Gabarito_Lista-Zero_Wilian (UFRRJ)

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Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro
Instituto de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
Lista 0 (zero) de Cálculo I - IC241
Prof. Wilian Santos Turma: T06
Comentário: Um bom desempenho nesta disciplina depende, entre outras coisas, do
conhecimento da matemática presente em sua educação básica: álbegra, geometria analí-
tica, funções e trigonometria. A seguir, são apresentados alguns exercícios básicos coletados
do livro de Cálculo do autor James Stewart, que são importantes para verificar se estamos
prontos para dar início ao curso de cálculo diferencial e integral.
1. Avalie cada expressão sem usar uma calculadora.
(a) (−3)4
(b) −34
(c) 3−4
(d)
523
521
(e)

2
3
‹−2
(f) 16− 34
Solução:
(a) (−3)4 = 81
(b) −34 = −81
(c) 3−4 = 1
81
(d)
523
521
= 25
(e)

2
3
‹−2
=
9
4
(f) 16− 34 = 1
8
2. Simplifique cada expressão. Escreva sua resposta sem expoentes negativos.
(a)
p
200−p32
(b) (3a3 b3)(4ab2)2
(c)
�
3x
3
2 y3
x2 y− 12
�−2
Solução:
(a)
p
200−p32 = 6p2
(b) (3a3 b3)(4ab2)2 = 48a5 b7
(c)
‚
3x
3
2 y3
x2 y− 12
Œ−2
=
x
9y7
3. Expanda e simplifique.
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Lista 0 (zero) de Cálculo I - IC241 Lista 0 2 de setembro de 2017
(a) 3(x + 6) + 4(2x − 5)
(b) (x + 3)(4x − 5)
(c) (
p
a +
p
b)(
p
a−pb)
(d) (2x + 3)2
(e) (x + 2)3
Solução:
(a) 3(x + 6) + 4(2x − 5) = 11x − 2
(b) (x + 3)(4x − 5) = 4x2 + 7x − 15
(c) (
p
a +
p
b)(
p
a−pb) = a− b
(d) (2x + 3)2 = 4x2 + 12x + 9
(e) (x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8
4. Fatore cada expressão.
(a) 4x2 − 25
(b) 2x2 + 5x − 12
(c) x3 − 3x2 − 4x + 12
(d) x4 + 27x
(e) 3x
3
2 − 9x 12 + 6x− 12
(f) x3 y − 4x y
Solução:
(a) 4x2 − 25 = (2x − 5)(2x + 5)
(b) 2x2 + 5x − 12 = (2x − 3)(x + 4)
(c) x3−3x2−4x+12 = (x−3)(x−2)(x+
2)
(d) x4 + 27x = x(x + 3)(x2 − 3x + 9)
(e) 3x
3
2 −9x 12 +6x− 12 = 3x− 12 (x−1)(x−
2)
(f) x3 y − 4x y = x y(x − 2)(x + 2)
5. Simplifique as expressões racionais.
(a) x
2+3x+2
x2−x−2
(b)
2x2 − x − 1
x2 − 9 ·
x + 3
2x + 1
(c)
x2
x2 − 4 −
x + 1
x + 2
(d)
y
x − xy
1
y − 1x
Solução:
(a) x
2+3x+2
x2−x−2 =
x+2
x−2
(b)
2x2 − x − 1
x2 − 9 ·
x + 3
2x + 1
=
x − 1
x − 3
(c)
x2
x2 − 4 −
x + 1
x + 2
=
1
x − 2
(d)
y
x − xy
1
y − 1x
= −(x + y)
6. Racionalize a expressão e simplifique.
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(a)
p
10p
5−2 (b)
p
4+ h− 2
h
Solução:
(a)
p
10p
5−2 = 5
p
2+ 2
p
10 (b)
p
4+ h− 2
h
=
1p
4+ h+ 2
7. Reescreva completando quadrados.
(a) x2 + x + 1 (b) 2x2 − 12x + 11
Solução:
(a) x2 + x + 1 = (x + 12)
2 + 34 (b) 2x
2 − 12x + 11 = 2(x − 3)2 − 7
8. Resolva a equação, encontrando apenas as soluções reais.
