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Introdução a comunicações digitais   Princípios de Telecomunicações   Instituto Tecnológico de Aeronáutica

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(66)
a probabilidade do sinal recebido estar mais pro´ximo de sj , dado que si foi transmitido, e´:
P [(||r− sj || < ||r− si||)|si] = Q
√ d2i,j
2N0
 (67)
• A distaˆncia entre s´ımbolos depende da energia dos sinais. A variaˆncia do ru´ıdo depende da poteˆncia do
ru´ıdo. Assim, a probabilidade de erro e´ uma func¸a˜o da relac¸a˜o sinal ru´ıdo, seja ela por bit ou por sinal.
A relac¸a˜o sinal ru´ıdo por bit vale:
SNRb =
εbavg
N0
(68)
enquanto que a relac¸a˜o sinal ru´ıdo por s´ımbolo vale:
SNRs =
εavg
N0
(69)
• Na sec¸a˜o a seguir obtemos a probabilidade de erro para algumas modulac¸o˜es digitais.
7.8.2 Probabilidade de erro de bit para algumas modulac¸o˜es
• Devido a simetria da distribuic¸a˜o Gaussiana, P (n < −x) = P (n > x) quando n e´ uma varia´vel aleato´ria
Gaussiana.
• Para a modulac¸a˜o PAM, a distaˆncia entre um s´ımbolo e seu(s) vizinho(s) vale a distaˆncia mı´nima dmin =√
12log2[M ]
M2−1 εbavg.
• Erraremos o s´ımbolo mais a esquerda da constelac¸a˜o se n > dmin2 , o que acontece com probabilidade
Q
(√
d2min
2N0
)
.
• Erraremos o s´ımbolo mais a direita da constelac¸a˜o se n < −dmin2 , o que tambe´m acontece com probabili-
dade Q
(√
d2min
2N0
)
.
• Erraremos qualquer um dos s´ımbolos intermedia´rios (entre o s´ımbolo mais a esquerda e o mais a direita) se
n > dmin2 ou se n < −dmin2 , que sa˜o eventos disjuntos (os dois na˜o podem ocorrer ao mesmo tempo. Cada
um deles ocorre com probabilidade Q
(√
d2min
2N0
)
. Logo, a probabilidade de errar um s´ımbolo intermedia´rio
vale 2 ·Q
(√
d2min
2N0
)
.
12
• Ha´ M−2 s´ımbolos intermedia´rios. Ponderando a probabilidade de erro pela probabilidade de transmissa˜o
de s´ımbolo, temos a probabilidade de erro me´dia de s´ımbolo, que vale:
PM−PAMe =
1
M
1 ·Q
√d2min
2N0
+ 1 ·Q
√d2min
2N0
+ (M − 2) · 2 ·Q
√d2min
2N0

=
2(M − 1)
M
Q
√d2min
2N0
 (70)
• Substituindo o valor de dmin chegamos a :
PM−PAMe = Q
√6log2[M ]
M2 − 1 ·
εbavg
N0
 (71)
• Na expressa˜o anterior podemos destacar dois termos:
– 6log2[M ]M2−1 , que vai para zero quando M aumenta.
–
εbavg
N0
, a relac¸a˜o sinal ru´ıdo por bit, que deve aumentar caso M aumente para manter o mesmo valor
de Pe.
• A probabilidade de erro da modulac¸a˜o M − QAM quadrada pode ser analisada ao consideramos que
ocorrem duas modulac¸o˜es
√
M − PAM em paralelo: uma em fase e outra em quadratura. Ocorrera´
um acerto na transmissa˜o de um s´ımbolo da modulac¸a˜o M − QAM se houver um acerto em ambas as
modulac¸o˜es
√
M −PAM . Ocorrera´ um erro de transmissa˜o na modulac¸a˜o M −QAM se houver um erro
em qualquer uma das duas modulac¸o˜es
√
M −PAM . Assim, temos a seguinte probabilidade de erro para
a modulac¸a˜o M −QAM quadrada:
PM−QAMe = 1− (1− P
√
MPAM
e )
= 4
(
1− 1√
M
)
Q
√3log2[M ]
M − 1
εbavg
N0
×
1− 1(1− 1√
M
)
Q
√3log2[M ]
M − 1
εbavg
N0

