Mecanica Geral 5 Avaliacao Gabarito

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1Mecânica Geral | 5 Atividade para Avaliação | Gabarito
Gabarito
EXERCÍCIO 1
a. Como as molas são idênticas, a energia potencial nesse caso será dada pela expressão:
Mecânica	Geral	‐	Avaliação	Semana	5	
Exercício	1	
Considere o caso de duas partículas se movimentando sob a ação de três 
molas iguais. As extremidades das molas, nesse exemplo, são presas a 
paredes (vide figura). Isso faz com que nos asseguremos de que não haverá 
soluções associadas a modos de frequência zero. 
Determine: 
a- As frequências normais; 
b- Os modos normais; 
c- A solução geral. 
 
 
 
 
Resolução	
 
a) Como as molas são idênticas, a energia potencial nesse caso será dada 
pela expressão: 
 
2
2 2 2 22
1 2 1 1 2 1 2 1 2( , ) ( )2 2 2
kxk kV x x x x x kx kx kx x       
A matriz /K m será dada por: 
 
2
0 0
2
0 0
2
2
K
m
 
 
    
 
A matriz 
Mecânica	Geral	‐	Avaliação	Semana	5	
Exercício	1	
Considere o caso de duas partículas se movimentando sob a ação de três 
molas iguais. As extremidades das molas, nesse exemplo, são presas a 
paredes (vide figura). Isso faz com que nos asseguremos de que não haverá 
soluções associadas a modos de frequência zero. 
Determine: 
a- As frequências normais; 
b- Os modos normais; 
c- A solução geral. 
 
 
 
 
Resolução	
 
a) Como as molas são idênticas, a energia potencial nesse caso será dada 
pela expressão: 
 
2
2 2 2 22
1 2 1 1 2 1 2 1 2( , ) ( )2 2 2
kxk kV x x x x x kx kx kx x       
A matriz /K m será dada por: 
 
2
0 0
2
0 0
2
2
K
m
 
 
    
 
 será dada por:
Mecânica	Geral	‐	Avaliação	Semana	5	
Exercício	1	
Considere o caso de duas partículas se movimentando sob a ação de três 
molas iguais. As extremidades das molas, nesse exemplo, são presas a 
paredes (vide figura). Isso faz com que nos asseguremos de que não haverá 
soluções associadas a modos de frequência zero. 
Determine: 
a- As frequências normais; 
b- Os modos normais; 
c- A solução geral. 
 
 
 
 
Resolução	
 
a) Como as molas são idênticas, a energia potencial nesse caso será dada 
pela expressão: 
 
2
2 2 2 22
1 2 1 1 2 1 2 1 2( , ) ( )2 2 2
kxk kV x x x x x kx kx kx x       
A matriz /K m será dada por: 
 
2
0 0
2
0 0
2
2
K
m
 
 
    
 
Onde Onde 0 é a frequência natural de oscilações de cada uma das molas. 
Consideremos agora, um conjunto de coordenadas dadas pela rotação dos 
eixos por um ângulo  . Em duas dimensões, tal rotação é dada por: 
 1 1
2 2
cos s n
s n cos
q xe
q e x
 
 
             
Ou, utilizando nossa notação anterior:
 
 ( )q S x ` 
Na forma tomada acima: 
 1( ) ( )TS S  
A energia potencial será agora dada por: 
 1q R kR q 
Onde a nova matriz se escreve como: 
 
2 2
1
2 2
2 (1 s n cos ) (s n cos )
(s n cos ) 2 (1 s n cos )
k e k e
R KR
k e k e
   
   
       
 
Assim, para ângulos  dados pelas expressões: 
 
2 2 1s n cos 2e    
Isso implica que, para valores de  : 
 / 4   
A matriz assume uma forma diagonal, 
 
1 3 0
0
k
R KR
k
     
 
Vejamos agora como determinar os autovalores e a própria matriz S a partir da 
equação de autovalores. Nesse caso, escrevemos a equação de autovalores 
como: 
 
2 2 2
10 0
2 2 2
20 0
2 02
A
A
  
  
           
 
 é a frequência natural de oscilações de cada uma das molas.
Consideremos agora, um conjunto de coordenadas dadas pela rotação dos eixos por um 
ângulo 
Onde 0 é a frequência natural de oscilações de cada uma das molas. 
Consideremos agora, um conjunto de coordenadas dadas pela rotação dos 
eixos por um ângulo  . Em duas dimensões, tal rotação é dada por: 
 1 1
2 2
cos s n
s n cos
q xe
q e x
 
 
             
Ou, utilizando nossa notação anterior:
 
 ( )q S x ` 
Na forma tomada acima: 
 1( ) ( )TS S  
A energia potencial será agora dada por: 
 1q R kR q 
Onde a nova matriz se escreve como: 
 
2 2
1
2 2
2 (1 s n cos ) (s n cos )
(s n cos ) 2 (1 s n cos )
k e k e
R KR
k e k e
   
   
       
 
Assim, para ângulos  dados pelas expressões: 
 
2 2 1s n cos 2e    
Isso implica que, para valores de  : 
 / 4   
A matriz assume uma forma diagonal, 
 
1 3 0
0
k
R KR
k
     
 
Vejamos agora como determinar os autovalores e a própria matriz S a partir da 
equação de autovalores. Nesse caso, escrevemos a equação de autovalores 
como: 
 
2 2 2
10 0
2 2 2
20 0
2 02
A
A
  
  
           
 
. Em duas dimensões, tal rotação é dada por:
Onde 0 é a frequência natural de oscilações de cada uma das molas. 
Consideremos agora, um conjunto de coordenadas dadas pela rotação dos 
eixos por um ângulo  . Em duas dimensões, tal rotação é dada por: 
 1 1
2 2
cos s n
s n cos
q xe
q e x
 
 
             
Ou, utilizando nossa notação anterior:
 
 ( )q S x ` 
Na forma tomada acima: 
 1( ) ( )TS S  
A energia potencial será agora dada por: 
 1q R kR q 
Onde a nova matriz se escreve como: 
 
2 2
1
2 2
2 (1 s n cos ) (s n cos )
(s n cos ) 2 (1 s n cos )
k e k e
R KR
k e k e
   
