Sinais e Espectro - Instituto Tecnológico de Aeronáutica

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ELE-31 Princ´ıpios de Telecomunicac¸o˜es
Prof. Manish Sharma
August 26, 2015
2 Sinais e Espectro
O objetivo deste cap´ıtulo e´ relembrar algumas ferramentas necessa´rias para a ana´lise de sinais no domı´nio do
tempo e de frequeˆncia. Alguns conceitos novos tambe´m sa˜o apresentados.
2.1 Espectro de Linha e Se´rie de Fourier
• Uma onda senoidal pode ser descrita pela seguinte equac¸a˜o:
v(t) = A · cos(2pifot+ φ) (1)
onde A e´ a amplitude, φ e´ a fase da onda, f0 e´ a frequeˆncia em Hertz (Hz). A relac¸a˜o entre a frequeˆncia
e velocidade angular (em radianos por segundo) e´ fo ,
ω0
2pi
.
• A equac¸a˜o implica em periodicidade infinita mas pode ser utilizada para analisar sinais reais finitos (no
tempo).
• Representac¸a˜o equivalente: fasor.
• Representac¸a˜o fasorial e´ derivada da representac¸a˜o da equac¸a˜o anterior como uma soma de exponenciais
complexas:
exp(±jθ) = cos(θ)± jsin(θ) (2)
onde j ,
√−1.
• Desta forma temos que a parte real de uma exponencial complexa e´:
<{Aexp [j (2pifot+ φ)]} = A · cos(2pifot+ φ) (3)
• Esta representac¸a˜o se chama fasorial pois o interior das chaves pode ser visto como um vetor no plano
complexo com amplitude A centrado na origem que gira com o tempo com a velocidade indicada. A parte
real e´ a projec¸a˜o deste vetor no eixo real, como mostra a figura abaixo:
• Um fasor e´ enta˜o definido por 3 elementos:
– Amplitude A
– Fase φ
– Frequeˆncia fo
• O mesmo fasor pode ser descrito graficamente no domı´nio de frequeˆncia (varia´vel independente f) se estes
paraˆmetros forem apresentados, o que exige dois gra´ficos: um de amplitude e um de fase.
1
𝐴 
𝑓0 
𝜙 
ℜ 
ℑ 
Figure 1: Fasor
𝑓 
𝑓0 
𝑓 
𝑓0 
𝐴 
𝜙 
A
m
p
li
tu
d
e 
F
as
e 
Figure 2: Diagrama fasorial de amplitude e de fase
• Resumidamente podemos chamar este diagrama (ou outros com informac¸o˜es similares) como espectro pois
nos permite ver o que o sinal representa no domı´nio de frequeˆncias.
• Convenc¸o˜es:
– Varia´vel independente e´ a frequeˆncia f e na˜o a velocidade angular ω.
– Fases sa˜o relativas ao cosseno, isto e´, a fase de um cosseno e´ zero. A relac¸a˜o entre seno e cosseno e´:
2
sin(2pift) = cos(2pift− 90o).
– Amplitude e´ sempre positiva. Amplitudes negativas sa˜o compensadas pela fase para torna´-las posi-
tivas. Isto e´, −cos(2pif0t) = cos(2pif0t+ 180o)
– Fases de ±1800 sa˜o iguais.
– Fases sa˜o apresentadas em graus, com o s´ımbolo o, ou em radianos, dependendo do contexto..
• Exemplo: w(t) = 7−10cos(40pit−60o)+4sin(120pit) = 7cos(0pit)+10cos(2pi20t+120o)+4cos(2pi60t−90o).
Este sinal tem o diagrama fasorial da figura 3.
𝑓 𝑓 A
m
p
li
tu
d
e 
F
as
e 
0 20 40 60 0 20 40 
60 
7 
10 
4 
120o 
-90o 
Figure 3: Diagrama fasorial de w(t)
• Estes diagramas sa˜o unilaterais e representam frequeˆncias positivas
• Uma representac¸a˜o bilateral pode ser u´til para representar sinais utilizados na pra´tica. Ela pode ser obtida
atrave´s da identidade:
<{z} = z + z
∗
2
(4)
ou seja:
<{Aexp [jφ] exp [j (2pifot)]} = A
2
[exp(−jφ)exp(−2pifojt) + exp(jφ)exp(2pifojt)] (5)
• Os termos individuais da equac¸a˜o anterior na˜o sa˜o necessariamente reais, mas a soma necessariamente e´.
• Podemos desenhar o diagrama fasorial bilateral a partir da equac¸a˜o anterior, resultando, para o exemplo
anterior, na figura 4
• Para sinais reais, o gra´fico bilateral de amplitude tem simetria par e o gra´fico bilateral de fase tem simetria
ı´mpar
3
A
m
p
li
tu
d
e 
𝑓 
0 20 40 60 
7 
5 
2 
𝑓 
0 
-20 
-40 -60 
-120o 
90o 
𝑓 
F
as
e 
20 40 
60 
120o 
-90o 
𝑓 
-20 -40 -60 
5 
2 
Figure 4: Diagrama fasorial bilateral de w(t)
• Comparando os dois diagramas, o bilateral possui metade do valor das amplitudes, exceto na origem
(f = 0). F1
• A vantagem de utilizar o espectro bilateral e´ porque ele permite a representac¸a˜o de sinais complexos, que
sera˜o u´teis futuramente.
• Uma u´nica linha representa enta˜o:
– Uma senoide no espectro unilateral
– Uma exponencial complexa no espetro bilateral
• Tanto as frequeˆncias positivas como as frequeˆncias ”negativas”(abstrac¸a˜o matema´tica) devem ser consid-
eradas ao desenhar o espectro bilateral.
• O espectro de amplitude e´ normalmente mais utilizado pois conte´m informac¸a˜o sobre quais frequeˆncias
esta˜o presentes e quanto elas sa˜o ”fortes”, o que so´ veremos formalmente depois.
2.1.1 Sinais perio´dicos e poteˆncia me´dia
• Um sinal v(t) e´ perio´dico se v(t± nT0) = v(t), para −∞ < t <∞ e qualquer m inteiro.
• Na equac¸a˜o anterior, o menor valor de T0 que satisfaz a igualdade e´ o per´ıodo fundamental do sinal.
• Podemos aproximar, com consequeˆncias, sinais reais como sinais perio´dicos.
• A representac¸a˜o que utilizaremos posteriormente necessita que a poteˆncia me´dia deste sinal seja finita, o
que definiremos a seguir.
• O valor me´dio no tempo de uma func¸a˜o v(t) qualquer e´ < v(t) > , calculada via:
1Cabe ao aluno verificar as afirmac¸o˜es sempre que o s´ımbolo F aparecer.
