto equivale a 
aplicar a noção de uma derivada generalizada. 
 Nos analisaremos novamente os três casos considerados no exemplo 1. 
 i. para f(x) = 0 temos: 







g
h
F
2
 (2. 147) 
 69 
E 
1
d F

 K
 
 (2. 148) 
 
1 1 1/ 2
1/ 2 1/ 2 2
h
d K F
g
        
   
 (2. 149) 
logo 
/ 2
g h
d
g h
 
  
 
 (2. 150) 
Este resulta em: 
1 2 3
2
1 2 3 1
( )
2
( )
2
h hu g h N g N gN
Ng N N N h N
       
 
      
 
 (2. 151) 
logo 
1(1 )
hu g h x N   (2. 152) 
 
( ) (1 )u x g h x   (2. 153) 
Novamente, a solução homogênea obtida é exata. (A razão para isto é que a solução exata é 
linear, e nossa solução teste é capaz de representar exatamente qualquer função linear. O 
método de Galerkin dá-nos uma resposta exata quando é possível – que é, quando quer que a 
coleção de soluções triviais contem uma solução exata através de seus membros). 
 Para problemas lineares os N’s lineares se repetem exatamente. A solução exata 
homogênea é igual a do MEF. 
 ii. Considerando f(x) = p: 
hpF 
41
 (2. 154) 
e 
 70 
gpF 2
22
 (2. 155) 
Logo 
1
11
22 4
31 1 2
8 22 2 2
pp g hh
dK F
p hp gg

            
     
     
        
 (2. 156) 
cuja solução toma a forma: 
)()1()( xuxhgxu hpart
h  (2. 157) 
onde 
21 8
3
2
)( NpNpxu hpart  (2. 158) 
 A solução particular aproximada é comparada com a exata conforme mostra a 
Figura - 2. 12., da qual nós vemos que a concordância é alcançada em 10, e 1
2
x  , e as 
derivadas coincide em 1
4
x  e 3
4
x  . 
 
 Figura - 2. 12. Comparação das soluções particulares e exata e de Galerkin, Exemplo 2, caso (ii). 
 iii. ( ) , constantef x qx q  
 71 
1 24
qF h  (2. 159) 
e 
2 24
qF g  (2. 160) 
logo 
6
7
48 2
q g h
d
q hg
    
  
  
  
 (2. 161) 
Novamente hu pode ser expresso na forma (2. 157), onde 
1 2
7
6 48
u
part
q qu N N  (2. 162) 
 Uma comparação é apresentada na Figura - 2. 13. A solução de Galerkin é 
compreendida para ser exata uma vez novamente em x = 0,1/2 e 1, e a derivada é exata nos 
dois pontos. 
 
 Figura - 2. 13. Comparação das soluções particulares exata e de Galerkin, Exemplo 2, caso (iii). 
 Deixe-nos resumir o que salientamos nas observações do exemplo 2: 
 72 
 a. A parte homogênea de hu é exata em todos os casos, como no exemplo 1 ( a 
razão para isto é dada depois da equação (2. 153)) 
 b. A solucão de Galerkin é exata em cada ponto final de cada sub-ntervalo para 
todos os casos. O que implica que a solução pelo Método dos Elementos Finitos é exata nos 
nós. 
 c. Em cada caso, existe pelo menos um ponto onde ,
h
xu é exata. x
hu , é exata em 
um ponto de cada elemento. 
 
 
 Depois generalizando o caso de n sub-intervalos da na seguinte seção, nos 
mostraremos na seção 1.10 que as observações acima não são acidentais. 
 
 
Exercício 1. 
 Se o leitor não tem experiência com as contas que apareceram nesta seção, seria 
louvável reproduzir todos os detalhes, desde que todos os detalhes foram omitidos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 73 
2. 11 - Espaço de Elementos Finitos Lineares 
 Os exemplos da seção precedente aplicaram a definição de hV e hS que são casos 
especiais do espaço dos elementos finitos lineares por partes. Para definirmos o caso geral nos 
quais hV é um n-dimensional, nos particionaremos o dominio [0;1] dentro de n sub-intervalos 
não sobrepostos. Um sub-intervalo típico é denotado por 1[ , ]A Ax x  , onde 1A Ax x  e 
A=1,2,….,n. Nos também exigimos que 1 0x  e 1 1nx   . Os Ax ’s sao chamados de pontos 
nodais ou nós. (A terminologia junta ou extremos também é usada). Os sub-intervalos são 
algumas vezes referidos como domínio dos elementos finitos, ou simplesmente elementos. 
Note que os comprimentos dos elementos 1A A Ah x x  nao se exige que sejam iguais. O 
parâmetro da malha, h, é geralmente tomado como o comprimento máximo dos intervalos 
(isto é, h = max Ah , A=1,2,…,n). Quanto menor for o h, mais refinada é a particao, ou malha. 
Se cada sub-intervalo tem o mesmo comprimento então h = 1/n. 
 A forma das funções são definidas como segue: associadas a um nó típico interno 
(isto é, 2 A n  ) 
 
 
1
1
1
1
1
;
( ) ;
0 ;
A
A A
A
A
A A A
A
x x
x x x
h
x x
N x x x x
h
elsewhere






 

 
  




 (2. 163) 
Onde nos pontos das fronteiras nós temos 
 
 
2
1 1 2
1
1 1
( ) ;
( ) ;nn n n
n
x x
N x x x x
h
x x
N x x x x
h 

  

  
 (2. 164) 
 As funções de forma são desenhadas na Figura - 2. 14. Por razoes obvias, elas são 
referidas por vários nomes como “ chapéu”, “ telhado” . Note que ( )A B ABN x  onde AB é a 
funcao delta de Kronecker ( isto é, AB =1 se A=B e AB =0 quando A≠B). Em outras palavras,74 
AN leva no 1 sobre o nó A e zero nos outros nós. Além disso, AN nao é zero somente em cada 
sub-intervalo que contém Ax . 
 
 Figura - 2. 14. Funções de base para um espaço compacto de elementos finitos lineares 
 Um membro típico de h hw V tem a forma 
1
n
A AA
c N
 e aparecem na Figura - 2. 
15. Note que hw é continua, mas tem descontinuidade na derivada sobre cada elemento da 
fronteira. Por esta razão, ,
h
xw , a derivada generalizada de 
hw , sera constante por partes, , 
experimentando descontinuidades através dos elementos de contorno. (Uma tal função é 
algumas vezes chamada de função degrau generalizada.) Restrita a cada um dos elementos do 
dominio, hw é uma polinomial linear em x . Com relação as condições de contorno essenciais 
homogêneas, (1) 0hw  . Claramente, hw é identicamente zero se e somente se cada um dos 
0, 1,2,...,Ac A n  . 
 
 Figura - 2. 15. Um membro típico de h hw V . 
 75 
 Membros típicos de hS são obtidos acrescentando 1
h
nq qN  para membros 
típicos de hV . Isto assegura que (1)hu g . 
 As funções por partes de elementos finitos lineares são as mais simples e as mais 
largamente usadas funções de lementos finitos de problemas unidimensionais. 
2.11.1 - Funções de Interpolação 
 Para funções de interpolação, usualmente utiliza-se polinômios. 
Exemplo: Lineares 
 
 Figura - 2. 16. 
onde os nóssxA ' e  1; AA xx e corresponde aos elementos. 
 Note que o tamanho dos intervalos 
AAA xxh  1 (2. 165) 
não são necessariamente iguais ao parâmetro da malha  Ahh max . 
2.11.2 - Definições das Funções de Interpolação ou de Forma 
 Os nós internos são dados por nA 2 , e a funções de interpolação são: 














1
1
1
1
,
,
)(
AA
A
A
AA
A
A
A
xxx
h
xx
xxx
h
xx
xN (2. 166) 
 
 
 
 
 
 76 
 
 
Exercício 1. 
 Considere a formulação fraca do modelo do problema unidimensional: 
1 1
0 0
, , (0)x xw u dx wf dx w h   (2. 167) 
onde wW e uS são supostos ser suaves sobre os elementos interiores (i. e. sobre 
1] ; [, 1,2,...,
e
A Ax x A n   mas pode sofrer inclinações descontínuas através dos 
contornos dos elementos. (Funções desta classe contém um espaço de elemento finito linear 
descrito anteriormente). A partir da equação (2. 294) e supondo a continuidade das funções, 
mostre que: 
1
1
2
0 ( , ) (0) , (0 )
( ) , ( ) , ( )
A
A
xn
xx x
A x
n
A x A x A
A
w u f dx w u h
w x u x u x



 

      
   
 

 (2. 168) 
Argumentando como na Secção. 1.4, pode ser concluído que as condições de Euler-Lagrange 
da equação (2. 294) são: 
 i. , ( ) ( ) 0xxu x f x  , onde 1] ; [, 1,2,...,A Ax x x A n  , 
 ii. , (0 )xu h
  ; e 
 iii. , ( ) , ( ), onde 2,3,...,x A x Au x u x A n
   
 Observe que (i) é a equação diferencial restrita aos elementos interiores, e (iii) é a 
condição de continuidade através dos elementos dos contornos. Este pode ser contrastado com 
o caso no qual a solução é suposta suave. Neste caso a condição de continuidade é 
identicamente satisfeita e a somatória das integrais sobre os elementos interiores pode ser 
substituída por uma integral sobre todo o domínio (veja Secção. 1.4). 
 Na formulação dos elementos finitos de Galerkin, uma solução aproximada de (i)-
(iii) é obtida. 
 77 
2. 12- Propriedades da Matriz de Rigidez K 
 As funções de forma , 1,2,..., 1AN A n  , são nulas do lado de fora da 
vizinhança do nó A. Como um resultado, muitas das entradas de K são nulas. Este pode ser 
visto como segue. 
 Seja 1B A  . Então (vide Figura - 2. 17) a matriz de rigidez, K , é dada por: 
dxxNxNK xBxAAB )(,)(,
1
0
 (2. 169) 
 A simetria de K implica, em adição, que (2. 169) permanece para 1A B  . Dis-
se que K é uma matriz de banda (i. e. suas entradas não nulas estão localizadas em uma 
banda sobre a diagonal principal). A Figura - 2. 18 a mostra esta propriedade. Matrizes de 
banda possuem significantes vantagens em que os elementos fora da banda não precisam ser 
armazenados nem operados sobre o computador. Esta matriz de rigidez que aparece na análise 
por elementos finitos é, em geral, bandas estreitas, permitem sua formação e solução 
econômica . 
 
 Figura - 2. 17. Se 1B A  , as partes não nulas de BN e AN não se sobrepõem. 
 Para um certo A, 
1,1,0)(,)(,  ABABsexNxN xBxA (2. 170) 
Logo se 
0ABK (2. 171) 
 A matriz de rigidez é tridiagonal e simétrica. 
 78 
11 12
21 22 23
32 33 2, 1
1, 2 1, 1 1,
, 1
0 ... 0
:
0 0
:
0 ... 0
n n
n n n n n n
n n nn
K K
K K K
K K K
K K K
K K
 
    

 
 
 
 
 
 
 
 
K
 
(2. 172) 
 Figura - 2. 18. 
2.12.1 - Definição 
 Uma matriz n n é dito ser positiva definida se 
 i. 0Tc c A  para todos os n-vetores c ; e 
 ii. 0Tc c A  implica que 0c  
2.12.2 - Observações 
 1. Uma matriz simétrica positiva definida possui uma única inversa. 
 2. Os autovalores de uma matriz positiva definida são reais e positivos. 
2.12.3 - Teorema 
 A matriz K n n definida por (2. 107) é positiva definida. 
2.12.4 - Prova 
 i. Seja , 1, 2,...,Ac A n as componentes de c
 (i.e.  Ac c
 ), um vetor arbitrário. 
Use estes Ac ’s para construir um membro de 
hV , 
1
n
h
A A
A
w c N

 , onde as AN são funções 
bases de hV . Então 
, 1
n
T
A AB B
A B
c c c K c

 K  (2. 173) 
E pela definição de ABK 
 79 
, 1
( , )
n
A A B B
A B
c a N N c

  (2. 174) 
Da bilinearidade de ( , )a   temos: 
1 1
,
n n
A A B B
A B
a c N c N
 
 
  
 
  (2. 175) 
E da definição de hw 
 ,h ha w w (2. 176) 
E por (2. 75) 
 
1 2
0
0
,
0
h
xw dx



 (2. 177) 
 ii. Supondo 0Tc c K  . Pela prova da parte ii. 
 
1 2
0
, 0hxw dx  (2. 178) 
e consequentemente hw deve ser constante. Uma vez que h hw V , (1) 0hw  . Combinando 
estes fatos, nós consideramos que ( ) 0hw x  para todo [0;1]x , o qual é possível somente se 
0, 1,2,...,Ac A n  . Então 0c  . 
 Note que a parte (ii) depende somente da definição de K e da condição de 
contorno essencial nula construída dentro da definição de hV . 
Resumo dos Resultados Matemáticos 
 K definido por (2. 107), é: 
 i. Simétrica 
 ii. Em Banda 
 iii. Positiva definida 
 A conseqüência prática das propriedades acima é que uma solução computacional 
muito eficiente de d FK
 
 pode ser executada. 
 80 
2. 13- Análise Matemática 
 Nesta secção nós mostraremos que as observações feitas com referência aos 
problemas exemplos da Sec. 1.7 são, de fato resultados gerais. Para estabelecer estes fatos 
rigorosamente somente se requer técnicas matemáticas elementares. 
 Nosso primeiro objetivo é estabelecer que a solução finita de Galerkin hu é exata 
nos nós. Para fazer isto no’s devemos introduzir a noção de uma função de Green. 
 Seja ( ) ( )y x x y   denota a função delta da Dirac. A função de Dirac não é 
uma função no senso clássico mas é um tipo de operador definido por sua ação sobre funções 
contínuas. Seja w uma função contínua e [0;1]; então nós podemos escrever: 
 
1
0
, ( ) ( )
( )
yw w x x y dx
w y
  

 (2. 179) 
Por (2. 179), nós vemos porque a atenção é restringida a função ser contínua- y , lança fora o 
valor de w em y. Se w fosse descontínua em y, seu valor seria ambíguo. Na mecânica, nós 
pensamos de y visualmente comorepresentante de uma força concentrada de uma 
amplitude unitária localizada em um ponto y. 
 A função de Green do problema correspondente a (S) pode ser estabelecida 
como segue: 
 Ache a função g (i. e. a função de Green) tal que: 
, 0xx yg   em  (2. 180) 
 
(1) 0g  (2. 181) 
 
, (0) 0xg  (2. 182) 
Note que (2. 180)-(2. 182) são simplesmente (S) em que f é substituído por y e g e h são 
tomados nulos. 
 Este problema pode ser resolvido pela forma de cálculos formais com 
distribuições ou funções generalizadas, tais como y . (A teoria de distribuições é tratada 
 81 
em Stakgold [5]). Uma boa conta elementar dos cálculos formais com distribuições 
apresentadas por Popov [9]. (Esta última referência é recomendada para leitores que não tenha 
tido experiência com este tópico.) Para este fim nós notamos que a integral (formal) de y é a 
função de Heaviside, ou a função de degrau unitário: 
0,
( ) ( )
1,y
x y
H x H x y
x y

   

 (2. 183) 
A integral de yH é o parêntesis de MaCaulay: 
0,
,
x y
x y
x y x y

  
 
 (2. 184) 
As funções precedentes são mostradas na Figura - 2. 19. 
 
 Figura - 2. 19. Funções generalizadas elementares. a) Parênthesis de MaCaulay <x-y> b) Função 
de Heaviside H(x-y) = <x-y>,x c) (x-y) = H(x-y),x. 
 Para resolver o problema da fução de Green, (2. 180) é integrado, fazendo uso de 
(2. 183), para obter: 
1,x yg H c  (2. 185) 
onde 1c é uma constante de integração. Uma segunda e uso de (2. 184) fornece (2. 180) 
fornece: 
1 2( )g x x y c x c    (2. 186) 
onde 2c é uma outra constante de integração. O cálculo 1c e 2c é executado requerendo (2. 
185) e (2. 186) parasatisfazer as condições de controrno. Este resulta em 
 82 
( ) (1 )g x y x y    (2. 187) 
(veja Figura - 2. 20) 
 
 
 Figura - 2. 20. Funções de Green. 
Observe que g é por parte linear. Então se Ay x (i. e. se y é um nó), 
hg V . 
 Na análise ensuing nós precisamos de uma equação variacional correspondente ao 
problema das funções de Green. Este pode ser deduzido a partir de (W) substituindo u por g. f 
por y , e g e h por 0, viz. 
 ( , ) ( , )ya w g w w y  (2. 188) 
A equação (2. 188) permanece para todas as funções contínuas w V realmente implica a 
continuidade de todo w V por um teorema bem conhecido em análse devido a Sobolev. 
(Este resultado é verdadeiro somente em uma dimensão. O integrabilidade quadrática das 
segundas derivadas é também requerida assegurar a continuidade das funções definidas em 
domínios bi e tridimensional.) 
2.13.1 - Teorema 
 Seja 
( ) ( ), 1,2,..., 1h A Au x u x A n   (2. 189) 
(i. e., hu é exata nos nós). Para provar o teorema, nós precisamos estabelecer dois resultados 
preliminares. 
 83 
2.13.2 - Lemma 1. 
 , 0h ha u u w  para todo h hw V (2. 190) 
2.13.3 - Prova 
 Nós temos observado previamente que hV V , assim nós podemos substituir w 
por hw na equação variacional 
 , ( , ) (0)h h ha w u w f w h  (2. 191) 
A equação (2. 191) permanece para todo hw V . Observe qu a equação de Galerkin é 
idêntica a equação (2. 191) exceto que hu aparece ao invés de u. Subtraindo a equação de 
Galerkin da equação (2. 191) e usando a bilinearidade e a simetria de ( , )a   obtém-se o 
resultado desejado. 
2.13.4 - Lemma 2. 
 Seja 
 ( ) ( ) ,h hu y u y a u u g   (2. 192) 
onde g é a função de Green. 
2.13.5 - Prova 
 Pela definição de y 
 ( ) ( ) ,h h yu y u y u u    (2. 193) 
Por (2. 188) 
 ( ) ( ) ,h hu y u y a u u g   (2. 194) 
Note que a linha 2 é verdade uma vez que hu u está em V . 
 84 
2.13.6 - Prova do Teorema 
 Como nós temos observado previamente, se Ay x , um nó, 
hg V . Vamos 
tomar este como sendo o caso. Então 
 ( ) ( ) , ( 2)
0 ( 1)
h h
A Au x u x a u u g Lema
Lema
  

 (2. 195) 
 O teorema é válido para 1,2,..., 1.A n  Strang e Fix [6] atribuem este 
argumento a Douglas e Dupont. Resultados deste tipo, encorporando caracteríticas de 
excepcional acuracidade, são frequentemente referidas como um fenômeno da 
superconvergência. Contudo, o leitor apreciaria que em situações mais complicadas, nós não 
seremos capazes de na prática, garantir exatidão nodal. Portanto, como nós veremos mais 
tarde, procedimentos de resíduos ponderados provêem um sistema de trabalho dentro do qual 
as propriedades de acuracidade ótima de alguma sorte pode ser frequentemente garantida. 
2.13.7 - Acuracidade das Derivadas 
Considerando as propriedades de convergência das derivadas, certas noções elementares de 
análise numérica surgem. O leitor deve está seguro que ele ou ela possui um completo 
entendimento destas idéias conforme elas subsequentemente aparecem em outros contextos. 
Nós começamos pela introdução de alguns resultados matemáticos preliminares. 
2.13.8 - Taylor’s Fórmula with Resíduos 
 Seja :[0;1]f  possui k derivadas contínuas e seja y e z dois pontos no 
intervalo [0;1]. Então existe um ponto c entre y e z tal que: 

2
2
..
1( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( )
2
1 ( ) , ( ) ...
3!
1 ( ) , ( )
! k vezes
x xx
xxx
k
xx x
f z f y z y f y z y f x y
z y f y
z y f c
k
    
   
 
 (2. 196) 
A prova desta fórmula pode ser achada em [7]. A equação (2. 196) é algumas vezes chamado 
de Expansão Finita de Taylor. 
 85 
2.13.9 - Teorema do Valor Médio 
 O teorema do valor médio é um caso especial da equação (2. 196) a qual é valido 
desde que 1k  (i. e., f é contínuamente diferenciável) 
( ) ( ) ( ) , ( )xf z f y z y f c   (2. 197) 
 
 Figura - 2. 21. 
 Considere um subintervalo típico 1[ , ]A Ax x  . Nós temos já mostrado que hu é 
exato nas extremidades (veja Figura - 2. 21). A derivada de hu em 1] , [A Ax x  é constante: 
1
1
( ) ( ), ( ) , ] , [
h h
h A A
x A A
A
u x u xu x x x x
h



  (2. 198) 
 
2.13.10 - Teorema 
 Suponha que u é continuamente diferenciável. Então existe no mínimo um ponto 
em 1] , [A Ax x  no qual (2. 197) é exata. 
1( ) ( ) , ( )A A x
A
u x u x u c
h
   (2. 199) 
2.13.11 - Prova 
 Pelo teorema do valor médio, existe um ponto c  ]xA,xA+1[ tal que: 
 86 
(Nós usamos (2. 197) com u, xA e xA+1 no lugar de f,y e z respectivamente). Desde que u(xA) = 
uh(xA) e u(xA+1) = uh(xA+1), nós podemos reescrever (2. 200) como 
1( ) ( ) , ( )
h h
A A
x
A
u x u x u c
h
   (2. 200) 
Comparação de (2. 200) com (2. 199) produz o resultado desejado. 
2.13.12 - Observações 
 1. Este resultado significa que o valor constante de hxu, deve coincidir com xu, 
em algum lugar de ]xA,xA+1[, veja Figura - 2. 22. 
 2. Sem o conhecimento de u nos nós não temos nenhuma maneira de determinar a 
localização nas quais as derivadas serão exatas. Os seguintes resultados serão muito úteis em 
que eles contam-nos que os pontos médios são, num sentido, otimamente exatos, 
independentes de u. 
 Seja 
1( ) ( ), ( ) , ( ) , ( ) , ( )
h hdef
h A A
x x x x
A
u x u xe u u u
h
   

    (2. 201) 
O erro (absoluto) nas derivadas 1[ , ]A Ax x  . Para estabelecer uma superioridade dos 
pontos médios no calculo das derivadas, nos precisamos de um resultado preliminar. 
 
 Figura - 2. 22. 
2.13.13 - Lema 
 Suponha que u é três vezes continuamente diferenciável. Então 
 87 
1
3 3
1 1 2
, ( ) , ( )
2
1 ( ) , ( ) ( ) , ( )
3!
A A
x xx
A xxx A xxx
A
x xe u
x u c x u c
h
  
 


   
 
     
 (2. 202) 
onde 1c e 2c são em 1[ , ]A Ax x  . 
2.13.14 - Prova 
 Expanda 1( )Au x  e ( )Aux em expansão finita de Taylor em torno de 
1[ , ]A Ax x  , viz., 
2
1 1 1
3
1 1 1
2
1 1 1
3
2 2 1
1( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( )
2
1 ( ) , ( ), [ , ]
3!
1( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( )
2
1 ( ) , ( ) [ , ]
3!
A A x A xx
A xxx A
A A x A xx
A xxx A
u x u x u x u
x u c c x
u x u x u x u
x u c c x
    
 
    
 
  

  

     
  
    
  
 (2. 203) 
Substraindo e dividindo por Ah fornece 
1 1
3 3
1 1 2
( ) ( ) , ( ) , ( )
2
1 ( ) , ( ) ( ) , ( )
3!
h h
A A A A
x xx
A
A xxx A xxx
A
u x u x x xu u
h
x u c x u c
h
  
 
 

     
 
     
 (2. 204) 
Substituindo u(xA+1) por uh(xA+1) e u(xA) por uh(xA) no lado esquerdo da equação e 
rearranjando os termos completamos a prova. 
2.13.15 - Discussão 
 Para determinar o que (2. 202) nos conta sobre a exatidão da derivada, nos 
desejamos pensar da situação na qual a malha está sendo sistematicamente refinada (isto é, 
nos deixamos hA se aproximar de zero). Neste caso 2Ah deve ser muito menor que hA. 
 88 
Portanto, para um dado u, se o lado direito de (2. 202) é )( 2AhO
3, o erro na derivada será 
muito menor do que s e o lado direito é somente O( hA). O expoente de há é chamado de 
ordem de convergência o ordem de exatidão. No caso anterior nos tínhamos a convergência 
de segunda ordem da derivada, uma vez que no último caso nos temos somente a 
convergência de primeira ordem. 
 Por exemplo, assumindo que a xA, então 
)()(
!3
)(
2
)( 1,
2
,, Axxx
A
Axx
A
Ax hOcu
hxuhxe  (2. 205) 
como hA 0 o primeiro termo domina. (nós vemos dos cálculos do exemplo na seção 1.8 que 
os pontos extremos de cada subintervalo não são muito exatos para as derivadas) 
 Claramente em qualquer ponto a  [xA,xA+1] obtém-se uma exatidão de primeira 
ordem. Nos somos portanto naturalmente levados a fazer uma pergunta, existe algum valor de 
a no quais a exatidão de derivadas de ordem superior são obtidas? 
2.13.16 - Corolário 
 Seja xA+1/2 o ponto médio. Então o erro 
 
)()(
,),(
24
)(
2
2
1,
1,
2
2
1,
A
hOxe
xxccuhxe
Ax
AAxxx
A
Ax



 (2. 206) 
 
2.13.17 - Prova: 
 Por (2. 202) temos que 
 )()(
48
)( 2,1,
2
2
1, cucu
hxe xxxxxxAAx  (2. 207) 
pela continuidade de u,xxx existe pelo menos um ponto c entre c1 e c2 tal que 
 )()(
2
1)( 2,1,, cucucu xxxxxxxxx  (2. 208) 
Combinando estes fatores completamos a prova. 
 
3 A função f(x) é dita ser de ordem O(xk), (isto é, de ordem xk) se f(x)/xk  uma constante quando x 0. Por 
exemplo, f(x) =xk é O(xk), como é f(x) = 0,   lx
lk
kj
j . Mas não é O(xk+1) (verifique!) 
 89 
2.13.18 - Observação 
 1. Do corolário nós vimos que as derivadas são exatas de segunda ordem nos 
pontos médios. 
 2. Se a solução é exata é quadrática (isto é, consiste de combinação linear dos 
monômios 1,x,x2 ), então u,xxx =0 e – pelo (2. 202) – a derivada é exata nos pontos médios. 
Este é o caso quando f(x) = p = constante. 
 3. Na teoria elástica linear de viga, as derivadas são proporcionais para as tensões. 
O ponto médio dos elementos lineares são chamados de pontos de tensão de Barlow, depois 
que Barlow[8], que foi o primeiro a notar que os pontos de ótima exatidão existiam dentro dos 
elementos. 
 
Exercício 1. 
 Suponha uma malha de elemento constante (i. e. , 1,2,...,Ah h A n  ). 
Considere a diferença finita padrão “stencil” para 
, 0xxu f  (2. 209) 
em um nó típico interno, chamado, 
1 1
2
2 0A A A A
u u u f
h
     (2. 210) 
Supondo que f varia de uma forma linear e assim pode ser expandido como: 
1
1
n
A A
A
f f N


 (2. 211) 
onde os fA são valores nodais de f, estabelecidos na equação de elementos finitos associado 
com o nó A e compare este com (2. 297). Deduza quando (2. 297) será capaz de exibir o 
fenômeno da superconvergência. (Isto é qual é a restrição sobre f?) Estabeleça a equação de 
elementos finitos associada com o nó 1, contando para h não nulo. Discuta esta equação a 
partir do ponto de vista de diferenças finitas. (Para comparações posteriores ao longo destas 
linhas, o leitor interessado necessita consultar [6], Capítulo 1.). 
 
 90 
2.13.19 - Resumo dos Resultados Matemáticos 
 A solução de elementos finitos de Galerkin do problema (s) possui as seguintes 
propriedades: 
 i. hu é exata nos nós (não é geral) 
 ii. x
hu , Existe pelo menos um ponto em cada elemento no qual a derivada é 
exata, ou seja, é exata em algum ponto de cada intervalo (quase geral) 
 iii. x
hu , A derivada tem uma precisão de 2ª ordem nos pontos médio dos 
elementos (quase geral) . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 91 
2. 14- Interlúdio: Eliminação de Gauss; Versão do Cálculo a Mão 
 É importante para alguém que deseja fazer análise por elementos finitos tornar-se 
familiar com o eficiente e sofisticado esquema que aparece no método dos elementos finitos. 
Sente-se que a melhor forma de fazer isto é começar com o esquema mais simples, 
executando alguns cálculos a mão, gradualmente aumentar a sofisticação conforme o tempo 
passa. 
 Para fazer alguns dos problemas nós precisamos de um método verdadeiramente 
eficiente de solução de matrizes a mão. O seguinte esquema é aplicável a sistemas de 
equações d FK
 
 no qual nenhum pivotamento (isto é reordenamento) é necessário. Por 
exemplo, matrizes simétrica positiva definida de coeficientes nunca precisa de pivotamento. O 
procedimento é como segue: 
2.14.1 - Eliminação de Gauss 
 Resolva a primeira equação para 1d e elimine 1d a partir das n - 1 
equações remanescentes 
 Resolva a segunda equação para 2d e elimine 2d a partir das n - 2 
equações remanescentes 
 
 
 Resolva a segunda equação para 1nd  e elimine 1nd  a partir da n’esima 
equação. 
 Resolva a n’esima equação para nd . 
 Os passos precedentes são chamados de Redução Direta. A matriz original é 
reduzida a uma matriz triangular superior. Por exemplo, suponha que nós começamos com um 
sistema de quatro equações como segue: 
11 12 13 14 1 1
21 22 23 24 2 2
31 32 33 34 3 3
41 42 43 44 4 4
K K K K d F
K K K K d F
K K K K d F
K K K K d F
     
    
                    
 (2. 212) 
A matriz Ampliada correspondente ao sistema é 
 92 

11 12 13 14 1
21 22 23 24 2
31 32 33 34 3
41 42 43 44 4
F
K K K K F
K K K K F
K K K K F
K K K K F
 
 
 
 
 
 
 
  K

 (2. 213) 
Depois da redução direta, a matriz augumentada torna-se: 

'
112 13 14
'
223 24
'
34 3
'
4
'
1
0 1
0 0 1
0 0 0 1
U F
FK K K
FK K
K F
F
 
 
 
 
 
 
 
 
 


 (2. 214) 
Correspondendo ao sistema triangular superior 'd U F

(4). Verifica-se simplesmente o fato 
de que se K é matriz de banda diagonal, então U também será. 
 Empregando a matriz augumentada reduzida, procede-se como segue: 
 Elimina-se nd das 1, 2,...1n n  . 
 Elimina-se 1nd  das 2, 3,...1n n  . 
 
 
 Elimina-se 2d da primeira equação. 
 Este procedimento é chamdo de substituição anterior. Por exemplo, no exemplo 
dado, depois da substituição anterior nós obtemos: 

1
2
3
4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
d
d
d
d
d
 
 
 
 
 
 
 
  I

 (2. 215)4 Primos serão usados para denotar quantidades intermediárias em toda esta secção. 
 93 
correspondendo a identidade d dI
 
. A solução surge na última coluna. 
2.14.2 - Algoritimo de Cálculo a Mão 
 Em um cálculo a mão, a eliminação de Gauss pode ser executada sobre a matriz 
augumentada como segue: 
2.14.3 - Redução Direta 
 Divida a linha 1 por 11K 
 Substraia 21K  linha 1 de linha 2 
 Substraia 31K  linha 1 de linha 3 
 
 
 Substraia 31K  linha 1 de linha n 
 Considere o exemplo de quatro equações. Os passos precedentes reduzem a 
primeira coluna para a forma 
12 13 14 1
22 23 24 2
32 33 34 3
42 43 44 4
1 ' ' ' '
0 '' '' '' ''
0 '' '' '' ''
0 '' '' '' ''
K K K F
K K K F
K K K F
K K K F
 
 
 
 
 
 
 (2. 216) 
 Note que se 1 0AK  , então a computação para a A’ésima linha pode ser ignorado. 
 Agora reduza a segunda coluna 
 Divida a linha 2 por 22'K 
 Substraia 31''K  linha 2 de linha 3 
 Substraia 42''K  linha 2 de linha 4 
 
 
 Substraia 2''nK  linha 2 de linha n 
 O resultado parecerá o exemplo parecerá como: 
 94 
12 13 14 1
23 24 2
33 34 3
43 44 4
1 ' ' ' '
0 1 ''' ''' '''
0 0 ''' ''' '''
0 0 ''' ''' '''
K K K F
K K F
K K F
K K F
 
 
 
 
 
 
 (2. 217) 
Note que somente a submatriz incluída nas lihas pontilhadas é afetada neste procedimento. 
 Repita até a coluna 3 para n são reduzidas e a forma triangular superior (2. 214) é 
obtida. 
2.14.4 - Substituição Anterior 
 Substraia 1,'n nK   linha n de linha n – 1. 
 Substraia 2'nK   linha n de linha n - 2 
 
 
 Substraia 1,' nK  linha n de linha 1. 
 Depois destes passos a matriz augumentada, para este exemplo, parecerá com: 
112 13
223
3
4
''''1 ' ' 0
''''0 1 ' 0
0 0 1 0
0 0 0 1
FK K
FK
d
d
 
 
 
 
 
 
 (2. 218) 
Note que a submatriz incluída nas linhas pontilhadas não é afetada por estes passos, e, ao lado 
da zeragem dos elementos apropriados da última coluna do coeficiente matriz, somente o 
vetor 'F

 é alterado. 
 Agora limpe da segunda para a última coluna no coeficiente da matriz: 
 Substraia 2, 1'n nK    linha n -1 de linha n - 2 
 Substraia 3, 1'n nK    linha n -1 de linha n – 3 
 
 
 Substraia 1, 1' nK   linha n -1 de linha 1 
 95 
 Novamente nós mencionamos que o único cálculo não trivial que estão sendo 
exeutados sobre a última coluna (i. e. sobre F

). 
 Repita como acima até coluna 2, 3,..., 2n n  são limpos. O resultado é (2. 215). 
2.14.5 - Observações 
 1. De passagem nós notamos que o procedimento acima não é o mesmo que a 
forma que alguém implementaria a eliminação de Gauss em um computador, o qual nós 
trataremos depois. Em um programa de computador para a eliminação de Gauss de matrizes 
simétricas nós desejaríamos tratar todos os resultados intermediários de forma a reter a 
simetria e então armazenar salvo estes resultados. Este pode ser feito por uma pequena 
mudança no procedimento. Contudo, sente-se que o esquema dado é mais claro para cálculos 
a mão. 
 2. O exemplo numérico com o qual nós fechamos esta secção ilustra o esquema de 
eliminação precedente. Note que a banda é mantida (i. e. os zeros no canto superior direito da 
matriz coeficiente permanece zero em todo os cálculos). O leitor necessita executar os 
cálculos. 
2.14.6 - Exemplo de Eliminação de Gauss 
 
1
2
3
4
1 1 0 0 1
1 2 1 0 0
0 1 2 1 0
0 0 1 2 0
d
d
d
d
     
                            
 (2. 219) 
 
2.14.7 - Matriz Ampliada 
 
1 1 0 0 1
1 2 1 0 0
0 1 2 1 0
0 0 1 2 0
 
   
  
 
 
 (2. 220) 
 96 
 
2.14.8 - Redução Direta 
 
1 1 0 0 1
0 1 1 0 1
0 1 2 1 0
0 0 1 2 0
 
  
  
 
 
 (2. 221) 
 
1 1 0 0 1
0 1 1 0 1
0 0 1 1 1
0 0 1 2 0
 
  
 
 
 
 (2. 222) 
 
1 1 0 0 1
0 1 1 0 1
0 0 1 11
0 0 0 1 1
 
  
 
 
 
 (2. 223) 
 
2.14.9 - Substituição Anterior 
 
1 1 0 0 1
0 1 1 0 1
0 0 1 0 2
0 0 0 1 1
 
  
 
 
 
 (2. 224) 
 
 97 
1 1 0 0 1
0 1 0 0 3
0 0 1 0 2
0 0 0 1 1
 
 
 
 
 
 
 (2. 225) 
 
1 0 0 0 4
0 1 0 0 3
0 0 1 0 2
0 0 0 1 1
 
 
 
 
 
 
 (2. 226) 
 
1
2
3
4
4
3
2
1
d
d
d
d
   
   
      
   
     
