gabarito da lista 1 (algumas questoes)

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LISTA 1 - Funções (gabarito)
Questão 9
(a) Se f e g são funções pares, isto é,
f(−x) = f(x) e g(−x) = g(x)
então,
(f ◦ g)(−x) = f(g(−x))
= f(g(x))
= (f ◦ g)(x).
Portanto f ◦ g é par.
(b) Se f e g são funções ímpares, isto é,
f(−x) = −f(x) e g(−x) = −g(x)
então,
(f ◦ g)(−x) = f(g(−x))
= f(−g(x))
= −f(g(x))
= −(f ◦ g)(x).
Portanto f ◦ g é ímpar.
(c) Se f é par e g é ímpar, isto é,
f(−x) = f(x) e g(−x) = −g(x)
então,
(f ◦ g)(−x) = f(g(−x))
= f(−g(x))
= f(g(x))
= (f ◦ g)(x).
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Portanto f ◦ g é par.
(d) Se f é ímpar e g é par, isto é,
f(−x) = −f(x) e g(−x) = g(x)
então,
(f ◦ g)(−x) = f(g(−x))
= f(g(x))
= (f ◦ g)(x).
Portanto f ◦ g é par.
Questão 17
(a) f(x) = tg(3x)
Temos que tg(3x) = sen(3x)
cos(3x)
, então cos(3x) 6= 0. Isto é,
3x 6=
{
pi
2
,
3pi
2
,
5pi
2
,
7pi
2
, ...
}
,
ou ainda
3x 6=
{
(2k + 1)pi
2
, k ∈ Z
}
.
Portanto
x 6=
{
(2k + 1)pi
6
, k ∈ Z
}
.
Logo, Dom(f) = R−
{
(2k+1)pi
6
, k ∈ Z
}
= R− {pi
6
+ 1
3
k, k ∈ Z} .
Agora denote y = 3x. Para tg(y) descrever um período completo devemos ter:
−pi
2
< y <
pi
2
−→ −pi
2
< 3x <
pi
2
−→ −pi
6
< x <
pi
6
.
Portanto, Período de f é igual a
pi
6
+ pi
6
= pi
3
.
(b) f(x) = sec(2x)
Temos que sec(2x) = 1
cos(2x)
, assim cos(2x) 6= 0. Isto é,
2x 6=
{
pi
2
,
3pi
2
,
5pi
2
,
7pi
2
, ...
}
,
2
ou ainda
2x 6=
{
(2k + 1)pi
2
, k ∈ Z
}
.
Portanto
x 6=
{
(2k + 1)pi
4
, k ∈ Z
}
.
Logo, Dom(f) = R−
{
(2k+1)pi
4
, k ∈ Z
}
= R− {pi
4
+ 1
2
k, k ∈ Z} .
Temos que o período da secante é igual ao período do cosseno que é 2pi, portanto se
denotarmos y = 2x, para sec(y) descrever um período completo devemos ter:
0 < y < 2pi, y 6=
{
pi
2
,
3pi
2
}
−→ 0 < 2x < 2pi, 2x 6=
{
pi
2
,
3pi
2
}
−→ 0 < x < pi, x 6=
{
pi
4
,
3pi
4
}
.
Assim, Período de f é igual a pi.
(c) f(x) = cossec(x+ pi
4
)
Temos que f(x) = cossec
(
x+ pi
4
)
= 1
sen(x+pi4 )
, donde sen
(
x+ pi
4
) 6= 0. Isto é,
x+
pi
4
6= {0, pi, 2pi, 3pi, ...} .
Ou ainda
x+
pi
4
6= {kpi, k ∈ Z} .
Portanto,
x 6=
{
kpi − pi
4
, k ∈ Z
}
.
Logo, Dom(f) =6=
{
(k−1)
4
pi, k ∈ Z
}
.
Temos que o período da cossecante é igual ao período do seno que é 2pi, portanto se
denotarmos y = x+ pi
4
, para cossec(y) descrever um período completo devemos ter:
0 < y < 2pi, y 6= {0, 2pi} −→ 0 < x+pi
4
< 2pi, x+
pi
4
6= {0, 2pi} −→ −pi
4
< x < 2pi−pi
4
, x 6=
{
−pi
4
, 2pi − pi
4
}
Portanto, Período de f é igual a
pi
4
+
(
2pi − pi
4
)
= 2pi.
Obs.: Trasnlação de funções não altera o período da função.
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