Engenharia 6bim P2 1 gabarito

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AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
curso: Engenharia – Ciclo Básico bimestre: 6º bimestre data: / /2017 
P2-1 polo: aplicador responsável: turma/ período: 
nome: RA: 
 
Utilize preferencialmente folhas sulfite, identificando cada uma delas, frente e verso, com seu R.A. 
Evite escrever no canto superior direito das folhas de resposta. Boa prova! 
 
disciplina Economia I NOTA (0-10): 
 
Questão 1 (2,5 pontos) 
“Um aumento da demanda por laptops aumenta a quantidade demandada destes, mas não a quantidade 
ofertada”. Essa afirmação é verdadeira ou falsa? Explique. 
 
Questão 2 (2,5 pontos) 
À medida que os preços do petróleo subiam em 2006, aumentava a demanda por combustíveis alternativos. 
O etanol, um combustível alternativo, é feito de milho. Segundo um artigo do Wall Street Journal, o preço das 
tortillas, que são feitas de milho, também subiu em 2006: “O pico do preço [das tortillas] faz parte de um efeito 
dominó resultante do boom do etanol”. 
 
a) Trace um gráfico de demanda e oferta para o mercado de milho e utilize-o para mostrar o efeito de 
um aumento na demanda por etanol sobre este mercado. Certifique-se de indicar o preço e a 
quantidade de equilíbrio antes e depois do aumento na demanda por etanol. 
b) Trace um gráfico de demanda e oferta para o mercado de tortillas e utilize-o para mostrar o efeito de 
um aumento no preço do milho sobre este mercado. Mais uma vez, certifique-se de indicar o preço e 
a quantidade de equilíbrio antes e depois do aumento na demanda por etanol. 
 
Questão 3 (2,5 pontos) 
Uma companhia teatral propõe um novo teatro em São Francisco. Antes de aprovar a licença, o planejador 
da cidade completa um estudo do impacto dessa obra sobre a comunidade adjacente. 
 
a) Uma conclusão é que um teatro provoca mais trânsito, que afeta a comunidade de modo adverso. O 
planejador estima que o custo do trânsito extra para a comunidade é de R$ 5 por ingresso. Que tipo 
de externalidade é essa? Por quê? 
b) Represente graficamente o mercado de ingressos indicando a curva de demanda, a curva de valor 
social, a curva de oferta, a curva de custo social, a produção de equilíbrio de mercado e o nível de 
produção eficiente. Indique também o montante por unidade dessa externalidade. 
c) Após outras revisões, o planejador descobre uma segunda externalidade: os ensaios das peças 
geralmente terminam tarde da noite, com atores, produtores e outros funcionários do teatro chegando 
e saindo em vários horários diferentes. O planejador concluiu que o trânsito crescente de pedestres 
aumenta a segurança das ruas adjacentes, um benefício para a comunidade que pode ser estimado 
em R$2 por ingresso. Que tipo de externalidade é essa? Por quê? 
d) Descreva uma política do governo que provocaria um resultado eficiente. 
 
Questão 4 (2,5 pontos) 
Cite as três principais funções da moeda. 
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disciplina Métodos Numéricos NOTA (0-10): 
 
 É permitido o uso de calculadora e formulário. 
 
Questão 1 (2,5 pontos) 
Dada a afirmação a seguir, escolha a alternativa correta. 
Se uma função ݂ሺݔሻ estiver tabelada em ሺ݊ ൅ 1ሻ pontos e a aproximarmos por um polinômio de grau n que 
a interpola sobre os pontos tabelados, o resultado dessa aproximação pode ser desastroso, conforme foi 
visto em aula. Uma alternativa é interpolar ݂ሺݔሻ em grupos de poucos pontos, obtendo-se polinômio de grau 
menor, e impor condições que a função de aproximação seja contínua e tenha derivadas contínuas até uma 
certa ordem. 
Essa descrição refere-se a qual tipo de Método Numérico? 
 
a) Interpolação quadrática 
b) Função Spline 
c) Método de Lagrange 
d) Função Zeta de Riemann 
e) Quadrados Mínimos 
 
Questão 2 (2,5 pontos) 
Dada uma função contínua no intervalo fechado [a, b], com ܽ ൏ ܾ, verificar pelo Teorema de Bolzano se 
existe uma raiz em ]a, b[, isto é, ݂ሺߙሻ ൌ 0, para cada um dos itens a seguir. 
 
a) ݂ሺݔሻ ൌ ݔଶ െ 8ݔ ൅ 7, para a = 0 e b = 4; 
b) ݂ሺݔሻ ൌ ݔଷ െ ݔଶ ൅ ݔ, para a = -1 e b = 2; 
c) ݂ሺݔሻ ൌ ݁௫, para a = 0 e b = 1; 
d) ݂ሺݔሻ ൌ ݔଷ െ 2ݔଶ െ 3ݔ ൅ 1, para a = 0 e b = 1. 
 
Questão 3 (2,5 pontos) 
Usando o método da Bissecção, determine a raiz positiva da função ݂ሺݔሻ ൌ ݔଷ ൅ ݔ െ 10, com erro inferior a 
0,01. 
 
