Eduardo Gomes- Teoria dos Erros

Prévia do material em texto

Eduardo Jorge Gomes – turma 3122 – mat.: 201402167131 
Pág.1 de 12 
Rio de Janeiro – 11/08/2014 
 
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ 
 
 
1º RELATÓRIO DE FÍSICA 
EXPERIMENTAL I 
 
 
 
 
 Teoria dos Erros 
 
 
 
 
Curso: Engenharia Mecânica – 2º Período 
Professor: Nelson Souza 
Matéria: Física Experimental 1 
Aluno: Eduardo Jorge Gomes 
Matricula: (201402167131) 
Local e Data: Rio de Janeiro, 11 de Agosto de 2014 
 
 
 
 
Eduardo Jorge Gomes – turma 3122 – mat.: 201402167131 
Pág.2 de 12 
1. INTRODUÇÃO 
Trabalhando com observações experimentais em busca de um resultado, devemos sempre 
ter em mente que essas observações jamais refletirão com exatidão a realidade observada, 
isso porque, não se pode atribuir caráter absoluto a nenhuma ordem de grandeza, haja vista 
a existência de um erro inerente à própria medida. Erro esse, que não pode ser suprimido, 
nem modificado, Portanto em ciência experimental nada é exato, não se pode determinar 
com precisão nenhuma medida física, Toda medida possui um erro, ou seja, um desvio, uma 
incerteza. 
Uma afirmação inicial que podemos fazer é que nada é exato em uma ciência experimental. 
O ato de se medir é um ato de se interferir de alguma maneira no fenômeno e esta 
interferência faz com que não possamos "ver" o fenômeno como ele realmente acontece. 
Um exemplo simples pode esclarecer melhor esta questão: 
Quando vamos medir a corrente que atravessa um circuito colocamos em serie com o 
mesmo, um amperímetro, e como este medidor tem uma certa resistência interna Ra que, 
embora normalmente pequena comparada às outras resistências do circuito, modifica as 
características do mesmo. Vários outros exemplos poderiam ser citados, alguns não tão 
simples e fáceis de se ver como este, mas sempre há o aparecimento da interferência do 
medidor na medida. No passado chegou-se a acreditar que toda a teoria da Física estava 
formulada e que era necessário apenas fazer aparelhos de medida cada vez mais precisos 
para se obter valores exatos que, obrigatoriamente deveriam concordar com a formulação 
teórica. 
Esta é uma afirmação errônea por duas razões: 
- Todo o desenvolvimento posterior da Física mostra quanto os físicos da época estavam 
errados. Hoje sabemos que o entendimento completo de uma área do conhecimento é 
impossível. 
- Com o surgimento da Física Moderna, principalmente da Física das partículas elementares, 
pode-se mostrar claramente que nunca se obteve nem nunca se obterá uma medida exata 
de um fenômeno qualquer. 
Por estas razões a medida de uma grandeza tem obrigatoriamente uma incerteza que será 
chamada aqui de faixa de desvio, erro ou simplesmente desvio. 
 
 
 
Eduardo Jorge Gomes – turma 3122 – mat.: 201402167131 
Pág.3 de 12 
1. OS OBJETIVOS DA TEORIA DOS ERROS PODEM SER REUMIDOS EM: 
a) Obter o melhor valor para o mensurando a partir dos dados experimentais disponíveis. 
Isto significa determinar em termos estatísticos a melhor aproximação possível para o 
valor verdadeiro 
b) Obter a incerteza no valor obtido, o que significa determinar em termos estatísticos o 
grau de precisão e confiança na medida da grandeza física. 
 