   
       
 
Assim, para ângulos  dados pelas expressões: 
 
2 2 1s n cos 2e    
Isso implica que, para valores de  : 
 / 4   
A matriz assume uma forma diagonal, 
 
1 3 0
0
k
R KR
k
     
 
Vejamos agora como determinar os autovalores e a própria matriz S a partir da 
equação de autovalores. Nesse caso, escrevemos a equação de autovalores 
como: 
 
2 2 2
10 0
2 2 2
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2 02
A
A
  
  
           
 
Ou, utilizando nossa notação anterior:
Onde 0 é a frequência natural de oscilações de cada uma das molas. 
Consideremos agora, um conjunto de coordenadas dadas pela rotação dos 
eixos por um ângulo  . Em duas dimensões, tal rotação é dada por: 
 1 1
2 2
cos s n
s n cos
q xe
q e x
 
 
             
Ou, utilizando nossa notação anterior:
 
 ( )q S x ` 
Na forma tomada acima: 
 1( ) ( )TS S  
A energia potencial será agora dada por: 
 1q R kR q 
Onde a nova matriz se escreve como: 
 
2 2
1
2 2
2 (1 s n cos ) (s n cos )
(s n cos ) 2 (1 s n cos )
k e k e
R KR
k e k e
   
   
       
 
Assim, para ângulos  dados pelas expressões: 
 
2 2 1s n cos 2e    
Isso implica que, para valores de  : 
 / 4   
A matriz assume uma forma diagonal, 
 
1 3 0
0
k
R KR
k
     
 
Vejamos agora como determinar os autovalores e a própria matriz S a partir da 
equação de autovalores. Nesse caso, escrevemos a equação de autovalores 
como: 
 
2 2 2
10 0
2 2 2
20 0
2 02
A
A
  
  
           
 
Na forma tomada acima:
Onde 0 é a frequência natural de oscilações de cada uma das molas. 
Consideremos agora, um conjunto de coordenadas dadas pela rotação dos 
eixos por um ângulo  . Em duas dimensões, tal rotação é dada por: 
 1 1
2 2
cos s n
s n cos
q xe
q e x
 
 
             
Ou, utilizando nossa notação anterior:
 
 ( )q S x ` 
Na forma tomada acima: 
 1( ) ( )TS S  
A energia potencial será agora dada por: 
 1q R kR q 
Onde a nova matriz se escreve como: 
 
2 2
1
2 2
2 (1 s n cos ) (s n cos )(s n cos ) 2 (1 s n cos )
k e k e
R KR
k e k e
   
   
       
 
Assim, para ângulos  dados pelas expressões: 
 
2 2 1s n cos 2e    
Isso implica que, para valores de  : 
 / 4   
A matriz assume uma forma diagonal, 
 
1 3 0
0
k
R KR
k
     
 
Vejamos agora como determinar os autovalores e a própria matriz S a partir da 
equação de autovalores. Nesse caso, escrevemos a equação de autovalores 
como: 
 
2 2 2
10 0
2 2 2
20 0
2 02
A
A
  
  
           
 
A energia potencial será agora dada por:
Onde 0 é a frequência natural de oscilações de cada uma das molas. 
Consideremos agora, um conjunto de coordenadas dadas pela rotação dos 
eixos por um ângulo  . Em duas dimensões, tal rotação é dada por: 
 1 1
2 2
cos s n
s n cos
q xe
q e x
 
 
             
Ou, utilizando nossa notação anterior:
 
 ( )q S x ` 
Na forma tomada acima: 
 1( ) ( )TS S  
A energia potencial será agora dada por: 
 1q R kR q 
Onde a nova matriz se escreve como: 
 
2 2
1
2 2
2 (1 s n cos ) (s n cos )
(s n cos ) 2 (1 s n cos )
k e k e
R KR
k e k e
   
   
       
 
Assim, para ângulos  dados pelas expressões: 
 
2 2 1s n cos 2e    
Isso implica que, para valores de  : 
 / 4   
A matriz assume uma forma diagonal, 
 
1 3 0
0
k
R KR
k
     
 
Vejamos agora como determinar os autovalores e a própria matriz S a partir da 
equação de autovalores. Nesse caso, escrevemos a equação de autovalores 
como: 
 
2 2 2
10 0
2 2 2
20 0
2 02
A
A
  
  
           
 
Onde a nova matriz se escreve como:
Onde 0 é a frequência natural de oscilações de cada uma das molas. 
Consideremos agora, um conjunto de coordenadas dadas pela rotação dos 
eixos por um ângulo  . Em duas dimensões, tal rotação é dada por: 
 1 1
2 2
cos s n
s n cos
q xe
q e x
 
 
             
Ou, utilizando nossa notação anterior:
 
 ( )q S x ` 
Na forma tomada acima: 
 1( ) ( )TS S  
A energia potencial será agora dada por: 
 1q R kR q 
Onde a nova matriz se escreve como: 
 
2 2
1
2 2
2 (1 s n cos ) (s n cos )
(s n cos ) 2 (1 s n cos )
k e k e
R KR
k e k e
   
   
       
 
Assim, para ângulos  dados pelas expressões: 
 
2 2 1s n cos 2e    
Isso implica que, para valores de  : 
 / 4   
A matriz assume uma forma diagonal, 
 
1 3 0
0
k
R KR
k
     
 
Vejamos agora como determinar os autovalores e a própria matriz S a partir da 
equação de autovalores. Nesse caso, escrevemos a equação de autovalores 
como: 
 
2 2 2
10 0
2 2 2
20 0
2 02
A
A
  
  
           
 
Assim, para ângulos 
Onde 0 é a frequência natural de oscilações de cada uma das molas. 
Consideremos agora, um conjunto de coordenadas dadas pela rotação dos 
eixos por um ângulo  . Em duas dimensões, tal rotação é dada por: 
 1 1
2 2
cos s n
s n cos
q xe
q e x
 
 
             
Ou, utilizando nossa notação anterior:
 
 ( )q S x ` 
Na forma tomada acima: 
 1( ) ( )TS S  
A energia potencial será agora dada por: 
 1q R kR q 
Onde a nova matriz se escreve como: 
 
