Gabarito da semana 4 MECÂNICA GERAL FMG002

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EXERCÍCIO 1 (5 PONTOS)
Um problema muito conhecido na física é o problema da curva braquistócrona.
Considere uma partícula sujeita apenas a uma força gravitacional constante. A partícula será
abandonada do repouso no ponto e deve chegar ao ponto abaixo . O problema
consiste em achar a curva que representa o formato de uma espécie de “rampa” que liga os pontos e
que deverá ser colocada para que a partícula deslize sobre a mesma e realize o percurso no menor
tempo possível. Resolva o problema.
EXERCÍCIO 2 (5 PONTOS)
Determine os vetores da base esférica. Verifique que elas são ortogonais entre si.a.
Escreva a métrica para a base esférica. Que resultado se obtém da multiplicação delas?b.
Determine as componentes da velocidade na base esférica.c.
Coordenadas esféricas: 
Determine a aceleração em termos das coordenadas esféricas e suas taxas de variação.d.
EXERCÍCIO 1
Adotando o ponto de partida da partícula como a origem do sistema de referências, temos que, pela
conservação de energia, a velocidade pode ser escrita como . Portanto, o tempo que a
partícula leva para deixar o ponto de partida e chegar ao ponto de chegada é dado pelo funcional :
Em que é a derivada de com relação à .
Para que o funcional seja mínimo, o integrando deve satisfazer a seguinte
equação:
Para se resolver a equação determinando-se , é mais conveniente se introduzir um parâmetro tal
que , e obter a curva parametrizada.
Portanto:
Integrando, obtemos:
Como quando , devemos ter e, fazendo , obtemos:
Logo, a braquistócrona é um arco de cicloide.
EXERCÍCIO 2
Determine os vetores da base esférica. Verifique que elas são ortogonais entre si. a.
Escreva a métrica para a base esférica. Que resultado se obtém da multiplicação delas? b.
Determine as componentes da velocidade nessa base. 
Velocidade: 
As componentes contravariantes da velocidade são: 
c.
Determine a aceleração nessa base.d.
A aceleração se obtém a partir de: 
Onde, 
As componentes da aceleração são, portanto: