Ótica Geométrica Livro

Prévia do material em texto

Resumo Teórico 
 
 
Ótica Geométrica 
 
 
Química Industrial 1º Ano 
 
2017/2018 
 
 2 
Elementos de Física II 
Índice 
 
1. CONCEITO GERAL 4 
1.1 AMPLITUDE 6 
1.2 COMPRIMENTO DE ONDA 7 
1.3 PERÍODO E FREQUÊNCIA 7 
1.4 VELOCIDADE DE PROPAGAÇÃO 10 
2. LUZ 12 
2.1 PROPAGAÇÃO DA LUZ 13 
2.1.1 VELOCIDADE DE PROPAGAÇÃO DA LUZ 16 
2.1.2 ÍNDICE DE REFRAÇÃO 17 
2.2 REFLEXÃO E REFRAÇÃO DA LUZ 19 
2.2.1 REFLEXÃO DA LUZ 19 
2.2.2 IMAGEM 22 
2.2.3 PONTOS FOCAIS DOS ESPELHOS ESFÉRICOS 28 
2.2.4. IMAGENS PRODUZIDAS POR ESPELHOS ESFÉRICOS 31 
 
 3 
Elementos de Física II 
2.3 REFRAÇÃO 34 
2.3.1. LEI DE SNELL DESCARTES 34 
2.3.2. PROFUNDIDADE APARENTE 37 
2.4 REFRAÇÃO EM SUPERFÍCIES ESFÉRICAS 38 
2.4.1 EQUAÇÃO DO DIOPTRO 43 
2.4.2 PROPRIEDADES FOCAIS 44 
2.5 LENTES DELGADAS 47 
2.5.1 PONTO FOCAL DE UMA LENTE BICONVEXA 50 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
Elementos de Física II 
1. Conceito Geral 
Ótica geométrica é um ramo da ótica que é baseado principalmente na 
noção de um feixe de luz. Esta abordagem simples permite a construção 
das imagens geométricas que dão o seu nome. A ótica geométrica baseia-
se em três princípios: 
• Propagação Retilínea Da Luz - Em um meio homogêneo, 
transparente e isotrópico, a luz se propaga em linha reta. Cada 
uma dessas "retas de luz" é chamada de raio de luz. 
• Independência Dos Raios De Luz - Quando dois raios de luz se 
cruzam, um não interfere na trajetória do outro, ou seja, cada um 
se comporta de forma independente. 
• Reversibilidade Dos Raios De Luz - Se revertermos o sentido de 
propagação de um raio de luz ele continua a percorrer a mesma 
trajetória, em sentido contrário. 
Existem duas naturezas consideráveis para a luz: 
 
 5 
Elementos de Física II 
• Teoria Ondulatória – Que é o modelo mais utilizado para explicar 
as propriedades da luz, ou seja, a luz comporta-se como uma 
onda. 
• Teoria Corpuscular – Que diz que a luz é constituída por partículas 
denominadas de fotões. 
Para estudarmos melhor a natureza ondulatória da luz, é possível que se 
faça uma analogia, como a propagação de ondas num meio liquido: 
• Frentes de onda esféricos. 
• Linhas retilíneas perpendicular ás frentes de onda. 
Se um distúrbio é criado em algum ponto do meio, as partes que se 
movimentam atuam sobre as partes vizinhas, transmitindo parte desse 
movimento e fazendo com que essas partes se afastem temporariamente 
de sua posição de equilíbrio. Dessa maneira, o distúrbio é transmitido para 
novas porções do meio, criando uma propagação do movimento. A isto 
denominamos de propagação de uma onda. 
 
 6 
Elementos de Física II 
Ou seja, uma onda nada mais é que uma perturbação num certo material 
(água, vidro, ar, etc). Para entendermos as ondas, necessitamos de 
relembrar conceitos e propriedades das mesmas. 
1.1 Amplitude 
A amplitude (𝑦𝑚 ) de uma onda como a Fig. 1.1 é o 
módulo do deslocamento máximo sofridos pelos 
elementos a partir da posição de equilíbrio, quando a 
onda passa por eles. Como a amplitude é um modulo, 
independentemente da forma como foi medida, o valor 
será sempre positivo. A fase da onda é o argumento 𝑘𝑥 −
𝜔𝑡. Quando a onda passa por o elemento da corda em 
uma dada posição 𝑥 , a fase varia linearmente com o 
tempo 𝑡 . Isso significa que o seno também varia, 
oscilando entre +1 e -1. 
 
Figura 1.1 – Cinco instantes e uma 
onda que está a propagar-se em 
uma corda no sentido positivo de 
um eixo 𝑥 A amplitude 𝑦𝑚 está 
indicada. Um comprimento de 
onda λtípico, medido a partir de 
uma posição arbitrária 𝑥1 , 
também está indicado. 
 
 7 
Elementos de Física II 
1.2 Comprimento De Onda 
O comprimento de onda (λ) de uma onda é a 
distancia, paralela á direção de propagação da 
onda, entre repetições da forma de onda, ou 
seja, é a frente de ondas esférico separadas por 
duas “cristas” ou “vales” consecutivas/os. 
 
 
1.3 Período e Frequência 
A Fig. 1.3 mostra um gráfico do deslocamento 𝑦 em função do tempo 𝑡 , 
dada pela equação: 
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑦𝑚 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡), 
Figura 1.2 – Na figura em cima é possível 
visualizar uma perturbação, ao que 
denominamos de onda. Podemos também 
visualizar as diferentes componentes 
constituintes da onda, como comprimento de 
onda, amplitude, período e direção de 
propagação. 
(1.0) 
 
 8 
Elementos de Física II 
sendo o ponto 𝑥 = 0. Ao observar a corda de perto, verificávamos que o 
elemento da corda que está nessa posição move-se para cima e para baixo 
em um movimento harmônico simples dado pela Eq. (1.0) com 𝑥 = 0: 
 𝑦(0, 𝑡) = 𝑦𝑚 sin(− 𝜔𝑡) = 
= − 𝑦𝑚 sin( 𝜔𝑡) (𝑥 = 0) 
A Fig. 1.3 é um gráfico da equação da Eq. (1.1); a curva não mostra a forma 
de onda. 
Definimos período 𝑇 como o intervalo de 
tempo que é necessário para que um ponto 
vibrante percorra um ciclo completo. 
 