2 2
1
2 2
2 (1 s n cos ) (s n cos )
(s n cos ) 2 (1 s n cos )
k e k e
R KR
k e k e
   
   
       
 
Assim, para ângulos  dados pelas expressões: 
 
2 2 1s n cos 2e    
Isso implica que, para valores de  : 
 / 4   
A matriz assume uma forma diagonal, 
 
1 3 0
0
k
R KR
k
     
 
Vejamos agora como determinar os autovalores e a própria matriz S a partir da 
equação de autovalores. Nesse caso, escrevemos a equação de autovalores 
como: 
 
2 2 2
10 0
2 2 2
20 0
2 02
A
A
  
  
           
 
 dados pelas expressões:
Onde 0 é a frequência natural de oscilações de cada uma das molas. 
Consideremos agora, um conjunto de coordenadas dadas pela rotação dos 
eixos por um ângulo  . Em duas dimensões, tal rotação é dada por: 
 1 1
2 2
cos s n
s n cos
q xe
q e x
 
 
             
Ou, utilizando nossa notação anterior:
 
 ( )q S x ` 
Na forma tomada acima: 
 1( ) ( )TS S  
A energia potencial será agora dada por: 
 1q R kR q 
Onde a nova matriz se escreve como: 
 
2 2
1
2 2
2 (1 s n cos ) (s n cos )
(s n cos ) 2 (1 s n cos )
k e k e
R KR
k e k e
   
   
       
 
Assim, para ângulos  dados pelas expressões: 
 
2 2 1s n cos 2e    
Isso implica que, para valores de  : 
 / 4   
A matriz assume uma forma diagonal, 
 
1 3 0
0
k
R KR
k
     
 
Vejamos agora como determinar os autovalores e a própria matriz S a partir da 
equação de autovalores. Nesse caso, escrevemos a equação de autovalores 
como: 
 
2 2 2
10 0
2 2 2
20 0
2 02
A
A
  
  
           
 
Isso implica que, para valores de 
Onde 0 é a frequência natural de oscilações de cada uma das molas. 
Consideremos agora, um conjunto de coordenadas dadas pela rotação dos 
eixos por um ângulo  . Em duas dimensões, tal rotação é dada por: 
 1 1
2 2
cos s n
s n cos
q xe
q e x
 
 
             
Ou, utilizando nossa notação anterior:
 
 ( )q S x ` 
Na forma tomada acima: 
 1( ) ( )TS S  
A energia potencial será agora dada por: 
 1q R kR q 
Onde a nova matriz se escreve como: 
 
2 2
1
2 2
2 (1 s n cos ) (s n cos )
(s n cos ) 2 (1 s n cos )
k e k e
R KR
k e k e
   
   
       
 
Assim, para ângulos  dados pelas expressões: 
 
2 2 1s n cos 2e    
Isso implica que, para valores de  : 
 / 4   
A matriz assume uma forma diagonal, 
 
1 3 0
0
k
R KR
k
     
 
Vejamos agora como determinar os autovalores e a própria matriz S a partir da 
equação de autovalores. Nesse caso, escrevemos a equação de autovalores 
como: 
 
2 2 2
10 0
2 2 2
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2 02
A
A
  
  
           
 
:
Onde 0 é a frequência natural de oscilações de cada uma das molas. 
Consideremos agora, um conjunto de coordenadas dadas pela rotação dos 
eixos por um ângulo  . Em duas dimensões, tal rotação é dada por: 
 1 1
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cos s n
s n cos
q xe
q e x
 
 
             
Ou, utilizando nossa notação anterior:
 
 ( )q S x ` 
Na forma tomada acima: 
 1( ) ( )TS S  
A energia potencial será agora dada por: 
 1q R kR q 
Onde a nova matriz se escreve como: 
 
2 2
1
2 2
2 (1 s n cos ) (s n cos )
(s n cos ) 2 (1 s n cos )
k e k e
R KR
k e k e
   
   
       
 
Assim, para ângulos  dados pelas expressões: 
 
2 2 1s n cos 2e    
Isso implica que, para valores de  : 
 / 4   
A matriz assume uma forma diagonal, 
 
1 3 0
0
k
R KR
k
     
 
Vejamos agora como determinar os autovalores e a própria matriz S a partir da 
equação de autovalores. Nesse caso, escrevemos a equação de autovalores 
como: 
 
2 2 2
10 0
2 2 2
20 0
2 02
A
A
  
  
           
 
2Mecânica Geral | 5 Atividade para Avaliação | Gabarito
A matriz assume uma forma diagonal,
Onde 0 é a frequência natural de oscilações de cada uma das molas. 
Consideremos agora,um conjunto de coordenadas dadas pela rotação dos 
eixos por um ângulo  . Em duas dimensões, tal rotação é dada por: 
 1 1
2 2
cos s n
s n cos
q xe
q e x
 
 
             
Ou, utilizando nossa notação anterior:
 
 ( )q S x ` 
Na forma tomada acima: 
 1( ) ( )TS S  
A energia potencial será agora dada por: 
 1q R kR q 
Onde a nova matriz se escreve como: 
 
2 2
1
2 2
2 (1 s n cos ) (s n cos )
(s n cos ) 2 (1 s n cos )
k e k e
R KR
k e k e
   
   
       
 
Assim, para ângulos  dados pelas expressões: 
 
2 2 1s n cos 2e    
Isso implica que, para valores de  : 
 / 4   
A matriz assume uma forma diagonal, 
 
1 3 0
0
k
R KR
k
     
 
Vejamos agora como determinar os autovalores e a própria matriz S a partir da 
equação de autovalores. Nesse caso, escrevemos a equação de autovalores 
como: 
 
2 2 2
10 0
2 2 2
20 0
2 02
A
A
  
  
           
 
Vejamos agora como determinar os autovalores e a própria matriz S a partir da equação 
de autovalores. Nesse caso, escrevemos a equação de autovalores como:
Onde 0 é a frequência natural de oscilações de cada uma das molas. 
Consideremos agora, um conjunto de coordenadas dadas pela rotação dos 
eixos por um ângulo  . Em duas dimensões, tal rotação é dada por: 
 1 1
2 2
cos s n
s n cos
q xe
q e x
 
 
             
