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ELE-31 Princ´ıpios de Telecomunicac¸o˜es Prof. Manish Sharma August 26, 2015 2 Sinais e Espectro O objetivo deste cap´ıtulo e´ relembrar algumas ferramentas necessa´rias para a ana´lise de sinais no domı´nio do tempo e de frequeˆncia. Alguns conceitos novos tambe´m sa˜o apresentados. 2.1 Espectro de Linha e Se´rie de Fourier • Uma onda senoidal pode ser descrita pela seguinte equac¸a˜o: v(t) = A · cos(2pifot+ φ) (1) onde A e´ a amplitude, φ e´ a fase da onda, f0 e´ a frequeˆncia em Hertz (Hz). A relac¸a˜o entre a frequeˆncia e velocidade angular (em radianos por segundo) e´ fo , ω0 2pi . • A equac¸a˜o implica em periodicidade infinita mas pode ser utilizada para analisar sinais reais finitos (no tempo). • Representac¸a˜o equivalente: fasor. • Representac¸a˜o fasorial e´ derivada da representac¸a˜o da equac¸a˜o anterior como uma soma de exponenciais complexas: exp(±jθ) = cos(θ)± jsin(θ) (2) onde j , √−1. • Desta forma temos que a parte real de uma exponencial complexa e´: <{Aexp [j (2pifot+ φ)]} = A · cos(2pifot+ φ) (3) • Esta representac¸a˜o se chama fasorial pois o interior das chaves pode ser visto como um vetor no plano complexo com amplitude A centrado na origem que gira com o tempo com a velocidade indicada. A parte real e´ a projec¸a˜o deste vetor no eixo real, como mostra a figura abaixo: • Um fasor e´ enta˜o definido por 3 elementos: – Amplitude A – Fase φ – Frequeˆncia fo • O mesmo fasor pode ser descrito graficamente no domı´nio de frequeˆncia (varia´vel independente f) se estes paraˆmetros forem apresentados, o que exige dois gra´ficos: um de amplitude e um de fase. 1 𝐴 𝑓0 𝜙 ℜ ℑ Figure 1: Fasor 𝑓 𝑓0 𝑓 𝑓0 𝐴 𝜙 A m p li tu d e F as e Figure 2: Diagrama fasorial de amplitude e de fase • Resumidamente podemos chamar este diagrama (ou outros com informac¸o˜es similares) como espectro pois nos permite ver o que o sinal representa no domı´nio de frequeˆncias. • Convenc¸o˜es: – Varia´vel independente e´ a frequeˆncia f e na˜o a velocidade angular ω. – Fases sa˜o relativas ao cosseno, isto e´, a fase de um cosseno e´ zero. A relac¸a˜o entre seno e cosseno e´: 2 sin(2pift) = cos(2pift− 90o). – Amplitude e´ sempre positiva. Amplitudes negativas sa˜o compensadas pela fase para torna´-las posi- tivas. Isto e´, −cos(2pif0t) = cos(2pif0t+ 180o) – Fases de ±1800 sa˜o iguais. – Fases sa˜o apresentadas em graus, com o s´ımbolo o, ou em radianos, dependendo do contexto.. • Exemplo: w(t) = 7−10cos(40pit−60o)+4sin(120pit) = 7cos(0pit)+10cos(2pi20t+120o)+4cos(2pi60t−90o). Este sinal tem o diagrama fasorial da figura 3. 𝑓 𝑓 A m p li tu d e F as e 0 20 40 60 0 20 40 60 7 10 4 120o -90o Figure 3: Diagrama fasorial de w(t) • Estes diagramas sa˜o unilaterais e representam frequeˆncias positivas • Uma representac¸a˜o bilateral pode ser u´til para representar sinais utilizados na pra´tica. Ela pode ser obtida atrave´s da identidade: <{z} = z + z ∗ 2 (4) ou seja: <{Aexp [jφ] exp [j (2pifot)]} = A 2 [exp(−jφ)exp(−2pifojt) + exp(jφ)exp(2pifojt)] (5) • Os termos individuais da equac¸a˜o anterior na˜o sa˜o necessariamente reais, mas a soma necessariamente e´. • Podemos desenhar o diagrama fasorial bilateral a partir da equac¸a˜o anterior, resultando, para o exemplo anterior, na figura 4 • Para sinais reais, o gra´fico bilateral de amplitude tem simetria par e o gra´fico bilateral de fase tem simetria ı´mpar 3 A m p li tu d e 𝑓 0 20 40 60 7 5 2 𝑓 0 -20 -40 -60 -120o 90o 𝑓 F as e 20 40 60 120o -90o 𝑓 -20 -40 -60 5 2 Figure 4: Diagrama fasorial bilateral de w(t) • Comparando os dois diagramas, o bilateral possui metade do valor das amplitudes, exceto na origem (f = 0). F1 • A vantagem de utilizar o espectro bilateral e´ porque ele permite a representac¸a˜o de sinais complexos, que sera˜o u´teis futuramente. • Uma u´nica linha representa enta˜o: – Uma senoide no espectro unilateral – Uma exponencial complexa no espetro bilateral • Tanto as frequeˆncias positivas como as frequeˆncias ”negativas”(abstrac¸a˜o matema´tica) devem ser consid- eradas ao desenhar o espectro bilateral. • O espectro de amplitude e´ normalmente mais utilizado pois conte´m informac¸a˜o sobre quais frequeˆncias esta˜o presentes e quanto elas sa˜o ”fortes”, o que so´ veremos formalmente depois. 2.1.1 Sinais perio´dicos e poteˆncia me´dia • Um sinal v(t) e´ perio´dico se v(t± nT0) = v(t), para −∞ < t <∞ e qualquer m inteiro. • Na equac¸a˜o anterior, o menor valor de T0 que satisfaz a igualdade e´ o per´ıodo fundamental do sinal. • Podemos aproximar, com consequeˆncias, sinais reais como sinais perio´dicos. • A representac¸a˜o que utilizaremos posteriormente necessita que a poteˆncia me´dia deste sinal seja finita, o que definiremos a seguir. • O valor me´dio no tempo de uma func¸a˜o v(t) qualquer e´ < v(t) > , calculada via: 1Cabe ao aluno verificar as afirmac¸o˜es sempre que o s´ımbolo F aparecer. 