4
< v(t) >= lim
T→∞
1
T
∫ T
2
−T2
v(t)dt (6)
• Quando v(t) e´ perio´dica com per´ıodo T0 esta equac¸a˜o fica:
< v(t) >=
1
T0
∫ t1+T0
t1
v(t)dt =
1
T0
∫
T0
v(t)dt (7)
• Para determinar a poteˆncia de um sinal, e´ preciso saber qual grandeza ele representa. Por convenc¸a˜o,
assumimos que o sinal v(t) e´ ou uma corrente ou uma tensa˜o aplicada sobre uma resisteˆncia de 1Ω, de
forma que a poteˆncia me´dia deste sinal e´, pela Lei de Ohm:
Pv =< |v(t)|2 >= 1
T0
∫
T0
|v(t)|2dt (8)
onde utilizamos o mo´dulo pois v(t) pode ser complexo2
• Quando 0 < Pv <∞, o sinal v(t) e´ chamado de sinal de poteˆncia perio´dico.
• Para sinais senoidais com amplitude A, a poteˆncia e´ P = A22
2.1.2 Se´rie de Fourier (S.F.)
• Permite representar sinais perio´dicos como soma de exponenciais complexas
• Seja v(t) um sinal de poteˆncia perio´dico com per´ıodo fundamental T0 = 1/f0. O valor de f0 e´ a frequeˆncia
fundamental. Este sinal pode ser escrito como :
v(t) =
∞∑
n=−∞
cn · exp(j2pinf0t) (9)
para n = 0, 1, 2, ...,, com coeficientes dados por:
cn =
1
T0
∫
T0
v(t) · exp(−j2pifot)dt = |cn|exp(j · arg(cn)) (10)
onde arg(cn) retorna a fase do nu´mero complexo cn
• A equac¸a˜o se encontra na forma exponencial. Poderia ser dividia na forma senoidal separando o somato´rio
em somas de cossenos e senos, estes u´ltimos multiplicados pela constante j.
• Comparando com a definic¸a˜o de valor me´dio, o valor de cn pode ser interpretado como o valor me´dio
do que esta´ sendo integrado. Este, por sua vez, pode ser visto como o produto interno de v(t) com a
exponencial complexa.
• O somato´rio tambe´m pode ser interpretado como uma soma de fasores com frequeˆncia mu´ltipla inteira da
frequeˆncia fundamental do sinal v(t), isto e´, 0,±f0,±2f0, ....
• Logo, V (f), o espectro de linha bilateral de v(t) e´ definido pelos valores de cn, de tal forma que V (nf0) = cn
• Propriedades do espectro de sinais perio´dicos:
– Todas as frequeˆncias presentes sa˜o harmoˆnicos (mu´ltiplos inteiros) da frequeˆncia fundamental f0 =
1/T0, i.e., linhas sa˜o uniformemente espac¸adas.
2Neste caso a poteˆncia que estamos calculando e´ equivalente a poteˆncia aparente
5
– Valor em f = 0 (normalmente chamado de D.C.) e´ o valor me´dio do sinal:
c0 =
1
T0
∫
T0
v(t)dt =< v(t) > (11)
– Para sinais reais:
c−n = c∗n = |cn|exp(−jarg(cn)) (12)
isto e´, amplitudes tem simetria par e fases tem simetria ı´mpar
• A u´ltima propriedade permite reagrupar elementos da se´rie, dois a dois, exceto c0, ou que nos permite
escrever:
v(t) = c0 +
∑∞
n=1 |2cn|cos(2pinf0t+ arg(cn))
ou
v(t) = c0 + 2 ·
∑∞
n=1[ancos(2pinf0t) + bnsin(2pinf0t)]an = <{cn}, bn = ={cn}
(13)
• As func¸o˜es seno e cosseno da equac¸a˜o anterior formam uma base de func¸o˜es ortogonais em T0
• Duas func¸o˜es vn(t) e vm(t) sa˜o ortogonais em um intervalo t1 a t2 se:∫ t2
t1
vn(t)vm(t)dt =
{
0, se n 6= m
K, constante, se n = m
(14)
• Assim, a Se´rie de Fourier pode ser vista como a descric¸a˜o de um sinal atrave´s da combinac¸a˜o linear das
bases do espac¸o de sinais. O ca´lculo de cn nada mais e´ do que o ca´lculo da projec¸a˜o do sinal na base
correspondente, assim como e´ feito em A´lgebra Linear.
• Formas ortogonais sa˜o utilizadas em um tipo de modulac¸a˜o (QAM)
• Muitas vezes para calcular cn temos que resolver uma integral do seguinte tipo:
1
T
∫ T/2
−T/2
exp(j2pift)dt =
1
j2pifT
exp(j2pift)|T/2−T/2 =
1
pifT
sin(pifT ) (15)
que e´ o valor me´dio de um fasor com frequeˆncia f qualquer avaliado durante um intervalo que na˜o e´
necessariamente o seu per´ıodo
• Como esta func¸a˜o aparece muito, damos o nome de sinc(λ) = sin(piλ)/piλ, onde λ e´ adimensional.F
• O seu formato aproximado e´ dado pela figura 5:
• Propriedades de sinc(λ)
– A amplitude (envolto´ria) decai com 1/λ.
– A simetria e´ par.
– O seu valor e´ 1 quando λ = 0, e vale 0 quando λ = ±1,±2, ...
• Exemplo: trem de pulsos retangulares (figura 2.1.2)
– v(t) na˜o e´ definido nas descontinuidades, aproximac¸a˜o de caso real.
– O intervalo de integrac¸a˜o e´ um per´ıodo T0, de −T0/2 ate´ T0/2
– Neste intervalo v(t) = A para |t|, τ/2 e 0 caso contra´rio
6
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1

sin
c( 
)
Figure 5: Formato de sinc(λ) =
sin(λx)
λx
– Logo:
cn =
1
T0
∫ T0/2
−T0/2
v(t) · exp(−j2pifot)dt
=
1
T0
∫ τ/2
−τ/2
A · exp(−j2pifot)dt
=
A
−T0 (j2pif0n)exp(−j2pif0nt)|
τ/2
−τ/2
=
A
T0
sin(pif0nτ)
pif0nτ
=
Aτ
T0
sinc(f0nτ)
(16)
– Para visualizar o espectro de amplitude e fase consideramos os valores nume´ricos de τ/T0 = f0τ =
1/4:
– Ha´ zeros em ±4f0,±8f0, pois nestes pontos a func¸a˜o sinc vale 0;
– O valor em f = 0 e´ o valor D.C, pode ser obtido por inpec¸a˜?ao, e´ igual a τ/T0
– Os valores de cn sa˜o reais e as vezes negativos. Quando positivos, a fase e´ 0, quando negativo a fase
e´ ±180o. Neste caso, escolhemos o sinal de forma a manter a simetria necessa´ria.
– Recomposic¸a˜o de v(t) via somato´rio:
v(t) =
A
4
+
√
2A
pi
cos(2pif0t) +
A
pi
cos(4pif0t) +
√
2A
3pi
cos(6pif0t) + · · · (17)
– Aproximac¸a˜o pode ser feita considerando um nu´mero finito de termos deste somato´rio, como mostra
a figura abaixo.
– Enta˜o, o somato´rio acima converge para v(t) neste caso quando o nu´mero de termos utilizados tende
para infinito
7
t =0 
... ... 
