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MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS

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1 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ 
SETOR DE TECNOLOGIA/SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL/ 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MÉTODOS NUMÉRICOS 
EM ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS: 
 
, 
por 
Lucas Máximo Alves 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURITIBA – PARANÁ 
MARÇO – 2007 
 2 
LUCAS MÁXIMO ALVES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS: 
 
, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURITIBA – PARANÁ 
MARÇO – 2007 
 3 
LUCAS MÁXIMO ALVES 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS: 
 
, 
 
 
Apostila organizada como resultado do estudo das aulas 
para obtenção de créditos da Disciplina de MÉTODOS DOS 
ELEMENTOS FINITOS do curso de Doutorado do 
Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos do 
Setor de Tecnologia/Setor de Ciências Exatas, 
Departamento de Engenharia Civil/Departamento de 
Matemática da Universidade Federal do Paraná 
 
 
 
 
Orientador: Prof. Dr. José Viriato Coelho Vargas 
 
Orientador: Prof. Dr. 
 
 
 
 
CURITIBA – PARANÁ 
MARÇO – 2007 
 4 
Dedicatória 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dedico, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
Agradecimentos 
 
 Agradeço a Deus pelo seu imenso amor e misericórdia revelado nas oportunidades 
que a vida me trouxe. Quero também agradecer: 
 À minha Família pelo apoio emocional e espiritual, ao meu orientador o Prof. Dr. 
....., ao meu Co-Orientador o Prof. Dr. .... , a Maristela Bradil pela amizade e dedicação com 
que nos atende, aos amigos, ...., .... ...., ......., e toda a galera do CESEC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6 
Epígrafe 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“vida é um algo multidimensional cuja 
imprevisível curvatura temporal só é 
conhecida quando se experimenta os fatos a 
cada dia e, mesmo assim, não se consegue 
prever com exatidão a curvatura temporal dos 
fatos seguintes, mesmo que se expanda esta (a 
curvatura futura) numa vizinhança em torno 
do fato no instante presente” (Lucas M. Alves) 
 
 
 
 
 
 
 
 7 
Sumário 
 
Apresentação ............................................................................................................................17 
Capítulo – I ...............................................................................................................................18 
INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS APROXIMADOS ............................................................18 
1. 1 – Objetivos do capítulo......................................................................................................18 
1. 2 – Introdução ............................................................................................................18 
1. 3 – Motivação e Conceitos Fundamentais ............................................................................19 
1. 4 – Simplificação de um Problema Real ..............................................................................19 
1. 5 – Tipos de Métodos Numéricos.........................................................................................20 
1. 6 – Discretização do Problema .............................................................................................20 
1. 7 – Exemplos e Aplicações...................................................................................................21 
1. 8 – Equações Diferenciais e Algébricas do Problema..........................................................24 
1. 9 – Método dos Elementos Finitos .......................................................................................25 
1. 10 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................26 
1. 11 – Exercícios e Problemas.................................................................................................27 
Capítulo – II..............................................................................................................................28 
O PROBLEMA DOS ELEMENTOS FINITOS UNIDIMENSIONAL - 1D ..........................28 
2. 1 - Objetivos do capítulo ......................................................................................................28 
2. 2 - Introdução ............................................................................................................29 
2. 3 – Variações dos Modelos no Método de Elementos Finitos .............................................31 
2. 4 – Definição Matemática e Desenvolvimento do Método ..................................................33 
2. 5 - O problema 1D forma mais forte (clássica) ....................................................................38 
2. 6- Forma Fraca ou Variacional do Problema de Valor de Contorno 1D (P.V.C.) ...............43 
2. 7- Equivalência de Formas Forte e Fraca; Condições de Contorno Naturais.......................46 
2. 8 - Método de Aproximação de Galerkin .............................................................................52 
2. 9- Equações na Forma Matricial (Matriz de Rigidez K) ......................................................56 
2. 10 - Exemplo de 1 e 2 graus de Liberdade ...........................................................................61 
2. 11 - Espaço de Elementos Finitos Lineares..........................................................................73 
2. 12- Propriedades da Matriz de Rigidez K ............................................................................77 
2. 13- Análise Matemática........................................................................................................80 
2. 14- Interlúdio: Eliminação de Gauss; Versão do Cálculo a Mão .........................................91 
2. 15 - O Ponto de Vista do Elemento ......................................................................................99 
2. 16- Matriz de Rigidez Elementar e Vetor Forças ...............................................................103 
2. 17 - Montagem da Matriz e Vetor Forças Globais .............................................................106 
 8 
2. 18 – Cálculo Explícito da Matriz de Rigidez e do Vetor Forças........................................110 
2. 19 - Exemplos e Aplicações Teóricas.................................................................................116 
2. 20 - Exercícios e Problemas Teóricos: Teoria da Viga de Euler-Bernoulli e Cúbicas 
Hermíticas ..........................................................................................................120 
2. 21 - Exemplos Práticos e Aplicações .................................................................................127 
2. 22 - Exercícios e Problemas Práticos .................................................................................143 
Capítulo – III ..........................................................................................................................149 
O PROBLEMA BI E TRIDIMENSIONAL - 2D E 3D .........................................................149 
3. 1 - Objetivos do capítulo ....................................................................................................149 
3. 2 – Introdução ..........................................................................................................149 
3. 3 – O problema 2D e 3D.....................................................................................................150 
3. 4 – O Problema da Conduçãode Calor Linear Clássica.....................................................152 
3. 5 – O Problema da Elasticidade Linear ..............................................................................158 
3. 6 – Estado de Tensões Planas e Deformações Planas ........................................................163 
3. 7 – Análise Acoplada..........................................................................................................168 
3. 8 – Apresentação do Código FEAP....................................................................................169 
3. 9 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................170 
3. 10 – Exercícios e Problemas...............................................................................................172 
Capítulo – IV ..........................................................................................................................187 
ELEMENTOS ISOPARAMÉTRICOS ..................................................................................187 
4. 1 - Objetivos do capítulo ....................................................................................................187 
4. 2 – Introdução ..........................................................................................................188 
4. 3 – Elementos Isoparamétricos e o seu Conceito de Programação ....................................190 
4. 4 – Elemento Quadrilateral Bilinear ...................................................................................192 
4. 5 – Elementos Isoparamétricos...........................................................................................194 
4. 6 – Elementos Triangular Linear ........................................................................................196 
4. 7 – Polinômios de Lagrange – 1D ......................................................................................198 
4. 8 – Elementos com um Número Variável de Nós ..............................................................199 
4. 9 – Quadratura Gaussiana...................................................................................................200 
4. 10 – Subrotinas de Funções de Interpolação e de Cálculo de Rigidez Elementar..............201 
4. 11 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................202 
4. 12 – Exercícios e Problemas...............................................................................................203 
Capítulo – V ...........................................................................................................................204 
MÉTODOS MISTOS E DE PENALIDADE .........................................................................204 
5. 1 - Objetivos do capítulo ....................................................................................................204 
5. 2 – Introdução ..........................................................................................................204 
 9 
5. 3 – Métodos Mistos e de Penalidade ..................................................................................205 
5. 4 – Normas de Sobolev.......................................................................................................206 
5. 5 – Melhor Aproximação e Estimativa de Erro..................................................................207 
5. 6 – Elasticidade Incompressível .........................................................................................208 
5. 7 – Escoamento de Stokes ..................................................................................................209 
5. 8 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................210 
5. 9 – Exercícios e Problemas.................................................................................................211 
Capítulo – VI ..........................................................................................................................212 
PROBLEMAS TRANSIENTES ............................................................................................212 
6. 1 - Objetivos do capítulo ....................................................................................................212 
6. 2 – Introdução ..........................................................................................................212 
6. 3 - Problemas Transientes...................................................................................................213 
6. 4 - Problemas Parabólicos (Equação de Calor) ..................................................................214 
6. 5 - Problemas Hiperbólicos (Elastodinâmica e Dinâmica Estrutural) ................................215 
6. 6 – Algoritmos Computacionais .........................................................................................216 
6. 7 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................217 
6. 8 – Exercícios e Problemas.................................................................................................218 
Capítulo – VII.........................................................................................................................219 
INTRODUÇÃO A ANÁLISE NÃO-LINEAR TÉRMICA E ELÁSTICA ...........................219 
7. 1 - Introdução ..........................................................................................................219 
7. 2 – A Formulação do Problema Forte e Fraca de Problemas Térmicos Não-Lineares ......220 
7. 3 – A Formulação do Problema Forte e Fraca de Problemas Elásticos Não-Lineares.......232 
7. 3 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................245 
7. 3 – Exercícios e Problemas.................................................................................................246 
Capítulo – VIII .......................................................................................................................247 
MECÂNICA DOS FLUIDOS................................................................................................247 
8. 1 - Introdução ..........................................................................................................247 
8. 2 - Fundamentação Teórica ................................................................................................249 
8. 3 - Equação de Navier-Stokes para Escoamento Laminar .................................................250 
8. 4 - Modelo de Penalidade para o Problema de Navier-Stokes ...........................................257 
8. 4 – Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos...........................................................262 
8. 5 – Projetos de Análise Não-Linear....................................................................................269 
8. 6 – Equação de Navier-Stokes em 3D................................................................................270 
8. 7 – Solução Numérica da Equação de Navier-Stokes + Energia I .....................................274 
8. 8 – Formulação de Transferência de Calor Fluido/Sólido..................................................287 
8. 9 – Solução Numérica da Equação de Navier-Stokes + Energia II ....................................290 
 10 
8. 10 – Fluidos Não-Newtonianos Inelásticos ........................................................................291 
8. 11 – Fluidos Não-Newtonianos Viscoelásticos ..................................................................292 
8. 11 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................293 
8. 11 –Exercícios e Problemas...............................................................................................294 
Capítulo – IX ..........................................................................................................................295 
SOLUÇÃO GERAL DE EQUAÇÕES ..................................................................................295 
NÃO-LINEARES...................................................................................................................295 
9. 1 – Introdução ..........................................................................................................295 
9. 2 – O Método do Ponto Fixo ..............................................................................................296 
9. 3 – O Método de Piccard de Susbtituição Sucessiva..........................................................298 
9. 4 – O Método de Newton ...................................................................................................299 
9. 5 – Métodos de Newton Modificados ou (Quase-Newton)................................................300 
9. 6 – Métodos de Continuação ..............................................................................................308 
9. 6 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................321 
9. 6 – Exercícios e Problemas.................................................................................................322 
2ª Prova...................................................................................................................................326 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR COMPUTACIONAL.......................................................326 
Solução Por Newton-Raphson................................................................................................326 
Solução Por Newton-Raphson Modificado com Jacobiano calculado Numericamente ........331 
Solução Por Newton-Raphson com Line-Search ...................................................................332 
Solução Por Newton-Raphson com estratégia de Comprimento de Arco..............................333 
Capítulo – X ...........................................................................................................................334 
ELEMENTOS FINITOS UNIDIMENSIONAL ....................................................................334 
6. 9 – Exemplos e Aplicações.................................................................................................349 
6. 10 – Enfoque Variacional ...................................................................................................370 
6. 11 – Exemplos e Aplicações...............................................................................................378 
6. 12 – Um Caso Especial de Elementos Finitos....................................................................385 
6. 13 – Exercícios e Problemas...............................................................................................392 
Projeto Condução de Calor em Placa Rugosa Fractal ............................................................393 
Apêndices ...............................................................................................................................397 
A. 1 – Funções de Interpolação Local Lineares .....................................................................397 
A. 2 – Funções de Interpolação Local Quadráticas ................................................................402 
A. 3 – Tutorial para entrar no ENGTERM9 via WebtermXpower Plugin .............................408 
A. 4 – Tutorial para entrar no ENGTERM9 via VNC Server ................................................413 
A. 5 – Manual de Operação do Programa FEAP-Linux.........................................................414 
A. 6 – Manual de Comandos Internos do Programa FEAP-Linux.........................................420 
 11 
A. 7 – Como preparar um Arquivo de Entrada do Programa FEAP-Linux ...........................424 
A. 8 – Exemplo de um Arquivo de Entrada do Programa FEAP-Linux ................................431 
A. 9 – Procedimento para Análise Estrutural 2D no Programa FEAP-Linux ........................434 
A. 10 – Algoritmo do Método de Newton Raphson implementado no Maple IX .................435 
A. 11 – Tablea de Resultados Gerado pelo Método de Newton Raphson implementado no 
Maple IX ..........................................................................................................437 
Bibliografia.............................................................................................................................438 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12 
Lista de Figuras 
 