4 < v(t) >= lim T→∞ 1 T ∫ T 2 −T2 v(t)dt (6) • Quando v(t) e´ perio´dica com per´ıodo T0 esta equac¸a˜o fica: < v(t) >= 1 T0 ∫ t1+T0 t1 v(t)dt = 1 T0 ∫ T0 v(t)dt (7) • Para determinar a poteˆncia de um sinal, e´ preciso saber qual grandeza ele representa. Por convenc¸a˜o, assumimos que o sinal v(t) e´ ou uma corrente ou uma tensa˜o aplicada sobre uma resisteˆncia de 1Ω, de forma que a poteˆncia me´dia deste sinal e´, pela Lei de Ohm: Pv =< |v(t)|2 >= 1 T0 ∫ T0 |v(t)|2dt (8) onde utilizamos o mo´dulo pois v(t) pode ser complexo2 • Quando 0 < Pv <∞, o sinal v(t) e´ chamado de sinal de poteˆncia perio´dico. • Para sinais senoidais com amplitude A, a poteˆncia e´ P = A22 2.1.2 Se´rie de Fourier (S.F.) • Permite representar sinais perio´dicos como soma de exponenciais complexas • Seja v(t) um sinal de poteˆncia perio´dico com per´ıodo fundamental T0 = 1/f0. O valor de f0 e´ a frequeˆncia fundamental. Este sinal pode ser escrito como : v(t) = ∞∑ n=−∞ cn · exp(j2pinf0t) (9) para n = 0, 1, 2, ...,, com coeficientes dados por: cn = 1 T0 ∫ T0 v(t) · exp(−j2pifot)dt = |cn|exp(j · arg(cn)) (10) onde arg(cn) retorna a fase do nu´mero complexo cn • A equac¸a˜o se encontra na forma exponencial. Poderia ser dividia na forma senoidal separando o somato´rio em somas de cossenos e senos, estes u´ltimos multiplicados pela constante j. • Comparando com a definic¸a˜o de valor me´dio, o valor de cn pode ser interpretado como o valor me´dio do que esta´ sendo integrado. Este, por sua vez, pode ser visto como o produto interno de v(t) com a exponencial complexa. • O somato´rio tambe´m pode ser interpretado como uma soma de fasores com frequeˆncia mu´ltipla inteira da frequeˆncia fundamental do sinal v(t), isto e´, 0,±f0,±2f0, .... • Logo, V (f), o espectro de linha bilateral de v(t) e´ definido pelos valores de cn, de tal forma que V (nf0) = cn • Propriedades do espectro de sinais perio´dicos: – Todas as frequeˆncias presentes sa˜o harmoˆnicos (mu´ltiplos inteiros) da frequeˆncia fundamental f0 = 1/T0, i.e., linhas sa˜o uniformemente espac¸adas. 2Neste caso a poteˆncia que estamos calculando e´ equivalente a poteˆncia aparente 5 – Valor em f = 0 (normalmente chamado de D.C.) e´ o valor me´dio do sinal: c0 = 1 T0 ∫ T0 v(t)dt =< v(t) > (11) – Para sinais reais: c−n = c∗n = |cn|exp(−jarg(cn)) (12) isto e´, amplitudes tem simetria par e fases tem simetria ı´mpar • A u´ltima propriedade permite reagrupar elementos da se´rie, dois a dois, exceto c0, ou que nos permite escrever: v(t) = c0 + ∑∞ n=1 |2cn|cos(2pinf0t+ arg(cn)) ou v(t) = c0 + 2 · ∑∞ n=1[ancos(2pinf0t) + bnsin(2pinf0t)]an = <{cn}, bn = ={cn} (13) • As func¸o˜es seno e cosseno da equac¸a˜o anterior formam uma base de func¸o˜es ortogonais em T0 • Duas func¸o˜es vn(t) e vm(t) sa˜o ortogonais em um intervalo t1 a t2 se:∫ t2 t1 vn(t)vm(t)dt = { 0, se n 6= m K, constante, se n = m (14) • Assim, a Se´rie de Fourier pode ser vista como a descric¸a˜o de um sinal atrave´s da combinac¸a˜o linear das bases do espac¸o de sinais. O ca´lculo de cn nada mais e´ do que o ca´lculo da projec¸a˜o do sinal na base correspondente, assim como e´ feito em A´lgebra Linear. • Formas ortogonais sa˜o utilizadas em um tipo de modulac¸a˜o (QAM) • Muitas vezes para calcular cn temos que resolver uma integral do seguinte tipo: 1 T ∫ T/2 −T/2 exp(j2pift)dt = 1 j2pifT exp(j2pift)|T/2−T/2 = 1 pifT sin(pifT ) (15) que e´ o valor me´dio de um fasor com frequeˆncia f qualquer avaliado durante um intervalo que na˜o e´ necessariamente o seu per´ıodo • Como esta func¸a˜o aparece muito, damos o nome de sinc(λ) = sin(piλ)/piλ, onde λ e´ adimensional.F • O seu formato aproximado e´ dado pela figura 5: • Propriedades de sinc(λ) – A amplitude (envolto´ria) decai com 1/λ. – A simetria e´ par. – O seu valor e´ 1 quando λ = 0, e vale 0 quando λ = ±1,±2, ... • Exemplo: trem de pulsos retangulares (figura 2.1.2) – v(t) na˜o e´ definido nas descontinuidades, aproximac¸a˜o de caso real. – O intervalo de integrac¸a˜o e´ um per´ıodo T0, de −T0/2 ate´ T0/2 – Neste intervalo v(t) = A para |t|, τ/2 e 0 caso contra´rio 6 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 sin c( ) Figure 5: Formato de sinc(λ) = sin(λx) λx – Logo: cn = 1 T0 ∫ T0/2 −T0/2 v(t) · exp(−j2pifot)dt = 1 T0 ∫ τ/2 −τ/2 A · exp(−j2pifot)dt = A −T0 (j2pif0n)exp(−j2pif0nt)| τ/2 −τ/2 = A T0 sin(pif0nτ) pif0nτ = Aτ T0 sinc(f0nτ) (16) – Para visualizar o espectro de amplitude e fase consideramos os valores nume´ricos de τ/T0 = f0τ = 1/4: – Ha´ zeros em ±4f0,±8f0, pois nestes pontos a func¸a˜o sinc vale 0; – O valor em f = 0 e´ o valor D.C, pode ser obtido por inpec¸a˜?ao, e´ igual a τ/T0 – Os valores de