T0 
τ τ 
-T0 
τ 
-15 -10 -5 0 5 10 15
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
n
c n
2.1.3 Condic¸o˜es para convergeˆncia e fenoˆmeno de Gibbs
• Nem sempre uma se´rie converge.
• Condic¸o˜es de Dirichlet para convergeˆncia(suficientes mas na˜o estritamente necessa´rios):
– Nu´mero finito de ma´ximos e mı´nimos por per´ıodo
– v(t) e´ absolutamente integra´vel por per´ıodo
• Condic¸a˜o alternativa: |v(t)|2 tem me´dia finita por per´ıodo, o que e´ equivalente a dizer que e´ um sinal de
poteˆncia.
• Assim, sendo vN (T ) =
∑N
n=−N cn · exp(j2pinf0t), temos;
lim
N→∞
∫
T0
|v(t)− vN (t)|dt = 0 (18)
• Fenoˆmeno de Gibbs
– Nos pontos de descontinuidade a soma parcial vN (t) converge para o ponto me´dio de descontinuidade.
– Ale´m disso, em cada uma das extremidades ha´ oscilac¸o˜es com per´ıodo de T0/2N e pico de aproxi-
madamente 9% do degrau.
– Em sinais reais este fenoˆmeno na˜o existe pois eles sa˜o cont´ınuos. Por outro lado, sinais sintetizados
pela soma de um nu´mero finito de termos de uma Se´rie de Fourier de um sinal com descontinuidades
podem apresentar este comportamento.
– Fenoˆmeno implica em cuidados ao usar filtros reais aproximados como ideais.
2.1.4 Teorema de Parseval
• Relac¸a˜o entre poteˆncia de um sinal perio´dico v(t) e seus coeficientes cn e´:
Pv =
1
T0
∫
T0
|v(t)|2dt = 1
T0
∫
T0
v(t)v∗(t)dt (19)
8
• Como v∗(t) =
∞∑
n=−∞
c∗nexp(−j2pinfot), temos que, substituindo na equac¸a˜o anterior:
Pv =
1
T0
∫
T0
v(t)
∞∑
n=−∞
c∗nexp(−j2pinfot)dt
=
∞∑
n=−∞
1
T0
[∫
T0
v(t)exp(−j2pinfot)
]
c∗ndt
=
∞∑
n=−∞
cnc
∗
n
=
∞∑
n=−∞
|cn|2
(20)
• Logo, a poteˆncia me´dia de um sinal perio´dico e´ igual a soma dos coeficientes de sua se´rie de Fourier.
• Este ca´lculo na˜o envolve o espectro de fases
• A poteˆncia total de um sinal perio´dico e´ igual a soma das poteˆncias de cada um dos componentes da se´rie.
• Este resultado tambe´m pode ser derivado levando em considerac¸a˜o que as func¸o˜es cos(2pinf0t) e cos(2pimf0t)
sa˜o ortogonais no intervalo T0, para n 6= m inteiros.
2.2 Transformada de Fourier e Espectro cont´ınuo
• Sinais na˜o perio´dicos com energia finita podem ser analisados com a Transforada de Fourier (TF).
• Em condic¸o˜es semelhantes a`s anteriores, um sinal v(t) na˜o perio´dico e´ um sinal de energia se:
Ev ,
∫ ∞
−∞
|v(t)|2dt (21)
e´ finita.
9
• A TF pode ser vista como um limite da se´rie de Fourier quanto T0 →∞ ou f0 → 0. O somato´rio da Se´rie
de Fourier se transforma em uma integral:
v(t) =
∫ ∞
−∞
[∫ ∞
−∞
v(t)exp(−j2pift)dt
]
exp(j2pift)df (22)
• A transformada de Fourier de um sinal v(t) e´ uma func¸a˜o V (f) obtida atrave´s de:
V (f) , F{v(t)} ,
∫ ∞
−∞
v(t) · exp(−j2pift)dt (23)
• A transformada de Fourier inversa (IFT) e´ definida como:
v(t) , F−1{V (F )} ,
∫ ∞
−∞
V (f) · exp(j2pift)df (24)
• Assim como a se´rie de Fourier, F−1{V (F )} converge para v(t).
• Circularmente, v(t) = F−1{F{v(t)}}, mas ainda provaremos isto.
• Comparando com a se´rie de Fourier, V (F ) e´ o espectro cont´ınuo de v(t)
• Propriedades:
– V (f) e´ uma func¸a˜o potencialmente complexa, no sentido de ter termos reais e imagina´rios.
– V (f = 0) e´ a a´rea de v(t), isto e´, V (0) =
∫∞
−∞ v(t)dt
– Se v(t) e´ real, V (−f) = V ∗(f). Consequentemente:
∗ |V (−f)| = |V (f)| → a amplitude possui simetria par
∗ arg[V (−f)] = −arg[V (f)]→ a fase possui simetria ı´mpar
∗ Func¸o˜es que obedecem ambas estas simetrias sa˜o func¸o˜es com simetria Hermitiana
• Exemplo: pulso retangular
– Definimos um pulso retangular gene´rico como:
Π
(
t
τ
)
,
{
1, |t| < τ2
0, cc.
(25)
– A func¸a˜o que desejamos transformar e´ v(t) = AΠ
(
t
τ
)
– Logo:
V (f) =
∫∞
−∞ v(t) · exp(−j2pift)dt
=
∫ τ/2
−τ/2A · exp(−j2pift)
= Aτsinc(fτ)
(26)
– Da figura conclu´ımos que:
∗ Grande parte da energia esta´ entre −1/τ e 1/τ
∗ Quanto mais curto o pulso, maior o espalhamento espectral, pois τ diminui e 1/τ aumenta.
10
]
2.2.1 Sinais sime´tricos
• Sinais com algum tipo de simetria possuem TF simplificadas.
• Instante t = 0 pode dentro de alguns limites ser escolhido livremente mas instante f = 0 na˜o pode pois
ha´ significado f´ısico no seu valor
• Usando a identidade de Euler, podemos escrever uma TF como:
V (f) = Ve(f) + jVo(f) (27)
onde :
Ve(f) ,
∫ ∞
−∞
v(t)cos(2pift)dt
Vo(f) , −
∫ ∞
−∞
v(t)sin(2pift)dt
(28)
• A priori na˜o ha´ nenhum tipo de simetria nestas func¸o˜es.