Figura - 1. 1. Diagrama de passos simplificadores de um problema real.................................19 
Figura - 1. 2. Problema de carregamento de tensão mecânica em uma placa com um furo 
circular no centro. .....................................................................................................................20 
Figura - 1. 3. .............................................................................................................................21 
Figura - 1. 4. .............................................................................................................................21 
Figura - 1. 5. .............................................................................................................................22 
Figura - 1. 6. Diagrama de substituição de um Modelo Contínuo exato por um Modelo 
Discreto Aproximado. ..............................................................................................................24 
Figura - 1. 7. Diagrama de Transformação de Equações Diferenciais em Equações Algébricas 
equivalentes. .............................................................................................................................24 
Figura - 1. 8. .............................................................................................................................25 
Figura - 1. 9. .............................................................................................................................25 
Figura - 2. 1. .............................................................................................................................39 
Figura - 2. 2. Função bolha.......................................................................................................49 
Figura - 2. 3. Funções para o exemplo de 1 grau de liberdade. (estas funções são secretamente 
a mais simples funções de interpolação dos elementos finto no contexto de um elemento.)...61 
Figura - 2. 4. A solução de Galerkin para o exemplo de 1 grau de liberdade. .........................63 
Figura - 2. 5. Comparação das soluções particulares exatas e de Galerkin, Exemplo 1 caso (ii).
..................................................................................................................................................64 
Figura - 2. 6. Comparação das soluções particulares exatas e de Galerkin, Exemplo 1 caso 
(iii). ...........................................................................................................................................65 
Figura - 2. 7. Funções o exemplo para 2 graus de liberdade. (Estas funções são secretamente 
as funções mais simples dos elementos finitos em um contexto de dois elementos.) ..............66 
Figura - 2. 8. Função peso típico e solução tentativa para o exemplo com 2 graus de liberdade.
..................................................................................................................................................67 
Figura - 2. 9. Comparação dassoluções particulares e exata e de Galerkin, Exemplo 2, caso 
(ii). ............................................................................................................................................70 
Figura - 2. 10. Comparação das soluções particulares exata e de Galerkin, Exemplo 2, caso 
(iii). ...........................................................................................................................................71 
Figura - 2. 11. Funções de base para um espaço compacto de elementos finitos lineares .......74 
Figura - 2. 12. Um membro típico de h hw V .........................................................................74 
Figura - 2. 13. ...........................................................................................................................75 
Figura - 2. 14. Se 1B A  , as partes não nulas de BN e AN não se sobrepõem. .................77 
Figura - 2. 15. ...........................................................................................................................78 
Figura - 2. 16. Funções generalizadas elementares. a) Parênthesis de MaCaulay <x-y> b) 
Função de Heaviside H(x-y) = <x-y>,x c) (x-y) = H(x-y),x....................................................81 
Figura - 2. 17. Funções de Green. ............................................................................................82 
Figura - 2. 18. ...........................................................................................................................85 
Figura - 2. 19. ...........................................................................................................................86 
Figura - 2. 20. Descrição Local e Global do e’ésimo elemento. ............................................102 
Figura - 2. 21. .........................................................................................................................103 
Figura - 2. 22. X’s indica termos não-nulos; todos os outros termos são zero.......................105 
Figura - 2. 23. arranjo LM para o problema exemplo ............................................................106 
Figura - 2. 24. Fluxograma de um algoritmo de montagem de um elemento finito...............108 
Figura - 2. 25. Aproximação para f por uma interpolação linear de valores nodais...............112 
Figura - 1. 10. .........................................................................................................................121 
 13 
Figura - 2. 26. Elemento quadrilateral de duas dimensões para o uso na geração de malhas no 
FEAP. .....................................................................................................................................127 
Figura - 3. 1. ...........................................................................................................................150 
Figura - 3. 2 ............................................................................................................................166 
Figura - 6. 1. Rede de pontos nodais do Domínio,  e dos Subdomínios, e . ....................29 
Tabela - VI. 1.Quadro Resumo das Diferentes Formulações do Método de Elementos Finitos
..................................................................................................................................................32 
Figura - 6. 2. Mudança do domínio contínuo de coodenadas (x,y) para o discreto de 
coordenadas (i,j) .......................................................................................................................33 
Figura - 6. 3. Rede de pontos nodais do Domínio,  e dos Subdomínios, e . ....................35 
Figura - 6. 4. Intervalo de aplicação do Método de Galerkin .................................................337 
Figura - 6. 5. Elemento Finito linear entre dois pontos. .........................................................398 
Figura - 6. 6. Estruturação unidimensional dos Elementos Finitos. .......................................400 
Figura - 6. 7. Intervalo de aplicação do Método de Galerkin .................................................362 
Figura - 6. 8. ...........................................................................................................................374 
Figura - 6. 9. ...........................................................................................................................378 
Figura - 6. 10. Elemento Finito Quadrático entre três pontos ................................................402 
Figura - 6. 11. Estruturação unidimensional dos Elementos Finitos Quadráticos..................407 
Figura - A. 1. ..........................................................................................................................409 
Figura - A. 2. ..........................................................................................................................412 
Figura - A. 3. ..........................................................................................................................416 
Figura - A. 4. ..........................................................................................................................419 
Figura - A. 5. ..........................................................................................................................420 
Figura - A. 6. ..........................................................................................................................422 
Figura - A. 7. ..........................................................................................................................424 
Figura - A. 8. ..........................................................................................................................433 
Figura - A. 9. ..........................................................................................................................433 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 14 
Lista de Tabelas 
 