cn sa˜o reais e as vezes negativos. Quando positivos, a fase e´ 0, quando negativo a fase e´ ±180o. Neste caso, escolhemos o sinal de forma a manter a simetria necessa´ria. – Recomposic¸a˜o de v(t) via somato´rio: v(t) = A 4 + √ 2A pi cos(2pif0t) + A pi cos(4pif0t) + √ 2A 3pi cos(6pif0t) + · · · (17) – Aproximac¸a˜o pode ser feita considerando um nu´mero finito de termos deste somato´rio, como mostra a figura abaixo. – Enta˜o, o somato´rio acima converge para v(t) neste caso quando o nu´mero de termos utilizados tende para infinito 7 t =0 ... ... T0 τ τ -T0 τ -15 -10 -5 0 5 10 15 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 n c n 2.1.3 Condic¸o˜es para convergeˆncia e fenoˆmeno de Gibbs • Nem sempre uma se´rie converge. • Condic¸o˜es de Dirichlet para convergeˆncia(suficientes mas na˜o estritamente necessa´rios): – Nu´mero finito de ma´ximos e mı´nimos por per´ıodo – v(t) e´ absolutamente integra´vel por per´ıodo • Condic¸a˜o alternativa: |v(t)|2 tem me´dia finita por per´ıodo, o que e´ equivalente a dizer que e´ um sinal de poteˆncia. • Assim, sendo vN (T ) = ∑N n=−N cn · exp(j2pinf0t), temos; lim N→∞ ∫ T0 |v(t)− vN (t)|dt = 0 (18) • Fenoˆmeno de Gibbs – Nos pontos de descontinuidade a soma parcial vN (t) converge para o ponto me´dio de descontinuidade. – Ale´m disso, em cada uma das extremidades ha´ oscilac¸o˜es com per´ıodo de T0/2N e pico de aproxi- madamente 9% do degrau. – Em sinais reais este fenoˆmeno na˜o existe pois eles sa˜o cont´ınuos. Por outro lado, sinais sintetizados pela soma de um nu´mero finito de termos de uma Se´rie de Fourier de um sinal com descontinuidades podem apresentar este comportamento. – Fenoˆmeno implica em cuidados ao usar filtros reais aproximados como ideais. 2.1.4 Teorema de Parseval • Relac¸a˜o entre poteˆncia de um sinal perio´dico v(t) e seus coeficientes cn e´: Pv = 1 T0 ∫ T0 |v(t)|2dt = 1 T0 ∫ T0 v(t)v∗(t)dt (19) 8 • Como v∗(t) = ∞∑ n=−∞ c∗nexp(−j2pinfot), temos que, substituindo na equac¸a˜o anterior: Pv = 1 T0 ∫ T0 v(t) ∞∑ n=−∞ c∗nexp(−j2pinfot)dt = ∞∑ n=−∞ 1 T0 [∫ T0 v(t)exp(−j2pinfot) ] c∗ndt = ∞∑ n=−∞ cnc ∗ n = ∞∑ n=−∞ |cn|2 (20) • Logo, a poteˆncia me´dia de um sinal perio´dico e´ igual a soma dos coeficientes de sua se´rie de Fourier. • Este ca´lculo na˜o envolve o espectro de fases • A poteˆncia total de um sinal perio´dico e´ igual a soma das poteˆncias de cada um dos componentes da se´rie. • Este resultado tambe´m pode ser derivado levando em considerac¸a˜o que as func¸o˜es cos(2pinf0t) e cos(2pimf0t) sa˜o ortogonais no intervalo T0, para n 6= m inteiros. 2.2 Transformada de Fourier e Espectro cont´ınuo • Sinais na˜o perio´dicos com energia finita podem ser analisados com a Transforada de Fourier (TF). • Em condic¸o˜es semelhantes a`s anteriores, um sinal v(t) na˜o perio´dico e´ um sinal de energia se: Ev , ∫ ∞ −∞ |v(t)|2dt (21) e´ finita. 9 • A TF pode ser vista como um limite da se´rie de Fourier quanto T0 →∞ ou f0 → 0. O somato´rio da Se´rie de Fourier se transforma em uma integral: v(t) = ∫ ∞ −∞ [∫ ∞ −∞ v(t)exp(−j2pift)dt ] exp(j2pift)df (22) • A transformada de Fourier de um sinal v(t) e´ uma func¸a˜o V (f) obtida atrave´s de: V (f) , F{v(t)} , ∫ ∞ −∞ v(t) · exp(−j2pift)dt (23) • A transformada de Fourier inversa (IFT) e´ definida como: v(t) , F−1{V (F )} , ∫ ∞ −∞ V (f) · exp(j2pift)df (24) • Assim como a se´rie de Fourier, F−1{V (F )} converge para v(t). • Circularmente, v(t) = F−1{F{v(t)}}, mas ainda provaremos isto. • Comparando com a se´rie de Fourier, V (F ) e´ o espectro cont´ınuo de v(t) • Propriedades: – V (f) e´ uma func¸a˜o potencialmente complexa, no sentido de ter termos reais e imagina´rios. – V (f = 0) e´ a a´rea de v(t), isto e´, V (0) = ∫∞ −∞ v(t)dt – Se v(t) e´ real, V (−f) = V ∗(f). Consequentemente: ∗ |V (−f)| = |V (f)| → a amplitude possui simetria par ∗ arg[V (−f)] = −arg[V (f)]→ a fase possui simetria ı´mpar ∗ Func¸o˜es que obedecem ambas estas simetrias sa˜o func¸o˜es com simetria Hermitiana • Exemplo: pulso retangular – Definimos um pulso retangular gene´rico como: Π ( t τ ) , { 1, |t| < τ2 0, cc. (25) – A func¸a˜o que desejamos transformar e´ v(t) = AΠ ( t τ ) – Logo: V (f) = ∫∞ −∞ v(t) · exp(−j2pift)dt = ∫ τ/2 −τ/2A · exp(−j2pift) = Aτsinc(fτ) (26) – Da figura conclu´ımos que: ∗ Grande parte da energia esta´ entre −1/τ e 1/τ ∗ Quanto mais curto o pulso, maior o espalhamento espectral, pois τ diminui e 1/τ aumenta. 