• Se v(t) e´ real, <{V (f)} = Ve(f) e ={V (f)} = Vo(f). (F Mostre que isto na˜o e´ verdade quando v(t) na˜o
e´ real, mas que uma afirmac¸a˜o semelhante pode ser feita para quando v(t) e´ um sinal imagina´rio)
• Para uma func¸a˜o gene´rica w(t) que pode representar tanto v(t)cos(2pift) ou v(t)sin(2pift)dt, temos :
∫ ∞
−∞
w(t)dt =
∫ 0
−∞
w(t)dt+
∫ ∞
0
w(t)dt =
2
∫ ∞
0
w(t)dt, se w(t) e´ par
0, se w(t) e´ impar
(29)
• Quando v(t) tem simetria par, v(t) = v(−t):
– v(t)cos(2pift) tem simetriapar
– v(t)sin(2pift) tem simetria impar
11
– Logo
V (f) = Ve(f) = 2
∫ ∞
0
v(t)cos(2pift)dt
Vo(f) = 0
(30)
• Quando v(t) tem simetria ı´mpar, v(t) = −v(−t):
– v(t)cos(2pift) tem simetria impar
– v(t)sin(2pift) tem simetria par
– Logo
V (f) = jVo(f) = 2
∫ ∞
0
v(t)sin(2pift)dt
Ve(f) = 0
(31)
• Conclusa˜o: espectro de um sinal real com simetria par e´ real. O espectro de um sinal real com simetria
ı´mpar e´ imagina´rio.
2.2.2 Sinais causais
• Sinais causais sa˜o aqueles que dependem somente do passado e do presente, nunca do futuro.
• Assim, um evento no presente so´ pode alterar o futuro
• Sinais do mundo real, pelo nosso conhecimento, sa˜o causais
• Um modelo que pode ser utilizado para este tipo de sinal e´ dizer que v(t) = 0 para t < 0, i.e., o sinal
comec¸a em ou depois de t = 0.
• Uma consequeˆncia deste modelo e´ que na˜o ha´ nenhum tipo de simetria no sinal. Logo, o espectro tera´
termos reais e complexos
• A TF adquire o formato de:
V (f) =
∫ ∞
0
v(t)exp(−j2pift)dt (32)
que e´ equivalente a` transformada de Laplace (TL) limitada ao c´ırculo complexo unita´rio, definida como:
L{v(t)} ,
∫ ∞
0
v(t)exp(−st)dt
∣∣∣∣
s=j2pif
(33)
• Logo, se v(t) e´ um sinal causal de energia na˜o perio´dico, pode-se obter a TF a partir a TL
• Exemplo:
v(t) =
{
Aexp(−bt), t > 0
0, cc.
L{v(t)}
∣∣∣∣
s=j2pif
=
A
b+ j2pif
= A
b− j2pif
b2 + (2pif)2
Ve(f) = <{V (f)} = Ab
b2 + (2pif)2
Vo(f) = ={V (f)} = − A2pif
b2 + (2pif)2
(34)
12
• Poder´ıamos extrair o mo´dulo e a fase da TF atrave´s de:
Modulo =
√
V 2e (f) + V
2
o (f)
Fase = tan−1
(
Vo(f)
Ve(f)
)
(35)
2.2.3 Teorema de Energia de Rayleigh
• Semelhante ao teorema de Parseval para poteˆncias:
E =
∫ ∞
−∞
V (f)V ∗(f)df =
∫ ∞
−∞
|V (f)|2df (36)
• O valor |V (f)|2 indica a distribuic¸a˜o de energia no espac¸o de frequeˆncias
• Para sinais a serem projetados, isto implica que a maior parte da energia deve estar dentro da banda
desejada/permitida
2.2.4 Teorema de dualidade
• Se F{v(t)} = V (f) e existe z(t) tal que z(t) = V (f = t) enta˜o
F{z(t)} = v(−f) (37)
isto e´, a TF de uma func¸a˜o z(t) pode ser calculada atrave´s da IFT, com uma troca de varia´veis e de sinal,
desde que z(t) tenha o formato de uma func¸a˜o cuja IFT conhecemos.
• Esta propriedade e´ u´til por exemplo quando v(t) e´ real e possui simetria par, pois V (f) tambe´m sera´.
Neste caso podemos ignorar a troca de sinais. F.
• Exemplo z(t) = Asinc(2Wt), onde W representa a banda do sinal (onde esta´ a maior parte da energia)
– Sabemos que para v(t) = BΠ( tτ )⇔ V (f) = Bτsinc(fτ)
– Reescrevendo z(t)temos:
z(t) =
A
2W
2Wsinc(2Wt) (38)
e as varia´veis se relacionam como:
A
2W = B
2W = τ
t = f
(39)
– Logo
Z(f) =
A
2W
Π
(
f
2W
)
(40)
– O sinal sinc no tempo e´ limitado em banda e infinito no tempo, enquanto que o sinal Π(t) e´ finito
no tempo e infinito em banda.
2.2.5 Considerac¸o˜es pra´ticas sobre a TF
• 1a opc¸a˜o: tabelas de transformadas ou combinac¸o˜es de transformadas
• 2a opc¸a˜o: Propriedade da dualidade
• 3a opc¸a˜o: Transformada de Laplace, quando houver
• 4a opc¸a˜o: aproximac¸o˜es.Caso z˜(t) ≈ z(t), |z˜(t) − z(t)| e´ pequeno, Z(f) = F{z(t)} e ˜Z(f) = F{ ˜z(t)},
enta˜o: ∫ ∞
−∞
|Z(f)− ˜Z(f)|2df =
∫ ∞
−∞
|z(t)− ˜z(t)|2dt (41)
devido ao teorema de Rayleigh. Isto e´, o erro acumulado no tempo se mantera´ em frequeˆncia.
13
2.3 Propriedades da Transformada de Fourier
Ajudam a analisar/calcular alguns tipos de sinais.
2.3.1 Superposic¸a˜o
Se v(t) = a1 · v1(t) + a2v2(t) enta˜o F{v(t)} = a1 · V1(f) + a2V2(f), ou, genericamente:
F
{∑
k
vk(t)
}
=
∑
k
Vk(f) (42)
onde F{vk(t)} = Vk(f).
2.3.2 Deslocamento no tempo
Dada uma func¸a˜o v(t) ela pode ser atrasada em td ao escrevermos v
′(t) = v(t− td). Neste caso:
F{v′(t)} =
∫ ∞
−∞
v(t− td)exp(−j2pift)dt (43)
Com uma transformac¸a˜o de varia´veis t′ = t− td e t = t′ + d chegamos e:
F{v′(t)} =
∫ ∞
−∞
v(t′)exp[−j2pif(t′ + td)]dt
= exp(−j2piftd)
∫ ∞
−∞
v(t′)exp[−j2pif(t)]dt
= exp(−j2piftd)V (f)
(44)
2.3.3 Mudanc¸a de escala
Quando desejamos mudar a escala de tempo, multiplicamos a varia´vel tempo por uma constante, isto e´ , t′ = αt.
O sinal resultante e´ v(αt). Com |α| < 1 o sinal e´ comprimido no tempo e com |α| > 1 o tempo e´ estendido.
Com α < 0 ha´ reversa˜o temporal. Utilizando t′ = αt, temos que dt
′
dt = α. Asim, a TF fica:
F{v(αt)} =
∫ ∞
−∞
v(t′)exp
(
−j2pif t
′
α
)
dt
|α|
=
1
|α|V (f
′)
=
1
|α|V
(
f
α
) (45)
onde f ′ = fα .
