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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE TECNOLOGIA/SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL/ DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS: , por Lucas Máximo Alves CURITIBA – PARANÁ MARÇO – 2007 2 LUCAS MÁXIMO ALVES MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS: , CURITIBA – PARANÁ MARÇO – 2007 3 LUCAS MÁXIMO ALVES MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS: , Apostila organizada como resultado do estudo das aulas para obtenção de créditos da Disciplina de MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS do curso de Doutorado do Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos do Setor de Tecnologia/Setor de Ciências Exatas, Departamento de Engenharia Civil/Departamento de Matemática da Universidade Federal do Paraná Orientador: Prof. Dr. José Viriato Coelho Vargas Orientador: Prof. Dr. CURITIBA – PARANÁ MARÇO – 2007 4 Dedicatória Dedico, 5 Agradecimentos Agradeço a Deus pelo seu imenso amor e misericórdia revelado nas oportunidades que a vida me trouxe. Quero também agradecer: À minha Família pelo apoio emocional e espiritual, ao meu orientador o Prof. Dr. ....., ao meu Co-Orientador o Prof. Dr. .... , a Maristela Bradil pela amizade e dedicação com que nos atende, aos amigos, ...., .... ...., ......., e toda a galera do CESEC. 6 Epígrafe “vida é um algo multidimensional cuja imprevisível curvatura temporal só é conhecida quando se experimenta os fatos a cada dia e, mesmo assim, não se consegue prever com exatidão a curvatura temporal dos fatos seguintes, mesmo que se expanda esta (a curvatura futura) numa vizinhança em torno do fato no instante presente” (Lucas M. Alves) 7 Sumário Apresentação ............................................................................................................................17 Capítulo – I ...............................................................................................................................18 INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS APROXIMADOS ............................................................18 1. 1 – Objetivos do capítulo......................................................................................................18 1. 2 – Introdução ............................................................................................................18 1. 3 – Motivação e Conceitos Fundamentais ............................................................................19 1. 4 – Simplificação de um Problema Real ..............................................................................19 1. 5 – Tipos de Métodos Numéricos.........................................................................................20 1. 6 – Discretização do Problema .............................................................................................20 1. 7 – Exemplos e Aplicações...................................................................................................21 1. 8 – Equações Diferenciais e Algébricas do Problema..........................................................24 1. 9 – Método dos Elementos Finitos .......................................................................................25 1. 10 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................26 1. 11 – Exercícios e Problemas.................................................................................................27 Capítulo – II..............................................................................................................................28 O PROBLEMA DOS ELEMENTOS FINITOS UNIDIMENSIONAL - 1D ..........................28 2. 1 - Objetivos do capítulo ......................................................................................................28 2. 2 - Introdução ............................................................................................................29 2. 3 – Variações dos Modelos no Método de Elementos Finitos .............................................31 2. 4 – Definição Matemática e Desenvolvimento do Método ..................................................33 2. 5 - O problema 1D forma mais forte (clássica) ....................................................................38 2. 6- Forma Fraca ou Variacional do Problema de Valor de Contorno 1D (P.V.C.) ...............43 2. 7- Equivalência de Formas Forte e Fraca; Condições de Contorno Naturais.......................46 2. 8 - Método de Aproximação de Galerkin .............................................................................52 2. 9- Equações na Forma Matricial (Matriz de Rigidez K) ......................................................56 2. 10 - Exemplo de 1 e 2 graus de Liberdade ...........................................................................61 2. 11 - Espaço de Elementos Finitos Lineares..........................................................................73 2. 12- Propriedades da Matriz de Rigidez K ............................................................................77 2. 13- Análise Matemática........................................................................................................80 2. 14- Interlúdio: Eliminação de Gauss; Versão do Cálculo a Mão .........................................91 2. 15 - O Ponto de Vista do Elemento ......................................................................................99 2. 16- Matriz de Rigidez Elementar e Vetor Forças ...............................................................103 2. 17 - Montagem da Matriz e Vetor Forças Globais .............................................................106 8 2. 18 – Cálculo Explícito da Matriz de Rigidez e do Vetor Forças........................................110 2. 19 - Exemplos e Aplicações Teóricas.................................................................................116 2. 20 - Exercícios e Problemas Teóricos: Teoria da Viga de Euler-Bernoulli e Cúbicas Hermíticas ..........................................................................................................120 2. 21 - Exemplos Práticos e Aplicações .................................................................................127 2. 22 - Exercícios e Problemas Práticos .................................................................................143 Capítulo – III ..........................................................................................................................149 O PROBLEMA BI E TRIDIMENSIONAL - 2D E 3D .........................................................149 3. 1 - Objetivos do capítulo ....................................................................................................149 3. 2 – Introdução ..........................................................................................................149 3. 3 – O problema 2D e 3D.....................................................................................................150 3. 4 – O Problema da Conduçãode Calor Linear Clássica.....................................................152 3. 5 – O Problema da Elasticidade Linear ..............................................................................158 3. 6 – Estado de Tensões Planas e Deformações Planas ........................................................163 3. 7 – Análise Acoplada..........................................................................................................168 3. 8 – Apresentação do Código FEAP....................................................................................169 3. 9 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................170 3. 10 – Exercícios e Problemas...............................................................................................172 Capítulo – IV ..........................................................................................................................187 ELEMENTOS ISOPARAMÉTRICOS ..................................................................................187 4. 1 - Objetivos do capítulo ....................................................................................................187 4. 2 – Introdução ..........................................................................................................188 4. 3 – Elementos Isoparamétricos e o seu Conceito de Programação ....................................190 4. 4 – Elemento Quadrilateral Bilinear ...................................................................................192 4. 5 – Elementos Isoparamétricos...........................................................................................194 4. 6 – Elementos Triangular Linear ........................................................................................196 4. 