10 ] 2.2.1 Sinais sime´tricos • Sinais com algum tipo de simetria possuem TF simplificadas. • Instante t = 0 pode dentro de alguns limites ser escolhido livremente mas instante f = 0 na˜o pode pois ha´ significado f´ısico no seu valor • Usando a identidade de Euler, podemos escrever uma TF como: V (f) = Ve(f) + jVo(f) (27) onde : Ve(f) , ∫ ∞ −∞ v(t)cos(2pift)dt Vo(f) , − ∫ ∞ −∞ v(t)sin(2pift)dt (28) • A priori na˜o ha´ nenhum tipo de simetria nestas func¸o˜es. • Se v(t) e´ real, <{V (f)} = Ve(f) e ={V (f)} = Vo(f). (F Mostre que isto na˜o e´ verdade quando v(t) na˜o e´ real, mas que uma afirmac¸a˜o semelhante pode ser feita para quando v(t) e´ um sinal imagina´rio) • Para uma func¸a˜o gene´rica w(t) que pode representar tanto v(t)cos(2pift) ou v(t)sin(2pift)dt, temos : ∫ ∞ −∞ w(t)dt = ∫ 0 −∞ w(t)dt+ ∫ ∞ 0 w(t)dt = 2 ∫ ∞ 0 w(t)dt, se w(t) e´ par 0, se w(t) e´ impar (29) • Quando v(t) tem simetria par, v(t) = v(−t): – v(t)cos(2pift) tem simetriapar – v(t)sin(2pift) tem simetria impar 11 – Logo V (f) = Ve(f) = 2 ∫ ∞ 0 v(t)cos(2pift)dt Vo(f) = 0 (30) • Quando v(t) tem simetria ı´mpar, v(t) = −v(−t): – v(t)cos(2pift) tem simetria impar – v(t)sin(2pift) tem simetria par – Logo V (f) = jVo(f) = 2 ∫ ∞ 0 v(t)sin(2pift)dt Ve(f) = 0 (31) • Conclusa˜o: espectro de um sinal real com simetria par e´ real. O espectro de um sinal real com simetria ı´mpar e´ imagina´rio. 2.2.2 Sinais causais • Sinais causais sa˜o aqueles que dependem somente do passado e do presente, nunca do futuro. • Assim, um evento no presente so´ pode alterar o futuro • Sinais do mundo real, pelo nosso conhecimento, sa˜o causais • Um modelo que pode ser utilizado para este tipo de sinal e´ dizer que v(t) = 0 para t < 0, i.e., o sinal comec¸a em ou depois de t = 0. • Uma consequeˆncia deste modelo e´ que na˜o ha´ nenhum tipo de simetria no sinal. Logo, o espectro tera´ termos reais e complexos • A TF adquire o formato de: V (f) = ∫ ∞ 0 v(t)exp(−j2pift)dt (32) que e´ equivalente a` transformada de Laplace (TL) limitada ao c´ırculo complexo unita´rio, definida como: L{v(t)} , ∫ ∞ 0 v(t)exp(−st)dt ∣∣∣∣ s=j2pif (33) • Logo, se v(t) e´ um sinal causal de energia na˜o perio´dico, pode-se obter a TF a partir a TL • Exemplo: v(t) = { Aexp(−bt), t > 0 0, cc. L{v(t)} ∣∣∣∣ s=j2pif = A b+ j2pif = A b− j2pif b2 + (2pif)2 Ve(f) = <{V (f)} = Ab b2 + (2pif)2 Vo(f) = ={V (f)} = − A2pif b2 + (2pif)2 (34) 12 • Poder´ıamos extrair o mo´dulo e a fase da TF atrave´s de: Modulo = √ V 2e (f) + V 2 o (f) Fase = tan−1 ( Vo(f) Ve(f) ) (35) 2.2.3 Teorema de Energia de Rayleigh • Semelhante ao teorema de Parseval para poteˆncias: E = ∫ ∞ −∞ V (f)V ∗(f)df = ∫ ∞ −∞ |V (f)|2df (36) • O valor |V (f)|2 indica a distribuic¸a˜o de energia no espac¸o de frequeˆncias • Para sinais a serem projetados, isto implica que a maior parte da energia deve estar dentro da banda desejada/permitida 2.2.4 Teorema de dualidade • Se F{v(t)} = V (f) e existe z(t) tal que z(t) = V (f = t) enta˜o F{z(t)} = v(−f) (37) isto e´, a TF de uma func¸a˜o z(t) pode ser calculada atrave´s da IFT, com uma troca de varia´veis e de sinal, desde que z(t) tenha o formato de uma func¸a˜o cuja IFT conhecemos. • Esta propriedade e´ u´til por exemplo quando v(t) e´ real e possui simetria par, pois V (f) tambe´m sera´. Neste caso podemos ignorar a troca de sinais. F. • Exemplo z(t) = Asinc(2Wt), onde W representa a banda do sinal (onde esta´ a maior parte da energia) – Sabemos que para v(t) = BΠ( tτ )⇔ V (f) = Bτsinc(fτ) – Reescrevendo z(t)temos: z(t) = A 2W 2Wsinc(2Wt) (38) e as varia´veis se relacionam como: A 2W = B 2W = τ t = f (39) – Logo Z(f) = A 2W Π ( f 2W ) (40) – O sinal sinc no tempo e´ limitado em banda e infinito no tempo, enquanto que o sinal Π(t) e´ finito no tempo e infinito em banda. 2.2.5 Considerac¸o˜es pra´ticas sobre a TF • 1a opc¸a˜o: tabelas de transformadas ou combinac¸o˜es de transformadas • 2a opc¸a˜o: Propriedade da dualidade • 3a opc¸a˜o: Transformada de Laplace, quando houver • 4a opc¸a˜o: aproximac¸o˜es.Caso z˜(t) ≈ z(t), |z˜(t) − z(t)| e´ pequeno, Z(f) = F{z(t)} e ˜Z(f) = F{ ˜z(t)}, enta˜o: ∫ ∞ −∞ |Z(f)− ˜Z(f)|2df = ∫ ∞ −∞ |z(t)− ˜z(t)|2dt (41) devido ao teorema de Rayleigh. Isto e´, o erro acumulado no tempo se mantera´ em frequeˆncia. 13 2.3 Propriedades da Transformada de Fourier Ajudam a analisar/calcular alguns tipos de sinais. 2.3.1 Superposic¸a˜o Se v(t) = a1 · v1(t) + a2v2(t) enta˜o F{v(t)} = a1 · V1(f) + a2V2(f), ou, genericamente: F {∑ k vk(t) } = ∑ k Vk(f) (42) onde F{vk(t)} = Vk(f). 