 
 
 
(1.1) 
(1.2) 
Figura 1.3 – Gráfico do deslocamento do elemento 
da corda situado em 𝑥 = 0 em função do tempo, 
quando a onda senoidal da Fig. 1.1 passa pelo 
elemento. A amplitude 𝑦𝑚 está indicada. Um 
período 𝑇 típico, medido a partir de um tempo 
 
 9 
Elementos de Física II 
Nota: Frequência Angular 
O parâmetro ω é chamado de frequência angular da onda, onde a sua 
unidade de SI é o radiano por segundo. É definida pela seguinte equação: 
ω =
2π
T
 
 
A frequência 𝑓 de uma onda é definida como 1 𝑇⁄ e está relacionada á 
frequência angular através da equação: 
𝑓 =
1
𝑇
=
2π
T
 
Concluindo assim, que a frequência é o numero de oscilações por 
intervalo de tempo. 
 
 
 
(1.3) 
(1.4) 
 
 10 
Elementos de Física II 
1.4 Velocidade De Propagação 
A figura 1.4 mostra dois momentos instantâneos 
da onda, separados por pequenos intervalos de 
tempo 𝛥𝑡. Ambas se estão a propagar no sentido 
positivo do eixo dos 𝑥, com toda a forma de onda 
a deslocar-se com uma distância 𝛥𝑥 uma da outra, 
propagando-se ambas na mesma direção. A razão 
𝛥𝑥
𝛥𝑡⁄ é a velocidade 𝑣 da onda. 
 
Usando a equação seguinte: 
𝑘 =
2π
λ
, 
Sendo 𝑘 o número de onda, podemos escrever a velocidade da onda na 
forma: 
Figura 1.4 – Dois instantes da onda da Fig. 
1.1, nos instantes 𝑡 = 0 e 𝑡 = 𝛥𝑡. Quando a 
onda se move para a direita com velocidade 
𝑣Ԧ , a curva inteira desloca-se de uma 
distância 𝛥𝑥 durante um intervalo de 
tempo 𝛥𝑡. O ponto 𝐴 “viaja” com a forma 
de onda, mas os elementos da corda 
deslocam-se apenas para cima e para 
baixo. 
(1.5) 
 
 11 
Elementos de Física II 
𝑣 = 
ω
𝑘
=
λ
𝑇
= λf 
De acordo com a equação 1.6, a velocidade da onda é igual a um 
comprimento de onda por período. A onda desloca-se de uma distância igual 
a um comprimento de onda em um período de oscilação. 
 
 
 
 
 
 
 
(1.6) 
 
 12 
Elementos de Física II 
2. Luz 
Recapitulando, a luz é uma onda eletromagnética, cujo comprimento de 
onda se inclui num determinado intervalo dentro do qual o olho humano é a 
ela sensível. Trata-se, de outro modo, de uma radiação eletromagnética que 
se situa entre a radiação infravermelha e a radiação ultravioleta. 
As três grandezas físicas básicas da luz são herdadas das grandezas de 
toda e qualquer onda eletromagnética: 
• Intensidade ou amplitude 
• Frequência 
• Polimerização 
No caso específico da luz, a intensidade se identifica com o brilho e a 
frequência com a cor. 
 
 
 13 
Elementos de Física II 
2.1 Propagação Da Luz 
A grande contribuição de JamesClerk Maxwell, foi 
mostrar que um raio luminoso nada mais é que 
que a propagação no espaço de campos elétricos 
e magnéticos, ou seja, ondas eletromagnéticas, 
concluindo assim que a ótica, é um ramo do 
eletromagnetismo. Como dito anteriormente, a luz 
é dual, ou seja, admite duas naturezas: A forma 
de partícula e a forma de onda. 
Como estamos a discutir a ótica geométrica, 
iremos falar na forma de partícula, que são, nada 
mais que os fotões. 
 
 
 
Figura 1.5 – A luz tem um comportamento 
dual, ou seja, pode assumir duas naturezas: 
Natureza geométrica e a natureza ondulatória, 
ou seja, pode ser tanto um “raio” luminoso 
retilíneo como uma frente de onda curvilínea. 
 
 14 
Elementos de Física II 
Nota: Fotão 
O fotão é a partícula elementar mediadora da força eletromagnética. O fotão 
também é o quantum da radiação eletromagnética (incluindo a luz). 
Quando a luz é considerada uma partícula, seus estudos são feitos a partir 
do conceito de raios de luz. Os raios de luz são segmentos de reta que 
representam a direção e o sentido de propagação da luz. Eles podem ser 
emitidos por dois tipos de fontes: 
• Fontes Primárias – Emitem luz própria (Ex.: o sol, a chamada de 
uma vela ou uma lâmpada). 
• Fontes Secundárias – Refletem a luz que recebem de uma fonte 
primária (Ex.: a lua que reflete a luz que recebe do sol, ou um livro, 
que só é visto se refletir a luz que recebe de uma lâmpada). 
De acordo com Christiaan Huygens, cada ponto de uma frente de onda 
possui a funcionalidade de uma nova fonte pontual. Ou seja, a cada instante 
de tempo, a própria frente de onda gera infinitesimais novas ondas, a partir 
 
 15 
Elementos de Física II 
de cada um de seus pontos, dando origem a uma nova frente de onda no 
instante seguinte. 
Ele também supôs que apenas as propagações que seguem a direção inicial 
da onda têm energia suficiente para gerar uma onda secundária. Isso 
impede, por exemplo, que a luz se propague para trás iluminando locais 
escondidos por objetos. Caso contrário, não haveria sombra. 
A esta ideia denominamos o Principio de Huygens. Este principio, é capaz 
de provar as leis da reflexão e refração, mas não sabe explicar o fenómeno 
da difração que será visto mais á frente. 
Resumindo o principio: 
• A luz propaga-se na forma de onda. 
• Este principio aborda o conceito de Ótica Ondulatória. 
• Num dado instante a frente de onda de uma onda luminosa que 
se propaga toma a forma de um envelope esférico de pequenas 
 
 16 
Elementos de Física II 
perturbações esféricas que emergem de cada ponto da frente de 
onda. 
• Leis da Reflexão e Refração. 
• Luz, como raio luminoso, refere-se a Ótica Geométrica. 
• Luz, como frente de onda que se propaga, refere-se a Ótica 
Ondulatória. 
 
