estatística cienc.dacomp. 2013-2

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ESTATÍSTICA APLICADA ProfªAna Scardino 
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1-Introdução 
Séc.XVIII – Godofredo Achenwall batizou a nova ciência de Estatística como chegar a 
conclusões sobre o todo(população), partindo da observação de partes desse 
todo(amostras)). 
 
POPULAÇÃO E AMOSTRA 
 
VARIÁVEIS: Conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. 
 
TIPOS DE VARIÁVEIS: 
a) Qualitativas - seus valores são expressos por atributos. 
Podem ser : 
-Ordinal - Exemplo: faixa de renda salarial 
- Nominal - Ex. sexo(masculino ou feminino),cor da pele(branca, parda, amarela, 
etc.) 
- Dados por postos - são sujeitos a avaliações subjetivas quanto à preferência ou 
desempenho em um conjunto de observações. São exemplos competições de beleza, concursos 
de moda. 
 
b) Quantitativas - seus valores são expressos em números . Ex. salário , idade dos 
alunos, etc. 
 Variável contínua: pode assumir qualquer valor num intervalo contínuo. Ex. peso 
dos alunos 
Variável discreta: pode assumir valores inteiros. Ex. número de alunos de uma sala. 
 
Uma pergunta sobre renda pode ser apresentada como dado numérico (valor da renda), 
dado ordinal (faixa de renda) ou dado nominal ( rico ou pobre). 
Os dados quantitativos permitem uma avaliação estatística mais rica e podem ser sempre 
transformados em dados qualitativos. 
 
Exemplos de variáveis: 
 
Variável Quantitativa Variável Qualitativa 
Variável Contínua Variável Discreta Variável Nominal Variável por 
Postos 
Universo: Peças 
fabricadas em uma 
fábrica 
Universo: 10 
lançamentos de uma 
moeda não viciada 
Universo: alunos de 
uma sala de aula 
Universo: concurso de 
beleza feminina 
Variável: diâmetro 
externo 
Variável: número de 
caras obtidas 
Variável: sexo 
masculino ou feminino 
Variável: a candidata 
mais bela. 
 
POPULAÇÃO 
Conjunto de entes portadores de, pelo menos, uma característica comum. Ex. estudantes. 
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AMOSTRA 
Subconjunto representativo e finito de uma população. Ex. retirada de amostras para 
controle de qualidade de uma indústria. 
 
AMOSTRAGEM 
Existem técnicas de amostragem que garantem o acaso na escolha: 
- Amostragem casual : pode-se numerar a população de 1 a n e sortear k números dessa 
seqüência ou usar uma tabela de números aleatórios. 
- Amostragem proporcional estratificada. Quando a população se divide em subpopulações. 
Quando de estrato em estrato se verifica um comportamento heterogêneo. Ex. Uma classe 
com 90 alunos , 62 homens e 28 mulheres. Queremos uma amostra de 10% da população. 
Sexo população 10% Amostra 
M 62 6,2 6 
F 28 2,8 3 
Total 90 9,0 9 
- Amostragem sistemática: seleção dos elementos pode ser feita por um sistema 
determinado pelo pesquisador. Ex. Numa produção diária de um produto , retirar um a 
cada 10 itens, para controle de qualidade. 
 
TABELA PRIMITIVA 
Ex. Coleta dos dados da idade , peso, estatura e média dos alunos da classe 
nº idade(anos) peso(kg) estatura(m) 
1 33 64 1,64 
2 37 55 1,61 
3 40 55 1,61 
4 33 60 1,61 
5 33 48 1,6 
6 36 68 1,68 
7 38 60 1,5 
8 35 63 1,6 
9 40 75 1,67 
10 36 62 1,6 
11 32 67 1,7 
12 54 66 1,58 
13 31 47 1,61 
14 29 52 1,59 
15 28 70 1,69 
16 46 75 1,69 
17 38 95 1,6 
18 32 100 1,9 
19 40 62 1,6 
20 45 63 1,67 
21 48 67 1,53 
22 36 75 1,76 
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A tabela assim obtida chama-se tabela primitiva, pois os elementos não foram 
numericamente organizados. 
 