Ou, utilizando nossa notação anterior:
 
 ( )q S x ` 
Na forma tomada acima: 
 1( ) ( )TS S  
A energia potencial será agora dada por: 
 1q R kR q 
Onde a nova matriz se escreve como: 
 
2 2
1
2 2
2 (1 s n cos ) (s n cos )
(s n cos ) 2 (1 s n cos )
k e k e
R KR
k e k e
   
   
       
 
Assim, para ângulos  dados pelas expressões: 
 
2 2 1s n cos 2e    
Isso implica que, para valores de  : 
 / 4   
A matriz assume uma forma diagonal, 
 
1 3 0
0
k
R KR
k
     
 
Vejamos agora como determinar os autovalores e a própria matriz S a partir da 
equação de autovalores. Nesse caso, escrevemos a equação de autovalores 
como: 
 
2 2 2
10 0
2 2 2
20 0
2 02
A
A
  
  
           
 
Impondo agora a condição de que o determinante se anule, nos leva a dois autovalores: 
Impondo agora a condição de que o determinante se anule, nos leva a dois 
autovalores: 
 
  2 22 2 2 1 00 0 1 2
2 0
32      
     
 
b) Substituindo as soluções na equação de autovalores, encontramos para 
o primeiro modo ( 2 21 03  ), a seguinte equação para as amplitudes: 
 
2 2
10 0
2 2
20 0
02
A
A
 
 
         
 
Ou seja, 
 1 2A A  
 
 
 
 
Nesse modo, as partículas se movimentam em oposição de fase. Ora se 
afastam, ora se aproximam. A direção determinada pelo versor: 
  1 1 1, 12e   
Representa a nova direção no espaço das amplitudes. 
Tomando agora a segunda solução, 2 21 0  , encontramos a seguinte relação 
entre as amplitudes: 
b. Substituindo as soluções na equação de autovalores, encontramos para o primeiro modo 
Impondo agora a condição de que o determinante se anule, nos leva a dois 
autovalores: 
 
  2 22 2 2 1 00 0 1 2
2 0
32      
     
 
b) Substituindo as soluções na equação de autovalores, encontramos para 
o primeiro modo ( 2 21 03  ), a seguinte equação para as amplitudes: 
 
2 2
10 0
2 2
20 0
02
A
A
 
 
         
 
Ou seja, 
 1 2A A  
 
 
 
 
Nesse modo, as partículas se movimentam em oposição de fase. Ora se 
afastam, ora se aproximam. A direção determinada pelo versor: 
  1 1 1, 12e   
Representa a nova direção no espaço das amplitudes. 
Tomando agora a segunda solução, 2 21 0  , encontramos a seguinte relação 
entre as amplitudes: 
, a seguinte equação para as amplitudes:
Impondo agora a condição de que o determinante se anule, nos leva a dois 
autovalores: 
 
  2 22 2 2 1 00 0 1 2
2 0
32      
     
 
b) Substituindo as soluções na equação de autovalores, encontramos para 
o primeiro modo ( 2 21 03  ), a seguinte equação para as amplitudes: 
 
2 2
10 0
2 2
20 0
02
A
A
 
 
         
 
Ou seja, 
 1 2A A  
 
 
 
 
Nesse modo, as partículas se movimentam em oposição de fase. Ora se 
afastam, ora se aproximam. A direção determinada pelo versor: 
  1 1 1, 12e   
Representa a nova direção no espaço das amplitudes. 
Tomando agora a segunda solução, 2 21 0  , encontramos a seguinte relação 
entre as amplitudes: 
Ou seja,
Impondo agora a condição de que o determinante se anule, nos leva a dois 
autovalores: 
 
  2 22 2 2 1 00 0 1 2
2 0
32      
     
 
b) Substituindo as soluções na equação de autovalores, encontramos para 
o primeiro modo ( 2 21 03  ), a seguinte equação para as amplitudes: 
 
2 2
10 0
2 2
20 0
02
A
A
 
 
         
 
Ou seja, 
 1 2A A  
 
 
 
 
Nesse modo, as partículas se movimentam em oposição de fase. Ora se 
afastam, ora se aproximam. A direção determinada pelo versor: 
  1 1 1, 12e   
Representa a nova direção no espaço das amplitudes. 
Tomando agora a segunda solução, 2 21 0  , encontramos a seguinte relação 
entre as amplitudes: 
3Mecânica Geral | 5 Atividade para Avaliação | Gabarito
Nesse modo, as partículas se movimentam em oposição de fase. Ora se afastam, ora se 
aproximam. A direção determinada pelo versor:
Impondo agora a condição de que o determinante se anule, nos leva a dois 
autovalores: 
 
  2 22 2 2 1 00 0 1 2
2 0
32      
     
 
b) Substituindo as soluções na equação de autovalores, encontramos para 
o primeiro modo ( 2 21 03  ), a seguinte equação para as amplitudes: 
 
2 2
10 0
2 2
20 0
02
A
A
 
 
         
 
Ou seja, 
 1 2A A  
 
 
 
 
Nesse modo, as partículas se movimentam em oposição de fase. Ora se 
afastam, ora se aproximam. A direção determinada pelo versor: 
  1 1 1, 12e   
Representa a nova direção no espaço das amplitudes. 
Tomando agora a segunda solução, 2 21 0  , encontramos a seguinte relação 
entre as amplitudes: 
Representa a nova direção no espaço das amplitudes.
Tomando agora a segunda solução, 
Impondo agora a condição de que o determinante se anule, nos leva a dois 
autovalores: 
 
  2 22 2 2 1 00 0 1 2
2 0
32      
     
 
b) Substituindo as soluções na equação de autovalores, encontramos para 
o primeiro modo ( 2 21 03  ), a seguinte equação para as amplitudes: 
 
2 2
10 0
2 2
20 0
02
A
A
 
 
         
 
Ou seja, 
 1 2A A  
 
 
 
 
Nesse modo, as partículas se movimentam em oposição de fase. Ora se 
afastam, ora se aproximam. A direção determinada pelo versor: 
  1 1 1, 12e   
Representa a nova direção no espaço das amplitudes. 
Tomando agora a segunda solução, 2 21 0  , encontramos a seguinte relação 
entre as amplitudes: 
, encontramos a seguinte relação entre as 
amplitudes:
 
2 2
10 0
2 2
20 0
0A
A
 
 
          
Ou seja, nesse segundo modo, as partículas descrevem movimentos de 
mesma amplitude.
 