2.1.1 Velocidade De Propagação Da Luz 
Sendo a luz um fenómeno ondulatório, tem uma determinada velocidade de 
propagação. Esta velocidade depende do meio material onde a luz se 
propaga (Ex.: água, vidro, ar, etc). 
Sabe-se que a luz faz parte de um grupo de ondas, chamado de ondas 
eletromagnéticas, sendo uma das características que reúne este grupo a sua 
velocidade de propagação. A velocidade da luz no vácuo, mas que na 
verdade se aplica a diversos outros fenômenos eletromagnéticos como 
 
 17 
Elementos de Física II 
raios-X, raios gama, ondas de rádio e TV, é caracterizada pela letra 𝑐, e tem 
um valor aproximado de 300 mil quilômetros por segundo, ou seja: 
𝑐 = 3 ∙ 108 𝑚 𝑠⁄ (𝑆𝐼) 
No entanto, nos meios materiais, a luz se comporta de forma diferente, 
já que interage com a matéria existente no meio. Em qualquer um destes 
meios a velocidade da luz 𝑣 é menor que 𝑐. Em meios diferentes do 
vácuo também diminui a velocidade conforme aumenta a frequência 
(Ex.: a velocidade da luz vermelha é maior que a velocidade da luz 
violeta). 
 
2.1.2 Índice De Refração 
Para que se consiga entender completamente a refração da luz, é 
necessário apresentar uma nova gradeza que relacione a velocidade da 
radiação monocromática no vácuo e em meios materiais. A esta 
(1.7) 
 
 18 
Elementos de Física II 
grandeza denominamos de índice de refração da luz monocromática no 
meio apresentado, sendo expressa da seguinte forma: 
𝑛 =
𝑐
𝑣
 
Onde 𝑛 é o índice de refração 
absoluto no meio, sendo uma 
grandeza adimensional. É 
importante observar que o índice de 
refração absoluto nunca pode ser 
menor do que 1, já que a maior 
velocidade possível num meio é 𝑐, se 
o meio considerado for o próprio 
vácuo. 
 
 
 
(1.7) 
Figura 1.6 – Índices de refração de diferentes meios. 
 
 19 
Elementos de Física II 
 
2.2 Reflexão E Refração Da Luz 
 
2.2.1 Reflexão Da Luz 
A reflexão da luz é um fenômeno ótico que ocorre quando a luz incide sobre 
uma superfície e retorna ao seu meio de origem. Os espelhos são os 
principais instrumentos utilizados com base nesse fenômeno. A reflexão 
pode ser classificada em: 
• Reflexão Difusa - Ocorre quando a luz incide sobre uma 
superfície irregular e esta a reflete. Os raios de luz refletidos 
propagam-se em várias direções diferentes. 
• Reflexão Regular – Os raios refletidos ficam paralelos uns aos 
outros. É esse tipo de reflexão que forma a imagem de 
superfícies altamente polidas (Ex.: os espelhos, metais ou a 
superfície de um lago). 
 
 20 
Elementos de Física II 
Se a superfície refletora é muito 
lisa, a reflexão de luz que ocorre é 
chamada de reflexão especular ou 
regular. A reflexão é explicada 
através de duas leis, de 
conhecimento geral. Para enunciá-
las, é preciso antes definir alguns 
conceitos: 
 
• A normal é a semirreta perpendicular á superfície refletora. 
• Ângulo de Incidência é o ângulo formado entre o feixe de luz que 
incide sobre o objeto e a normal. 
• Ângulo de Reflexão é o ângulo que a direção de um feixe de luz 
refletida faz com a normal. 
Concluindo, o raio incidente, a reta normal e o raio refletido são coplanares, 
ou seja, estão no mesmo plano. O ângulo de incidência é igual ao ângulo 
Figura 1.7 – Está representado a reflexão de um feixe 
de luz. O ângulo que o raio incidente faz com a 
normal, 𝑖 é igual ao ângulo que o raio refletido faz 
com a normal, 𝑟. 
 
 21 
Elementos de Física II 
de reflexão. Para perceber em detalhe a reflexão da luz, necessitamos de 
estudar o Principio de Fermat ou Principio do Tempo Mínimo. 
Este principio diz que a luz propaga-se de um 
ponto ao outro seguindo uma trajetória que 
minimiza o tempo do percurso, mesmo que 
para isso tenha que desviar-se da reta que une 
esses dois pontos. 
Para calcular 𝐿 aplicamos o Teorema de 
Pitágoras: 
𝐿 = √𝑑2 + 𝑥2 + √𝑑′2 + (𝑙 − 𝑥)2 
 
A distância mínima é obtida derivando 𝐿 em ordem a x, tal que: 
𝑑𝐿
𝑑𝑥
=
𝑥
√𝑑2 + 𝑥2
+
𝑙 − 𝑥
√𝑑′2 + (𝑙 − 𝑥)2
= 0 
Figura 1.8 – É possível determinar o comprimento 
do feixe, 𝐿, através do teorema de Pitágoras. Basta 
considerar a distância em 𝑥 do objeto e da 
imagem e a distância em 𝑦 do objeto e da imagem. 
(1.8) 
 
(1.9) 
 
 22 
Elementos de Física II 
Considerando os ângulos 𝜃1 𝑒 𝜃2 temos: 
sin 𝜃1 = sin 𝜃2 
Ou 
𝜃1 = 𝜃2 
 
 
2.2.2 Imagem 
O sistema visual, que começa na retina e termina no córtex visual, localizado 
na parte posterior do cérebro, processa automaticamente as informações 
contidas nos raios luminosos. Esse sistema identifica arestas, orientações, 
texturas, formas e cores e oferece á consciência uma imagem 
(representação obtida dos raios luminosos). 
O sistema visual executa esse processamentomesmo que os raios 
luminosos não venham diretamente do objeto, mas sejam antes refletidos 
por um espelho ou refratados pelas lentes de um binóculo. Nesse caso, o 
(1.8) 
 
(1.9) 
 
 
 23 
Elementos de Física II 
objeto é visto na direção onde se encontra o espelho ou lente e a distância 
percebida pode ser muito diferente da distância real. 
Assim, por exemplo, se os raios luminosos forem refletidos por um espelho 
plano, o objeto parece estar atrás do espelho, já que os raios que chegam 
ao olho vêm nessa direção. Naturalmente não existe nenhum objeto atras 
do espelho. A este tipo de imagem denominamos de imagem virtual, onde 
existe apenas no cérebro, embora faça parecer que existe também na vida 
real. 
Uma imagem real, por outro lado, é aquela que pode ser produzida em uma 
superfície, como em uma folha de papel, ou numa tela de cinema. Podemos 
ver uma imagem real, mas, nesse caso, a existência de imagem não 
depende da presença de espetadores. 
 