2.3.2 Deslocamento no tempo Dada uma func¸a˜o v(t) ela pode ser atrasada em td ao escrevermos v ′(t) = v(t− td). Neste caso: F{v′(t)} = ∫ ∞ −∞ v(t− td)exp(−j2pift)dt (43) Com uma transformac¸a˜o de varia´veis t′ = t− td e t = t′ + d chegamos e: F{v′(t)} = ∫ ∞ −∞ v(t′)exp[−j2pif(t′ + td)]dt = exp(−j2piftd) ∫ ∞ −∞ v(t′)exp[−j2pif(t)]dt = exp(−j2piftd)V (f) (44) 2.3.3 Mudanc¸a de escala Quando desejamos mudar a escala de tempo, multiplicamos a varia´vel tempo por uma constante, isto e´ , t′ = αt. O sinal resultante e´ v(αt). Com |α| < 1 o sinal e´ comprimido no tempo e com |α| > 1 o tempo e´ estendido. Com α < 0 ha´ reversa˜o temporal. Utilizando t′ = αt, temos que dt ′ dt = α. Asim, a TF fica: F{v(αt)} = ∫ ∞ −∞ v(t′)exp ( −j2pif t ′ α ) dt |α| = 1 |α|V (f ′) = 1 |α|V ( f α ) (45) onde f ′ = fα . A raza˜o para utilizarmos o mo´dulo de α e´ que, quando α < 0, os limites de integrac¸a˜o acabam sendo trocados. Para permanecer com os mesmos limites, multiplicamos a integral por menos um. Esta multiplicac¸a˜o resulta em |α|. • Exemplo: Sendo v(t) = A · Π ( tτ ), temos um sinal za(t) = v(t − td) − v(t − (td + T )) que e´ composto de dois pulsos retangulares, como mostra a figura 6. Assim: V (f) = Aτ(sinc(fτ) Za(f) = V (f)exp(−j2piftd)− V (f)exp(−j2pi(td + T )) = V (f)[exp(−j2piftd)− exp(−j2pi(td + T ))] (46) 14 ... ... τ τ td td+T td+T/2 Figure 6: Dois pulsos retangulares • Podemos escrever a seguinte identidade: exp(j2θ1)± exp(j2θ2) = [exp(j(θ1 − θ2))± exp(−j(θ1 − θ2))]exp(j(θ1 + θ2) = { 2cos(θ1 − θ2)exp(j(θ1 + θ2) j2sin(θ1 − θ2)exp(j(θ1 + θ2) (47) • No caso deste exemplo, θ1 = −piftd e θ2 = −pif(td + T ). Definindo t0 = td + T/2(o ponto central entre os dois pulsos) temos que θ1 − θ2 = pifT ) e θ1 + θ2 = 2pift0, resultando em: Za(f) = [Aτsinc(fτ ][j2sin(jpifT )][exp(j2pift0)] (48) • Definindo arbitrariamente que t0− = 0 eliminamos a u´ltima exponencial. O formato de zb(t) = za(t) ∣∣∣∣ t0=0 fica com simetria ı´mpar e o valor de sua TF e´: Zb(f) = Aτsinc(fτ)(j2sin(pifτ))× ( pifτ pifτ ) = Aτ(j2pifτ · sinc2(fτ)), (49) isto e´, o espectro e´ puramente imagina´rio pois a func¸a˜o zb(t) tem simetria ı´mpar 2.3.4 Translac¸a˜o em frequeˆncia e Modulac¸a˜o • Seja v(t) com uma TF V (f). A multiplicac¸a˜o no tempo de v(t) por uma exponencial complexa causa a translac¸a˜o em frequeˆncia, isto e´: F{v(t) · exp(j2pif0t)} = V (f − f0) (50) isto e´, o espectro fica centrado em f0 • Assim, se v(t) tem conteu´do de energia entre ±W (sendo real), o seu espectro pode ser representado genericamente pela figura ??c¸a˜ocap2modulac¸a˜o(a). 15 f=0 f=0 f=0 f=fc f=fc f=-fc (a) (b) (c) f=W f=fc+W f=fc-W Figure 7: Transformadas de Fourier de: (a) v(t); (b) v(t) · exp(j2pif0t); (c) v(t) · cos(j2pif0t). Ha´ uma reduc¸a˜o de amplitude no terceiro espectro por um fator de 2. • Podemos fazer este sinal ocupar a faixa de fc ±W multiplicando v(t) pela exponencial complexa apropriada. • O espectro resultante ocupa uma banda de 2W exclusivamente de bandas positivas (sendo fc > W ) e conse- quentemente na˜o possui simetria em torno de f = 0. • Logo, o sinal resultante no tempo e´ complexo, o que pode ser um problema para o tratamento de sinais reais. • Soluc¸a˜o: multiplicar v(t) por um seno ou cosseno, resultando no teorema de modulac¸a˜o: v(t)cos(2pifct+ φ)↔ V (f − fc)exp(jφ) 2 + exp(−jφ) 2 V (f + fc) (51) isto e´, multiplicar um sinal por ondas senoidais equivale a transladar o espectro para ±fc, dividindo a cada uma das co´pias por dois. • Sendo o sinal original real, o espectro do produto final sera´ Hermitiano. • Exemplo: pulso de ra´dio frequeˆncia, utilizado frequentemente em radares. – Senoide finita com fc na faixa de ra´dio frequeˆncia: z(t) = AΠ ( t τ ) · cos(2pifct) (52) – Este sinal pode ser visto como o produto de um pulso retangular com largura τ e um cosseno com frequeˆncia fc, como mostra a figura 8 – A TF do pulso retangular e´ Aτsinc(fτ).Logo, a TF de z(t) sera´, utilizando o teorema da modulac¸a˜o: Z(f) = Aτ 2 [sinc((f − fc)τ) + sinc((f + fc)τ)] (53) – O espectro resultante tem o seguinte formato da figura 9 16 -3 -2 -1 0 1 2 3 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t z(t ) Figure 8: Pulso de ra´dio frequeˆncia para fc = 2. -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 f |Z( f)| Figure 9: Espectro de Z(f)(mo´dulo), para fc = 2. 17 – Embora a senoide tenha frequeˆncia igual a fc, ela e´ finita no tempo. Por este motivo ha´ energia fora de fc – Caso a senoide fosse infinita, poder´ıamos utilizar um espectro de linha representado uma se´rie de Fourier ou um o limite da transformada, que veremos depois. 2.3.5 Diferenciac¸a˜o • Utilizando a IFT, podemos escrever: d dt v(t) = d dt [∫ ∞ −∞ V (f) · exp(j2pift)df ] (54) • Como a exponencial dentro da integral e´ a u´nica coisa que depende do tempo, reescrevemos: d dt v(t) = ∫ ∞ −∞ V (f) · d dt (exp(j2pift)) df = ∫ ∞ −∞ V (f)j2pi · f · exp(j2pift)df (55) • Como a equac¸a˜o acima ainda e´ uma transformada de Fourier inversa, aquilo que na˜o faz parte da expo- nencial faz parte da Transformada de Fourier de ddtv(t). Logo: F { d dt v(t) } = V (f)j2pif (56) ou genericamente, chegamos no teorema de diferenciac¸a˜o: F { dn dtn v(t) } = V (f)(j2pif)n (57) 2.3.6 Integrac¸a˜o • Seja z(t) = ∫ t−∞ v(λ)dλ, onde λ e´ uma varia´vel dummy. • Se V (0) = ∫∞−∞ v(λ)dλ = 0, garantimos que z(t) convergira´ para 0 quando t→∞. • Utilizando o caminho contra´rio ao da derivada, chegamos