 1 2A A 
 
 
 
 
No segundo modo, a mola do meio simplesmente não é comprimida. Por conta 
disso, a frequência deste modo é igual à frequência de cada uma das molasisoladamente. A segunda direção é: 
 2 1 (1,1)2e  
c) A solução mais geral possível é: 
A matriz S é dada adotando-se as direções (os autoversores 1e e 2e ) como 
elementos de matriz da matriz S. Ou seja, 
 1 11 1 12S
    
 
Observe-se que: 
 
2 2
1 2 0 0
0
1 1 2 1 1 1 1 1 1 3 2 01 1
1 1 1 2 1 1 1 1 1 3 0 62 22 2
m mS KS K m                                      
 
E que, 
2 2
1 2 0 0
0
1 1 2 1 1 1 1 1 3 1 6 01 1
1 1 1 2 1 1 1 1 3 1 0 22 22 2
m mSKS m                                    
 
Ou seja, nesse segundo modo, as partículas descrevem movimentos de mesma amplitude.
 
2 2
10 0
2 2
20 0
0A
A
 
 
          
Ou seja, nesse segundo modo, as partículas descrevem movimentos de 
mesma amplitude.
 
 1 2A A 
 
 
 
 
No segundo modo, a mola do meio simplesmente não é comprimida. Por conta 
disso, a frequência deste modo é igual à frequência de cada uma das molas 
isoladamente. A segunda direção é: 
 2 1 (1,1)2e  
c) A solução mais geral possível é: 
A matriz S é dada adotando-se as direções (os autoversores 1e e 2e ) como 
elementos de matriz da matriz S. Ou seja, 
 1 11 1 12S
    
 
Observe-se que: 
 
2 2
1 2 0 0
0
1 1 2 1 1 1 1 1 1 3 2 01 1
1 1 1 2 1 1 1 1 1 3 0 62 22 2
m mS KS K m                                      
 
E que, 
2 2
1 2 0 0
0
1 1 2 1 1 1 1 1 3 1 6 01 1
1 1 1 2 1 1 1 1 3 1 0 22 22 2
m mSKS m                                    
 
No segundo modo, a mola do meio simplesmente não é comprimida. Por conta disso, a 
frequência deste modo é igual à frequência de cada uma das molas isoladamente. A se-
gunda direção é
 
2 2
10 0
2 2
20 0
0A
A
 
 
          
Ou seja, nesse segundo modo, as partículas descrevem movimentos de 
mesma amplitude.
 
 1 2A A 
 
 
 
 
No segundo modo, a mola do meio simplesmente não é comprimida. Por conta 
disso, a frequência deste modo é igual à frequência de cada uma das molas 
isoladamente. A segunda direção é: 
 2 1 (1,1)2e  
c) A solução mais geral possível é: 
A matriz S é dada adotando-se as direções (os autoversores 1e e 2e ) como 
elementos de matriz da matriz S. Ou seja, 
 1 11 1 12S
    
 
Observe-se que: 
 
2 2
1 2 0 0
0
1 1 2 1 1 1 1 1 1 3 2 01 1
1 1 1 2 1 1 1 1 1 3 0 62 22 2
m mS KS K m                                      
 
E que, 
2 2
1 2 0 0
0
1 1 2 1 1 1 1 1 3 1 6 01 1
1 1 1 2 1 1 1 1 3 1 0 22 22 2
m mSKS m                                    
 
c. A solução mais geral possível é:
A matriz S é dada adotando-se as direções (os autoversores 
 
2 2
10 0
2 2
20 0
0A
A
 
 
          
Ou seja, nesse segundo modo, as partículas descrevem movimentos de 
mesma amplitude.
 
 1 2A A 
 
 
 
 
No segundo modo, a mola do meio simplesmente não é comprimida. Por conta 
disso, a frequência deste modo é igual à frequência de cada uma das molas 
isoladamente. A segunda direção é: 
 2 1 (1,1)2e  
c) A solução mais geral possível é: 
A matriz S é dada adotando-se as direções (os autoversores 1e e 2e ) como 
elementos de matriz da matriz S. Ou seja, 
 1 11 1 12S
    
 
Observe-se que: 
 
2 2
1 2 0 0
0
1 1 2 1 1 1 1 1 1 3 2 01 1
1 1 1 2 1 1 1 1 1 3 0 62 22 2
m mS KS K m                                      
 
E que, 
2 2
1 2 0 0
0
1 1 2 1 1 1 1 1 3 1 6 01 1
1 1 1 2 1 1 1 1 3 1 0 22 22 2
m mSKS m                                    
 
 e 
 
2 2
10 0
2 2
20 0
0A
A
 
 
          
Ou seja, nesse segundo modo, as partículas descrevem movimentos de 
mesma amplitude.
 
 1 2A A 
 
 
 
 
No segundo modo, a mola do meio simplesmente não é comprimida. Por conta 
disso, a frequência deste modo é igual à frequência de cada uma das molas 
isoladamente. A segunda direção é: 
 2 1 (1,1)2e  
c) A solução mais geral possível é: 
A matriz S é dada adotando-se as direções (os autoversores 1e e 2e ) como 
elementos de matriz da matriz S. Ou seja, 
 1 11 1 12S
    
 
Observe-se que: 
 
2 2
1 2 0 0
0
1 1 2 1 1 1 1 1 1 3 2 01 1
1 1 1 2 1 1 1 1 1 3 0 62 22 2
m mS KS K m                                      
 
E que, 
2 2
1 2 0 0
0
1 1 2 1 1 1 1 1 3 1 6 01 1
1 1 1 2 1 1 1 1 3 1 0 22 22 2
m mSKS m                                    
 
) como elementos 
de matriz da matriz S. Ou seja,
 
2 2
10 0
2 2
20 0
0A
A
 
 
          
Ou seja, nesse segundo modo, as partículas descrevem movimentos de 
mesma amplitude.
 