(a) x + 5 = 14− 1
2
x
(b) 2xx+1 =
2x−1
x
(c) x2 − x − 12 = 0
(d) 2x2 + 4x + 1 = 0
(e) x4 − 3x2 + 2 = 0
(f) 3 |x − 4|= 10
Solução:
(a) 6
(b) 1
(c) −3 e 4
(d) −1± 12
p
2
(e) ±1 e ±p2
(f) 23 e
22
3
9. Resolva cada desigualdade. Escreva sua resposta usando a notação de intervalos.
(a) −4< 5− 3x ≤ 17
(b) x2 < 2x + 8
(c) x(x − 1)(x + 2)> 0
(d) |x − 4|< 3
(e)
2x − 3
x + 1
≤ 1
Solução:
(a) [−4,3)
(b) (−2,4)
(c) (−2,0)∪ (1,∞)
(d) (1,7)
(e) (−1,4]
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10. Encontre uma equação para a reta que passa pelo ponto (2,-5) e
(a) tem inclinação -3.
(b) é paralela ao eixo x.
(c) é paralela ao eixo y.
(d) é paralela à reta 2x-4y=3.
Solução:(a) y = −3x + 1
(b) y = −5
(c) x = 2
(d) y = 12 x − 6
11. Encontre uma equação para o círculo que tem centro (−1,4) e passa pelo ponto
(3,− 2).
Solução:(x + 1)2 + (y − 4)2 = 52
12. Encontre o centro e o raio do círculo com equação x2 + y2 − 6x + 10y + 9 = 0.
Solução:Centro (3,− 5) e raio 5.
13. Sejam A(−7,4) e B(5,− 12) pontos no plano:
(a) Encontre a inclinação da reta que contém A e B.
(b) Encontre uma equação da reta que passa por A e B. Quais são as interseções
com os eixos?
Solução:(a) −43
(b) 4x + 3y + 16 = 0; interseção com o eixo x em x = −4; interseção com o eixo y em
y = −163 .
14. Esboce as regiões do plano x y definidas pelas equações ou inequações.
(a) −1≤ y ≤ 3
(b) |x |< 4 e |y|< 2
(c) y < 1− 1
2
x
(d) y ≥ x2 − 1
(e) x2 + y2 < 4
(f) 9x2 + 16y2 = 144
Solução:
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15. Se f (x) = x3, calcule o quociente f (2+h)− f (2)h e simplifique a sua resposta.
Solução:12+ 6h+ h2
16. Encontre o domínio da função.
(a) f (x) =
2x + 1
x2 + x − 2 (b) f (x) =
3px
x2 + 1
(c) h(x) =
p
4− x +px2 − 1
Solução:
(a) (−∞,− 2)∪ (−2,1)∪ (1,∞)
(b) (−∞,∞)
(c) (−∞,− 1]∪ [1,4]
17. Seja
f (x) =
§
1− x2, se x ≤ 0
2x + 1, se x > 0.
(a) Calcule f (−2), f (0) e f (1).
(b) Esboce o gráfico de f .
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Solução:
(a) −3; 1; 3.
(b)
18. Se f (x) = x2 + 2x − 1 e g(x) = 2x − 3, encontre cada uma das seguintes funções.
(a) f ◦ g
(b) g ◦ f
(c) g ◦ g ◦ g
Solução:
(a) ( f ◦ g)(x) = 4x2 − 8x + 2
(b) (g ◦ f )(x) = 2x2 + 4x − 5
(c) (g ◦ g ◦ g)(x) = 8x − 21
19. Esboce o gráfico das funções abaixo.
(a) f (x) = x3
(b) f (x) = (x + 1)3
(c) f (x) = (x − 2)3 + 3
(d) f (x) = 4− x2
(e) f (x) =
p
x
(f) f (x) = 2
p
x
(g) f (x) = −2x
(h) f (x) = 1+ x−1
Solução:
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20. Expresse os comprimentos a e b na figura em termos de θ .
Solução:a = 24 sen (θ ); b = 24 cos (θ ).
Questões selecionadas dos Testes de Verificação do livro de Cálculo, vol. 1, do autor
James Stewart.
Pág. 7 de 7 Bons estudos