7 – Polinômios de Lagrange – 1D ......................................................................................198 4. 8 – Elementos com um Número Variável de Nós ..............................................................199 4. 9 – Quadratura Gaussiana...................................................................................................200 4. 10 – Subrotinas de Funções de Interpolação e de Cálculo de Rigidez Elementar..............201 4. 11 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................202 4. 12 – Exercícios e Problemas...............................................................................................203 Capítulo – V ...........................................................................................................................204 MÉTODOS MISTOS E DE PENALIDADE .........................................................................204 5. 1 - Objetivos do capítulo ....................................................................................................204 5. 2 – Introdução ..........................................................................................................204 9 5. 3 – Métodos Mistos e de Penalidade ..................................................................................205 5. 4 – Normas de Sobolev.......................................................................................................206 5. 5 – Melhor Aproximação e Estimativa de Erro..................................................................207 5. 6 – Elasticidade Incompressível .........................................................................................208 5. 7 – Escoamento de Stokes ..................................................................................................209 5. 8 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................210 5. 9 – Exercícios e Problemas.................................................................................................211 Capítulo – VI ..........................................................................................................................212 PROBLEMAS TRANSIENTES ............................................................................................212 6. 1 - Objetivos do capítulo ....................................................................................................212 6. 2 – Introdução ..........................................................................................................212 6. 3 - Problemas Transientes...................................................................................................213 6. 4 - Problemas Parabólicos (Equação de Calor) ..................................................................214 6. 5 - Problemas Hiperbólicos (Elastodinâmica e Dinâmica Estrutural) ................................215 6. 6 – Algoritmos Computacionais .........................................................................................216 6. 7 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................217 6. 8 – Exercícios e Problemas.................................................................................................218 Capítulo – VII.........................................................................................................................219 INTRODUÇÃO A ANÁLISE NÃO-LINEAR TÉRMICA E ELÁSTICA ...........................219 7. 1 - Introdução ..........................................................................................................219 7. 2 – A Formulação do Problema Forte e Fraca de Problemas Térmicos Não-Lineares ......220 7. 3 – A Formulação do Problema Forte e Fraca de Problemas Elásticos Não-Lineares.......232 7. 3 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................245 7. 3 – Exercícios e Problemas.................................................................................................246 Capítulo – VIII .......................................................................................................................247 MECÂNICA DOS FLUIDOS................................................................................................247 8. 1 - Introdução ..........................................................................................................247 8. 2 - Fundamentação Teórica ................................................................................................249 8. 3 - Equação de Navier-Stokes para Escoamento Laminar .................................................250 8. 4 - Modelo de Penalidade para o Problema de Navier-Stokes ...........................................257 8. 4 – Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos...........................................................262 8. 5 – Projetos de Análise Não-Linear....................................................................................269 8. 6 – Equação de Navier-Stokes em 3D................................................................................270 8. 7 – Solução Numérica da Equação de Navier-Stokes + Energia I .....................................274 8. 8 – Formulação de Transferência de Calor Fluido/Sólido..................................................287 8. 9 – Solução Numérica da Equação de Navier-Stokes + Energia II ....................................290 10 8. 10 – Fluidos Não-Newtonianos Inelásticos ........................................................................291 8. 11 – Fluidos Não-Newtonianos Viscoelásticos ..................................................................292 8. 11 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................293 8. 11 –Exercícios e Problemas...............................................................................................294 Capítulo – IX ..........................................................................................................................295 SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES ..................................................................................295 NÃO-LINEARES...................................................................................................................295 9. 1 – Introdução ..........................................................................................................295 9. 2 – O Método do Ponto Fixo ..............................................................................................296 9. 3 – O Método de Piccard de Susbtituição Sucessiva..........................................................298 9. 4 – O Método de Newton ...................................................................................................299 9. 5 – Métodos de Newton Modificados ou (Quase-Newton)................................................300 9. 6 – Métodos de Continuação ..............................................................................................308 9. 6 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................321 9. 6 – Exercícios e Problemas.................................................................................................322 2ª Prova...................................................................................................................................326 TRANSFERÊNCIA DE CALOR COMPUTACIONAL.......................................................326 Solução Por Newton-Raphson................................................................................................326 Solução Por Newton-Raphson Modificado com Jacobiano calculado Numericamente ........331 Solução Por Newton-Raphson com Line-Search ...................................................................332 Solução Por Newton-Raphson com estratégia de Comprimento de Arco..............................333 Capítulo – X ...........................................................................................................................334 ELEMENTOS FINITOS UNIDIMENSIONAL ....................................................................334 6. 9 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................349 6. 10 – Enfoque Variacional ...................................................................................................370 6. 11 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................378 6. 12 – Um Caso Especial de Elementos Finitos....................................................................385 6. 