 1 2A A 
 
 
 
 
No segundo modo, a mola do meio simplesmente não é comprimida. Por conta 
disso, a frequência deste modo é igual à frequência de cada uma das molas 
isoladamente. A segunda direção é: 
 2 1 (1,1)2e  
c) A solução mais geral possível é: 
A matriz S é dada adotando-se as direções (os autoversores 1e e 2e ) como 
elementos de matriz da matriz S. Ou seja, 
 1 11 1 12S
    
 
Observe-se que: 
 
2 2
1 2 0 0
0
1 1 2 1 1 1 1 1 1 3 2 01 1
1 1 1 2 1 1 1 1 1 3 0 62 22 2
m mS KS K m                                      
 
E que, 
2 2
1 2 0 0
0
1 1 2 1 1 1 1 1 3 1 6 01 1
1 1 1 2 1 1 1 1 3 1 0 22 22 2
m mSKS m                                    
 
Observe-se que:
 
2 2
10 0
2 2
20 0
0A
A
 
 
          
Ou seja, nesse segundo modo, as partículas descrevem movimentos de 
mesma amplitude.
 
 1 2A A 
 
 
 
 
No segundo modo, a mola do meio simplesmente não é comprimida. Por conta 
disso, a frequência deste modo é igual à frequência de cada uma das molas 
isoladamente. A segunda direção é: 
 2 1 (1,1)2e  
c) A solução mais geral possível é: 
A matriz S é dada adotando-se as direções (os autoversores 1e e 2e ) como 
elementos de matriz da matriz S. Ou seja, 
 1 11 1 12S
    
 
Observe-se que: 
 
2 2
1 2 0 0
0
1 1 2 1 1 1 1 1 1 3 2 01 1
1 1 1 2 1 1 1 1 1 3 0 62 22 2
m mS KS K m                                      
 
E que, 
2 2
1 2 0 0
0
1 1 2 1 1 1 1 1 3 1 6 01 1
1 1 1 2 1 1 1 1 3 1 0 22 22 2
m mSKS m                                    
 
4Mecânica Geral | 5 Atividade para Avaliação | Gabarito
E que,
 
2 2
10 0
2 2
20 0
0A
A
 
 
          
Ou seja, nesse segundo modo, as partículas descrevem movimentos de 
mesma amplitude.
 
 1 2A A 
 
 
 
 
No segundo modo, a mola do meio simplesmente não é comprimida. Por conta 
disso, a frequência deste modo é igual à frequência de cada uma das molas 
isoladamente. A segunda direção é: 
 2 1 (1,1)2e  
c) A solução mais geral possível é: 
A matriz S é dada adotando-se as direções (os autoversores 1e e 2e ) como 
elementos de matriz da matriz S. Ou seja, 
 1 11 1 12S
    
 
Observe-se que: 
 
2 2
1 2 0 0
0
1 1 2 1 1 1 1 1 1 3 2 01 1
1 1 1 2 1 1 1 1 1 3 0 62 22 2
m mS KS K m                                     
 
E que, 
2 2
1 2 0 0
0
1 1 2 1 1 1 1 1 3 1 6 01 1
1 1 1 2 1 1 1 1 3 1 0 22 22 2
m mSKS m                                    
 
Sendo a solução para o primeiro modo escrita como:Sendo a solução para o primeiro modo escrita como: 
 
(0)
1 1 1 1
(0)
1 1 2 2
cos( )
cos( )
q q t
q q t
 
 
 
  
A solução geral pode ser obtida a partir da matriz S como: 
 1x S q 
Ou seja, a solução das equações de movimento são, nesse caso, 
 
(0)
1 1 1 1
(0)
2 2 2 2
( ) cos( )1 11
( ) 1 12 cos( )
x t q t
x t q t
 
 
                
Onde as constantes (0)1q e 1 são  obtidas a partir das condições iniciais para a 
partícula 1. Por outro lado, as constantes (0)2q e 2 são determinadas quando 
levamos em conta as condições iniciais para a partícula 2 - o que acontece 
quando introduzimos uma força externa aplicada à partícula 1, de acordo com a 
figura abaixo. 
 
 
EXERCÍCIO	2	
 
Levando em conta o vínculo, escreva a lagrangeana do pêndulo simples e determine a 
força de tração no fio. 
 
A solução geral pode ser obtida a partir da matriz S como: 
Sendo a solução para o primeiro modo escrita como: 
 
(0)
1 1 1 1
(0)
1 1 2 2
cos( )
cos( )
q q t
q q t
 
 
 
  
A solução geral pode ser obtida a partir da matriz S como: 
 1x S q 
Ou seja, a solução das equações de movimento são, nesse caso, 
 
(0)
1 1 1 1
(0)
2 2 2 2
( ) cos( )1 11
( ) 1 12 cos( )
x t q t
x t q t
 
 
                
Onde as constantes (0)1q e 1 são  obtidas a partir das condições iniciais para a 
partícula 1. Por outro lado, as constantes (0)2q e 2 são determinadas quando 
levamos em conta as condições iniciais para a partícula 2 - o que acontece 
quando introduzimos uma força externa aplicada à partícula 1, de acordo com a 
figura abaixo. 
 
 
EXERCÍCIO	2	
 
Levando em conta o vínculo, escreva a lagrangeana do pêndulo simples e determine a 
força de tração no fio. 
 
Ou seja, a solução das equações de movimento são, nesse caso,
Sendo a solução para o primeiro modo escrita como: 
 
(0)
1 1 1 1
(0)
1 1 2 2
cos( )
cos( )
q q t
q q t
 
 
 
  
A solução geral pode ser obtida a partir da matriz S como: 
 1x S q 
Ou seja, a solução das equações de movimento são, nesse caso, 
 
(0)
1 1 1 1
(0)
2 2 2 2
( ) cos( )1 11
( ) 1 12 cos( )
x t q t
x t q t
 
 
                
Onde as constantes (0)1q e 1 são  obtidas a partir das condições iniciais para a 
partícula 1. Por outro lado, as constantes (0)2q e 2 são determinadas quando 
levamos em conta as condições iniciais para a partícula 2 - o que acontece 
quando introduzimos uma força externa aplicada à partícula 1, de acordo com a 
figura abaixo. 
 