2. ALGÚNS EMBASAMENTOS TEÓRICOS: 
I. Algarismos significativos: 
 
A medida de uma grandeza física é sempre aproximada, por mais capaz que seja o operador 
e por mais preciso que seja o aparelho utilizado. Esta limitação reflete-se no número de 
algarismos que usamos para representar as medidas. Ou seja, só utilizamos os algarismos 
que temos certeza de estarem corretos, admitindo-se apenas o uso de um algarismo 
duvidoso. Claramente o número de algarismos significativos está diretamente ligada à 
precisão da medida, de forma que quanto mais precisa a medida, maior o número de 
algarismos significativos. Assim, por exemplo, se armamos que o resultado de uma medida é 
3,24 cm estamos dizendo que os algarismos 3 e 2 são corretos e que o algarismo 4 é 
duvidoso, não tendo sentido físico escrever qualquer algarismo após o 4. 
 
Exemplos: 
 15,4 cm: Temos 3 algarismos significativos (1 e 5 são exatos e 4 é o duvidoso); 
 21,31 m/s: Temos 4 algarismos significativos (2,1 e 3 são exatos e 1 é o duvidoso); 
 8,0 m/s²: Temos 2 algarismos significativos (8 é o exato e 0 é o duvidoso); 
 6 N: Temos 1 algarismo significativo e ele próprio é o duvidoso; 
 8,7 cm: 2 algarismos significativos; 
 8,7 x 10-3 m = 0,0087 m: 2 algarismos significativos; 
 8,7 x 10-5 km = 0,000087 km: 2 algarismos significativos; 
 8,7 x 10 mm = 87 mm: 2 algarismos significativos; 
Os dígitos ou algarismos de um número contam-se da esquerda para a direita, a partir do 
primeiro não nulo, e são significativos todos os exatos e somente o primeiro duvidoso. 
 
 
Eduardo Jorge Gomes – turma 3122 – mat.: 201402167131 
Pág.4 de 12 
II. Operações Com Algarismos significativos: 
Adição e subtração: 
O resultado de uma soma ou de uma subtração deve ser relatado com o mesmo número de 
casas decimais que o termo com o menor número de casas decimais. Por exemplo, os 
resultados das seguintes soma e subtração 
6,3 90 
 + 2,14 - 2,14 
 8,44 = 8,4 87,86 = 88 
 Multiplicação e divisão: 
O resultado de uma multiplicação ou de uma divisão deve ser arredondado para o mesmo 
número de algarismos significativos que o do termo com o menor número de algarismos 
significativos 
 6,3 × 2,14 = 13,482 
 6,3 ÷ 2,14 = 2,9439252 = 2,9 
Quando um cálculo envolver mais de uma operação, após a realização de cada operação, 
pose-se ou não efetuar o arredondamento para o devido número de algarismos 
significativos. Por exemplo: 
 13,428 × (6,2/90,14356) = 13,428 × 0,069 = 0,93 
 13,428 × (6,2/90,14356) = 0,923566... = 0,92 
Note que no segundo caso o arredondamento só foi feito após a realização de todas as 
operações, mostrando que o resultado final depende de como a operação foi feita e da 
realização ao não de arredondamentos(s) a cada etapa do cálculo. Assim, para fins d 
padronização e considerando o uso de calculadores eletrônicas, nos cálculos ao longo do 
curso os arredondamentos deverão ser feitos somente no resultado final. 
 
 
 
 
 
Eduardo Jorge Gomes – turma 3122 – mat.: 201402167131 
Pág.5 de 12 
III. Arredondamento: 
Um número é arredondado para outro, com o número de algarismos significativos 
desejados, pelo cancelamento de um ou mais algarismos da direita para a esquerda. 
Duas regras podem ser utilizadas neste caso: 
Muitas vezes, como visto acima, a resposta de uma operação aritmética contém mais 
algarismos do que os significativos. Nestes casos, as seguintes regras devem ser usadas 
para arredondar o valor até o número correto de algarismos significativos: 
 
 Quando o algarismo seguinte ao último número a ser mantido é menor que 5, 
todos os algarismos indesejáveis devem ser descartados e o último número é 
mantido intacto. Exemplos: ao se arredondar 2,14 para dois algarismos 
significativos, obtém-se 2,1; ao se arredondar 4,372 para três algarismos 
significativos, obtém-se 4,37; 
 
 Quando algarismo seguinte ao último número a ser mantido é maior que 5, ou 5 
seguido de outros dígitos, o último número é aumentado em 1 e os algarismos 
indesejáveis são descartados. Exemplos: ao se arredondar 7,5647 para quatro 
algarismos significativos, se obtém 7,565; ao se arredondar 3,5501 para dois 
algarismos significativos, obtém-se 3,6. 
 
