Engenharia 6bim P6 1 gabarito

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AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
 
curso: Engenharia – Ciclo Básico bimestre: 6º bimestre data: / /2017 
P6-1 polo: aplicador responsável: turma/ período: 
nome: RA: 
 
Utilize preferencialmente folhas sulfite, identificando cada uma delas, frente e verso, com seu R.A. 
Evite escrever no canto superior direito das folhas de resposta. Boa prova! 
 
disciplina Economia I NOTA (0-10): 
 
Questão 1 (2,5 pontos) 
Considere os seguintes eventos: novas pesquisas científicas revelam que o consumo de café é maléfico para 
nossa saúde e, ao mesmo tempo, há uma praga de “bicho-mineiro”, uma espécie de mariposa que destrói os 
cafeeiros, que ataca todas as plantações da América do Sul, sobretudo as do Brasil. Qual gráfico melhor 
expressa tais acontecimentos? 
 
 
a) 
Contração da oferta e expansão da demanda:
 b) 
Expansão apenas da Oferta: 
 
 
c) 
Expansão apenas da demanda: 
 
 
 d) 
Expansão tanto da oferta quanto da demanda:
 
2 
 
 
Questão 2 (2,5 pontos) 
Em uma economia foi estabelecido um preço-piso para 
determinado produto. O gráfico ao lado representa a 
situação. Que áreas representam o peso morto? 
 
a) VI e VII 
b) I e III 
c) IV e V 
d) IV e VI. 
 
 
 
Questão 3 (2,5 pontos) 
Observe a tabela ao lado. 
 
a) A produtividade marginal do trabalho é decrescente. Quando 
não há nenhum trabalhador, contratar um trabalhador aumenta 
muito a produção, mas quando já há muitos trabalhadores, um 
trabalhador a mais não aumenta tanto a produção. 
b) Quando há 3 trabalhadores, a produtividade marginal de se 
contratar um trabalhador extra é 140. 
c) Sempre valerá a pena contratar um trabalhador extra, 
independente da sua produtividade marginal, pois é sempre 
melhor produzir mais. 
d) A produtividade marginal do trabalho é crescente, pois quanto 
mais trabalhadores, maior é a produção de sorvetes. 
 
Questão 4 (2,5 pontos) 
Assinale a(s) alternativa(s) incorretas: 
 
a) O PIB mede tanto os gastos das famílias quanto a produção industrial, mas as despesas das 
famílias estão calculadas em valores correntes enquanto a produção é calculada em valores 
constantes. 
b) O PIB leva em conta apenas o valor dos bens finais produzidos na economia. 
c) Para calcular o PIB, devemos levar em conta tudo que é produzido na economia, desde os produtos 
primários até os bens finais. 
d) O PIB real mensura gastos das famílias, enquanto o PIB nominal mensura a produção industrial. 
 
Número de 
trabalhadores 
Produção 
(sorvetes 
por hora) 
0 0 
1 45 
2 80 
3 110 
4 130 
5 140 
 
 
3 
 
disciplina Métodos Numéricos NOTA (0-10): 
 
 É permitido o uso de calculadora e formulário. 
 
Questão 1 (2,5 pontos) 
Calcular a raiz por Newton-Raphson, x-exp(-x)+3, no intervalo [-2, 0]. 
Dados: 
 
Figura 1. Gráfico da expressão x = exp(-x) – 3. 
 
 
ݔ௜ାଵ ൌ ݔ௜ െ ݂ሺݔ௜
ሻ
݂′ሺݔ௜ሻ 
 
Questão 2 (2,5 pontos) 
Esboce o gráfico de ݔଷ ൌ ݁ݔ݌ሺെݔሻ e a partir deste plot dê o intervalo, com limites inteiros, dentro do qual a 
raiz se encontra. 
 
Questão 3 (2,5 pontos) 
Explique a diferença entre o método de Newton-Raphson e o método das Secantes. 
 
Questão 4 (2,5 pontos) 
Quanto é a soma dos binários 10000000000 + 1000000 em decimal? 
 
____________________ 
Formulário 
 
݊ ൌ ቜ௟௡
್షೌ
ഄ
௟௡ሺଶሻ െ 1ቝ																ߙ௜ ൌ
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ଶ 																ݔ௜ାଵ ൌ ݔ௜ െ
௙ሺ௫೔ሻ
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෍݌ሺݔሻ ൌ ∆
଴ݕ଴
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∆ଵݕ଴
2! . ݊. ሺ݊ െ 1ሻ ൅
∆ଷݕ଴
3!
௡ିଵ
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. ݊. ሺ݊ െ 1ሻ. ሺ݊ െ 2ሻ ൅⋯
൅ ∆
௠ݕ଴
ሺ݉ ൅ 1ሻ! . ݊. ሺ݊ െ 1ሻ. … . ሺ݊ െ ݉ሻ 
 
4 
 
ݔ௜ ∆଴ݕ௜ ∆ଵݕ௜ ∆ଶݕ௜ 
0 ................................. 
 ................................ 
1 ....................................
 