13 – Exercícios e Problemas...............................................................................................392 Projeto Condução de Calor em Placa Rugosa Fractal ............................................................393 Apêndices ...............................................................................................................................397 A. 1 – Funções de Interpolação Local Lineares .....................................................................397 A. 2 – Funções de Interpolação Local Quadráticas ................................................................402 A. 3 – Tutorial para entrar no ENGTERM9 via WebtermXpower Plugin .............................408 A. 4 – Tutorial para entrar no ENGTERM9 via VNC Server ................................................413 A. 5 – Manual de Operação do Programa FEAP-Linux.........................................................414 A. 6 – Manual de Comandos Internos do Programa FEAP-Linux.........................................420 11 A. 7 – Como preparar um Arquivo de Entrada do Programa FEAP-Linux ...........................424 A. 8 – Exemplo de um Arquivo de Entrada do Programa FEAP-Linux ................................431 A. 9 – Procedimento para Análise Estrutural 2D no Programa FEAP-Linux ........................434 A. 10 – Algoritmo do Método de Newton Raphson implementado no Maple IX .................435 A. 11 – Tablea de Resultados Gerado pelo Método de Newton Raphson implementado no Maple IX ..........................................................................................................437 Bibliografia.............................................................................................................................438 12 Lista de Figuras Figura - 1. 1. Diagrama de passos simplificadores de um problema real.................................19 Figura - 1. 2. Problema de carregamento de tensão mecânica em uma placa com um furo circular no centro. .....................................................................................................................20 Figura - 1. 3. .............................................................................................................................21 Figura - 1. 4. .............................................................................................................................21 Figura - 1. 5. .............................................................................................................................22 Figura - 1. 6. Diagrama de substituição de um Modelo Contínuo exato por um Modelo Discreto Aproximado. ..............................................................................................................24 Figura - 1. 7. Diagrama de Transformação de Equações Diferenciais em Equações Algébricas equivalentes. .............................................................................................................................24 Figura - 1. 8. .............................................................................................................................25 Figura - 1. 9. .............................................................................................................................25 Figura - 2. 1. .............................................................................................................................39 Figura - 2. 2. Função bolha.......................................................................................................49 Figura - 2. 3. Funções para o exemplo de 1 grau de liberdade. (estas funções são secretamente a mais simples funções de interpolação dos elementos finto no contexto de um elemento.)...61 Figura - 2. 4. A solução de Galerkin para o exemplo de 1 grau de liberdade. .........................63 Figura - 2. 5. Comparação das soluções particulares exatas e de Galerkin, Exemplo 1 caso (ii). ..................................................................................................................................................64 Figura - 2. 6. Comparação das soluções particulares exatas e de Galerkin, Exemplo 1 caso (iii). ...........................................................................................................................................65 Figura - 2. 7. Funções o exemplo para 2 graus de liberdade. (Estas funções são secretamente as funções mais simples dos elementos finitos em um contexto de dois elementos.) ..............66 Figura - 2. 8. Função peso típico e solução tentativa para o exemplo com 2 graus de liberdade. ..................................................................................................................................................67 Figura - 2. 9. Comparação dassoluções particulares e exata e de Galerkin, Exemplo 2, caso (ii). ............................................................................................................................................70 Figura - 2. 10. Comparação das soluções particulares exata e de Galerkin, Exemplo 2, caso (iii). ...........................................................................................................................................71 Figura - 2. 11. Funções de base para um espaço compacto de elementos finitos lineares .......74 Figura - 2. 12. Um membro típico de h hw V .........................................................................74 Figura - 2. 13. ...........................................................................................................................75 Figura - 2. 14. Se 1B A , as partes não nulas de BN e AN não se sobrepõem. .................77 Figura - 2. 15. ...........................................................................................................................78 Figura - 2. 16. Funções generalizadas elementares. a) Parênthesis de MaCaulay <x-y> b) Função de Heaviside H(x-y) = <x-y>,x c) (x-y) = H(x-y),x....................................................81 Figura - 2. 17. Funções de Green. ............................................................................................82 Figura - 2. 18. ...........................................................................................................................85 Figura - 2. 19. ...........................................................................................................................86 Figura - 2. 20. Descrição Local e Global do e’ésimo elemento. ............................................102 Figura - 2. 21. .........................................................................................................................103 Figura - 2. 22. X’s indica termos não-nulos; todos os outros termos são zero.......................105 Figura - 2. 23. arranjo LM para o problema exemplo ............................................................106 Figura - 2. 24. Fluxograma de um algoritmo de montagem de um elemento finito...............108 Figura - 2. 25. Aproximação para f por uma interpolação linear de valores nodais...............112 Figura - 1. 10. .........................................................................................................................121 13 Figura - 2. 26. Elemento quadrilateral de duas dimensões para o uso na geração de malhas no FEAP. .....................................................................................................................................127 Figura - 3. 1. ...........................................................................................................................150 Figura - 3. 2 ............................................................................................................................166 Figura - 6. 1. Rede de pontos nodais do Domínio, e dos Subdomínios, e . ....................29 Tabela - VI. 1.Quadro Resumo das Diferentes Formulações do Método de Elementos Finitos ..................................................................................................................................................32 Figura - 6. 2. Mudança do domínio contínuo de coodenadas (x,y) para o discreto de coordenadas (i,j) .......................................................................................................................33 Figura - 6. 3. Rede de pontos nodais do Domínio, e dos Subdomínios, e . ....................35 Figura - 6. 4. Intervalo de aplicação do Método de Galerkin .................................................337 Figura - 6. 5. Elemento Finito linear entre dois pontos. .........................................................398 Figura - 6. 6. Estruturação unidimensional dos Elementos Finitos. .......................................400 Figura - 6. 7. Intervalo de aplicação do Método de Galerkin .................................................362 Figura - 6. 8. ...........................................................................................................................374 Figura - 6. 9. ...........................................................................................................................378 Figura - 6. 