Tabela - VI. 1.Quadro Resumo das Diferentes Formulações do Método de Elemntos Finitos
................................................................................................................................................172 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 15 
Lista de Siglas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16 
Lista de Símbolos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 17 
Apresentação 
 Esta apostila é resultado da digitação das aulas do prof. Dr. Eng. Jose Vriato 
Coelho Vargas, ministradas no curso de Análise Térmica e Estrutural I no Departamento de 
Engenharia Mecânica da Universidade Federal do Paraná. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 18 
Capítulo – I 
INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS APROXIMADOS 
RESUMO 
 Neste capítulo será visto como a utilização de métodos aproximados pode ajudar a 
resolver problemas de equações diferenciais, quando a solução analítica é inacessível. 
Abordaremos o tema das hipóteses simplificadoras e a utilização de equações algébricas na 
substituição de equações diferenciais complexas. 
1. 1 – Objetivos do capítulo 
 i) Entender a problemática dos Métodos Aproximados aplicados a Engenharia. 
 ii) Distinguir situações onde a utilização dos Métodos Aproximados é viável. 
 iii) Saber da existência de diversos Métodos Aproximados. 
1. 2 – Introdução 
 A partir de agora estudaremos diferentes métodos de simplificação de problemas 
reais e de aproximação das soluções das equações diferenciais presentes na Engenharia. 
 A motivação do uso de métodos aproximadosestá em: 
 Validar a prática ou o experimento através do equacionamento matemático que 
modela um problema físico qualquer. 
 Por exemplo, o deslocamento medido por strain gauges, as medidas de 
temperatura, as medidas de velocidades em um túnel de vento são exemplos de medidas 
experimentais que podem ser validadas através de uma simulação numérica, para execução de 
um projeto futuro. 
 19 
1. 3 – Motivação e Conceitos Fundamentais 
 Uma pergunta básica é: 
Por que usar Métodos Aproximados? 
 Pode-se utilizar métodos numéricos para a obtenção de medições inviáveis 
economicamente, tais como tensão máxima, max , Temperatura máxima, maxT 
 As vantagens de se utilizar métodos numéricos são: 
1) Tempo de projeto reduzido com redução de custos. 
2) Simula condições impossíveis em experimentos 
3) Proporciona informações detalhadas e compreensíveis 
4) Viabiliza a OTIMIZAÇÃO (não há nada melhor dada os critérios utilizados) 
 A implementação de Métodos Numéricos está relacionada com as condições de 
SOFTWARE e HARDWARE. Os métodos Numéricos representam o caminho para a 
soluaçào de um problema físico, e o software deve ser desenvolvido de forma adequada. 
Contudo, o grande limitante da solução do problema é o hardware. Por exemplo, Análise 
Complexas em três dimensões, 3D, requer processamentos mais eficazes. 
 Os tipos de processamentos que podem ser utilizados são o Escalar: que utiliza 
um único computador, e o Vetorial, que utiliza dois ou mais computadores processando em 
paralelo, ou ainda um super-computador com diversas unidades de processamento. 
1. 4 – Simplificação de um Problema Real 
 Na tentativa de se descrever quantitativamente um problema (fenômeno) físico, ou 
seja, de se obter uma expressão matemática que corresponda ao fenômeno em questão, 
inicialmente o problema físico real é substituído por um problema equivalente, mais simples. 
 
 Figura - 1. 1. Diagrama de passos simplificadores de um problema real 
 Neste novo problema são selecionados os parâmetros considerados fundamentais 
e que podem ser descritos matematicamente através de um sistema de equações diferenciais 
 20 
válido em todo o domínio do problema. A esse sistema são impostas condições de contorno 
e/ou condições iniciais apropriadas. O próximo passo é a busca da solução para o problema. 
1. 5 – Tipos de Métodos Numéricos 
 Os Métodos Numéricos se dividem em Locais e Globais. Os socais são 
representados pelo Métodos de Diferenças Finitas, Métodos dos Elementos Finitos, Métodos 
dos Volumes Finitos, etc. O Métodos Globais são Representados pelos Métodos Espectrais de 
Domínios Alternativos que utilizam Transformadas Integrais de Laplace e Fourier, etc. 
 Todo método numéricos precisa passar por uma etapa chamada de discretização 
seja do domínio ou do contorno. 
1. 6 – Discretização do Problema 
 Discretização é processo de conversão das Equações Diferenciais de Domínio 
Contínuo para Equações Algébricas de Domínio Discreto, conforme mostra a exemplo da 
Figura - 1. 2 
 
 Figura - 1. 2. Problema de carregamento de tensão mecânica em uma placa com um furo circular 
no centro. 
 
 
 
 21 
1. 7 – Exemplos e Aplicações 
 
1.7.1 - Domínio e Análise 
 
 
 Figura - 1. 3. 
1.7.2 - Método Numérico 
1) Obtenção da Solução nos Nós 
2) Mecanismo de Interpolação da Solução 
 
0,1 Não é expresso exatamente no computador. 
 
 Figura - 1. 4. 
 22 
1.7.3 - Natureza de um Problema Bem Posto 
1) Existe Solução 
2) A Solução é única 
 
Exemplo: 
 Considere o seguinte Problema de Valor Inicial (P.V.I.) 
cxy  arctan (1. 1) 
 
21
1
xdx
dy

 (1. 2) 
 
0)0( xy (1. 3) 
 
 
3) Estabelecimento das Condições de Contorno 
 
 
 Figura - 1. 5. 
 
 
 23 
A
F
 (1. 4) 
 
 E (1. 5) 
 
j
i
ij
o x
u
L
L


 

 (1. 6) 
 
 
 
1.7.4 - Condições de Contorno 
 
1) Dirichilet (u) 
 
 
 
2) Neumann ( ixu  / ) 
 
 
 
3) Mista ou de Robin ( kxuu i  / ) 
 
 24 
1. 8 – Equações Diferenciais e Algébricas do Problema 
 Um sistema de equações diferenciais constitui um modelo contínuo, que possui 
infinitos graus de liberdade, uma vez que as variáveis se distribuem continuamente em todo o 
domínio do problema. Com exceção de alguns casos mais simples, em geral não é possível 
encontrar soluções analíticas para o problema. Recorre-se, então, aos modelos discretos (ou 
numéricos), obtidos dos modelos contínuos através de hipóteses simplificadoras: As variáveis 
que constituem infinitos graus de liberdade, são expressos em termos de um número finito de 
graus de liberdade. Esses graus de liberdade são incógnitas dos modelos discretos dos 
sistemas equivalentes e são determinados a partir da solução de um sistema de equações 
algébricas. 
 
Figura - 1. 6. Diagrama de substituição de um Modelo Contínuo exato por um Modelo Discreto Aproximado. 
 Resumidamente, quando o modelo contínuo é substituído por um modelo discreto, 
o problema matemático da solução de um sistema de equações diferenciais é substituído pelo 
problema da solução de um sistema de equações algébricas. 
 
Figura - 1. 7. Diagrama de Transformação de Equações Diferenciais em Equações Algébricas equivalentes. 
 
1.8.1 - Precisão da Solução Aproximada 
 
1) Comparação com solução exata (se existir) – Calibração do Método. 
2) Refinamento – Leva a uma Convergência da Solução 
3) Comparação com Resultados Experimentais - 
 25 
4) Reprodutibilidade dos Resultados - Para as mesmas condições experimentais com as 
considerações dos erros e as variações estatísticas sobre a dispersão dos valores obtidos em 
relação aqueles previstos pelo modelo. 
1. 9 – Método dos Elementos Finitos 
 Em geral, o Método de Elementos Finitos envolve dividir um sistema em 
componentes menores por meio do processo de DISCRETIZAÇÃO. 
 Considere a treliça que é um objeto da engenharia. 
 
 Figura - 1. 8. 
 