 
EXERCÍCIO	2	
 
Levando em conta o vínculo, escreva a lagrangeana do pêndulo simples e determine a 
força de tração no fio. 
 
Onde as constantes 
Sendo a solução para o primeiro modo escrita como: 
 
(0)
1 1 1 1
(0)
1 1 2 2
cos( )
cos( )
q q t
q q t
 
 
 
  
A solução geral pode ser obtida a partir da matriz S como: 
 1x S q 
Ou seja, a solução das equações de movimento são, nesse caso, 
 
(0)
1 1 1 1
(0)
2 2 2 2
( ) cos( )1 11
( ) 1 12 cos( )
x t q t
x t q t
 
 
                
Onde as constantes (0)1q e 1 são  obtidas a partir das condições iniciais para a 
partícula 1. Por outro lado, as constantes (0)2q e 2 são determinadas quando 
levamos em conta as condições iniciais para a partícula 2 - o que acontece 
quando introduzimos uma força externa aplicada à partícula 1, de acordo com a 
figura abaixo. 
 
 
EXERCÍCIO	2	
 
Levando em conta o vínculo, escreva a lagrangeana do pêndulo simples e determine a 
força de tração no fio. 
 
 e 
Sendo a solução para o primeiro modo escrita como: 
 
(0)
1 1 1 1
(0)
1 1 2 2
cos( )
cos( )
q q t
q q t
 
 
 
  
A solução geral pode ser obtida a partir da matriz S como: 
 1x S q 
Ou seja, a solução das equações de movimento são, nesse caso, 
 
(0)
1 1 1 1
(0)
2 2 2 2
( ) cos( )1 11
( ) 1 12 cos( )
x t q t
x t q t
 
 
                
Onde as constantes (0)1q e 1 são  obtidas a partir das condições iniciais para a 
partícula 1. Por outro lado, as constantes (0)2q e 2 são determinadas quando 
levamos em conta as condições iniciais para a partícula 2 - o que acontece 
quando introduzimos uma força externa aplicada à partícula 1, de acordo com a 
figura abaixo. 
 
 
EXERCÍCIO	2	
 
Levando em conta o vínculo, escreva a lagrangeana do pêndulo simples e determine a 
força de tração no fio. 
 
 são obtidas a partir das condições iniciais para a partícula 1. 
Por outro lado, as constantes 
Sendo a solução para o primeiro modo escrita como: 
 
(0)
1 1 1 1
(0)
1 1 2 2
cos( )
cos( )
q q t
q q t
 
 
 
  
A solução geral pode ser obtida a partir da matriz S como: 
 1x S q 
Ou seja, a solução das equações de movimento são, nesse caso, 
 
(0)
1 1 1 1
(0)
2 2 2 2
( ) cos( )1 11
( ) 1 12 cos( )
x t q t
x t q t
 
 
                
Onde as constantes (0)1q e 1 são  obtidas a partir das condições iniciais para a 
partícula 1. Por outro lado, as constantes (0)2q e 2 são determinadas quando 
levamos em conta as condições iniciais para a partícula 2 - o que acontece 
quando introduzimos uma força externa aplicada à partícula 1, de acordo com a 
figura abaixo. 
 
 
EXERCÍCIO	2	
 
Levando em conta o vínculo, escreva a lagrangeana do pêndulo simples e determine a 
força de tração no fio. 
 
 e 
Sendo a solução para o primeiro modo escrita como: 
 
(0)
1 1 1 1
(0)
1 1 2 2
cos( )
cos( )
q q t
q q t
 
 
 
  
A solução geral pode ser obtida a partir da matriz S como: 
 1x S q 
Ou seja, a solução das equações de movimento são, nesse caso, 
 
(0)
1 1 1 1
(0)
2 2 2 2
( ) cos( )1 11
( ) 1 12 cos( )
x t q t
x t q t
 
 
                
Onde as constantes (0)1q e 1 são  obtidas a partir das condições iniciais para a 
partícula 1. Por outro lado, as constantes (0)2q e 2 são determinadas quando 
levamos em conta as condições iniciais para a partícula 2 - o que acontece 
quando introduzimos uma força externa aplicada à partícula 1, de acordo com a 
figura abaixo. 
 
 
EXERCÍCIO	2	
 
Levando em conta o vínculo, escreva a lagrangeana do pêndulo simples e determine a 
força de tração no fio. 
 
 são determinadas quando levamos em conta as 
condições iniciais para a partícula 2 - o que acontece quando introduzimos uma força 
externa aplicada à partícula 1, de acordo com a figura abaixo.
5Mecânica Geral | 5 Atividade para Avaliação | Gabarito
EXERCÍCIO 2
Nesse exemplo, adotamos um referencial tal que:
 
RESOLUÇÃO	
 
Nesse exemplo, adotamos um referencial tal que: 
0z   
cosx L   
y Lsen   
 Onde L é o comprimento do fio, e  é o ângulo que o pendulo forma com a vertical. 
A lagrangeana é, em coordenadas polares: 
  2 2, , 0 cos2
MRL r R z mgR      
 
O vínculo agora é dado por: 
 
     
0L 
 
 
Utilizando o multiplicador de Lagrange  , concluímos, no caso do pêndulo simples, que 
a lagrangeana é, em coordenadas polares, dada por: 
 
 2 2 2 cos2 2
mp mpL mgp L      
 
 
 
RESOLUÇÃO	
 
Nesse exemplo, adotamosum referencial tal que: 
0z   
cosx L   
y Lsen   
 Onde L é o comprimento do fio, e  é o ângulo que o pendulo forma com a vertical. 
A lagrangeana é, em coordenadas polares: 
  2 2, , 0 cos2
MRL r R z mgR      
 
O vínculo agora é dado por: 
 
     
0L 
 
 
Utilizando o multiplicador de Lagrange  , concluímos, no caso do pêndulo simples, que 
a lagrangeana é, em coordenadas polares, dada por: 
 
 2 2 2 cos2 2
mp mpL mgp L      
 
 
 
RESOLUÇÃO	
 
Nesse exemplo, adotamos um referencial tal que: 
0z   
cosx L   
y Lsen   
 Onde L é o comprimento do fio, e  é o ângulo que o pendulo forma com a vertical. 
A lagrangeana é, em coordenadas polares: 
  2 2, , 0 cos2
MRL r R z mgR      
 
