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06 Movimentação de uma Partícula de Fluido

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Mecânica dos Fluidos 2 
Aula 6 
Movimentação de uma Partícula de Fluido: Translação, 
Rotação, Deformação Angular e Volumétrica 
Movimentação de uma partícula 
de fluido (cinemática) 
Mecânica dos Fluidos 2 1 
Movimentação de uma partícula 
de fluido: translação 
• Aceleração de uma partícula fluida num campo de 
velocidade: 
Mecânica dos Fluidos 2 2 
 V V x y z t, , ,
p p p p
V V V V
dV dx dy dz dt
x y z t
   
   
   
p
DV V V V V
a u v w
Dt x y z t
   
    
   
Movimentação de uma partícula 
de fluido: translação 
• Operador vetorial gradiente: 
 
 
• Aceleração de uma partícula fluida num campo de 
velocidade: 
Mecânica dos Fluidos 2 3 
 p
DV V
a V V
Dt t

   

 
V V V
u v w V V
x y z
  
   
  
Movimentação de uma partícula 
de fluido: translação 
• Aceleração de uma partícula em coordenadas cartesianas: 
Mecânica dos Fluidos 2 4 
px
Du u u u u
a u v w
Dt x y z t
   
    
   
py
Dv v v v v
a u v w
Dt x y z t
   
    
   
pz
Dw w w w w
a u v w
Dt x y z t
   
    
   
Movimentação de uma partícula 
de fluido: translação 
• Aceleração de uma partícula em coordenadas cilíndricas: 
Mecânica dos Fluidos 2 5 
2
p
r r r r r
r r z
V VDV V V V V
a V V
Dt r r r z t
 
   
     
   
p
r
r z
V V V VV V V
a V V
r r r z t
      
   
    
   
p
z z z z z
z r z
VDV V V V V
a V V
Dt r r z t


   
    
   
Movimentação de uma partícula 
de fluido: translação 
• Exemplo: 
Mecânica dos Fluidos 2 6 
Movimentação de uma partícula 
de fluido: rotação 
• Aceleração de uma partícula fluida num campo de 
velocidade: 
 
 
 
 
 
 
– Rotação da linha oa: 
Mecânica dos Fluidos 2 7 
x y z
i j k     
o
v
v v x
x

  
 0
ao
t
v
t x
lim

 
 
 
 
Movimentação de uma partícula 
de fluido: rotação 
• Aceleração de uma partícula fluida num campo de 
velocidade: 
 
 
 
 
 
 
– Rotação da linha ob: 
Mecânica dos Fluidos 2 8 
x y z
i j k     
o
u
u u y
y

  
 0
ob
t
u
t y
lim

 
 
  
 
Movimentação de uma partícula 
de fluido: rotação 
• Rotação do fluido em torno do eixo z: 
 
 
• Rotação do fluido em torno do eixo y: 
 
 
• Rotação do fluido em torno do eixo x: 
 
 
• Rotação do fluido em notação vetorial: 
Mecânica dos Fluidos 2 9 
1
2
z
v u
x y

  
  
  
1
2
y
u w
z x
     
  
1
2
x
w v
y z

  
  
  
1
2
w v u w v u
i j k
y z z x x y
                     
          
Movimentação de uma partícula 
de fluido: rotação 
• Rotação do fluido sob forma vetorial: 
 
 
• Vorticidade: 
 
 
• Em coordenadas cilíndricas: 
 
 
• Circulação (teorema de Stokes 2D): 
Mecânica dos Fluidos 2 10 
1
2
V  
2 V   
 1 1 1z r z r
r
rVVV V V V
V e e k
r z z r r r r
  
       
         
         
 
C A z
V ds V dA     
Movimentação de uma partícula 
de fluido: rotação 
• Circulação (teorema de Stokes 2D): 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 2 11 
 
C A z
V ds V dA     
Movimentação de uma partícula 
de fluido: deformação angular 
• Taxa de deformação angular: 
Mecânica dos Fluidos 2 12 
d d d
dt dt dt
  
  
Movimentação de uma partícula 
de fluido: deformação angular 
• Taxa de deformação angular no plano xy: 
Mecânica dos Fluidos 2 13 
v du
x dy


  

Movimentação de uma partícula 
de fluido: deformação linear 
 
 
 
 
 
• Taxa de deformação linear: 
 
 
– Escoamento incompressível: 
Mecânica dos Fluidos 2 14 
u v w
Taxa de dilatação volumétrica V
x y z
  
     
  
0
u v w
Taxa de dilatação volumétrica
x y z
  
   
  
Movimentação de uma partícula 
de fluido 
• Exercício: problema 5.40 (5ª Ed.) ou 5.44 (6ª Ed.) do Fox. 
Mecânica dos Fluidos 2 15 
Movimentação de uma partícula 
de fluido 
• Exercício: problema 5.42 (5ª Ed.) ou 5.46 (6ª Ed.) do Fox. 
Mecânica dos Fluidos 2 16 
Movimentação de uma partícula 
de fluido 
• Exercícios: 
– Problema 5.68 (5ª Ed.) ou 5.69 (6ª Ed.) do Fox. 
 
 
 
– Problema 5.69 (5ª Ed.) ou 5.70 (6ª Ed.) do Fox. 
Mecânica dos Fluidos 2 17 
Movimentação de uma partícula 
de fluido 
• Exercícios: 
– Problema 5.76 (5ª Ed.) ou 5.80 (6ª Ed.) do Fox. 
 
 
 
 
 
 
– Problema 5.79 (5ª Ed.) ou 5.81 (6ª Ed.) do Fox. 
Mecânica dos Fluidos 2 18 
Movimentação de uma partícula 
de fluido 
• Trabalho 2.1-A (prazo de entrega: uma semana): 
– Problema 5.61 (5ª Ed.) ou 5.63 (6º Ed.) do Fox. 
Mecânica dos Fluidos 2 19 
Movimentação de uma partícula 
de fluido 
• Trabalho 2.1-B (prazo de entrega: uma semana): 
– Problema 5.80 (5ª Ed.) ou 5.82 na 6a ed.) 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 2 20 
Referências 
• FOX, Robert W.; MCDONALD, Alan T.; PRITCHARD, Philip J. 
Introdução à mecânica dos fluidos. 5ª e 6ª ed. Rio de 
Janeiro, RJ: LTC, 2006. xiv, 798 p. 
Mecânica dos Fluidos 2 21

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