 (2. 227) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 1. 
 Considere o problema de valor de contorno discutido nas secções anteriores: 
, ( ) ( ) 0 ]0;1[xxu x x x  f (2. 228) 
e 
 98 
(1)u  g (2. 229) 
e 
, (0)xu  h (2. 230) 
Suponha ( )x xf q , onde q é constante, 0 g h . 
 a. Empregando o espaço linear de elementos finitos com nós igualmente 
espaçados, estabeleça e resolva as equações de elementos finitos de Galerkin para n = 4 (h = 
parâmetro de malha = ¼ ). Reveja que na Secção 1.7 este foi feito para n = 1 e n = 2 (h = 1 e 
h = ½, respectivamente). Não inverta a matriz de rigidez K; use o método de eliminação de 
Gauss para resolver e checar suas respostas uma vez que elas devem ser exatas nos nós. 
 b. Faça , , , /( / 2)hx x xre u u  q , o erro relativo em ,xu . Calcule ,xre nós pontos 
médios dos quatro elementos. Eles deveriam ser iguais. (Este foi também o caso para n = 2) 
 c. Empregando os dados para h = 1, ½ e ¼ , grafique ln( , )xre versus ln h . 
 d. Usando a análise de erro para ,xre nos pontos médios apresentados na Secção 
1.10, responda as seguintes questões: 
 i. Qual o significado da inclinação do gráfico na parte (c)? 
 ii. Qual o significado da intersecção-y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 99 
2. 15 - O Ponto de Vista do Elemento 
 Até agora nós tivemos uma visão matemática global do método dos elementos 
finitos simplesmente como um procedimento particular de aproximação de Galerkin aplicado 
a formulação fraca do problema em questão. O que significa que o que nós temos feito um 
procedimento de elementos finitos é o caráter das funções bases selecionadas; particularmente 
sua compacticidade e sua suavidade e suporte local (i. e. 0AN  do lado de fora de uma 
vizinhança de A). Este é o ponto de vista matemático; é um ponto de vista global naquela base 
de funções que são consideradas ser definidas em todo o lugar sobre o domínio do problema 
de valor de contorno. O ponto de vista global é útil no estabelecimento das propriedades 
matemáticas do método dos elementos fintos. Este pode ser visto na Secção 1.10 e será feito 
mais aparente depois. 
 Agora nós desejamos discutir sobre um outro ponto de vista chamado ponto de 
vista local, ou ponto de vista do elemento. Este ponto de vista é aquele tradicional em 
engenharia e é útil na implementação em computador do método dos elementos finitos e no 
desenvolvimento dos elementos finitos. 
 Nós começamos nosso tratamento do ponto de vista local com uma questão: O 
que é um elemento finito? 
 Nós atentaremos para dar a resposta em termos do espaço de elementos finitos 
compacto linear que nós definimos previamente. Um elemento individual consiste das 
seguintes quantidades. 
 Visão Global Visão Local 
Domínio:  1; AA xx  21; 
Nós  1; AA xx  21; 
Graus de 
Liberdade 
(DOF) 
 1; AA dd  21;dd 
Funções de 
Forma (F.F) 
(5) 
 1; AA NN  21; NN 
 
5 No método dos resíduos ponderados no qual hS e hV são construídos a partir de diferentes classesde funções 
(i. e. métodos de Petrov-Galerkin), nós também teríamos de especificar uma série de funções ponderadoras, a 
 100 
Funções de 
Interpolação 
ou Solução 
11 )()()(  AAAA
h dxNdxNxu
 1;  AA xxx 
2211 )()()( dNdNu
h  
 1;1x 
 
(Lembrando que ( )hA Ad u x .) Em palavras, um elemento finito linear é apenas a toalidade 
da parafernália associada com a funçào definida globalmente hu restrita ao domínio do 
elemento. As quantidades acima estão em termos de parâmetros globais – notadamente, as 
coordenadas globais, as funções de forma, o ordenamento dos nós, e assim por diante. É 
frutífero introduzir uma série de quantidades locais, correspondente a aquelas globais, tal que 
os cálculos para um elemento típico pode ser padronizado. Estes são dados como segue: 
 Note que na descrição local, a numeração nodal começa com 1. 
 Nós relataremos os domínios das descrições globais e locais por uma 
“transformação afim”: 
1 1 2:[ , ] [ , ]A Ax x    (2. 231) 
tal que 
1 1 2( ) ( )A Ax x    e (2. 232) 
É prática padrão tomar: 
1 21 1    e (2. 233) 
Então  pode ser expressa pela expressão: 
xccx 21)(  (2. 234) 
Onde c1 e c2 são constantes que são determinadas por: 
Axcc 211  (2. 235) 
e 
1211  Axcc (2. 236) 
Logo resolvendo o sistema fornece 
 
saber  1,A AN N   a série enteira de ,AN s cosntituiria então uma base uma base hV . No método de Galerkin 
A AN N . 
 101 
A
AA
h
xxxx 12)(  (2. 237) 
Lembrando que AAA xxh  1 ,  é um mapeamento e x é um ponto ou 
2
)( 1 AAA xxhx  (2. 238) 
x é um mapeamento e  é um ponto. 
 Na seqüência, nós adotaremos a convenção notaconal que susbscritos a, b, c, ... 
pertence ao sistema de numeração local. Os susbritos A, B, C,... sempre pertencerá aosistema 
de numeração global. Para controlar a proliferação de notações, nós frequenetemente 
usaremos a mesma notação para os sistemas global e local (e. g. ea Ad d ou e a AN N ). Este 
gerlamente não causaria confusão como o contexto tornará claro qual ponto de vista está 
sendo adotado. Se existe perigo de confusão, um superscrito e será ntroduzido para denotar 
uma quantidade na descriaçào local associada com o número do elemento e (e. g. 
, ( ) ( ( ))e e ea A a Ad d N N x   , onde 1 2 1 2 1:[ , ] [ , ] [ , ]
e e e
A Ax x x x x    , etc.). 
 Em termos de , a função de forma na descrição local toma a forma padrão: 
  2,1,1
2
1)(  aN aa  (2. 239) 
Observe também que (2. 238) podem ser escritas em termos de (2. 239) 
e
a
a
a
e xNx 


2
1
)()(  (2. 240) 
Esta tem a mesma forma da função de interpolação (cf. l5). 
 Para referência futura, nós notamos que os seguinte resultados: 
( 1),
2 2
a
a
aN 
 
  (2. 241) 
Cujo Jacobiano é: 
2
,
e
e hx  (2. 242) 
Onde eee xxh 12  e 
 102 
  eexex hx
2,,
1


 (2. 243) 
As descrições local e global do e’ésimo elemento são mostradas na Figura - 2. 23 
2.15.1 - Descrição Local e Global do Elemento “e” 
 
 Figura - 2. 23. Descrição Local e Global do e’ésimo elemento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 103 
2. 16- Matriz de Rigidez Elementar e Vetor Forças 
 Para desenvolver o elemento do ponto de vista adicional, nos supomos que nosso 
modelo consiste de eln elementos, numerados como mostra a Figura - 2. 24. Claramente 
eln n para este caso. Tomemos e ser o índice das variáveis para os elementos; portanto 
1 ele n  . 
 
 Figura - 2. 24. 
 Agora lembrando as definições (globais) da matriz de rigidez e vetor força 
elementar. 
  
1
,AB A
n n nx
K F F

 K

 (2. 244) 
Onde 
 
1
0
, , ,AB A B A x B xK a N N N N dx   (2. 245) 
e 
   1 1
1 1
1 1
0 0
, ,
, ,
A A A A n
A A A x n x
F N f h a N N q
N fdx h N N dx q




  
   
 (2. 246) 
(Em (2. 246) nos supomos 1 1( )A AN x  , quanto ao espaço dos elementos finitos linear por 
partes). As integrais sobre [0.1] podem ser escritas como somas de integrais sobre o domínio 
dos elementos. Portanto 
 104 
1
,
eln
e e e
AB
e
K

  
 K K K (2. 247) 
e 
1
,
eln
e e e
A
e
F F F F

  
 
  
 (2. 248) 
onde 
 , , ,
e
ee
AB A B A x B xK a N N N N dx

   (2. 249) 
e 
   1 1 1
1 1 1
, ,
, ,
e e
eee
A A e A A n
A e A A x n x
F N f h a N N q
N f dx h N N dx q
 
 


 
  
    
 (2. 250) 
e 1 2[ , ]
e e ex x  o domínio do e’ésimo elemento. 
 A observação importante para fazer e que K e F

 podem ser construídas pela 
soma das contribuições das matrizes elementares e vetores, respectivamente. Na literatura, o 
procedimento e algumas vezes chamada de método da rigidez direta [10]. 
 Pela definição de 'AN s nos temos que 
0, Se ou 1 ou ou 1eABK A e e B e e     (2. 251) 
e 
0, Se ou 1eAF A e e   (2. 252) 
A situação para um elemento típico, e, e mostrado na Figura - 2. 25. Na prática nos não 
adicionamos, naturalmente, os zeros mas simplesmente adicionando os termos não nulos nos 
locais apropriados. Para este propósito e útil definir o e’ésimo elemento da matriz de rigidez 
ke e o vetor de forca elementar fe como segue: 

 
1222
,
x
e
a
e
x
e
ab
e ffkk  (2. 253) 
 105 
e 
  
'
,,,

dxNNNNak xbxa
e
ba
e
ab (2. 254) 
e 










'
2
1
1,...,3,20
1


el
e
a
el
a
a
e
a
negk
ne
eh
fdxNf (2. 255) 
 Resta-nos agora montar a matriz global, a partir das contribuições elementares. 
 (2. 256) 
 
 
 Figura - 2. 25. X’s indica termos não-nulos; todos os outros termos são zero. 
Onde ke e fe são definidas com respeito a ordenação local, uma vez que Ke e Fe são 
definidas como respeito a ordenação global. Para determinar onde a componente de ke e fe 
“irão” em K e F, respectivamente, requer-se tomar informações adicionais. Isto é discutido na 
seção seguinte. 
 
 
 
 
 106 
 
2. 17 - Montagem da Matriz e Vetor Forças Globais 
 No programa de computador dos elementos finitos, isto é a tarefa da “subrotina 
dos elementos finitos” para produzir ke e fe, e = 1,2,...,nel dos dados recebidos e proporcionar 
informações suficientes para uma “ subrotina de montagem” de modo que os termos ke e fe 
podem ser adicionados para os locais apropriados em K e F, respectivamente. Esta 
informação de montagem é armazenada em uma coleção chamada LM, a matriz de 
localização. 
 Vamos cosntruir o arranjo LM para o problema sob consideração. As dimensões 
de LM são nen, o número de elementos nós, pelo número de elementos; no presente caso, os 
números são 2 e eln , respectivamente. Dado um número de graus de liberdade particular (a 
saber a e e, respectivamente), o valor retornado pelo arranjo LM é correspondente ao número 
de equações globais., A, viz. 
1
( , )
1 2
e if a
A LM a e
e if a

    
 (2. 257) 
O arranjo LM completo é mostrado na Figura - 2. 26. Esta é a forma que nós visualizamos 
este armazenado no computador. Note que LM(2, ) 0eln  . Isto indica que o grau de liberdade 
2 do número de elementos eln é prescritoe não é uma incógnita na equação matricial global. 
Portanto os termos 12 21 22, , ,
el el eln n nk k k e 2
elnf são não montados em K e F

, respectivamente. 
(Não existem lugarespara eles ir!). 
 
 Figura - 2. 26. arranjo LM para o problema exemplo 
 107 
 Como um exemplo, suponhamos que nós temos o que acrescentar a e’ésima 
contribuição elementar, onde 11 ele n   , para os K e F

 parcialmente montadas. A partir do 
Arranjo LM, nós deduzimos o seguinte procedimento de montagem: 
 
11
, 1 , 1 12
1, 1, 21
1, 1, 1 221
e
ee ee
e
e e e e
e
e e e e
e
e e e e
K K k
K K k
K K k
K K k
 
 
  
 
 
 
  
(6) (2. 258) 
e 
1
e
e eF F f  (2. 259) 
e 
1 1 2
e
e eF F f   (2. 260) 
onde a seta () é lida como “substituída por”. 
 Para o elemento eln nós temos somente que 
11
eln
nn nnK K k  (2. 261) 
e 
1
eln
n nF F f  (2. 262) 
Com estas idéias, nós podemos construir, na forma de esquema, um algoritimo para a 
montagem de K e F

, veja a 
 Figura - 2. 27 
 
6 Devido a simetria de 21
ek não seria realmente montado na prática. 
 108 
 
 Figura - 2. 27. Fluxograma de um algoritmo de montagem de um elemento finito 
 A ação do algoritimo de montagem é denotado totalmente por A , o operador 
montagem, vis., 
 
 109 
K A A

1 1
( ) , ( )
el eln ne e
e e
k F f
 
  (2. 263) 
 
    
11 colunas
)1(
)(
r
e
nxn
ee
e
efileirax
efileirax
F
xx
xx
K































 
(2. 264) 
 
Computacionalmente: 
1) Subrotina Elemento 
 Computa ee fk , para todos os elementos 
2) Monta-se, ee fk , (todos) 
Dentro de K e F 
),1(),,1(11 eLMeLM
e Kk  (2. 265) 
 


  ),(
... elementosn
locais
equaçõesn
LocalMatriz
globais
equaçõesn ooo
eaLMA  (2. 266) 
Conceitualmente-se, escreve-se 
   e
n
e
e
n
e
fAFRAK
elel
11
,

 (2. 267) 
 
 
 
 
 
 
 110 
2. 18 – Cálculo Explícito da Matriz de Rigidez e do Vetor Forças 
 A computação explicita de ke e fe , para o problema de acordo com a 
consideração, providencia algumas idéias preliminares dentro do tipo de calculo que deve ser 
realizado numa subrotina de elementos finitos. Alguns resultados preliminares são 
requisitados. 
 
Formula de Mudança de Variável ( versão unidimensional) 
 
 Seja 1 2:[ , ]f x x R uma função integrável e seja 1 2 1 2:[ , ] [ , ]x x x   uma 
função continuamente diferenciável, com 1 1 2 2( ) e ( )x x x x   . Então 
 Considere a seguinte mudança de variáveis 1 2: [ , ]f x x   se já ... 1 2 1 2: [ , ] [ , ]x x x   
2 2( )x x  
  
2
1
2
1
)(,)()(


  dxxfdxxf
x
x
 (2. 268) 
 
Regra da Cadeia 
 
 Sejam f e x como acima, e, em adição, assuma que f é diferenciável. Então a regra 
da cadeia fica: 
   ( ) , ( ) , ( )xf x f x x   



 (2. 269) 
Provas destes resultados podem ser achados em [11] 
 A computação de ke procede como se segue o exemplo: 
 Pela definição temos: 

'
)(,)(,

dxxNxNk xbxa
e
ab (2. 270) 
pela mudança de variáveis, onde ( )x  é definido por (2. 240) 
1
1
, ( ( )) , ( ( )) ,eab a x b xk N x N x x d  

  (2. 271) 
 111 
(regra da cadeia: , , ,( ) ( / ) ( ( )) ( ( )) ( )) =( 1) /
a b e
a a a xN N x N x x h     
     ) (por 
(2. 241)-(2. 243) 
1
1
1
1
1
, ( ) , ( )( , ( ))
( 1) ( 1) 2
2 2
( 1)
a b
a b
e
a b
e
N N x d
d
h
h
     






 




 (2. 272) 
Entào 









11
111
e
e
h
k (2. 273) 
 Observe que ,aN  (veja (1.12.7)) não depende dos dados dos elementos 
particulares, como ( )a aN N  . Nos veremos que isto geralmente é verdade, e portanto 
estas computações pode ser feitas uma única vez e para todos. 
 As derivadas ,x  e ,x depende dos dados particulares dos elementos (no presente 
caso de eh ), e sub-rotinas serão necessárias para calcular a analogia destas quantidades nos 
casos mais gerais. 
 Agora nos desejamos calcular fe. Contudo, isto não pode ser feito sem 
explicitamente conhecer o que f = f(x) é. Na pratica, isto seria inconveniente para reprogramar 
cada vez que nos quisermos resolver um problema envolvendo uma função f diferente. 
Geralmente uma aproximação conveniente é feita. Por exemplo, no podemos trocar f por sua 
interpolação linear sobre cada elemento, a saber, 
)usualmente(
2
1



a
aa
e Nff (2. 274) 
e 
contorno de termos  fdxNf
e
a
e
a

 (2. 275) 
 
 112 
onde ( ( ))a af f x  ; veja a Figura - 2. 28. A notação 
hf é usada para indicar que a 
aproximação depende da malha. Isto representa uma aproximação que é suficiente para 
aplicações mais praticas. (Isto é, naturalmente, exatas por constantes ou “carregamentos” 
lineares dos elementos). Agora a padronização das entradas do programa podem ser 
facilitadas; que é, o valor nodal de f são dados requisitados. Empregando esta aproximação no 
calculo explicito dos vetores elementares forca: 
     
1
1
( ) ( ) ( ) ( ) ,
e
h h
aN x f x dx Na x f x x d   

 
  (2. 276) 
(mudança de variáveis) 
12
1 1
( ) ( )
2
e
a b b
b
h N N d f  

 
   (2. 277) 
 
 
 Figura - 2. 28. Aproximação para f por uma interpolação linear de valores nodais. 
Calculando as integrais 
1
1
(1 ) 3a b abN N d 


  produz 
1
2
2 1
1 26
e
e fhf
f
  
   
   
(+termos de contorno, cf. (2. 245)) (2. 278) 
e 
1 2
1 2
2
26
e f fh
f f
 
   
(+ termos de contorno) (2. 279) 
 
 113 
Observação 
 Isto pode ser mostrado que, sobre convenientes hipótese, interpolação nodal linear 
por partes produz erros de  2O h nos dados; neste caso, f. (veja [12], pp56-57, para 
estimativas básicas de interpolação de erros). Isto pode ser mostrado que, em medidas 
apropriadas de erros, isto produz na pior das hipóteses um erro  2O h em hu e ,hxu . 
 Os seguintes exercícios indicam que podem existir melhores modos para se 
aproximar dos dados. 
 
 
Exercício 1. 
 Suponha que f é quadrática (isto é, consistindo de combinações lineares 
monogâmicas 1, x e x2). Determine a aproximação linear por partes – não necessariamente 
continua – para f sobre cada elemento nos quais os valores nodais são exatos. Sugestão: A 
análise pode ser realizada com respeito a um elemento. 
 
Exercício 2. 
 A equação de uma corda sobre uma base elástica é dada por: 
 , 0 ;xxu u f em = 0 1    (2. 280) 
Onde  , uma constante positiva, é a medida da base de rigidez. Supondo que as condições de 
fronteira são as mesmas do problema discutido anteriormente neste capitulo, isto pode ser 
mostrado que uma formulação fraca equivalente é: 
 , , (0)w x u x w u dx wf dx w h
 
    (2. 281) 
Onde ,u w V  e assim por diante. Isto pode também ser escrito como 
     , , , (0)a w u w u w f w h   (2. 282) 
 i. seja h h hu v g  escreva a contraparte de Galerkin da formulação fraca 
( , )h ha w v  (2. 283) 
 
= ( , ) (0) ( , )h h h hw f w h a w g   (2. 284) 
 114 
 ii. Defina 
 ,A BKAB a N N  (2. 285) 
e 
 , ee a babk a N N  (2. 286) 
 iii. Determine ke explicitamente 
ke eabk
 
      
  
 (2. 287) 
 iv. Mostre que K é simétrica 
 v. Mostre que K é definida positiva.É necessário empregar a condição de contorno 
(1) 0hw  ? Por que? 
 vi. A função de Greenpara este problema satisfaz 
, 0xx yg g    (2. 288) 
e pode ser escrita como 
  1 2
3 4
, 0
, 1
px px
px px
c e c e x y
g x
c e c e y x


   
 
  
 (2. 289) 
Onde 1 / 2p  e os c’s são determinados seguindo 4 condições de contorno e continuidade. 
 
 
   
   
,
, ,
1 0
0 0
1
x
x x
g
g
g y g y
g y g y
 
 



 
 (2. 290) 
 vii. Construindo elemento de função de forma exponencial  1N x e e tal que 
     1 1 2 2h e eu x d N x d N x  , ex (2. 291) 
onde 
  1 2px pxhu x c e c e  (2. 292) 
é os cs são determinados de 
 115 
  , 1, 2e h ea ad u x a  (2. 293) 
 Qual é o atributo do qual esta escolha de funções atende? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 116 
2. 19 - Exemplos e Aplicações Teóricas 
 
Exercício – 1 página 22 
 Considere a formulação fraca do modelo do problema unidimensional: 
1 1
0 0
, , (0)x xw u dx wf dx w h   (2. 294) 
onde wW e uS são supostos ser suaves sobre os elementos interiores (i. e. sobre 
1] ; [, 1,2,...,
e
A Ax x A n   mas pode sofrer inclinações descontínuas através dos 
contornos dos elementos. (Funções desta classe contém um espaço de elemento finito linear 
descrito anteriormente). A partir da equação (2. 294) e supondo a continuidade das funções, 
mostre que: 
1
1
2
0 ( , ) (0) , (0 )
( ) , ( ) , ( )
A
A
xn
xx x
A x
n
A x A x A
A
w u f dx w u h
w x u x u x



 

      
   
 

 (2. 295) 
Argumentando como na Secção. 1.4, pode ser concluído que as condições de Euler-Lagrange 
da equação (2. 294) são: 
 i. , ( ) ( ) 0xxu x f x  , onde 1] ; [, 1,2,...,A Ax x x A n  , 
 ii. , (0 )xu h
  ; e 
 iii. , ( ) , ( ), onde 2,3,...,x A x Au x u x A n
   
 Observe que (i) é a equação diferencial restrita aos elementos interiores, e (iii) é a 
condição de continuidade através dos elementos dos contornos. Este pode ser contrastado com 
o caso no qual a solução é suposta suave. Neste caso a condição de continuidade é 
identicamente satisfeita e a somatória das integrais sobre os elementos interiores pode ser 
substituída por uma integral sobre todo o domínio (veja Secção. 1.4). 
 Na formulação dos elementos finitos de Galerkin, uma solução aproximada de (i)-
(iii) é obtida. 
 
 117 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 118 
Exercício – 1 página 31 
 Suponha uma malha de elemento constante (i. e. , 1,2,...,Ah h A n  ). 
Considere a diferença finita padrão “stencil” para 
, 0xxu f  (2. 296) 
em um nó típico interno, chamado, 
1 1
2
2 0A A A A
u u u f
h
     (2. 297) 
Supondo que f varia de uma forma linear e assim pode ser expandido como: 
1
1
n
A A
A
f f N


 (2. 298) 
onde os fA são valores nodais de f, estabelecidos na equação de elementos finitos associado 
com o nó A e compare este com (2. 297). Deduza quando (2. 297) será capaz de exibir o 
fenômeno da superconvergência. (Isto é qual é a restrição sobre f?) Estabeleça a equação de 
elementos finitos associada com o nó 1, contando para h não nulo. Discuta esta equação a 
partir do ponto de vista de diferenças finitas. (Para comparações posteriores ao longo destas 
linhas, o leitor interessado necessita consultar [6], Capítulo 1.). 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 119 
Exercício – 1 página 36 
 Considere o problema de valor de contorno discutido nas secções anteriores: 
, ( ) ( ) 0 ]0;1[xxu x x x  f (2. 299) 
e 
(1)u  g (2. 300) 
e 
, (0)xu  h (2. 301) 
Suponha ( )x xf q , onde q é constante, 0 g h . 
 a. Empregando o espaço linear de elementos finitos com nós igualmente 
espaçados, estabeleça e resolva as equações de elementos finitos de Galerkin para n = 4 (h = 
parâmetro de malha = ¼ ). Reveja que na Secção 1.7 este foi feito para n = 1 e n = 2 (h = 1 e 
h = ½, respectivamente). Não inverta a matriz de rigidez K; use o método de eliminação de 
Gauss para resolver e checar suas respostas uma vez que elas devem ser exatas nos nós. 
 b. Faça , , , /( / 2)hx x xre u u  q , o erro relativo em ,xu . Calcule ,xre nós pontos 
médios dos quatro elementos. Eles deveriam ser iguais. (Este foi também o caso para n = 2) 
 c. Empregando os dados para h = 1, ½ e ¼ , grafique ln( , )xre versus ln h . 
 d. Usando a análise de erro para ,xre nos pontos médios apresentados na Secção 
1.10, responda as seguintes questões: 
 i. Qual o significado da inclinação do gráfico na parte (c)? 
 ii. Qual o significado da intersecção-y. 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 120 
2. 20 - Exercícios e Problemas Teóricos: Teoria da Viga de Euler-
Bernoulli e Cúbicas Hermíticas 
 Este problema desenvolve resultados básicos de elementos finitos para a Teoria da 
Viga de Euler-Bernoulli. A forma forte de um problema de valor de contorno para uma fina 
viga (teoria de Euler-Bernoulli) fixada em uma extremidade e sujeita a uma força de 
cisalhamento e a um momento na outra extremidade, pode ser estabelecido como segue: 
 Seja a viga que ocupa o intervalo unitário, isto é: 
]0;1[, [0;1]   (2. 302) 
1.1 - Proposição Forte do Problema (S) 
 Dado :f R  e as constantes M e Q, encontre as deformações :u R  
tal que satisfaz: 
i) O equilíbrio transversal 
, 0 em xxxxEIu f   (2. 303) 
e as seguintes condições de contorno: 
ii) Deslocamento transversal nulo 
(1) 0u  (2. 304) 
iii) Deformação ou derivada do deslocamento nula no contorno 
, (1) 0xu  (2. 305) 
iv) Momento Fletor prescrito 
, (0)xxEIu M (2. 306) 
v) Força Cortante prescrita 
, (0)xxxEIu Q (2. 307) 
Onde E é o módulo de Young e I é o momento de Inércia, ambos das quais são supostas 
constantes. 
 A montagem é conforme mostra a Figura - 1. 10. 
 121 
 
 Figura - 1. 10. 
 Seja, 
 2/ ( ), (1) , (1) 0xw w H w w  S = V = (7) (2. 308) 
Então a correspondente forma fraca do problema é: 
1.2 - Proposição Fraca do Problema (W) 
 Dado f e as constantes M e Q, encontre as deformações uS tal que para todo 
wW satisfaz: 
i) O equilíbrio transversal 
( , ) ( , ) , (0) (0)xa w u w f w M w Q   (2. 309) 
onde 
1
0
( , ) , ,xx xxa w u w EIu dx  (2. 310) 
e 
1
0
( , )w f wf dx  (2. 311) 
 
7  2w H  essencialmente significa que ,xxw é quadrado integrável (i. e.  
1
2
0
,xxw dx   ) 
 122 
 A coleção de funções, V , pode ser pensada como o espaço de finitas 
configurações de energia-deformação da viga, satisfazendo as condições de contorno 
essenciais em 1x  . Isto é uma conseqüência do teorema de Sobolev que cada wV é 
continuamente diferenciável. Para f razoáveis, estes problemas possuem solução única. 
 Seja h hS V uma aproximação finita-dimensional de S . Em particular, nós 
supomos h hw V que satisfaça (1) , (1) 0h hxw w  . 
 A condição de Galerkin do problema segue como: 
1.3 - Proposição Fraca do Problema de Galerkin (G) 
 Dado f , M e Q, encontre as deformações h hu S tal que para todo 
h hw V satisfaz: 
i) O equilíbrio transversal 
( , ) ( , ) , (0) (0)h h h h hxa w u w f w M w Q   (2. 312) 
a) 
 Assumindo que todas as funções são suaves e com contorno, mostre que as 
soluções de S e W são idênticas. Quais são as condições de contorno naturais?b) 
 Suponha 1 2 10 ... 1nx x x      e 
1/ ( ),h h hw w C V = { e 
(1) , (1) 0h hxw w  , e 
hw restritas a  1;A Ax x  é um polinômio cúbico (i. e. consiste de uma 
combinação linear de 2 31, , , )}x x x (8). Este é um espaço de funções de forma cúbicas por 
partes de Hermite. Observe que h hw V não necessita ser de segundas derivadas contínuas 
no nós. Por simplicidade de notação, nós escrevemos 1x e 2x no lugar de Ax e 1Ax  , 
respectivamente. 
 Em cada subintervalo, mostre que hw pode ser escrito como: 
1 1 2 1 3 2 4 2( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) , ( )
h h h h h
x xw N x w x N x w x N x w x N x w x   
(2. 313) 
 
8 A notação 1hw C significa que hw é continuamente diferenciável 
 123 
 
onde: 
 
 
2
2 1
1 3
2
1 2
2 2
2
1 2
3 3
2
2 1
4 2
( ) 2( )
( )
( )( )( )
( ) 2( )
( )
( ) ( )( )
x x h x x
N x
h
x x x xN x
h
x x h x x
N x
h
x x x xN x
h
    

 

  

 

 (2. 314) 
Dica: Seja 2 31 2 3 4( )
hw x c c x c x c x    , onde os c’s são constantes. Determine-os 
requerendo que as seguintes condições se mantenham: 
2 3
1 1 2 1 3 1 4 1
2 3
2 1 2 2 3 2 4 2
2
1 2 3 1 4 1
2
2 2 3 2 4 2
( )
( )
, ( ) 0 2 3
, ( ) 0 2 3
h
h
h
x
h
x
w x c c x c x c x
w x c c x c x c x
w x c c x c x
w x c c x c x
   
   
   
   
 (2. 315) 
Esquematize as funções dos elementos 1 2 3 4, , ,N N N N , e suas contrapartidas globais típicas. 
 O espaço de elementos finitos descritos na parte (b) resulta em deslocamentos 
nodais e inclinações (primeiras derivadas), exatos, análogo ao caso apresentado na Secção 
1.10. Na parte (g), está pedindo para você fornecer isto. Em problemas de viga flexionada nós 
estamos geralmente interessados em curvaturas (segundas derivadas) para cálculo de 
momentos fletores. 
c) 
 Localizar os pontos de curvatura ótima no entendimento de Barlow. Cuidado: As 
manipulações algébricas podem ser cansativas a menos que certas simplificações sejam 
observadas. Se nós trabalhamos no sistema de coordenada do elemento- introduzido na 
Secção 1.12 (chame 1(2 ) /A A Ax x x h    , a localização dos pontos de curvatura de 
Barlow pode ser expresso como 1/ 3   . Isto é, existem duas localizações ótimas 
simetricamente espaçadas para computar a curvatura. 
 124 
d) 
 Qual é a taxa de convergência da curvatura neste pontos? (Resposta. 3( )h ). 
e) 
 Se o segmento da viga  1;A Ax x  é descarregado (i. e. , 0xxxxu  , onde u é a 
solução exata), quais pontos são ótimos? 
f) 
 Assumindo 1eln  (um elemento) e ( ) constantef x c  . Estabeleça e 
resolva a equação de elementos finitos de Galerkin. Faça o gráfico de hu e u ; ,h xu e ,xu ; 
,h xxu e ,xxu . Indique os pontos de Barlow na curva. 
g) 
 Prove que: 
( ) ( )
, ( ) , ( )
h
A A
h
x A x A
u x u x
u x u x


 (2. 316) 
onde Ax é um nó típico (i.e. prove que os deslocamentos e inclinações são exatas nos nós). 
Para fazer a segunda parte você terá que ser familiarizado como o dipolo, , ( )x Ax x  , o qual 
é a derivada generalizada da função delta. 
h) 
 Mostre que os pontos de curvatura de Barlow são exatos quando 
( )f x c constante  . 
i) 
 Porque nós requeremos que as funções hV possuam primeiras derivadas 
contínuas? 
j) 
 Calcule a matriz de rigidez elementar 4 x 4, 
 125 
2
1
2 1
( ) , ,
1 , 4 onde 
e
e
x
e
pq p xx q xx
x
e e e
k x N EIN dx
p q h x x

   
 (2. 317) 
Onde 2 1
e e eh x x  . 
k) 
 (Veja o exercício na Secção 1.8). Considere a formulação fraca. Suponha que 
wV e uS são suaves sobre os elementos interiores (i.e., sobre 1] ; [A Ax x  ) mas pode 
exibir descontinuidades de segunda e de ordem mais altas nas derivadas, através dos 
elementos do contorno. (Funções deste tipo contém as funções cúbicas por partes de Hermite). 
Mostre que: 
 
 
 
 
 
1
1
2
2
0 ,
, (0) , (0 )
(0) , (0 )
, ( ) , ( ) , ( )
( ) , ( ) , ( )
A
A
xn
xxxx
A x
x xx
xxx
n
x A xx A xx A
A
n
A xxx A xxx A
A
w EIu f dx
w EIu M
w EIu Q
w x EI u x u x
w x EI u x u x




 

 

 
 
 
 
 
 


 (2. 318) 
para o qual pode-se concluir que as condições de Euler-Lagrange são: 
 i. , ( ) ( )xxxxEIu x f x 
 ii. , (0 )xxEIu M
  
 iii. , (0 )xxxEIu Q
  
 iv. , ( ) , ( ) onde 2,3,...xx A xx AEIu x EIu x A n
   
 v. , ( ) , ( ) onde 2,3,...xxx A xxx AEIu x EIu x A n
   
 Note que (i) é a equação de equilíbrio restrita aos elementos interiores, e (iv) e 
(v) são condições de continuidade através dos elementos dos contornos de momento e 
 126 
cisalhamento, respectivamente. Compare estes resultados com aqueles obtidos para funções w 
e u, as quais são globalmente suaves. 
 A formulação do problema de Galerkin fornece uma solução que se bastante 
aproxima de (v). 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 127 
2. 21 - Exemplos Práticos e Aplicações 
 Vamos a partir de agora ver uma série de aplicações computacionais do Método 
dos Elementos Finitos usando o programa FEAP. 
Exercício – 1 
 Compilar os arquivos *.for indicados no arquivo PCFEAP5 e criar um arquivo 
executável feap.exe (usar FORTRAN versão Microsoft 5.0 em diante) 
Exercício – 2 
 Criar um arquivo de entrada de dados do tipo: malha, carregamento, condições de 
contorno, propriedades, etc, usando o emacs, da seguinte forma: 
 
 feap **________________________ comentário sobre o problema. 
 Numnp (número totaal de pontos nodais), numel (numero de elementos), nummat (no do 
conjunto de propriedades do material e outros parâmetros), ndm (no de dimensões), ndf (no de 
graus de liberadade por nó), nen (no de nós por elemento). 
 
coord 
 node#, ngen, x-coord, y-coord 
 ngen = 0 não gera 
 = 1 incremento (gera coordenadas pulando este número de nós) 
 
elem 
 elem#, material#, node 1, node 2, node 3, node 4, ngen 
 
 Figura - 2. 29. Elemento quadrilateral de duas dimensões para o uso na geração de malhas no 
FEAP. 
 128 
 
boun ___________________________ (estabelece restrições no contorno) 
 node#, ngen, dof#1, dof#2 
 dof = 0  livre 
 dof  0 fixo (< 0 – carrega na geração 
 (>0 – só para este nó) 
 
forc 
 node#, ngen, valor em x, valor em y 
 
OBS.: Por “default” se as condições forem nulas não é necessário especificar valor. Caso o nó 
não tenha restrição (dof# = 0 no comando “boun”), o programa interpreta o valor como uma 
“força”. Caso “dof#  0 em “boun, então o programa interpreta o valor como um 
“deslocamento”. 
 
mate 
 1 (no do conjunto de propriedades), 1 (número do elemento a ser utilizado pelo programa) 








aaxisimetriI
strainplaneI
stressplaneI
Tggt
IvE
ref
houveremseyexem
campodeforças
yx
,3
,2
,1
,,,,
,2,2,,,



 
 para calcular: reffinal TTT  
 
PCFEAP assume: 
0 0
0
0 0
ref
final
ref
T T
T
T T
   
 
   
 (2. 319) 
end 
inter(active) ou macro  duas opções 
 
 COMANDOS MACROS (Problemas Lineares) 
 129 
> tang,,1 (monta a matriz de rigidez e obtém a solução) 
d = ... 
Residual norm  F Kd 
 Observação: para maiores detalhes, leiam o Capítulo 15 do Livro deMEF, escrito 
por O. C. Zienkiewicz e R. L. Taylor, Vol. 1 (apostila distribuída). 
 Patch test (testa o elemento quanto a obtenção de resultados para os modos de corpo rígido 
e deformação constante). 
 Usaremos somente o elemento PCELM1.FOR. 
 Problemas de computador que usam FEAP (em cada um dos seguintes, você pode 
editar a saída de dados e entregar somente a informação pedida): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 130 
Exercício – 3 
 - Rode o problema do disco circular (com entrada Idisk), e submeta as saídas de 
todos os deslocamentos dos nós e reações. 
 IDISK (imprimir deslocamentos e reações) 
Solução 
feap ** circular disk example problem 
19,11,1,2,2,4 
 
coord 
1,1,0.0,0.0 
5,0,5.0,0.0 
6,1,0.0,2.0 
10,0,4.5828,2.0 
11,1,0.0,4.0 
14,0,3.0,4.0 
15,0,4.0,3.0 
16,0,0.0,5.0 
17,0,0.75,4.9434 
18,0,1.5,4.7697 
19,0,2.25,4.4651 
 
elem 
1,1,1,2,7,6,1 
5,1,6,7,12,11,1 
9,1,11,12,17,16,1 
 
bound 
1,1,1,-1 
5,0,0,1 
6,5,-1,0 
16,0,1,0 
 
forc 
16,0,0.0,-5.0 
 
mate 
1,1 
100.0,0.3,0.0,2,2,1 
1.,0.,0. 
 
 
end 
 
inter 
stop 
end 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 131 
feap ** circular disk example problem 
 
 UNIX Version 
 - 01/01/90 - 
 
 Number of nodal points = 19 
 Number of elements = 11 
 Number of material sets = 1 
 Dimension of coordinate space= 2 
 