Exemplo 
Partindo dos dados de idade acima , vamos ordená-los em ordem crescente . 
idade(anos) 
28 
 29 
31 
32 
32 
33 
33 
33 
35 
36 
36 
36 
37 
38 
38 
40 
40 
40 
45 
46 
48 
54 
 
ROL 
 
 A tabela obtida após a ordenação chama-se ROL .Podemos saber agora, com mais 
facilidade qual a idade do aluno mais novo, do mais velho, a amplitude de variação e onde 
há maior concentração de idades. 
 Se dispusermos os valores ordenados em uma coluna e colocarmos, ao lado de cada 
valor, o número de vezes que aparece repetido, teremos uma maneira mais fácil de observar 
os dados. 
Idade(anos) Freqüência (fi) 
28 1 
29 1 
31 1 
32 2 
33 3 
35 1 
36 3 
37 1 
38 2 
40 3 
45 1 
46 1 
48 1 
54 1 
 
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O número de alunos que fica relacionado a uma determinada idade chama-se 
FREQÜÊNCIA. A tabela obtida dessa maneira recebe o nome de DISTRIBUIÇÃO DE 
FREQÜÊNCIA. 
 A tabela obtida assim ainda é inconveniente, pois torna-se muito grande. Uma 
maneira melhor de apresentá-la será agrupando os valores em intervalos. 
 A escolha do número de classes deve ficar entre 5 e 15 classes.Menos de 5 classes 
pode ocultar detalhes importantes dos dados, e mais de 15 torna a apresentação 
demasiadamente detalhada. Uma regra prática consiste em tirar a raiz quadrada do número 
de observações e ajustá-la aos limites 5 a 15. Por exemplo, para 40 observações, teríamos 
√40 = 6,32, que arredondaríamos para 6 ou 7.Para 900 observações ,√900=30, que seria 
ajustado para 15 
 
 i = número de classes 
 N =número total de dados 
 i = N 
 
Exemplo: Para n=40 i = 40 = 6,32 
 
 Para n=1000 teremos i = 1000 = 31,6, que ajustaria para 15. 
 
Outra regra utilizada é a regra de Sturges, que nos dá o número de classes em função do 
número de dados. 
 i=1 + 3,3logn 
 
 Exemplos: 
a) Para n= 1000 � i = 1+3,3log1000 = 10,9 
 Aplicando a regra de Sturges para n = 1000, temos número de classes igual a 
11 . 
b) Para n= 22 � i=1+3,3log22 =5.43 = 5 ( com a regra prática temos , i = √22 = 4.7 = 5) 
c) Para n = 40 � i = 1+3,3log40 = 6,32 = 6 
 
INTERVALOS DE CLASSES (h) 
 Qual a amplitude do intervalo de cada classe? (h) 
 
Chamando A =amplitude total 
 i =número de classes , 
h= A/i 
teremos para o exemplo do rol anterior: 
número de classes i = 5 
amplitude total A = 54-28 =26 
Dividindo-se 26:5 = 5.2 , que é o intervalo de classe h. 
No caso podemos optar em ter h=6 e i =5 
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TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA POR CLASSES 
 
Distribuição de freqüência(D.F.): É o arranjo ordenado dos valores com suas respectivas 
freqüências 
 
Limites de classes: 
Limite Inferior de classe(li)- menor número da classe 
Limite Superior de classe(Li)- maior número da classe 
 
Freqüência Absoluta (Fi) : É o número de vezes que o dado aparece no rol. 
 