 
 Quando o algarismo seguinte ao último número a ser mantidoé um 5 (seco!) ou 
um 5 seguido somente de zeros, tem-se duas possibilidades: 
 
 Se o último algarismo a ser mantido for ímpar, ele é aumentado em 1 e o 
5 indesejável (e eventuais zeros) é descartado; 
 Se o último algarismo a ser mantido for par (zero é considerado par) ele é 
mantido inalterado e o 5 indesejável (e eventuais zeros) é descartado. 
Exemplos: 
a). “Quando o algarismo suprimido é menor do que 5, o imediatamente anterior 
permanece igual.” 
b). “Quando o algarismo suprimido é maior ou igual a 5, o imediatamente anterior é 
acrescido de uma unidade.” 
 
L = 2,143 m ⇒ L = 2,14 m, depois de arredondado 
L = 0,0506 m ⇒ L = 0,051 m, depois de arredondado 
Ao se arredondar 3,250 para dois algarismos significativos, obtém-se 3,2; ao se 
arredondar 7,635 para três algarismos significativos, obtém 7,64; ao se arredondar 8,105 
para três algarismos significativos, obtém-se 8,10. 
 
 
 
Eduardo Jorge Gomes – turma 3122 – mat.: 201402167131 
Pág.6 de 12 
IV. Notação Científica: 
Ao escrevermos um número em notação científica utilizamos o seguinte formato: 
 
Onde o coeficiente a é um número real denominado mantissa, cujo módulo é igual ou maior 
que 1 e menor que 10 e o expoente b, a ordem de grandeza, é um número inteiro. 
Exemplos de Números Escritos em Notação Científica 
Para escrevemos o número real n em notação científica precisamos transformá-lo no produto de um 
número real igual ou maior que 1 e menor que 10, por uma potência de 10 com expoente inteiro. 
A mantissa é obtida se posicionando a vírgula à direita do primeiro algarismo significativo deste 
número. 
Se o deslocamento da vírgula foi para a esquerda, a ordem de grandeza será o número de posições 
deslocadas. 
Se o deslocamento da vírgula foi para a direita, a ordem de grandeza será o simétrico do número de 
posições deslocadas, será portanto negativa. 
 Veja como fica 2048 escrito na forma de notação científica: 
 
2048 foi escrito como 2,048, pois 1 ≤ 2,048 < 10. 
Como deslocamos a vírgula 3 posições para a esquerda, devemos multiplicar 2,048 por 103 
como compensação. 
 Veja agora o caso do número 0,0049 escrito na forma de notação científica: 
 
Neste caso deslocamos a vírgula 3 posições à direita, então devemos multiplicar 4,9 por 10-3. 
Veja que neste caso a ordem de grandeza é negativa. 
 Veja o número 1 escrito em notação científica: 
 