10. Elemento Finito Quadrático entre três pontos ................................................402 Figura - 6. 11. Estruturação unidimensional dos Elementos Finitos Quadráticos..................407 Figura - A. 1. ..........................................................................................................................409 Figura - A. 2. ..........................................................................................................................412 Figura - A. 3. ..........................................................................................................................416 Figura - A. 4. ..........................................................................................................................419 Figura - A. 5. ..........................................................................................................................420 Figura - A. 6. ..........................................................................................................................422 Figura - A. 7. ..........................................................................................................................424 Figura - A. 8. ..........................................................................................................................433 Figura - A. 9. ..........................................................................................................................433 14 Lista de Tabelas Tabela - VI. 1.Quadro Resumo das Diferentes Formulações do Método de Elemntos Finitos ................................................................................................................................................172 15 Lista de Siglas 16 Lista de Símbolos 17 Apresentação Esta apostila é resultado da digitação das aulas do prof. Dr. Eng. Jose Vriato Coelho Vargas, ministradas no curso de Análise Térmica e Estrutural I no Departamento de Engenharia Mecânica da Universidade Federal do Paraná. 18 Capítulo – I INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS APROXIMADOS RESUMO Neste capítulo será visto como a utilização de métodos aproximados pode ajudar a resolver problemas de equações diferenciais, quando a solução analítica é inacessível. Abordaremos o tema das hipóteses simplificadoras e a utilização de equações algébricas na substituição de equações diferenciais complexas. 1. 1 – Objetivos do capítulo i) Entender a problemática dos Métodos Aproximados aplicados a Engenharia. ii) Distinguir situações onde a utilização dos Métodos Aproximados é viável. iii) Saber da existência de diversos Métodos Aproximados. 1. 2 – Introdução A partir de agora estudaremos diferentes métodos de simplificação de problemas reais e de aproximação das soluções das equações diferenciais presentes na Engenharia. A motivação do uso de métodos aproximadosestá em: Validar a prática ou o experimento através do equacionamento matemático que modela um problema físico qualquer. Por exemplo, o deslocamento medido por strain gauges, as medidas de temperatura, as medidas de velocidades em um túnel de vento são exemplos de medidas experimentais que podem ser validadas através de uma simulação numérica, para execução de um projeto futuro. 19 1. 3 – Motivação e Conceitos Fundamentais Uma pergunta básica é: Por que usar Métodos Aproximados? Pode-se utilizar métodos numéricos para a obtenção de medições inviáveis economicamente, tais como tensão máxima, max , Temperatura máxima, maxT As vantagens de se utilizar métodos numéricos são: 1) Tempo de projeto reduzido com redução de custos. 2) Simula condições impossíveis em experimentos 3) Proporciona informações detalhadas e compreensíveis 4) Viabiliza a OTIMIZAÇÃO (não há nada melhor dada os critérios utilizados) A implementação de Métodos Numéricos está relacionada com as condições de SOFTWARE e HARDWARE. Os métodos Numéricos representam o caminho para a soluaçào de um problema físico, e o software deve ser desenvolvido de forma adequada. Contudo, o grande limitante da solução do problema é o hardware. Por exemplo, Análise Complexas em três dimensões, 3D, requer processamentos mais eficazes. Os tipos de processamentos que podem ser utilizados são o Escalar: que utiliza um único computador, e o Vetorial, que utiliza dois ou mais computadores processando em paralelo, ou ainda um super-computador com diversas unidades de processamento. 1. 4 – Simplificação de um Problema Real Na tentativa de se descrever quantitativamente um problema (fenômeno) físico, ou seja, de se obter uma expressão matemática que corresponda ao fenômeno em questão, inicialmente o problema físico real é substituído por um problema equivalente, mais simples. Figura - 1. 1. Diagrama de passos simplificadores de um problema real Neste novo problema são selecionados os parâmetros considerados fundamentais e que podem ser descritos matematicamente através de um sistema de equações diferenciais 20 válido em todo o domínio do problema. A esse sistema são impostas condições de contorno e/ou condições iniciais apropriadas. O próximo passo é a busca da solução para o problema. 1. 5 – Tipos de Métodos Numéricos Os Métodos Numéricos se dividem em Locais e Globais. Os socais são representados pelo Métodos de Diferenças Finitas, Métodos dos Elementos Finitos, Métodos dos Volumes Finitos, etc. O Métodos Globais são Representados pelos Métodos Espectrais de Domínios Alternativos que utilizam Transformadas Integrais de Laplace e Fourier, etc. Todo método numéricos precisa passar por uma etapa chamada de discretização seja do domínio ou do contorno. 1. 6 – Discretização do Problema Discretização é processo de conversão das Equações Diferenciais de Domínio Contínuo para Equações Algébricas de Domínio Discreto, conforme mostra a exemplo da Figura - 1. 2 Figura - 1. 2. Problema de carregamento de tensão mecânica em uma placa com um furo circular no centro. 21 1. 7 – Exemplos e Aplicações 1.7.1 - Domínio e Análise Figura - 1. 3. 1.7.2 - Método Numérico 1) Obtenção da Solução nos Nós 2) Mecanismo de Interpolação da Solução 0,1 Não é expresso exatamente no computador. Figura - 1. 4. 22 1.7.3 - Natureza de um Problema Bem Posto 1) Existe Solução 2) A Solução é única Exemplo: Considere o seguinte Problema de Valor Inicial (P.V.I.) cxy arctan (1. 1) 21 1 xdx dy (1. 2) 0)0( xy (1. 3) 3) Estabelecimento das Condições de Contorno Figura - 1. 5. 23 A F (1. 4) E (1. 5) j i ij o x u L L (1. 6) 1.7.4 - Condições de Contorno 1) Dirichilet (u) 2) Neumann ( ixu / ) 3) Mista ou de Robin ( kxuu i / ) 24 1. 8 – Equações Diferenciais e Algébricas do Problema Um sistema de equações diferenciais constitui um modelo contínuo, que possui infinitos graus de liberdade, uma vez que as variáveis se distribuem continuamente em todo o domínio do problema. Com exceção de alguns casos mais simples, em geral não é possível encontrar soluções analíticas para o problema. Recorre-se, então, aos modelos discretos (ou numéricos), obtidos dos modelos contínuos através de hipóteses simplificadoras: As variáveis que constituem infinitos graus de liberdade, são expressos em termos de um número finito de graus de liberdade. Esses graus de liberdade são incógnitas dos modelos discretos dos sistemas equivalentes e são determinados a partir da solução de um sistema de equações algébricas. Figura - 1. 6. Diagrama de substituição de um Modelo Contínuo exato por um Modelo Discreto Aproximado. Resumidamente, quando o modelo contínuo é substituído por um modelo discreto, o problema matemático da solução de um sistema de equações diferenciais é substituído pelo problema da solução de um sistema de equações algébricas. Figura - 1. 7. Diagrama de Transformação de Equações Diferenciais em Equações Algébricas equivalentes. 1.8.1 - Precisão da Solução Aproximada 1) Comparação com solução exata (se existir) – Calibração do Método. 2) Refinamento – Leva a uma Convergência da Solução 3) Comparação com Resultados Experimentais - 25 4) Reprodutibilidade dos Resultados - Para as mesmas condições experimentais com as considerações dos erros e as variações estatísticas sobre a dispersão dos valores obtidos em relação aqueles previstos pelo modelo. 1. 9 – Método dos Elementos Finitos Em geral, o Método de Elementos Finitos envolve dividir um sistema em componentes menores por meio do processo de DISCRETIZAÇÃO. Considere a treliça que é um objeto da engenharia. Figura - 1. 8. Figura - 1. 9. 26 1. 10 – Exemplos e Aplicações 27 1. 11 – Exercícios e Problemas 28 Capítulo – II O PROBLEMA DOS ELEMENTOS FINITOS UNIDIMENSIONAL - 1D RESUMO Neste capítulo será visto a origem do Método dos Elementos Finitos. Este método se apresenta como uma alternativa ao Método Variacional e ao Método dos Resíduos Ponderados e por sua vez deu origem ao Método dos Elementos de Contorno. A formulação unidimensional do método dos elementos finitos. A formulação de Galerkin. A montagem da matriz de rigidez elementar, a descrição matemática de elementos finitos unidimensionais lineares. Alguns teoremas fundamentais e a solução de exemplos acadêmicos e discussão destes exemplos. 