no teorema da integrac¸a˜o: F {∫ t −∞ v(λ)dλ } = 1 j2pif V (f) (58) • Os principais resultados destas u´ltimas duas sec¸o˜es sa˜o: – Ao derivar um sinal, as suas frequeˆncias mais altas sera˜o amplificadas e as mais baixas reduzidas, devido ao fator f multiplicando a TF resultante. – Ao integrar um sinal, as suas frequeˆncias mais baixas sera˜o amplificadas e as mais altas reduzidas, devido ao fator f multiplicando a TF resultante. • Exemplo: Pulso triangular. – O sinal zb(t) = AΠ ( t+ τ2 τ ) −AΠ ( t− τ2 τ ) tem me´dia zero. Logo, podemos obter um novo sinal baseado na integral de zb(t) e este sinal tera´ uma transformada de Fourier. Assim: w(t) = 1 τ ∫ t −∞ zb(λ)dλ = { A ( 1− |t|τ ) , |t| < τ 0, |t| > τ (59) 18 -3 -2 -1 0 1 2 3 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t (t) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 f F) $! t ="* Figure 10: Sinal Λ(t) e seu espectro. – Aplicando o teorema de integrac¸a˜o temos que : W (f) = 1 τ 1 j2pif Zb(f) = Aτ j2pifτ j2pifτ sinc2(fτ) = Aτsinc2(fτ) (60) – Em comparac¸a˜o com o pulso retangular, o pulso triangular tem menos energia em altas frequeˆncias. – Isto acontece porque na˜o ha´ descontinuidades neste sinal. – A sua durac¸a˜o e´ 2τ , enquanto que o pulso retangular dura somente τ . – Notac¸a˜o: Λ ( t τ ) , { 1− |t|τ , |t| < τ 0, |t| > τ F {Λ ( tτ )} = Aτsinc2(fτ) (61) – A figura 10 mostra o pulso triangular no tempo e o mo´dulo do seu espectro, para τ = 1. Para comparac¸a˜o, o mo´dulo do pulso quadrado com largura τ = 1 tambe´m esta´ desenhado na linha tracejada. 2.4 Convoluc¸a˜o • Muitos sinais reais sa˜o obtidos atrave´s da convoluc¸a˜o de outros dois sinais. • A integral da convoluc¸a˜o e´: v(t) ∗ w(t) , ∫ ∞ −∞ v(λ)w(t− λ)dλ (62) onde a varia´vel independente e´ t • A integral tambe´m pode ser vista como a superposic¸a˜o de va´rias respostas de um sistema a impulsos aplicados a ele, como por exemplo a reverberac¸a˜o numa sala ou o eco de uma caverna • Uma das func¸o˜es da integral normalmente e´ limitada no tempo, o que facilita o seu ca´lculo. 19 • Exemplo: – As func¸o˜es a serem convolu´ıdas sa˜o: v(t) = A · exp(−t) 0 < t <∞ w(t) = t T 0 < t < T w(t− λ) = t− λ T 0 < t− λ < T = −λ− t T t− T < λ < t (63) – Em func¸a˜o de λ, w(t) deve sofrer reversa˜o e deslocamento da origem para o instante = t. – Quando t < 0 ha´ v(λ) ·w(t− λ) = 0 para qualquer valor de λ. Logo, nesta situac¸a˜o, v(t) ∗w(t) = 0. – Quando 0 < t < T , a superposic¸a˜o e´ parcial e a integral fica: v(t) ∗ w(t) = ∫ t 0 Aexp(−λ) ( t− λ T ) dλ = A T [t− 1 + exp(−t)] (64) – Quando T < t, a superposic¸a˜o e´ completa e a integral fica: v(t) ∗ w(t) = ∫ t t−T Aexp(−λ) ( t− λ T ) dλ = A T [T − 1 + exp(−T )]exp[−t− T )] (65) 2.4.1 Teoremas de Convoluc¸a˜o • A convoluc¸a˜o e´ – comutativa: v(t) ∗ w(t) = w(t) ∗ v(t) – associativa: v(t) ∗ (w(t) ∗ (z(t)) = (v(t) ∗ w(t)) ∗ (z(t) – distributiva: v(t) ∗ (w(t) + (z(t)) = v(t) ∗ w(t) + v(t) ∗ z(t) • O teorema de convoluc¸a˜o diz que: v(t) ∗ w(t)↔ V (f) ·W (f) (66) isto e´: a convoluc¸a˜o no domı´nio do tempo equivale ao produto no domı´nio da frequeˆncia. • Tambe´m: v(t)cdotw(t)↔ V (f) ∗W (f) (67) isto e´: a convoluc¸a˜o no domı´nio da frequeˆncia equivale ao produto no domı´nio do tempo. • Prova da primeira parte: F{v(t) ∗ w(t)} = ∫ ∞ −∞ [∫ ∞ −∞ v(λ) · w(t− λ)dλ ] exp(−j2pift)dt = ∫ ∞ −∞ v(λ) [∫ ∞ −∞ ·w(t− λ)exp(−j2pift)dt ] dλ = ∫ ∞ −∞ v(λ) [W (f)] exp(−j2pifλt)dλ = W (f)V (f) (68) onde utilizamos os fatos de que v(λ) na˜o depende de t, a propriedade de descolamento no tempo da TF, que W (f) na˜o depende de λ e que na u´ltima integral a varia´vel λ esta´ fazendo o papel de t na transformada de Fourier. 20 t =0 v(t)*w(t) τ1+τ2 τ1-τ2 t Figure 11: Resultado da convoluc¸a˜o de dois pulsos retangulares com largura diferente • Exemplo: pulso trapezoidal – Um pulso trapezoidal pode ser obtido com a convoluc¸a˜o de dois pulsos retangulares com larguras diferentes: v(t) = A1Π ( t τ1 ) w(t) = A2Π ( t τ2 ) τ1 > τ2 (69) – Assim, v(t) ∗ w(t) tem o seguinte formato da figura 11 – A sua TF sera´ enta˜o: V (f)W (f) = [A1τ1sinc(fτ1)][A2τ2sinc(fτ2)] (70) – Quando τ1 = τ2 = τ o pulso trapezoidal se reduz a um triangular com largura 2τ e amplitude A = A1A2τ , resultando na TF ja´ conhecida de um pulso triangular. 