A raza˜o para utilizarmos o mo´dulo de α e´ que, quando α < 0, os limites de integrac¸a˜o acabam sendo
trocados. Para permanecer com os mesmos limites, multiplicamos a integral por menos um. Esta multiplicac¸a˜o
resulta em |α|.
• Exemplo: Sendo v(t) = A · Π ( tτ ), temos um sinal za(t) = v(t − td) − v(t − (td + T )) que e´ composto de
dois pulsos retangulares, como mostra a figura 6. Assim:
V (f) = Aτ(sinc(fτ)
Za(f) = V (f)exp(−j2piftd)− V (f)exp(−j2pi(td + T ))
= V (f)[exp(−j2piftd)− exp(−j2pi(td + T ))]
(46)
14
... ... 
τ 
τ 
td 
td+T 
td+T/2 
Figure 6: Dois pulsos retangulares
• Podemos escrever a seguinte identidade:
exp(j2θ1)± exp(j2θ2) = [exp(j(θ1 − θ2))± exp(−j(θ1 − θ2))]exp(j(θ1 + θ2)
=
{
2cos(θ1 − θ2)exp(j(θ1 + θ2)
j2sin(θ1 − θ2)exp(j(θ1 + θ2)
(47)
• No caso deste exemplo, θ1 = −piftd e θ2 = −pif(td + T ). Definindo t0 = td + T/2(o ponto central entre
os dois pulsos) temos que θ1 − θ2 = pifT ) e θ1 + θ2 = 2pift0, resultando em:
Za(f) = [Aτsinc(fτ ][j2sin(jpifT )][exp(j2pift0)] (48)
• Definindo arbitrariamente que t0− = 0 eliminamos a u´ltima exponencial. O formato de zb(t) = za(t)
∣∣∣∣
t0=0
fica com simetria ı´mpar e o valor de sua TF e´:
Zb(f) = Aτsinc(fτ)(j2sin(pifτ))×
(
pifτ
pifτ
)
= Aτ(j2pifτ · sinc2(fτ)),
(49)
isto e´, o espectro e´ puramente imagina´rio pois a func¸a˜o zb(t) tem simetria ı´mpar
2.3.4 Translac¸a˜o em frequeˆncia e Modulac¸a˜o
• Seja v(t) com uma TF V (f). A multiplicac¸a˜o no tempo de v(t) por uma exponencial complexa causa a
translac¸a˜o em frequeˆncia, isto e´:
F{v(t) · exp(j2pif0t)} = V (f − f0) (50)
isto e´, o espectro fica centrado em f0
• Assim, se v(t) tem conteu´do de energia entre ±W (sendo real), o seu espectro pode ser representado
genericamente pela figura ??c¸a˜ocap2modulac¸a˜o(a).
15
f=0 
f=0 
f=0 
f=fc 
f=fc f=-fc 
(a) 
(b) 
(c) 
f=W 
f=fc+W f=fc-W 
Figure 7: Transformadas de Fourier de: (a) v(t); (b) v(t) · exp(j2pif0t); (c) v(t) · cos(j2pif0t). Ha´ uma reduc¸a˜o
de amplitude no terceiro espectro por um fator de 2.
• Podemos fazer este sinal ocupar a faixa de fc ±W multiplicando v(t) pela exponencial complexa apropriada.
• O espectro resultante ocupa uma banda de 2W exclusivamente de bandas positivas (sendo fc > W ) e conse-
quentemente na˜o possui simetria em torno de f = 0.
• Logo, o sinal resultante no tempo e´ complexo, o que pode ser um problema para o tratamento de sinais reais.
• Soluc¸a˜o: multiplicar v(t) por um seno ou cosseno, resultando no teorema de modulac¸a˜o:
v(t)cos(2pifct+ φ)↔ V (f − fc)exp(jφ)
2
+
exp(−jφ)
2
V (f + fc) (51)
isto e´, multiplicar um sinal por ondas senoidais equivale a transladar o espectro para ±fc, dividindo a cada
uma das co´pias por dois.
• Sendo o sinal original real, o espectro do produto final sera´ Hermitiano.
• Exemplo: pulso de ra´dio frequeˆncia, utilizado frequentemente em radares.
– Senoide finita com fc na faixa de ra´dio frequeˆncia:
z(t) = AΠ
(
t
τ
)
· cos(2pifct) (52)
– Este sinal pode ser visto como o produto de um pulso retangular com largura τ e um cosseno com
frequeˆncia fc, como mostra a figura 8
– A TF do pulso retangular e´ Aτsinc(fτ).Logo, a TF de z(t) sera´, utilizando o teorema da modulac¸a˜o:
Z(f) =
Aτ
2
[sinc((f − fc)τ) + sinc((f + fc)τ)] (53)
– O espectro resultante tem o seguinte formato da figura 9
16
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
z(t
)
Figure 8: Pulso de ra´dio frequeˆncia para fc = 2.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
f
|Z(
f)|
Figure 9: Espectro de Z(f)(mo´dulo), para fc = 2.
17
– Embora a senoide tenha frequeˆncia igual a fc, ela e´ finita no tempo. Por este motivo ha´ energia fora
de fc
– Caso a senoide fosse infinita, poder´ıamos utilizar um espectro de linha representado uma se´rie de
Fourier ou um o limite da transformada, que veremos depois.
2.3.5 Diferenciac¸a˜o
• Utilizando a IFT, podemos escrever:
d
dt
v(t) =
d
dt
[∫ ∞
−∞
V (f) · exp(j2pift)df
]
(54)
• Como a exponencial dentro da integral e´ a u´nica coisa que depende do tempo, reescrevemos:
d
dt
v(t) =
∫ ∞
−∞
V (f) · d
dt
(exp(j2pift)) df
=
∫ ∞
−∞
V (f)j2pi · f · exp(j2pift)df
(55)
• Como a equac¸a˜o acima ainda e´ uma transformada de Fourier inversa, aquilo que na˜o faz parte da expo-
nencial faz parte da Transformada de Fourier de ddtv(t). Logo:
F
{
d
dt
v(t)
}
= V (f)j2pif (56)
ou genericamente, chegamos no teorema de diferenciac¸a˜o:
F
{
dn
dtn
v(t)
}
= V (f)(j2pif)n (57)
2.3.6 Integrac¸a˜o
• Seja z(t) = ∫ t−∞ v(λ)dλ, onde λ e´ uma varia´vel dummy.
• Se V (0) = ∫∞−∞ v(λ)dλ = 0, garantimos que z(t) convergira´ para 0 quando t→∞.
• Utilizando o caminho contra´rio ao da derivada, chegamos no teorema da integrac¸a˜o:
F
{∫ t
−∞
v(λ)dλ
}
=
1
j2pif
V (f) (58)
• Os principais resultados destas u´ltimas duas sec¸o˜es sa˜o:
– Ao derivar um sinal, as suas frequeˆncias mais altas sera˜o amplificadas e as mais baixas reduzidas,
devido ao fator f multiplicando a TF resultante.