2 
 
݂ᇱሺߦሻ ൌ ௙ሺ௕ሻି௙ሺ௔ሻ௕ି௔ ݂ሺݔሻ ൌ ݌ሺݔሻ ൅
௙ሺ೙శభሻሺకሻ
ሺ௡ାଵሻ! . ሺݔ െ ݔ଴ሻሺݔ െ ݔଵሻሺݔ െ ݔଶሻ. … . ሺݔ െ ݔ௡ሻ 
ݔ ൌ ܽ|݂ሺܾሻ| ൅ ܾ|݂ሺܽሻ||݂ሺܾሻ| െ |݂ሺܽሻ| ൌ
݂ܽሺܾሻ െ ܾ݂ሺܽሻ
݂ሺܾሻ െ ݂ሺܽሻ 
݊ ൌ 1; ݌ଵሺݔሻ ൌ ݕ଴ܮ଴ሺݔሻ ൅ ݕଵܮଵሺݔሻ; ܮ଴ሺݔሻ ൌ ሺ௫ି௫భሻሺ௫బି௫భሻ; ܮଵሺݔሻ ൌ
ሺ௫ି௫బሻ
ሺ௫భି௫బሻ.] 
݌ଵሺݔሻ ൌ
ሺݔଵ െ ݔሻݕ଴ ൅ ሺݔ െ ݔ଴ሻݕଵ
ሺݔଵ െ ݔ଴ሻ 
݌ଶሺݔሻ ൌ ݕ଴ܮ଴ሺݔሻ ൅ ݕଵܮଵሺݔሻ ൅ ݕଶܮଶሺݔሻ 
ܮ଴ሺݔሻ ൌ
ሺݔ െ ݔଵሻሺݔ െ ݔଶሻ
ሺݔ଴ െ ݔଵሻሺݔ଴ െ ݔଶሻ 
ܮଶሺݔሻ ൌ
ሺݔ െ ݔ଴ሻሺݔ െ ݔଶሻ
ሺݔଵ െ ݔ଴ሻሺݔଵ െ ݔଶሻ 
ܮଶሺݔሻ ൌ
ሺݔ െ ݔ଴ሻሺݔ െ ݔଵሻ
ሺݔଶ െ ݔ଴ሻሺݔଶ െ ݔଵሻ 
 
ݏଵሺݔሻ ൌ ݂ሺݔ଴ሻ ݔଵ െ ݔݔଵ െ ݔ଴ ൅ ݂ሺݔଵሻ
ݔ െ ݔ଴
ݔଵ െ ݔ଴ 
ݏଶሺݔሻ ൌ ݂ሺݔଵሻ ݔଶ െ ݔݔଶ െ ݔଵ ൅ ݂ሺݔଶሻ
ݔ െ ݔଵ
ݔଶ െ ݔଵ 
 
ۖە
۔
ۖۓ ݊ܽ଴ ൅ ൭෍ݔ௜
௡
௜ୀଵ
൱ ܽଵ ൌ෍ݕ௜
௡
௜ୀଵ
൭෍ݔ௜
௡
௜ୀଵ
൱ ܽ଴ ൅ ൭෍ݔ௜ଶ
௡
௜ୀଵ
൱ ܽଵ ൌ෍ݔ௜ݕ௜
௡
௜ୀଵ
 
 
I ݔ௜ ݕ௜ ݔ௜ଶ ݔ௜ݕ௜ 
1 
2 
3 
෍ 
 
 
 
5 
 
න ݂ሺݔሻ݀ݔ
௫೘
௫బ
ൌ ݄2 ሼ݂ሺݔ଴ሻ ൅ 2ሾ݂ሺݔଵሻ ൅ ݂ሺݔଶሻ ൅ ⋯൅ ݂ሺݔ௠ିଵሻሿ ൅ ݂ሺݔ௠ሻሽݔ 
 
 
 
 
 
Fórmula de Euler: ݕ௡ାଵ ൌ ݕ௡ ൅ ݄݂ሺݔ௡, ݕ௡ሻ 
Fórmula de Euler Aprimorada: ݕ௡ାଵ ൌ ݕ௡ ൅ ௙ሺ௫೙,௬೙ሻା௙ሾ௫೙ା௛,௬೙ା௛௙ሺ௫೙,௬೙ሻሿଷ . ݄ 
Fórmula de 3 termos da série de Taylor: ݕ௡ାଵ ൌ ݕ௡ ൅ ݄ݕ௡ᇱ ൅ ௛
మ
ଶ ݕ௡ᇱᇱ 
onde ݕ௡ᇱ ൌ ݂ሺݔ௡, ݕ௡ሻ 
 
Runge-Kutta: 
 
 ݇௡ସ ൌ ݂ ቀݔ௡ ൅ ଵଶ ݄, ݕ௡ ൅
ଵ
ଶ ݄݇௡ଷቁ (33) 
 
6 
 
 GABARITO 
 
 
curso: Engenharia – Ciclo Básico bimestre: 6o bimestre P6-1 
 
disciplina Economia I NOTA (0-10): 
 
Questão 1 
Gráfico na figura (a). 
Questão 2 
Item C. 
Questão 3 
Item A. 
Questão 4 
Itens (A), (C) e (D) estão incorretas. 
 
disciplina Métodos Numéricos NOTA (0-10): 
 
Questão 1 
ݔ௜ାଵ ൌ ݔ௜ െ ௙ሺ௫೔ሻ௙ᇱሺ௫೔ሻ ൌ 	ݔ௜ െ
௫ିୣ୶୮ሺି௫ሻାଷ
ଵାୣ୶୮	ሺି௫ሻ 
Adotando ݔଵ ൌ െ1, encontramos: 
 
Figura 1.1. Cálculo pelo método das tangentes ou de Newton-Raphson. 
 
Resposta: x = -0,792. 
 
 
 
 
7 
 
Questão 2 
 
Figura 2.1. Gráfico de ݔଷ ൌ ݁ݔ݌ሺെݔሻ. 
 
Através do gráfico, fica claro que a raiz se encontra no intervalo [0, 1]. 
 
 
 
Questão 3 
O método de Newton-Raphson utiliza derivadas - o que é uma grande desvantagem, pois é preciso saber a 
derivada da função, o que nem sempre é trivial. No método das secantes, as derivadas são substituídas por 
diferenças, que funcionam como uma aproximação às derivadas. 
 
Questão 4 
1024+56=1088.