2.5 Impulsos e limites da Transformada de Fourier • Ha´ sinais com componentes perio´dico e na˜o perio´dicos ao mesmo tempo. Como podemos analisa´-los? • Soluc¸a˜o matema´tica: permitir impulsos no domı´nio de frequeˆncia • Limites da TF tambe´m permitem criar uma representac¸a˜o espectral de impulsos no tempo 2.5.1 Propriedades do Impulso Unita´rio • Impulsos unita´rios ou delta de Dirac δ(t) tem a seguinte propriedade:∫ t2 t1 v(t)δ(t)dt = { v(0), t1 < 0 < t2 0, c.c (71) quando v(t) e´ cont´ınua em t = 0 21 t 𝛿(𝑡) t=0 Figure 12: Representac¸a˜o gra´fica do impulso • A mesma propriedade e´ va´lida em frequeˆncia, i.e., substituindo t por f . • Se v(t) = 1, ∫ ∞ −∞ δ(t)dt = ∫ � −� δ(t)dt = 1 (72) com � arbitrariamente pequeno. • Assim, δ(t) tem a´rea unita´ria concentrada em t = 0, e δ(t) = 0 para t 6= 0. • Representac¸a˜o gra´fica na figura 12 • Fisicamente um sinal deste tipo na˜o pode existir, mas muitas func¸o˜es existentes tendem ao impulso. Em particular, a func¸a˜o δ�(t) e´ definida de tal forma que se: lim �→0 ∫ ∞ −∞ v(t)δ�(t)dt = v(0) (73) enta˜o: lim �→0 δ�(t) = δ(t) (74) • Duas func¸o˜es que satisfazem estes limite sa˜o: δ�(t) = 1 � Π ( t � ) δ�(t) = 1 � sinc ( t � ) (75) • Treˆs propriedades de δ(t): – Replicac¸a˜o: v(t) ∗ δ(t− td) = v(t− td) 22 – Amostragem: ∫ t2 t1 v(t)δ(t− td)dt = v(t− td). Assim: v(t) · δ(t− td) = v(td) · δ(t− td) – Mudanc¸a de escala: δ(αt) = 1|α|δ(t) 2.5.2 Impulsos em Frequeˆncia • Representam fasores ou constantes• Por exemplo, quando v(t) = A (uma constante), v(t) tem energia infinita. • A princ´ıpio, na˜o ha´ TF de fato, mas no limite: v(t) = lim W→0 A · sinc(2Wt) = A F{v(t)} = lim W→0 A 2W Π ( f 2W ) = Aδ(f) (76) • Assim, A↔ Aδ(f), isto e´, a TF de uma constante e´ um impulso • Intuitivamente este resultado faz sentido pois uma constante na˜o varia no tempo e toda sua energia deve estar em f = 0 • Alternativamente, poder´ıamos ter feito como abaixo para chegar no mesmo resultado: v(t) = lim τ→∞A ·Π ( t τ ) (77) e chegar´ıamos a: V (f) = lim τ→∞Aτsinc(fτ) = Aδ(f) (78) • Utilizando a propriedade da TF de translac¸a˜o em frequeˆncia podemos escrever genericamente: A · exp(j2pifct)↔ δ(f − fc) A · cos(2pifct+ φ)↔ A 2 [exp(jφ)δ(f − fc) + exp(−jφ)δ(f + fc)] (79) isto e´, o espectro cont´ınuo de um fasor e´ um impulso em fc e o espectro de uma onda senoidal sa˜o dois impulsos: • Assim, para um sinal perio´dico com se´rie de Fourier v(t) = ∞∑ n=−∞ c(nf0)exp(j2pinf0t), a sua TF cont´ınua sera´ V (f) = F { ∞∑ n=−∞ c(nf0)exp(j2pinf0t) } = ∞∑ n=−∞ c(nf0)δ(f − nf0) (80) • Qualquer espectro de linha pode dessa forma ser transformado em um espectro cont´ınuo • A diferenc¸a entre os dois e´ que, para chegar no sinal original, o espectro de linha se soma enquanto que o espectro cont´ınuo deve ser integrado. • Exemplo: Impulsos e espectro cont´ınuo: – Um sinal no tempo e´ definido como v(t) = Acos(2pifct) − AΠ( tτ )cos(2pifct) + AΠ( tτ )cos(4pifct). O seu formato no tempo para fc = 1 e τ = 2 e´ aproximadamente mostrado na figura 13-(a) ( – Podemos calcular o espectro dos termos que apresentam produtos no tempo atrave´s da convoluc¸a˜o em frequeˆncia. O espectro resultante tem a func¸a˜o abaixo, e mostrado na figura 12-(b). V (f) = A 2 [δ(f−fc)+δ(f+fc)]−Aτ 2 [sinc(f−fc)+sinc(f+fc)]+Aτ 2 [sinc(f−2fc)+sinc(f+2fc)] (81) 23 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -1 -0.5 0 0.5 1 t v(t) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 f V(f) Figure 13: Sinal no tempo e em frequeˆncia do exemplo, para fc = 1 e τ = 2 2.5.3 Func¸a˜o degrau e sinal • A func¸a˜o degrau (step) e´ u(t) , { 1, t > 0 0, t < 0 (82) • Esta func¸a˜o e´ de interesse pois pode ser utilizada para modelar um sinal causal atrave´s do produto da func¸a˜o degrau com uma func¸a˜o na˜o causal • Por na˜o ser sime´trica em torno da origem ha´ complicac¸o˜es matema´ticas para se calcular a sua TF • Para resolver este problema usamos a func¸a˜o sinal (signum), definida como: sgn(t) = { 1, t > 0 −1, t < 0 (83) que pode ser escrita como um limite: v(t) = exp(−bt)u(t) z(t) = lim b→0 [v(t)− v(−t)] (84) • Utilizando o resultado do exemplo da sec¸a˜o 2.2.2 para uma exponencial causal e que a func¸a˜o sgn(t) tem simetria ı´mpar, chegamos em: Z(f) = j2V0(f) = −j4pif b2 + (2pif)2 (85) • No limite quando b→ 0 temos: F{sgn(t)} = lim b→0 −j4pif b2 + (2pif)2 = −j pif = 1 jpif (86) 24 • Podemos escrever a func¸a˜o degrau como :u(t) = (sgn(t) + 1)/2. Utilizando a propriedade da linearidade da TF e que a TF de uma constante e´ um impulso, temos: F{u(t)} = δ(f) 2 + 1 j2pif (87) • A TF de sgn(t) na˜o tem um impulso em f = 0 pois a sua me´dia e´ zero. A TF de u(t) tem um valor me´dio igual a 1/2, logo existe um impulso em f = 0. • Este impulso tambe´m aparece ao aplicarmos o teorema da integrac¸a˜o sobre uma func¸a˜o que tem a´rea l´ıquida 0: v(t) ∗ u(t) = ∫ ∞ −∞ v(λ)u(t− λ)dλ = ∫ t −∞ v(λ)dλ, pois u(t) = 0 se λ > t F{v(t) ∗ u(t)} = V (f) [ δ(f) 2 + 1 j2pif ] (88) • Logo : ∫ t −∞ v(λ))dλ↔ V (0) 2 + V (f) [ 1 j2pif ] (89) 2.5.4 Impulsos no tempo • Temos que Aτ Π ( t τ )↔ Asinc( fτ ). No limite quando τ →∞, Aδ(t)↔ A • Isto e´, impulsos no tempo conte´m todas as frequeˆncias com a mesma amplitude. • Mesmo resultado pode ser obtido utilizando a propriedade da dualidade sobre A↔ Aδ(f). • Estes resultados podem