O vínculo agora é dado por: 
 
     
0L 
 
 
Utilizando o multiplicador de Lagrange  , concluímos, no caso do pêndulo simples, que 
a lagrangeana é, em coordenadas polares, dada por: 
 
 2 2 2 cos2 2
mp mpL mgp L      
 
 
 
 Onde L é o comprimento do fio, e 
 
RESOLUÇÃO	
 
Nesse exemplo, adotamos um referencial tal que: 
0z   
cosx L   
y Lsen   
 Onde L é o comprimento do fio, e  é o ângulo que o pendulo forma com a vertical. 
A lagrangeana é, em coordenadas polares: 
  2 2, , 0 cos2
MRL r R z mgR      
 
O vínculo agora é dado por: 
 
     
0L 
 
 
Utilizando o multiplicador de Lagrange  , concluímos, no caso do pêndulo simples, que 
a lagrangeana é, em coordenadas polares, dada por: 
 
 2 2 2 cos2 2
mp mpL mgp L      
 
 
 é o ângulo que o pêndulo forma com a vertical.
A lagrangeana é, em coordenadas polares:
 
RESOLUÇÃO	
 
Nesse exemplo, adotamos um referencial tal que: 
0z   
cosx L   
y Lsen   
 Onde L é o comprimento do fio, e  é o ângulo que o pendulo forma com a vertical. 
A lagrangeana é, em coordenadas polares: 
  2 2, , 0 cos2
MRL r R z mgR      
 
O vínculo agora é dado por: 
 
     
0L 
 
 
Utilizando o multiplicador de Lagrange  , concluímos, no caso do pêndulo simples, que 
a lagrangeana é, em coordenadas polares, dada por: 
 
 2 2 2 cos2 2
mp mpL mgp L      
 
 
O vínculo agora é dado por:
 
RESOLUÇÃO	
 
Nesse exemplo, adotamos um referencial tal que: 
0z   
cosx L   
y Lsen   
 Onde L é o comprimento do fio, e  é o ângulo que o pendulo forma com a vertical. 
A lagrangeana é, em coordenadas polares: 
  2 2, , 0 cos2
MRL r R z mgR      
 
O vínculo agora é dado por: 
 
     
0L 
 
 
Utilizando o multiplicador de Lagrange  , concluímos, no caso do pêndulo simples, que 
a lagrangeana é, em coordenadas polares, dada por: 
 
 2 2 2 cos2 2
mp mpL mgp L      
 
 
Utilizando o multiplicador de Lagrange 
 
RESOLUÇÃO	
 
Nesse exemplo, adotamos um referencial tal que: 
0z   
cosx L   
y Lsen   
 Onde L é o comprimento do fio, e  é o ângulo que o pendulo forma com a vertical. 
A lagrangeana é, em coordenadas polares: 
  2 2, , 0 cos2
MRL r R z mgR      
 
O vínculo agora é dado por: 
 
     
0L 
 
 
Utilizando o multiplicador de Lagrange  , concluímos, no caso do pêndulo simples, que 
a lagrangeana é, em coordenadas polares, dada por: 
 
 2 2 2 cos2 2
mp mpL mgp L      
 
 
, concluímos, no caso do pêndulo simples, que a la-
grangeana é, em coordenadas polares, dada por:
 
RESOLUÇÃO	
 
Nesse exemplo, adotamos um referencial tal que: 
0z   
cosx L   
y Lsen   
 Onde L é o comprimento do fio, e  é o ângulo que o pendulo forma com a vertical. 
A lagrangeana é, em coordenadas polares: 
  2 2, , 0 cos2
MRL r R z mgR      
 
O vínculo agora é dado por: 
 
     
0L 
 
 
Utilizando o multiplicador de Lagrange  , concluímos, no caso do pêndulo simples, que 
a lagrangeana é, em coordenadas polares, dada por: 
 
 2 2 2 cos2 2
mp mpL mgp L      
 
 As equações de movimento são:
 
As equações de movimento são: 
 
2
2 2
cosm m mg
d m mg sen
dt
L
    
     
 
 

 
 
Substituindo-se essas equações e o vínculo na lagrangeana, obtemos: 
 
mL mgsen    
 
2cosmg mL      
 
Essa é força tensora que o fio deve exercer para que o pendulo se mantenha em órbita circular. 
Ou seja,  
 
2cosT mg mL     
 
E essa expressão leva em conta a força centrífuga. 
 
Substituindo-se essas equações e o vínculo na lagrangeana, obtemos:
As equações de movimento são: 
 
2
2 2
cosm m mg
d m mg sen
dt
L
    
     
 
 

 
 
Substituindo-se essas equações e o vínculo na lagrangeana, obtemos: 
 
mL mgsen    
 
2cosmg mL      
 
Essa é força tensora que o fio deve exercer para que o pendulo se mantenha em órbita circular. 
Ou seja,  
 
2cosT mg mL     
 
E essa expressão leva em conta a força centrífuga. 
 
As equações de movimento são: 
 
2
2 2
cosm m mg
d m mg sen
dt
L
    
     
 
 

 
 
Substituindo-se essas equações e o vínculo na lagrangeana, obtemos: 
 
mL mgsen    
 
2cosmg mL      
 
Essa é força tensora que o fio deve exercer para que o pendulo se mantenha em órbita circular. 
Ou seja,  
 
2cosT mg mL     
 
E essa expressão leva em conta a força centrífuga. 
 
Essa é força tensora que o fio deve exercer para que o pêndulo se mantenha em órbita circular. 
Ou seja, 
As equações de movimento são: 
 
2
2 2
cosm m mg
d m mg sen
dt
L
    
     
 
 

 
 
Substituindo-se essas equações e o vínculo na lagrangeana, obtemos: 
 
mL mgsen    
 
2cosmg mL      
 
Essa é força tensora que o fio deve exercer para que o pendulo se mantenha em órbita circular. 
Ou seja,  
 
2cosT mg mL     
 
E essa expressão leva em conta a força centrífuga. 
 
E essa expressão leva em conta a força centrífuga.