 Degrees-of-freedom/node = 2 
 Nodes per element (maximum) = 4 
 
 Degrees-of-freedom/edge = 0 
 Edges per element (maximum) = 0 
 
 Maximum matl. properties/elmt= 100 
 
 Added degrees-of-freedom/elmt= 0 
 feap ** circular disk example problem 
 
 nodal coordinates 
 
 node 1 coord 2 coord 
 1 0.0000 0.0000 
 2 1.2500 0.0000 
 3 2.5000 0.0000 
 4 3.7500 0.0000 
 5 5.0000 0.0000 
 6 0.0000 2.0000 
 7 1.1457 2.0000 
 8 2.2914 2.0000 
 9 3.4371 2.0000 
 10 4.5828 2.0000 
 11 0.0000 4.0000 
 12 1.0000 4.0000 
 13 2.0000 4.0000 
 14 3.0000 4.0000 
 15 4.0000 3.0000 
 16 0.0000 5.0000 
 17 0.7500 4.9434 
 18 1.5000 4.7697 
 19 2.2500 4.4651 
 feap ** circular disk example problem 
 
 e l e m e n t s 
 
 elmt matl 1 node 2 node 3 node 4 node 
 1 1 1 2 7 6 
 2 1 2 3 8 7 
 3 1 3 4 9 8 
 4 1 4 5 10 9 
 5 1 6 7 12 11 
 6 1 7 8 13 12 
 7 1 8 9 14 13 
 8 1 9 10 15 14 
 9 1 11 12 17 16 
 10 1 12 13 18 17 
 11 1 13 14 19 18 
 feap ** circular disk example problem 
 
 n o d a l b. c. 
 
 node 1-b.c. 2-b.c. 
 1 1 -1 
 2 0 -1 
 3 0 -1 
 4 0 -1 
 5 0 1 
 6 -1 0 
 11 -1 0 
 16 1 0 
 132 
 feap ** circular disk example problem 
 
 nodal force/displ 
 
 node 1 force 2 force 
 16 0.0000 -5.0000 
 feap ** circular disk example problem 
 
 m a t e r i a l p r o p e r t i e s 
 
 material set 1 for element type 1 
 
 degree of freedom assignments local global 
 number number 
 1 1 
 2 2 
 
 Plane Stress Linear Elastic Element 
 
 modulus 0.10000E+03 
 poisson ratio 0.30000 
 density 0.00000E+00 
 gauss pts/dir 2 
 stress pts 2 
 thickness 0.10000E+01 
 x-gravity 0.00000E+00 
 y-gravity 0.00000E+00 
 alpha 0.00000E+00 
 base temp 0.00000E+00 
 Drill factor 0.00000E+00 
 
 
 P a r t i t i o n 1 
 
 E q u a t i o n / P r o b l e m S u m m a r y: 
 
 Space dimension (ndm) = 2 Number dof (ndf) = 2 
 Number of equations = 29 Number dof (nde) = 0 
 Average col. height = 9 Number nodes = 19 
 No. terms in profile = 244 Number elements = 11 
 Est. factor time-sec = 0.4698E-04 Number materials = 1 
 Maximum storage for profile = 244 
 Maximum number of equations = 29 
 Material Element Type History terms 
 1 1 0 
 *Macro 1 *tang v1= 1.00 v2= 0.00 v3= 0.00 t= 0.00 
 Residual norm = 5.0000000E+00 t= 0.00 
 Condition check: D-max 0.2684E+03; D-min 0.3300E+02; Ratio 0.8132E+01 
 Maximum no. diagonal digits lost: 1 
 End Triangular Decomposition t= 0.00 
 Energy convergence test 
 Maximum = 1.130463057835375E+00 
 Current = 1.130463057835375E+00 
 Tolerance = 1.000000000000000E-16 
 *Macro 1 *tang v1= 1.00 v2= 0.00 v3= 0.00 t= 0.00 
 Residual norm = 5.8706808E-15 t= 0.00 
 Condition check: D-max 0.2684E+03; D-min 0.3300E+02; Ratio 0.8132E+01 
 Maximum no. diagonal digits lost: 1 
 End Triangular Decomposition t= 0.00 
 Energy convergence test 
 Maximum = 1.130463057835375E+00 
 Current = 6.606542562134775E-31 
 Tolerance = 1.000000000000000E-16 
 *Macro 1 *disp all v1= 0.00 v2= 0.00 v3= 0.00 t= 0.00 
 feap ** circular disk example problem 
 
 n o d a l d i s p l a c e m e n t s time 0.00000E+00 
 prop. ld. (eigenvalue) 1.00000E+00 
 
 node 1 coord 2 coord 1 displ 2 displ 
 1 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 
 2 1.25000E+00 0.00000E+00 1.41212E-02 0.00000E+00 
 133 
 3 2.50000E+00 0.00000E+00 2.43794E-02 0.00000E+00 
 4 3.75000E+00 0.00000E+00 3.00838E-02 0.00000E+00 
 5 5.00000E+00 0.00000E+00 3.15086E-02 0.00000E+00 
 6 0.00000E+00 2.00000E+00 0.00000E+00-4.36614E-02 
 7 1.14570E+00 2.00000E+00 1.39321E-02-3.86546E-02 
 8 2.29140E+00 2.00000E+00 2.27265E-02-2.37838E-02 
 9 3.43710E+00 2.00000E+00 2.42481E-02-9.86059E-03 
 10 4.58280E+00 2.00000E+00 2.43026E-02 1.29298E-04 
 11 0.00000E+00 4.00000E+00 0.00000E+00-1.18594E-01 
 12 1.00000E+00 4.00000E+00 1.21493E-02-8.31881E-02 
 13 2.00000E+00 4.00000E+00 5.37990E-03-4.26854E-02 
 14 3.00000E+00 4.00000E+00 3.98871E-03-1.79619E-02 
 15 4.00000E+00 3.00000E+00 1.41182E-02-5.25001E-03 
 16 0.00000E+00 5.00000E+00 0.00000E+00-2.26093E-01 
 17 7.50000E-01 4.94340E+00-2.23798E-02-9.54435E-02 
 18 1.50000E+00 4.76970E+00-1.75583E-02-6.11267E-02 
 19 2.25000E+00 4.46510E+00-8.38377E-03-3.73076E-02 
 *Macro 1 *stre allv1= 0.00 v2= 0.00 v3= 0.00 t= 0.00 
 feap ** circular disk example problem 
 
 element stresses 
 
 element material 11-stress 12-stress 22-stress 1-stress 2-stress 
 1-coord 2-coord 11-strain 12-strain 22-strain 33-stress angle 
 
 1 1 0.558E+00 0.372E-01 -0.196E+01 0.559E+00 -0.196E+01 
 0.259 0.423 0.115E-01 0.968E-03 -0.213E-01 0.000E+00 0.85 
 
 1 1 0.607E+00 0.484E-01 -0.180E+01 0.608E+00 -0.180E+01 
 0.968 0.423 0.115E-01 0.126E-02 -0.198E-01 0.000E+00 1.15 
 
 1 1 0.665E+00 0.146E+00 -0.177E+01 0.674E+00 -0.178E+01 
 0.921 1.577 0.120E-01 0.380E-02 -0.197E-01 0.000E+00 3.42 
 
 1 1 0.614E+00 0.134E+00 -0.194E+01 0.621E+00 -0.195E+01 
 0.247 1.577 0.120E-01 0.349E-02 -0.213E-01 0.000E+00 3.00 
 
 2 1 0.310E+00 0.109E+00 -0.167E+01 0.316E+00 -0.167E+01 
 1.487 0.423 0.810E-02 0.282E-02 -0.176E-01 0.000E+00 3.13 
 
 2 1 0.454E+00 0.102E+00 -0.119E+01 0.461E+00 -0.119E+01 
 2.196 0.423 0.810E-02 0.264E-02 -0.132E-01 0.000E+00 3.53 
 
 2 1 0.444E+00 0.388E+00 -0.112E+01 0.535E+00 -0.121E+01 
 2.089 1.577 0.780E-02 0.101E-01 -0.125E-01 0.000E+00 13.21 
 
 2 1 0.292E+00 0.396E+00 -0.162E+01 0.371E+00 -0.170E+01 
 1.415 1.577 0.780E-02 0.103E-01 -0.171E-01 0.000E+00 11.22 
 
 3 1 0.970E-01 0.608E-01 -0.985E+00 0.100E+00 -0.989E+00 
 2.715 0.423 0.393E-02 0.158E-02 -0.101E-01 0.000E+00 3.20 
 
 3 1 0.232E+00 0.189E-01 -0.536E+00 0.232E+00 -0.536E+00 
 3.424 0.423 0.393E-02 0.491E-03 -0.605E-02 0.000E+00 1.41 
 
 3 1 0.604E-01 0.278E+00 -0.485E+00 0.177E+00 -0.602E+00 
 3.256 1.577 0.206E-02 0.723E-02 -0.503E-02 0.000E+00 22.77 
 
 3 1 -0.814E-01 0.322E+00 -0.958E+00 0.242E-01 -0.106E+01 
 2.582 1.577 0.206E-02 0.837E-02 -0.934E-02 0.000E+00 18.15 
 
 4 1 -0.167E-01 -0.457E-01 -0.364E+00 -0.107E-01 -0.370E+00 
 3.943 0.423 0.924E-03 -0.119E-02 -0.359E-02 0.000E+00 -7.38 
 
 4 1 0.801E-01 -0.599E-01 -0.411E-01 0.105E+00 -0.657E-01 
 4.652 0.423 0.924E-03 -0.156E-02 -0.651E-03 0.000E+00 -22.32 
 
 4 1 0.437E-01 0.129E+00 0.473E-01 0.174E+00 -0.833E-01 
 4.424 1.577 0.295E-03 0.335E-02 0.342E-03 0.000E+00 45.41 
 
 4 1 -0.581E-01 0.144E+00 -0.292E+00 0.102E-01 -0.360E+00 
 3.750 1.577 0.295E-03 0.373E-02 -0.274E-02 0.000E+00 25.43 
 134 
 
 5 1 0.212E+00 0.394E+00 -0.335E+01 0.255E+00 -0.339E+01 
 0.236 2.423 0.122E-01 0.103E-01 -0.341E-01 0.000E+00 6.25 
 
 5 1 0.516E+00 0.394E+00 -0.233E+01 0.569E+00 -0.239E+01 
 0.879 2.423 0.122E-01 0.102E-01 -0.249E-01 0.000E+00 7.73 
 
 5 1 0.549E+00 0.108E+01 -0.222E+01 0.921E+00 -0.259E+01 
 0.813 3.577 0.122E-01 0.281E-01 -0.239E-01 0.000E+00 18.99 
 
 5 1 0.220E+00 0.108E+01 -0.332E+01 0.525E+00 -0.362E+01 
 0.218 3.577 0.122E-01 0.281E-01 -0.338E-01 0.000E+00 15.72 
 
 6 1 -0.492E-01 0.619E+00 -0.181E+01 0.147E+00 -0.201E+01 
 1.351 2.423 0.494E-02 0.161E-01 -0.180E-01 0.000E+00 17.56 
 
 6 1 0.220E+00 0.454E+00 -0.913E+00 0.380E+00 -0.107E+01 
 1.994 2.423 0.494E-02 0.118E-01 -0.979E-02 0.000E+00 19.37 
 
 6 1 -0.626E+00 0.102E+01 -0.960E+00 0.243E+00 -0.183E+01 
 1.844 3.577 -0.338E-02 0.266E-01 -0.772E-02 0.000E+00 40.35 
 
 6 1 -0.917E+00 0.120E+01 -0.193E+01 -0.121E+00 -0.273E+01 
 1.249 3.577 -0.338E-02 0.312E-01 -0.166E-01 0.000E+00 33.55 
 
 7 1 -0.107E+00 0.219E+00 -0.629E+00 -0.279E-01 -0.709E+00 
 2.465 2.423 0.813E-03 0.569E-02 -0.597E-02 0.000E+00 19.99 
 feap ** circular disk example problem 
 
 element stresses 
 
 element material 11-stress 12-stress 22-stress 1-stress 2-stress 
 1-coord 2-coord 11-strain 12-strain 22-strain 33-stress angle 
 
 7 1 0.155E-01 0.188E+00 -0.219E+00 0.119E+00 -0.323E+00 
 3.109 2.423 0.813E-03 0.488E-02 -0.224E-02 0.000E+00 28.99 
 
 7 1 -0.108E+00 0.454E+00 -0.109E+00 0.345E+00 -0.562E+00 
 2.875 3.577 -0.752E-03 0.118E-01 -0.769E-03 0.000E+00 44.96 
 
 7 1 -0.241E+00 0.487E+00 -0.553E+00 0.115E+00 -0.908E+00 
 2.279 3.577 -0.752E-03 0.127E-01 -0.480E-02 0.000E+00 36.14 
 
 8 1 -0.557E-01 -0.382E-01 -0.199E+00 -0.461E-01 -0.208E+00 
 3.580 2.378 0.392E-04 -0.994E-03 -0.182E-02 0.000E+00 -14.08 
 
 8 1 -0.177E-01 -0.307E-01 -0.707E-01 -0.371E-02 -0.847E-01 
 4.224 2.256 0.347E-04 -0.797E-03 -0.654E-03 0.000E+00 -24.59 
 
 8 1 0.200E-01 0.818E-01 0.751E-01 0.134E+00 -0.387E-01 
 3.905 2.955 -0.249E-04 0.213E-02 0.691E-03 0.000E+00 54.30 
 
 8 1 -0.456E-01 0.216E-01 -0.155E+00 -0.415E-01 -0.159E+00 
 3.310 3.411 0.761E-05 0.561E-03 -0.141E-02 0.000E+00 10.80 
 
 9 1 -0.226E+01 0.194E+01 -0.921E+01 -0.176E+01 -0.972E+01 
 0.200 4.209 0.503E-02 0.504E-01 -0.854E-01 0.000E+00 14.58 
 
 9 1 -0.196E+00 0.119E+01 -0.224E+01 0.347E+00 -0.279E+01 
 0.747 4.202 0.478E-02 0.308E-01 -0.219E-01 0.000E+00 24.59 
 
 9 1 -0.245E+01 0.402E+01 -0.129E+01 0.220E+01 -0.593E+01 
 0.633 4.753 -0.206E-01 0.105E+00 -0.555E-02 0.000E+00 49.10 
 
 9 1 -0.480E+01 0.480E+01 -0.957E+01 -0.183E+01 -0.125E+02 
 0.170 4.779 -0.193E-01 0.125E+00 -0.813E-01 0.000E+00 31.77 
 
 10 1 -0.698E+00 0.152E+00 -0.325E+00 -0.271E+00 -0.752E+00 
 1.147 4.192 -0.601E-02 0.395E-02 -0.115E-02 0.000E+00 70.45 
 
 10 1 -0.592E+00 0.257E+00 -0.390E-02 0.928E-01 -0.689E+00 
 1.694 4.170 -0.591E-02 0.669E-02 0.174E-02 0.000E+00 69.40 
 135 
 
 10 1 -0.171E+00 0.463E+00 0.320E+00 0.598E+00 -0.450E+00 
 1.436 4.636 -0.267E-02 0.120E-01 0.371E-02 0.000E+00 58.96 
 
 10 1 -0.364E+00 0.303E+00 -0.124E+00 0.819E-01 -0.570E+00 
 0.972 4.715 -0.327E-02 0.788E-02 -0.146E-03 0.000E+00 55.81 
 
 11 1 -0.341E+00 -0.185E+00 -0.748E+00 -0.270E+00 -0.820E+00 
 2.094 4.149 -0.117E-02 -0.481E-02 -0.646E-02 0.000E+00 -21.14 
 
 11 1 -0.194E+00 -0.126E+00 -0.286E+00 -0.106E+00 -0.374E+00 
 2.641 4.112 -0.108E-02 -0.326E-02 -0.228E-02 0.000E+00 -34.96 
 
 11 1 0.245E+00 0.183E+00 0.602E+00 0.679E+00 0.168E+00 
 2.239 4.418 0.647E-03 0.476E-02 0.528E-02 0.000E+00 67.14 
 
 11 1 -0.148E+00 -0.290E-01 -0.433E+00 -0.145E+00 -0.436E+00 
 1.775 4.556 -0.180E-03 -0.753E-03 -0.389E-02 0.000E+00 -5.74 
 *End of macro execution* t= 0.00136 
Exercício – 4 
 - Monte e rode os problemas chamados de “Patch test” dados no Exercício 2, pp. 
256-257 do Livro do Hughes. Estes testes demonstram a capacidade de um elemento em 
capturar os modos de corpo rígido e de deformação constante. 
 Faça os testes (seis ao todo) com a opção (a) somente (em outras palavras, usando 
quadratura 2 x 2). Entregue somente um dos arquivos de entrada utilizados (a única diferença 
nos seis problemas estará nas condições de limite e forças). Também entregue as tensões e 
deslocamentos nos nós do elemento para todos os seis problemas. 
Solução 
IPATCH – 1 
feap ** patch test number 1 
9,4,1,2,2,4 
 
coord 
1,1,0.0,0.0 
3,0,2.0,0.0 
4,0,0.0,1.0 
5,0,1.1,0.8 
6,0,2.0,1.0 
7,1,0.0,2.0 
9,0,2.0,2.0 
 
elem 
1,1,1,2,5,4,0 
2,1,2,3,6,5,0 
3,1,4,5,8,7,0 
4,1,5,6,9,8,0 
 
bound 
1,1,-1,-1 
3,0,1,1 
4,0,1,1 
6,0,1,1 
7,1,-1,-1 
9,0,1,1 
 
forc 
1,1,1.0,0.0 
3,0,1.0,0.0 
4,0,1.0,0.0 
6,0,1.0,0.0 
7,1,1.0,0.0 
9,0,1.0,0.0 
 
mate 
1,1 
1.0,0.3,0.0,2,2,1 
1.,0.,0. 
 
 
end 
 
inter 
stop 
end 
 
 
 137 
 
 Figura - 2. 30. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 138 
IPATCH -2 
feap ** patch teste Nr 2 
9,4,1,2,2,4 
 
coord 
1,1,0.0,0.0 
3,0,2.0,0.0 
4,0,0.0,1.0 
5,0,1.1,0.8 
6,0,2.0,1.0 
7,1,0.0,2.0 
9,0,2.0,2.0 
 
elem 
1,1,1,2,5,4,0 
2,1,2,3,6,5,0 
3,1,4,5,8,7,0 
4,1,5,6,9,8,0 
 
boun 
1,1,-1,-1 
3,0,1,1 
4,0,1,1 
6,0,1,1 
7,1,-1,-1 
9,0,1,1 
 
forc 
1,1,0.0,1.0 
3,0,0.0,1.0 
4,0,0.0,1.0 
6,0,0.0,1.0 
7,1,0.0,1.0 
9,0,0.0,1.0 
 
mate 
1,1 
1.0,0.3,0.0,2,2,1 
1.0,0.0,0.0 
 
 
end 
 
inter 
stop 
end 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 139 
IPATCH -3 
feap ** patch test number 3 
9,4,1,2,2,4 
 
coord 
1,1,0.0,0.0 
3,0,2.0,0.0 
4,0,0.0,1.0 
5,0,1.1,0.8 
6,0,2.0,1.0 
7,1,0.0,2.0 
9,0,2.0,2.0 
 
elem 
1,1,1,2,5,4,0 
2,1,2,3,6,5,0 
3,1,4,5,8,7,0 
4,1,5,6,9,8,0 
 
bound 
1,1,-1,-1 
3,0,1,1 
4,0,1,1 
6,0,1,1 
7,1,-1,-1 
9,0,1,1 
 
forc 
1,0,0.0,0.0 
2,0,1.0,0.0 
3,0,2.0,0.0 
4,0,0.0,0.0 
6,0,2.0,0.0 
7,0,0.0,0.0 
8,0,1.0,0.0 
9,0,2.0,0.0 
 
mate 
1,1 
1.0,0.3,0.0,2,2,1 
1.,0.,0. 
 
 
end 
 
inter 
stop 
end 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 140 
IPATCH -4 
feap ** patch teste Nr 4 
9,4,1,2,2,4 
 
coord 
1,1,0.0,0.0 
3,0,2.0,0.0 
4,0,0.0,1.0 
5,0,1.1,0.8 
6,0,2.0,1.0 
7,1,0.0,2.0 
9,0,2.0,2.0 
 
elem 
1,1,1,2,5,4,0 
2,1,2,3,6,5,0 
3,1,4,5,8,7,0 
4,1,5,6,9,8,0 
 
boun 
1,1,-1,-1 
3,0,1,1 
4,0,1,1 
6,0,1,1 
7,1,-1,-1 
9,0,1,1 
 
forc 
1,0,0,0,0.0 
2,0,0.0,1.0 
3,0,0.0,2.0 
4,0,0.0,0.0 
6,0,0.0,2.0 
7,0,0.0,0.0 
8,0,0.0,1.0 
9,0,0.0,2.0 
 
mate 
1,1 
1.0,0.3,0.0,2,2,1 
1.0,0.0,0.0 
 
 
end 
 
inter 
stop 
end 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 141 
IPATCH -5 
feap ** patch teste Nr 5 
9,4,1,2,2,4 
 
coord 
1,1,0.0,0.0 
3,0,2.0,0.0 
4,0,0.0,1.0 
5,0,1.1,0.8 
6,0,2.0,1.0 
7,1,0.0,2.0 
9,0,2.0,2.0 
 
elem 
1,1,1,2,5,4,0 
2,1,2,3,6,5,0 
3,1,4,5,8,7,0 
4,1,5,6,9,8,0 
 
boun 
1,1,-1,-1 
3,0,1,1 
4,0,1,1 
6,0,1,1 
7,1,-1,-1 
9,0,1,1 
 
forc 
1,1,0,0,0.0 
3,0,0.0,0.0 
4,0,1.0,0.0 
6,0,1.0,0.0 
7,1,2.0,0.0 
9,0,2.0,0.0 
 
mate 
1,1 
1.0,0.3,0.0,2,2,1 
1.0,0.0,0.0 
 
 
end 
 
inter 
stop 
end 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 142 
IPATCH -6 
feap ** patch teste Nr 6 
9,4,1,2,2,4 
 
coord 
1,1,0.0,0.0 
3,0,2.0,0.0 
4,0,0.0,1.0 
5,0,1.1,0.8 
6,0,2.0,1.0 
7,1,0.0,2.0 
9,0,2.0,2.0 
 
elem 
1,1,1,2,5,4,0 
2,1,2,3,6,5,0 
3,1,4,5,8,7,0 
4,1,5,6,9,8,0 
 
boun 
1,1,-1,-1 
3,0,1,1 
4,0,1,1 
6,0,1,1 
7,1,-1,-1 
9,0,1,1 
 
forc 
1,1,0,0,0.0 
3,0,0.0,0.0 
4,0,0.0,1.0 
6,0,0.0,1.0 
7,1,0.0,2.0 
9,0,0.0,2.0 
 
mate 
1,1 
1.0,0.3,0.0,2,2,1 
1.0,0.0,0.0 
 
 
end 
 
inter 
stop 
end 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 143 
2. 22 - Exercícios e Problemas Práticos 
Malha Ipatch1 (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh) 
 
 
Malha Ipatch1 (tang,,1/tang,,1/Plot/node) 
 
 
 
 
 
 
 144 
Malha Ipatch1 (tang,,1/tang,,1/Plot/boun) 
 
Malha Ipatch1 (tang,,1/tang,,1/Plot/cont,1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 145 
Malha Ipatch1 (tang,,1/tang,,1/Plot/stre,1) 
 
Malha Ipatch1 (tang,,1/tang,,1/Plot/disp) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 146 
Malha Idisk (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh) 
 
Malha Idisk (tang,,1/tang,,1/Plot/node) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 147 
Malha Idisk (tang,,1/tang,,1/Plot/boun) 
 
Malha Idisk (tang,,1/tang,,1/Plot/cont,1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 148 
Malha Idisk (tang,,1/tang,,1/Plot/stre,1) 
 
Malha Idisk (tang,,1/tang,,1/Plot/disp) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 149 
Capítulo – III 
O PROBLEMA BI E TRIDIMENSIONAL - 2D E 3D 
RESUMO 
 Neste capítulo será visto 
 
 
 
. 
3. 1 - Objetivos do capítulo 
 i) 
 
 
 
 
3. 2 – Introdução 
 
 
 
 
 
 
 150 
3. 3 – O problema 2D e 3D 
 Vamos adotar a seguinte notação: 
sdn : número de dimensões (= 2, 3) 
x : ponto arbitrário em sdnR 
n : vetor normal ao contorno de . 
: contorno de  
x e n são vetores 
y
x
x
x
xxn isd 
2
12 (3. 1) 
e 
y
x
i n
n
n
n
nn 
2
1 (3. 2) 
 Considere o domínio mostrado na 
 
 
 
 
 
 Figura - 3. 1. 
 hg   (3. 3) 
Onde 
g : temperatura e deslocamentos prescritos 
h : fluxos prescritos 
   hg (3. 4) 
 
 
 151 
Notação Indicial 
 Usa-se índices i,j,k,l = 1,2,... sdn (índices espaciais) 
 Indica-se diferenciação por: 
i
xi x
uuu
i 

 ,, (3. 5) 
 Índices repetidos indicam soma (a menos que se diga que não) 
uu
z
u
y
u
x
uuuuuu
sdn
i
iiii 









2
2
2
2
2
2
2
332211
1
,,,,, (3. 6) 
e 
j
n
j
ijjij abab
sd



1
 (3. 7) 
 
Teorema da Divergência 
 Seja Rf : e 1Cf  , então 
 

 dnfdf ii, (3. 8) 
 
 
 
 
 
Integral por Partes 
 Seja f definido com em 1) e )(: 1CgRg  então: 
 

 dfgndfgdgf iii ,, (3. 9) 
Prova: 
 Usando 2) para demonstrar 1) 
 
 
 
 152 
3. 4 – O Problema da Condução de Calor Linear Clássica 
iq : vetor fluxo de calor 
u : temperatura 
f : geração de calor interna (W/m3) 
 
Lei de Fourier Generalizada 
jiji ukq , (3. 10) 
ijk : condutividades térmicas (funções conhecidas da posição x) 
 Quando a condutividade térmica ijk é constante isto implica que o corpo é 
homogêneo. O caso mais comum é o isotrópico: 







10
01
ijij kk  (3. 11) 
 
Forma Forte 
 A forma forte do Problema (S) é definida da seguinte forma: 
 Dados RhRgRf hg   :,:,: , encontre 
Ru : (3. 12) 
tal que 
emfq ji , (3. 13) 
e 
gemgu  (3. 14) 
e 
hii emhnq  (3. 15) 
onde 
jiji ukq , (3. 16) 
 153 
 Considere 
""
:
:
,
2
2
suaves
Ru
Rw
VS 









 (3. 17) 
e 
g
g
emwSw
emguSu


0

 (3. 18) 
 
Forma Fraca 
 Partindo-se da forma forte, assume-se que u é solução de   SuS  , toma-se 
Vw . 
  0,
0




dfqw ji  (3. 19) 
Integrando por partes temos: 
  

dwfdnwqdqwdfqw iiiiji  

,,
0
 (3. 20) 
e 
 

dnqwdnwqdnwq
hg h
iiiiii 

 (3. 21)Como gemw 0 temos: 
0 

dnwq
g
ii (3. 22) 
logo, 
  0,,
0
 



dwhdwfdqwdfqw
h
iiji  (3. 23) 
Portanto, 
 154 


dwhdwfdqw
h
ii   , (3. 24) 
 Dados hgf ,, , na forma fraca (W) encontre Su tal que Vw temos: 


dwhdwfdqw
h
ii   , (3. 25) 
onde 
jiji ukq , (3. 26) 
 Aplicando a forma de Galerkin (G) onde temos: 
 Dados hgf ,, , encontre 
hhhh Sgvu  tal que hh Vw  (3. 27) 
e 
),(),(),(),( hhhhhh gwahwfwvwa   (3. 28) 
 
Discretização do Domínio 
 Considere o domínio  do problema o qual será discretizado em n subdomínios 
e onde 

e
e  (3. 29) 
e  npn,...,2,1 onde o conjunto de nós g, 
 g (3. 30) 
 O conjunto g  representa os nós onde a solução é desconhecida e eqn , 
corresponde ao número de equações (incógnitas). Escreve-se, portanto: 
E 
 155 
A
n
A
A
h cxNxw
g
)()( 



 (3. 31) 
e 
A
n
A
A
h dxNxv
g
)()( 



 (3. 32) 
e 
A
n
A
A
h gxNxg
g
)()( 



 (3. 33) 
 Analogamente ao desenvolvimento para o caso 1D, chega-se a: 
BnA
n
B
AABBA
n
B
gNNahNfNdNNa
gg
),(),(),(),( 1

 



 (3. 34) 
gA   . 
O Vetor ID 
 








g
g
nó
don Ase
Asep
AID
o 

0
)( (3. 35) 
Dá ao nó A o no da equação global. 
 Na forma matricial, tem-se: 
eqnQPFKd  ,1 (3. 36) 
E 
     PQPQ FFddKK  ,, (3. 37) 
Daí 
)(),(),,( BIDQAIDPNNaK BAPQ  (3. 38) 
 156 
e 



gB
BBAAAP gNNahNfNF

 ),(),(),( (3. 39) 
 
No Elemento 
 
    eneaeeabe nbaffkk  ,1,, (3. 40) 
 
      
e
dNkNNNak b
T
a
e
BA
e
ab

, (3. 41) 
 



en
e
h
e
h
n
b
e
b
e
aaa
e
a gkdhNdfNf
1
 (3. 42) 
 Vamos agora ver uma forma conveniente para programar 

e
DBdBk Te

 (3. 43) 
onde 
   en
sdsdsdsd
n
nnnn
BBBBkD ,...,,; 21
xx
 (3. 44) 
 
 a
n
a NB
sd

1x
 (3. 45) 
E cada componente será: 

e
dDBBk b
Te
ab

 (3. 46) 
onde colocar na matriz global a contribuição do elemento? 
 157 
 O vetor de nós do elemento AeaIEN ),( (criado para armazenar esta 
informação) IEN e ID são construídos com informações dos dados de entrada da malha. A 
partir deles constrói-se a matriz de localização: 
)),((),( eaIENIDeaLMP  (3. 47) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 158 
3. 5 – O Problema da Elasticidade Linear 
 Lei de Hooke Generalizada 
klijklij C   (3. 48) 
onde ijjklC é o tensor constitutivo (propriedade do material) ou de forma mais geral, 
incluindo tensões térmicas e residuais: 
ooD   )( (3. 49) 
onde 
2
,,
),( ijji
simétrica
parte
ij
uu
jiu

  (3. 50) 
Para tensão plana temos: 











0
e
e
o 

 (3. 51) 
e para a deformação plana 
)1(
0


 










 e
e
o (3. 52) 
Para a tensões planas e material isotrópico 
xo
yx
x E
v
E


  (3. 53) 
 
yo
yx
y EE
v


  (3. 54) 
 
 159 
xyo
xy
xy E
Tv
 


)1(2
 (3. 55) 
onde v é o coeficiente de Poisson, E é o módulo de Elasticidade. 













2/)1(00
01
01
1 2
v
v
v
v
ED (3. 56) 
ou em termos de  e  que são os parâmetros de Lamé. 
  klijjkiljlikijkl xxC  )()(  (3. 57) 
 
 vv
vE
21)1( 
 (3. 58) 
 
)1(2 v
E

 (3. 59) 
 Para a deformação plana, por exemplo, temos: 
















0
02
02
SIM
vD (3. 60) 
 
Forma Forte 
 Dados Rf i : e Rg igi : e Rh ihi : encontre Rui : tal 
que satisfaz a seguinte equação de equilíbrio: 
0,  ijij f em  (3. 61) 
com 
 160 
ii gu  em ig (3. 62) 
e 
ijij hn  em ih (3. 63) 
 
Forma Fraca 
 Dados Rf i : e Rg igi : e Rh ihi : encontre ii Su  tal que 
iVw satisfaz a seguinte equação de equilíbrio: 
  



),(
1
),(),(
),(
hw
n
i
ii
fw
ii
uwa
ijji
sol
ih
dhwdfwdw  









 em 
ih (3. 64) 
 
Forma Matricial 
 
   epeepqe ffKk  , (3. 65) 
enedee nnnqp  ,1 
  
NODAL
SUBMATRIZ
jb
T
a
T
i
e
pq
e
edDBBek 

 
(3. 66) 
Onde 
jbnq
ianp
ed
ed


)1(
)1(
 (3. 67) 
 
 161 

e
e
e
ee
X
e
k
k
k
kk
K
41
31
21
1211
88
 (3. 68) 
onde 2sdn 











1,2,
2,
1,
0
0
aa
a
a
a
NN
N
N
B (3. 69) 
 



ee
e
ih
e
n
q
e
qpqiaia
e
p gkdhNdfNf
1
 (3. 70) 
 
 
Tensões Térmicas 
 
o
ij
o
klklijklij C   )( (3. 71) 
onde as deformações e tensões iniciais oij e 
o
ij . 
kl
o
kl c  (3. 72) 
 Dados a temperatura  e o coeficiente de dilatação térmica klc . Nada muda na 
matriz de rigidez mas muda na epf . 
 










sol
ih
n
i
iiiiijji dhwdfwdw
1
),( 

 em 
ih (3. 73) 
 
 162 




dw
dCwdhwdfwdCw
o
klji
o
klijklji
n
i
iiiiklijklji
sol
ih

 











),(
),(
1
),(
 
(3. 74) 
Portanto, 
 
ee
dBedcDBef oTa
T
i
T
a
T
ip

...' (3. 75) 
onde: 











12
22
11
2
.
c
c
c
c (3. 76) 
com simetria, isto é, 122112 2ccc  











o
o
o
o
12
22
11
.



 (3. 77) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 163 
3. 6 – Estado de Tensões Planas e Deformações Planas 
 Somente as tensões e deformações no plano x,y é que devem ser consideradas para 
o trabalho interno das forças em corpo sólidos. Todas as outras componentes de tensão são 
zero e , portanto, não contribuem para o trabalho. A tensão na direção perpendicular ao palno 
x,y não é zero, mas, por construção, a deformação naquela direção é zero, e portano, nenhuma 
contribuição para o trabalho interno é feita por esta tensão. 
3.6.1 - Tensões e Deformações Térmicas e Residuais 
( )  oσ D ε ε σ (3. 78) 
Onde 
, ,
( , ) 2
def i j j i
ij i j
u u
u

  (3. 79) 
Válido para materiais isotrópicos 
i) Tensões Planas 
0
e
e
o

 
 
    
 
  
 (3. 80) 
onde e é a variação de temperatura. 
T
o xo yo xyo       (3. 81) 
i) Deformações Planas 
 1
0
e
e
o v

 
 
    
 
  
 (3. 82) 
onde e é a variação de temperatura. 
 164 
T
o xo yo xyo       (3. 83) 
 
3.6.2 - Tensões Planas 
 
2(1 )
yx
x xo
yx
x yo
xy
xy xyo
v
E E
v
E E
v
E

 

 

 
  
   

 
 
(3. 84) 
Resolvendo para as tensões, 
( )  oσ D ε ε (3. 85) 
Ou seja 
x x
y y o
xy xy
D
 
 
 
                                   
σ (3. 86) 
donde 
0
e
xox
e
y yo
xy xyo
D
 
  
 
                           
 (3. 87) 
onde 
2
1 0
1 0
1 0 0 (1 ) / 2
v
ED v
v v
 
      
 (3. 88) 
 165 
3.6.3 - Deformações Planas 
 Supondo o material isotrópico, e aplicando a Lei de Hooke temos: 
2(1 )
y ex z
x
y ex z
x
xy
xy
v v
E E E
v v
E E E
v
E
 
 
 
 


   
    


 
(3. 89) 
E mais 
0 y ex zz
vv
E E E
 
       (3. 90) 
Resolvendo para as tensões, 
( )  oσ D ε ε (3. 91) 
Observando que a matriz de elasticidade é dada por: 
x x
y y o
xy xy
D
 
  
 
                                   
σ (3. 92) 
donde 
0
e
xox
e
y yo
xy xyo
D
 
  
 
                           
 (3. 93) 
Eliminando z da equação acima e resolvendo para as 3 tensões restantes, obtém-se: 
 166 
 
     
1 /(1 ) 0
1
/(1 ) 1 0
1 1 2
0 0 (1 2 ) / 2(1 )
v v
E v
D v v
v v
v v
 
     
   
 (3. 94) 
Este tratameno só é válido para a fase elástica, conforme mostra a 
 
 
 
 
 Figura - 3. 2 
3.6.3 – Caso Geral 
 No livro do Hughes na página 105, caso geral. 
 o oij ijkl kl kl ijC      (3. 95) 
onde 
o
kl klC   (3. 96) 
e  é a temperatura e os klC ’s são os coeficientes de expansão térmica que são funções 
dadas. 
 A forma fraca do problema é dado por: 
   , ,
1
sdn
ij i i ii j i j
i
w d w f d w h d
  
 
     
 
 
   (3. 97) 
Substituindo a Lei de Hooke temos: 
 
   
,
1
, ,
sdn
ijkl i i i ii j
i
o o
ijkl kl iji j i j
w C d w f d w h d
w C d w d 
  
 
 
      
 
 
  
  
 
 (3. 98) 
 167 
Os dois últimos termos foram acrescentados por causa do efeito térmico. 
 Os termos adicionais em epf são: 
~ ~~ ~
...
e e
T T oe T T
p i i
a a
f e B D c d e B D d 
 
     (3. 99) 
onde 
1111
22 22
~ ~
12 12
2
o
o o
o
C
C C e
C

 

 
          
   
    
 (3. 100) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 168 
3. 7 – Análise Acoplada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 169 
3. 8 – Apresentação do Código FEAP 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 170 
3. 9 – Exemplos e Aplicações 
 
Exercício – 1 página 63 
 Verifique que ( , ),( , ) e ( , )a       da maneira como foram definidos, são formas 
bilineares simétricas. (Note que a simetria de ( , )a   segue da simetria das condutividades.) 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 171 
Exercício – 1 página 75 
 Considere a malha preparada. Estabeleça as matrizes ID, IEN e LM. 
 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 172 
3. 10 – Exercícios e Problemas 
3.10.1 - Exercício – 5 
 - Monte e rode o problema de viga em balanço resumido nas páginas 254-255 do 
Livro de Hughes. Considere só um caso; isto é assuma condições de deformações planas,  = 
0.3, e quadratura 2 x 2 aplicadas a elementos de 4-pontos quadrilaterais. Os dados de entrada 
para o FEAP para este problema são determinados na págian 705 do texto (em anexo). Você 
não precisa calcular os delocamentos; eles são determinados nos dados de entrada na página 
705. Entregue seus arquivos de entradas 
 
3.10.2 - Teoria Elástica Linear 
Malha Iviga-e Inicial (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh) 
 
Malha Iviga-e Inicial (tang,,1/tang,,1/Plot/node) 
 173 
 
 
 
 
 
 
Malha Iviga-e Inicial (tang,,1/tang,,1/Plot/boun) 
 
Malha Iviga-e Inicial (tang,,1/tang,,1/Plot/cont,1) 
 174 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Malha Iviga-e Inicial (tang,,1/tang,,1/Plot/stre,1) 
 
Malha Iviga-e Inicial (tang,,1/tang,,1/Plot/disp) 
 175 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Malha de Refinamento – 1 (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh) 
 
Malha Iviga2r1 Refinamento – 1 (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh/node) 
 176 
 
 
 
 
 
 
 
 
Malha Iviga2r1 Refinamento – 1 (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh/boun) 
 
Malha Iviga2r1 Refinamento – 1 (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh/cont,1) 
 177 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Malha Iviga2r1 Refinamento – 1 (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh/stre,1) 
 
Malha Iviga2r1 Refinamento – 1 (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh/disp) 
 178 
 
 
 
 
 
 
 
 
Malha de Refinamento – 2 (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh) 
 
Malha Iviga2r2 Refinamento – 2 (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh/node) 
 179 
 
 
Malha Iviga2r2 Refinamento – 2 (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh/boun) 
 
Malha Iviga2r2 Refinamento – 2 (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh/cont,1) 
 180 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Malha Iviga2r2 Refinamento – 2 (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh/stre,1) 
 
Malha Iviga2r1 Refinamento – 2 (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh/disp) 
 181 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Malha de Refinamento – 3 (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh) 
 
Malha Iviga2r3 Refinamento – 3 (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh/node) 
 182 
 
 
 
 
 
 
 
 
Malha Iviga2r3 Refinamento – 3 (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh/boun) 
 
Malha Iviga2r3 Refinamento – 3 (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh/cont,1) 
 183 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Malha Iviga2r3 Refinamento – 3 (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh/stre,1) 
 
Malha Iviga2r1 Refinamento – 2 (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh/disp) 
 184 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 185 
3.10.2 - Condução de Calor 2D 
Malha Icond Inicial (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 186 
Malha ICond sem geração de calor (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh/stre,1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 187 
Capítulo – IV 
ELEMENTOS ISOPARAMÉTRICOS 
RESUMO 
 Neste capítulo será visto 
 
 
 
 
. 
4. 1 - Objetivos do capítulo 
 i) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 188 
4. 2 – Introdução 
 Precisamos definir funções de interpolação tal que alcançamos 2 objetivos no 
projeto do elemento: 
 i) Convergência da Solução de Galerkin 
 ii) Convergência Computacional 
Requisitos de Convergência 
 Os requisitos de convergência são colocados nas funções de interpolação, 
portanto, 
1) Funções suaves (pelo menos continuidade C1 no interior do elemento). 
2) Continuidade Global C0 
3) Completamento 
 Considere o elemento e com condução de calor – uh é um escalar 
1
enn
h e
a a
a
u N d

 (4. 1) 
Onde 
 e h ea ad u x (4. 2) 
 Seja 3sdn  , os 'aN s sào ditos “completos” se: 
1 2 3
e e e e
a o a a ad c c x c y c z    (4. 3) 
Implicar que: 
1 2 3( )
h
ou x c c x c y c z    (4.4) 
Idéia Chave: 
 A medida que se refina a malha  0h  , hu e as derivadas atingirão valores 
constante em cada elemento. 
 