 
 
 24 
Elementos de Física II 
2.2.2.1 Espelhos Planos 
O espelho é uma superfície que reflete um raio 
luminoso em uma direção definida em vez de 
absorve-lo ou espalhá-lo em todas as direções. 
Uma superfície metálica polida comporta-se como 
um espelho, mas uma parede de betão não. Nesta 
secção serão discutidas as imagens produzidas por 
espelhos planos (superfície refletora plana). 
A figura 1.9 mostra uma fonte luminosa 𝑂 , que 
vamos chamar de objeto. O objeto está a uma 
distância 𝑝 de um espelho plano. 
A luz que incide no espelho esta representada por alguns raios que partem 
de 𝑂. A reflexão da luz está representada por raios que partem do espelho. 
Quando prolongamos os raios refletidos no sentido inverso (para trás do 
espelho), constatamos que as extensões dos raios se intercetam em um 
ponto que está a uma distância 𝑖 atrás do espelho. 
Figura 1.9 – Uma fonte luminosa pontual 𝑂, 
chamada de objeto, está a uma distância 𝑝 
de um espelho plano. Raios luminosos 
provenientes de 𝑂 são refletidos pelo 
espelho. Se o olho do observador interceta 
raios refletidos, ele tem a impressão de que 
existe uma fonte luminosa pontual 𝑙 atrás 
do espelho, a uma distância 𝑖 . A fonte 
fictícia 𝑙 é uma imagem virtual do objeto 𝑂. 
 
 25 
Elementos de Física II 
Quando olhamos para um espelho idêntico ao da 
figura 1.9, os nossos olhos recebem parte da luz 
refletida e temos a impressão de que estamos a olhar 
para um ponto luminoso situado no ponto de 
interseção dos prolongamentos dos raios. 
Esse ponto é a imagem 𝑙 do objeto 𝑂. Ele é chamado 
de imagem pontual, porque é um ponto e de imagem 
virtual porque nenhum raio passa realmente pelo 
ponto onde está a imagem 
A Fig. 2.0 mostra dois raios escolhidos entre os muitos da Fig. 1.9. Um é 
perpendicular ao espelho e é refletido no ponto 𝑏; o outro chega ao espelho 
com um ângulo de incidência de θ e é refletido no ponto 𝑎. A figura também 
mostra os prolongamentos dos dois raios. Os triângulos 𝑎𝑂𝑏𝑎 e 𝑎𝑙𝑏𝑎 têm 
um lado comum e três ângulos iguais e são, portanto, congruentes (têm a 
mesma forma e tamanho), de modo que os lados horizontais têm o mesmo 
comprimento. Assim, 
𝑙𝑏 = 𝑂𝑏, 
Figura 2.0 – Dois raios da Fig. 1.9. O 
raio 𝑂𝑎 faz um ângulo arbitrário θ
com a normal á superfície do espelho; 
o raio 𝑂𝑏 é perpendicular ao espelho. 
(2.0) 
 
 
 26 
Elementos de Física II 
em que 𝑙𝑏 e 𝑂𝑏 são as distâncias entre o espelho e a imagem e entre o 
espelho e o objeto, respetivamente. De acordo com a Eq. (2.0), as distâncias 
entre o espelho e o objeto e o espelho e a imagem são iguais. Pro 
convecção, as distâncias dos objetos (𝑝) são sempre consideradas 
positivas e as distâncias das imagens (𝑖) são consideradas positivas para 
imagens reais e negativas para imagens virtuais. Assim a Eq. (2.0) pode ser 
escrita a forma de |𝑖| = 𝑝 ou: 
𝑖 = −𝑝 
 
2.2.2.2 Espelhos Esféricos 
Para construir um espelho esférico, primeiramente 
começa-se com um espelho plano como indica a Fig. 2.1, 
que está voltado para a esquerda, em direção a um objeto 
𝑂 e a um observador que não aparece na figura. 
(2.1) 
 
Figura 2.1 – Representação de 
um espelho plano. Quando 
curvado, irá refletir os raios de 
luz de formas diferentes. 
 
 27 
Elementos de Física II 
Para fazer um espelho concâvo é necessário curvar 
a superficie do espelho para para dentro, como 
podemos visualizar na Fig. 2.2. Isso modifica várias 
caracteristicas do espelho e da imagem que produz 
um objeto: 
1. O centro de curvatura 𝐶 (o centro da 
esfera á qual pertence a superficie do 
espelho) estava a uma distância infinita 
no caso do espelho plano. 
No caso do espelho concâvo, está mais próximo, á frente do 
espelho. 
2. O campo de visão (a extensão da cena vista pelo observador) 
diminui em relação ao espelho plano. 
3. A distância da imagem aumenta em relação ao espelho plano. 
4. O tamanho da imagem aumenta em relação ao espelho plano. 
 
Figura 2.2 – Quando o espelho é curvado 
desta forma a imagem afasta-se. 
 
 28 
Elementos de Física II 
Para fazer um espelho convexo, é necessário curvar a 
superficie do espelho para fora , como podemos visualizar na 
Fig. 2.3. Essa curvatura, causa as seguintes modificações no 
espelho e da imagem que produz de um objeto: 
1. O centro de curvatura agora está 
atrás do espelho. 
2. O campo de visão aumenta em 
relação ao espelho plano. 
3. A distância da imagem diminui em relação ao espelho plano. 
4. O tamanho da imagem diminui em relação ao espelho plano. 
 
2.2.3 Pontos Focais Dos Espelhos Esféricos 
No caso de um espelho plano, a distância da imagem, 𝑖, é sempre igual em 
módulo á distância do objeto 𝑝. 
Figura 2.3 – Quando o espelho 
é curvado desta forma, a 
imagem aproxima-se 
 
 29 
Elementos de Física II 
Antes de determinar a relação entre as duas 
distâncias nos espelhos esféricos, vamos 
considerar a reflexão da luz emitida por um 
objeto 𝑂 que se encontra nas proximidades do 
eixo central de um espelho esférico, a uma 
grande distância do espelho. O eixo central é 
uma reta que passa pelo centro de curvatura 𝐶 
e pelo centro 𝑐 do espelho. 
Quando raios paralelos que são emitidos a uma 
grande distância são refletidos por um espelho 
côncavo como o da Fig. 2.3, os raios próximos do 
eixo central convergem para um ponto 𝐹, ao qual 
denominamos ponto focal. Á distância entre o 
ponto focal, 𝐹 , e o centro do espelho, 𝑐 , 
denominamos de distância focal do espelho e 
representa-se por 𝑓. 
No caso de um espelho convexo, os raios paralelos, ao 
serem refletidos, divergem em vez de convergir (Fig. 2.5), mas os 
Figura 2.4: Em um espelho côncavo, 
raios luminosos paralelos incidentes 
convergem para um foco real situado no 
ponto 𝐹, do mesmo lado do espelho que 
os raios. 
Figura 2.5: Num espelho convexo, raios 
luminosos paralelos incidentes parecem 
divergir de um foco virtual situado no 
ponto 𝐹, do lado oposto do espelho. 
 