 Figura - 1. 9. 
 
 
 
 
 
 
 
 26 
1. 10 – Exemplos e Aplicações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 27 
1. 11 – Exercícios e Problemas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 28 
Capítulo – II 
O PROBLEMA DOS ELEMENTOS FINITOS 
UNIDIMENSIONAL - 1D 
RESUMO 
 Neste capítulo será visto a origem do Método dos Elementos Finitos. Este método 
se apresenta como uma alternativa ao Método Variacional e ao Método dos Resíduos 
Ponderados e por sua vez deu origem ao Método dos Elementos de Contorno. A formulação 
unidimensional do método dos elementos finitos. A formulação de Galerkin. A montagem da 
matriz de rigidez elementar, a descrição matemática de elementos finitos unidimensionais 
lineares. Alguns teoremas fundamentais e a solução de exemplos acadêmicos e discussão 
destes exemplos. 
2. 1 - Objetivos do capítulo 
 i) Entender a origem do Método dos Elementos Finitos 
 ii) Capacitar aluno a resolver problemas físicos lineares modelados por equações 
diferenciais, pelo Método dos Elementos Finitos, como por exemplo a análise de 
equipamentos sob solicitações térmicas e mecânicas, independentes ou combinadas 
 iii) Entender os conceitos fundamentais do Método dos Elementos Finitos na sua 
versão unidimensional. 
 iv) Saber formular matematicamente um problema unidimensional e saber montar 
a equação matricial elementar e global dos elementos finitos. 
 v) Saber aplicar o Método dosElementos Finitos a problemas unidimensionais. 
 vi) Saber aplicar o Método dos Elementos Finitos nas suas mais diferentes formas 
 vii) Resolver problemas de equações diferenciais pertinentes ao método. 
 29 
2. 2 - Introdução 
 O Método dos Elementos Finitos é um método de solução aproximada de 
equações diferenciais muito úteis em ciência e engenharia. Ele possibilita a simulação de 
situações reais em um espaço discreto, cujo limite infinitesimal tende ao contínuo. A 
visualização computacional também tem seguido a implementação dos cálculos por este 
método permitindo uma análise visual das situações determinadas através do cálculo 
numérico. 
 A idéia básica do Método dos Elementos Finitos consiste em subdividir, 
inicialmente, o domínio do problema, em subdomínios de dimensões finitas tais que, o 
conjunto de todos os subdomínios seja igual ao domínio original. Em seguida, sobre cada 
subdomínio, isoladamente, adota-se um comportamento aproximado, local, para as incógnitas 
do problema, conforme esquematiza a Figura - 2. 1. 
 Em geral, esse comportamento local é descrito com o emprego de funções 
simples. A característica principal desse procedimento, então, consiste em utilizar 
aproximações locais nos subdomínios, nos quais o domínio original foi dividido, em vez de 
utilizar aproximações de caráter global. Para a obtenção de respostas cada vez melhores, 
aumenta-se o número de subdomínios, mantendo-se o mesmo comportamento local já adotado 
em cada subdomínio, no lugar de se adotar funções de ordem maior na aproximação de caráter 
global. Os subdomínios são denominados elementos finitos. 
 Os elementos finitos são definidos por sua forma geométrica, pelas funções de 
aproximação adotadas e pelos tipos de problemas para os quais foram desenvolvidos. Cada 
elemento possui um número determinado de pontos nodais, ou nós, que podem ser internos ou 
externos. Os nós externos fazem a conexão com os elementos vizinhos. 
 
 Figura - 2. 1. Rede de pontos nodais do Domínio,  e dos Subdomínios, e . 
 30 
 Nos nós comuns aos diferentes elementos, o valor das variáveis do problema é o 
mesmo, independentemente do elemento que esteja sendo considerado. 
 Após a definição da malha de elementos finitos e do tipo de elemento (linear, 
triangular, quadrático, etc), as matrizes características correspondentes a cada elemento 
podem ser formadas e, em seguida, agrupadas, formando o sistema global de equações. A 
solução deste sistema fornece os valores das incógnitas nos pontos nodais. Através do 
comportamento aproximado local, as incógnitas do problema, em qualquer ponto do 
elemento, são calculadas em função dos valores nodais das mesmas incógnitas nos pontos 
nodais já conhecidos, isto é, as aproximações locais são funções de interpolação, por meio dos 
quais os valores das incógnitas em qualquer ponto pertencente ao elemento finito são 
calculados em função dos valores nodais. 
2.2.1 – A origem do Método dos Elementos Finitos 
 O trabalho de Turner, Cough, Martin e Topp “Stiffness and Deflection Analysis of 
Complex Structures” publicado em 1956 no Journal of Aeronautical Sciences. Vol. 23, pag. 
805-823, é reconhecido como um dos primeiros a apresentar os fundamentos do Método dos 
Elementos Finitos. 
 As bases teóricas do método foram mais bem definidas no início da década de 60 
com o estudo mais aprofundado dos Métodos Energéticos e de Técnicas Variacionais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 31 
2. 3 – Variações dos Modelos no Método de Elementos Finitos 
 Para problemas de Mecânica dos Sólidos, podem ser identificados quatro 
formulações, ou modelos básicos, que pertencem ao “Enfoque Variacional” do método: 
2.3.1 - Modelo Compatível 
 Baseia-se no Princípio da Energia Potencial Mínima. Sobre cada elemento é 
adotado um campo de deslocamento, escolhidos de tal maneira que haja continuidade de 
deslocamentos e, eventualmente, de suas derivadas, entre os elementos. As incógnitas são os 
deslocamentos nos pontos nodais. 
2.3.2 - Modelo de Equilíbrio 
 Baseia-se no Princípio da Energia Complementar Mínima. Sobre cada elemento é 
adotado um campo de tensões em equilíbrio; o equilíbrio entre elementos também é mantido. 
As incógnitas são as tensões nos pontos nodais. É um modelo pouco utilizado na prática. 
2.3.3 - Modelo Híbrido 
 Há dois tipos. O primeiro tipo se baseia em um Princípio de Energia 
Complementar Mínima Modificado. No interior de cada elemento é adotado um campo de 
tensões em equilíbrio e, no contorno de cada elemento, um campo de deslocamento é adotado, 
devendo haver compatibilidade de deslocamento entre elementos vizinhos. As incógnitas são 
os deslocamentos nodais. Aplicações Práticas: Problemas de estado plano de tensão ou 
deslocamento e de flexão de placas. 
 O segundo tipo se baseia em um Principio de Energia Potencial Mínima 
Modificado. No interior de cada elemento é adotado um campo de deslocamentos e, no 
contorno de cada elemento, um campo de tensões é adotado, devendo haver equilíbrio de 
tensões (forças de superfícies) entre elementos vizinhos. As incógnitas são as tensões, ou 
forças de superfícies nos pontos nodais. Esse modelo é pouco utilizado. Vantagem do Modelo 
Híbrido: Os resultados são mais precisos. 
2.3.4 - Modelo Misto 
 Baseia-se em um Princípio Variacional Generalizado, como o Princípio de 
Reissner. Sobre cada elemento são adotados, simultaneamente e independentemente, campos 
de tensões e de deslocamentos. As incógnitas são as tensões (ou forças de superfícies) e os 
 32 
deslocamentos nos pontos nodais. Vantagem do Modelo Misto: Deslocamentos e tensões são 
determinados com a mesma precisão. 
 No final da década de 70 foram introduzidos formulações baseadas na aplicação 
localizada do Método de Galerkin, o que possibilitou que o Método dos Elementos Finitos 
fosse empregado na solução de problemas que não possuam Formulação Variacional. De 
uma maneira geral, qualquer um dos Métodos de Resíduos Ponderados pode ser utilizado no 
cálculo pelo Método dos Elementos Finitos. 
 Tabela - VI. 1.Quadro Resumo das Diferentes Formulações do Método de Elementos Finitos 
Método Principio Utilizado Elementos 
Incógnitas 
nos pontos 
nodais 
Condições Vantagens Aplicações Práticas 
Compatível 
Princípio da 
Energia 
Potencial 
Mínima 
Campo de 
Deslocamento Deslocamentos 
Continuidade nos 
Deslocamentos e 
suas derivadas 
 