– Ao integrar um sinal, as suas frequeˆncias mais baixas sera˜o amplificadas e as mais altas reduzidas,
devido ao fator f multiplicando a TF resultante.
• Exemplo: Pulso triangular.
– O sinal zb(t) = AΠ
(
t+ τ2
τ
)
−AΠ
(
t− τ2
τ
)
tem me´dia zero. Logo, podemos obter um novo sinal baseado
na integral de zb(t) e este sinal tera´ uma transformada de Fourier. Assim:
w(t) =
1
τ
∫ t
−∞
zb(λ)dλ =
{
A
(
1− |t|τ
)
, |t| < τ
0, |t| > τ
(59)
18
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
(t)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f
F) $! t ="*
Figure 10: Sinal Λ(t) e seu espectro.
– Aplicando o teorema de integrac¸a˜o temos que :
W (f) =
1
τ
1
j2pif
Zb(f) = Aτ
j2pifτ
j2pifτ
sinc2(fτ) = Aτsinc2(fτ) (60)
– Em comparac¸a˜o com o pulso retangular, o pulso triangular tem menos energia em altas frequeˆncias.
– Isto acontece porque na˜o ha´ descontinuidades neste sinal.
– A sua durac¸a˜o e´ 2τ , enquanto que o pulso retangular dura somente τ .
– Notac¸a˜o:
Λ
(
t
τ
)
,
{
1− |t|τ , |t| < τ
0, |t| > τ
F {Λ ( tτ )} = Aτsinc2(fτ) (61)
– A figura 10 mostra o pulso triangular no tempo e o mo´dulo do seu espectro, para τ = 1. Para
comparac¸a˜o, o mo´dulo do pulso quadrado com largura τ = 1 tambe´m esta´ desenhado na linha
tracejada.
2.4 Convoluc¸a˜o
• Muitos sinais reais sa˜o obtidos atrave´s da convoluc¸a˜o de outros dois sinais.
• A integral da convoluc¸a˜o e´:
v(t) ∗ w(t) ,
∫ ∞
−∞
v(λ)w(t− λ)dλ (62)
onde a varia´vel independente e´ t
• A integral tambe´m pode ser vista como a superposic¸a˜o de va´rias respostas de um sistema a impulsos
aplicados a ele, como por exemplo a reverberac¸a˜o numa sala ou o eco de uma caverna
• Uma das func¸o˜es da integral normalmente e´ limitada no tempo, o que facilita o seu ca´lculo.
19
• Exemplo:
– As func¸o˜es a serem convolu´ıdas sa˜o:
v(t) = A · exp(−t) 0 < t <∞
w(t) =
t
T
0 < t < T
w(t− λ) = t− λ
T
0 < t− λ < T
= −λ− t
T
t− T < λ < t
(63)
– Em func¸a˜o de λ, w(t) deve sofrer reversa˜o e deslocamento da origem para o instante = t.
– Quando t < 0 ha´ v(λ) ·w(t− λ) = 0 para qualquer valor de λ. Logo, nesta situac¸a˜o, v(t) ∗w(t) = 0.
– Quando 0 < t < T , a superposic¸a˜o e´ parcial e a integral fica:
v(t) ∗ w(t) =
∫ t
0
Aexp(−λ)
(
t− λ
T
)
dλ
=
A
T
[t− 1 + exp(−t)]
(64)
– Quando T < t, a superposic¸a˜o e´ completa e a integral fica:
v(t) ∗ w(t) =
∫ t
t−T
Aexp(−λ)
(
t− λ
T
)
dλ
=
A
T
[T − 1 + exp(−T )]exp[−t− T )]
(65)
2.4.1 Teoremas de Convoluc¸a˜o
• A convoluc¸a˜o e´
– comutativa: v(t) ∗ w(t) = w(t) ∗ v(t)
– associativa: v(t) ∗ (w(t) ∗ (z(t)) = (v(t) ∗ w(t)) ∗ (z(t)
– distributiva: v(t) ∗ (w(t) + (z(t)) = v(t) ∗ w(t) + v(t) ∗ z(t)
• O teorema de convoluc¸a˜o diz que:
v(t) ∗ w(t)↔ V (f) ·W (f) (66)
isto e´: a convoluc¸a˜o no domı´nio do tempo equivale ao produto no domı´nio da frequeˆncia.
• Tambe´m:
v(t)cdotw(t)↔ V (f) ∗W (f) (67)
isto e´: a convoluc¸a˜o no domı´nio da frequeˆncia equivale ao produto no domı´nio do tempo.
• Prova da primeira parte:
F{v(t) ∗ w(t)} =
∫ ∞
−∞
[∫ ∞
−∞
v(λ) · w(t− λ)dλ
]
exp(−j2pift)dt
=
∫ ∞
−∞
v(λ)
[∫ ∞
−∞
·w(t− λ)exp(−j2pift)dt
]
dλ
=
∫ ∞
−∞
v(λ) [W (f)] exp(−j2pifλt)dλ
= W (f)V (f)
(68)
onde utilizamos os fatos de que v(λ) na˜o depende de t, a propriedade de descolamento no tempo da TF,
que W (f) na˜o depende de λ e que na u´ltima integral a varia´vel λ esta´ fazendo o papel de t na transformada
de Fourier.
20
 
t =0 
v(t)*w(t) 
τ1+τ2 
 
τ1-τ2 
 
t 
Figure 11: Resultado da convoluc¸a˜o de dois pulsos retangulares com largura diferente
• Exemplo: pulso trapezoidal
– Um pulso trapezoidal pode ser obtido com a convoluc¸a˜o de dois pulsos retangulares com larguras
diferentes:
v(t) = A1Π
(
t
τ1
)
w(t) = A2Π
(
t
τ2
)
τ1 > τ2
(69)
– Assim, v(t) ∗ w(t) tem o seguinte formato da figura 11
– A sua TF sera´ enta˜o:
V (f)W (f) = [A1τ1sinc(fτ1)][A2τ2sinc(fτ2)] (70)
– Quando τ1 = τ2 = τ o pulso trapezoidal se reduz a um triangular com largura 2τ e amplitude
A = A1A2τ , resultando na TF ja´ conhecida de um pulso triangular.
2.5 Impulsos e limites da Transformada de Fourier
• Ha´ sinais com componentes perio´dico e na˜o perio´dicos ao mesmo tempo. Como podemos analisa´-los?
• Soluc¸a˜o matema´tica: permitir impulsos no domı´nio de frequeˆncia
• Limites da TF tambe´m permitem criar uma representac¸a˜o espectral de impulsos no tempo
2.5.1 Propriedades do Impulso Unita´rio
• Impulsos unita´rios ou delta de Dirac δ(t) tem a seguinte propriedade:∫ t2
t1
v(t)δ(t)dt =
{
v(0), t1 < 0 < t2
0, c.c
(71)
quando v(t) e´ cont´ınua em t = 0
21
t 
𝛿(𝑡) 
t=0 
Figure 12: Representac¸a˜o gra´fica do impulso
• A mesma propriedade e´ va´lida em frequeˆncia, i.e., substituindo t por f .