2. 1 - Objetivos do capítulo i) Entender a origem do Método dos Elementos Finitos ii) Capacitar aluno a resolver problemas físicos lineares modelados por equações diferenciais, pelo Método dos Elementos Finitos, como por exemplo a análise de equipamentos sob solicitações térmicas e mecânicas, independentes ou combinadas iii) Entender os conceitos fundamentais do Método dos Elementos Finitos na sua versão unidimensional. iv) Saber formular matematicamente um problema unidimensional e saber montar a equação matricial elementar e global dos elementos finitos. v) Saber aplicar o Método dosElementos Finitos a problemas unidimensionais. vi) Saber aplicar o Método dos Elementos Finitos nas suas mais diferentes formas vii) Resolver problemas de equações diferenciais pertinentes ao método. 29 2. 2 - Introdução O Método dos Elementos Finitos é um método de solução aproximada de equações diferenciais muito úteis em ciência e engenharia. Ele possibilita a simulação de situações reais em um espaço discreto, cujo limite infinitesimal tende ao contínuo. A visualização computacional também tem seguido a implementação dos cálculos por este método permitindo uma análise visual das situações determinadas através do cálculo numérico. A idéia básica do Método dos Elementos Finitos consiste em subdividir, inicialmente, o domínio do problema, em subdomínios de dimensões finitas tais que, o conjunto de todos os subdomínios seja igual ao domínio original. Em seguida, sobre cada subdomínio, isoladamente, adota-se um comportamento aproximado, local, para as incógnitas do problema, conforme esquematiza a Figura - 2. 1. Em geral, esse comportamento local é descrito com o emprego de funções simples. A característica principal desse procedimento, então, consiste em utilizar aproximações locais nos subdomínios, nos quais o domínio original foi dividido, em vez de utilizar aproximações de caráter global. Para a obtenção de respostas cada vez melhores, aumenta-se o número de subdomínios, mantendo-se o mesmo comportamento local já adotado em cada subdomínio, no lugar de se adotar funções de ordem maior na aproximação de caráter global. Os subdomínios são denominados elementos finitos. Os elementos finitos são definidos por sua forma geométrica, pelas funções de aproximação adotadas e pelos tipos de problemas para os quais foram desenvolvidos. Cada elemento possui um número determinado de pontos nodais, ou nós, que podem ser internos ou externos. Os nós externos fazem a conexão com os elementos vizinhos. Figura - 2. 1. Rede de pontos nodais do Domínio, e dos Subdomínios, e . 30 Nos nós comuns aos diferentes elementos, o valor das variáveis do problema é o mesmo, independentemente do elemento que esteja sendo considerado. Após a definição da malha de elementos finitos e do tipo de elemento (linear, triangular, quadrático, etc), as matrizes características correspondentes a cada elemento podem ser formadas e, em seguida, agrupadas, formando o sistema global de equações. A solução deste sistema fornece os valores das incógnitas nos pontos nodais. Através do comportamento aproximado local, as incógnitas do problema, em qualquer ponto do elemento, são calculadas em função dos valores nodais das mesmas incógnitas nos pontos nodais já conhecidos, isto é, as aproximações locais são funções de interpolação, por meio dos quais os valores das incógnitas em qualquer ponto pertencente ao elemento finito são calculados em função dos valores nodais. 2.2.1 – A origem do Método dos Elementos Finitos O trabalho de Turner, Cough, Martin e Topp “Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures” publicado em 1956 no Journal of Aeronautical Sciences. Vol. 23, pag. 805-823, é reconhecido como um dos primeiros a apresentar os fundamentos do Método dos Elementos Finitos. As bases teóricas do método foram mais bem definidas no início da década de 60 com o estudo mais aprofundado dos Métodos Energéticos e de Técnicas Variacionais. 31 2. 3 – Variações dos Modelos no Método de Elementos Finitos Para problemas de Mecânica dos Sólidos, podem ser identificados quatro formulações, ou modelos básicos, que pertencem ao “Enfoque Variacional” do método: 2.3.1 - Modelo Compatível Baseia-se no Princípio da Energia Potencial Mínima. Sobre cada elemento é adotado um campo de deslocamento, escolhidos de tal maneira que haja continuidade de deslocamentos e, eventualmente, de suas derivadas, entre os elementos. As incógnitas são os deslocamentos nos pontos nodais. 2.3.2 - Modelo de Equilíbrio Baseia-se no Princípio da Energia Complementar Mínima. Sobre cada elemento é adotado um campo de tensões em equilíbrio; o equilíbrio entre elementos também é mantido. As incógnitas são as tensões nos pontos nodais. É um modelo pouco utilizado na prática. 2.3.3 - Modelo Híbrido Há dois tipos. O primeiro tipo se baseia em um Princípio de Energia Complementar Mínima Modificado. No interior de cada elemento é adotado um campo de tensões em equilíbrio e, no contorno de cada elemento, um campo de deslocamento é adotado, devendo haver compatibilidade de deslocamento entre elementos vizinhos. As incógnitas são os deslocamentos nodais. Aplicações Práticas: Problemas de estado plano de tensão ou deslocamento e de flexão de placas. O segundo tipo se baseia em um Principio de Energia Potencial Mínima Modificado. No interior de cada elemento é adotado um campo de deslocamentos e, no contorno de cada elemento, um campo de tensões é adotado, devendo haver equilíbrio de tensões (forças de superfícies) entre elementos vizinhos. As incógnitas são as tensões, ou forças de superfícies nos pontos nodais. Esse modelo é pouco utilizado. Vantagem do Modelo Híbrido: Os resultados são mais precisos. 2.3.4 - Modelo Misto Baseia-se em um Princípio Variacional Generalizado, como o Princípio de Reissner. Sobre cada elemento são adotados, simultaneamente e independentemente, campos de tensões e de deslocamentos. As incógnitas são as tensões (ou forças de superfícies) e os 32 deslocamentos nos pontos nodais. Vantagem do Modelo Misto: Deslocamentos e tensões são determinados com a mesma precisão. No final da década de 70 foram introduzidos formulações baseadas na aplicação localizada do Método de Galerkin, o que possibilitou que o Método dos Elementos Finitos fosse empregado na solução de problemas que não possuam Formulação Variacional. De uma maneira geral, qualquer um dos Métodos de Resíduos Ponderados pode ser utilizado no cálculo pelo Método dos Elementos Finitos. Tabela - VI. 1.Quadro Resumo das Diferentes Formulações do Método de Elementos Finitos Método Principio Utilizado Elementos Incógnitas nos pontos nodais Condições Vantagens Aplicações Práticas Compatível Princípio da Energia Potencial Mínima Campo de Deslocamento Deslocamentos Continuidade nos Deslocamentos e suas derivadas Equilíbrio Princípio da Energia Complementar Mínima Campo de Tensão em equilíbrio Tensão Equilíbrio pouco utilizado Híbrido do 1º Tipo Princípio da Energia Complementar Mínima Modificado Campo de Tensão em equilíbrio no domínio e campo de Deslocamentos no contorno Deslocamentos Compatibilidade nos Deslocamentos entre os elementos vizinhos Resultados mais precisos Problemas de flexões em placas Híbrido do 2º Tipo Princípio da Energia Potencial Mínima Modificado Campo de Deslocamentos no domínio e Campo de Tensões no contorno Tensões ou forças de superfícies Equilíbrio de Tensões (ou forças de superfícies) entre elementos vizinhos Resultados Mais precisos Misto Princípio da Variacional Generalizado (Reissner) Campo Tensões e Deslocamentos no domínio Tensões (ou forças de superfícies) e os Delocamentos Deslocamentos e Tensões determinados com mesma precisão 33 2. 4 – Definição Matemática e Desenvolvimento do Método O Método de Elementos Finitos teve sua origem nos Métodos Variacionais aproximados, mas a partir doMétodo dos Resíduos Ponderados, este vínculo passou a ser não mais necessário. Portanto, por ser esta última situação de abragência mais geral, para o Método de Elementos Finitos, começaremos a representá-lo, em primeiro lugar, a partir do Método de Resíduos Ponderados, apesar de não ser a ordem histórica de evolução do método. Depois trataremos o Enfoque Variacional do Método de Elementos Finitos. 2.4.1 – Aproximação do Problema Contínuo pela Discretização do Domínio Seja um problema unidimensional dado pela seguinte equação diferencial: L(u) = b em , (2. 1) sujeito as condições de contorno S(u) = g em , (2. 2) onde L e S são operadores lineares. Este problema será aproximado por uma função do tipo: 1 1 M m mm Nuuu em , (2. 