 30 
Elementos de Física II 
prolongamentos dos raios para trás do espelho convergem para um ponto 
comum. Esse ponto, 𝐹, é o ponto focal (ou foco) do espelho convexo e a 
distância do mesmo ao centro, 𝑐, do espelho é a distância focal, 𝑓. 
Resumindo: 
• Espelho côncavo → Foco real, 𝑓 > 0. 
• Espelho convexo → Foco virtual, 𝑓 < 0 
A relação entre a distância focal, 𝑓 e o raio de curvatura, 𝑟, do espelho é 
dada por: 
𝑓 =
1
2
𝑟 
Em que, para manter a coerência com os sinais da distância focal, o raio, 𝑟, 
é considerado positivo no caso do espelhocôncavo e negativo no caso de 
um espelho convexo. 
 
(2.2) 
 
 31 
Elementos de Física II 
2.2.4. Imagens Produzidas Por Espelhos Esféricos 
Uma vez definido o ponto focal dos espelhos esféricos, é 
possivel determinar a relaçao entre a distância da imagem , 
𝑖 , e a distância do objeto, 𝑝 , para espelhos côncavos e 
convexos. Começamos por imaginar que o objeto, 𝑂, está 
situado entre o ponto focal, 𝐹, e a superficie de um espelho 
concavo (Fig. 2.6). Neste caso, é produzida uma imagem 
virtual; a imagem parece estar atrás do espelho e tem a 
mesma orientação que o objeto. 
Quando afastamos o objeto, 𝑂 , do espelho, a imagem 
também se afasta até deixar de existir quando o objeto é 
posicionado no ponto focal (Fig 2.7). Quando o objeto está 
exatamente no ponto, 𝐹, os raios refletidos são paralelos e, 
portanto, não se se forma uma imagem, já que nem os raios 
refletidos pelo espelho nem os prolongamentos dos raios se 
intercetam. 
Figura 2.6: Um objeto, 𝑂 , 
mais próximo de um espelho 
côncavo que o ponto focal, e 
a sua imagem virtual, 𝐼. 
Figura 2.7: O objeto no ponto 
focal, 𝐹. 
 
 32 
Elementos de Física II 
Se o objeto, 𝑂, está mais longe do espelho côncavo que o ponto focal, os 
raios refletidos convergem para formar uma imagem invertida do objeto (Fig. 
2.8) á frente do espelho. Se afastarmos mais ainda o objeto do espelho, a 
imagem se aproxima do ponto focal e diminui de tamanho. A esta 
aproximação denominamos de focalização. A imagem, 𝑖, de uma imagem 
real é um numero positivo, enquanto a distância de uma uagem virtual é um 
número negativo. 
Nota: Imagem 
As imagens reais forma-se do mesmo lado do espelho em que se encontra 
o objeto, enquanto as imagens virtuais forma-se no lado oposto. 
Quando os raios luminosos de um objeto fazem apenas pequenos ângulos 
com o eixo central de um espelho esférico, a distância do objeto, 𝑝 , a 
distância da imagem, 𝑖, e a distância focal, 𝑓, estão relacionadas através da 
seguinte equação: 
1
𝑝
+
1
𝑖
=
1
𝑓
 (2.3) 
 
 33 
Elementos de Física II 
O tamanho de um objeto ou imagem, medido perpendicularmnte ao eixo 
central do espelho, é chamado de altura do objeto ou imagem. Seja ℎ a 
altura de um objeto e ℎ′ a altura da imagem correspondente. A razão entre 
ℎ′/ ℎ é dneominada de ampliação lateral do espelho e é representada pela 
letra 𝑚. Por conveção, a amplitude lateral é um número positivo quando a 
imagem tem a mesma orientação que o objeto e um número negativo 
quando a imagem tem a orientação oposta. Por essa razão, a expressão 𝑚 
é escrida da seuinte forma: 
|𝑚| =
ℎ′
ℎ
 
Ou 
|𝑚| = −
𝑖
𝑝
 
 
 
 
(2.4) 
(2.5) 
 
 34 
Elementos de Física II 
2.3 Refração 
A luz sofre, além da reflexão, o fenômeno da refração, que é 
um acontecimento ótico que ocorre com a luz quando ela 
muda de meio de propagação. É importante ficar bem claro 
que esse acontecimento só ocorre quando o feixe de luz se 
propaga com velocidade diferente nos dois meios. 
 
2.3.1. Lei de Snell Descartes 
Um feixe de luz ao incidir na superfície de separação dos meios 𝑛1 e 𝑛2, 
parte do feixe de luz é refletida e parte é refratada. 
O produto do seno do ângulo de incidência pelo valor do índice de refração 
do meio, em que se propaga o raio incidente (𝑛1), é igual ao produto do seno 
do ângulo de refração pelo índice de refração do meio, onde se propaga o 
raio refratado (𝑛2): 
 
Figura 2.8: Representação 
da refração da luz, quando 
passa de um meio para o 
outro. 
 
 35 
Elementos de Física II 
𝑛1 sin(𝜃1) = 𝑛2sin (𝜃2) 
A luz, ao ser refratada, pode ter dois tipos de comportamento: 
• Aproxima-se da normal 
• Afasta-se da normal 
Estes dois aspetos, têm a ver com a densidade do 
meio e velocidade da luz no mesmo. 
Se o meio um (𝑛1), for menos denso que o meio 2 
(𝑛2), ou seja, se 𝑛1 < 𝑛2 = 𝜃𝑟 < 𝜃𝑖 , o raio refratado 
aproxima-se da normal, pois a velocidade de 
propagação no meio 2 é menor que no meio 1. 
Analogamente, se o meio um (𝑛1), for mais denso 
que o meio 2 (𝑛2), ou seja 𝑛2 < 𝑛1 = 𝜃𝑖 < 𝜃𝑟, o raio 
refratado afasta-se da normal, pois a velocidade de 
propagação do meio 1 é maior que no meio 2. 
 