Como a vírgula não sofreu deslocamento nem para a direita, nem para a esquerda, a ordem 
de grandeza é igual a 0. 
Outros Exemplos de Números Escritos em Notação Científica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eduardo Jorge Gomes – turma 3122 – mat.: 201402167131 
Pág.7 de 12 
Note que em todos os exemplos acima o valor absoluto da mantissa é igual ou maior que 1 e 
menor que 10 e que a ordem de grandeza é um número inteiro. 
Observe que 12,5. 10-1 e 4,7. 102,5 são exemplos de números que não estão escritos 
corretamente em notação científica. 
No primeiro exemplo a mantissa 12,5 é maior que 10. 
No segundo exemplo a ordem de grandeza 2,5 não é um número inteiro. 
Mudando a Posição da Vírgula e Ajustando o Expoente 
 Como em um número escrito em notação científica a vírgula sempre deve ser 
posicionada à direita do primeiro algarismo diferente de zero, se não for este o caso 
o procedimento a ser realizado é o seguinte: 
 Se deslocarmos a vírgula n posições para a direita, devemos subtrair n unidades do 
expoente. 
 Ao deslocarmos a vírgula n posições para a esquerda, devemos somar n unidades ao 
expoente. 
 Como visto acima, 12,5. 10-1 não está na forma padronizada, então precisamos 
deslocar a vírgula 1 posição para a esquerda e também acrescentar 1 unidade ao 
expoente, o que resulta em 1,25. 100. 
 No caso do número 0,0078. 105 precisamos deslocar a vírgula 3 posições para a 
direita e subtrair 3 unidades do expoente, resultando em 7,8. 102. 
 
V. Operações Com Notação Científica: 
Adição 
Para somarmos diversos números em notação científica é necessário que todos eles 
possuam a mesma ordem de grandeza. 
Se houver diferença, devemos realizar uma conversão para igualar o expoente das 
potências de 10. 
 
Para realizar esta soma vamos deixar todas as potências com o expoente 2. 
A primeira parcela permanece inalterada: 
 
Eduardo Jorge Gomes – turma 3122 – mat.: 201402167131 
Pág.8 de 12 
No caso da segunda parcela precisamos reduzir o expoente de 3 para 2, então a vírgula 
na mantissa será deslocada uma posição para direita: 
 
Esta operação é o mesmo que multiplicar a mantissa por 10 e dividir a potência também 
por 10. 
A terceira parcela terá o expoente aumentado em 3 unidades e a vírgula da mantissa 
será deslocada o mesmo número de posições para a esquerda: 
 
Isto é equivalente a dividir a mantissa por 1000 ou 103 e multiplicar a potência pelo 
mesmo valor. 
Agora temos todas as parcelas com a mesma ordem de grandeza: 
 
Somamos as mantissas: 
 
Como a mantissa não é menor que 10, precisamos deslocar a vírgula uma posição para a 
esquerda, acrescentando também uma unidade ao expoente: 
 
Portanto: 
 
 
Subtração 
Para a realização da subtração também é necessário que o minuendo e o subtraendo 
possuam a mesma ordem de grandeza. 
Vejamos a subtração abaixo cujos termos já vimos no caso da adição: 
 
Vamos deixar todas as potências com o expoente 2 e realizar a subtração: 
Veja que a diferença não está no padrão desejado, então precisamos deslocar a vírgula 1 
posição para a esquerda e adicionar 1 uma unidade ao expoente: 
 
Logo: 
 
Eduardo Jorge Gomes – turma 3122 – mat.: 201402167131 
Pág.9 de 12 
Multiplicação 
A multiplicação é bastante simples. Multiplicamos as mantissas e somamos as ordens de 
grandeza. 
 
Multiplicando as mantissas e somando os expoentes temos: 
Então: 
 
 
Divisão 
Dividimos as mantissas e subtraímos as ordens de grandeza. 
 
Dividindo as mantissas e subtraindo os expoentes temos: 
 
Portanto: 
 
 
Potenciação 
Para elevarmos um número em notação científica a um expoente n, devemos elevar a 
mantissa a n e multiplicar a ordem de grandeza também por n. 
 
Realizando os procedimentos indicados temos: 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
Eduardo Jorge Gomes – turma 3122 – mat.: 201402167131 
Pág.10 de 12 
Radiciação 
Para realizarmos a radiciação é necessário que a ordem de grandeza seja divisível pelo 
índice, para assim podermos realizar a retirada do radical. 
 