 
 
 189 
Teorema de Lax (Problema Linear) 
 
Convergência = Estabilidade + Consistência (4. 5) 
Comentário sobre continuidade 
 - Em geral se requer continuidade mC dentro do elemento (das funções de 
interpolação), onde m é a ordem da derivada na matriz de rigidez 
 - Continuidade global 1mC  
 - A definição de “completamento” deve incluir polinômios de grau até m também. 
Exemplos de Elementos: 
 
 
 
 
 Figura - 4. 1. Elemento bilinear quadrilateral. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 190 
4. 3 – Elementos Isoparamétricos e o seu Conceito de 
Programação 
 Define-se o mapeamento 
 
~ ~
; ( )x x  (4. 6) 
onde as funções de forma: 
~ ~
;
x
x
y



   
    
   
 (4. 7) 
 Define-se os 'aN s por: 
   
   
4
~ 1
4
1
, ,
, ,
e
a a
a
e
a a
a
x N x
y N y
   
   











 (4. 8) 
 Os ,aN s são calculadas assumindo forma linear tal que: 
 
 
0 1 2 3
0 1 2 3
,
,
x
y
        
        
    

   
 (4. 9) 
Com as seguintes restrições a serem satisfeitas 
 
 
,
,
e
a a a
e
a a a
x x
y y
 
 
 


 (4. 10) 
Isto ocorre se e somente se: 
 
 
1,
,
0,
, ( )
a a a
a b b ab
se a b
N
secaso contrário
N propriedade de interpolação
 
  

 


 (4. 11) 
Resulta que: 
    1, 1 1
4a a a
N         (4. 12) 
 
 191 
a a  a 
1 -1 1 
2 1 -1 
3 1 1 
4 -1 1 
Lembrando o caso 1D 
   1 1
2a a
N     (4. 13) 
Mas em 3D 
     1, , 1 1 1
8a a a a
N             (4. 14) 
Próxima Hipótese 
 Usar as funções de forma para definir hu . 
Condução de Calor: 
   
4
1
h e
a a
a
u N d 

 
 (4. 15) 
Elastostática: 
   
4
1
h e
i a ia
a
u N d 

 
 (4. 16) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 192 
4. 4 – Elemento Quadrilateral Bilinear 
I) Condição de Convegência 
1) Sua vidade C2 em e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura - 4. 2. Elemento bilinear quadrilateral 
2) Continuidade Global 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura - 4. 3. Elemento bilinear quadrilateral 
 Os 'AN s sãoglobalmente C
0 
 193 
1
enn
h
A A
A
u N d

 (4. 17) 
3 
 
4
1
4 4 4 4
1 2 1 2
1 1 1 1
h e
a a
a
e e e e
a o a a o a a a a a
a a a a
x y
u N d
N c c x c y c N c N x c N y

   

     
          
     
     

   
 
 (4. 18) 
Logo 
1 2
h
ou c c x c y   (4. 19) 
 
E 
             
4
1
1 1 1 1, 1 1 1 1 1 1 1 1
4 4 4 4
h
a
a
u N          

            
 
(4. 20) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 194 
4. 5 – Elementos Isoparamétricos 
 São elementos que parametrizam hu e  x 
 usando as mesmas funções de 
interpolação, com isso esses elementos possuem a sua forma geométrica correspondente ao 
grau de suas funções de interpolação. 
 
 
 
 
 
 Figura - 4. 4. Elemento bilinear quadrilateral 
 Seja o domínio apresentado. Seja : ex 

 da forma: 
   
1
enn
e
a a
a
x N x 

 
 (4. 21) 
Então: 
   
1
enn
h e
i a ia
a
u N d 


 (4. 22) 
1) Suavidade C1 no elemento , , ,a x a yN N são: 
, ,
, , , , , ,
, ,
x y
a x a y a a
x y
N N N N 
 
 
 
  
  
 (4. 23) 
e 
  1, , , ,1, ,, , , ,
x y
x
x y
y x
x
y xJ
 

 
 

 
   
     
      
 (4. 24) 
Onde 
 det , , , , ,J x x y x y     
 
 (4. 25) 
 Sabemos pela parametrização que , , ,a aN N  são suaves, então , , ,a x a yN N 
são suaves se J > 0. 
 195 
2) Suavidade Global C0 (analisado caso a caso) 
3) Complemento 
 
4 4
1 2 3
1 1
4 4 4 4
1 2 3
1 1 1 1
1(?)
h e e e e
a a a o a a a
a a
e e e
o a a a a a a a
a a a a
caso x y z
a caso
u N d N c c x c y c z
c N c N x c N y c N z
 
   

    
       
          
       
       
 
   
   
 (4. 26) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 196 
4. 6 – Elementos Triangular Linear 
 
 
 
 
 
 
 Figura - 4. 5. Elemento trilinear 
;
x
x y
z

 

 

 (4. 27) 
Assume-se: 
 
 
 
0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 2 3 4 5 6 7
x
y
z
               
               
               
       
       
       



 (4. 28) 
Onde se requer que: 
     
1
enn
e e
a a a a a
a
x N x x x  

      
 (4. 29) 
e 
     
1
enn
e e
a a a a a
a
y N y y y  

      
 (4. 30) 
e 
     
1
enn
e e
a a a a a
a
z N z z z  

      
 (4. 31) 
e 
       1 1, , 1 1 1 1 1
8 2a a a a a
N produto das funçoes D                 (4. 32) 
 197 
 
e 
   
8
1
h e
a a
a
u N d 


 (4. 33) 
Outros Elementos (§ 3.4 -3.5) 
 Existem duas maneiras de se melhorar a resposta do M.E.F. 
1) Refinamento – h  reduzindo “h” ou aumentando o número de nós e elementos 
2) Refinamento – p  aumentando o grau dos polinômios de interpolação – utilizando 
polinômios de maior grau nas funções de interpolação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 198 
4. 7 – Polinômios de Lagrange – 1D 
 O objetivo de se utilizar o polin 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 199 
4. 8 – Elementos com um Número Variável de Nós 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 200 
4. 9 – Quadratura Gaussiana 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 201 
4. 10 – Subrotinas de Funções de Interpolação e de Cálculo de 
Rigidez Elementar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 202 
4. 11 – Exemplos e Aplicações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 203 
4. 12 – Exercícios e Problemas 
 
 
 
 
 
 
 204 
Capítulo – V 
MÉTODOS MISTOS E DE PENALIDADE 
RESUMO 
 Neste capítulo será visto 
 
 
 
. 
5. 1 - Objetivos do capítulo 
 i) 
 
 
 
 
5. 2 – Introdução 
 
 
 
 
 
 
 205 
5. 3 – Métodos Mistos e de Penalidade 
 (5. 1)206 
5. 4 – Normas de Sobolev 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 207 
5. 5 – Melhor Aproximação e Estimativa de Erro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 208 
5. 6 – Elasticidade Incompressível 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 209 
5. 7 – Escoamento de Stokes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 210 
5. 8 – Exemplos e Aplicações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 211 
5. 9 – Exercícios e Problemas 
 
 212 
Capítulo – VI 
PROBLEMAS TRANSIENTES 
RESUMO 
 Neste capítulo será visto 
 
 
 
. 
6. 1 - Objetivos do capítulo 
 i) 
 
 
 
 
6. 2 – Introdução 
 
 
 
 
 
 
 213 
6. 3 - Problemas Transientes 
 (6. 1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 214 
6. 4 - Problemas Parabólicos (Equação de Calor) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 215 
6. 5 - Problemas Hiperbólicos (Elastodinâmica e Dinâmica 
Estrutural) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 216 
6. 6 – Algoritmos Computacionais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 217 
6. 7 – Exemplos e Aplicações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 218 
6. 8 – Exercícios e Problemas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 219 
Capítulo – VII 
INTRODUÇÃO A ANÁLISE NÃO-LINEAR 
TÉRMICA E ELÁSTICA 
RESUMO 
 
 Neste capítulo será visto 
 
 
 
 
 
 
 
7. 1 - Introdução 
 Neste capítulo vamos levantar alguns exemplos simples de problemas de não-
linearidades materiais. Dos quais podemos listar: 
 
I) Condição de Calor Não-Linear 
 
II) Viga Elástica Não-Linear 
 
III) Elasticidade Não-Linear em pequenas deformações. 
 
 220 
7. 2 – A Formulação do Problema Forte e Fraca de Problemas 
Térmicos Não-Lineares 
7.2.1 - A Forma Forte da Análise Térmica Não-Linear 
 Considere o seguinte problema térmico onde a propriedade é função da solução, 
que é a temperatura, ou seja, a condutividade térmica é expressa como: 
 k k T (7. 1) 
 Considere o seguinte Problema de Valor Inicial (P.V.C.) em  0;1x 
 
 Figura - 7. 1. Condução de Calor Não-Linear 
 A forma forte é dada por: Ache u tal que: 
 
 
  
  
, 0 / 0;
0 0
i i
g
i i h
q f p x L
S u g em x
q n h em x L L
    

   

    
 (7. 2) 
 
 
 Figura - 7. 2. 
 Mas agora: 
 221 
   ; , ,i i i j ij jq q u u k u u   (7. 3) 
 
Lembre-se do caso linear que: 
 , ,i i j ij jq q u k u   (7. 4) 
A forma fraca  W é a mesma que antes, ou seja: 
7.2.2 - A Forma Fraca da Análise Térmica Não-Linear 
 A formulação fraca do problema térmico não-linear é dada por: 
 
0 0 0
, , , 0
L L L
x xw qdx w q dx wf dx     (7. 5) 
como 0 yw em  temos: 
   
0 0
,
L L
xW w qdx wf dx w L h   (7. 6) 
supondo que estejamos tratando com problema linear 
 , ,i i j jq q u ku   (7. 7) 
Onde ijk é a conditividade térmica do material, temos a forma de Galerkin: 
   
 
 0 0 ,
, ,
, ,
h
L L
x x
w h
a w u w f
w ku dx wf dx w L h

   
 
 
(7. 8) 
 
 Figura - 7. 3. Formulação de Galerkin com Malha 
 222 
7.2.3 - A Forma de Galerkin da Análise Térmica Não-Linear 
 A forma de Galerkin é dado por: 
     , , ,a w u w f w h  (7. 9) 
 Na forma de Galerkin a solução é do tipo: 
     
g g
h
A A A A
A n n A n
u x N x d N x g
  
   (7. 10) 
E as funções pesos são do tipo 
   
g
h
A A A
A n n
w x N x c c
 
    (7. 11) 
As quais substituindo-se em (7. 6) obtemos: 
   
0 0
, ,
L L
h h h h
x xw q u dx w f dx w L h   (7. 12) 
Ou ainda para uma ou mais dimensões temos: 
 
int
, ,
h
ext
h h h h h
x ij j
F F
w k u u d w f d w hd
  
     
 
 
(7. 13) 
Desta forma, encontramos a relação entre a força interna e externa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 223 
7.2.4 - A Forma de Matricial da Análise Térmica Não-Linear 
 Na forma matricial temos: 
int extF F
 
 (7. 14) 
 Substituindo-se as fuções de interpolação temos: 
       
1 1
2 1
, ,
n n
A A x B x B A A
A B
c N x q N x d d N x fdx N L h
 
  
  
     
    
   (7. 15) 
 A partir daqui segue os demais desenvolvimentos matemáticos análogos as casos 
anteriores feitos para a análise linear. Contudo é reciso considerar algumas condições para o 
problema não-linear. 
Problema Não-Linear 
 - Em (7. 82), define-se 1d , tal que, 1d g . É comum incluir um grau de liberdade 
prescrito em d

. Desta forma (7. 82) é reescrita como: 
 

int ext
N d
F F
 
 
 
(7. 16) 
onde 
   int int t; ext exA AF F F F     (7. 17) 
Com 
   
   
1
int
10
0
ˆ, ,
L n
A x B x B
B
L
ext
A A
F N x N x d dx
F N x f dx N L h



 
 
 
 
 




 (7. 18) 
 Definindo o intervalo de um elemento e conforme mostrado na Figura - 7. 4 
 
 Figura - 7. 4. 
 224 
onde podemos escrever: 
int int, ,
1 1
;
el eln ne ext ext e
e e
F A f F A f
 
 
  
 (7. 19) 
e 
   int, int, , t,;e e ext e ex ea af f f f     (7. 20) 
Onde 
int,
e
e T
af N qd

    
 (7. 21) 
Onde q depende de d

. E 
t,
e e
ex e
a af N fd N hd
 
    
 (7. 22) 
 Portanto, a forma matricial final fica: 
Kd F
 
 (7. 23) 
 A partir daqui segue os demais desenvolvimentos matemáticos análogos as casos 
anteriores feitos para a análise linear. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 225 
7.2.5 – Definição de Quantidades Elementares na Análise Térmica Não-Linear 
 Em relação as grandezas elementares como sempre temos: 
1
eln e
e
K A K


 
 (7. 24) 
 Do ponto de vista dos elementos temos: 
 
     
     
int,
1
int,
1
: ;
, ,
, ,
en
en
e
e
i
n
h h h
i ij j ij b j b
b
n
e h
a a i ij b j b
h
Linearmente
Independente de d
f q q
q k u u k u N x d
f N x k u N x d d

 

 
    
  
 
 
 
   
 
 
  

 

 


 
(7. 25) 
ou 
   
2
1
int,
1
ˆ, ,
enx n
e
a x b x b
Bx
f N x N x d dx
 
 
 
 

 (7. 26) 
Para cada elemento também vale uma relaçào do tipo 
int e ef K d
 
 (7. 27) 
Agora nós temos: 
 int e e ef K d d    (7. 28) 
Sendo assim eK

 requer o cálculo do gradiente de intf

 
e e
abK K    
 (7. 29) 
Onde 
int
e
ab
b
f
K
d





 (7. 30) 
Ou 
 226 
  int, e ieae
ab e
b
f d
K
d






 (7. 31) 
Logo, 
   
   
 
 
1
1 1
ˆ, ,
ˆ
, , . ,
e
i en
e
i
e
i en en
e
i
h
x n
e e
ab a x c x ce
b cx
x n n
e e
a x c x c c x ce
bc cx
E
K N x N x d dx
d
dN x N x d N x d dx
d d





 
            
      
      

 



 (7. 32) 
Logo, 
     
         
1
1
, ,
, , , ,
en
e
en
e e
n
e h
ab a i ij c j c
b c
n hij ij h
a i c j c a i b jh hbc
Igual a rigidez linear
K N x k u N x d d
d
k kuN x N x d d N x u N x d
du u
 
  
    
 
 
 
   
    
  
  
 
  



 (7. 33) 
logo 
     
2
1
, ,
e
e
x
e h
ab a x b x
x
K N x k N x dx  (7. 34) 
Melhorando a forma de escrever o 1º termo: 
1
, ,
ennh
c x c b x
b b c
u N d N
d d

    
  
    
 (7. 35) 
logo 
       
1
, , , ,
en
e e
n
ije h
ab a i b c j c a i ij b jh
c
k
K N x N N d d N x k u N x d
u  
 
   
   
  (7. 36) 
Essa matriz não é simétrica por causa do 1º termo. Lembrando que é preciso conhecer a 
dependência de ijk em função u , cujo gráfico é do tipo mostrado na Figura - 7. 5. 
 227 
 
 
 Figura - 7. 5. 
 No programa FEAP usa-se o comando utang,,1 para matriz não-simétricas e 
tang,,1 para matrizes simétricas. 
 Em geral temos: 
   
     
1 1
, , , ,
, ,
en en
e e
e
n n
ij ije
ab a i b c j c b i a c j ch h
c c
h
a i ij b j
k k
K N x N N d d N x N N d d
u u
N x k u N x d
  

    
      
       
 
  


 
(7. 37) 
Resumo (problema 1-D) 
 - eabK é muito simples (idêntico à viga linear) exceto que  E E  . 
 - Temos como resultado que a rotina do elemento é muito semelhante a rotina do 
elemento linear. 
 Diferença Importante: 
 Necessita-se de ed

 para se calcular int,ee eK f
 
 
Observações: 
1) O uso da derivada exata em 
intextK d F F  
  
 (7. 38) 
É chamado de uso de “tangente consistente” 
2) Com rigor o Método de Newton-Raphson requer o uso de “tangente consistente” 
3) O Método de Newton com o uso de aproximação para K

 é chamado de Método de Quase-
Newton 
4) Mesmos teorias simples de Análise Linear ou Não-Linear podem trazer assimetrias. 
 228 
7.2.6 – Esquema da Carga Incremental 
 Suponhamos uma força dependente de um parâmetro de carga (onde t, não é o 
tempo real, mas um “parâmetro de carga”) 
 f f t (7. 39) 
e ainda 
 h h t (7. 40) 
e 
 1:g d g t  (7. 41) 
 Deseja-se resolver para uma solução do tipo: 
     
1
1
n
h
A A
A
u t N x d t


 (7. 42) 
Onde  0;t T 
 Numericamente divide-se o intervalo  0;T em incremento 
   1
0
0; ;
on passos
n n
n
T t t 

  (7. 43) 
 
 
 Figura - 7. 6. 
 Portanto, o problema não-linear a ser resolvido é: 
   int 1 1extn nF d F t  
 (7. 44) 
 
 229 
7.2.7 – O Método de Newton-Raphson 
 Define-se um resíduo como sendo: 
      int 0 0;extR F t F d t t T        (7. 45) 
 A contrapartida discreta é dada por: 
    int1 1 0ext n nR F t F d       (7. 46) 
Iterações de Convergência 
 Em seguida cria-se um contador de iterações  i em cada passo  1;n nt t  
1) Inicializa-se com  01 ; 0nnd d i   
 
2) Resolve-se pelo Método de Newton-Raphson 
      0i iRR d d dd

  

   

 (7. 47) 
Ou 
     i iR d d R dd

  

   

 (7. 48) 
Note que: 
intextR F F 
  
 (7. 49) 
logo 
intR F
d d
 
 
 
 
 
 (7. 50) 
onde extF

 é independente de d

 neste problema 
 Portanto a equação global fica: 
     int.i iextK d d F F d       (7. 51) 
Onde: 
intFK
d





 (7. 52) 
 230 
Em relação as grandezas elementares como sempre temos: 
1
eln e
e
K A K


 
 (7. 53) 
Incrementos temporais 
 Após a convergência das iterações  i pode-se incrementar o tempo da seguinte 
forma: 
   
  11
1 1
0
0
i
n
i i
n n
R d
RR d d d
d


 

        
   
 
   
 
(7. 54) 
Onde 
     t int 11
i ex
n nnR d F t F d 
    
    
 (7. 55) 
Chamando de 
 t intexF FRK
d d
 
 
 
 
 
 (7. 56) 
Temos: 
intFK
d





 (7. 57) 
Logo, 
   
1 1 0
i i
n nR d K d d 
        
      
 (7. 58) 
e 
   1
1 1
i i
n nd d d

     
 (7. 59) 
Portanto, obtemos o seguinte sistema linear para cada iteração 
   
   
   1 1 1
1 1
1 1
0i in n
i i
n ni i
n n
RR d d d
d
d d d
R d d R d
d
 

 
 
              
  
                
   

  
   

 (7. 60) 
 231 
Resolve-se 
     
int
int
11 1
1
/i iext nn n
n
F d d F t F d p d
d  
           
    
     

 (7. 61) 
Atualiza-se 
   1
1 1
i i
n nd d d

     
 (7. 62) 
 Repete-se o processo até que “ d

” seja “pequeno”o que significa que: 
    
    
1 ( )
. 2 ( )
i
i
R d tol Norma da Força
d R d tol Norma da Energia

 
 
 
 (7. 63) 
Ponto de Vista Elementar 
     t, ,11 1
e i e ie ex e int e
nn nr d f t f d 
       
      
 (7. 64) 
Onde 
   
,
1 1
int e
e i e ie
n ne
f
K d d
d 
      
   
  
 (7. 65) 
Então 
   
1 11
elni e ie
n ne
R d A r d 
      
     
 (7. 66) 
Portanto, 
   
1 11
elni e ii
n ne
K d A K d 
      
     
 (7. 67) 
 
 
 
 
 
 232 
7. 3 – A Formulação do Problema Forte e Fraca de Problemas 
Elásticos Não-Lineares 
7.3.1 - A Forma Forte da Análise Elástica Não-Linear 
 A formulação forte do problema elástico não-linear é dada por: 
 
 
  
  
, 0 / 0;
0 0
x
g
h
f p x L
S u g em x
h em x L L


    

   

   
 (7. 68) 
 A análise elástica linear pode ser dividida em duas categorias: 
i) Relação Deformação – Deslocamento 
 Caracterizada por: 
,x
duu
dx
   (7. 69) 
ii) Relação Tensão-Deformação 
 Caracterizada por: 
 ˆ   (7. 70) 
onde ˆ é uma função não-linear de  , conforme mostra as Figura - 7. 7 e Figura - 7. 8 
 
 Figura - 7. 7. 
 
 Figura - 7. 8. 
 233 
Obs: 
 No caso linear temos como exemplo: 
 ˆ E   (7. 71) 
 No caso linear, esta hipótese não se aplica como, por exemplo, em materiais 
conjugados, polímeros, etc. Vejamos, portanto a formulação fraca do problema elástico não-
linear.7.3.2 - A Formulação Fraca do Problema Elástico Não-Linear 
 A formulação fraca do problema elástico não-linear é dada por: 
 
0 0 0
, , , 0
L L L
x xw dx w dx wf dx      (7. 72) 
como 0 yw em  temos: 
   
0 0
,
L L
xW w dx wf dx w L h    (7. 73) 
supondo que estejamos tratando com problema linear 
 ˆ E   (7. 74) 
Onde E é o módulo de elasticidade, temos a forma de Galerkin: 
   
 
 0 0 ,
, ,
, ,
h
L L
x x
w h
a w u w f
w Eu dx wf dx w L h

   
 
 
(7. 75) 
 
 
 Figura - 7. 9. Formulaçào de Galerkin com Malha. 
 234 
7.3.3 - A Forma de Galerkin da Análise Elástica Não-Linear 
 A forma de Galerkin é dado por: 
     , , ,a w u w f w h  (7. 76) 
 Na forma de Galerkin a solução é do tipo: 
     
1
1
2
n
h
A A
A
u x N x d N x g


  (7. 77) 
E as funções pesos são do tipo 
   
1
2
n
h
A A A
A
w x N x c c


    (7. 78) 
As quais substituindo-se em (7. 73) obtemos de forma análoga ao caso térmico: 
   
0 0
ˆ, ,
L L
h h h h
x xw u dx w f dx w L h    (7. 79) 
Ou ainda para uma ou mais dimensões temos: 
 
int
, ,
h
ext
h h h h h
x ij j
F F
w E u u d w f d w hd
  
     
 
 
(7. 80) 
Desta forma, encontramos a relação entre a força interna e externa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 235 
7.3.4 - A Forma de Matricial da Análise Elástica Não-Linear 
 Na forma matricial temos: 
int extF F
 
 (7. 81) 
 Substituindo-se as fuções de interpolação temos: 
Ou ainda 
       
1 1
2 10 0
ˆ, ,
L Ln n
A A x B x B A A
A B
c N x N x d dx N x f dx N L h
 
 
  
    
    
   (7. 82) 
 A partir daqui segue os demais desenvolvimentos matemáticos análogos as casos 
anteriores feitos para a análise linear. Contudo é reciso considerar algumas condições para o 
problema não-linear. 
Problema Não-Linear 
 - Em (7. 82), define-se 1d , tal que, 1d g . É comum incluir um grau de liberdade 
prescrito em d

. Desta forma (7. 82) é reescrita como: 
 

int ext
N d
F F
 
 
 
(7. 83) 
onde 
   int int t; ext exA AF F F F     (7. 84) 
Com 
   
   
1
int
10
0
ˆ, ,
L n
A x B x B
B
L
ext
A A
F N x N x d dx
F N x f dx N L h



 
 
 
 
 




 (7. 85) 
 Definindo o intervalo de um elemento e conforme mostrado na Figura - 7. 10 
 236 
 
 Figura - 7. 10. 
onde podemos escrever: 
int int, ,
1 1
;
el eln ne ext ext e
e e
F A f F A f
 
 
  
 (7. 86) 
e 
   int, int, , t,;e e ext e ex ea af f f f     (7. 87) 
Onde 
int, ˆ
e
e T
af N d

    
 (7. 88) 
Onde q depende de d

. E 
t,
e e
ex e
a af N fd N hd
 
    
 (7. 89) 
 Portanto, a forma matricial final fica: 
Kd F
 
 (7. 90) 
 A partir daqui segue os demais desenvolvimentos matemáticos análogos as casos 
anteriores feitos para a análise linear. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 237 
 
 
 
 
 
 
7.3.5 – Definição de Grandezas Elementares na Análise Elástica Não-Linear 
 Em relação as grandezas elementares como sempre temos: 
1
eln e
e
K A K


 
 (7. 91) 
 Do ponto de vista dos elementos temos: 
 
     
int,
1
ˆ ˆ: ;
ˆ , ,
en
e
i
n
h h h
i ij j ij b j b
b
f
E u u E u N x d
 



 
    
  


 (7. 92) 
logo 
     int,
1
, ,
en
e
n
e h
a a i ij b j b
h
Linearmente
Independente de d
f N x E u N x d d
 
 
 
 
   
 
 
  
 



 (7. 93) 
ou 
   
2
1
int,
1
ˆ, ,
enx n
e
a x b x b
Bx
f N x N x d dx

 
 
 
 

 (7. 94) 
Para cada elemento também vale uma relação do tipo 
int e ef K d
 
 (7. 95) 
Agora nós temos: 
 238 
 int e e ef K d d    (7. 96) 
Sendo assim eK

 requer o cálculo do gradiente de intf

 
e e
abK K    
 (7. 97) 
Onde 
int
e
ab
b
f
K
d





 (7. 98) 
ou 
  int, e ieae
ab e
b
f d
K
d






 (7. 99) 
Logo, 
   
   
 
 
1
1 1
ˆ, ,
ˆ
, , . ,
e
i en
e
i
e
i en en
e
i
h
x n
e e
ab a x c x ce
b cx
x n n
e e
a x c x c c x ce
bc cx
E
K N x N x d dx
d
dN x N x d N x d dx
d d





 
            
      
      

 



 (7. 100) 
 
     
         
1
1
, ,
, , , ,
en
e
en
e e
n
e h e
ab a i ij c j ce
b c
n hij ij h
a i c j c a i b jh hbc
Igual a rigidez linear
K N x E u N x d d
d
E EuN x N x d d N x u N x d
du u
 
  
    
   
 
   
    
  
  
 
  



 (7. 101) 
logo 
     
2
1
, ,
e
e
x
e h
ab a x b x
x
K N x E N x dx  (7. 102) 
 239 
 Melhorando a forma de escrever o 1º termo: 
1
, ,
ennh
c c a x bc b x
b b c
u N d N N
d d


    
   
    
 (7. 103) 
logo 
       
1
, , , ,
en
e e
n
ije h
ab a i b c j c a i ij b jh
c
k
K N x N N d d N x k u N x d
u  
 
   
   
  (7. 104) 
Essa matriz não é simétrica por causa do 1º termo. Lembrando que é preciso conhecer a 
dependência de ijk em função u , cujo gráfico é do tipo mostrado na Figura - 7. 11. 
 
 Figura - 7. 11. 
 No programa FEAP usa-se o comando utang,,1 para matriz não-simétricas e 
tang,,1 para matrizes simétricas. 
 Em geral temos: 
   
     
1 1
, , , ,
, ,
en en
e e
e
n n
ij ije
ab a i b c j c b i a c j ch h
c c
h
a i ij b j
k k
K N x N N d d N x N N d d
u u
N x k u N x d
  

    
      
       
 
  


 
(7. 105) 
 
Resumo (problema 1-D) 
 - eabK é muito simples (idêntico à viga linear) exceto que  E E  . 
 - Temos como resultado que a rotina do elemento é muito semelhante a rotina do 
elemento linear. 
 Diferença Importante: 
 240 
 Necessita-se de ed

 para se calcular int,ee eK f
 
 
Observações: 
1) O uso da derivada exata em 
intextK d F F  
  
 (7. 106) 
É chamado de uso de “tangente consistente” 
2) Com rigor o Método de Newton-Raphson requer o uso de “tangente consistente” 
3) O Método de Newton com o uso de aproximação para K

 é chamado de Método de Quase-
Newton 
4) Mesmos teorias simples de Análise Linear ou Não-Linear podem trazer assimetrias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 241 
 
 
 
 
 
 
7.3.6 – Esquema da Carga Incremental 
 Suponhamos uma força dependente de um parâmetro de carga (onde t, não é o 
tempo real, mas um “parâmetro de carga”) 
 f f t (7. 107) 
e ainda 
 h h t (7. 108) 
e 
 1:g d g t  (7. 109) 
 Deseja-se resolver para uma solução do tipo: 
     
1
1
n
h
A A
A
u t N x d t


 (7. 110) 
Onde  0;t T 
 Numericamente divide-se o intervalo  0;T em incremento 
   1
0
0; ;
on passos
n n
n
T t t

  (7. 111) 
 242 
 
 Figura - 7. 12. 
 Portanto, o problema não-linear a ser resolvido é: 
   int 1 1extn nF d F t  
 (7. 112) 
 
7.3.7 – O Método de Newton-Raphson 
 Define-se um resíduo como sendo: 
      int 0 0;extR F t F d t t T        (7. 113) 
 A contrapartida discreta é dada por: 
    int1 1 0ext n nR F t F d       (7. 114) 
Iterações de Convergência 
 Em seguida cria-se um contador de iterações  i em cada passo  1;n nt t  
1) Inicializa-se com  01 ; 0nnd d i   
 
2) Resolve-se pelo Método de Newton-Raphson 
      0i iRR d d dd

  

   

 (7. 115) 
Ou 
     i iR d d R dd

  

   

 (7. 116) 
Note que: 
 243 
intextR F F 
  
 (7. 117) 
logo 
intR F
d d
 
 
 
 
 
 (7. 118) 
onde extF

 é independente de d

 neste problema 
 Portanto a equação global fica: 
     int.i iextK d d F F d       (7. 119) 
Onde: 
intFK
d





 (7. 120) 
Em relação as grandezas elementares como sempre temos: 
1
eln e
e
K A K


 
 (7. 121) 
Incrementos temporais 
 Após a convergência das iterações  i pode-se incrementar o tempo da seguinte 
forma: 
   
  11
1 1
0
0
i
n
i i
n n
R d
RR d d d
d


 

        
   
 
   
 
(7. 122) 
Onde 
     t int 11
i ex
n nnR d F t F d 
    
    
 (7. 123) 
Chamando de 
 t intexF FRK
d d
 
 
 
 
 
 (7. 124) 
Temos: 
 244 
intFK
d





 (7. 125) 
Logo, 
   
1 1 0
i i
n nR d K d d 
        
      
 (7. 126) 
e 
   1
1 1
i i
n nd d d

     
 (7. 127) 
Portanto, obtemos o seguinte sistema linear para cada iteração 
   
   
   1 1 1
1 1
1 1
0i in n
i i
n ni i
n n
RR d d d
d
d d d
R d d R d
d
 

 
 
              
  
                
   

  
   

 (7. 128) 
Resolve-se 
     
int
int
11 1
1
/i iext nn n
n
F d d F t F d p d
d  
           
    
     

 (7. 129) 
Atualiza-se 
   1
1 1
i i
n nd d d

     
 (7. 130) 
 Repete-se o processo até que “ d

” seja “pequeno”o que significa que: 
    
    
1 ( )
. 2 ( )
i
i
R d tol Norma da Força
d R d tol Norma da Energia

 
 
 
 (7. 131) 
Ponto de Vista Elementar 
     t, ,11 1
e i e ie ex e int e
nn nr d f t f d 
       
      
 (7. 132) 
Onde 
   
,
1 1
int e
e i e ie
n ne
f
K d d
d 
      
   
  
 (7. 133) 
 245 
Então 
   
1 11
elni e ie
n ne
R d A r d 
      
     
 (7. 134) 
Portanto, 
   
1 11
elni e ii
n ne
K d A K d 
      
     
 (7. 135) 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. 4 – Exemplos e Aplicações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 246 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. 5 – Exercícios e Problemas 
 
 
 
 
 247 
Capítulo – VIII 
MECÂNICA DOS FLUIDOS 
RESUMO 
 Neste capítulo será visto 
 
 
 
 
 
8. 1 - Introdução 
 A Mecânica dos Fluidos estuda o movimento dos fluidos e o efeito resultante nas 
suas vizinhanças. Os fluidos se apresentam basicamente de duas formas, na forma de gases e 
líquidos. Alguns materiais complexos, como misturas podem apresentar um comportamento 
de fluido, o que são chamadas de leito fluidizado. Também o calor e o plasma são também 
considerados fluidos. O estado de fluido de um material é freqüentemente caracterizado pela 
relativa mobilidade das moléculas que o constituem. 
 O movimento de um fluido é governado por leis globais de conservação de massa, 
quantidade de movimento (“momentum”) e energia. Estas equações formam um Sistema de 
Equações Diferenciais Parciais Não-Lineares, cujas incógnitas são: velocidade, temperatura e 
pressão. 
 248 
8.1.1 - Hipótese Inicial 
 Quando os efeitos da temperatura não são importantes, ou seja, as variações de 
temperatura desprezíveis o fluido é chamado de isotérmico. Como hipótese inicial, vamos 
considerar o problema escolhido com as seguintes características: viscoso, incompressível e 
condições isotérmicas em todo o domínio.([3]). Considerando variações de temperatura 
desprezíveis é possível resolver a equação de Navier-Stokes e continuidades. Quando as 
velocidades são baixas, (quando o número de Reynolds é baixo) isso implica que os termos de 
inércia são desprezados. Neste caso, precisa-se resolver as equações de Navier-Stokes e da 
continuidade. 
Re U D
v
 (8. 1) 
Onde U é a velocidade livre de interação com as superfícies, D é uma dimensão 
característica, v é a viscosidade cinemática 
 O problema de valor de contorno linear conhecido como escoamento de Stokes é 
um exemplo de problema de fluido aplicado na lubrificação de superfícies. 
 Apresentam-se, na seqüência, as equações que regem o fenômeno, os dados 
gerados pelo programa FEAP, seguido do estudo dos valores encontrados, análise e 
comparação dos resultados com o fornecido pelo livro ([2]). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 249 
8. 2 - Fundamentação Teórica 
 A lei de conservação de massa estabelece que a razão entre a variação de massa 
por unidade de tempo em uma região fixa é zero. Esta lei, conhecida como equação da 
continuidade, pode ser escrita matematicamente como: 
. 0J
t

  


, (8.2) 
onde J u
  é o fluxo de massa e  é a densidade do fluido, u denota o vetor velocidade, e 
 é o operador vetorial da derivada. Quando a mudança de densidade de um fluido em 
particular é desprezível, então o fluido (ou fluxo) é denominado incompressível e tem-se que 
/ 0t   . A equação da continuidade torna-se: 
.u o  , (8.3) 
 A lei de conservação de momento linear (segunda lei de Newton para o 
movimento) afirma que a variação do momento linear sobre o tempo é igual à soma das forças 
externas agindo na região. Esta lei é representada por: 
. Duf P
Dt
    

, (8.4) 
onde  é o tensor tensão de Cauchy e f é o vetor força do corpo, medido por unidade de 
massa , enquanto D/Dt denota a derivada material ou operador derivada Euleriano, 
.D u
Dt t

  

 , (8.5) 
A Eq. (4) descreve a equação de movimento de um meio continuo e, na mecânica dos fluídos, 
são conhecidas como Equações de Navier. 
 