 
(2.6) 
Figura 2.9: Representação da refração 
da luz, com o raio luminoso a 
aproximar-se da normal. 
Figura 3: Representação da refração da 
luz, com o raio luminoso a afastar-se 
da normal 
 
 36 
Elementos de Física II 
Existe um caso excecional, que é quando o raio 
refratado faz um ângulo de 90º com a normal. 
Na passagem de um raio luminoso de um meio mais 
denso para um menos denso pode ocorrer para um 
ângulo de incidência 𝜃𝑖 = 𝜃𝑟 que o raio refratado 
tenha uma trajetória rasante à interface ótica. Assim 
a equação de Snell (Eq.: 2.6), para este caso fica da 
seguinte forma: 
𝜃𝑖 = sin
−1 (
𝑛1
𝑛2
) 
A este fenómeno, denominamos de ângulo critico. 
Além disso também é possível, dependendo do meio, velocidade e ângulo 
de incidência que parte do feixe luminoso, ou até mesmo, o feixe na 
totalidade, ser refletido de volta para o meio no qual incide. Ao fenómeno de 
refletir totalmente a luz para o meio no qual é incidente, denominamos de 
reflexão interna total (RIT). 
É devido a este principio geral, que por exemplo, a fibra ótica funciona. 
(2.7) 
Figura 3.1: Na figura está 
representado o ângulo critico, que é 
quando o raio luminoso, tem o mesmo 
sentido e direção da normal. 
 
 37 
Elementos de Física II 
2.3.2. Profundidade Aparente 
Devido á refração da luz, ocorre o fenómeno da profundidade aparente. Os 
raios luminosos provenientes de um objeto imerso na água sofrem um 
desvio, fazendo com que o observador percecione uma imagem a uma 
profundidade diferente da profundidade real. 
Existem dois conceitos que é necessário reter: 
• Se os raios passarem de um meio mais denso (maior índice de 
refração), para um meio menos denso (menos índice de refração), 
os mesmos sofrem um desvio no sentido de se afastar da normal. 
• Se os raios passarem de um meio menos denso (menor índice de 
refração) para um meio mais denso (maior índice de refração), os 
mesmos sofrem um desvio no sentido de se aproximar da normal. 
Usando a lei de Snell (Eq.2.6), e generalizando, obtemos: 
ℎ′
ℎ
=
𝑛1
𝑛2
 (2.8) 
 
 38 
Elementos de Física II 
2.4 Refração Em Superfícies Esféricas 
Vamos agora examinar as imagens formadas pela refração dos raios 
luminosos na interface de duas substâncias transparentes, como ar e vidro. 
Limitaremos a discussão a interfaces esféricas de raio 𝑟 e curvatura 𝐶. A 
luz será emitida por um objeto pontual 𝑂 num meio de índice de refração 
𝑛1 e incidirá numa interface esférica com um meio de índice de refração 𝑛2. 
 
Figura 3.2: Na figura demonstrada, estão representados seis resultados de uma refração esférica. 
Seis modelos pelo qual a imagem pode ser formada por raios luminosos refratados numa 
superfície esférica de raio 𝑟 e centro de curvatura 𝐶. A superfície separa um meio de índice de 
refração 𝑛1 de um meio de índice de refração 𝑛2. O objeto pontual, 𝑂, está sempre no meio do 
índice de refração 𝑛1, á esquerda da superfície. A substância sombreada é a que possui maior 
índice de refração. Imagens reais são formadas nos casos (a) e (b). Nas outras quatro situações 
são formadas imagens virtuais. 
 
 39 
Elementos de Física II 
Na figura ao lado está representado dois meios óticos. O meio que está a 
sombreado representa o de maio índice de refração (Ex.: vidro, água). Note 
que neste trata-se de uma superfícieconvexa, logo: 
𝑛2 > 𝑛1 
Para contruir a imagem, aplica-se a Lei de 
Snell (Eq.: 2.6) na interface ótica esférica, a 
um dos raios para determinar a imagem, 
posto que o objeto está sobre o eixo ótico. É 
de salientar que a normal passa pela 
curvatura 𝐶 e coincide com a direção do raio 
𝑟. O raio incidente no ponto da refração passa 
de um meio menos refringente, 𝑛1, para um 
mais refringente, 𝑛2, pelo que o raio refratado 
vai se aproximar da normal. 
O raio refratado interseta o eixo ótico pelo que a imagem é real. 
 
Figura 3.3: A figura seguinte representa um 
exemplo de refração em superfícies esféricas, 
onde conseguimos visualizar que a o meio 1, 
menos denso e o meio 2, mais denso. 
Concluímos também que a imagem é real. 
 
 40 
Elementos de Física II 
Nota: 
As imagens formadas por refração em uma interface são virtuais quando 
do mesmo lado do objeto e reais quando estão no lado oposto do objeto. 
Na figura ao lado, estão representados dois meios 
óticos. O meio ótico a sombreado representa o 
meio com maior índice de refração (Ex.: vidro, 
água). Estamos presentes uma superfície côncava, 
logo: 
𝑛1 > 𝑛2 
Para construir a imagem, aplica-se a lei de Snell (Eq.: 2.6) na interface ótica 
esférica, a um dos raios para determinar a imagem, posto que o objeto está 
sobre o eixo ótico. É de notar que a normal, passa pelo centro de curvatura 
𝐶 e coincide com a direção do raio 𝑟. O raio incidente no ponto de refração 
passa de um meio mais refringente, 𝑛1, para um menos refringente, 𝑛2, pelo 
que o raio refratado vai se afastar da normal. O raio refratado interseta o 
eixo ótico pelo que a imagem é real. 
Figura 3.4: Na figura ao lado está 
representada um tipo de refração em 
superfícies esféricas, onde a imagem é real. 
 
 41 
Elementos de Física II 
Na figura ao lado dois meios óticos. O meio ótico a sombreado representa 
o meio com maior índice de refração (Ex.: vidro, água). Estamos presentes 
uma superfície convexa, logo: 
𝑛2 > 𝑛1 
Para construir a imagem, aplicamos a lei de 
Snell na interface ótica esférica, a um dos 
raios para determinar a imagem, posto que o 
objeto está sobre o eixo ótico. É de notar que 
a normal passa pelo centro de curvatura 𝐶 e 
coincide com a direção do raio 𝑟. 
O raio incidente no ponto de refração passa 
de um meio menos refringente, 𝑛1 para um 
mais refringente 𝑛2, pelo que o raio refratado 
vai se aproximar da normal. 
Neste caso, é o prolongamento do raio refratado, que interseta o eixo ótico, 
pelo que a imagem formada é virtual. 
Figura 3.5: Na figura ao lado está representado 
um tipo de refração em superfícies esféricas, 
onde a imagem é virtual. 
 