Questão 4 (2,5 pontos) 
Usando o método da Bissecção e os testes do Teorema de Bolzano, determine a raiz negativa da função 
݂ሺݔሻ ൌ ݔଷ ൅ ݔଶ െ ݔ ൅ 15, com erro inferior a 0,01. 
 
 
____________________ 
Formulário 
 
݊ ൌ ቜ௟௡
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ᇱሺݔሻ ൌ ௙ሺ௫ሻ.௙ᇲᇲሺ௫ሻሾ௙ᇲሺ௫ሻሿమ 
 
෍݌ሺݔሻ ൌ ∆
଴ݕ଴
1! . ݊ ൅
∆ଵݕ଴
2! . ݊. ሺ݊ െ 1ሻ ൅
∆ଷݕ଴
3!
௡ିଵ
௫ୀ଴
. ݊. ሺ݊ െ 1ሻ. ሺ݊ െ 2ሻ ൅⋯
൅ ∆
௠ݕ଴
ሺ݉ ൅ 1ሻ! . ݊. ሺ݊ െ 1ሻ. … . ሺ݊ െ ݉ሻ 
 
 
 
3 
 
ݔ௜ ∆଴ݕ௜ ∆ଵݕ௜ ∆ଶݕ௜ 
0 ................................. 
 ................................ 
1 ....................................
 
2 
 
݂ᇱሺߦሻ ൌ ௙ሺ௕ሻି௙ሺ௔ሻ௕ି௔ ݂ሺݔሻ ൌ ݌ሺݔሻ ൅
௙ሺ೙శభሻሺకሻ
ሺ௡ାଵሻ! . ሺݔ െ ݔ଴ሻሺݔ െ ݔଵሻሺݔ െ ݔଶሻ. … . ሺݔ െ ݔ௡ሻ 
ݔ ൌ ܽ|݂ሺܾሻ| ൅ ܾ|݂ሺܽሻ||݂ሺܾሻ| െ |݂ሺܽሻ| ൌ
݂ܽሺܾሻ െ ܾ݂ሺܽሻ
݂ሺܾሻ െ ݂ሺܽሻ 
݊ ൌ 1; ݌ଵሺݔሻ ൌ ݕ଴ܮ଴ሺݔሻ ൅ ݕଵܮଵሺݔሻ; ܮ଴ሺݔሻ ൌ ሺ௫ି௫భሻሺ௫బି௫భሻ; ܮଵሺݔሻ ൌ
ሺ௫ି௫బሻ
ሺ௫భି௫బሻ.] 
݌ଵሺݔሻ ൌ
ሺݔଵ െ ݔሻݕ଴ ൅ ሺݔ െ ݔ଴ሻݕଵ
ሺݔଵ െ ݔ଴ሻ 
݌ଶሺݔሻ ൌ ݕ଴ܮ଴ሺݔሻ ൅ ݕଵܮଵሺݔሻ ൅ ݕଶܮଶሺݔሻ 
ܮ଴ሺݔሻ ൌ
ሺݔ െ ݔଵሻሺݔ െ ݔଶሻ
ሺݔ଴ െ ݔଵሻሺݔ଴ െ ݔଶሻ 
ܮଶሺݔሻ ൌ
ሺݔ െ ݔ଴ሻሺݔ െ ݔଶሻ
ሺݔଵ െ ݔ଴ሻሺݔଵ െ ݔଶሻ 
ܮଶሺݔሻ ൌ
ሺݔ െ ݔ଴ሻሺݔ െ ݔଵሻ
ሺݔଶ െ ݔ଴ሻሺݔଶ െ ݔଵሻ 
 
ݏଵሺݔሻ ൌ ݂ሺݔ଴ሻ ݔଵ െ ݔݔଵ െ ݔ଴ ൅ ݂ሺݔଵሻ
ݔ െ ݔ଴
ݔଵ െ ݔ଴ 
ݏଶሺݔሻ ൌ ݂ሺݔଵሻ ݔଶ െ ݔݔଶ െ ݔଵ ൅ ݂ሺݔଶሻ
ݔ െ ݔଵ
ݔଶ െ ݔଵ 
 
ۖە
۔
ۖۓ ݊ܽ଴ ൅ ൭෍ݔ௜
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൱ ܽଵ ൌ෍ݕ௜
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൱ ܽଵ ൌ෍ݔ௜ݕ௜
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I ݔ௜ ݕ௜ ݔ௜ଶ ݔ௜ݕ௜ 
1 
2 
3 
෍ 
4 
 
 
න ݂ሺݔሻ݀ݔ
௫೘
௫బ
ൌ ݄2 ሼ݂ሺݔ଴ሻ ൅ 2ሾ݂ሺݔଵሻ ൅ ݂ሺݔଶሻ ൅ ⋯൅ ݂ሺݔ௠ିଵሻሿ ൅ ݂ሺݔ௠ሻሽݔ 
 
 
 
 
 