 
 
 
 
 
 250 
8. 3 - Equação de Navier-Stokes para Escoamento Laminar 
 As equações governantes são: 
Tempo t 
 
Vetor posição: 
 1 2 3, ,x x x x
 (8. 6) 
Em coordenadas eulerianas. 
Massa 
0
0i
i
u
u
x
 



 (8. 7) 
Lembre-se: 
fluxo
fluido uniforme
incompressível
cte cte
t



  
 
 
(8. 8) 
Momentum 
0 0. 0
u u u f
t
  
       
   
 (8. 9) 
 Em notação inicial temos: 
0 0 0
iji i
i i
j j
u uu f
t x x

 
   
        
 (8. 10) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 251 
8.3.1 - Relações Constituitivas para Fluidos Newtonianos 
 As relações constitutivas para um fluido newtoniano são: 
; 2PI D    
   
 (8. 11) 
Onde 
   1
2
TD u u        
 (8. 12) 
Ou 
; 2ij ij ij ij ijP D       (8. 13) 
E 
1
2
ji
j i
uuD
x x
 
     
 (8. 14) 
Condições de Contorno 
(Dirichlet) 
ˆu u

 ou  ˆ ,i i uu u s t em  (8. 15) 
e 
(Neumann) 
ˆ ˆ.n    ou      ˆ, ,i ij js t n s s t em      (8. 16) 
 Estas equações são resumidas por: 
0i
i
u
x



 (8. 17) 
e 
 0 0 0i ii ij ij i
j j
u uu P D f
t x x
   
   
          
 (8. 18) 
Ou 
0 0 0
ji i i
i ij i
j j j i
uu u uu P f
t x x x x
   
      
          
            
 (8. 19) 
 252 
As equações Erro! Fonte de referência não encontrada. e Erro! Fonte de referência não 
encontrada. representam o problema a ser resolvido. 
 
8.3.2 - Escoamento Viscoso Incompressível 
 Para o estudo particular do problema de Stokes para um fluido incompressível a 
equação constitutiva é dada por: 
.u u       , (8.20) 
Como o fluido é considerado incompressivel pela equção (8.3) tem-se: 
u    , (8.21) 
e portanto a (8.4) torna-se: 
 . Duf u P
Dt
     
  , (8.22) 
Observe que a equação (8.22) possui duas variáveis, a velocidade do fluido u e a pressão P . 
8.3.3 - Formulação Forte do Problema de Navier-Stokes para o Escoamento 
Laminar 
 A formulação forte é dada por: 
0i
i
u
x



 (8. 23) 
e 
 

 
0 0 0
ji i i
i ij i
j j j i força depressãotempo fricção campoadvecção
uu u uu P f
t x x x x
   
    
                
        
    
   
 (8. 24) 
Como obter a forma variacional? 
8.3.4 - Procedimento Geral em 3 Passos 
1) Tomar a equação em questão colocando todos os termos para um lado da igualdade. Em 
seguida multiplica-se a equação obtida por uma função peso, w, por exemplo, e integrando 
sobre o domínio e de um elemento típico. 
 253 
2) Distribuir a diferenciação de d

 (vetor de incógnitas) e w

 igualmente, tal que as equações 
diferenciais parciais sejam reduzidas de uma ordem, através da integração por partes (usando 
o Teorema de Green-Gauss). 
3) Separar o contorno do domínio pelas definições físicas do problema. 
 Em nosso caso devemos usar a equação Erro! Fonte de referência não 
encontrada. e obter 
0
e
i
i
uQ dx
x

 
 
 
  (8. 25) 
E a equação Erro! Fonte de referência não encontrada. e obter: 
0 0 0
e
ji i i
i ij i
j j j i
uu u uw u P f dx
t x x x x
   

                                 
  (8. 26) 
Finalmente obtém-se a forma fraca: 
0
e
i
i
uQ dx
x

 
  
 
  (8. 27) 
E a equação Erro! Fonte de referência não encontrada. e obter: 
0 00
e
e
ji i i i
i i j ij i i
j j j i
i i
uu u w uw w u P w f dx
t x x x x
w ds
   



                                  





 (8. 28) 
 
8.3.5 - Forma Variacional de Rayleigh-Ritz Galerkin 
 Nesta forma velocidades e pressões são obtidas com funções de aproximação 
(funções de forma e de interpolação),  , dada por: 
     
1
,
M
m T
i m i i
m
u x t x u t u 

   
 (8. 29) 
e 
 254 
     
1
,
L
T
l l
l
P x t x P t P 

    
 (8. 30) 
Onde e T T 
 
 são vetores coluna de funções de forma. eiu P
 são vetores dos valores nodais 
de velocidadeds e pressão. 
 A funções pesos são aproximadas também por: 
   1
1
L
l l
l
Q x C t

  (8. 31) 
e 
    2
1
,
M
i m im
m
w x t x C

  (8. 32) 
que são independentes do tempo: 
 Susbtituindo as equações Erro! Fonte de referência não encontrada. e Erro! 
Fonte de referência não encontrada. em Erro! Fonte de referência não encontrada. e 
ainda Erro! Fonte de referência não encontrada. e Erro! Fonte de referência não 
encontrada. em Erro! Fonte de referência não encontrada., obtém-se as seguintes 
equações de elementos finitos: 
i) Massa 
0
e
T
i
i
dx u
x



 
  
 
 
  
 (8. 33) 
 
ii) Momentum na direção i 
 
e e
e e
e e e
T
T T
o i o j i
j
T T
i j
j j j j
T
o i i
i
dx u u dx u
x
dx u dx u
x x x x
dx P f dx ds
x

    
   
 

    
 
 
  
   
    
   
   
      
    
      
   
     
      
     
     
 
 
  
        
      
     
 (8. 34) 
 As equações matriciais são escritas como: 
 255 
i) Massa 
0TQ u 

 (8. 35) 
ii) Momentum na direção i 
 Mu C u u Ku QP F          
 (8. 36) 
 Para o caso 2D as equações Erro! Fonte de referência não encontrada. e Erro! 
Fonte de referência não encontrada. assumem a seguinte forma: 
 
 
1 1
2 2
11 22 21 1 1 1
12 11 22 2 2 2
1 2
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
2
2
00T T
M u C u u
M u C u u
P P
k k k Q u F
k k k Q u F
PQ Q
      
            
           
                  
     
      

    
    
 
   
   
 
 (8. 37) 
onde 
   
e
e
T
o
T
T
o j
j
Notação de
Soma de
Einstein
M dx
C u u dx
x
 

  


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


  
    
 (8. 38) 
 
e
e
e e
T
ij
i j
T
i
i
i o i i
K dx
x x
Q dx
x
F f dx ds
 



   


 
  
 
  
 
 
 
 
 
   
    
   
   


 
  
 
   
 (8. 39) 
E as funções de interpolação são os polinômios de Lagrange. 
 256 
 As equações são combinadas como: 
   0
0 0 00T
C u K u QM u u F
P PQ
                           
      
 
 (8. 40) 
ou 
Mu Ku F 
   
 (8. 41) 
onde 
 1 2 3, , ,
TU u u u P
   
 (8. 42) 
8.3.6 - Estratégias Numéricas 
 Para se obter apenas uma variável há duas alternativas pelo Método dos 
Elementos Finitos. 
1) Método Misto ou Velocidade-Pressão (resolve-se para u

 e P

) 
 Resolve-se simultaneamente para velocidade e pressão com forma fraca 
(Variacional) 
2) Método da Função Penalidade ou Modelo de Elementos Finitos por Penalidade 
 Cometemos ao que chamamos de crime variacional ou penalidade quando é 
necessário eliminar a pressão, da seguinte forma: 
 - Elimina-se a Pressão P

 por meio da equação da Continuidade e resolve a nova 
equação difernecial somente para u

. 
 Nesta forma estratégica interpreta-se a Equação da Continuidade como uma 
relação adicional entre as velocidades , i. e., uma restrição para os iu o que implica que esta 
relação é satisfeita aproximado por uma minimização no sentido de Mínimos Quadrados, logo 
a pressão é efetivamente eliminada da formulação. 
 
 
 
 
 
 
 
 257 
 
 
 
 
 
 
 
8. 4 - Modelo de Penalidade para o Problema de Navier-Stokes 
 
8.4.1 - Problema de Navier-Stokes 
 A condição de incompressibilidade é dada por: 
0uv
x y
 
 
 
 (8. 43) 
 No Modelo de Penalidade considera-se que as velocidades são muito baixas e 
portanto escreve-se: 
0i
j e
u P
x 

  

, (8.44) 
Elimina-se a pressão substituindo-a nas equações de momento usando, portanto, a seguinte 
expressão: 
i
e
j
uP
x


 

, (8.45) 
Onde e é o fator de penalidade 
6 1210 10e  (8. 46) 
O objetivo desta lista de exercicios é ver a influência do e na solução. 
 Retornando-se a equação (8.22) e substituindo (8.45) nas equações de Navier-
Stokes pela pressão i. e. no termo  P , logo obtém se uma equação que pode ser resolvida 
univocamente. 
 258 
   . .e Duf u u Dt        
   , (8.47) 
Ou na forma matricial: 
 
 
 
1
~
1 1
2 2
3 3
11 22 33 21 1
12 11 22 33 2
13 11 22 33 3
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
2 0
2 0
0 2
K
M u C u u
M u C u u
M u C u u
k k k k u
k k k k u
k k k k u
     
            
           
   
    
   

    
    
    
    
    
    
2
~
11 12 13 1 1
21 22 23 2 2
3 313 32 33
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
K
k k k u F
k k k u F
u Fk k k

  
 
 
               
     
     
   
   
   
(8. 48) 
Onde  1 , ijM C u k   
 e iF
 são os mesmos da formulação anterior completa (contendo a 
pressão). Então, para fazer uma estimativa da pressão podemos considerar: 
 2
0
u u P u

     (8. 49) 
Ou na forma matricial: 
  
0 0
Mu C u u Ku QP F
 
           
 
(8. 50) 
Logo 
Ku QP F 
  
 (8. 51) 
Sabendo que: 
 ˆK K u F    (8. 52) 
Os termos de penalidade são: 
ˆ
e
T
e
ij
i j
k dx
x x
 


  
 
  
 
    (8. 53) 
 259 
 A equação pode ser reescrita simbolicamente de forma mais resumida como uma 
equação matricial: 
     1 2 eMu C u K K u F             
 (8. 54) 
Onde 
 1 2 3
Tu u u u
   
 (8. 55) 
1) Construir 11 222k k 
 e 

11 14
8 8
41 44
...
...
e e
e
e e
k k
k
k k
 
 
  
 
  
 

 
 (8. 56) 
Onde eabk
 é uma matriz 2 2 e 1 ; 4a b  
2) Fórmula do Reddy 
~
11 22 21
~ 12 11 22
2
2
e
Te ji e
ij i j
e
ab
k d
x x
t t t
k
t t t



 
  
  
 
 
   
 
 (8. 57) 
3) O vetor força é o mesmo que foi implementado na teoria da elasticidade 2D onde 
8 8
ef



 
4) Construir a Matriz de Penalidade 

11 14
8 8
41 44
ˆ ˆ...
ˆ
ˆ ˆ...
e e
e
e e
k k
k
k k
 
 
  
 
  
 

 
 (8. 58) 
onde ˆeabk
 é uma matriz 2 2 e 1 ; 4a b  e 
ˆ
e
T
e e
ij
i j
k d
x x
 


 
 
    (8. 59) 
É calculado por Quadratura de Gauss como uma matriz  1 1 para eliminar as 
singularidades. 
 260 
 Finalmente calcula-se: 
8 8
ˆe e e e e
ab ab abk k k k k

    
     
 (8. 60) 
8.4.2 - Avaliação das Matrizes Elementares nos Modelos de Penalidade 
 Vamos agora avaliar as matrizes elementares no modelos de penalidade 
considerando o exemplo do regime permanente, a baixos números de Reynolds que equivale 
ao problema de Stokes. 
   1 2
termos viscosos termosde penalidade
eK K u F 
 
 
   
  
   
 (8. 61) 
Neste caso temos: 
u u u P
x y z 
  
   
  
 (8. 62) 
1) e muito grande contribuição dos termos de viscosidade pode tornar-se desprezível na 
presença dos termos de penalidade. 
   2 1eK K   
 (8. 63) 
a) 1K 

 não é singular  para e grande a solução é trivial  0  
 
 Esta solução satisfaz a equação da continuidade, mas não satisfaz a conservação 
da quantidade de movimento  Trancamento de Malha (“locking”). 
b) 2K 

 é singular  a soma é não-singular, pois 1K 

 é não singular, possibilitando a 
obtenção de uma solução não-trivial. 
 SOLUÇÃO DO PROBLEMA ”Crime Variacional”  integração reduzida 
dos termos de penalidade, isto é, uma ordem em relação aos outros termos. 
2-D 
 1K  

 Quadratura Gausiana 2 X 2 
 2K  

Quadratura Gaussiana 1 X 1 
 261 
 
 Cria-se um nó para a pressão diferente do nó para velocidade, 
 
3-D 
 1K  

 Quadratura Gausiana 2 X 2 X 2 
 2K  

Quadratura Gaussiana 1 X 1 X 1 
 
 Cria-se um nó para a pressão diferente do nó para velocidade, 
 Os valores sugeridos para e são: 
4 1210 10e  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 262 
8. 5 – Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos 
 O objetivo desta parte é englobar convecção natural e forçada 
1) Forma Forte 
 Usando a aproximação de Bousssinesq: 
 1o oT T       (8. 64) 
 As equações governantes são: 
i) Massa 
 
0i
i
u
x



 (8. 65) 
ii) Momentum na direção i 
 
 0 0 0
ji i i
j ij o
j j j i
uu u uu P g T T
t x x x x
    
      
          
            
 (8. 66) 
iii) Energia 
 
0
Dissipação
Viscosa
0V j ij
j i j
T T TC u k Q
t x x x

      
                 
 (8. 67) 
onde 
0ˆ 0i iP P g x   (8. 68) 
é a pressão modificada. Vide a referência Bejan, 1995, Convection Heat Transfer. 
2 ij ijD D  (8. 69) 
onde 
1
2
ji
ij
j i
uuD
x x
 
     
 (8. 70) 
 263 
 
Condição de Contorno 
 ,i iu f s t
 em u (8. 71) 
e 
     , ,i ij j is t n s f s t   em  (8. 72) 
Para a parte fluida, e 
 ˆ ,T T s t em T (8. 73) 
e 
 ,ij i conv rad
j
Tk n q q q s t
x
 
     
 em q (8. 74) 
2) Forma Fraca 
Para um elemento e 
1 1
2 2 1 2 3
3 3
0
0 , , ,
0
e
e
e
w f dx
w f dx w w w funções peso para P u eT respectivamente
w f dx








 









 

 (8. 75) 
onde as variaveis  , ,iT u P podem ser aproximadas por: 
     
     
     
1
1
1
,
,
,
M
T
m m
m
M
n T
i n i i
m
M
T
l l
m
T x t x T t T
u x t x u t u
P x t x P t






  
  
   



  
  
  
 (8. 76) 
onde      , ,m n lx x x   são funções de interpolação. 
 264 
2.1) Forma Fraca e Discreta das Equações 
i) Massa 
0
e
T
i
i
dx u
x



 
  
 
 
  
 (8. 77) 
ii) Momentum na direção i 
 Não inclui direção preferencial do escoamento 
 
e e
e e
e e e
T
T T
o i o j i
j
T T
i j
j j j j
T T
o i o i o
i
dx u u dx u
x
dx u dx u
x x x x
dx P g dx T g T dx
x

    
   
 

     
 
 
  
   
    
   
   
      
    
      
   
     
       
    
    
 
 
  
        
      
       
e
i ds 

 


 
 
 
 
 
 (8. 78) 
iii) Energia 
 Neste caso é preciso levar em conta a direção preferencial de escoamento. 
 0 0
e e
e e e e
T
T T
V V j
j
Tij
i j
C dx T C u dx T
x
k dx T Qdx dx qds
x x

    
 
  
 
   
       
   
   
                
           
 
   
     
        
 (8. 79) 
2.2) Forma Matricial das Equações 
 As equações matriciais são escritas como: 
 265 
 
 
 
1 1
2 2
3 3
11 21 31 1
12 22 32 2
13 23 33 3
1 2 3 44
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆT T T
M u uC u
M u uC u
M u uC u
P P
K K K Q
K K K Q
K K K Q
Q Q Q K
      
      
                            
 
 
 
  
 
    

   
   
   
 
1 1
2 2
3 3
0
u F
u F
u F
P
   
   
      
   
      




 (8. 80) 
Onde 
11 11 22 33
22 11 22 33
33 11 22 33
ˆ 2
ˆ 2
ˆ 2
K K K K
K K K K
K K K K
  
  
  
 (8. 81) 
ë 
   
 
e
e
e
e
e e e
T
o
T
T
o j
j
T
ij
j j
T
i
i
T
i o i o i o i
M dx
C u u dx
x
K dx
x x
Q dx
x
F T g dx T g T dx ds
 

  
 



      




  
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
  
 
 
 
 
 
     
        
     
     




  
  
    
  
 
       
 
(8. 82) 
Logo as equações são combinadas como: 
            N T D u T L T G T            (8. 83) 
onde 
 266 
   0
0
e
e
e
e e e
T
T T
V j
j
T
V
T
ij
i j
D u C u dx
x
N C dx
L k dx
x x
G Qdx dx qds

  
 
 
  



  




 

 
  



  
   
  
  
     
 (8. 84) 
 Compactando as equações temos: 
i) Massa 
0TQ u 

 
ii) Momentum na direção i 
 Mu C u u Ku QP BT F             
 (8. 85) 
iii) Energia 
NT DT LT G  
     
 (8. 86) 
e 
1
2
2
0 0
0 0
0 0
B T
BT B T
B T
   
     
     
 
 
e 
e
T
i o iB g dx   

   
 
Logo temos a forma matricial: 
     
   
 
 
,0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 ,
T
C u K u T Q B TM u u F T
P Q P
N T D u L T T G T u
                                            
   
 
  
 (8. 87) 
e de forma inda mais compacta: 
 267 
MU KU F 
   
 (8. 88) 
Onde 
 1 2 3, , , ,T T T T T TU u u u P T      (8. 89) 
Penalidade por integração reduzida 
 Comete-se o “crime variacional” somente na Equação da massa + momentum 
com a finalidade de se eliminar a pressão. 
 
 
 
1 1 1
2 2 2
3 3 3
11 22 33 21 1
12 11 22 33 2
13 11 22 33 3
11 12 13
21 22 23
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
2 0
2 0
0 2
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ
M u C u u
M u C u u
M u C u u
K K K K u
K K K K u
K K K K u
K K K
K K K
     
            
           
    
       
      

    
    
    



1 1
2 2
3 313 32 33ˆ ˆ
u F
u F
u FK K K
               
     
     



 
(8. 90) 
e 
e
T
ij e
i i
K dx
x x
 


 

     (8. 91) 
 
 268 
Exemplo 
 
 Figura - 8. 1. 
 
 
 Figura - 8. 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 269 
8. 6 – Projetos de Análise Não-Linear 
 Estas sugestões de projeto foram extraidas do livro do Reddy & Gartling. 
1) Página 234, Pb. 5.9-2. Escoamento de 2 Fluidos em Contra-Corrente em Placas Paralelas. 
2) Página 240, Pb. 5.9-5. Receptor Solar 
3) Página 241, Pb. 5.9-6. Arranjo de Tubos 
4) Página 244, Pb. 5.9-7. Escoamento Aquecido Volumetricamente. 
 
 Regime permanente → Usar distribuições de geração de calor diferentes. 
 
 
 Figura - 8. 3. 
 
8.5.1 – Escoamento de 2 Fluidos em Contra-Corrente em Placas Paralelas 
 Considere a seguinte montagem: 
 
 Figura - 8. 4. 
;
óleo
T T uU
T T U
 
 

 

 (8. 92) 
 
 
 270 
8. 7 – Equação de Navier-Stokes em 3D 
 Vamos nesta parte conhecer a solução de Navier-Stokes 3D em regime 
permanente. Deixaremos a parte temporal para ser resolvida pelos métodos de marcha no 
tempo. 
   N d F d   
 (8. 93) 
Método de Newton 
 Vamos usar o Método de Newton com o modelo de penalidade e integração 
reduzida (que corresponde ao crime variacional). Supondo que F não depende de d. 
 
 
 
Resíduos
Termos Advectivos
n
Jacobiano
d
N d
d F N d
d

  


   

 (8. 94) 
onde K é a matriz de rigidez e Kˆ é a matriz de penalidade. 
 
1
el
e
n
eb
j j o a c cj
jcSoma
em j ab
NC d N N d d
x


 
            
   
  
 (8. 95) 
eln é o número de nós no elemento, j é a dimensão do espaço 1 3j  . 
 Esta soma presica ser computada para cada ponto de Gauss para 1, 2,3j  e para 
1cjd  , quando a derivada for necessária. 
       
 
1 1 1 1 2 2 1 3 3 1
11 22 33 1 12 2 13 3 11 12 2 13 3ˆ ˆ ˆ2
N d C d d C d d C d d
K K K d K d K d K K d K d
   
      
 (8. 96) 
e 
 
 
 
1 1 1
2 2 2
3 3 3
0 0
0 0
0 0
C d d
C d d
C d d
   
  
  
     
 (8. 97) 
e 
 271 
       
 
2 1 1 2 2 2 2 3 3 2
21 1 11 22 33 3 33 3 21 22 2 33 3ˆ ˆ ˆ2
N d C d d C d d C d d
K d K K K d K d K K d K d
   
      
 (8. 98) 
e 
 
 
 
1 1 1
2 2 2
3 3 3
0 0
0 0
0 0
C d d
C d d
C d d
   
  
  
     
 (8. 99) 
e  C u : é um somatório; jjC : somatório (índices repetidos) 
       
 
3 1 1 3 2 2 3 3 3 3
31 1 32 2 11 22 33 3 31 32 2 33 3ˆ ˆ ˆ2
N d C d d C d d C d d
K d K d K K K d K K d K d
   
      
 (8. 100) 
e 
   
   
   
1 1
2 2
3 3
1
2
3
in
in
in
C d C
C d C no FEAP
C d C


 

 
 (8. 101) 
e 
   
   
   
11 22 33
11 22 33
11 22 33
2 1,1
2 2, 2
2 3,3
K K K rkbar
K K K rkbar no FEAP
K K K rkbar
  

   

   
 (8. 102) 
Isw = 3. 
 
 
 
 
 
 272 
Analogia para solução de Problemas Não-Lineares 
 Linear só no 1º passo, Não-Linear em n passos de Newton. 
 
 
 
n
R
d
Kd F
N d
d F N d
d


  


   
 (8. 103) 
 Vamos agora computar o Jacobiano. 
 N dM
d



 

 (8. 104) 
onde 
 
1 1 1
1 2 3
2 2 2
1 2 3
3 3 3
1 2 3
N N N
d d d
N d N N NM
d d d d
N N N
d d d
  
  
   
 
   
  
  
 

 (8. 105) 
ou 
i
ij ij
j
Nm M m
d
      
 (8. 106) 
e 
   
 
    
 
 
 

 
 

1
1 1 1 2 2 3 3
1 4
11 22 33 11
1
2 1 12 12
2 5
1
3 13 13 3
3 4
1
ˆ2
ˆ1
ˆ1
in
in
in
C
C
C
N C d C C d C d
d
K K K K
N C d K K
d
N C K K d
d

    
  

  


  

 (8. 107) 
e 
 273 
 
     
 
 
2
1 1 2 21 21
1
2
1 1 2 2 2 2
2
3 3 11 22 33 12
2
3 2 23 23
3
ˆ
1
ˆ2
ˆ1
N C d d K K
d
N C d C d C d
d
C d K K K K
N C d K K
d

  


  

    

  

 (8. 108) 
e 
 
 
       
3
1 1 3 31 31
1
3
2 3 32 32
2
3
1 1 2 2 3 3 3 3 11 22 33 33
3
ˆ
ˆ1
ˆ1 2
N C d d K K
d
N C d K K
d
N C d C d C d C d K K K K
d

  


  


       

 (8. 109) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 274 
8. 8 – Solução Numérica da Equação de Navier-Stokes + Energia I 
 Considere a seguinte equação: 
 
 
  
1n n n
n
d d d
N d
d F N d
d  

  

   
 (8. 110) 
 Na equação da energia temos: 
 
1
el
e
n
eb
j j o a c cjab jc
NC d N N d d
x


          
 
 (8. 111) 
eln é o número de nós no elemento, j é a dimensão do espaço 1 3j  . Mas na equação da 
energia temos termos advectivos 
 
11 3
el
e
n
eb
j j o a c cjab jcj
ND d cN N d d
x

 
          
 
 (8. 112) 
eln é o número de nós no elemento, j é a dimensão do espaço 1 3j  . 
1
2
3
4
4
d u
d v
n graus deliberdade por nó
d w
d T
 
 

 
 
 (8. 113) 
- convecção forcada sem empuxo 
- convecçao natural com empuxo 
 
 
 
1 1 4
2 2 4
3 3 4
N d mesmo queanterior B d
N d mesmo que anterior B d
N d mesmo que anterior B d
 
 
 



 (8. 114) 
e 
         4 1 1 4 2 2 4 3 3 4 11 22 33 4N d D d d D d d D d d L L L d     
 (8. 115) 
O Jacobiando neste caso é: 
 275 
 
1 1 1 1
1 2 3 4
2 2 2 2
1 2 3 4
3 3 3 3
1 2 3 4
4 4 4 4
1 2 3 4
N N N N
d d d d
N N N N
d d d dN d
M
N N N Nd
d d d d
N N N N
d d d d
   
   
   
   
 
   
   
   
   
 

 (8. 116) 
e 
     
 
 
 
1
1 1 2 2 3 3
1
11 22 33 11
1
2 1 12 12
2
1
3 13 13 3
3
1
1
4
ˆ2
ˆ1
ˆ1
N C d C d C d
d
K K K K
N C d K K
d
N C K K d
d
N B
d

   

  

  


  




 
(8. 117) 
e 
 
     
 
 
2
1 1 2 21 21
1
2
1 1 2 2 2 2
2
3 3 11 22 33 12
2
3 2 23 23
3
2
2
4
ˆ
1
ˆ2
ˆ1
N C d d K K
d
N C d C d C d
d
C d K K K K
N C d K K
d
N B
d

  


  

    

  




 (8. 118) 
e 
 276 
 
 
       
3
1 1 3 31 31
1
3
2 3 32 32
2
3
1 1 2 2 3 3 3 3 11 22 33 33
3
3
3
4
ˆ
ˆ1
ˆ1 2
N C d d K K
d
N C d K K
d
N C d C d C d C d K K K K
d
N B
d

  


  


       




 (8. 119) 
e 
 
 
 
 
 
   
4
1 4
1
4
2 4
2
4
3 1 4
3
3
1 1 2 2 3 3 11 22 33
4
1
1
1
din
N D d
d
N D d
d
N D d d
d
N D d D d D d L L L
d

 








     
 
 (8. 120) 
 
Exemplo de uma Cavidade Quadrada 
 Considere o problema de uma cavidade retangular em convecção natural 
 
 Figura - 8. 5. 
 277 
Hipóteses: 
- Fluido Newtonianano 
- Escoamento Incompressível 
- 2D; Regime Permanente 
- Escoamento Laminar; Propriedades constantes no fluido 
- Dissipação viscosa desprezível 
0u v
x y
 
 
 
 (8. 121) 
e 
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1
1
u u P u uu v v
x y x x y
v v P v vu v v
x y y x y
T T T Tu v
x y x y



     
           
     
           
    
        
 (8. 122) 
É muito importante fazer a adimensionalização 
Objetivos da Adimensionalização 
Do ponto de vista Físico 
1) A normalização apresenta resultados válidos para toda uma classe de problemas do tipo em 
análises, e 
Do ponto de vista matemático 
2) Estabilidade – os números calculados durantes a execução do programa ficam de ordem 
 1 , se a dimensionalização for correta 
 Para a convecção natural o número de Rayleigh é o adimensional apropriado. 
3
a
g THR
v



 (8. 123) 
Onde g é a gravidade,  é o coeficiente de expansão volumétrica, H CT T T   é a 
diferença de tempeatura e /k c  é a difusividade térmica, v é a viscosidade, H é a altura. 
Para a convecão forçada temos: 
 278 
uU
U
 (8. 124) 
Para a convecção natural temos: 
 1
escala
uU
U
  (8. 125) 
e 
1/ 2
~ aR
H

 (8. 126) 
onde  é a escala de velocidades 
1/ 2
a
uHU R

 (8. 127) 
É o adimensional da velocidade u e 
1/ 2
a
HV R

 (8. 128) 
É o adimensional da velocidade  e 
xX
H
 (8. 129) 
e 
yY
H
 (8. 130) 
e para a convecção forçada 
21
2escala
P U  (8. 131) 
E para a convecção natural 
2
1/ 2
a
HP
R
 (8. 132) 
E 
 279 
; 0 1C
H C
T T
T T
 

  

 (8. 133) 
Substituindo nas equações originais tem-se: 
 
i) Conservação da Massa 
0U V
X Y
 
 
 
 (8. 134) 
No FEAP usa-se o comando “stat” para Ra → baixo e para Ra  alto. 
ii) Conservação do Momento 
1/ 2 2 2
2 2
1/ 2 2 2
1/ 2
2 2
:
:
a
r
a
a
r
R U U P U Ux U V
P X Y X X Y
R V V P V Vy U V R
P X Y Y X Y

               
                
 (8. 135) 
rP é o número de Prandtl = /v  
 
iii) Conservação da Energia 
2 2
1/ 2
2 2aR U VX Y X Y
              
 (8. 136) 
 
Número de Nusselt: 
 
CN
u u
convpura
QhHN N
k Q
   (8. 137) 
e CNQ é o calor de convecção natural. Usando-se o Método Integral Analítico. 
   1/ 40,364 /H C aQ T T R W m  (8. 138) 
E a Lei de Fourier fica: 
   /H C
T T
Q kH W m
L

 (8. 139) 
Mas A Hw logo 
 280 
1/ 40,364u a
LN R
H
   
 
 (8. 140) 
 
 Figura - 8. 6. 
Quando o número de Rayleigh é: 
9 10
9
10 10 Turbulento
10 Laminar
aR
 


 (8. 141) 
Para  / 1L H  e 310 2,0469a uR N   . 
 Solução Numérica 
, 0U V  (8. 142) 
Nas paredes (condição de não-deslizamento) 
 
 Figura - 8. 7. 
iii) Equação do Momento 
   2u u u P u g T T
t
    
          
 (8. 143) 
 Se 0T T     logo 
 281 
2
pC u T k T    (8. 144) 
 Correspondência entre: 
Equações Governantes Adimensionais → Equações do FEAP 
Exemplo: 
 Para 410 ; 0,71( )a rR P ar  ,
1/ 2
1 ; 140,84507a
r
R
P
    ; 0,71rP   ; 
0xg  e 1yg   ; 0,71PC  ; 1,0k  , Parâmetro de “upwind” 0P  Penalidade 
610  
 
 Figura - 8. 8. 
1
00
u
x
N dy
x


    
 (8. 145) 
e 
2,165uN  (8. 146) 
Com malha (30 x 30) → 900 nós 
 Convecção Forçada 
; ;u v uU U U
U V U  
   (8. 147) 
e 
H
T T
T T
 




 (8. 148) 
e 
e
U LR
v
 (8. 149) 
 282 
e 
r
vP

 (8. 150) 
e 
2
pP
U 
 (8. 151) 
e 
e e r
U Lv U LP R P
v 
    (8. 152) 
e 
2 2
2 2
2 2
2 2
1:
1:
x
e
y
e
U V U UM P
X Y R X Y
U V U UM P
X Y R X Y
                 
                  
 (8. 153) 
e 
2 2
2 2
1:u
e
T T T TE U V
X Y P X Y
                
 (8. 154) 
 
 
 Figura - 8. 9. 
 283 
Velocidade nula em todas as paredes 0 vu 
 
 
Formulação Adimensional para Convecção Natural 
i) Conservação da Massa 
0U V
X Y
 
 
 
 (8. 155) 
 
ii) Conservação do Momento 
2 2
2 2
2 2
1/ 2
2 2
:
:
a
r
a
a
r
R U U P U Ux U V
P X Y X X Y
R V V P V Vy U V R
P X Y Y X Y

               
                
 (8. 156) 
iii) Conservação da Energia 
2 2
1/ 2
2 2aR U VX Y X Y
              
 (8. 157) 
e 
   
2
1/ 2
,
, ;
a
x y pHX Y P
H R
  (8. 158) 
e 
  3
; H CC a
H C
g T T HT T R
T T v




 

 (8. 159) 
e 
   
1/ 2,
, ; escala
escala
u v RU V v
v H

  (8. 160) 
e 
p
k
C


 (8. 161) 
 284 
 
 
 
Formulação Adimensional para Convecção Forçada 
 Considere a 
 
 Figura - 8. 10. 
    2
,
, ;
x y pX Y P
H U 
  (8. 162) 
e 
24 1
2
LP f U
A
   (8. 163) 
e 
   
,
, ; e e
u v U D U LU V R ou R
U v v
 

   (8. 164) 
e 
52300 10e eR R   (Turbulento) (8. 165) 
 
2 2
2 2
1u v P u uu v v
x y x x y
     
     
      
 (8. 166) 
onde 
2; ;u UU v VV p P U     (8. 167) 
 285 
 
;x XD y YD  (8. 168) 
logo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
2 2
2 2
:
P UUU UU
x UU VU
XD YD X
UU UU
v
XD YD
  
 
 
  
    
    
  
 
   
 (8. 169) 
e 
2 2 2 2 2
2 2 2:
U U U UU U P U Ux U V v
D X D Y D X D X Y


   
                                         
 (8. 170) 
Multiplicando tudo por 2
D
U
 temos: 
2 2
2 2:
U U P v U Ux U V
X Y X U D X Y
                       
 (8. 171) 
Portanto, 
2 2
2 2
1:
eD
U U P U Ux U V
X Y X R X Y
                       
 (8. 172) 
e 
: eD eD r
U D U D vx P R P
v 
       
  
 (8. 173) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 286 
 
 
Problema Proposto – Interação Sólido-Fluido 
 
 
 Figura - 8. 11. 
T
y k
kT
y
 







 (8. 174) 
 Considerando o fluxo de calor igual na interface entre o sólido e o fluido temos: 
s f
S f
T Tk k
y y
 
  
 
 (8. 175) 
Separo em dois dominios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 287 
8. 9 – Formulação de Transferência de Calor Fluido/Sólido 
1 – Alternativa 
Fluido: Ar 
   f pf fC u T k T     (8. 176) 
e 
1/ 2
2
f
aHu U R
H


 
 (8. 177) 
e 
 1/ 22 2
1f
f pf aH fC U R k
H H

  
 
    
 
 (8. 178) 
e 
1/ 2
2
1 f
aH
f
R U
H

 

 
     
 
 (8. 179) 
Sólido: 
   s ps sC u T k T   
 (8. 180) 
e 
1/ 2
2
f
aHu U R
H


 
 (8. 181) 
e 
 1/ 22 2
1f
s ps aH sC U R k
H H

  
 
    
 
 (8. 182) 
e 
 1/ 2 1aH s
f s s
R U k
C
 
 
   

 (8. 183) 
e 
 288 
1/ 2
2
1 s
a
f
R U
H

 

 
     
 
 (8. 184) 
e 
2 0  (8. 185) 
2 – Alternativa 
 Na realidade, o FEAP resolve  ,X X Y
 
 1/ 2
2
1
a
f
x
R U
H

 

 
     
 
 (8. 186) 
onde o domínio considerado 
 1
( ) f
Ar
Material X
fluido
 
 
 
  
 (8. 187) 
e 
 2 0
( ) s
Ar
Material X e U
sólido
 
 
  
   
 (8. 188) 
OBS: Na formulação, assume-se , ,f pf sC  e psC , independente de X
. 
Formulação mais Geral 
 , ,f pf sC  e psC ,podem depender de X
. 
 