 42 
Elementos de Física II 
Na figura ao lado, estão representados dois meios óticos. O meio ótico a 
sombreado representa o meio com maior índice de refração (Ex.: vidro, 
água). Estamos presentes uma superfície côncava, logo: 
𝑛1 > 𝑛2 
Para construir a imagem, aplicamos a lei de Snell na 
interface ótica esférica, a um dos raios para 
determinar a imagem, posto que o objeto está sobre 
o eixo ótico. É de notar que a normal passa pelo 
centro de curvatura 𝐶 e coincide com a direção do 
raio 𝑟. 
O raio incidente no ponto de refração passa de um 
meio mais refringente, 𝑛1 , para um menos 
refringente, 𝑛2 , pelo que o raio refratado tende a 
afastar-se da normal. 
Neste caso, é o prolongamento do raio refratado, que interseta o eixo ótico, 
pelo que a imagem formada é virtual. 
Figura 3.6: Na imagem em cima está 
representado um exemplo de refração em 
superfícies esféricas, onde a imagem é 
virtual. 
 
 43 
Elementos de Física II 
2.4.1 Equação do Dioptro 
Utilizando a Lei de Snell (Eq.: 2.6) e a 
aproximação paraxial (quando os ângulos são 
muito pequenos), sabendo ainda que a soma 
do ângulo externo de um triângulo é igual á 
soma dos ângulos internos opostos, e 
relacionando o arco 𝐴𝑉 com os ângulos 
𝛼, 𝜃1, 𝜃2, obtemos de uma forma simplificada 
a seguinte equação: 
 
𝑛1
𝑠
+
𝑛2
𝑠′
=
𝑛2 − 𝑛1
𝑟
 
Por convenção, a distancia 𝑠 é sempre positiva e a distância 𝑠′ depende se 
for virtual ou real: 
• Se for real, 𝑠′ é positiva. 
• S for virtual, 𝑠′ é negativa. 
(2.9) 
Figura 3.7: A figura representa a 
esquematização de todos os ângulos e 
triângulos necessários para calcular a 
equação do dioptro. 
 
 44 
Elementos de Física II 
Além disso, quando sabemos também que: 
• Quando o objeto está em frente a uma superfície convexa, a 
distância ao centro, 𝑟 é positiva. 
• Quando o objeto está em frente a uma superfície concava, a 
distância ao centro, 𝑟 é negativa. 
 
2.4.2 Propriedades Focais 
Na aproximação paraxial, um feixe de raios 
paralelos que incide num meio ótico, significa 
que são raios luminosos emitidos por um 
objeto que está situado a uma distância muito 
grande, ou seja, considerado infinito. Estes 
raios são refratados pelo dioptro de forma a 
convergirem num único ponto no eixo ótico ao 
qual denominamos de ponto focal secundário, 
𝐹′. 
Figura 4: A figura representa raios que são 
emitidos a distâncias muito grandes, ao qual 
dependendo do tipo de superfície, encontram-
se todos num determinado ponto, que pode 
ser real se a superfície for convexa, ou virtual 
se a superfície for concava. 
 
 45 
Elementos de Física II 
A distância entre o vértice e o foco denomina-se distância focal secundária, 
𝑓′. Estes pontos focais secundários, podem ser reais ou virtuais: 
𝑛1
∞
+
𝑛2
𝑠′
=
𝑛2 − 𝑛1
𝑟
→
𝑛2
𝑓′
=
𝑛2 − 𝑛1
𝑟
 
Na aproximação paraxial, um feixe de raios 
paralelos que emergem num dioptro, 
significa que são raios luminosos que vão 
formar imagem no infinito. 
Estes raios são resultado da refração de 
um conjunto de raios provenientes de um 
único ponto situado no eixo ótico: o 
primeiro ponto focal, 𝐹 ou foco principal. 
A distância entre o vértice e o foco denomina-se distância focal principal, 𝑓. 
Estes pontos focais podem ser reais ou secundários: 
𝑛1
𝑠
+
𝑛2
∞
=
𝑛2 − 𝑛1
𝑟
→
𝑛2
𝑓
=
𝑛2 − 𝑛1
𝑟
 
(3.0) 
(3.1) 
Figura 4.1: Na figura acima está 
representada a emissão de raios paralelos e 
o comportamento desses mesmos raios, 
vindos de dentro do dioptro, dependendo do 
tipo de superfície esférica 
 
 46 
Elementos de Física II 
É comum definir a quantidade, ou seja, a potência do dioptro em dioptrias, 
𝐷 com a seguinte equação: 
𝑃 =
𝑛1
𝑓
=
𝑛2 − 𝑛1
𝑟
 
Alguns conceitos devem ser retidos na construção dos raios em superfícies 
refrativas esféricas: 
• O prolongamento de raios que incidem no dioptro paralelos ao eixo, 
passam pelo segundo ponto focal, 𝐹′. 
• O prolongamento de raios emerge do dioptro paralelos ao eixo, 
passam pelo primeiro ponto focal, 𝐹. 
• Raios que incidem no dioptro passando pelo vértice emergem do 
dioptro sem sofrer desvio. 
A relação existente entre as alturas da imagem e objeto é denominada de 
ampliação lateral, 𝑚: 
|𝑚| =
ℎ′
ℎ
 ⇔ 𝑚 = −
𝑛1
𝑛2
𝑠′
𝑠
 
(3.2) 
(3.3) 
 
 47 
Elementos de Física II 
Sendo: 
• 𝑚 > 1, imagem ampliada 
• 𝑚 < 2, imagem reduzida 
• 𝑚 = 1, ampliação unitária 
 
2.5 Lentes Delgadas 
Uma lente é um corpo transparente limitado por duas superfícies refratoras 
com um eixo central em comum. Quando a lente está imersa no ar, a luz é 
refratada ao penetrar a lente, atravessa a lente, é refratada uma segunda 
vez e volta a propagar-se no ar. As duas refrações podem mudar a direção 
dos raios luminosos.Uma lente que faz com que os raios luminosos inicialmente paralelos ao 
eixo central se aproximam do eixo é chamada de lente convergente; uma 
lente que faz com que os raios se afastem do eixo central é chamada de 
lente divergente. Quando um objeto é colocado diante de uma lente 
 
 48 
Elementos de Física II 
convergente ou divergente, a difração dos raios luminosos pela lente pode 
produzir uma imagem do objeto. 
Vamos considerar apenas o caso especial das lentes delgadas, ou seja, 
lentes nas quais a distância do objeto 𝑠, a distância da imagem, 𝑠′, e os 
raios de curvatura 𝑟1 e 𝑟2 das superfícies da lente são muito maiores que a 
espessura da lente. Vamos também apenas considerar raios que fazem 
ângulos pequenos com o eixo central. A relação entre a distância 𝑠′ da 
imagem e a distância 𝑠 do objeto é dada por: 
1
𝑓
=
1
𝑠
+
1
𝑠′
 
Numa lente de índice de refração, 𝑛 imersa no ar, a distância focal, 𝑓 é dada 
por: 
1
𝑓
= (𝑛 − 1) (
1
𝑟1
−
1
𝑟2
) 
Conhecida por a equação do fabricante. 
 