3) cujo o domínio continuo, será substituído por um domínio equivalente, discreto conforme mostra a Figura - 2. 2. Figura - 2. 2. Mudança do domínio contínuo de coodenadas (x,y) para o discreto de coordenadas (i,j) 34 Logo, no domínio discretizado, teremos: L(u ) = b em , (2. 4) e no contorno discretizado, temos: S(u ) = g em . (2. 5) Substituindo (2. 3) em (2. 4)e (2. 5) ficamos com: L 1 1 )( M m mm bNu em (2. 6) e, no contorno: S 1 1 )( M m mm gNu em . (2. 7) Como L e S são operadores lineares, no domínio, podemos escrever: 1 1 M m mu L bNm )( em , (2. 8) e no contorno, 1 1 M m mu S( gNm )( ) em . (2. 9) 2.4.2 - Definição dos Elementos Finitos Unidimensional Se o domínio é dividido ou discretizado em E subdomínios, e, da seguinte forma: E e e 1 (2. 10) E, se em correspondência a divisão do domínio, o contorno, , é dividido em B partes, b, da seguinte forma: B b b 1 . (2. 11) 35 Figura - 2. 3. Rede de pontos nodais do Domínio, e dos Subdomínios, e . Logo, teremos: E e 1 L( 1 1 M m e mm Nu ) = b em e , (2. 12) sujeito as condições de contorno B b 1 S( 1 1 M m e mm Nu ) = g em b . (2. 13) Como L e S são operadores lineares temos: 1 11 M m m E e u L ( emN ) = b em e , (2. 14) sujeito as condições de contorno 1 11 M m m B b u S( emN ) = g em b. (2. 15) 2.4.3 – Inclusão do Método dos Resíduos Ponderados Unidimensional A sentença de resíduos ponderados de caráter global (onde as funções de aproximação são válidas em e em ): 0 dwdw ll . (2. 16) Logo, os erros cometidos no domínio é: 36 L( 1 1 M m mmNu ) – b 0 em (2. 17) E no contorno: S( 1 1 M m mmNu ) – g 0 em (2. 18) Como L e S são operadores lineares temos: no domínio: 1 1 M m mue L (Nm) - b 0 em e (2. 19) e no contorno 1 1 M m mue S(Nm) - g 0 em b (2. 20) Se o domínio é dividido em E subdomínios, e, e se, em correspondência a divisão do domínio, o contorno, , é dividido em B partes, b. A sentença de resíduos ponderados de caráter global é substituída por: 0 11 blb B b ele E e dwdw b e b e , (2. 21) onde, as funções de aproximação são definidas localmente, sendo válidas somente para e e b e não mais para e , da seguinte forma: 0 bleele dwdw b e b e (2. 22) Portanto, temos: 1 1 M m mue L (Nm) - b 0 em e (2. 23) e no contorno 37 1 1 M m mue S(Nm) - g 0 em b (2. 24) Portanto, 1 1 [ M m mle uw e L(Nm) 1 1 [] M m mlee uwdb e S(Nm) 0] bdg (2. 25) OBS: Se as integrais em (2. 16) e (2. 21) contêm derivadas de ordem s nos integrandos, deve-se assegurar que as funções de aproximação tenham derivadas de ordem superior a (s -1) contínuas. 38 2. 5 - O problema 1D forma mais forte (clássica) Os principais constituintes de um método de elementos finitos para a solução de um problema de valor de contorno são: i. O estabelecimento da forma variacional ou fraca do problema, e ii. A solução aproximada das equações variacionais através do uso de “funções de elementos finitos” Para esclarecer os conceitos nós começaremos com o seguinte exemplo. Suponha que nós estamos resolver a seguinte equação diferencial para u: 0, fu xx (2. 26) )(xu é a solução (incógnita) a ser encontrada em ]1,0[x , onde a vírgula estabelece a derivada (i. e. 22 /, dxudu xx ). Nós supomos que f é uma função suave dada. A qual é uma função de valor escalar definida no intervalo. Nós escrevemos: Rf ]1,0[: (2. 27) onde [0;1] se estabelece para o intervalo (i.e. a série de pontos de x tal que 0 1x ) e se estabelece para número reais. Em outras palavras, a equação (2. 27) estabelece que para um dado x em [0;1], f(x) é um número real. (frequentemente nós usaremos para designar em”ou “um membro de”. Então para cada ]1,0[x , ( )f x .). Também, [0;1] é dito ser o domínio de f, e é seu espaço. Dizemos que f é uma função prescrita tendo uma forma suave se pelo menos esta é contínua e possui 1ª derivada contínua, isto é: ]1,0[1Cf (2. 28) Nós temos descrito a dada função f como sendo suave. Intuitivamente você provavelmente sabe o que isto significa. Rigorosamente falando, se nós esquematizamos o gráfico da função f, nós queremos que esta seja suave sem descontinuidades ou quebras. Nós fazemos isto para evitar dificuldades técnicas. Certo que agora nós não desejamos elaborar além do que isto seja divergir-nos a partir do tema principal. Em algum ponto anterior para ir ao próximo capítulo, o leitor pode desejar consultar o Apêndice 1.I, Uma discussão Elementar da Continuidade, Diferenciabilidade e Suavidade”, para observações posteriores sobre este importante aspecto do trabalho de elementos finitos. O exercício na Secção 1.16 já usa um pouco da linguagem descrita no Apêndice 1.I. A terminologia pode ser algo não familiar para 39 engenharia e estudantes de ciências físicas, mas este é agora largamente usado na literatura de elementos finitos e portanto é correto tornar-se acostumado a isto. A equação (2. 26) é conhecida governar o deslocamento transverso de uma corda sob tensão e também o deslocamento longitudinal de uma barra elástica. Nestes casos, par6ametros físicos, tais como a magnitude da tensão na corda, ou módulo elástico no caso da barra, aparece em (2. 26). Nós temos omitido estes parâmetros para simplificar os desenvolvimentos subseqüentes. Antes de nós irmos em frente, nós introduzimos algumas notações e terminologias adicionais. Seja ]0;1[ denota o intervalo unitário sem pontos extremos (i. e. a série de pontos x tal que 0 1x ). ]0;1[ a [0;1] são referido como intervalos unitários aberto e fechado, respectivamente. Para simplificar escritas subseqüentes e tiras na notação empregadas depois em situações multidimensionais, nós adotaremos as definições: Define-se o intervalo como ]0;1[ (aberto) (2. 29) onde este é um conjunto aberto e o intervalo como [0;1] (fechado) (2. 30) onde este é um conjunto fechado. Veja a Figura - 2. 4 Figura - 2. 4. Neste ponto, considerações tais como estas podem parecerpedantes. Nossa proposta, contudo, é desenvolver uma linguagem para a articulação precisa do problema de valor de contorno, o qual é necessário para um bom trabalho de elementos finitos. 2.5.1 - Forma Forte do Problema de Valor de Contorno (P.V.C.) Um problema de valor de contorno para (2. 26) envolve imposição de condições de contorno sobre a função ( )u x . Existem uma variedade de possibilidades. Nós suporemos que ( )u x é requerido satisfazer 40 gu )1( (2. 31) e hu x )0(, (2. 32) onde g e h são constantes dadas. As equações (2. 26) e (2. 32) requer que u tome valores sobre o valor g em x = 1 e a derivada de u (i. e. a inclinação) tome valores –h em x = 0, respectivamente. Esta série de condições de contorno nos possibilitará depois para ilustrar certos aspectos da formulação variacional. Por razões obvias, condições de contorno do tipo (2. 31) e (2. 32) leva ao tão chamado problema de valor de contorno de dois pontos. A forma forte do problema de valor de contorno, (S), é estabelecida como segue: Seja o problema (S), dado por :f R e constantes ,g h devemos encontrar :u R como solução da equação diferencial tal que: 0, fu xx em (2. 33) Sujeito as condições de contorno: gu )1( (2. 34) e hu x )0(, (2. 35) onde g e h são constantes dadas. Quando nós escrevemos 0, fu xx em nós queremos dizer que , ( ) ( ) 0xxu x f x para todo x . É claro, a solução exata de (S) é trivial obter, notadamente ( ), ( )xxu x dx f x dx (2. 36) integrando 0 0 ( ), ( ) x x xu x f z dz (2. 37) logo 41 0 , ( ) , (0) ( ) x x xu x u f z dz (2. 38) Substituindo , (0)xu h temos: 0 , ( ) ( ) x xu x h f z dz (2. 39) Integrando mais uma vez 1 1 1 0 , ( ) ( ) x x x x x u z dz hdz f z dz dz (2. 40) temos: 1 1 1 0 ( ) ( ) x x x x u z hz f z dz dz (2. 41) e 1 0 (1) ( ) (1 ) ( ) x x u u x h x z f z dz dz (2. 42) Substituindo gu )1( , a solução exata é dada por; dydzzfhxgxu x y 1 0 )()1()( (2. 43) onde z é usado para denotar variáveis mudas. Contudo, este não é o principal fato aqui. Nós estamos interessados em desenvolver esquemas para obter soluções aproximadas par (S) que será aplicável a situações muito mais complexas no qual as soluções exatas são possíveis. Alguns métodos de aproximação começam diretamente com a condição forte do problema. O exemplo mais notável é o método de diferenças finitas (e.g., veja [1]). O método de elementos finitos requer uma formulação diferente, a qual é tratada na próxima secção. Observe que todos os pontos do contorno devem ser especificados e para qualquer problema sempre haverá uma condição de Dirichilet no contorno, conforme se descreve abaixo (para que a solução do problema seja única). 42 O problema (S) pode ser resolvido diretamente por Diferenças Finitas, onde aplica-se a discretização diretamente em sua formulação forte. Por outro lado, no Método dos Elementos Finitos não se aplica a discretização diretamente a (S) mas usa-se a sua formulação “fraca” que é chamado de problema equivalente (W). 43 2. 