1)Fluido 
1/ 2 f
aH
f
k
R U
k
 
 
     
 
 (8. 189) 
 
2) Sólido 
 
1/ 2
s ss
pss s
aH
f pf f
kC
C kR U
C k


 

 
 
             
    
 
  


 (8. 190) 
 
 289 
Equação Geral com Convecção Natural 
 
      1/ 2aX c X R U K X        (8. 191) 
Onde: 
Material 1 – fluido 
      1X c X K X      
 (8. 192) 
Material 2 – sólido 
   ;sX c X c      
 (8. 193) 
E 
  ; 0sK X k U  
 (8. 194) 
 
 
      1/ 2 2
1
aX c X R U K X
H
      
  
 (8. 195) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 290 
8. 10 – Solução Numérica da Equação de Navier-Stokes + Energia 
II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 291 
8. 11 – Fluidos Não-Newtonianos Inelásticos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 292 
8. 12 – Fluidos Não-Newtonianos Viscoelásticos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 293 
8. 13 – Exemplos e Aplicações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 294 
8. 14 – Exercícios e Problemas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 295 
Capítulo – IX 
SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES 
NÃO-LINEARES 
RESUMO 
 Neste capítulo será visto 
 
 
 
9. 1 – Introdução 
 Os modelos lineares por muito tempo têm ocupado o cenário principal das 
ciências exatas. Contudo, sabe-se que na natureza nem tudo é linear. Mesmo assim esses 
modelos têm sido utilizados como uma forma de aproximar a solução de problemas mais 
complexos, como os problemas não-lineares. Nessas aproximações utiliza-se técnicas de 
linearização por meio de métodos de aproximação como o método de Newton-Raphson e 
outros. Esta alternativa possibilita a utilização de toda informação acumulada com a solução 
de problemas lineares na solução dos não-lineares. 
 Por outro lado, algumas teorias genuinamente não-lineares também surgiram ao 
longo dos anos, tais como: A Teoria Fractal, a Teoria do Caos e dos Sistemas Dinâmicos. 
Todas elas procuram resolver vários problemas abertos na ciência, como problemas de 
flambagem, fratura, plasticidade, instabilidade, etc. Neste capítulo, veremos alguns dos 
métodos aproximação de solução de problemas não-lineares mais utilizados. 
 296 
 Vamos neste capítulo descrever uma forma geral para resolver problemas não-
lineares que é útil para qualquer teoria física. 
 Considere o seguinte problema não-linear a ser resolvido: 
0ext intF F 
 
 (9. 1) 
sendo 
   intF N d F N d      
 (9. 2) 
Logo o problema pode ser escrito como: 
  0extF N d   
 (9. 3) 
ou 
 extF N d  
 (9. 4) 
 Muitos problemas em Física e em Engenharia podem ser colocados na forma 
acima. Isto possibilita resolver tais problemas utilizando os métodos de aproximação que 
veremos a seguir. 
9. 2 – O Método do Ponto Fixo 
 Este método é o mais popular sendo disponível em vários softwares comerciais.Chamemos de  R U 
 a grandeza física: 
   extR U F N d    
 (9. 5) 
Vemos que: 
  0R U  
 (9. 6) 
Somando U

 dos dois lados temos: 
   U G U U R U       
 (9. 7) 
Definimos uma fórmula de iteração onde: 
   1n n n nU G U U R U         (9. 8) 
 297 
O requisito para a covergência desse método é que G

 possui Mapeamento Contrativo e 0U

 
tem que ser próximo da solução. 
 Define-se um mapeamento contrativo como sendo dado por: 
   , ,x y F x F y (9. 9) 
Conforme mostra a Figura - 9. 1. 
 
 Figura - 9. 1. Mapeamento Contrativo dado por uma função F. 
 Um melhoramento da equação de iteração pode ser escrito como: 
     1 0n n n n n n
matriz
não singular
U G U U A U R U

   
      
 
(9. 10) 
Considera-se o vetor correção  nD U  dao por: 
     n n n
vetor correção
D U A U R U
    
 
(9. 11) 
e 
      0n n nD U A U R U      (9. 12) 
Só se 
  0nR U   (9. 13) 
 
 298 
9. 3 – O Método de Piccard de Susbtituição Sucessiva 
 Neste método considera-se 
 K U U F  
 (9. 14) 
O que sugere uma fórmula de iteração onde: 
   1n n nK U U F U     (9. 15) 
daí propõem-se que: 
   *n nK U U F U    (9. 16) 
E calcula-se: 
 1 *1 ; 0 1n nU U U         
 (9. 17) 
Uma variante deste método é o Método da Super-Relaxação Sucessiva (SOR-Sucessive Over 
Relaxation), onde  é o parâmetro escalar que visa amenizar problemas de comportamento 
de convergência oscilatória. A condição de convergência é sempre verificar o resíduo e ver se 
ele tende a zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 299 
9. 4 – O Método de Newton 
 Neste método considera-se: 
      0R U K U U F U       
 (9. 18) 
fazendo-se a seguinte expressão em série temos: 
   20 ...
n
n
U
RR U U U
U


     
   
 (9. 19) 
onde 
1n nU U U  
  
 (9. 20) 
logo 
      1 1
n
n n n n n n
U
RR U U U J U U U
U
      
      
 (9. 21) 
Onde 
nU
RJ
U

 

 daí, 
   1 1n n n nU U J U R U       (9. 22) 
Ou 
   1 1n n n nU U J U R U       (9. 23) 
Também pode-se usar um escalar para se reduzir as oscilações da convergência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 300 
9. 5 – Métodos de Newton Modificados ou (Quase-Newton) 
 Uma das modificações que se pode fazer do Método de Newton e que reduz o 
custo computacional é calcular numericamente o Jacobiano J por diferenças finitas. Outras 
variações também são sugeridas. 
 Vamos agora fazer um detalhamento das sugestões de modificação dos itens 
anteriores do Método de Newton. 
Caso Linear ou “Line Search” (Busca Linear) 
 Neste caso o algoritmo é construído da seguinte forma: 
( ) ( )i iK d F Kd R   
   
 (9. 24) 
troca-se a atualização por: 
( 1) ( ) ( )i i id d S d   
  
 (9. 25) 
onde ( )iS é um parâmetro de busca e d

 frequentemente chamado de direção de busca. 
 Neste Método, define-se ( )iS de duas maneiras. 
1) Seleciona-se ( )iS tal que a energia potencial seja minimizada. 
 Chama-se de Energia Potencial a expressão: 
  1
2
T TP d d Kd d F 
    
 (9. 26) 
Onde 
   ( ) ( ) ( )i i iP S P d S d    (9. 27) 
fazendo a derivada de P em relação a S temos: 
 ( ) ( )0 i idP d K S d d FdS             (9. 28) 
 Resolve-se o problema para ( )iS , obtendo: 
 ( )( ) T ii
T
d F Kd
S
d K d
 

 
  
 
 (9. 29) 
 301 
Mas 0Td K d  
 
 se K

 for uma matriz positivamente definida. 
 
Note que: 
( )iR K d 
  
 (9. 30) 
Logo 
( )
T
i
T
d K dS
d K d
 

 

 
 
 (9. 31) 
,K K
 
 são positivamente definidas e 
( )0 0id S   

 (9. 32) 
Positivo! 
2) Acha-se ( )iS tal que: 
( 1) ( )i iR F Kd   
   
 (9. 33) 
Tenha componente zero na direção d . Logo 
( 1). 0id R  

 (9. 34) 
ou seja: 
 ( ) ( )0 i id F K d S d           (9. 35) 
Isolando-se ( )iS obtém-se a mesma resposta do item anterior (i), ou seja: 
 ( )( ) T ii
T
d F Kd
S
d K d
 

 
  
 
 (9. 36) 
 Verifica-se a convergência por: 
( )iR

 ou  ( 1) ( ) ( ).i i i
norma da energia
d d R 
 
 
(9. 37) 
 
 
 302 
Extensão para o Regime Não-Linear 
 De forma análoga define-se 
 int ( )ext iK d F F d      (9. 38) 
troca-se a atualização por: 
( 1) ( ) ( )i i id d S d   
  
 (9. 39) 
- O caso (1) não faz sentido, pois desaparece o sentido da Energia Potencial, ou seja, ele pode 
não existir. 
- Neste caso usa-se a definição tratando diretamente o resíduo. 
   ( ) int ( ) ( )0 i ext i iG S d F F d S d            (9. 40) 
Observações 
1) Dá o valor escalar para ( )iS resolvendo uma equação não-linear para ( )iS 
2) É muito caro computacionalmente e às vezes impossível. Isto porque gerou uma iteração 
não-linear para se resolver exatamente. Logo, precisa-se de um procedimento usual. 
Procedimento Usual 
 Itera-se até que: 
     ( ) 0iG S S tol G (9. 41) 
O valor comum para  S tol é aproximadamente (~ 0.5). 
 O Método de Newton-Raphson normal acessa a convergência usando a norma da 
energia. 
  
20
( ) (0) (0)
10
. id R F tol d R

     
 (9. 42) 
Colocando a busca linear (“Line Search”) temos: 
 ( ) ( )i iK d d R    (9. 43) 
troca-se a atualização por: 
 303 
( 1) ( ) ( )i i id d S d   
  
 (9. 44) 
Onde ( )iS é calculado de tal forma que: 
     ( ) 0iG S S tol G (9. 45) 
Note que: 
   ( )0 . iG d R d    (9. 46) 
e 
     ( ) ( 1) ( ) ( 1).i i i iG S d d R d      (9. 47) 
A equação (9. 45) de certa forma assegura o decréscimo contínuo da norma da energia. 
 Na prática, como se encontra ( ) e resolve-se (9. 45) e itera-se até que: 
     ( ) 0iG S S tol G (9. 48) 
 
 
 Figura - 9. 2. 
 Cada iteração é computacionalmente cara porque exige a avaliação de  G S 
 304 
   ( )0 . iG d R d    (9. 49) 
e 
   ( ) ( 1).i iG S d R d     (9. 50) 
    1 int ( ) ( )i ext i iR d F F d S d         (9. 51) 
Implicações 
1)  S Tol não deve ser muito pequeno  0.5 
2) Não necessitamos fazer sempre a busca linear quando    
mesmo sinal
0 . 1 0G G  
Sistema de Resposta Suave 
 Um sistema de resposta suave apresenta um comportamento conforme mostrado 
no gráfico da Figura - 9. 3. 
 
 Figura - 9. 3. Sistema de Resposta suave 
 Aqui tem-se: 
  int
0
0 0ext
S
G d F F

       
 (9. 52) 
e 
 305 
  int
1
1 0ext
S
G d F F

       
 (9. 53) 
1S  e acaba. 
Stiffening Systems 
 Um sistema de resposta stiffening apresenta um comportamento conforme 
mostrado no gráfico da Figura - 9. 4. 
 
 Figura - 9. 4. Stiffening System 
 int
0
0 0ext
S
d F F G

       
 (9. 54) 
e 
 int
1
1 0ext
S
d F F G

       
 (9. 55) 
“Overshoot da Solução” 
 
Referência 
 
- Matthies & Strang , Int. Journ. Num. Method and Engineering, p. 1613-1626, 1979. 
 Nesta referência encontram-se informações em “Line Search”; Quase-Newton 
(BFGS) 
 
 306 
Método de Newton-Raphson 
 
 
 Figura - 9. 5.Método de Newton-Raphson 
 
Método de Newton-Raphson Modificado 
 
 
 Figura - 9. 6. Método Quase-Newton ou de Newton-Raphson Modificado 
 307 
i) Reutilização do Jacobiano 
ii) Método de BFGS 
iii) Método Broyden 
iv) Método para calcular /R d  numericamente. 
 
 
 Figura - 9. 7. Método de Continuação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 308 
9. 6 – Métodos de Continuação 
 A análise paramétrica computacional ou o “Método da Continuação” faz parte da 
classe dos métodos de predição-correção. 
 Neste método segue-se a equação genérica 
 , 0f y     (9. 56) 
onde y

 é o vetor de incógnitas dado por: 
 1 2, ,..., ny y y y    (9. 57) 
e f

 é o vetor das incógnitas 
    1 , ,..., ,nf f y f y      (9. 58) 
e  é um parâmetro escalar. 
 Logo (9. 56) forma um sistema de equações. 
 
 
 Figura - 9. 8. Método de Continuação 
 No Método da Continuação se o parâmetro  variar livremente, os pontos 
solução formam curvas no espaço  1 2, ,y y  
 
 
 309 
 
 
 Figura - 9. 9. Método de 
 
Homotopia 
 Seja a seguinte equação não-linear dada por: 
  0g y    (9. 59) 
cuja convergência é ascessada pela norma de convergência 
 ng y   (9. 60) 
Quando é difícil estimar  0y

 admite-se um problema análogo dado por: 
  0g y    (9. 61) 
e de fácil solução. Com isso forma-se uma cadeia de equações resolvidas uma de cada vez. 
 A 1ª equação é: 
0g 

 (9. 62) 
e 
 310 
     
   
   
     
0
1
1
0
0
:
0
0
k
k
f y g y
f y
f y
f y g y

 


 
   
 
 
   
 (9. 63) 
Exemplo: 
 Método da Carga Incremental da Mecânica dos Sólidos dada por: 
         ; 0; ; PrescritoK d d F t t T F T F   (9. 64) 
 A versão contínua desta seqüência discreta de funções é: 
 , 0 1f y   
 
 (9. 65) 
e 
       ,0 ; ,1f y g y f y g y 
       
 (9. 66) 
 Um meio sistemático de homotopia é: 
       , 1f y g y g y    
     
 (9. 67) 
 A escolha simples é: 
 g y y c     (9. 68) 
onde c

 é um vetor qualquer arbitrário (nulo ou o convergido da iteração anterior). 
 De (9. 65), (9. 66) e (9. 67) constroi-se artificialmente a equação (9. 56) 
Bifurcações e Ramos 
 Seja ny y   
 para qualquer índice k na faixa de 1 k n  , então constrói-se o 
diagrama de ramos (ou bifurcações) a seguir: 
 
 
 311 
 
 Figura - 9. 10. 
 Observe a multiplicidades de soluções para diferentes faixas de  
 
 Figura - 9. 11. Multiplicidades de soluções para diferentes faixas de  
 Observe no gráfico da Figura - 9. 10 as inflexões em 1  e 2  e no ponto 
3  dois ramos se interceptam em uma solução (ponto de bifurcação) que corresponde a 
uma perda de estabilidade das soluções, ou também chamada de quebra de simetria, que são 
rotas para o caos. 
 Para resolver este tipo de problema usa-se a estratégia do comprimento de arco. 
 
 
 312 
Estratégia de Comprimeno de Arco 
 Considere o problema 
  extN d F 
 (9. 69) 
 
 
 Figura - 9. 12. 
 O comprimento de arco permite uma combinação de controle de carga e 
deslocamento. 
 
Referências 
 
- Crisfield, Comp. & Structures, 13, p. 55-62, (1981). 
- , Int. Journ. Num. Method and Engineering, 19, p. 1269-1289, (1983). 
- Schweizerhof & Wiggers, Comp. Meth. In: Appl. Mech. & Eng., 59, p. 261-279, (1986). 
 
 
 Vamos analisar pequenas regiões onde o problema começa a acontecer. 
 Considere a seguinte equação: 
 313 
   
int ext
incógnitas incógnitas
originais novas
F d t t F
 
 
  
 
 
 
 
 (9. 70) 
e 
 ,f d a valor dado     (9. 71) 
onde :a  é o parâmetro de comprimento de arco que é prescrito para todo t. 
t : é o parâmetro de caregamento, a é o comprimento de arco, f é a função de comprimento 
de arco. 
 Aplica-se a discretização no “tempo” fazendo: 
 int 1 1 extn nF d F  
 (9. 72) 
e 
    1 1
.
, ,n n n n
comp
de arco
prescrito
f d f d d a         
(9. 73) 
Onde temos 1eqn  equações para 1eqn  incógnitas. 
 Pense em f como uma norma de ,d  , logo uma possível forma para f é: 
   1/ 22, : Tf d f c d K d b        (9. 74) 
Onde  0;1b prescrito. 
 Então 
11 ext
T
bc e q K F
q Kq
    
 
 (9. 75) 
Onde K

: é uma matriz de rigidez “apropriada” 
 Vejamos o exemplo: 
 314 
 
0
0
1
d
n
K
K




 (9. 76) 
Pode ser diagonalizada para simplificar. 
Escolhas de (b) 
1. Continuidade do Deslocamento  0b  
 
 Figura - 9. 13. Controle de Deslocamento 
Sendo: 
 
1
, :
n
T
T
d
d K df d a
q Kq

  

 

 
 
 
(9. 77) 
que é aproximadamente d 
2. Controle do Carregamento  1b  
 
 Figura - 9. 14. Controle de Carregamento 
 315 
3. Controle de .... 1
2
b  
 
 
 
 Figura - 9. 15. 
Linearização do Sistema com Newton-Raphson 
 Vamos agora linearizar o sistema pelo Método de Newton-Raphson. Dentro de 
um passo  1;n nt t  itereramos em  i , fazendo: 
       
 1
1
int
1 1
i
n
i ii i ext
n nF d d F

 


 
 
        
    
 
  
 (9. 78) 
e 
   
 
   
 1 1
1 1,
i i
i ii i
n nn n
d
f d d d a
 
   
 
 
 
 
       
 
 
  
 (9. 79) 
Onde 
         11
1 1;
i i ii i
nn in nd d d d d d

          
 (9. 80) 
Faz-se a mesma coisa para  , obtendo: 
 316 
   
  
     
1
int
int
1 1 1
i
n
i i ii i ext
n n n
K d
FF d d d F
d
 

  
              
     
 
   
 
(9. 81) 
e 
   
 
 
 
 
 
 
1 1
1 1
,
i i
i i i i
n n
n n
f ff d d a
d
   
  
 
        
   

 (9. 82) 
 Na forma matricial temos: 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
1
1 1
1 1 1
i ext
n i i iext int
i i n n
i
i
n n escalar n
vetor escalar
K F
d F F d
f f
d a f

  

 
  
                                
  
 
   
 
 (9. 83) 
Problema 
 Agora temos um problema que é resolver : 
 
0f




 (9. 84) 
Este pode ser resolvido por eliminação de Gauss. 
Estratégia 
 Em seguida usa-se a seguinte estratégia. Elimina-se  id

 e resolve-se para 
 i . Depois usa-se as equações para obter  id

(isto é chamado de condensação estática), 
logo temos: 
     
1/ 22
1 2
2
T
f
T
f c d K d b
d d
c d K
f
  
 

 
  
  
   
  


  


 (9. 85) 
Portanto, 
 317 
 
Tf c d K
d f








 (9. 86) 
Obedecendo as seguintes hipóteses: 
0
simétrica
constante d
K é
K
K é 


 
  

 (9. 87) 
Logo 
 
f b
f





 (9. 88) 
 A partir de agora resolve-se a 1ª equação para  id

 fazendo: 
     
1
i i iext
nK d F R      
 (9. 89)e 
     1i i iextd K R F         
 (9. 90) 
Substitui-se na 2ª equação, da seguinte forma: 
 
     
 
   1
1
ii i i iext
n
f fK R F a f
d
  
 


                  

 (9. 91) 
Obtendo: 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
1
1
1
1
1 1
i
i i i
n
i n
i i
i ext
n n
fa f K R
d
f fK F
d



 




 
      
 
      
 

 

 (9. 92) 
e 
       1
1
ii i iext
nd K R F 


             
 (9. 93) 
 
 
 318 
 
Algoritmo Geral 
 Vamos agora descrever um algoritmo geral dentro de um passo  1;n nt t  
 1 - Inicializar: 
   
   
0
1
00
1
0 ;
i
nn
nn
d d d
i

  


  
 
  
   (9. 94) 
 2 - Calcula-se as atualizações 
 
 
......
......
i
id
 
 

 (9. 95) 
 3 – Faz-se as atualizações 
     
   
     
     
1
1 1
1
1 1
1
1
i i i
n n
i i
i i i
n n
i i i
d d d
d d d
i i
 
  
  

 

 

   

  

  

   

 

  
  
 (9. 96) 
 4 - Retorna ao passo 2. 
1) Problema: 
 Mas quando parar ? 
 319 
 
 Figura - 9. 16. 
2) Problema: 
 
Inicialização 
 Como estimar    0 0,d 

? 
- Fisicamente considere o equilíbrio. 
     0 0 0int
1 1 1
ext
n n nR F F d  
    
    
 (9. 97) 
e 
      0 0 int1
0n
ext
n nn
R
R F F d 

  
   
 
(9. 98) 
Como 
 int 0extn n nR F F d     
 (9. 99) 
Temos: 
   0 0
1
ext
nR F  
 (9. 100) 
Portanto, 
   00
1nK d R  
 (9. 101) 
 320 
onde K

 é o mesmo usado em f. Logo 
     00 01 1
1
ext
n
são conhecidos
d K R K F       
 (9. 102) 
 Depois usa-se a restrição de comprimento de arco para completar o problema, ou 
seja: 
 
 
   
0 1
0 0,
ext prescritoK F
f d a

  
 
  
  
 
 (9. 103) 
Logo 
   
 
1/ 20
0
1 b b a
a
 
 
    

 (9. 104) 
3) Problema: 
 - Qual é o sinal de a ? 
 - Resposta: Parece funcionar melhor com  0 a  
Critérios de Convergência 
i) Define-se: 
2 1TR R K R
  
 (9. 105) 
e 
   0iR tol R
 
 (9. 106) 
ii) 
   i id tol d 
 
 (9. 107) 
Onde 
   T K   
 (9. 108) 
iii) 
 321 
   if a tol a   (9. 109) 
Analisem e digam qual é o melhor. 
 
 
 
 
 
 
 
9. 7 – Exemplos e Aplicações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 322 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. 8 – Exercícios e Problemas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 323 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
U N I V E R S I D A D E F E D E R A L D O P A R A N Á 
Departamento de Engenharia Mecânica 
Área de Concentração: Energia e Ciências Térmicas 
Setor de Tecnologia 
TM-779 – Transferência de Calor Computacional 
PROVA PARA FAZER EM CASA 
ENTREGA: 14 Nov 2007 – 4ª feira 
PROFESSOR: 
José Viriato Coelho Vargas (DEMEC/UFPR) 
 
1. Considere o seguinte sistema de equações não lineares, de 2 equações e 2 incógnitas: 
   extN d t F
 
 (9. 110) 
onde d é o vetor de incógnitas, solução do problema (parametrizado por t), e extF

 é prescrito 
por: 
40
15
ext tF
t
 
  
 

 (9. 111) 
N

, uma função vetorial não linear de d

, é dada por 
  
2 3
1 2 2
2 3
2 1 1
10 5 0.4
 10 3 +0.4
d d d
N d t
d d d
  
 


 (9. 112) 
 324 
 Escreva códigos com os métodos de Newton-Raphson (N-R) e N-R modificado 
para resolver este problema usando o procedimento de carga incremental. Para o N-R 
modificado: 
 i) Compute e fatore K somente no começo de cada incremento, e 
 ii) Calcule o jacobiano numericamente. Tente resolver este sistema para [0;2]t . 
Aborde os seguintes tópicos: 
 i) Em que ponto da solução esses esquemas enfrentam problemas, e porque? 
 ii) Use os 3 métodos com incrementos de tempo dt = 0.01 e dt = 0.05. Use a 
norma da energia discutida em aula como critério de convergência, com uma tolerância estrita 
tal que: 
   
   
20
0 0
. 10
.
i id R
d R
 

 
  (9. 113) 
 Obtenha dados comparando o número de iterações requeridas (total, média por 
passo de tempo, etc.) para cada método em toda a faixa de variação de t para a qual houve 
convergência. 
Comente sobre o que você obteve. 
 iii) Incorpore um algoritmo “line search” nos 3 métodos (use STOL = 0.5). 
Descreva o efeito de “line search” nos resultados de convergência do item (ii). 
 
2. Aplique um procedimento de comprimento de arco ao problema acima, usando o método 
de linearização consistente discutido em Schweizerhof & Wriggers (1986) e em aula. Em 
outras palavras, resolva o seguinte sistema para ( )d t

e ( )t . 
     4015N d t t
 
  
 

 (9. 114) 
O sistema do item 1 é obtido bastando apenas fazer ( )t t  . Resolva para  ( ) : ; 0;2t t t   . 
Implemente usando a iteração de N-R em cada incremento de comprimento de arco da . Use a 
seguinte definição para  ,f d 

: 
 325 
   
 
1/ 22
0
0
1
0
, ,
1
40
;
15
T
d
T
d
d
f d c d K d b
b
c
q K q
q K F F
    



 


 
   
 



  
 
 
 (9. 115) 
 Apresente gráficos das forças versus deslocamentos, bem como de deslocamentos 
versus “tempo” ao longo de toda a faixa requerida de variação de t. Como o algoritmo se 
comporta para vários a , e qual é o maior da para o qual é convergente? Teste o seu código 
de comprimento de arco pelo menos para os casos onde b = 0, e b = 0.5. 
Obs: 
 1. Apresente um relatório do seu trabalho (título, resumo, introdução, teoria, 
resultados e discussão, e conclusões), com todos os programas computacionais escritos no 
apêndice, e 
 2. Recomenda-se fortemente utilizar aritmética de dupla precisão em seus 
cálculos. 
 326 
2ª Prova 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR COMPUTACIONAL 
 
Solução Por Newton-Raphson 
 Seja a relação 
   0extF N d t 
 
 (9. 116) 
onde d é o vetor de incógnitas, solução do problema (parametrizado por t), 
 
 
 
1
2
d t
d t
d t
 
  
  

 (9. 117) 
e extF

 é prescrito por: 
1
2
40
15
ext F tF
F t
   
    
  

 (9. 118) 
e N

 é uma função vetorial não linear de d

, é dada por 
  
2 3
1 2 21
2 32 2 1 1
10 5 0.4
 10 3 +0.4
d d dN
N d t
N d d d
    
   
  

 (9. 119) 
 Chamando de resíduo a função: 
ext intR F F 
  
 (9. 120) 
 327 
ou 
  extR F N d t 
  
 (9. 121) 
Substituindo ( ) e ( ) em ( ) temos: 
1 1 1
2 22
ext
ext
R F N
R
R NF
    
      
     

 (9. 122) 
Ou 
1 1 1
2 2 2
ext
ext
R F N
R
R F N
  
   
    

 (9. 123) 
Substituindo ( ) e ( ) em ( ) obtemos: 
2 3
1 1 2 2
2 32 2 1 1
40 10 5 0.415 10 3 +0.4
R t d d d
R
R t d d d
    
   
     

 (9. 124) 
 Por Newton-Raphson temos: 
     1 ...
i
i i RR R d
d
    

  
 (9. 125) 
 Supondo que estamos muito próximos da solução de tal maneira que: 
 1 0iR  

 (9. 126) 
Temos: 
   0 ...
i
i RR d
d

   

 
 (9. 127) 
Logo 
 
 
 
 
1
/
i i
i
i
R Rd R
dR d

      
    
  
 (9. 128) 
onde 
   1i id d d   
  
 (9. 129) 
 328 
Substituindo ( ) e ( ) em ( ) temos: 
   
 
 
 
 
 
1
1
/
i i
i i i i
i
R Rd d d R
dR d


     
    
    
 (9. 130) 
Como  iR

 é uma função vetorial temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
11 1
1
2 2
2
/
/
i
ii i
i i i
i
R
R dd d
d d R
R d


 
 
      
     
    
     
   




 (9. 131) 
Onde a matriz 
  1iR
d

  
  

 é dada por: 
 
 
 1 1 2
1 2 2 2
22 2 1 1
1 2
10 10 1, 2
6 1, 2 10
i
ii
R R
d d d dR
R Rd d d
d d
  
             
            

 (9. 132) 
Calculando a matriz inversa de ( ) temos: 
   1 1
det
TK cofK
K
  (9. 133) 
Onde 
       
       
 1 1 1 2 2
1 1
2 1 2 22
2 2
1 10 1 6 1, 2
1 10 1, 2 1 10
i
d d
cofK
d d
 
 
    
   
     
 (9. 134) 
logo 
 
 
 2
1 1
2
2 2
10 6 1,2
10 1, 2 10
i
d d
cofK
d d
   
   
    
 (9. 135) 
E 
 329 
 
 2
2 2
2
1 1
10 10 1, 2
6 1, 2 10
i
T d dcofK
d d
   
 
    
 (9. 136) 
E 
        2 22 2 1 1det 10 10 10 1,2 6 1, 2K d d d d      (9. 137) 
Ou 
    2 22 2 1 1det 100 10 1, 2 6 1,2K d d d d    (9. 138) 
Poratanto, 
             11 1
det
Ti i i i id d K R d cofK R
K
    
   
 (9. 139) 
Ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
11 1 1 1 1
1 2 22 2 2
1
det
i i i
T
i i i
d d R d R
K cofK
R RKd d d



                                
 (9. 140) 
 
 
 
 
 
    
 1 2 2 3
1 1 2 2 1 2 2
2 2 2 2 31
2 2 1 1 1 1 2 1 12 2
10 10 1,2 40 10 5 0.41
100 10 1, 2 6 1, 2 6 1,2 10 15 10 3 +0.4
ii i
i i
d d d d t d d d
d d d d d d t d d dd d


                    
                    
 
(9. 141) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 330 
 ii) Use os 3 métodos com incrementos de tempo dt = 0.01 e dt = 0.05. Use a 
norma da energia discutida em aula como critério de convergência, com uma tolerância estrita 
tal que: 
   
   
20
0 0
. 10
.
i id R
d R
 

 
  (9. 142) 
 
 
Método de Newton-Raphson
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 1 2 3 4
d2(t)
N
1,
N
2
N1
N2
 
 Figura - 9. 17. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 331 
Solução Por Newton-Raphson Modificado com Jacobiano 
calculado Numericamente 
 i) Compute e fatore K somente no começo de cada incremento, e 
 ii) Calcule o jacobiano numericamente. Tente resolver este sistema para [0;2]t . 
Aborde os seguintes tópicos: 
 i) Em que ponto da solução esses esquemas enfrentam problemas, e porque? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 332 
Solução Por Newton-Raphson com Line-Search 
 iii) Incorpore um algoritmo “line search” nos 3 métodos (use STOL = 0.5). 
Descreva o efeito de “line search” nos resultados de convergência do item (ii). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 333 
Solução Por Newton-Raphson com estratégia de Comprimento de 
Arco 
     4015N d t t
 
  
 

 (9. 143) 
O sistema do item 1 é obtido bastando apenas fazer ( )t t  . Resolva para  ( ) : ; 0;2t t t   . 
Implemente usando a iteração de N-R em cada incremento de comprimento de arco da . Use a 
seguinte definição para  ,f d 

: 
   
 
1/ 22
0
0
1
0
, ,
1
40
;
15
T
d
T
d
d
f d c d K d b
b
c
q K q
q K F F
    



 


 
   
 



  
 
 
 (9. 144) 
 Apresente gráficos das forças versus deslocamentos, bem como de deslocamentos 
versus “tempo” ao longo de toda a faixa requerida de variação de t. Como o algoritmo se 
comporta para vários a , e qual é o maior da para o qual é convergente? Teste o seu código 
de comprimento de arco pelo menos para os casos onde b = 0, e b = 0.5. 
 
 
 334 
Capítulo – X 
ELEMENTOS FINITOS UNIDIMENSIONAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 335 
6.4.4 – Aplicação Prática utilizando o Método de Galerkin 
 Dada a seguinte equação diferencial 
0)()(2
2
 xu
dx
xud
 (6. 2) 
Definida em [xA ; xB] e com condições de contorno essenciais u(x = xA) = uA e u(x = xB) = uB. 
 Sendo 
02
2
 u
dx
ud
 (6. 3) 
e 
0 g
dx
ud
 (6. 4) 
 A sentença de resíduos ponderados é dada por: 
0   
 
 dwdw ll (6. 5) 
Ou 
0)()(2
2



 





  

dg
dx
duwdbxu
dx
xudw ll (6. 6) 
 Discretizando a solução u(x) a partir de 




1
1
M
m
mm Nuuu em  , (6. 7) 
ou (6. 6) temos: 
00)()(2
2
1












 





 



dg
dx
dNwdxN
dx
xNdwu mlmml
M
m
m (6. 8) 
Subdividindo o domínio  em e subintervalos temos: 
0)()()(
1
2
2
1
1
1





















 



b
e
m
B
b
e
le
e
m
e
m
E
e
e
l
M
m
m dgdx
xdNwdxN
dx
xNdwu
be


(6. 9) 
 336 
 
Escolhendo por Galerkin 
e
l
e
l
e
l Nww  (6. 10) 
Temos: 
)(
)(
)(
1
2
2
1
1
1





















 



b
e
m
B
b
e
le
e
m
e
m
E
e
e
l
M
m
m dgdx
xdN
NdxN
dx
xNd
Nu
be


 
(6. 11) 
 Observe que na sentença básica de resíduos ponderados aparecem derivadas de 
ordem dois, consequentemente, é necessário que as funções de aproximação possuam 
derivadas de ordem um contínuas. Neste caso, precisaríamos de elementos finitos quadráticos 
para as funções de interpolação. Contudo, para contornar essa situação utilizando elementos 
finitos lineares, podemos resolver a equação diferencial a partir da forma fraca dos resíduos 
ponderados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 337 
6.4.5 - Formulação Fraca dos Resíduos Ponderados 
 A sentença de resíduos ponderados é dada por: 
0

  dwl (6. 12) 
Onde 
0)(
1
0
2
2






 dxxudx
udwl (6. 13) 
 Logo, a forma fraca da sentença de resíduos ponderados pode ser escrita como: 
0







 


B
A
B
A
xx
xx
l
x
x
l
l
dx
udwdxwu
dx
dw
dx
ud (6. 14) 
 Um conjunto de (M + 1) pontos nodais é escolhido no intervalo (domínio) [0 ; 1] 
que constitui o domínio do problema, e uma aproximação do tipo: 




1
1
M
m
mm Nuuu (6. 15) 
é adotada, onde um é o valor da aproximação no nó m (Nm = 1 em m). Assim, as condições de 
contorno essenciais são atendidas diretamente, especificando-se os valores nodais apropriados 
e  = 0. 
 Na prática, os valores conhecidos só serão introduzidos na etapa de resolução do 
sistema de equações e, dessa maneira, todos os valores, u1, u2, ...., uM+1 são considerados 
incógnitas do problema. 
 