Note que a ordem de grandeza, que é igual a 2, não é divisível pelo índice 3. Para ser, 
vamos adicionar 1 unidade a ela, deslocar a vírgula da mantissa 1 posição para a 
esquerda e realizar a radiciação: 
 
Então: 
 
 
VI. Ordem de Grandeza: 
Em nossa vida diária é muito comum não conhecermos o valor exato de certa grandeza. 
Considere os seguintes exemplos: 
1) É possível conhecer exatamente qual é a população do Brasil neste momento? 
2) Uma pessoa resolve construir uma casa. É possível, no início da construção, saber 
exatamente quanto vai custar a obra? Os dois exemplos acima mostram que, em nossa 
vida diária, frequentemente é impossível conhecer o valor exato de uma grandeza. 
Porém, é importante ter uma estimativa do seu valor. Este é o objetivo do estudo deste 
assunto. Não esqueça, quando estiver resolvendo um problema de ordem de grandeza 
faça sempre cálculos (ou avaliações) aproximados. 
Definição de ordem de grandeza de um número 
Ordem de grandeza de um número é a potência de 10 mais próxima deste número. 
A ordem de grandeza do número 15 é 10 elevado a um, porque 15 está mais próximo de 10 
elevado a um do que 10 elevado a dois.A ordem de grandeza do número 89 é 10 elevados a 
dois, porque 89 está mais próximo de 10 elevado a dois do que 10 elevado a um. A ordem de 
grandeza do número 2 é 10 elevados a zero, porque 2 está mais próximo de 10 elevado a 
zero do que 10 elevado a um. 
 
 
 
 
 
 
Eduardo Jorge Gomes – turma 3122 – mat.: 201402167131 
Pág.11 de 12 
Cálculo da ordem de grandeza 
É conveniente estabelecer uma regra que se aplique a qualquer número. Para calcularmos a 
ordem de grandeza de um número, devemos proceder do seguinte modo: 
 Primeiro passo: escreva o número em notação científica, isto é, da forma y⋅10n 
 Segundo passo: temos dois casos a considerar: 
Se o valor de y for menor do que 3,16 a ordem de grandeza do número será 10n 
se o valor de y for maior do que 3,16 a ordem de grandeza do número 
será 10n+1 
 
Exemplos: 
Ordem de grandeza de uma medida é uma estimativa de potência de base 10 mais próxima 
de uma determinada medida. Não há necessidade de saber seu valor exato, portanto a 
resposta será da forma: 
...... 10-3, 10-2, 10-1, 100, 10, 102, 103,104...... 
 
 Dê a Ordem de Grandeza das seguintes medidas. 
a) 284,2 cm 
b) 89,4 cm 
Procedimento: 
1- Escrever em Notação Científica 
2- Verificar o algarismo à esquerda da vírgula 
3- O critério adotado para arredondamento e o seguinte 
4- Se o algarismo à esquerda da vírgula for menor que 5 conserva o expoente 
de base 10. 
5- Se o algarismo à esquerda da vírgula for maior que 5 adicione 1 no expoente 
de base 10. 
Resolução: 
 a) 284,2 cm = 2,842. 102 cm observe (2<5), portanto => OG = 102. 
 
 b) 89, 4 cm = 8, 95. 101 cm observe (8>5), portanto => OG = 101+1 = 102. 
 
 
 
Eduardo Jorge Gomes – turma 3122 – mat.: 201402167131 
Pág.12 de 12 
3. BIBLIOGRAFIA: 
http://www.fisica.ufjf.br/disciplinas/labfis1/aula1.pdf - Medidas Físicas. 
http://home.utad.pt/~luisam/Teoria%20Erros.pdf – Métodos Numéricos e Estatísticos Parte 1. 
Fonte: SILVA, R. R.; BOCCHI, N.; ROCHA FILHO, R. C. Introdução à química experimental. São 
Paulo: McGraw-Hill, 1990. 
Literatura complementar: SCHWARTZ, L. M. Propagation of significant figures. Journal of Chemical 
Education, v. 62, n. 8, p. 693-697. 
http://www.matematicadidatica.com.br/NotacaoCientifica.aspxAug. 
http://www.cefetsp.br/edu/okamura/ordem_grandeza.htm985