Equilíbrio 
Princípio da 
Energia 
Complementar 
Mínima 
Campo de 
Tensão em 
equilíbrio 
Tensão Equilíbrio pouco utilizado 
Híbrido do 
1º Tipo 
Princípio da 
Energia 
Complementar 
Mínima 
Modificado 
Campo de 
Tensão em 
equilíbrio no 
domínio e 
campo de 
Deslocamentos 
no contorno 
Deslocamentos 
Compatibilidade 
nos 
Deslocamentos 
entre os 
elementos 
vizinhos 
Resultados 
mais precisos 
Problemas 
de flexões 
em placas 
Híbrido do 
2º Tipo 
Princípio da 
Energia 
Potencial 
Mínima 
Modificado 
Campo de 
Deslocamentos 
no domínio e 
Campo de 
Tensões no 
contorno 
Tensões ou 
forças de 
superfícies 
Equilíbrio de 
Tensões (ou 
forças de 
superfícies) entre 
elementos 
vizinhos 
Resultados 
Mais precisos 
Misto 
Princípio da 
Variacional 
Generalizado 
(Reissner) 
Campo Tensões 
e 
Deslocamentos 
no domínio 
Tensões (ou 
forças de 
superfícies) e 
os 
Delocamentos 
 
Deslocamentos 
e Tensões 
determinados 
com mesma 
precisão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 33 
2. 4 – Definição Matemática e Desenvolvimento do Método 
 O Método de Elementos Finitos teve sua origem nos Métodos Variacionais 
aproximados, mas a partir doMétodo dos Resíduos Ponderados, este vínculo passou a ser não 
mais necessário. Portanto, por ser esta última situação de abragência mais geral, para o 
Método de Elementos Finitos, começaremos a representá-lo, em primeiro lugar, a partir do 
Método de Resíduos Ponderados, apesar de não ser a ordem histórica de evolução do método. 
Depois trataremos o Enfoque Variacional do Método de Elementos Finitos. 
2.4.1 – Aproximação do Problema Contínuo pela Discretização do Domínio 
 Seja um problema unidimensional dado pela seguinte equação diferencial: 
L(u) = b em  , (2. 1) 
sujeito as condições de contorno 
S(u) = g em  , (2. 2) 
onde L e S são operadores lineares. 
 Este problema será aproximado por uma função do tipo: 




1
1
M
m
mm Nuuu em  , (2. 3) 
cujo o domínio continuo,  será substituído por um domínio equivalente, discreto conforme 
mostra a Figura - 2. 2. 
 
 Figura - 2. 2. Mudança do domínio contínuo de coodenadas (x,y) para o discreto de coordenadas 
(i,j) 
 34 
 Logo, no domínio discretizado, teremos: 
L(u ) = b em  , (2. 4) 
e no contorno discretizado, temos: 
S(u ) = g em . (2. 5) 
Substituindo (2. 3) em (2. 4)e (2. 5) ficamos com: 
L 



1
1
)(
M
m
mm bNu em  (2. 6) 
e, no contorno: 
S 



1
1
)(
M
m
mm gNu em . (2. 7) 
Como L e S são operadores lineares, no domínio, podemos escrever: 



1
1
M
m
mu L bNm )( em  , (2. 8) 
e no contorno, 



1
1
M
m
mu S( gNm )( ) em . (2. 9) 
2.4.2 - Definição dos Elementos Finitos Unidimensional 
 Se o domínio  é dividido ou discretizado em E subdomínios, e, da seguinte 
forma: 



E
e
e
1
 (2. 10) 
E, se em correspondência a divisão do domínio, o contorno, , é dividido em B partes, b, da 
seguinte forma: 



B
b
b
1
 . (2. 11) 
 35 
 
 Figura - 2. 3. Rede de pontos nodais do Domínio,  e dos Subdomínios, e . 
Logo, teremos: 


E
e 1
L(


1
1
M
m
e
mm Nu ) = b em e , (2. 12) 
sujeito as condições de contorno 


B
b 1
S(


1
1
M
m
e
mm Nu ) = g em b . (2. 13) 
Como L e S são operadores lineares temos: 



1
11
M
m
m
E
e
u L ( emN ) = b em e , (2. 14) 
sujeito as condições de contorno 



1
11
M
m
m
B
b
u S( emN ) = g em b. (2. 15) 
 
2.4.3 – Inclusão do Método dos Resíduos Ponderados Unidimensional 
 A sentença de resíduos ponderados de caráter global (onde as funções de 
aproximação são válidas em  e em ): 
0   
 
 dwdw ll . (2. 16) 
 Logo, os erros cometidos no domínio é: 
 36 
 L(


1
1
M
m
mmNu ) – b  0 em  (2. 17) 
E no contorno: 
 S(


1
1
M
m
mmNu ) – g  0 em  (2. 18) 
Como L e S são operadores lineares temos: 
no domínio: 




1
1
M
m
mue L (Nm) - b  0 em e (2. 19) 
e no contorno 




1
1
M
m
mue S(Nm) - g  0 em b (2. 20) 
 Se o domínio  é dividido em E subdomínios, e, e se, em correspondência a 
divisão do domínio, o contorno, , é dividido em B partes, b. A sentença de resíduos 
ponderados de caráter global é substituída por: 
0
11
 

blb
B
b
ele
E
e
dwdw
b
e b
e
 
 
 , (2. 21) 
onde, as funções de aproximação são definidas localmente, sendo válidas somente para e e 
b e não mais para  e , da seguinte forma: 
0  bleele dwdw b
e b
e
 
 
 (2. 22) 
Portanto, temos: 




1
1
M
m
mue L (Nm) - b  0 em e (2. 23) 
e no contorno 
 37 




1
1
M
m
mue S(Nm) - g  0 em b (2. 24) 
 Portanto, 



1
1
[
M
m
mle uw
e
L(Nm) 



1
1
[]
M
m
mlee uwdb
e
 S(Nm) 0]  bdg  (2. 25) 
OBS: 
 Se as integrais em (2. 16) e (2. 21) contêm derivadas de ordem s nos integrandos, 
deve-se assegurar que as funções de aproximação tenham derivadas de ordem superior a (s -1) 
contínuas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 38 
2. 5 - O problema 1D forma mais forte (clássica) 
 Os principais constituintes de um método de elementos finitos para a solução de 
um problema de valor de contorno são: 
 i. O estabelecimento da forma variacional ou fraca do problema, e 
 ii. A solução aproximada das equações variacionais através do uso de “funções de 
elementos finitos” 
 Para esclarecer os conceitos nós começaremos com o seguinte exemplo. 
 Suponha que nós estamos resolver a seguinte equação diferencial para u: 
0,  fu xx (2. 26) 
)(xu é a solução (incógnita) a ser encontrada em ]1,0[x , onde a vírgula estabelece a 
derivada (i. e. 22 /, dxudu xx  ). Nós supomos que f é uma função suave dada. A qual é uma 
função de valor escalar definida no intervalo. Nós escrevemos: 
Rf ]1,0[: (2. 27) 
onde [0;1] se estabelece para o intervalo (i.e. a série de pontos de x tal que 0 1x  ) e  se 
estabelece para número reais. Em outras palavras, a equação (2. 27) estabelece que para um 
dado x em [0;1], f(x) é um número real. (frequentemente nós usaremos  para designar 
em”ou “um membro de”. Então para cada ]1,0[x , ( )f x  .). Também, [0;1] é dito ser o 
domínio de f, e  é seu espaço. Dizemos que f é uma função prescrita tendo uma 
forma suave se pelo menos esta é contínua e possui 1ª derivada contínua, isto é: 
]1,0[1Cf  (2. 28) 
 Nós temos descrito a dada função f como sendo suave. Intuitivamente você 
provavelmente sabe o que isto significa. Rigorosamente falando, se nós esquematizamos o 
gráfico da função f, nós queremos que esta seja suave sem descontinuidades ou quebras. Nós 
fazemos isto para evitar dificuldades técnicas. Certo que agora nós não desejamos elaborar 
além do que isto seja divergir-nos a partir do tema principal. Em algum ponto anterior para ir 
ao próximo capítulo, o leitor pode desejar consultar o Apêndice 1.I, Uma discussão Elementar 
da Continuidade, Diferenciabilidade e Suavidade”, para observações posteriores sobre este 
importante aspecto do trabalho de elementos finitos. O exercício na Secção 1.16 já usa um 
pouco da linguagem descrita no Apêndice 1.I. A terminologia pode ser algo não familiar para 
 39 
engenharia e estudantes de ciências físicas, mas este é agora largamente usado na literatura de 
elementos finitos e portanto é correto tornar-se acostumado a isto. 
 A equação (2. 26) é conhecida governar o deslocamento transverso de uma corda 
sob tensão e também o deslocamento longitudinal de uma barra elástica. Nestes casos, 
par6ametros físicos, tais como a magnitude da tensão na corda, ou módulo elástico no caso da 
barra, aparece em (2. 26). Nós temos omitido estes parâmetros para simplificar os 
desenvolvimentos subseqüentes. 
 Antes de nós irmos em frente, nós introduzimos algumas notações e terminologias 
adicionais. Seja ]0;1[ denota o intervalo unitário sem pontos extremos (i. e. a série de pontos x 
tal que 0 1x  ). ]0;1[ a [0;1] são referido como intervalos unitários aberto e fechado, 
respectivamente. Para simplificar escritas subseqüentes e tiras na notação empregadas depois 
em situações multidimensionais, nós adotaremos as definições: 
 Define-se o intervalo  como 
]0;1[  (aberto) (2. 29) 
onde este é um conjunto aberto e o intervalo  como 
[0;1]  (fechado) (2. 30) 
onde este é um conjunto fechado. Veja a Figura - 2. 4 
 