• Se v(t) = 1, ∫ ∞
−∞
δ(t)dt =
∫ �
−�
δ(t)dt = 1 (72)
com � arbitrariamente pequeno.
• Assim, δ(t) tem a´rea unita´ria concentrada em t = 0, e δ(t) = 0 para t 6= 0.
• Representac¸a˜o gra´fica na figura 12
• Fisicamente um sinal deste tipo na˜o pode existir, mas muitas func¸o˜es existentes tendem ao impulso. Em
particular, a func¸a˜o δ�(t) e´ definida de tal forma que se:
lim
�→0
∫ ∞
−∞
v(t)δ�(t)dt = v(0) (73)
enta˜o:
lim
�→0
δ�(t) = δ(t) (74)
• Duas func¸o˜es que satisfazem estes limite sa˜o:
δ�(t) =
1
�
Π
(
t
�
)
δ�(t) =
1
�
sinc
(
t
�
) (75)
• Treˆs propriedades de δ(t):
– Replicac¸a˜o: v(t) ∗ δ(t− td) = v(t− td)
22
– Amostragem:
∫ t2
t1
v(t)δ(t− td)dt = v(t− td). Assim: v(t) · δ(t− td) = v(td) · δ(t− td)
– Mudanc¸a de escala: δ(αt) = 1|α|δ(t)
2.5.2 Impulsos em Frequeˆncia
• Representam fasores ou constantes• Por exemplo, quando v(t) = A (uma constante), v(t) tem energia infinita.
• A princ´ıpio, na˜o ha´ TF de fato, mas no limite:
v(t) = lim
W→0
A · sinc(2Wt) = A
F{v(t)} = lim
W→0
A
2W
Π
(
f
2W
)
= Aδ(f)
(76)
• Assim, A↔ Aδ(f), isto e´, a TF de uma constante e´ um impulso
• Intuitivamente este resultado faz sentido pois uma constante na˜o varia no tempo e toda sua energia deve
estar em f = 0
• Alternativamente, poder´ıamos ter feito como abaixo para chegar no mesmo resultado:
v(t) = lim
τ→∞A ·Π
(
t
τ
)
(77)
e chegar´ıamos a:
V (f) = lim
τ→∞Aτsinc(fτ) = Aδ(f) (78)
• Utilizando a propriedade da TF de translac¸a˜o em frequeˆncia podemos escrever genericamente:
A · exp(j2pifct)↔ δ(f − fc)
A · cos(2pifct+ φ)↔ A
2
[exp(jφ)δ(f − fc) + exp(−jφ)δ(f + fc)] (79)
isto e´, o espectro cont´ınuo de um fasor e´ um impulso em fc e o espectro de uma onda senoidal sa˜o dois
impulsos:
• Assim, para um sinal perio´dico com se´rie de Fourier v(t) =
∞∑
n=−∞
c(nf0)exp(j2pinf0t), a sua TF cont´ınua
sera´
V (f) = F
{ ∞∑
n=−∞
c(nf0)exp(j2pinf0t)
}
=
∞∑
n=−∞
c(nf0)δ(f − nf0) (80)
• Qualquer espectro de linha pode dessa forma ser transformado em um espectro cont´ınuo
• A diferenc¸a entre os dois e´ que, para chegar no sinal original, o espectro de linha se soma enquanto que o
espectro cont´ınuo deve ser integrado.
• Exemplo: Impulsos e espectro cont´ınuo:
– Um sinal no tempo e´ definido como v(t) = Acos(2pifct) − AΠ( tτ )cos(2pifct) + AΠ( tτ )cos(4pifct). O
seu formato no tempo para fc = 1 e τ = 2 e´ aproximadamente mostrado na figura 13-(a) (
– Podemos calcular o espectro dos termos que apresentam produtos no tempo atrave´s da convoluc¸a˜o
em frequeˆncia. O espectro resultante tem a func¸a˜o abaixo, e mostrado na figura 12-(b).
V (f) =
A
2
[δ(f−fc)+δ(f+fc)]−Aτ
2
[sinc(f−fc)+sinc(f+fc)]+Aτ
2
[sinc(f−2fc)+sinc(f+2fc)] (81)
23
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-1
-0.5
0
0.5
1
t
v(t)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
f
V(f)
Figure 13: Sinal no tempo e em frequeˆncia do exemplo, para fc = 1 e τ = 2
2.5.3 Func¸a˜o degrau e sinal
• A func¸a˜o degrau (step) e´
u(t) ,
{
1, t > 0
0, t < 0
(82)
• Esta func¸a˜o e´ de interesse pois pode ser utilizada para modelar um sinal causal atrave´s do produto da
func¸a˜o degrau com uma func¸a˜o na˜o causal
• Por na˜o ser sime´trica em torno da origem ha´ complicac¸o˜es matema´ticas para se calcular a sua TF
• Para resolver este problema usamos a func¸a˜o sinal (signum), definida como:
sgn(t) =
{
1, t > 0
−1, t < 0 (83)
que pode ser escrita como um limite:
v(t) = exp(−bt)u(t)
z(t) = lim
b→0
[v(t)− v(−t)] (84)
• Utilizando o resultado do exemplo da sec¸a˜o 2.2.2 para uma exponencial causal e que a func¸a˜o sgn(t) tem
simetria ı´mpar, chegamos em:
Z(f) = j2V0(f) =
−j4pif
b2 + (2pif)2
(85)
• No limite quando b→ 0 temos:
F{sgn(t)} = lim
b→0
−j4pif
b2 + (2pif)2
=
−j
pif
=
1
jpif
(86)
24
• Podemos escrever a func¸a˜o degrau como :u(t) = (sgn(t) + 1)/2. Utilizando a propriedade da linearidade
da TF e que a TF de uma constante e´ um impulso, temos:
F{u(t)} = δ(f)
2
+
1
j2pif
(87)
• A TF de sgn(t) na˜o tem um impulso em f = 0 pois a sua me´dia e´ zero. A TF de u(t) tem um valor me´dio
igual a 1/2, logo existe um impulso em f = 0.
• Este impulso tambe´m aparece ao aplicarmos o teorema da integrac¸a˜o sobre uma func¸a˜o que tem a´rea
l´ıquida 0:
v(t) ∗ u(t) =
∫ ∞
−∞
v(λ)u(t− λ)dλ =
∫ t
−∞
v(λ)dλ, pois u(t) = 0 se λ > t
F{v(t) ∗ u(t)} = V (f)
[
δ(f)
2
+
1
j2pif
] (88)
• Logo : ∫ t
−∞
v(λ))dλ↔ V (0)
2
+ V (f)
[
1
j2pif
]
(89)
2.5.4 Impulsos no tempo
• Temos que Aτ Π
(
t
τ
)↔ Asinc( fτ ). No limite quando τ →∞, Aδ(t)↔ A
• Isto e´, impulsos no tempo conte´m todas as frequeˆncias com a mesma amplitude.