Pontos médios das classes(xi):é a média aritmética entre o limite superior e o 
limite inferior: xi =(li+ls)/2 
 
Freqüência relativa(fr): Obtém-se dividindo a freqüência absoluta de cada classe por n. 
fr = Fi/n 
 
freqüência acumulada(fac):é a soma das freqüências absolutas ,linha por linha. 
 
freqüência relativa acumulada (facr): é a soma linha a linha das freqüências relativas. 
Obtém-se também dividindo-se a freqüência acumulada pela freqüência total. 
 
 
i Idade Xi Fi fr fac Facr 
1 28⊢34 31 8 0.364 8 0.364 
2 34⊢40 37 7 0.318 15 0.682 
3 40⊢46 43 4 0.182 19 0.864 
4 46⊢52 49 2 0.091 21 0.955 
5 52⊢58 51 1 0.045 22 1 
Total 22 1.0 
 
Exercício 
1- Dado o rol de 50 notas, agrupar os elementos em uma distribuição de freqüências: 
33-35-35-39-41-41-42-45-47-48-50-52-53-54-55-55-57-59-60-60 
61-64-65-65-65-66-66-66-67-68-69-71-73-73-74-74-76-77-77-78-80-81-84-85-85-88-89-
91-94-97. 
Perguntas: 
a- Quantas notas estão no intervalo de 53 a 63? 
b- Quantos por cento das notas estão acima de 73? 
c- Quantas notas estão abaixo de 63? 
d- Quantos por cento das notasestão no intervalo de 63 a 83 (excluindo o 83)? 
 
Resp: 
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 7
 
i notas Fi fr fac facr 
1 33⊢ �� 7 14 7 14 
2 43⊢⊢⊢⊢53 5 10 12 24 
3 53⊢⊢⊢⊢63 9 18 21 42 
4 63⊢⊢⊢⊢73 11 22 32 64 
5 73⊢⊢⊢⊢83 10 20 42 84 
6 83⊢⊢⊢⊢93 6 12 48 96 
7 93⊢103⊢103⊢103⊢103 2 4 50 100 
total 
 50 100 
 
 
a) 9 
b) 36% 
c) 21 
d) 42% 
 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÃO 
 
HISTOGRAMA: é a representação gráfica da distribuição de freqüência , feita através de 
retângulos justapostos, cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal, de tal modo que 
seus pontos médios coincidam com os pontos médios dos intervalos de classes. 
 
 
 
POLÍGONO DE FREQUÊNCIA:É um gráfico em linha, feito pelas ligações dos pontos 
médios, formando assim um polígono 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1° Trim. 2° Trim. 3° Trim. 4° Trim.
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OUTROS TIPOS DE GRÁFICOS 
GRÁFICO EM SETORES 
 Este gráfico é construído com base em um círculo, e é empregado sempre que 
desejamos ressaltar a participação do dado no total. 
 O total é representado pelo círculo, que fica dividido em tantos setores quantas são 
as partes. Os setores são proporcionais aos dados da série. Obtemos cada setor por meio de 
uma regra de três simples , onde o total corresponde a 360º. 
Exemplo: 
Quanto custa 1 hora de chuveiro de 1000W 
meio Custo em R$ 
Hidrelétrica 
Nuclear 
Biomassa 
Eólica 
Solar 
termoelétrica 
0,06 
0,15 
0,12 
0,23 
0,37 
0,18 
Total 
Fonte:Revista Super Interessante,pg.66,julho 2007 
Construir o gráfico em setores 
GRÁFICO EM COLUNAS 
 Constroem-se barras retangulares, separadas. Normalmente utilizado para 
representar variáveis qualitativas . 
idade dos alunos
1
2
3
4
5
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Exercícios : 
1- Construir um gráfico : 
a) Onde estão as maiores empresas de TI? 
cidade Porcentagem empresas (%) 
São Paulo 49 
Rio de Janeiro 27,50 
Distrito Federal 8,9 
Amazonas 7,1 
Rio Grande do Sul 2,2 
Minas Gerais 2 
Fonte: hipotética 
 
b) Qual tecnologia apresenta melhor performance na banda larga? 
tecnologia Percentagem 
ADSL 53,5 
cabo 28,8 
satélite 8,6 
rádio 6,8 
Rede celular 2,3 
Fonte: Info online março 2007 
2- Complete a distribuição de freqüências representando a amostra dos salários de 25 
funcionários selecionados em uma empresa. 
 