ser interpretados da seguinte forma: – Sinal com durac¸a˜o ”‘zero”’ tem largura espectral infinita. – Sinal com durac¸a˜o ”‘infinta”’(constante) tem largura espectral ”‘zero”’ • Ao deslocarmos no tempo temos: Aδ(t− td)↔ A · exp(−j2piftd) (90) • Como, por definic¸a˜o F−1{A · exp(−j2piftd)} = Aδ(t− td), temos que, para manter consisteˆncia:∫ ∞ −∞ exp(j2pif(t− td)df = δ(t− td) (91) • Esta definic¸a˜o e consequeˆncia permite mostrar que: F−1{V (f)} = ∫∞−∞ [∫∞−∞ v(λ)exp(−j2pift)dλ] exp(j2pift)df = ∫∞ −∞ v(λ) [∫∞ −∞ exp(j2pif(t− λ))df ] dλ = ∫∞ −∞ v(λ)δ(t− λ)dλ = v(t) ∗ δ(t) (92) • O impulso tambe´m tem relac¸a˜o com a func¸a˜o degrau pois:∫ t −∞ δ(t− td)dt = { 1, t > td 0, t < td = u(t− td) (93) 25 • Logo: δ(t− td) = d dt u(t− td) (94) • Esta propriedade permite analisar alumas func¸o˜es da seguinte forma: sendo v(t) uma func¸a˜o cont´ınua e d n−1 dtn−1 v(t) a primeira derivada de v(t) em que ha´ descontinuidades, enta˜o a derivada de ordem n possui impulsos. Logo, podemos escrever a derivada de ordem n da seguinte forma: vd(t) = dn dtn v(t) = w(t) + ∑ k Akδ(t− tk) (95) • Na equac¸a˜o anterior, w(t) representa a parte da func¸a˜o vd(t) sem impulsos. O somato´rio presente e´ a soma de impulsos localizados nos instantes tk, com amplitude Ak, devido a`s descontinuidades (degraus) em d n−1 dtn−1 v(t) cujas derivadas resultam nos impulsos de vd(t) • Pelo teorema da derivac¸a˜o, se vd(t) = dndtn v(t), enta˜o: F{vd(t)} = Vd(f) = V (f) · (j2pif)n Vd(f)(j2pif) −n = V (f) (96) Logo: vd(t) = dn dtn v(t)↔ (j2pif)nV (f) = W (f) + ∑ k Akexp(−j2piftk) (97) • Se soubermos o formato de W (f) e os valores de Ak e tk, podemos escrever: V (f) = W (f) (j2pif)n + 1 (j2pif)n ∑ k Akexp(−j2piftk) (98) • Ale´m disso, se W (f) → 0 quando f → ∞, o comportamento de |V (f)| para altas frequeˆncias sera´ proporcional a|f |−n. Isto acontece porque, nestas condic¸o˜es, o termo dominante de V (f) e´ o somato´rio, cujos termos tem como mo´dulo Ak. O somato´rio esta´ sendo multiplicado por 1 (j2pif)n , resultando na proporcionalidade mencionada. • Dizemos que este espectro tera´ enta˜o roll-off de ordem n. • Se n e´ grande, ha´ pouca energia em altas frequeˆncias. Se n e´ pequeno, ha´ mais energia em altas frequeˆncias. • Um pulso retangular, por exemplo, tem descontinuidades ja´ na sua primeira derivada. Por isso, o roll-off de seu espectro (sinc) tem roll off de ordem 1 (isto e´, decaimento de 1/n) • Exemplo: Pulso cosseno levantado (diferente de filtro raiz de cosseno levantado) – Muito utilizado na pra´tica para limitar a banda de um sinal transmitido – O sinal base e suas primeiras treˆs derivadas sa˜o: v(t) = A 2 ( 1 + cos ( pit τ )) ·Π ( t 2τ ) dv(t) dt = − (pi τ ) A 2 ( sin ( pit τ )) ·Π ( t 2τ ) d2v(t) dt2 = − (pi τ )2 A 2 ( cos ( pit τ )) ·Π ( t 2τ ) d3v(t) dt3 = (pi τ )2 A 2 [δ(t+ τ)− δ(t− τ)] + (pi τ )3 A 2 ( sin ( pit τ )) ·Π ( t 2τ ) (99) 26 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 0 0.5 1 1.5 2 t v( t) -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -4 -2 0 2 4 t dv( t) dt -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -10 -5 0 5 10 t d2 v (t) dt2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -10 -5 0 5 10 t d3 v (t) dt3 Figure 14: Cosseno levantado e treˆs primeiras derivadas – O u´ltimo termo da terceira derivada pode ser escrito como −piτ 2 dvdt , permitindo chegar no seguinte espectro: F { d3v(t) dt3 } = (j2pif)3V (f) = (pi τ )2 A 2 [exp(j2pifτ)− exp(−j2pifτ)]− pi τ 2 (j2pif)V (f) (100) onde utilizamos tambe´m o fato de que F { dv(t) dt } =(j2pif)V (f) – Isolando V (f) e usando a identidade de Euler chegamos a:F V (f) = Aτ · sinc(2fτ) 1− (2fτ)2 (101) que decai aproximadamente com f3, muito mais ra´pido do que a sinc. A comparac¸a˜o do espectro do pulso cosseno levantado, do pulso retangular e do pulso triangular esta˜o na figura 15, para f > 0. Na comparac¸a˜o, todos os pulsos tem a mesma durac¸a˜o de 1 segundo e energia de 1J. – Transmisso˜es que utilizam este pulso conte´m melhor a energia dentro de uma banda do que a sinc. 2.5.5 Transformada de Fourier no tempo discreto e Transformada Discreta de Fourier Leitura para o laborato´rio. Presente na 5a. edic¸a˜o. 2.5.6 Exerc´ıcios Todas as 11 questo˜es conceituais do cap´ıtulo 2. Problemas: 2.1.1 2.1.2 2.1.5 2.1.8 2.1.9 2.1.12 2.1.13 2.2.1 2.2.4 2.2.12 2.2.14 2.3.1 2.3.6 2.3.8 2.4.1 2.4.5 2.4.6 2.4.8 2.5.2 2.5.4 2.5.10 2.5.13 2.5.14 27 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 f log 1 0(|V (f)|) Pulso quadrado Pulso triangular Pulso Cosseno levantado Figure 15: Comparac¸a˜o dos espectros dos treˆs pulsos estudados neste cap´ıtulo. Tente recriar esta figura, com a restric¸a˜o que os treˆs pulsos devem ter a mesma durac¸a˜o e a mesma energia. F 28
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