≤ 4 ·Q
√3log2[M ]
M − 1
εbavg
N0

(72)
• A ana´lise da probabilidade de erro da modulac¸a˜o M-PSK e´ um pouco mais trabalhosa. Apresentamos o
resultado aproximado da probabilidade de erro de s´ımbolo:
PM−PSKe ≈ 2Q
(√
(2log2[M ])sin2
( pi
M
) εbavg
N0
)
(73)
• Podemos obter uma aproximac¸a˜o para a probabilidade de bit se assumirmos que:
– O evento de erro mais prova´vel e´ aquele em que a troca ocorre pelo vizinho
– O rotulamento de Gray esta´ sendo utilizado, isto e´, um erro de s´ımbolo pelo vizinho causa o erro de
somente um bit.
• Neste caso a probabilidade de erro de bit pode ser aproximada como:
Pb =
1
log2[M ]
Pe =
1
K
Pe (74)
13
7.9 Comparac¸a˜o entre modulac¸o˜es
• E´ poss´ıvel comparar o desempenho de modulac¸o˜es diferentes, mas a comparac¸a˜o so´ faz sentido se paraˆmetros
como
εbavg
N0
, taxa e banda de transmissa˜o forem levados em conta.
• Uma grandeza u´til para comparac¸a˜o e´ a eficieˆncia espectral, definida como:
η =
Taxa de transmissa˜o
Banda de transmissa˜o
[bits/s/Hz] (75)
• A eficieˆncia depende do nu´mero de dimenso˜es no espac¸o de sinais. Faremos a conta considerando a durac¸a˜o
de um s´ımbolo.
• O teorema da amostragem diz que, para um sinal com banda W, precisamos de 2W amostras por segundo
para representa-lo bem. Se o sinal tem durac¸a˜o T , precisar´ıamos de N = 2WT amostras para representa-
lo perfeitamente. O valor de N pode ser interpretado como o nu´mero de dimenso˜es aproximado (graus
de liberdade) do sinal.
• Considerando a taxa de s´ımbolos de Rs = 1Ts , temos que:
W =
N
2Ts
=
RsN
2
=
Rb ·N
2log2[M ]
(76)
• Assim, podemos obter a eficieˆncia espectral como:
η =
Rb
W
=
2log2[M ]
N
(77)
• Para as modulac¸o˜es PAM, QAM e PSK, a dimensa˜o do espac¸o de sinais e´ constante (vale 1 ou 2). O
aumento de η so´ pode ser obtido com o aumento de M .
• Para a modulac¸a˜o FSK, o nu´mero de dimenso˜es e´ igual a M . Assim, a eficieˆncia espectral sempre diminui
quando M aumenta.
• Por outro lado, o aumento de M piora o desempenho das modulac¸o˜es PAM, QAM e PSK. E´ necessa´rio
aumentar o valor de
εbavg
N0
para mantermos o mesmo desempenho.
• No caso FSK, aumentar M melhora o desempenho.
• Assim, ha´ contrapartida entre desempenho e eficieˆncia espectral em todos os casos.
• Os resultados podem ser condensados na figura 1
• A curva mostra o valor de εbavgN0 necessa´rio para que Pb = 10−5 para va´rias modulac¸o˜es, e a sua eficieˆncia
espectral.
• O limite de Shannon nunca pode ser passado. Ele vem do fato que εbavgN0 > 2
η−1
η , no limite quando η → 0.
• O gra´fico pode ser dividido em duas grandes partes:
– A regia˜o limitada em banda, onde e´ necessa´rio alta eficieˆncia espectral
– A regia˜o limitada em poteˆncia: na˜o e´ necessa´rio conservar banda, mas precisar´ıamos de mais energia
para melhorar o desempenho do sistema.
14
7.10 Refereˆncias e exerc´ıcios
A refereˆncia desta parte da mate´ria e´ o segundo livro da bibliografia: Haykin, S., Sistemas de comunicac¸a˜o:
analo´gicos e digitais, 4a. edic¸a˜o, Editora Bookman, 2004. (nu´mero da biblioteca e´ 621.39 H419c, em ingleˆs).
A parte correspondente a mate´ria da P4 corresponde aos cap´ıtulos:
• 5, ate´ a sec¸a˜o 5.4, inclusive;
• 6, ate´ a sec¸a˜o, 6.5, partes vistas em sala.
A parte correspondente ao exame inclui o restante do cap´ıtulo 5 e as partes do cap´ıtulo 6 correspondentes
a probabilidade de erro de s´ımbolo/bit.
A refereˆncia acima e´ muito mais extensa do que as notas de aula e possui muito mais conteu´do do que o
apresentado. Use estas notas de aula como base do que deve ser estudado ou na˜o.
Os exerc´ıcios para a segunda prova sa˜o, do livro acima:
5.3 5.6 5.8 6.4(a) 6.5 6.15
Os exerc´ıcios para o exame sera˜o fornecidos em breve.
15
Figure 1: Comparac¸a˜o de eficieˆncia espectral e desempenho de diversas modulac¸o˜es16