(3.4) 
(3.5) 
 
 49 
Elementos de Física II 
 
Figura 4.2: (a) Raios luminosos inicialmente paralelos ao eixo central de uma lente convergente 
são desviados pela lente e convergem para o ponto focal real, 𝐹2. A lente é mais fina que no 
desenho, na verdade, supomos que todo o desvio ocorra em um único plano, representado na 
figura por uma reta vertical passando pelo centro da lente. (b) Ampliação da parte superior da 
lente representada em (a); as linhas tracejadas são as normais á superfície nos pontos de entrada 
e saída de um raio luminoso. Observa que os desvios que o raio sofre ao entrar e ao sair da lente 
são no mesmo sentido e tendem a aproximá-lo do eixo central. (x) Os mesmos raios paralelos 
divergem depois de passar por uma lente divergente. Os prolongamentos dos raios divergentes 
passam por um ponto focal virtual, 𝐹2. (d) Ampliação da parte superior da lente representada em 
(c). Observa que os desvios que o raio sofre ao entrar e ao sair da lente são no mesmo sentido e 
tendem a afastá-lo do eixo central. 
 
 
 50 
Elementos de Física II 
2.5.1 Ponto Focal De Uma Lente Biconvexa 
A figura ao lado demonstra uma lente 
biconvexa. Um feixe de raios paralelos sofre 
duas refrações, a primeira refração na 
superfície frontal e a segunda refração na 
superfície posterior. A dupla refração, faz os 
raios convergirem para m ponto comum, 𝐹2, 
denominado de ponto foca. 
A distância do vértice ao ponto focal, é 
denominada, distância focal. Neste caso, 
trata-se de uma lente convergente, e os raios 
ao intercetarem o eixo ótico, formam uma 
imagem real. Quando os raios paralelos 
incidem do lado oposto, convergem no ponto 
𝐹1 á mesma distância do vértice, 𝑉. 
 
Figura 4.3: Representação da lente convexa, 
convergindo os raios luminosos num único 
ponto. 
Figura 4.4: Representação de uma lente 
convexa e da passagem de um raio 
luminoso pela mesma. 
 
 51 
Elementos de Física II 
Nota: 
Tal como no dioptro esférico, as imagens reais são positivas, ou seja, 
distância focal positiva em lentes convergentes. 
O ponto focal da lente é real, logo, 𝑓 > 0 e o lado esquerdo da (Eq.: 3.5) é 
positivo. Vejamos o que se passa no 2º membro da equação. O índice de 
refração de um vidro ou de qualquer material é sempre maior que 1, logo 
esta quantidade é sempre positiva: 
(𝑛 − 1) 
Como o objeto colocado na frente da lente (muito distante), encontra a 
primeira superfície de raio de curvatura, 𝑟1 que é convexa. De acordo com a 
convecção da equação do dioptro, 𝑟1 é positivo, pois como essa parte da 
lente é convexa, o raio é positivo: 
(
1
𝑟1
−
1
𝑟2
) 
 
 52 
Elementos de Física II 
Seguidamente encontramos a superfície côncava de raio de curvatura 𝑟2 
que de acordo com a mesma convenção, 𝑟2 é negativo, pelo que o termo do 
lado direito da (Eq.: 3.5) é sempre positivo. Com isto provámos que os sinais 
estão corretos e que a equação funciona. 
A figura seguinte representa uma lente 
bicôncava. Um feixe de raios paralelos sofre 
duas refrações, sendo a primeira refração na 
superfície frontal e a segunda refração na 
superfície posterior. 
A dupla refração, faz os raios divergirem, ou seja, trata-se de uma lente 
divergente. O prolongamento dos raios refratados intersetam um ponto 
comum, denominado ponto focal. A distância do vértice ao ponto focal é 
denominada distância focal, 𝒇. Como são os prolongamentos a intersetarem 
o eixo ótico, logo concluímos que o ponto focal é virtual. 
 
Figura 4.5: Representação de uma lente 
biconvexa, onde o ponto focal é virtual. 
 
 53 
Elementos de Física II 
Nota: 
Tal como no dioptro esférico, imagens virtuais são negativas, logo, distância 
focal negativa em lentes divergentes. 
É necessário, reter alguns conceitos relativamente á construção da imagem 
de lentes convergentes: 
• Raios que incidem na lente paralelos ao eixo convergem para o 
segundo ponto focal, 𝐹2. 
• Raios que incidem na lente passando pelo primeiro ponto focal, 𝐹1, 
emergem da lente paralelos ao eixo ótico. 
• Raios que incidem na lente passando pelo vértice emergem da 
lente sem sofrer desvio. 
 
Figura 4.6: Representação dos três raios principais. 
 
 54 
Elementos de Física II 
• Raios que incidem na lente, de maneira que o seu prolongamento 
passa pelo primeiro ponto focal, 𝐹1 emergem da lente paralelos ao 
eixo ótico. 
 
Figura 4.7: Representação dos raios necessários para construir a imagem 
 
É necessário também reter alguns conceitos, no que conta a contruir 
imagens em lentes divergentes: 
• Raios que incidem na lente paralelos ao eixo, divergem de tal 
maneira que o seu prolongamento passa pelo segundo focal, 𝐹2 
• Raios que incidem na lente, de maneira que o seu prolongamento 
passa pelo primeiro ponto, 𝐹1 emergem da lente paralelos ao eixo 
ótico 
 
 55 
Elementos de Física II 
• Raios que incidem na lente passando pelo vértice, emergem da 
lente sem sofrer desvio. 
 
Figura 4.8: Representação dos raios necessários para construir uma imagem em lentes 
divergentes.