 Figura - 2. 4. 
 Neste ponto, considerações tais como estas podem parecerpedantes. Nossa 
proposta, contudo, é desenvolver uma linguagem para a articulação precisa do problema de 
valor de contorno, o qual é necessário para um bom trabalho de elementos finitos. 
2.5.1 - Forma Forte do Problema de Valor de Contorno (P.V.C.) 
 Um problema de valor de contorno para (2. 26) envolve imposição de condições 
de contorno sobre a função ( )u x . Existem uma variedade de possibilidades. Nós suporemos 
que ( )u x é requerido satisfazer 
 40 
gu )1( (2. 31) 
e 
hu x  )0(, (2. 32) 
onde g e h são constantes dadas. As equações (2. 26) e (2. 32) requer que u tome valores 
sobre o valor g em x = 1 e a derivada de u (i. e. a inclinação) tome valores –h em x = 0, 
respectivamente. Esta série de condições de contorno nos possibilitará depois para ilustrar 
certos aspectos da formulação variacional. Por razões obvias, condições de contorno do tipo 
(2. 31) e (2. 32) leva ao tão chamado problema de valor de contorno de dois pontos. 
 A forma forte do problema de valor de contorno, (S), é estabelecida como segue: 
Seja o problema (S), dado por :f R  e constantes ,g h devemos encontrar 
:u R  como solução da equação diferencial tal que: 
0,  fu xx em  (2. 33) 
Sujeito as condições de contorno: 
gu )1( (2. 34) 
e 
hu x  )0(, (2. 35) 
onde g e h são constantes dadas. 
 Quando nós escrevemos 0,  fu xx em  nós queremos dizer que 
, ( ) ( ) 0xxu x f x  para todo x  . É claro, a solução exata de (S) é trivial obter, 
notadamente 
( ), ( )xxu x dx f x dx   (2. 36) 
integrando 
0
0
( ), ( )
x
x
xu x f z dz  (2. 37) 
logo 
 41 
0
, ( ) , (0) ( )
x
x xu x u f z dz   (2. 38) 
Substituindo , (0)xu h  temos: 
0
, ( ) ( )
x
xu x h f z dz   (2. 39) 
Integrando mais uma vez 
1 1 1
0
, ( ) ( )
x
x
x x x
u z dz hdz f z dz dz
 
    
 
    (2. 40) 
temos: 
1
1 1
0
( ) ( )
x
x x
x
u z hz f z dz dz
 
    
 
  (2. 41) 
e 
1
0
(1) ( ) (1 ) ( )
x
x
u u x h x z f z dz dz
 
      
 
  (2. 42) 
Substituindo gu )1( , a solução exata é dada por; 
dydzzfhxgxu
x
y
  








1
0
)()1()( (2. 43) 
onde z é usado para denotar variáveis mudas. Contudo, este não é o principal fato aqui. Nós 
estamos interessados em desenvolver esquemas para obter soluções aproximadas par (S) que 
será aplicável a situações muito mais complexas no qual as soluções exatas são possíveis. 
 Alguns métodos de aproximação começam diretamente com a condição forte do 
problema. O exemplo mais notável é o método de diferenças finitas (e.g., veja [1]). O método 
de elementos finitos requer uma formulação diferente, a qual é tratada na próxima secção. 
 Observe que todos os pontos do contorno devem ser especificados e para qualquer 
problema sempre haverá uma condição de Dirichilet no contorno, conforme se descreve 
abaixo (para que a solução do problema seja única). 
 42 
 O problema (S) pode ser resolvido diretamente por Diferenças Finitas, onde 
aplica-se a discretização diretamente em sua formulação forte. Por outro lado, no Método dos 
Elementos Finitos não se aplica a discretização diretamente a (S) mas usa-se a sua formulação 
“fraca” que é chamado de problema equivalente (W). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 43 
2. 6- Forma Fraca ou Variacional do Problema de Valor de 
Contorno 1D (P.V.C.) 
 A forma variacional é aplicado em problemas de trocadores de calor, por 
exemplo, onde temos grandezas tais como, Calor, Q, Trabalho, W, e massa, M com restrição 
de volume fixo e gostaríamos de maximizar ou minimizar algum parâmetro ou grandeza 
física. Nesta situação devemos alterar o problema para o caso onde: 
MwWwQwF 32
1
1 
 (2. 44) 
cujas quantidades física são normalizadas, ou seja pertencentes ao intervalo ]1,0[1Q e 
321 ,, www são pesos utilizados para equacionar o problema de forma ponderada. 
 Na Formulação Variacional Fraca do PVC tem-se como objetivo: 
 1) Reduzir a ordem diferencial do problema 
 2) Permitir o uso de Formas Integrais de grau mais baixo ao invés de Formas 
Derivadas (formulação forte), isto para que seja possível resolver o problema com elementos 
lineares na funções de interpolação para a aproximação local do problema. 
 3) Simplificar o problema em relação a sua forma original, 
e por último 
 4) Forma alternativa tenha as mesma solução que a forma original. 
 Para definir a contrapartida fraca, ou variacional de (S), nós necessitamos 
caracterizar duas classes de funções tais que: 
1) A primeira deve ser composta de candidatas, ou soluções tentativas. A partir do 
principio, nós requereremos que estas possíveis soluções devem satisfazer as condições de 
contorno, ou seja, para as soluções candidatas Su exige-se que: 
gu )1( (2. 45) 
onde 1Hu . A outra condição de contorno será requerida na definição. Além do mais, para 
que certas expressões sejam empregáveis faz sentido, nós requerermos que as derivadas das 
soluções tentativas sejam quadrado integráveis. Isso é se u é uma solução tentativa, então as 
funções devem possuir suavidade tal que: 
 
1
0
2),( dxu x (2. 46) 
 44 
Funções que satisfazem (2. 46) são chamadas de 1funções H , implicando que xu, não 
“diverge” em  e xu, isto é, elas são quadraticamente integráveis 
1Hu , isto é )(xu e 
pertencente ao espaço de Hilbert . Algumas vezes o domínio é explicitamente incluído, i. e., 
  1 0;1u H . 
 Então a coleção de soluções tentativas, denotada por S, consiste de todas as 
funções as quais possuem derivadas quadrado integráveis e tomam valores sobre g em x =1. 
Isto é escrito como segue: 
 guHuuS  )1(,/ 1 (soluções tentativas) (2. 47) 
O fato que S é uma coleção, ou seqüências, de objetos é indicado pelas chaves (chamados 
chaves) em (2. 47). A notação para o membro típico da seqüência, neste caso, u, venha 
primeiro dentro do lado esquerdo das chaves. Seguindo a linha vertical (|) são propriedades 
satisfeitas por membros da seqüência. 
2) Define-se a segunda coleção de funções é chamada de funções peso, ou variações. 
Esta coleção é muito similar as soluções tentativas exceto que nós requeremos que a 
contrapartida homogênea da condição de contorno-g. Isto é, nós requeremos funções, w, para 
satisfazer exige-se que: 
0)1( w Vw (2. 48) 
onde 1Hw , a qual é a contra-parte homogênea da condição de contorno de Dirichilet. 
 0)1(,/ 1  wHwwV (funções pesos) (2. 49) 
Isto simplifica o assunto o que continua a pensar de :f   como sendo suave. 
(Contudo, o que segue permanece para uma classe consideravelmente grande de f’s). 
 Em termos das definições precedentes, nós podemos agora estabelecer uma forma 
fraca adequada para o problema do valor de contorno. 
 Logo o problema (W) é definido por dados f, g, h como antes, ache Su tal que 
para todo Vw , temos: 
 