• Mesmo resultado pode ser obtido utilizando a propriedade da dualidade sobre A↔ Aδ(f).
• Estes resultados podem ser interpretados da seguinte forma:
– Sinal com durac¸a˜o ”‘zero”’ tem largura espectral infinita.
– Sinal com durac¸a˜o ”‘infinta”’(constante) tem largura espectral ”‘zero”’
• Ao deslocarmos no tempo temos:
Aδ(t− td)↔ A · exp(−j2piftd) (90)
• Como, por definic¸a˜o F−1{A · exp(−j2piftd)} = Aδ(t− td), temos que, para manter consisteˆncia:∫ ∞
−∞
exp(j2pif(t− td)df = δ(t− td) (91)
• Esta definic¸a˜o e consequeˆncia permite mostrar que:
F−1{V (f)} = ∫∞−∞ [∫∞−∞ v(λ)exp(−j2pift)dλ] exp(j2pift)df
=
∫∞
−∞ v(λ)
[∫∞
−∞ exp(j2pif(t− λ))df
]
dλ
=
∫∞
−∞ v(λ)δ(t− λ)dλ
= v(t) ∗ δ(t)
(92)
• O impulso tambe´m tem relac¸a˜o com a func¸a˜o degrau pois:∫ t
−∞
δ(t− td)dt =
{
1, t > td
0, t < td
= u(t− td) (93)
25
• Logo:
δ(t− td) = d
dt
u(t− td) (94)
• Esta propriedade permite analisar alumas func¸o˜es da seguinte forma: sendo v(t) uma func¸a˜o cont´ınua
e d
n−1
dtn−1 v(t) a primeira derivada de v(t) em que ha´ descontinuidades, enta˜o a derivada de ordem n possui
impulsos. Logo, podemos escrever a derivada de ordem n da seguinte forma:
vd(t) =
dn
dtn
v(t) = w(t) +
∑
k
Akδ(t− tk) (95)
• Na equac¸a˜o anterior, w(t) representa a parte da func¸a˜o vd(t) sem impulsos. O somato´rio presente e´ a
soma de impulsos localizados nos instantes tk, com amplitude Ak, devido a`s descontinuidades (degraus)
em d
n−1
dtn−1 v(t) cujas derivadas resultam nos impulsos de vd(t)
• Pelo teorema da derivac¸a˜o, se vd(t) = dndtn v(t), enta˜o:
F{vd(t)} = Vd(f) = V (f) · (j2pif)n
Vd(f)(j2pif)
−n = V (f) (96)
Logo:
vd(t) =
dn
dtn
v(t)↔ (j2pif)nV (f) = W (f) +
∑
k
Akexp(−j2piftk) (97)
• Se soubermos o formato de W (f) e os valores de Ak e tk, podemos escrever:
V (f) =
W (f)
(j2pif)n
+
1
(j2pif)n
∑
k
Akexp(−j2piftk) (98)
• Ale´m disso, se W (f) → 0 quando f → ∞, o comportamento de |V (f)| para altas frequeˆncias sera´
proporcional a|f |−n. Isto acontece porque, nestas condic¸o˜es, o termo dominante de V (f) e´ o somato´rio,
cujos termos tem como mo´dulo Ak. O somato´rio esta´ sendo multiplicado por
1
(j2pif)n , resultando na
proporcionalidade mencionada.
• Dizemos que este espectro tera´ enta˜o roll-off de ordem n.
• Se n e´ grande, ha´ pouca energia em altas frequeˆncias. Se n e´ pequeno, ha´ mais energia em altas frequeˆncias.
• Um pulso retangular, por exemplo, tem descontinuidades ja´ na sua primeira derivada. Por isso, o roll-off
de seu espectro (sinc) tem roll off de ordem 1 (isto e´, decaimento de 1/n)
• Exemplo: Pulso cosseno levantado (diferente de filtro raiz de cosseno levantado)
– Muito utilizado na pra´tica para limitar a banda de um sinal transmitido
– O sinal base e suas primeiras treˆs derivadas sa˜o:
v(t) =
A
2
(
1 + cos
(
pit
τ
))
·Π
(
t
2τ
)
dv(t)
dt
= −
(pi
τ
) A
2
(
sin
(
pit
τ
))
·Π
(
t
2τ
)
d2v(t)
dt2
= −
(pi
τ
)2 A
2
(
cos
(
pit
τ
))
·Π
(
t
2τ
)
d3v(t)
dt3
=
(pi
τ
)2 A
2
[δ(t+ τ)− δ(t− τ)] +
(pi
τ
)3 A
2
(
sin
(
pit
τ
))
·Π
(
t
2τ
)
(99)
26
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
0
0.5
1
1.5
2
t
v( t)
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-4
-2
0
2
4
t
dv(
t) dt
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-10
-5
0
5
10
t
d2 v
(t) dt2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-10
-5
0
5
10
t
d3 v
(t) dt3
Figure 14: Cosseno levantado e treˆs primeiras derivadas
– O u´ltimo termo da terceira derivada pode ser escrito como −piτ 2 dvdt , permitindo chegar no seguinte
espectro:
F
{
d3v(t)
dt3
}
= (j2pif)3V (f) =
(pi
τ
)2 A
2
[exp(j2pifτ)− exp(−j2pifτ)]− pi
τ
2
(j2pif)V (f) (100)
onde utilizamos tambe´m o fato de que F
{
dv(t)
dt
}
=(j2pif)V (f)
– Isolando V (f) e usando a identidade de Euler chegamos a:F
V (f) =
Aτ · sinc(2fτ)
1− (2fτ)2 (101)
que decai aproximadamente com f3, muito mais ra´pido do que a sinc. A comparac¸a˜o do espectro do
pulso cosseno levantado, do pulso retangular e do pulso triangular esta˜o na figura 15, para f > 0.
Na comparac¸a˜o, todos os pulsos tem a mesma durac¸a˜o de 1 segundo e energia de 1J.
– Transmisso˜es que utilizam este pulso conte´m melhor a energia dentro de uma banda do que a sinc.
2.5.5 Transformada de Fourier no tempo discreto e Transformada Discreta de Fourier
Leitura para o laborato´rio. Presente na 5a. edic¸a˜o.
2.5.6 Exerc´ıcios
Todas as 11 questo˜es conceituais do cap´ıtulo 2.
Problemas: 2.1.1 2.1.2 2.1.5 2.1.8 2.1.9 2.1.12 2.1.13 2.2.1 2.2.4 2.2.12 2.2.14 2.3.1 2.3.6 2.3.8
2.4.1 2.4.5 2.4.6 2.4.8 2.5.2 2.5.4 2.5.10 2.5.13 2.5.14
27
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
f
log 1
0(|V
(f)|)
 
 
Pulso quadrado
Pulso triangular
Pulso Cosseno levantado
Figure 15: Comparac¸a˜o dos espectros dos treˆs pulsos estudados neste cap´ıtulo. Tente recriar esta figura, com
a restric¸a˜o que os treˆs pulsos devem ter a mesma durac¸a˜o e a mesma energia. F
28