6- Forma Fraca ou Variacional do Problema de Valor de Contorno 1D (P.V.C.) A forma variacional é aplicado em problemas de trocadores de calor, por exemplo, onde temos grandezas tais como, Calor, Q, Trabalho, W, e massa, M com restrição de volume fixo e gostaríamos de maximizar ou minimizar algum parâmetro ou grandeza física. Nesta situação devemos alterar o problema para o caso onde: MwWwQwF 32 1 1 (2. 44) cujas quantidades física são normalizadas, ou seja pertencentes ao intervalo ]1,0[1Q e 321 ,, www são pesos utilizados para equacionar o problema de forma ponderada. Na Formulação Variacional Fraca do PVC tem-se como objetivo: 1) Reduzir a ordem diferencial do problema 2) Permitir o uso de Formas Integrais de grau mais baixo ao invés de Formas Derivadas (formulação forte), isto para que seja possível resolver o problema com elementos lineares na funções de interpolação para a aproximação local do problema. 3) Simplificar o problema em relação a sua forma original, e por último 4) Forma alternativa tenha as mesma solução que a forma original. Para definir a contrapartida fraca, ou variacional de (S), nós necessitamos caracterizar duas classes de funções tais que: 1) A primeira deve ser composta de candidatas, ou soluções tentativas. A partir do principio, nós requereremos que estas possíveis soluções devem satisfazer as condições de contorno, ou seja, para as soluções candidatas Su exige-se que: gu )1( (2. 45) onde 1Hu . A outra condição de contorno será requerida na definição. Além do mais, para que certas expressões sejam empregáveis faz sentido, nós requerermos que as derivadas das soluções tentativas sejam quadrado integráveis. Isso é se u é uma solução tentativa, então as funções devem possuir suavidade tal que: 1 0 2),( dxu x (2. 46) 44 Funções que satisfazem (2. 46) são chamadas de 1funções H , implicando que xu, não “diverge” em e xu, isto é, elas são quadraticamente integráveis 1Hu , isto é )(xu e pertencente ao espaço de Hilbert . Algumas vezes o domínio é explicitamente incluído, i. e., 1 0;1u H . Então a coleção de soluções tentativas, denotada por S, consiste de todas as funções as quais possuem derivadas quadrado integráveis e tomam valores sobre g em x =1. Isto é escrito como segue: guHuuS )1(,/ 1 (soluções tentativas) (2. 47) O fato que S é uma coleção, ou seqüências, de objetos é indicado pelas chaves (chamados chaves) em (2. 47). A notação para o membro típico da seqüência, neste caso, u, venha primeiro dentro do lado esquerdo das chaves. Seguindo a linha vertical (|) são propriedades satisfeitas por membros da seqüência. 2) Define-se a segunda coleção de funções é chamada de funções peso, ou variações. Esta coleção é muito similar as soluções tentativas exceto que nós requeremos que a contrapartida homogênea da condição de contorno-g. Isto é, nós requeremos funções, w, para satisfazer exige-se que: 0)1( w Vw (2. 48) onde 1Hw , a qual é a contra-parte homogênea da condição de contorno de Dirichilet. 0)1(,/ 1 wHwwV (funções pesos) (2. 49) Isto simplifica o assunto o que continua a pensar de :f como sendo suave. (Contudo, o que segue permanece para uma classe consideravelmente grande de f’s). Em termos das definições precedentes, nós podemos agora estabelecer uma forma fraca adequada para o problema do valor de contorno. Logo o problema (W) é definido por dados f, g, h como antes, ache Su tal que para todo Vw , temos: 1 0 1 0 )0(,, hwwfdxdxuw xx (2. 50) 45 Formulação deste tipo são frequentemente chamada de formulação de trabalhos virtuais, ou formulação de deslocamentos virtuais, ou pricipios em mecânica. Os w’ são os deslocamentos virtuais. A equação (2. 50) é chamada de equação variacional, ou (especialmente em mecânica) a equação do trabalho virtual. A solução de (W) é chamada de fraca, ou solução generalizada. A definição dada de uma formulação fraca não é somente uma possível, mas é a mais natural daquela dos problemas que nós desejamos considerar.46 2. 7- Equivalência de Formas Forte e Fraca; Condições de Contorno Naturais Claramente, vemos que deve existir alguma relação entre a versões forte e fraca do problema, ou ainda não deveria ser ponto na introdução fraca. Uma vez que a solução das formas fraca e forte são idênticas. Nós estabeleceremos isto supondo que todas as funções são suaves. Isto nos permitirá proceder expeditiosamente sem invocar condições técnicas com as quais supõem-se que é familiar ao leitor. As “provas” deste tipo são algumas vezes eufemisticamente referidas como “provas formais”. O intento é não ser completamente rigoroso mas tornar plausível a verdade da proposição. Com esta filosofia em mente, nós “provaremos”o seguinte: 2.7.1 - Proposição a) Seja u a solução de (S). Então u é também solução de (W) b) Seja u a solução de (W). Então u é também solução de ((S) Um outro resultado, o qual nós não nos preocuparemos em verificar mas de fato é facilmente estabelecido, é que ambos (S) e (W) possui solução única. Então, por (a) e (b), as soluções forte e fraca são uma e a mesma. Consequentemente, (W) é equivalente a ((S). 2.7.2 - Prova Formal a) Uma vez que u é suposto ser uma solução de (S), nós podemos escrever: 0, fu xx em (2. 51) e 0, fuw xx w V (2. 52) logo 0, 1 0 dxfuw xx (2. 53) Para qualquer w V. Integração (2. 53) por partes vduuvudv , onde , ; , ,x xx xu w du w dx dv u v u . Logo: 47 1 1 1 0 0 0 , , , ,xx x x xwu dx wu w u dx w V (2. 54) ou substituindo (2. 54) em (2. 53) temos: 0,,, 1 0 1 0 1 0 xxx uwwfdxdxuw w V (2. 55) Rearranjando e fazendo uso do fato de que: 0)1(;, whu x (2. 56) Logo resulta em: 1 1 0 0 , , (0)x xw u dx wfdx w h w V (2. 57) Além disso, uma vez que u é solução de (S), ela satisfaz (1)u g e portanto está em S. Finalmente, uma vez que u também satisfaz (2. 57), para todo Vw , u satisfaz a definição de uma solução fraca dada por (W), logo: (S) (W) (2. 58) b) Agora suponha que u é uma solução fraca de (S). Integra-se por partes o lado esquerdo da equação (2. 57), onde, vduuvudv , e , , ; ,x xx xu u du u dx dv w v w . Então: 1 1 1 0 0 0 , , (0)x xxwu wu dx wfdx w h (2. 59) 1 1 1 0 0 0 , , (0) 0xx xwu dx wu wfdx w h (2. 60) trocando o sinal de todos os termos: 48 1 1 1 0 0 0 , , (0) 0xx xwu dx wu wfdx w h (2. 61) reescrevendo temos: 1 1 0 0 , , (0) 0xx xw u f dx wu w h (2. 62) Ou 1 0 , (1) , (1) (0) , (0) (0) 0xx x xw u f dx w u w u w h (2. 63) Usando o fato de que (1) 0w 1 0 , (0) , (0) 0xx xw u f dx w u h (2. 64) e , (0)xu h logo temos que: 1 0 , 0xxw u f dx (2. 65) Para provar que u é uma solução de (S) é suficiente mostrar que as equações de Euler-Lagrange, (2. 65), implica ( 1) em: i) 0)(, fxu xx em (2. 66) ii) 0)0(, hu x em (2. 67) 2.7.3 - Prova de i Primeiro nós provaremos i). Defina w em (2. 65) por: fuw xx , (2. 68) 1 Estas equações são algumas vezes chamadas de equações de Euler-Lagrange da formulação fraca 49 onde é suave; ( ) 0x para todo ]0;1[x ; e (0) (1) 0 . Por exemplo, nós podemos tomar: ( ) 1x x x (2. 69) A qual satisfaz todos os requerimentos estipulados (veja Figura - 2. 4). Figura - 2. 5. Função bolha. Segue-se que 0)1( w e então w V , assim (2. 68) defina um legítimo membro de V . Substituindo (2. 68) em (2. 69) resulta em: 0,0, 1 0 0 2 0 hudxfu xxx em (2. 70) ou 00, 1 0 0 2 0 dxfu xx em (2. 71) Uma vez que 0 em , segue-se de (2. 71) que (i) deve ser satisfeita. Portanto, 0, fu xx (2. 72) Agora que nós temos estabelecido (i), nós podemos usar este em (2. 68) para provar (ii),. 2.7.4 - Prova de ii) Notadamente, temos que: 0,)0( 00 huw x (2. 73) 50 e que w V não põe restrição sobre seu valor em 0x . Portanto, nós podemos supor que o w em (2. 73) é tal que (0) 0w . Então (ii) é também mostrado ser válida, o que completa a prova da proposição. Observações : 1. A condição de contorno ou fronteira hu x )0(, não é explicitamente mencionada na afirmação de (W) condição de contorno natural.. Da prova precedente, nos vimos que esta condição de fronteira é, contudo, subentendida pela satisfação da equação variacional. Condições de fronteira deste tipo são referidas como condições de contorno natural. Por outro lado, soluções teste são explicitamente requeridas para satisfazer as condições de contorno u(1) = g. Condições de contorno deste tipo são chamadas de condições de contorno essenciais. O fato que as soluções da equação variacional satisfazem as condições de contorno naturais é extremamente importantes nas mais situações complicadas que nos consideraremos mais tarde. 