1
0
1
0
)0(,, hwwfdxdxuw xx (2. 50) 
 45 
Formulação deste tipo são frequentemente chamada de formulação de trabalhos virtuais, ou 
formulação de deslocamentos virtuais, ou pricipios em mecânica. Os w’ são os 
deslocamentos virtuais. 
 A equação (2. 50) é chamada de equação variacional, ou (especialmente em 
mecânica) a equação do trabalho virtual. 
 A solução de (W) é chamada de fraca, ou solução generalizada. A definição 
dada de uma formulação fraca não é somente uma possível, mas é a mais natural daquela dos 
problemas que nós desejamos considerar.46 
2. 7- Equivalência de Formas Forte e Fraca; Condições de 
Contorno Naturais 
 Claramente, vemos que deve existir alguma relação entre a versões forte e fraca 
do problema, ou ainda não deveria ser ponto na introdução fraca. Uma vez que a solução das 
formas fraca e forte são idênticas. Nós estabeleceremos isto supondo que todas as funções são 
suaves. Isto nos permitirá proceder expeditiosamente sem invocar condições técnicas com as 
quais supõem-se que é familiar ao leitor. As “provas” deste tipo são algumas vezes 
eufemisticamente referidas como “provas formais”. O intento é não ser completamente 
rigoroso mas tornar plausível a verdade da proposição. Com esta filosofia em mente, nós 
“provaremos”o seguinte: 
2.7.1 - Proposição 
 a) Seja u a solução de (S). Então u é também solução de (W) 
 b) Seja u a solução de (W). Então u é também solução de ((S) 
Um outro resultado, o qual nós não nos preocuparemos em verificar mas de fato é facilmente 
estabelecido, é que ambos (S) e (W) possui solução única. Então, por (a) e (b), as soluções 
forte e fraca são uma e a mesma. Consequentemente, (W) é equivalente a ((S). 
2.7.2 - Prova Formal 
a) Uma vez que u é suposto ser uma solução de (S), nós podemos escrever: 
0,  fu xx em  (2. 51) 
e 
  0,  fuw xx  w  V (2. 52) 
logo 
  0,
1
0
  dxfuw xx (2. 53) 
Para qualquer w  V. Integração (2. 53) por partes   vduuvudv , onde 
, ; , ,x xx xu w du w dx dv u v u      . 
 Logo: 
 47 
1 1
1
0
0 0
, , , ,xx x x xwu dx wu w u dx
 
    
 
   w  V (2. 54) 
ou substituindo (2. 54) em (2. 53) temos: 
0,,,
1
0
1
0
1
0
  xxx uwwfdxdxuw  w  V (2. 55) 
Rearranjando e fazendo uso do fato de que: 
0)1(;,  whu x (2. 56) 
Logo resulta em: 
1 1
0 0
, , (0)x xw u dx wfdx w h    w  V (2. 57) 
Além disso, uma vez que u é solução de (S), ela satisfaz  (1)u g e portanto está em S. 
Finalmente, uma vez que u também satisfaz (2. 57), para todo Vw , u satisfaz a definição 
de uma solução fraca dada por (W), logo: 
(S)  (W) (2. 58) 
b) 
 Agora suponha que u é uma solução fraca de (S). Integra-se por partes o lado 
esquerdo da equação (2. 57), onde,   vduuvudv , e 
, , ; ,x xx xu u du u dx dv w v w      . Então: 
1 1
1
0
0 0
, , (0)x xxwu wu dx wfdx w h    (2. 59) 
 
1 1
1
0
0 0
, , (0) 0xx xwu dx wu wfdx w h      (2. 60) 
trocando o sinal de todos os termos: 
 48 
1 1
1
0
0 0
, , (0) 0xx xwu dx wu wfdx w h     (2. 61) 
reescrevendo temos: 
 
1
1
0
0
, , (0) 0xx xw u f dx wu w h    (2. 62) 
Ou 
 
1
0
, (1) , (1) (0) , (0) (0) 0xx x xw u f dx w u w u w h     (2. 63) 
Usando o fato de que (1) 0w  
   
1
0
, (0) , (0) 0xx xw u f dx w u h    (2. 64) 
e , (0)xu h  logo temos que: 
 
1
0
, 0xxw u f dx  (2. 65) 
 Para provar que u é uma solução de (S) é suficiente mostrar que as equações de 
Euler-Lagrange, (2. 65), implica ( 1) em: 
i) 
0)(,  fxu xx em  (2. 66) 
ii) 
0)0(,  hu x em  (2. 67) 
2.7.3 - Prova de i 
 Primeiro nós provaremos i). Defina w em (2. 65) por: 
 fuw xx , (2. 68) 
 
1 Estas equações são algumas vezes chamadas de equações de Euler-Lagrange da formulação fraca 
 49 
onde  é suave; ( ) 0x  para todo ]0;1[x   ; e (0) (1) 0   . Por exemplo, nós 
podemos tomar: 
 ( ) 1x x x   (2. 69) 
A qual satisfaz todos os requerimentos estipulados (veja Figura - 2. 4). 
 
 Figura - 2. 5. Função bolha. 
 Segue-se que 0)1( w e então w V , assim (2. 68) defina um legítimo membro 
de V . Substituindo (2. 68) em (2. 69) resulta em: 
     0,0,
1
0 0
2
0


hudxfu xxx
em


 (2. 70) 
ou 
   00,
1
0 0
2
0


dxfu xx
em


 (2. 71) 
Uma vez que 0  em  , segue-se de (2. 71) que (i) deve ser satisfeita. Portanto, 
0,  fu xx (2. 72) 
Agora que nós temos estabelecido (i), nós podemos usar este em (2. 68) para provar (ii),. 
2.7.4 - Prova de ii) 
 Notadamente, temos que: 
   0,)0(
00


 huw x (2. 73) 
 50 
e que w V não põe restrição sobre seu valor em 0x  . Portanto, nós podemos supor que o 
w em (2. 73) é tal que (0) 0w  . Então (ii) é também mostrado ser válida, o que completa a 
prova da proposição. 
 
Observações : 
 1. A condição de contorno ou fronteira hu x )0(, não é explicitamente 
mencionada na afirmação de (W)  condição de contorno natural.. Da prova precedente, nos 
vimos que esta condição de fronteira é, contudo, subentendida pela satisfação da equação 
variacional. Condições de fronteira deste tipo são referidas como condições de contorno 
natural. Por outro lado, soluções teste são explicitamente requeridas para satisfazer as 
condições de contorno u(1) = g. Condições de contorno deste tipo são chamadas de condições 
de contorno essenciais. O fato que as soluções da equação variacional satisfazem as 
condições de contorno naturais é extremamente importantes nas mais situações complicadas 
que nos consideraremos mais tarde. 
 2. O método usado para provar a parte (b) desta proposição leva o nome de lema 
fundamental na literatura do cálculo variacional. Na essência, esta é a metodologia que nos 
capacita a deduzir a equação diferencial e as condições de contorno impostas pela formulação 
fraca. Para desenvolver corretamente a forma fraca para problemas complexos, problemas 
multidimensionais, é essencial ter um entendimento profundo destes procedimentos. 
gu )1( porque Su é uma condição de contorno essencial. 
 Agora nós vemos que para obter soluções aproximadas para o problema de valor 
de contorno original nos temos alternativos pontos de partida, isto é, as afirmações fortes ou 
fracas do problema. Os métodos de elementos finitos são baseados no posterior. 
Grosseiramente falando, a idéia básica é aproximar S e V por convenientes conjuntos de 
funções de dimensão finita. (Claramente, S e V contêm infinitas funções). As equações 
variacionais são então resolvidas em um contexto de dimensão finita. Um exemplo explícito 
de como trataremos isso está na próxima seção. Contudo, nós introduziremos algumas 
notações adicionais para simplificar a subseqüente escrita. 
2.7.5 - Notação Abstrata 
 O produto escalar de funções w e u será denotado por: 
 51 

1
0
),( wfdxfw (2. 74) 
 O produto escalar da derivada de funções w e u será denotado por: 

1
0
,,),( dxuwuwa xx (2. 75) 
Em termos de (2. 73) e (2. 74), a equação variacional toma a forma: 
hwfwuwa )0(),(),(  (2. 76) 
também satisfaz a condição de simetria Aqui ),( a , ),(  são exemplos de formas 
bilineares, simétricas. O que a bilinearidade significa é que: Seja 1c e 2c constantes e seja u, 
v, e w seja funções. Então a propriedade de simetrias em cada posição é: 
),(),( uvvu  (2. 77) 
A bilinearidade significa que em cada um das “posições”, por exemplo 
),(),(),( 2121 wvacwuacwvcuca  (2. 78) 
e 
1 2 1 2( , ) ( , ) ( , )c u c v w c u w c v w   (2. 79) 
o que é obviamente linear na 2ª posição também. 
 
Exercício 1. 
 Use a definição de a(.,.) e (.,.) para verificar as propriedades de simetria e 
bilineariedade. 
 