 Figura - 6. 1. Intervalo de aplicação do Método de Galerkin 
 Adotando-se o Método de Galerkin, wl = Nl, 1,1  Mml e a equação (6. 
14) é reescrita como: 
 338 
0
1
1
1
1
















 
B
A
B
A
xx
xx
l
x
x
m
M
m
ml
m
M
m
m
l
dx
udNdxNuN
dx
dNu
dx
dN (6. 16) 
Como a integral e o somatório são operadores lineares temos: 
0
1
1

















 




 
B
A
B
A
xx
xx
lm
M
m
x
x
ml
ml
dx
udNudxNN
dx
dN
dx
dN (6. 17) 
Matricialmente 
~~~
fuK  (6. 18) 
Onde os elementos da matriz 
~
K são dadas por: 
)1,1( 




   MmldxNNdx
dN
dx
dNK
B
A
x
x
ml
ml
lm (6. 19) 
E os elementos do vetor 
~
f são: 
)11( 





Ml
dx
udNf
B
A
xx
xx
ll (6. 20) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 339 
6.4.7 – As Matrizes Locais Ke e o Vetor Local f 
 Note-se que, das equações (6. 16) a (6. 18) pode-se obter: 



E
e
e
mllm KK
1
, (6. 21) 
onde 
)1,1( 







  MjidxNNdx
dN
dx
dNK
j
i
x
x
e
j
e
i
e
j
e
ie
ij (6. 22) 
Observando que: 
jimlseK eml ,,0,  (6. 23) 
Ou de forma geral a partir de (6. 314),(6. 315) e (6. 317), (6. 318) temos: 
dx
hhdx
d
h
K
j
i
x
x
e
e
i
e
e
i
e
i
e
e
ij  




















 11
2
 (6. 24) 
Onde 
ee
i
e
j
ee
i
e
i hxxxhxx  0;; (6. 25) 
Logo usando (6. 25) em(6. 24) temos: 
dx
h
xx
h
xx
dx
dx
h
K
j
i
x
x
e
e
i
e
e
i
e
i
e
e
ij  






 





 







)()(111
2
2 . (6. 26) 
E 
dx
h
xx
dx
dx
h
K
j
i
x
x
e
e
i
e
i
e
e
ii  












 







22
2
)(111 . (6. 27) 
E 
dx
h
xx
dx
dx
h
K
j
i
x
x
e
e
i
e
i
e
e
jj  












 







22
2
)(11 . (6. 28) 
 340 
 Observe que para um único elemento finito, temos: 
e
ij
ee
i
e
i hxxxhxxxx  0;;0 (6. 29) 
Logo, a partir de (6. 314),(6. 315) e (6. 317), (6. 318) os elementos fora da diagonal são dados 
por: 
dx
h
x
h
x
h
x
dx
d
h
x
dx
dKK
eh
eeee
e
ji
e
ij  










 










 
0
11 (6. 30) 
Ou 
dx
h
x
h
x
h
dx
h
x
h
x
h
x
dx
d
h
x
dx
dKK
ee h
eee
h
eeee
e
ji
e
ij  
















 










 
0
2
2
2
0 )()(
111
 
(6. 31) 
Então 
6
1
32
32
2
32
2
2
32
2
e
e
e
ij
e
e
e
e
e
e
e
ij
h
o
eee
e
ij
h
h
K
h
h
h
h
h
hK
h
x
h
x
h
xK
e

















 (6. 32) 
Os elementos da diagonal da matriz são dados por: 
011
0
22














 










   dxh
x
h
x
dx
dK
eh
ee
e
ii (6. 33) 
ou 
dx
h
x
h
x
h
dx
h
x
h
x
dx
dK
ee h
eee
h
ee
e
ii 

































 










 
0
2
22
0
22
)(
21111
 
(6. 34) 
logo 
 341 
3
1
3
1
32
211
2
32
2
2
322
e
e
e
ii
e
e
e
e
e
e
e
ii
h
o
eee
e
ii
h
h
K
h
h
h
h
h
hK
h
x
h
xx
h
K
e






































 (6. 35) 
E 
0
0
22

























  dxh
x
h
x
dx
dK
eh
ee
e
jj (6. 36) 
ou 
dx
h
x
h
dx
h
x
h
x
dx
dK
ee h
ee
h
ee
e
jj 












































0
22
0
22 1 (6. 37) 
logo 
3
1
3
3
1
2
3
2
0
2
32
e
e
e
jj
e
e
e
e
e
jj
h
ee
e
jj
h
h
K
h
h
h
hK
h
xx
h
K
e






























 (6. 38) 
E 
j
i
xx
xx
ll
e
dx
udNf





 (6. 39) 
 Matricialmente os elementos da matriz 
~
K são dadas por: 
 342 
)1,1(
~~~~



   MjidxNNNNK
j
i
x
x
T
x
T
x
e
ij (6. 40) 
E os elementos do vetor 
~
f : 
j
i
xx
xx
e
xl
e
l UNNf











~
~
 (6. 41) 
 Numerando-se os elementos de 1 a M e os nós de 1 a M+1, cada elemento produz 
uma matriz do tipo: 



















































00...0.....................0
00...0.....................0
00...
3
1
6
1....0
00...
6
1
3
1......0
:
:
:
:
:
:
:
:
~
ee
e
ee
e
e
h
h
h
h
h
h
h
h
K (6. 42) 
E 







































:
:
2
1
:
:
0
0
1
1
E
E
E
E
xx
xx
xx
xx
E
dx
udN
dx
udN
f (6. 43) 
 Com as componentes da matriz eK
~
 determinados, temos para cada elemento: 
 
 
 
 343 
i) ELEMENTO I: 













0000
0:::
0...
0...
2221
1211
~
II
II
Ie kk
kk
K (6. 44) 
onde 













































0000
0:::
0...
3
1
6
1
0...
6
1
3
1
~
I
I
I
I
II
I
Ie h
h
h
h
h
h
h
h
K (6. 45) 
E os elementos do vetor 
~
If : 













0
:
2
1
II
I
f
f
f (6. 46) 
Ou 

































0
:
2
1
2
1
2
1
xx
xx
xx
xx
I
dx
udN
dx
udN
f (6. 47) 
 
 
 
 
 
 344 
ii) ELEMENTO II: 













0...000
0...0
0...0
0...000
3332
2322
~

IIII
IIII
II
kk
kk
K (6. 48) 
onde 













































0...000
0...
3
1
6
10
0...
6
1
3
10
0...000
~

II
II
II
II
II
II
II
II
IIe
h
h
h
h
h
h
h
h
K (6. 49) 
E os elementos do vetor 
~
IIf : 













0
0
3
2

II
II
II f
f
f (6. 50) 
Ou 


























 



0
0
3
2
3
2
3
2
xx
xx
xx
xx
II
dx
udN
dx
udN
f (6. 51) 
 
 
 
 
 
 345 
iii) ELEMENTO E: 













EE
EE
E
kk
kk
K
4443
3433~
...00
...00
::::
00...00
 (6. 52) 
onde 












































3
1
6
1...00
6
1
3
1...00
::::
00...00
~
E
E
E
E
E
E
E
E
Ee
h
h
h
h
h
h
h
hK (6. 53) 
E os elementos do vetor 
~
Ef : 













E
EE
f
f
f
2
1
:
0
 (6. 54) 
Ou 

































1
1
2
1
0
0
E
E
E
E
xx
xx
xx
xx
E
dx
udN
dx
udNf (6. 55) 
 
 
 
 346 
6.4.8 - Montagem do vetor f e da Matriz Global K 
 A matriz global 
~
K pode ser formada agrupando-se as matrizes eK
~
, observando 
que as contribuições dos nós comuns a elementos vizinhos devem ser adicionados na matriz 
global 
~
K . 





















E
MM
E
MM
E
MM
E
MM
IIII
IIIIII
II
kk
kkkk
kkkk
kk
K
111
1
33:32::
::
23222221
1211
~
...................00
..............0
0.....................
0......................0

 (6. 56) 
Ou seja: 
























































 


















 




















 

3
1
6
1..................00
6
1
3
11..................
6
10
0........................
6
1
3
11
6
1
0...........................................0
6
1
3
1
:
:
:
:
1
1
:
:
:
:
~
E
E
E
E
IE
E
EE
EE
II
II
II
II
III
III
I
I
I
I
I
I
h
h
h
h
h
h
hh
hh
h
h
h
h
hh
hh
h
h
h
h
h
h
K
 
(6. 57) 
E os elementos do vetor 
~
f : 




















E
EE
III
I
l
f
ff
ff
f
f
2
:
:
1
1
2
12
1
 (6. 58) 
Ou seja: 
 347 


























:
:~
1
2
23
2
23
1
2
1
2
1
)/
)/)/
)/)/
)/
B
E
EE
AA
A
xhxx
hxxhxx
hxxhxx
xx
dxud
dxuddxud
dxuddxud
dxud
f (6. 59) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 348 
6.4.9 – Resolução do Sistema de Equações 
 O sistema de equações é montado da seuinte forma: 
~~~
fuK  (6. 60) 
Ou 

















































































 


















 























E
EE
III
I
E
E
E
E
E
IE
E
EE
EE
II
II
II
II
III
III
I
I
I
I
I
I
f
ff
ff
f
u
u
u
u
h
h
h
h
h
h
hh
hh
h
h
h
h
hh
hh
h
h
h
h
h
h
2
:
:
1
1
2
12
1
:
:
3
2
1
:
:
:
:
1
1
:
:
:
:
3
1
6
1..................00
6
1
3
11..................
6
10
0........................
6
1
3
11
6
1
0...........................................0
6
1
3
1
 
(6. 61) 
 Sendo conhecido os valores das condições de contorno nos pontos extremos a 
primeira e a última linha da matriz acima são eliminadas ficando com o seguinte sistema de 
equações: 







































































 


















 


















 































1
2
:
:
1
2
2
12
12
1
:
:
4
3
2
1
1
1
1
:
:
1
1
:
:
12
12
:
:
:
:
1
3
11
6
1..................00
6
1
3
11..................
6
10
0........................
6
1
3
11
6
1
0...........................................0
6
1
3
1
E
EE
IIIII
III
E
EE
EE
E
E
E
E
EE
EE
III
III
III
III
IIIII
IIIII
II
II
II
II
II
II
f
ff
ff
ff
u
u
u
u
hh
hh
h
h
h
h
hh
hh
h
h
h
h
hh
hh
h
h
h
h
h
h
 
(6. 62) 
Cuja solução fornece os valores de ),...,,( 1432  Euuuuu 
 
 
 
 
 
 
 
 
 349 
6. 9 – Exemplos e Aplicações 
6.5.1 – Exemplo satisfazendo condições de contorno essenciais: 
 Dada a seguinte equação diferencial 
0)(2
2
 u
dx
xud
 (6. 63) 
Definida em [0 ; 1] e com condições de contorno essenciais. 
u(x = 0) = 0 
 u(x = 1) = 1 
(6. 64) 
 
Solução: 
 A sentença de resíduos ponderados é: 
0

  dwl (6. 65) 
Onde 
02
2
 u
dx
ud
 (6. 66) 
 A forma fraca da sentença de resíduos ponderados é: 
0
1
0
1
0








 



x
x
ll
l
dx
udwdxwu
dx
dw
dx
ud (6. 67) 
 Fazendo E = M = 3, o intervalo [0 ; 1] será dividido em três sub-intervalos 
(elementos) de mesmo comprimento, h1 = h2 = h3 = 1/3. 
 
 Numerando os nós de 1 a 4 e os elementos de 1 a 3, temos para o: 
 350 
i) ELEMENTO I:Ihx 0 (6. 68) 
Onde: 
Ih
xN 11 (6. 69) 
e 
Ih
xN 2 (6. 70) 













0000
0000
00
00
2221
1211
~
kk
kk
K I (6. 71) 
Onde 
)41,11(
1
0
11
11
11 




   MmldxNNdx
dN
dx
dNK (6. 72) 
E 
)42,11(
1
0
21
21
12 




   MmldxNNdx
dN
dx
dNK (6. 73) 
E 
)41,21(
1
0
12
12
21 




   MmldxNNdx
dN
dx
dNK (6. 74) 
E 
)42,21(
1
0
22
22
22 




   MmldxNNdx
dN
dx
dNK (6. 75) 
Ou seja, 
 
 351 













































0000
0000
00
3
1
6
1
00
6
1
3
1
~
II
II
I h
h
h
h
h
h
h
h
K (6. 76) 
 A formação dos elementos do vetor 
~
If é dado por: 
2
1
11
xx
xx
I
dx
udNf





 (6. 77) 
E 
2
1
22
xx
xx
I
dx
udNf





 (6. 78) 
Logo 













0
0
2
1
I
I
I
f
f
f (6. 79) 
Ou 























0
0
0
2
1
1
xx
xx
I
dx
udN
f (6. 80) 
 
 
 
 
 
 352 
ii) ELEMENTO II: 
IIII hhxh  (6. 81) 
Onde: 
IIh
xN 12 (6. 82) 
e 
IIh
xN 3 (6. 83) 













0000
00
00
0000
3332
2322
~ kk
kk
K II (6. 84) 
Onde 
)42,21(
1
0
22
22
22 




   MmldxNNdx
dN
dx
dNK (6. 85) 
E 
)43,21(
1
0
32
32
23 




   MmldxNNdx
dN
dx
dNK (6. 86) 
E 
)42,31(
1
0
23
23
32 




   MmldxNNdx
dN
dx
dNK (6. 87) 
E 
)43,31(
1
0
33
33
33 




   MmldxNNdx
dN
dx
dNK (6. 88) 
Ou seja, 
 353 













































0000
0
3
1
6
10
0
6
1
3
10
0000
~ II
II
II
II
II
II
II
II
II
h
h
h
h
h
h
h
h
K (6. 89) 
 A formação dos elementos do vetor 
~
IIf é dado por: 
3
2
22
xx
xx
II
dx
udNf





 (6. 90) 
E 
3
2
33
xx
xx
II
dx
udNf





 (6. 91) 
Logo 













0
0
3
2
II
II
II f
f
f (6. 92) 
Ou 













0
0
0
0
IIf (6. 93) 
 
 
 
 
 
 
 354 
iii) ELEMENTO III: 
IIIIIIIII hhhxhh  (6. 94) 
Onde: 
IIIh
xN 12 (6. 95) 
e 
IIIh
xN 3 (6. 96) 













4443
3433~
00
00
0000
0000
kk
kk
K III (6. 97) 
Onde 
)43,31(
1
0
33
33
33 




   MmldxNNdx
dN
dx
dNK (6. 98) 
E 
)44,31(
1
0
43
43
34 




   MmldxNNdx
dN
dx
dNK (6. 99) 
E 
)43,41(
1
0
34
34
43 




   MmldxNNdx
dN
dx
dNK (6. 100) 
E 
)44,41(
1
0
44
44
44 




   MmldxNNdx
dN
dx
dNK (6. 101) 
Ou seja, 
 355 












































3
1
6
100
6
1
3
100
0000
0000
~
III
III
III
III
III
III
III
III
III
h
h
h
h
h
h
h
hK (6. 102) 
 A formação dos elementos do vetor 
~
IIIf é dado por: 
4
3
33
xx
xx
III
dx
udNf





 (6. 103) 
E 
4
3
44
xx
xx
III
dx
udNf





 (6. 104) 
logo 













III
IIIIII
f
f
f
4
3
:
0
 (6. 105) 
Ou 































4
3
4
3
4
3
0
0
xx
xx
xx
xx
III
dx
udN
dx
udNf (6. 106) 
 
 
 
 
 356 
iv) MONTAGEM DA MATRIZ GLOBAL 
 O vetor 
~
f global é definido como: 
1
0






x
x
l dx
udNf , ou seja: 

















III
IIIII
III
I
l
f
ff
ff
f
f
4
33
22
1
 (6. 107) 
logo 

















1
0
~
)/
0
0
)/
x
x
dxud
dxud
f (6. 108) 
 Agrupando as matrizes 
~~~
,, IIIIII KKK dos elementos para formar a matriz 
global, encontra-se o seguinte sistema de equações: 

























































 




 





 




 




 





 




 




 





 




 


1
0
4
3
2
1
0
0
3
1
6
100
6
1
3
12
6
10
0
6
1
6
12
6
1
00
6
1
3
1
x
x
dx
du
dx
ud
u
u
u
u
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
 
(6. 109) 
 
 
 
 
 
 
 
 357 
V) RESOLUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES 
 Os valores de 1u e 2u são iguais aos valores prescritos. Portanto, são valores 
conhecidos e as linhas 1 e 4 podem ser removidas. Remova somentes essas linhas, não 
remova as colunas, e utilize o sistema regular de equações que ficar. Substituindo-se os 
valores conhecidos 01 u e 14 u nas outras equações, o sistema de equações se reduz a: 





 




 




 





 




 
6
1
3
12
3
1
0
6
1
3
12
32
32
h
h
uh
h
uh
h
uh
h
uh
h (6. 110) 
Substituindo-se h = 1/3, obtém-se: 
18
53
9
56
18
53
0
18
53
9
56
32
32


uu
uu
 (6. 111) 
 Resolvendo o sistema, encontra-se os seguintes valores: 
609750,0
288546,0
3
2


u
u
 (6. 112) 
 Das equações remanescentes, obtém-se os valores de 
0xdx
ud
 e 
1xdx
ud
 
315711,1
3
1
6
1
849609,0
6
1
43
1
2
0





 




 





 


uh
h
uh
hdx
du
uh
hdx
ud
x
x (6. 113) 
 
 
 
 
 
 
 
 358 
6.5.2 – Exemplo satisfazendo condições de contorno naturais 
 Dada a seguinte equação diferencial 
0)(2
2
 u
dx
xud
 (6. 114) 
Definida em [0 ; 1] se as condições de contorno forem: 
1
0
1
0




x
x
dx
du
u
 (6. 115) 
 
Solução: 
 A sentença de resíduos ponderados é: 
0   
 
 dwdw ll (6. 116) 
Onde 
01
02
2


dx
ud
u
dx
ud




 (6. 117) 
 Logo, a sentença básica de resíduos ponderados é escrita como (já admitindo que 
a condição de contorno essencial seja atendida diretamente) 
01
1
1
0
2
2










 








x
ll dx
udwdxu
dx
udw (6. 118) 
Efetuando-se a integração por partes, chega-se a forma fraca da sentença de resíduos 
ponderados, cuja forma fraca é: 
01
1
1
0
1
0











 




 xl
x
l
x
x
ll
l w
dx
udw
dx
udwdxuw
dx
ud
dx
dw (6. 119) 
Precisamos agora eliminar 
1xdx
ud
 da seguinte forma: 
 359 
 Se 11   xlxl ww , a equação (6. 119) é escrita como: 
01
0
1
0








 


 xl
x
ll
l w
dx
udwdxuw
dx
ud
dx
dw (6. 120) 
 Se ll Nw  e a discretização é mantida, a matriz ~K é a mesma. O vetor 
~
f global é definido como: 
1
0






x
x
l dx
udNf , ou seja: 

















III
IIIII
III
I
l
f
ff
ff
f
f
4
33
22
1
 (6. 121) 
 O sistema final de equações é: 































1
0
0.
0
4
3
2
1
~
xdx
ud
u
u
u
u
K (6. 122) 
 Adotando-se o Método de Galerkin e a mesma discretização, a mesma matriz K é 
obtida, e o sistema de equações é: 

























































 




 





 




 




 





 




 




 





 




 

1
0
0
3
1
6
100
6
1
3
12
6
10
0
6
1
6
12
6
1
00
6
1
3
1
0
4
3
2
1
xdx
ud
u
u
u
u
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
 (6. 123) 
 360 
 Como 01 u é o valor conhecido, a primeira equação pode ser eliminada do 
sistema. Substituindo 1u pelo seu valor nas outras equações, o sistema de equações se reduz 
a: 










































 




 





 




 




 





 




 
1
0
0
3
1
6
10
6
1
3
12
6
1
0
6
1
3
12
4
3
2
u
u
u
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
 (6. 124) 
Substituindo-se h = 1/3, obtém-se: 








































1
0
0
9
28
18
530
13
53
9
56
18
53
0
18
53
9
56
4
3
2
u
u
u
 (6. 125) 
Resolvendo o sistema: 
760045,0
463444,0
219309,0
4
3
2



u
u
u
 (6. 126) 
 O valor de 
0xdx
ud
 pode ser determinado: 
645743,0
645743,0
13
53
6
1
0
22
0






 


x
x
dx
du
uuh
hdx
ud
 (6. 127) 
 
 
 
 
 361 
6.5.3 – Exemplo satisfazendo condições de contorno essenciais: 
 Dada a a seguinte equação diferencial: 
044)(2
2
 xy
dx
xyd
, (6. 128) 
definida em [0 ; 1] e com condições de contorno essenciais: 
y(x = 0) = 0 
 y(x = 1) = 1 
(6. 129) 
Resolver pelo Método dos Elementos Finitos. 
 
Solução: 
 A sentença de resíduos ponderados é: 
0

  dwl (6. 130) 
Onde 
0442
2
 xy
dx
yd
 (6. 131) 
 A forma fraca da sentença de resíduos ponderados é: 
044
1
0
1
0








 



x
x
lll
l
dx
dywdxxwyw
dx
dw
dx
dy (6. 132) 
 Um conjunto de (M + 1) pontos é escolhido no intervalo (domínio) [0 ; 1] e uma 
aproximação do tipo: 




1
1
M
m
mm Nyyy (6. 133) 
é adotada, onde ym é o valor da aproximação no nó m (Nm = 1 em m). Assim, as condições de 
contorno essenciais são atendidas diretamente, especificando-se os valores nodais apropriados 
e  = 0. De forma análoga ao exemplo anterior, os valores conhecidos só serão introduzidos 
na etapa de resolução do sistema de equações e, dessa maneira, todos os valores, u1, u2, ...., 
uM+1 são considerados incógnitas do problema. 
 362 
 Adotando-se o Método de Galerkin, wl = Nl, 1,1  Mml e a equação (6. 
14) é reescrita como: 
044
1
0
1
0
1
1
1
1
















 
x
x
llm
M
m
ml
m
M
m
m
l
dx
ydNdxxNNyN
dx
dNy
dx
dN (6. 134) 
Para )1,1(  Mml . Matricialmente temos: 
~~~
fyK  (6. 135) 
Onde os elementos da matriz 
~
K são dados por: 
)1,1(4
1
0





   MmldxNNdx
dN
dx
dNK mlmllm (6. 136) 
E os elementos do vetor 
~
f : 
04
1
0
1
0



 


xdxN
dx
ydNf l
x
x
ll (6. 137) 
 Divindindo-se o domínio  em três subdomínios, temos: 
 
 Figura - 6. 2. Intervalo de aplicação do Método de Galerkin 
 Vamos agora calcular as funções de interpolação local para o elemento e: 
e
e
ii h
NN  1 (6. 138) 
 
e
e
jj h
NN  (6. 139) 
Onde 
 363 
e
ij
e
i hxxxhxx  0;; (6. 140) 
Para o: 
i) ELEMENTO I: 
hx 0 (6. 141) 
Onde: 
h
xN 11 (6. 142) 
e 
h
xN 2 (6. 143) 
 A formação dos elementos do vetor 
~
If é dado por: 
6
4
14
4
2
1
0
1
0
111
2
1
2
1
2
1
h
dx
udN
xdx
h
x
dx
udN
xdxN
dx
udNf
xx
xx
hxx
xx
hxx
xx
I









 















 (6. 144) 
E 
3
4
4
4
3
1
0
2
0
222
2
1
2
1
2
1
h
dx
udN
xdx
h
x
dx
udN
xdxN
dx
udNf
xx
xx
hxx
xx
hxx
xx
I

























 (6. 145) 
Logo 
 364 













0
0
2
1
I
I
I
f
f
f (6. 146) 
Ou 

































0
0
3
4
6
4
3
1
2
1
2
1
2
1
h
dx
udN
h
dx
udN
f
xx
xx
xx
xx
I (6. 147) 
 
ii) ELEMENTO II: 
hxh 2 (6. 148) 
Onde: 
h
xN
h
hxN
h
xxNN i





2
)(1
)(1
2
2
2
2
 (6. 149) 
e 
h
hxNN j

 3 (6. 150) 
 A formação dos elementos do vetor 
~
IIf é dado por: 
 365 
3
8
24
4
2
2
2
2
2
222
3
2
3
2
3
2
h
dx
udN
xdx
h
x
dx
udN
xdxN
dx
udNf
xx
xx
h
h
xx
xx
h
h
xx
xx
II









 















 (6. 151) 
E 
6
20
14
4
2
3
2
0
3
2
333
3
2
3
2
3
2
h
dx
udN
xdx
h
x
dx
udN
xdxN
dx
udNf
xx
xx
hxx
xx
h
h
xx
xx
II









 















 (6. 152) 
Logo 













0
0
3
2
II
II
II f
f
f (6. 153) 
Ou 

























 



0
6
20
3
8
0
2
2
3
3
3
2
3
2
h
dx
udN
h
dx
udN
f xx
xx
xx
xx
II (6. 154) 
 
 
 
 
 366 
iii) ELEMENTO III: 
132  hxh (6. 155) 
Onde: 
h
xN
h
hxN
h
xxNN i





3
)2(1
)(1
3
3
3
3
 (6. 156) 
e 
h
hxNN j
2
4

 (6. 157) 
 A formação dos elementos do vetor 
~
IIIf é dado por: 
6
28
34
4
2
3
3
2
3
3
2
333
4
3
4
3
4
3
h
dx
udN
xdx
h
x
dx
udN
xdxN
dx
udNf
xx
xx
h
h
xx
xx
h
h
xx
xx
III









 















 (6. 158) 
E 
3
16
24
4
2
4
3
2
4
3
2
344
4
3
4
3
4
3
h
dx
udN
xdx
h
x
dx
udN
xdxN
dx
udNf
xx
xx
h
h
xx
xx
h
h
xx
xx
III









 















 (6. 159) 
Logo 
 367 













III
IIIIII
f
f
f
4
3
0
0
 (6. 160) 
Ou 































3
16
6
28
0
0
3
4
2
3
4
3
4
3
h
dx
udN
h
dx
udNf
xx
xx
xx
xx
III (6. 161) 
Cujas contribuições são: 

















































































































3
4
2
6
4
0
0
3
4
6
7
6
5
3
2
3
6
4
0
0
2
2
2
2
1
0
2
22
22
2
1
0
4
33
22
1
h
h
h
h
dx
dy
dx
yd
h
hh
hh
h
dx
dy
dx
yd
f
ff
ff
f
x
x
x
x
III
IIIII
III
I
 
(6. 162) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 368 
iv) MONTAGEM DA MATRIZ GLOBAL 
 O vetor 
~
f global é definido como: 





1
0
1
0~
4 xdxN
dx
udNf l
x
x
l , ou seja: 

















III
IIIII
III
I
l
f
ff
ff
f
f
4
33
22
1
 (6. 163) 
logo 




































 
 




13
2
4
1
4
2 3
2
43
0
2
32
1
0
1
0
1
~
44
44
44
44
h
hx
h
h
h
h
h h
h
x
xdxN
dx
udN
xdxNxdxN
xdxNxdxN
xdxN
dx
udN
f (6. 164) 
 Agrupando as matrizes 
~~~
,, IIIIII KKK dos elementos para formar a matriz 
global, encontra-se: 












































































 




 





 




 




 





 




 




 





 




 


3
4
2
6
4
0
0
3
41
3
2100
3
21
3
412
3
210
0
3
21
3
412
3
21
00
3
21
3
41
2
2
2
2
1
0
4
3
2
1
h
h
h
h
dx
dy
dx
yd
y
y
y
y
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
x
x 
(6. 165) 
 
 
 
 
 
 369 
V) RESOLUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES 
 Os valores de 1y e 2y são iguais aos valores prescritos. Portanto, são valores 
conhecidos e as linhas 1 e 4 podem ser removidas. Remova somentes essas linhas, não 
remova as colunas, e utilize o sistema regular de equações que ficar. Substituindo-se os 
valores conhecidos 01 y e 14 y nas outras equações, o sistema de equações se reduz a: 
2
32
2
32
8
3
412
3
21
4
3
21
3
412
hyh
h
yh
h
hyh
h
yh
h





 




 





 




 
 (6. 166) 
Substituindo-se h = 1/3, obtém-se: 
9
8
9
62
9
25
9
4
9
25
9
62
32
32


yy
yy
 (6. 167) 
 Resolvendo, encontra-se: 
181515,0
139174,0
3
2


y
y
 (6. 168) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 370 
6. 10 – Enfoque Variacional 
 Dado um problema descrito por um funcional, isto é, que permite uma formulação 
variacional a ser desenvolvido pelo MEF. 

B
A
x
x
FdI  (6. 169) 
 Se as incógnitas nos pontos nodais correspondem a uma função u que torna estacionário 
(extremiza) o funcional e atende às condições de contorno essenciais do problema, pode-se 
admitir que o valor do funcional em todo o domínio do problema, F(u), será igual à soma dos 
valores dos funcionais calculados em cada elemento, isto é: 
)(
1
uFF
M
e
e

 (6. 170) 
onde M é o número de elementos finitos nos quais o domínio original foi discretizado. Logo 



M
e
eII
1
 (6. 171) 
onde 
dxuFI
j
i
x
x
k
ee  )( (6. 172) 
 Admite-se que, para um elemento genérico e, a função u passa a ser descrito 
como: 
e
k
r
k
e
e
ku 


1
 (6. 173) 
Onde ek são parâmetros ajustáveis ou não conhecidos (incógnitas) e 
e
k são funções de 
forma conhecidas, escolhidas de maneira semelhante à do método de Rayleigh-Ritz. Em 
notação matricial temos: 
~~
Au  (6. 174) 
Onde 
 371 
 ereeeA  ...21~  (6. 175) 
E 















e
e
e
re



:
2
1
~
 (6. 176) 
Substituindo a expressão (6. 173) em (6. 170), obtém-se o funcional aproximado: 
e
e
k
M
e
e rkFF ,...3,2,1)(
1


 (6. 177) 
e, agora, as únicas incógnitas são os parâmetros ek . 
 Note que os parâmetros ek diferem de elemento a elemento, as funções 
e
k 
também podem diferir de elemento a elemento embora, em geral as funções ek adotadas 
sejam as mesmas. 
 Aplicando a condição de ponto estacionário (ou condição de extremização) ao 
funcional aproximado F , pode-se escrever: 
0F (6. 178) 
 
0)(
1


e
k
M
e
eFF  (6. 179) 
Ou ainda 
0
1 1




 
e
k
M
e
r
k
e
k
ee FF 

 (6. 180) 
Como as variações ek são arbitrárias, a expressão (6. 180) se reduz a: 








e
e
k
e
k
MeF
 ,....2,1
,...,2,1
0 (6. 181) 
 372 
 A expressão (6. 181) representa um sistema de equações cuja solução fornece os 
valores dos parâmetros ek , a partir dos quais, com o emprego de (6. 173), o valor da 
incógnita u pode ser calculado em qualquer ponto do elemento. 
 A expressão (6. 181) representa um esquema de solução que pode ser denominado 
Rayleigh-Ritz localizado (ou local). No método dos elementos finitos, no lugar dos parâmetros 
e
k , as incógnitas são os valores da função u nos pontos nodais da malha de elementos finitos 
( i
n
i
iu


1
). Partindo da expressão (6. 174) aplicada aos ne nós de um elemento qualquer; 
pode-se escrever: 
~~
~~
22
~~
11
:



ee nn Au
Au
Au



 (6. 182) 
Onde ui é o valor de u no nó i do elemento e, Ai representa a matriz 
~
A com as funções de 
forma calculados de acordo com a posição do nó i, isto é, correspondentes às coordenadas do 
nó i. De maneira compacta, 
~~~
CU e  (6. 183) 
Onde 















en
e
u
u
u
U
:
2
1
~
 (6. 184) 
É o vetor dos valores nodais (incógnitas) de u no elemento e. A matriz 
 373 















en
A
A
A
C
~
2~
1~
~ :
 (6. 185) 
é uma matriz com as funções de forma que estão calculas para as posições (coordenadas) 
correspondentes aos pontos nodais. 
 Se as funções de forma são selecionadas de maneira adequada e se o número de 
nós do elemento é igual ao número de parâmetros, ou seja, se 
ee rn  (6. 186) 
A matriz 
~
C será quadrada e regular. Portanto, de (6. 183), pode-se escrever: 
eUC
~
1
~~
 (6. 187) 
Substituindo (6. 187) em (6. 174) temos: 
ee UNUCAAu
~~~
1
~~~
  (6. 188) 
Onde 
1
~~~
 CAN (6. 189) 
 Assim, os parâmetros ek são eliminados e o valor da variável, u, em qualquer 
ponto de um elemento, pode ser calculado em função dos valores nodais (ainda desconhecidos 
ou incógnitas). 
 Para evitar a inversão da matriz 
~
C é importante obter a matriz N diretamente. Se 
N é determinada conveniente, então, considerar que: 



en
k
k
e
k
e uUNu
1~~
 (6. 190) 
As funções de forma em (6. 190) se referem a valores nodais de u e não de parâmetros ek 
 Adotando uma variação linear, pode-se escrever, para cada elemento: 
 374 







j
i
kkjiku 

 ]1[ . (6. 191) 
Onde 
kk xx  . (6. 192) 
 
 
 Figura - 6. 3. 
 Aplicando aos pontos nodais i e j, temos: 
e
jij
ii
hu
u




. (6. 193) 
Ou 
~~~
CU e  (6. 194) 
logo 
~~~ 1
01



C
hu
u
U
j
i
e
j
ie 

















 (6. 195) 
Invertendo a expressão (6. 217) anterior, obtém-se: 



















j
i
e
e
j
i
u
uh
h 11
01


 (6. 196) 
Combinando-se as expressões (6. 214) com (6. 218), tem-se: 
 375 
  













j
i
e
eee u
uh
h
u
11
011  (6. 197) 
Ou 
  jeeiee
j
i
e
e
ee uh
u
hu
u
xh
h
u  




 





 1)(1 (6. 198) 
Ou ainda 
j
e
ji
e
ie uNuNu  (6. 199) 
Onde 








e
ee
j
e
ee
i
h
N
h
N

1
 hx 0 (6. 200) 
 A derivada primeira de eu é: 
j
e
j
i
e
ie u
dx
dN
u
dx
dN
dx
ud
 (6. 201) 
E 





 













 




 
dx
dx
u
u
hh
u
dx
dx
h
u
dx
dx
hdx
ud e
j
i
eej
e
ei
e
e
e 1111111
 
(6. 202) 
Ou 
~
,
~~~
T
x
Tee
x
e NUUN
dx
ud
 (6. 203) 
onde 
~
,
x
e
ji N
dx
dN
 (6. 204) 
 Para o cálculo do funcional deve-se calcular 2)/( dxdue : 
 376 
e
x
T
x
Tee UNNU
dx
ud
~~~
,
~
2





 (6. 205) 
e ue2, 
eTTe
e UNNUu ~~~
,
~
2  (6. 206) 
 Substituindo (6. 190) em (6. 170), tem-se um funcional aproximado, I , que é 
função somente dos valores nodais ue. 
 Onde o funcional de um elemento é: 
dxuFII
dFFdI
M
e
x
x
k
e
M
e
e
x
x
e
M
e
e
x
x
j
i
j
i
B
A
 





11
1
)(

 (6. 207) 
 A condição de ponto estacionário será dada por: 
0)(
1 11



 
 
e
k
M
e
r
k
e
k
eM
e
k
e
e FuFF 

 (6. 208) 
 A expressão (6. 208) representa um sistema de equações cuja solução fornece os 
valores nodais uk. Conhecidos os valores nodais, o valor de u, em qualquer ponto de qualquer 
elemento, é determinado. Ou seja, da condição de ponto estacionário temos: 
dxuFII
dFFdI
M
e
x
x
k
e
M
e
e
x
x
e
M
e
e
x
x
j
i
j
i
B
A
 





11
1
)(

 (6. 209) 
 377 
 
 Como o domínio foi dividido em três subdomínios, pode-se escrever: 
321 IIII  (6. 210) 
E, portanto, 
321 IIII   (6. 211) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 378 
6. 11 – Exemplos e Aplicações 
6.7.1 – Exemplo satisfazendo condições de contorno essenciais: 
 Dado o funcional 
















l
dxu
dx
udI
1
0
22
2
2
22
1 . (6. 212) 
Obter uma solução aproximada que atenda às condições de contorno essenciais: 
1,0
10

 xx
uu . (6. 213) 
Dividir o intervalo (domínio) [0 ; 1] em três sub-intervalos (subdomínios) de mesmo 
comprimento. 
 