Fórmula de Euler: ݕ௡ାଵ ൌ ݕ௡ ൅ ݄݂ሺݔ௡, ݕ௡ሻ 
Fórmula de Euler Aprimorada: ݕ௡ାଵ ൌ ݕ௡ ൅ ௙ሺ௫೙,௬೙ሻା௙ሾ௫೙ା௛,௬೙ା௛௙ሺ௫೙,௬೙ሻሿଷ . ݄ 
Fórmula de 3 termos da série de Taylor: ݕ௡ାଵ ൌ ݕ௡ ൅ ݄ݕ௡ᇱ ൅ ௛
మ
ଶ ݕ௡ᇱᇱ 
onde ݕ௡ᇱ ൌ ݂ሺݔ௡, ݕ௡ሻ 
 
Runge-Kutta: 
 
 ݇௡ସ ൌ ݂ ቀݔ௡ ൅ ଵଶ ݄, ݕ௡ ൅
ଵ
ଶ ݄݇௡ଷቁ (33) 
 
 
 
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 GABARITO 
 
 
curso: Engenharia – Ciclo Básico bimestre: 6o bimestre P2-1 
 
disciplina Economia I NOTA (0-10): 
 
Questão 1 
Falsa. Um aumento na demanda aumenta a quantidade demandada em um primeiro momento, quando 
haverá mais demanda do que oferta ao preço corrente. Mas as empresas do lado da oferta responderão ao 
excesso de demanda aumentando o preço, o que incentivará o aumento da oferta. Em um segundo momento, 
o aumento de demanda provocará um aumento da quantidade oferta também. 
 
Questão 2 
(a) Q1 e P1 são o preço e a quantidade de equilíbrio no mercado de milho que prevalecem depois do 
aumento de demanda por milho causado pela demanda por etanol. Q1 e P0 são as quantidades de 
equilíbrio que prevaleciam antes desse aumento de demanda. 
 
(b) O aumento do preço do milho representa um choque de custo para o produtor de tortillas. O efeito 
disso é provocar uma redução da oferta (que desloca para cima e para a esquerda). O resultado final 
é um aumento do preço e da quantidade transacionada, em equilíbrio, de tortillas. 
 
 
6 
 
Questão 3 
(a) Externalidade negativa de produção. É uma externalidade porque a decisão de oferecer “Teatro” gera 
um custo para terceiros que não estão internalizados no custo privado de produção desse teatro. 
 
(b) No gráfico abaixo: Qm é o nível de produção de equilíbrio de mercado. Qe é o nível eficiente de 
produção. Ext é o tamanho da externalidade por unidade de produção. 
 
 
 
(c) Externalidade positiva de consumo. É uma externalidade porque outros indivíduos não envolvidos na 
decisão de consumir “teatro”, mas que usam as ruas próximas,se beneficiarão disso – estando em 
condições mais seguras nas redondezas do teatro. 
(d) Taxar o teatro em R$ 5 e subsidiar o preço do ingresso em R$ 2. 
 
Questão 4 
Facilitar trocas, servir de unidade de conta e servir de reserva de valor. 
 
 
disciplina Métodos Numéricos NOTA (0-10): 
 
Questão 1 
Estamos falando sobre a função Spline, portanto, resposta B. 
 
Questão 2 
A verificação é imediata. Basta fazer f(a)*f(b), se o resultado for menor do que zero, então existe uma raiz 
no intervalo. 
 
a) f(0) = 7; f(4) = 16-8.4+7=-9, portanto o intervalo [a, b] contém uma raiz. 
 
b) f(-1) = -1 -1 -1=-3; f(2) = 8 – 4 +2 = 6; portanto existe uma raiz no intervalo dado. 
 
c) f(0) = 1; f(1) = e; portanto não há raiz nesse intervalo. 
 
d) f(0) = 1; f(1) = 1 -2 -3 +1 =-3; portanto, no intervalo sob questão existe uma raiz. 
 
Questão 3 
ݔଷ ൅ ݔ െ 10 ൌ 0 ⇒ ݔଷ ൌ 10 െ ݔ 
 
 
7 
 
 
Figura 1. Confinamento gráfico da raiz. 
 
Tabela 1 
i ai alphai=(ai+bi)/2 bi (bi-ai)/2 
0 1,5 2,25 3,0 1,5 
1 1,5 1,875 2,25 0,375 
2 1,875 2,0625 2,25 0,1875 
3 1,875 1,9688 2,0625 0,0938 
4 1,9688 2,0156 2,0625 0,0469 
5 2,0156 2,0391 2,0625 0,0023 
6 2,0156 2,0274 2,0391 0,0118 
7 2,0156 2,0215 2,0274 0,0059 
Resposta: x = 2, conforme valor de convergência da tabela. 
 
Questão 4 
A equação da função pode ser transformada: x3+x2-x+15=0 => x3 = -x2+x-15. 
 
 
Figura 2. Confinamento gráfico da raiz. 
 
Tabela 2. Bissecção da função ݂ሺݔሻ ൌ ݔଷ ൅ ݔଶ െ ݔ ൅ 15.