2. O método usado para provar a parte (b) desta proposição leva o nome de lema fundamental na literatura do cálculo variacional. Na essência, esta é a metodologia que nos capacita a deduzir a equação diferencial e as condições de contorno impostas pela formulação fraca. Para desenvolver corretamente a forma fraca para problemas complexos, problemas multidimensionais, é essencial ter um entendimento profundo destes procedimentos. gu )1( porque Su é uma condição de contorno essencial. Agora nós vemos que para obter soluções aproximadas para o problema de valor de contorno original nos temos alternativos pontos de partida, isto é, as afirmações fortes ou fracas do problema. Os métodos de elementos finitos são baseados no posterior. Grosseiramente falando, a idéia básica é aproximar S e V por convenientes conjuntos de funções de dimensão finita. (Claramente, S e V contêm infinitas funções). As equações variacionais são então resolvidas em um contexto de dimensão finita. Um exemplo explícito de como trataremos isso está na próxima seção. Contudo, nós introduziremos algumas notações adicionais para simplificar a subseqüente escrita. 2.7.5 - Notação Abstrata O produto escalar de funções w e u será denotado por: 51 1 0 ),( wfdxfw (2. 74) O produto escalar da derivada de funções w e u será denotado por: 1 0 ,,),( dxuwuwa xx (2. 75) Em termos de (2. 73) e (2. 74), a equação variacional toma a forma: hwfwuwa )0(),(),( (2. 76) também satisfaz a condição de simetria Aqui ),( a , ),( são exemplos de formas bilineares, simétricas. O que a bilinearidade significa é que: Seja 1c e 2c constantes e seja u, v, e w seja funções. Então a propriedade de simetrias em cada posição é: ),(),( uvvu (2. 77) A bilinearidade significa que em cada um das “posições”, por exemplo ),(),(),( 2121 wvacwuacwvcuca (2. 78) e 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , )c u c v w c u w c v w (2. 79) o que é obviamente linear na 2ª posição também. Exercício 1. Use a definição de a(.,.) e (.,.) para verificar as propriedades de simetria e bilineariedade. As notações acima são muito concisas, e ao mesmo tempo elas capturam a característica matemática essencial e portanto nos conduz para um entendimento matemático dos métodos de elementos finitos e variacional. Diversas classes de problemas físicos podem ser escritos essencialmente de modo similar a (2. 76). Portantoas idéias desenvolvidas e resultados obtidos são vistos imediatamente por terem uma aplicabilidade ampla. 52 2. 8 - Método de Aproximação de Galerkin Nós agora descreveremos um método de obter soluções aproximadas para problemas de valor de contorno baseados na formulação fraca. Nossa introdução para este tópico é tratado de modo um tanto abstrato. Contudo, o significado deve ser significamente reforçado pelas seções restantes deste capítulo. Isto pode ser louvável para o leitor consultar esta seção novamente antes de completar o resto do capítulo para ter certeza de uma completa compreensão da matéria está alcançada. O primeiro passo no desenvolvimento do método é construir aproximações de dimensão finita de S e V. Estas coleções de funções serão denotadas por Sh e Vh respectivamente. Os super-escritos referem-se a associação com a malha, ou discretização, do domínio, o qual é parametrizado por um comprimento de escala característico, h . Nós desejamos acreditar que hS e hV sejam subsequ6encias de S e V, respectivamente. Isto é escrito como: Seja (i.e., se ,então )h h h hS S u S u S (2. 80) E (i.e., se ,então )h h h hV V w V w V (2. 81) onde o significado preciso é dado em parêntesis(2). Conseqüências de (2. 80)e (2. 81) são respectivamente que se h hu S e h hw V , são as condições de contorno: gu h )1( (2. 82) e 0)1( hw (2. 83) As coleções, S, V, hS , e hV , são freqüentemente referidas como funções de espaços. A terminologia espaço na matemática usualmente denota uma estrutura linear. Isto possui o seguinte significado: Se 1c e 2c são constantes e v e w estão em V , então 2 Esta condição pode ser considerada padrão. Contudo, é frequentemente violada na prática. Strang [2] cunhou a terminoloogia “crimes variacionais” para aplicar a esta, e outras situações nas quais as regras clássicas de métodos variacionais são violadas. Muitos “crimes variacionais” tem sido dado um rigorosa base matemática (e. g. veja [2]). Nós teremos mais a dizer sobre este assunto em capítulos subseqüentes. 53 1 2c v c w está também em V . Ambos V e hV são então visto possuir a propriedade de um espaço linear. Contudo, esta propriedade está claramente não dividida por S e hS devido as condições de contorno não homogêneas. Por exemplo, se 1u e 2u são membros de S , então 1 2u u S , uma vez que 1 2(1) (1) 2u u g g g na violação da definição de S . Portanto, a terminologia da função espaço é ainda (avulsamente) aplicado a S e hS 2.8.1 - Método de Bubnov-Galerkin Suponha que a coleção hV é dada. Então para cada membro h hv V , nós construímos uma função h hu S , ou seja, para cada hhhh SuVv hhh gvu (2. 84) onde hg é uma função conhecida satisfazendo as condições de contorno essenciais, i. e. (1)hg g (2. 85) Note que (2. 84) satisfaz também o requesito da condição de contorno: ggvu g hhh )1()1()1( 0 (2. 86) ou (1) 0hu g g (2. 87) Então (2. 84) constitui uma definição de hS , isto é, hS é toda função da forma (2. 84). O ponto chave é observar é que, a menos da função hg , hS e hV são composta de coleção idêntica de funções. Este propriedade será mostrada depois para ter conseqüências significantes para certas classes de problemas. Nós agora escrevemos a equação variacional, da forma (2. 76), em termos de e h h h hw V u S . ( , ) ( , ) (0)h h h ha w u w f w h (2. 88) 54 Esta equação deve ser pensada como uma definição aproximada (solução fraca), hu . Substituindo (2. 84) em (2. 88) e a bilinearidade de ( , )a permite-nos escrever: hwfwgvwa hh ADEBILINEARID hhh )0(),(),( (2. 89) Essa bilinearidade implica em: ),(),(),( hhhhhhh gwavwagvwa (2. 90) Portanto, a partir de: ( , ) ( , ) ( , ) (0)h h h h h ha w v a w g w f w h (2. 91) Logo ( , ) ( , ) (0) ( , )h h h h h h incógnita a w v w f w h a w g (2. 92) O lado direito da equação consiste da totalidade dos termos associados com os dados fornecidos (i. e. f, g e h). A equação (2. 92) deve ser definida hv , a parte desconhecida de hu . A forma de Bubnov-Galerkin do problema, denotada por (G) é definida da seguinte maneira: Dados f, g, h, definidos como antes, encontramos hhh gvu onde hhhh VwparaqtVv .. , temos: ),()0(),(),( hhhhhh gwahwfwvwa (2. 93) Note que G é apenas uma versão de W posta em termos de uma coleção de funções finitos dimensionais, notadamente, hV . Para fazer o assunto mais especifico, hg e hV tem que ser explicitamente definida. Antes de fazer isto é correto mencionar que uma larga classe de métodos de aproximações, chamada Métodos de Petrov-Galerkin, nos quais hv está contido em uma coleção de funções do que outras hV . Recente atenção tem sido prestada aos métodos desse tipo, especificamente no contexto da mecânica dos fluídos. Por esta vez, nos trataremos 55 exclusivamente com o Método de Bubnov-Galerkin. O método de Bubnov-Galerkin é comumente referido como simplesmente o método de Galerkin, terminologia que nos adotaremos de agora em diante. A equação (2. 92) é algumas vezes referida com a equação de Galerkin. Métodos de Aproximação desse tipo considerado são exemplos de tão chamados métodos dos resíduos ponderados. A referência padrão que trata desse assunto é Finlayson [3]. Para uma apresentação mais sucinta contendo um acontecimento histórico interessante, veja Finlayson e Scriven [4]. 56 2. 9- Equações na Forma Matricial (Matriz de Rigidez K) O método de Galerkin leva a um sistema acoplado de equações algébricas lineares. Para ver isto nós precisamos dar uma estrutura além da definição de hV . Seja hV consistindo de todas as combinações lineares de funções denotadas por :AN , onde 1,2,...,A n . Por issso nós dizemos que se h hw V , então existe constantes Ac , 1,2,...,A n , tal que: 1 int 1 1 2 2 , ( ) , [0;1] ... n h A A A A funções de erpolação n n w c N N x x c N c N c N (2. 94) As AN ’s são referidas como funções de forma, funções de base ou funções de interpolação. Nós requeremos que AN satisfaça: nAN A ,...,1,0)1( (2. 95) Para o qual segue-se de (2. 94) que (1) 0hw , como é necessário. hV é dito ter dimensão n, por razões obvias. Para definir os membros de hS nós precisamos especificar hg . Para este fim, nós introduzimos uma outra função de forma, 1 :nN , a qual possui a seguinte propriedade: 1)1(1 nN (2. 96) (Note que 1 h nN V .) Então hg é dado por: )(1 xgNg n h (2. 97) E então (1)hg g (2. 98) Com estas definições, um típico h hu S pode ser escrito como: 57 1 1 n n A AA hhh gNNdgvu (2. 99) onde as Ad ’s são constantes e do qual é aparente que: (1)hu g (2. 100) Substituindo (2. 94) e (2. 99) em dentro da equação de Galerkin (2. 93) temos: ),()0(),(),( 1 11111 n n A AA n A AA n A AA n B BB n A AA gNNcahNcfNcNdNca (2. 101) ou 0),()0(),(),( 1 11 AG nAAABBA n B n A A gNNahNfNdNNac (2. 102) Pelo uso da bilinearidade de ( , )a e ( , ) , (2. 101), como as funções NA são ortogonais no espaço de funções temos que: 0 1 A n A AGc (2. 103) tem que valer hw e tem que valer
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