Solução 
 
 O primeiro passo consiste em escolher qual a variação de u em cada elemento. 
Adotando uma variação linear, pode-se escrever, para cada elemento: 







2
1
21 ]1[ 

 xxu . (6. 214) 
 
 
 Figura - 6. 4. 
 379 
 Aplicando aos pontos nodais i e j, temos: 
hu
u
j
i
21
1




. (6. 215) 
Ou 
~~~
CU e  (6. 216) 
logo 
~~2
1
~ 1
01



C
hu
u
U
j
ie 

















 (6. 217) 
Invertendo a expressão (6. 217) anterior, obtém-se: 



















j
i
u
uh
h 11
01
2
1


 (6. 218) 
Combinando-se as expressões (6. 214) com (6. 218), tem-se: 
  













j
i
u
uh
h
xu
11
011 (6. 219) 
Ou 
  ji
j
i u
h
xu
h
x
u
u
xxh
h
u 




 





 1)(1 (6. 220) 
Ou ainda 
jjii uNuNu  (6. 221) 
Onde 








h
xN
h
xN
j
i 1
 hx 0 (6. 222) 
 A derivada primeira de u é: 
 380 
j
j
i
i u
dx
dN
u
dx
dN
dx
ud
 (6. 223) 
E 










j
i
ji u
u
hh
u
h
u
hdx
ud 1111 (6. 224) 
Ou 
~
,
~~~
T
x
Tee
x NUUNdx
ud
 (6. 225) 
onde 
~
,
x
ji N
dx
dN
 (6. 226) 
 Para o cálculo do funcional deve-se calcular 2)/( dxdu : 
e
x
T
x
Te UNNU
dx
ud
~~~
,
~
2





 (6. 227) 
e u2, 
eTTe UNNUu
~~~
,
~
2  (6. 228) 
Onde o funcional de um elemento é: 
dxUNNUUNNUI
j
i
x
x
eTTee
x
T
x
Tee  


 
~~~
,
~~~~
,
~2
1 (6. 229) 
 Da condição de ponto estacionário 
dxUNNUUNNUI
j
i
x
x
eTTee
x
T
x
Tee  


 
~~~
,
~~~~
,
~2
1
 (6. 230) 
 381 
 
 Como o domínio foi dividido em três subdomínios, pode-se escrever: 
321 IIII  (6. 231) 
E, portanto, 
321 IIII   (6. 232) 
 Vejamos isto de forma prática a partir da equação (6. 223). Particularizando a 
notação em termos do exemplo, temos: 
h
uu
u
hu
hdx
ud ij
ji


11 (6. 233) 
E 
 22
2
21 jjii uuuuhdx
ud





 (6. 234) 
Se 
ji uh
xu
h
xu 




  1 (6. 235) 
então 
2
2
2
2
2 121 jjii uh
xuu
h
x
h
xu
h
xu 









 




  (6. 236) 
E 
dxu
h
xuu
h
x
h
xu
h
x
h
uuuu
I
h
jjii
ijij



























 




 


0
2
2
2
2
2
22
121
)2(
2
1
 
(6. 237) 
 382 
 
dxu
h
xuu
h
x
h
xu
h
x
h
xx
h
uuuu
I
h
jjii
ijij





























0
2
2
2
2
2
2
2
1
0
2
22
221
2
1)2(
2
1
 
(6. 238) 
 
2
0
2
3
0
2
32
2
2
3222
332
2
32
2
2
1
2
)2(
j
h
ji
h
i
h
o
ijij u
h
xuu
h
x
h
xu
h
x
h
xx
h
uuuu
I 














 
(6. 239) 
 



  2222
36
2
32
1)2(
2
1
jjiiijij u
huuhuhuuuu
h
I (6. 240) 
Então as condições são: 
0
33
2
2
1)22(
2
1



 


jiji
i
uhuhuu
hu
I (6. 241) 
 
0
33
2
2
1)22(
2
1



 


jiji
j
uhuhuu
hu
I (6. 242) 
 
0
3
1
6
1
0
6
1
3
1





 




 





 




 
ji
ji
uh
h
uh
h
uh
h
uh
h (6. 243) 
Na forma matricial temos: 





























 




 





 




 
0
0
3
1
6
1
6
1
3
1
j
i
u
u
h
h
h
h
h
h
h
h (6. 244) 
onde 
 383 



















4
3
~
3
3
2
~
2
2
1
~
1 ;;
u
u
U
u
u
U
u
u
U (6. 245) 
 
Considerando que o elemento 1 é limitado pelos nós 1 e 2, correspondentes a x = 0 e x = h, 
pode-se escrever: 
0
~
1
~
1 UK (6. 246) 
ou 





























 




 





 




 
0
0
3
1
6
1
6
1
3
1
2
1
u
u
h
h
h
h
h
h
h
h (6. 247) 
 Para o elemento 2, limitado pelos nós 2 e 3, correspondentes e x = h e x = 2h. 
Assim: 
0
~
2
~
2 UK (6. 248) 
ou 





























 




 





 




 
0
0
3
1
6
1
6
1
3
1
2
1
u
u
h
h
h
h
h
h
h
h (6. 249) 
 Para o elemento 3, limitado pelos nós 3 e 4, correspondentes e x = 2h e x = 3h. 
Assim: 
0
~
3
~
3 UK (6. 250) 
 384 
ou 





























 




 





 




 
0
0
3
1
6
1
6
1
3
1
4
3
u
u
h
h
h
h
h
h
h
h (6. 251) 
Observe que: 
3
~~
2
~
1 KKK  (6. 252) 
 Agrupando as matrizes 




















































 




 





 




 




 





 




 




 





 




 
0
0
0
0
3
1
6
100
6
1
3
12
6
10
0
6
1
6
12
6
1
00
6
1
3
1
4
3
2
1
u
u
u
u
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
 (6. 253) 
Como u1 = 0 e u4 = 1, o sistema se reduz à: 





 




 




 





 




 
6
1
3
12
6
1
0
6
1
3
12
32
32
h
h
uh
h
uh
h
uh
h
uh
h (6. 254) 
Substituindo h = 1/3 obtém-se: 
609750,0
288546,0
3
2


u
u
 (6. 255) 
 A solução analítica é: 
1)( 




ee
eexu
xx
. (6. 256) 
e 
 385 
610243,0)3/2(
288921,0)3/1(


xu
xu
. (6. 257) 
 
6. 12 – Um Caso Especial de Elementos Finitos 
 Seja a sentença de resíduos ponderados de caráter global (onde as funções de 
aproximação são válidas em  e em ): 
0   
 
 dwdw ll . (6. 258) 
Para o caso onde os erros cometidos são dados por: 
No domínio: 
 L (u ) – b (6. 259) 
E no contorno: 
 S (u ) – g (6. 260) 
Sendo: 




1
1
M
m
mm Nuu (6. 261) 
no domínio: 
 L(


1
1
M
m
mmNu ) – b em  (6. 262) 
e no contorno: 
 S(


1
1
M
m
mmNu ) - g em  (6. 263) 
Como L e S são operadores lineares temos: 
no domínio: 
 386 
 


1
1
M
m
mu L(Nm) – b em  (6. 264) 
e no contorno: 
 


1
1
M
m
mu S(Nm) - g em  (6. 265) 
 Se o domínio  é dividido em E subdomínios, e, tais que: 



E
e
e
1
 (6. 266) 
E se, em correspondência a divisão do domínio, o contorno, , é dividido em B partes, b tais 
que: 



B
b
b
1
 . (6. 267) 
 A sentença de resíduos ponderados de caráter global é substituída por: 
0
11
 

blb
B
b
ele
E
e
dwdw
b
e b
e
 
 
 (6. 268) 
onde as funções de aproximação são definidas localmente, sendo válidas somente para e e b 
não mais para  e . Logo, a sentença de resíduos ponderados local é dada por: 
0  bleele dwdw b
e b
e
 
 
 (6. 269) 
Portanto, temos: 




1
1
M
m
mue L (Nm) - b em e (6. 270) 
e no contorno 




1
1
M
m
mue S(Nm) = g em b (6. 271) 
 A sentença de resíduos ponderados global fica: 
 387 




E
e
M
m
mle uw
e 1
1
1
[

L (Nm) – b]de = 0 (6. 272) 
 A sentença de resíduos ponderados local fica: 



1
1
[
M
m
mle uw
e
L (Nm) – b]de = 0 (6. 273) 
6.8.1 – Método da Colocação por Subdomínios Modificado 
 Se a função de ponderação wl for a função Delta de Dirac temos: 
0)()(
11
 

bl
B
b
el
E
e
dxxdxx
b
e b
e
 
 
 (6. 274) 
Temos: 
l
blb
b
l
ee
e
xx
B
b
b
B
b
l
xx
E
e
el
E
e
dxx
dxx


 
 


11
11
)(
)(






. (6. 275) 
 Logo, a sentença de resíduos ponderados fica: 





E
e
M
m
muelel
1
1
1
[  L lxxmN )( -b]+ 



B
b
M
m
mu
1
1
1
[ S
lxxmN )( -g]= 0 (6. 276) 
 Para o caso do operador L dado pela seguinte equação diferencial: 
0)(2
2
 u
dx
xud
 (6. 277) 
Definida em [0 ; 1] e com condições de contorno naturais dado pelo operador S, temos: 
0
1
2
2
1
1
1












 










ll
elel
xx
m
Bbxx
m
m
E
e
M
m
m gdx
dNN
dx
Ndu 
 
(6. 278) 
 388 
Para este caso precisamos definir derivadas de ordem superiores contínuas, isto nos leva a 
definir funções de interpolação para elementos finitos quadráticos. Ou se preferir, utilizamos 
elementos lineares, porém, é necessário utilizar a Formulação Fraca dos Resíduos 
Ponderados. 
6.8.2 – Formulação Fraca do Método dos Resíduos Ponderados para os 
Elementos Finitos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 389 
6.8.4 – Método das Diferenças Finitas 
 A sentença de resíduos ponderados global é dada por: 
0

  dwl (6. 279) 
 Para um domínio  discretizado em E elementos temos: 
0
1

 e
e ele
E
e
dw

  (6. 280) 
 Logo, a sentença de resíduos ponderados local é dada por: 
0
e
e ele dw

  (6. 281) 
Para o caso onde 

e
 L (u )-b (6. 282) 
e 




1
1
M
m
mm Nuu (6. 283) 
Onde 




1
1
M
m
mu L (Nm) - b = 0 (6. 284) 
 A sentença de resíduos ponderados global fica: 

e
lew

[ 


1
11
M
m
m
E
e
u L (Nm) – b]de = 0 (6. 285) 
 A sentença de resíduos ponderados local fica: 



1
1
[
M
m
mle uw
e
L (Nm) - b]de = 0 (6. 286) 
 Se a função de ponderação wl for a função Delta de Dirac a sentença de resíduos 
ponderados loca fica: 
 390 
0)(  el
e
e el dxx 

  (6. 287) 
ou 
)( lxx
e


 [


1
1
M
m
mu L (Nm) - b] 



1
1
M
l
le ud L (Nl) - b = 0 (6. 288) 
A sentença global fica: 
 


E
e
el
E
e
ele
e
dxx
11
)( 

 (6. 289) 
Ou 
)(
1
l
E
e
xx
e
 
 
 [


1
1
M
m
mu L (Nm) – b] 



1
1
M
l
le ud L (Nl) - b= 0 (6. 290) 
Logo a sentença de resíduos ponderados fica: 




1
111
M
l
l
E
e
E
e
u
ell 
 L (Nl) – b= 0 (6. 291) 
 Para o caso do operador L dado pela seguinte equação diferencial: 
0)(2
2
 u
dx
xud
 (6. 292) 
Definida em [0 ; 1] e com condições de contorno naturais dado pelo operador S, temos: 
02
2
1
1
1











l
el
xx
m
m
E
e
M
m
m Ndx
Ndu (6. 293) 
Escrevendo para um elemento e genérico temos: 
02
21
1











l
el
xx
e
m
e
m
M
m
m Ndx
Ndu (6. 294) 
 Substituindo de (6. 339) a (6. 341) e de (6. 202) a (6. 204) em (6. 278) temos: 
 391 
0)(12 22
1
1














 





lxx
e
l
e
M
m
m
h
xx
h
u (6. 295) 
E 
0
2
22
2
2 1
22
1
2 










 
l
l
ee
ll
e
uu
hh
uu
h
 (6. 296) 
logo 
02
2
)(
2
)(
2
11 


 
 
le
llll u
h
uuuu (6. 297) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 392 
6. 13 – Exercícios e Problemas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 393 
Projeto Condução de Calor em Placa Rugosa Fractal 
Malha PlacaLisa Inicial (tang,,1/tang,,1/Plot/mesh) 
 
Malha PlacaLisa Inicial (tang,,1/tang,,1/Plot/node) 
 394 
 
 
 
 
 
 
Malha PlacaLisa Inicial (tang,,1/tang,,1/Plot/boun) 
 395 
 
 396 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 397 
Apêndices 
A. 1 – Funções de Interpolação Local Lineares 
 Na sentença básica de resíduos ponderados aparecem derivadas de ordem dois, 
consequentemente, é necessário que as funções de aproximação possuam derivadas de ordem 
um contínuas. Na forma fraca, essa exigência é amenizada porque as derivadas de ordem mais 
alta são as derivadas primeiras. Assim, é necessário que as funções de aproximação possuam 
derivadas de ordem zero contínuas, ou seja, é necessário que as funções sejam contínuas. 
 Adotando uma variação linear, pode-se escrever, para cada elemento: 
e
ijieu   . (6. 298) 
Ou matricialmente 







j
ie
ieu 

 ]1[ . (6. 299) 
Onde 
e
i
e xx
i
 . (6. 300) 
 398 
 
 Figura - 6. 5. Elemento Finito linear entre dois pontos. 
 Aplicando aos pontos nodais i e j, temos: 
e
jij
ii
hu
u




. (6. 301) 
Onde matricialmente temos: 
~~~
CU e  (6. 302) 
ou 
~~~ 1
01



C
hu
u
U
j
i
e
j
ie 

















 . (6. 303) 
 Invertendo a expressão (6. 217) anterior, obtém-se: 



















j
i
e
e
j
i
u
uh
h 11
01


. (6. 304) 
Combinando-se as expressões (6. 214) com (6. 218), tem-se: 
  













j
i
e
e
e
ie u
uh
h
u
11
011  (6. 305) 
Ou 
  






j
ie
i
e
ee u
u
xh
h
u )(1  (6. 306) 
Logo 
 399 
j
e
i
i
e
i
e uh
u
h
u  





 1 (6. 307) 
Ou ainda 
j
e
ji
e
ie uNuNu  (6. 308) 
Onde 















e
i
e
j
e
i
e
e
ie
j
e
i
e
j
e
j
e
e
i
e
e
ie
i
xx
xx
h
N
xx
xx
h
xx
h
N
)(
)(11


 ji xxx  (6. 309) 
 A derivada primeira de eu é: 
j
e
j
i
e
ie u
dx
dN
u
dx
dN
dx
ud
 (6. 310) 
De (6. 300) para ei
e xx
i
 temos: 




























dx
dx
u
u
hh
u
dx
dx
h
u
dx
dx
hdx
ud ei
j
i
eej
e
i
ei
e
i
e
e 1111111
 
(6. 311) 
Ou matricialmente 
~
,
~~~
T
x
Tee
x
e NUUN
dx
ud
 (6. 312) 
onde 
~
,
x
e
ji N
dx
dN
 (6. 313) 
 Na formação do sistema de equações (6. 18), as contribuições de um elemento 
típico e, associado aos nós i e j, quando se adota uma aproximação local linear, podem ser 
calculados de uma maneira geral, levando em conta a equação (6. 14) e (6. 19). Para o 
elemento e: 
 400 
e
ee
ii h
NN  1 (6. 314) 
 
e
ee
jj h
NN  (6. 315) 
Onde 
jiij
ee
i
e
i xxxxxhxx  ;; (6. 316) 
Cujas derivadas são: 







dx
dx
hdx
d
hdx
dN
dx
dN ei
e
i
e
e
ii 111  (6. 317) 
e 







dx
dx
hdx
d
hdx
dN
dx
dN ei
e
i
e
e
jj 111  (6. 318) 
 
 
Figura - 6. 6. Estruturação unidimensional dos Elementos Finitos. 
 Observe que para um único elemento finito, temos: 
 401 
e
ij
ee
i
e
i hxxxhxxxx  0;;0 (6. 319) 
E neste caso: 
e
e
i
e
e
ii
hdx
d
hdx
dN
dx
dN 11

 (6. 320) 
e 
e
e
i
e
e
jj
hdx
d
hdx
dN
dx
dN 11

 (6. 321) 
 Do ponto de vista global, as únicas funções de aproximação não nulas do 
elemento e são as funções Ni e Nj; consequentemente, Nl = 0 se il  ou se jl  . De 
maneira geral, Nl = 0 se l ao elemento e.402 
A. 2 – Funções de Interpolação Local Quadráticas 
 Na sentença básica de resíduos ponderados aparecem derivadas de ordem dois, 
consequentemente, é necessário que as funções de aproximação possuam derivadas de ordem 
um contínuas. Neste caso, devemos utilizar elementos quadráticos para as funções de 
interpolação. 
 Adotando uma variação quadrática, pode-se escrever, para cada elemento: 
2
ekejieu   . (6. 322) 
Ou matricialmente 











j
j
i
eeeu



 ]1[ 2 . (6. 323) 
Onde 
ee xx  . (6. 324) 
 
 Figura - 6. 7. Elemento Finito Quadrático entre três pontos 
 Aplicando aos pontos nodais i e j, temos: 
2e
k
e
jik
e
jij
ii
hhu
hu
u






. (6. 325) 
Onde matricialmente temos: 
 403 
~~~
CU e  (6. 326) 
ou 
~~2~
1
01
001




C
hh
h
u
u
u
U
k
j
i
ee
e
k
j
i
e 































 . (6. 327) 
 Invertendo a expressão (6. 217) anterior, obtém-se: 
 


































k
j
i
ee
ee
e
e
k
j
i
u
u
u
hh
hh
h
h 0
0
00
1 22
3
3



. (6. 328) 
Combinando-se as expressões (6. 214) com (6. 218), tem-se: 
























k
j
i
ee
ee
e
eeee
u
u
u
hh
hh
h
h
u
0
0
00
1]1[
22
3
3
2 (6. 329) 
Ou 











k
j
i
e
e
e
e
e
e
e
e
e
u
u
u
hhhh
u ]1[ 2
2
2
2  (6. 330) 
Logo 
ke
e
je
e
e
e
iee u
h
u
hh
uu 2
2
2
2
)()1(   (6. 331) 
Ou ainda 
k
e
kj
e
ji
e
ie uNuNuNu  (6. 332) 
Onde 
 404 













2
2
2
2
1
e
ee
k
e
e
e
ee
j
e
e
i
h
N
hh
N
N



 ehx 0 (6. 333) 
 A derivada primeira de eu é: 
k
e
k
j
e
j
i
e
ie u
dx
dNu
dx
dN
u
dx
dN
dx
ud
 (6. 334) 
E 
dx
d
u
u
u
hhhdx
ud
u
dx
d
h
u
dx
d
hh
u
dx
d
dx
ud
e
k
j
i
e
e
e
e
e
e
k
e
e
e
j
e
e
e
ei
ee


































22
22
2211
221
 (6. 335) 
Ou matricialmente 
~
,
~~~
T
x
Tee
x
e NUUN
dx
ud
 (6. 336) 
onde 
~
,
x
e
ji N
dx
dN
 (6. 337) 
 Na formação do sistema de equações (6. 18), as contribuições de um elemento 
típico e, associado aos nós i e j, quando se adota uma aproximação local quadrática, podem 
ser calculados de uma maneira geral, levando em conta a equação (6. 14) e (6. 19). Onde 
e
ij
e
ii hxxxhxx  0;; (6. 338) 
Para o elemento e: 
 405 
ie
e
ii xxNN  11  
ehx 0 (6. 339) 
e 
2
2
2
2 )()(
e
i
e
i
e
e
e
ee
jj
h
xx
h
xx
hh
NN   ehx 0 (6. 340) 
e 
2
2
2
2 )(
e
i
e
ee
kk
h
xx
h
NN   
ehx 0 (6. 341) 
Cujas derivadas são: 
dx
d
dx
dN ei  (6. 342) 
e 





 




 







dx
dx
h
xx
hdx
d
hhdx
dN
dx
dN i
e
i
e
e
e
e
e
e
ij 1)(2121 22

 (6. 343) 
e 





 




 

dx
dx
h
xx
dx
d
hdx
dN
dx
dN i
e
ie
e
e
e
kk 1)(22 22

 (6. 344) 
E as derivadas segundas são: 
2
2
2
2
2
2
2
2
dx
xd
dx
d
dx
Nd
dx
Nd ie
e
ii 
 (6. 345) 
e 
2
2
2
2
22
2
2
2
22
2
2
2 212212
dx
xd
h
x
hdx
dx
hdx
d
hhdx
d
hdx
Nd
dx
Nd i
e
i
e
i
e
e
e
e
e
e
e
e
jj

























 (6. 346) 
e 





























 2
22
22
22
22
2
2
2
)(2121221
dx
xd
xx
dx
dx
hdx
d
dx
d
hdx
Nd
dx
Nd i
i
i
e
e
e
e
e
e
kk 
 (6. 347) 
 406 
 
Observe que para um único elemento finito, temos: 
xxxh ij
e
e  (6. 348) 
E neste caso: 
xNN eii  1 
ehx 0 (6. 349) 
e 
2
2
ee
e
jj
h
x
h
xNN  ehx 0 (6. 350) 
e 
2
2
e
e
kk
h
xNN  
ehx 0 (6. 351) 
E as derivadas primeiras são: 
1
dx
dN
dx
dN eii (6. 352) 
e 






 2
21
ee
e
ij
h
x
hdx
dN
dx
dN
 (6. 353) 
e 
22
22
e
e
e
e
e
kk
h
x
dx
d
hdx
dN
dx
dN


 (6. 354) 
E as derivadas segundas são: 
02
2
2
2
2
2
2
2

dx
xd
dx
d
dx
Nd
dx
Nd e
e
ii  (6. 355) 
 
 407 
22
2
2
2
22
2
2
2
22
2
2
2 2212212
eeee
e
e
e
e
e
e
e
jj
hdx
xd
h
x
hdx
dx
hdx
d
hhdx
d
hdx
Nd
dx
Nd

























 
(6. 356) 
e 
2
2
22
22
22
2
2
2 20221221
ee
e
e
e
e
e
kk
h
x
dx
dx
hdx
d
dx
d
hdx
Nd
dx
Nd
































 (6. 357) 
e 
 
Figura - 6. 8. Estruturação unidimensional dos Elementos Finitos Quadráticos. 
 Do ponto de vista global, as únicas funções de aproximação não nulas do 
elemento e são as funções Ni e Nj; consequentemente, Nl = 0 se il  ou se jl  . De 
maneira geral, Nl = 0 se l ao elemento e. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 408 
A. 3 – Tutorial para entrar no ENGTERM9 via WebtermXpower 
Plugin 
 Ao iniciar o curso de Elementos Finitos I, você deve possuir uma conta na Rede 
do Departamento de Engenharia Mecânica a ser adquirido por cadastro via homepage: 
http://demec.ufpr.br/ ou por contato direto com o técnico do LENA, por email 
(osmar@demec.ufpr.br) ou pessoalmente na sala 7-25 do DEMEC. Onde você obterá: 
Nome do usuário: 
Senha: xxxxxx 
para se logar em qualquer máquina do Laboratório de Fenômenos de Transporte do Grupo de 
energia e Ciências Térmicas do Prof. Dr. Ing. Jose Viriato Coelho Vargas onde você terá suas 
aulas. 
 Após esta providência você deve esperar que o Prof. Vargas habilite o seu ascesso 
ao sistema Linux engterm9 (computador do seu grupo de pesquisa) onde ele criar uma área 
para você trabalhar como o FEAP no ambiente Linux. Ele criará um 
Login: SeuNome 
Password: xxxxxxx 
 Após essas etapas você estará apto a usar o seguinte tutorial: 
1 – Logando-se na rede do DEMEC 
 No local das aulas de Elementos Finitos I (Laboratório de Fenômenos de 
Transporte) escolha uma das máquinas para trabalhar: 
 Ligue a máquina e espere carregar o windows, entre com: 
Nome do usuário: 
Senha: xxxxxx 
e tecle enter. 
2 – Abrindo a Tela do Command Prompt C:\ 
 No Iniciar do windows, selecione Todos os programas, Acessórios, Prompt de 
Comando onde abriaruma janela de fundo preto tipo: DOS. 
 Como você sempre repetirá esse passo, você pode clicar com o botão direito do 
seu mouse e criar um atalho duplicado com o comando Copiar e em seguida colar esse Atalho 
para a sua área de trabalho. Se desejar você pode arrastar o atalho criado na área de trabalho 
da sua máquina para a Barra de Tarefas para que, quando você estiver trabalhando com as 
 409 
janelas todas abertas, você sempre poderá voltar a Tela Preta do Prompt de Comando clicando 
sobre o atalho. 
3 – Entrando na engterm9 
 Dentro da Janela de Fundo Preto do prompt de comando 
C:\ 
 
 Figura - A. 1. 
E digite: 
C:\ telnet engterm9 
aparecerá a seguinte linha de comando: 
login: 
digite o login criado pelo prof. Vargas para você e tecle enter. Em seguida aparecerá uma 
linha de comando: 
password 
digite o password que o prof. Vargas criou você e tecle enter. 
 Em seguida você entrará na engterm9. Você saberá que entrou porque o seu 
prompt de comando mudará para, algo com o engterm9 seguido de seu nome: 
engterm9~> 
lembre-se tudo isso acontecerá dentro da Janela de Fundo Preto do prompt de comando 
 410 
4 - Habilitando a janela do engterm9 dentro da sua máquina em uso 
 Após a operação acima saia um pouco da janela clicando com o seu mouse fora no 
Iniciar do windows, selecione Todos os programas, e procure um ícone com o 
nome: 
WebtermXpower Plugin,wtxvz 
Clique nele e aparecerá um ícone quadrado amarelo no canto inferior direito da sua máquina 
em uso (lembre-se isso acontecera na barra de tarefas da janela do windows e não da tela preta 
anterior). 
5 - Voltando a janela do engterm9 dentro da sua máquina em uso 
 Vote a Janela de Fundo Preto do prompt de comando clicando com o mouse 
sobre ela, 
SeuNome@ engterm9 ~]$ 
e digite: 
SeuNome@ engterm9 ~]$ csh 
e tecle enter. 
 Em seguida digite: 
SeuNome@ engterm9 ~]$ setenv DISPLAY 200.17.8.XX:0.0 
OBS: XX corresponderá ao IP da sua máquina. Caso você não souber e não houver nenhuma 
informação etiquetada na CPU da sua máquina abra uma outra Janela de Fundo 
Preto do prompt de comando 
C:\ 
e digite: 
C:\ ipconfig 
E tecle enter. 
 Ao acionar esse comando aparecerá na mesma janela o IP de identificação da sua 
máquina. Copie-o e use no comando anterior. 
 Voltando a situação anterior, digite: 
SeuNome@ engterm9 ~]$ env 
e tecle enter. 
 Após esse comando você saberá se você habilitou o DISPLAY de saída para a sua 
maquina ou se foi para outra. Procure saber se você está com o IP correto e sentado na 
mesma máquina de resposta desse comando. Se for a mesma máquina, então parabéns você 
 411 
acertou e pode prosseguir. Se não, volte ao último passo que você acertou e recomece no 
passo seguinte. 
6 – Alterando arquivos na janela do engterm9 
 Só na primeira vez que você entrar na engterm9 que você executará esse passo 6, 
depois o esqueça, porque você não precisará dele nunca mais. 
 Na janela Janela de Fundo Preto do prompt de comando, na linha 
de comando: 
SeuNome@ engterm9 ~]$ 
 
digite: 
SeuNome@ engterm9 ~]$ emacs . bash-profile & 
e tecle enter. 
 Observe os espaços em branco entre as palavras, não evite-os! pois farão falta 
porque o Linux é sensível ao tipo de tecla, se maiúscula ou minúscula ou, se falta qualquer 
letra ou caractere ou especo em branco. 
 Essa operação (comando) abrirá uma outra janela similar a da Janela de 
Fundo Preto do prompt de comando porém com bordas cinza e tarja superior azul 
e fundo branco. Essa é a janela do emacs@engterm9.demec.ufpr.br. Este último 
comando abrirá um aplicativo com menus de trabalho de edição de texto e etc., para o 
engterm9 e para o FEAP. 
 Em baixo dessa nova janela emacs na linha de comando: 
PATH = BIN 
digite: 
PATH = BIN :. 
E salve o arquivo usando o mouse e clicando no menu da janela emacs, em Arquivo, Save 
Buffer. Após esse comando na linha em baixo no final da janela emacs aparecerá a linha de 
comando Wrote dizendo que o arquivo criado foi escrito com o nome “ ” 
 Após essa operação feche todas as janelas (WebtermXpower Plugin e a 
Janela de Fundo Preto do prompt de comando) e entre de novo no sistema 
engterm9 por meio dos passo de 2 a 5 descritos anteriormente. 
 412 
7– Abrindo o aplicativo xterm na janela do engterm9 
 Se você refez do passo 2 até o 5 você estará com prompt de comando na janela do 
Janela de Fundo Preto do prompt de comando da seguinte forma: 
SeuNome@ engterm9 ~]$ 
digite 
SeuNome@ engterm9 ~]$ xterm & 
e tecle enter. 
 Esse comando abrirá uma terceira janela branca com bordas cina e tarja superior 
azul onde aparecerá um prompt de comando igual a da Janela de fundo preto porém com um 
quadrado amarelo no canto superior esquerdo (WebtermXpower Plugin): 
SeuNome@ engterm9 ~]$ 
 
 
 Figura - A. 2. 
OBS: 
 Use a janela xterm” para trabalhar nas aulas seguinte a primeira aula. 
 
 
 
 
 413 
A. 4 – Tutorial para entrar no ENGTERM9 via VNC Server 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 414 
A. 5 – Manual de Operação do Programa FEAP-Linux 
 Para operar o FEAP você deve executar o tutorial anterior do passo 1 até o 5, e na 
janela do Janela de Fundo Preto do prompt de comando a seguinte situação: 
SeuNome@ engterm9 ~]$ 
digite o comando: 
SeuNome@ engterm9 ~]$ xterm & 
e tecle enter. 
 Esse comando repete o passo 7 e habilitará a janela do WebtermXpower 
Plugin com bordas cinzas e fundo branco. Você usará essa janela para trabalhar. As 
operações que se seguirão abaixo. 
1 – Obtendo o arquivo classe.tar.gz 
1.1 - No prompt de comando SeuNome@ engterm9 ~]$ digite: 
SeuNome@ engterm9 ~]$ cd ~jvargas 
e tecle enter. 
 Esse comando fará você entrar no diretório do prof. Vargas na máquina engter9 
via o telnet que você já habilitou pela máquina que você esta usando neste exato momento. 
Então aparecerá: 
SeuNome@ engterm9 ~]$ 
 Observe que como você mudou de diretório aparecerá o nome do prof. vargas 
ligado ao prompt de comando da engterm9. 
1.2 - Neste situação digite: 
SeuNome@ engterm9 ~]$ cp classe.tar.gz ~Seunome 
observe que no lugar de Seunome digite seu nome (obvio)!. 
 Esse último comando copiará o arquivo classe.tar.gz para o seu diretório. 
1.3 - Em seguida volte ao seu diretório (diretório anterior) digitando o comando: 
SeuNome@ engterm9 ~]$ cd 
e tecle enter. 
 Veja que agora você estará novamente no seu diretório onde aparecerá o seu 
prompt de comando já conhecido: 
SeuNome@ engterm9 ~]$ 
 Se você quiser saber se você obteve sucesso na sua última tarefa de copiar o 
arquivo classe.tar.gz para o seu diretório você pode digitar o comando: 
 415 
SeuNome@ engterm9 ~]$ ls 
e tecle enter 
 Você verá na listagem dos arquivos o arquivo classe.tar.gz. Se não 
verifique onde errou e repita a operação. 
2 – Decompactando o arquivo classe.tar.gz 
 Descompacte o arquivo classe.tar.gz. digitando o seguinte comando: 
SeuNome@ engterm9 ~]$ gunzip classe.tar.gz 
e tecle enter. 
 Esse comando descomapactará o arquivo classe.tar.gz. para o arquivo 
classe.tar. Você pode verificar se obteve sucesso digitando: 
SeuNome@ engterm9 ~]$ ls 
e verificando o conteúdo do seu diretório. 
3 – Desaglutinando o arquivo classe.tar 
 Você deve desaglutinar o arquivo classe.tar para obter os arquivos que estão 
dentro desse arquivo porém de forma separada (individual). Para isso digite: 
SeuNome@ engterm9 ~]$ tar – xvf classe.tar 
e tecle enter. 
 Esse comando separará uma arquivo do outro obtendo vários arquivos individuais. 
4 – Compactando o arquivo classe.tar 
 Você agora deve recompactaro arquivo classe.tar para você manter um 
cópia em backup para ser utilizada (recompor os arquivos) caso haja alguma perda durante as 
operações futuras. Para isso digite o comando 
SeuNome@ engterm9 ~]$ gzip classe.tar 
e tecle enter. 
 Esse comando fará com que você obtenha uma cópia idêntica a aquela do diretório 
do prof. Vargas e não terá mais que incomodá-lo caso você precise desse arquivo de novo. Ou 
seja, você não precisará entrar mais no diretório do prof. Vargas para pegá-lo novamente. 
Talvez, isso nem seja possível no futuro porque ele habilitou a sua entrada no diretório dele 
apenas para você pegar o arquivo classe.tar.gz uma primeira vez, na primeira aula. Isso 
é uma questão de segurança pessoal para a máquina do prof. Vargas. 
 416 
 Se você obteve sucesso o seu diretório possuirá agora tanto o arquivo original 
compactado (classe.tar.gzip) como os arquivos descompactado (classe.tar) e os 
arquivos individuais desaglutinados (*.o). Esse arquivos serão aqueles arquivos a serem 
utilizados pelo durante o curso. 
5 – Verificando se foi criado o diretório Feap.d 
 No seu diretório digite o comando 
SeuNome@ engterm9 ~]$ ls 
e tecle enter. 
 Esse comando listará o conteúdo do seu diretório. 
6 – Entrando no Diretório Diretório Feap.d 
 No seu diretório digite o comando 
SeuNome@ engterm9 ~]$ cd Feap.d 
e tecle enter. 
 Esse comando transferirá seu prompt para o diretório Feap.d. 
 
 Figura - A. 3. 
 
 
 417 
7 – Compilando o arquivo feap.f 
 Agora você deve compilar o arquivo feap que está em FORTRAN – 77. 
 No diretório Feap.d digite o comando 
SeuNome@ engterm9 ~Feap.d]$ feap.f: f77 –c –O feap.f 
e tecle enter. 
 Esse comando compilará o arquivo feap.f. 
8 – Entrando no Diretório Elmts 
 No diretório Feap.d digite o comando 
SeuNome@ engterm9 ~Feap.d]$ cd Elmts 
e tecle enter. 
 Esse comando transferirá seu prompt para o diretório Elmts. 
9 – Criando o Programa Fonte em C 
 No diretório Elmts digite o comando 
SeuNome@ engterm9 ~Elmts]$ f2c *.f 
e tecle enter. 
 Esse comando criará o feap em linguagem C. 
 
10 – Compilando em C 
 No diretório Elmts digite o comando 
SeuNome@ engterm9 ~Elmts]$ gcc –c –O *.c 
e tecle enter. 
 Esse comando compilará o feap em linguagem C. 
11 – Voltando para o Diretório Feap.d 
 No diretório Elmts digite o comando 
SeuNome@ engterm9 ~Elmts]$ cd .. 
e tecle enter. 
Esse comando transferirá seu prompt para o diretório Feap.d. 
 
 418 
12 – Criando o Arquivo executável do programa 
 No seu diretório digite o comando 
SeuNome@ engterm9 ~Feap.d]$ make 
e tecle enter. 
Esse comando criará um arquivo feap executável. 
13 – Copiando o arquivo exemplo no diretório input files 
13.1 - No diretório Feap.d digite o comando 
SeuNome@ engterm9 ~Feap.d]$ cd inputfiles 
e tecle enter. 
 Esse comando transferirá seu prompt para o diretório inputfiles. 
13.2 - Na linha de comando digite 
SeuNome@ engterm9 ~Feap.d]$ cp Idisk .. 
e tecle enter. 
 Esse comando copiará o arquivo Idisk para o diretório Feap.d 
13.3 - Na linha de comando digite 
SeuNome@ engterm9 ~Feap.d]$ cd .. 
e tecle enter. 
Esse comando transferirá seu prompt para o diretório Feap.d. 
 
14 – Executando o Programa “Feap” e rodando o exemplo “Idisk” 
 No diretório Feap.d digite o comando 
SeuNome@ engterm9 ~Elmts]$ feap 
e tecle enter. 
 Esse comando executará o feap executável criado em linguagem C. e aparecerá a 
seguinte tela: 
 419 
 
 Figura - A. 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 420 
A. 6 – Manual de Comandos Internos do Programa FEAP-Linux 
 Após iniciar o programa feap você pode utilizar os seguintes comandos: 
15 – Executando o Programa “Feap” e rodando o exemplo “Idisk” 
 A primeira coisa que se vê depois de iniciar o programa feap é um diálogo 
pedindo os nomes dos arquivos de entrada. O arquivo Idisk que você copiou previamente é 
um arquivo de entrada. 
 
 Figura - A. 5. 
 Dado este arquivo feap como arquivo de entrada e fazendo default as próximas 
três linhas requerido (apenas tecle enter para cada um dos prompt de comando). Quando este 
pedir para você especificar o dispositivo gráfico, digite 7 para este, e faça default para o 
arquivo de dados do plot. Depois que você tem dado toda esta informação e verificado elas, o 
feap processará os dado de entrada dados no arquivo Idisk e eventualmente aparece um 
prompt de comando rotulado da seguinte forma: 
List 1 Macro> 
Este prompt indica que o feap está pronto para resolver o problema, o qual você pode 
interativamente fazer pelos ..... de vários comando “Macros” (veja o .... acompanhado o 
parágrafo §7). 
 421 
16 – Calculando a Matriz de Rigidez e Resolvendo o Sistema Linear 
 Com um exemplo, no prompt acima digite 
List 1 Macro>tang,,1 
 Como descrito em ……. Mais detalhe em outro ……. , este comando instrui o 
feap a computar a matriz de rigidez, calcula o vetor do lado direito e resolve o resultado do 
sistema linear (este é pequeno, assim ele requer pouco tempo). 
 Observe o valor do ..... se não estiver próximo de zero repita o comamndo 
List 1 Macro>tang,,1 
17 – Usando o Comando Help no Modo Macro de Comando 
 Em qualquer tempo enquanto neste modo de “macro de entrada”, você pode 
digitar help para obter uma lista de comandos disponíveis. Depois de visualizar esta lista, 
digite 
List 1 Macro>help,nomedocomando 
E dará a você uma instrução de entrada especifica para o comando em questão. 
18 – Exibindo os Gráficos e as Figuras na Tela 
 Para mostra a figura das malhas e outras saídas gráficas sobre a tela, .... o 
camando macro plot. 
List 1 Macro>plot 
 O comando abrirá separado uma janela-X em sua tela (desde que você esteja 
trabalhando no console da workstation), a qual você pode posicionar como desejado usando o 
mouse. Agora que você tem entrado no “modo plot” do FEAP, o qual é indicado pelo seguinte 
prompt de comando 
Plot 1 Macro> 
19 – Explorando o Modo Plot de Comando 
Você pode retornar ao modo macro de comando depois que você tem terminado o gráfico 
digitando end. Mas enquanto isso, explore alguns dos seguintes comando de plotagem: 
Plot 1 Macro> 
mesh (mostra a malha) 
node (plota todos os nós da malha) 
boun (mostra as condições de contorno) 
 422 
wipe (limpa a janela gráfica) 
cont,n (plota o contorno de n sobre a malha) 
stre,n (plota o contorno da tensão n, sobre a malha) 
Alguns outros comando de plotagem podem ser explorados digitando help no prompt do 
plot. 
 
 
 Figura - A. 6. 
 
20 –Explorando o Modo Macro de Comando 
 Depois de retornar ao modo macro de comando, explore o uso de: 
List 1 Macro> 
reac (imprime as forces nodais) 
disp (imprime os delocamentos nodais) 
stre,,e (imprime as tensões no elemento e) 
 
 423 
 
 
 
21 – Saindo de FEAP 
 Quando terminar, digite quit para sair do FEAP 
List 1 Macro>quit 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 424 
A. 7 – Como preparar um Arquivo de Entrada do Programa 
FEAP-Linux 
 Para digitar um arquivo de entrada do FEAP você utilizará o aplicativo emacs 
cuja tela é mostrada na 
 
 Figura - A. 7. 
 
 
 
 
 425 
5 - Introdução ao FEAP 
 FEAP é um código de análise de elementos finitos, interativo desenvolvido na UC 
Berkeley por R. L. Taylor para cálculos de elementos finitos gerais de estática e dinâmica. O 
procedimento de solução pode ser resumido como segue: 
 i) Definição do Problema e Malha de Entrada – O FEAP lerá um arquivo de 
entrada descrevendo uma malha, as condições de contorno e o carregamento. Uma breve 
descrição do formato é achado na seção