 As notações acima são muito concisas, e ao mesmo tempo elas capturam a 
característica matemática essencial e portanto nos conduz para um entendimento matemático 
dos métodos de elementos finitos e variacional. Diversas classes de problemas físicos podem 
ser escritos essencialmente de modo similar a (2. 76). Portantoas idéias desenvolvidas e 
resultados obtidos são vistos imediatamente por terem uma aplicabilidade ampla. 
 52 
2. 8 - Método de Aproximação de Galerkin 
 Nós agora descreveremos um método de obter soluções aproximadas para 
problemas de valor de contorno baseados na formulação fraca. Nossa introdução para este 
tópico é tratado de modo um tanto abstrato. Contudo, o significado deve ser significamente 
reforçado pelas seções restantes deste capítulo. Isto pode ser louvável para o leitor consultar 
esta seção novamente antes de completar o resto do capítulo para ter certeza de uma completa 
compreensão da matéria está alcançada. 
 O primeiro passo no desenvolvimento do método é construir aproximações de 
dimensão finita de S e V. Estas coleções de funções serão denotadas por Sh e Vh 
respectivamente. Os super-escritos referem-se a associação com a malha, ou discretização, do 
domínio, o qual é parametrizado por um comprimento de escala característico, h . Nós 
desejamos acreditar que hS e hV sejam subsequ6encias de S e V, respectivamente. Isto é 
escrito como: 
 Seja 
 (i.e., se ,então )h h h hS S u S u S   (2. 80) 
E 
 (i.e., se ,então )h h h hV V w V w V   (2. 81) 
onde o significado preciso é dado em parêntesis(2). Conseqüências de (2. 80)e (2. 81) são 
respectivamente que se h hu S e h hw V , são as condições de contorno: 
gu h )1( (2. 82) 
e 
0)1( hw (2. 83) 
 As coleções, S, V, hS , e hV , são freqüentemente referidas como funções de 
espaços. A terminologia espaço na matemática usualmente denota uma estrutura linear. Isto 
possui o seguinte significado: Se 1c e 2c são constantes e v e w estão em V , então 
 
2 Esta condição pode ser considerada padrão. Contudo, é frequentemente violada na prática. Strang [2] cunhou a 
terminoloogia “crimes variacionais” para aplicar a esta, e outras situações nas quais as regras clássicas de 
métodos variacionais são violadas. Muitos “crimes variacionais” tem sido dado um rigorosa base matemática (e. 
g. veja [2]). Nós teremos mais a dizer sobre este assunto em capítulos subseqüentes. 
 53 
1 2c v c w está também em V . Ambos V e 
hV são então visto possuir a propriedade de um 
espaço linear. Contudo, esta propriedade está claramente não dividida por S e hS devido as 
condições de contorno não homogêneas. Por exemplo, se 1u e 2u são membros de S , então 
1 2u u S  , uma vez que 1 2(1) (1) 2u u g g g    na violação da definição de S . 
Portanto, a terminologia da função espaço é ainda (avulsamente) aplicado a S e hS 
2.8.1 - Método de Bubnov-Galerkin 
 Suponha que a coleção hV é dada. Então para cada membro h hv V , nós 
construímos uma função h hu S , ou seja, para cada hhhh SuVv  
hhh gvu  (2. 84) 
onde hg é uma função conhecida satisfazendo as condições de contorno essenciais, i. e. 
(1)hg g (2. 85) 
Note que (2. 84) satisfaz também o requesito da condição de contorno: 
 ggvu
g
hhh   )1()1()1(
0
 (2. 86) 
ou 
(1) 0hu g g   (2. 87) 
Então (2. 84) constitui uma definição de hS , isto é, hS é toda função da forma (2. 84). O 
ponto chave é observar é que, a menos da função hg , hS e hV são composta de coleção 
idêntica de funções. Este propriedade será mostrada depois para ter conseqüências 
significantes para certas classes de problemas. 
 Nós agora escrevemos a equação variacional, da forma (2. 76), em termos de 
 e h h h hw V u S  . 
( , ) ( , ) (0)h h h ha w u w f w h  (2. 88) 
 54 
Esta equação deve ser pensada como uma definição aproximada (solução fraca), hu . 
Substituindo (2. 84) em (2. 88) e a bilinearidade de ( , )a   permite-nos escrever: 
hwfwgvwa hh
ADEBILINEARID
hhh )0(),(),(    (2. 89) 
Essa bilinearidade implica em: 
),(),(),( hhhhhhh gwavwagvwa  (2. 90) 
Portanto, a partir de: 
( , ) ( , ) ( , ) (0)h h h h h ha w v a w g w f w h   (2. 91) 
Logo 
( , ) ( , ) (0) ( , )h h h h h h
incógnita
a w v w f w h a w g   (2. 92) 
 O lado direito da equação consiste da totalidade dos termos associados com os 
dados fornecidos (i. e. f, g e h). A equação (2. 92) deve ser definida hv , a parte desconhecida 
de hu . 
 A forma de Bubnov-Galerkin do problema, denotada por (G) é definida da 
seguinte maneira: 
 Dados f, g, h, definidos como antes, encontramos hhh gvu  onde 
hhhh VwparaqtVv  .. , temos: 
),()0(),(),( hhhhhh gwahwfwvwa  (2. 93) 
 Note que  G é apenas uma versão de  W posta em termos de uma coleção de 
funções finitos dimensionais, notadamente, hV . 
 Para fazer o assunto mais especifico, hg e hV tem que ser explicitamente 
definida. Antes de fazer isto é correto mencionar que uma larga classe de métodos de 
aproximações, chamada Métodos de Petrov-Galerkin, nos quais hv está contido em uma 
coleção de funções do que outras hV . Recente atenção tem sido prestada aos métodos desse 
tipo, especificamente no contexto da mecânica dos fluídos. Por esta vez, nos trataremos 
 55 
exclusivamente com o Método de Bubnov-Galerkin. O método de Bubnov-Galerkin é 
comumente referido como simplesmente o método de Galerkin, terminologia que nos 
adotaremos de agora em diante. A equação (2. 92) é algumas vezes referida com a equação 
de Galerkin. 
 Métodos de Aproximação desse tipo considerado são exemplos de tão chamados 
métodos dos resíduos ponderados. A referência padrão que trata desse assunto é Finlayson 
[3]. Para uma apresentação mais sucinta contendo um acontecimento histórico interessante, 
veja Finlayson e Scriven [4]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 56 
2. 9- Equações na Forma Matricial (Matriz de Rigidez K) 
 O método de Galerkin leva a um sistema acoplado de equações algébricas 
lineares. Para ver isto nós precisamos dar uma estrutura além da definição de hV . Seja hV 
consistindo de todas as combinações lineares de funções denotadas por :AN   , onde 
1,2,...,A n . Por issso nós dizemos que se h hw V , então existe constantes Ac , 
1,2,...,A n , tal que: 
1
int
1 1 2 2
, ( ) , [0;1]
...
n
h
A A A
A funções de
erpolação
n n
w c N N x x
c N c N c N

 
   
 
 (2. 94) 
As AN ’s são referidas como funções de forma, funções de base ou funções de 
interpolação. Nós requeremos que AN satisfaça: 
nAN A ,...,1,0)1(  (2. 95) 
Para o qual segue-se de (2. 94) que (1) 0hw  , como é necessário. hV é dito ter dimensão n, 
por razões obvias. 
 Para definir os membros de hS nós precisamos especificar hg . Para este fim, nós 
introduzimos uma outra função de forma, 1 :nN   , a qual possui a seguinte 
propriedade: 
1)1(1 nN (2. 96) 
(Note que 1
h
nN V  .) Então 
hg é dado por: 
)(1 xgNg n
h
 (2. 97) 
E então 
(1)hg g (2. 98) 
Com estas definições, um típico h hu S pode ser escrito como: 
 57 
1
1


  n
n
A
AA
hhh gNNdgvu (2. 99) 
onde as Ad ’s são constantes e do qual é aparente que: 
(1)hu g (2. 100) 
Substituindo (2. 94) e (2. 99) em dentro da equação de Galerkin (2. 93) temos: 
),()0(),(),( 1
11111


  n
n
A
AA
n
A
AA
n
A
AA
n
B
BB
n
A
AA gNNcahNcfNcNdNca
 
(2. 101) 
ou 
0),()0(),(),( 1
11






 


  
AG
nAAABBA
n
B
n
A
A gNNahNfNdNNac (2. 102) 
Pelo uso da bilinearidade de ( , )a   e ( , )  , (2. 101), como as funções NA são ortogonais no 
espaço de funções temos que: 
0
1


A
n
A
AGc (2. 103) 
tem que valer hw e tem que valer

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