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
1° Trim. 2° Trim. 3° Trim. 4° Trim.
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Classe Salários R$ Fi 
1 1.000,00 ⊢ 1.200,00 2 
2 1.200,00 ⊢ 1.400,00 6 
3 1.400,00 ⊢ 1.600,00 10 
4 1.600,00 ⊢ 1.800,00 5 
5 1.800,00 ⊢ 2.000,00 2 
 
3-Construa o histograma ,o polígono de freqüência absoluta e o polígono de freqüência 
acumulada para a distribuição acima. 
 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
O estudo que fizemos sobre distribuições de freqüência ,permite-nos localizar por 
exemplo a maior ou menor concentração de valores, mas se quisermos ressaltar as 
tendências características de cada distribuição ,precisaremos estudar as medidas de posição-
estatísticas que representam uma série de dados orientando-nos quanto à posição da 
distribuição em relação ao eixo horizontal. 
 As medidas de posição mais importantes são as medidas de tendência central ,cujo 
nome vem do fato de os dados observados tenderem em geral, a se agrupar em torno dos 
valores centrais. 
 
MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES 
 É o quociente da divisão da soma dos valores da variável pelo número deles: 
 X = ∑xi 
 
 N 
Exemplo : Sabendo-se que o número de aulas semanais dadas por 7 professores foi de 
10,14,,13,15,16,18 e 12 horas/aula, o número médio de aulas dadas será 
 
X = 10+14+13+15+16+18+12 = 14 
 7 
 
Desvio em relação à média: 
É a diferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a média 
aritmética. 
Di=xi – X 
Para o exemplo dado, temos: 
d1=x1- X = 10-14 =-4 
d2=x2- X = 14-14=0 
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PROPRIEDADES DA MÉDIA 
1-∑di = 0 
No exemplo anterior , temos 
-4+0-1+1+2+4-2=0 
2-Somando-se ou subtraindo-se uma constante de todos os valores de uma variável , a 
média do conjunto fica aumentada ou diminuída dessa constante. 
Exemplo: Some 2 a cada um dos valores da variável do exemplo dado: 
 
A média será X = 14 +2 
3-Multiplicando-se ou dividindo-se todos os valores de uma variável por uma constante, a 
média do conjunto fica multiplicada ( ou dividida ) por essa constante. 
Exemplo: Multiplique por 3 cada elemento da série dada. A média será 
 
 X = X.3 = 14.3 =4 
 Se os dados estão apresentados na forma de uma variável discreta , utilizaremos a média 
aritmética ponderada: 
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA 
 
 
 
 
 
 
Exercício :Determinar a média da distribuição de notas obtidas pelas lojas on-line, sendo 
consultados 10 clientes: 
Xi fi 
2 
5 
6 
8 
1 
4 
3 
2 
 
Devemos acrescentar mais uma coluna: xifi 
 
xi fi Xifi 
2 
5 
6 
8 
1 
4 
3 
2 
2 
20 
18 
16 
 
 ∑fi = 10 ∑xifi= 56 
 
X = 56/10 = 5,6 
X
 = ∑Xifi 
 
∑fi 
 
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Se os dados estão apresentados na forma de uma variável contínua, utilizaremos a 
média aritmética ponderada, considerando as freqüências simples das classes como sendo 
as ponderações dos pontos médios destas classes(xi). 
Exercício: Determinar a média da distribuição de falhas ocorridas em um sistema durante 
14 dias: 
Classe Nº falhas fi 
1 
2 
3 
4 
0⊢2 
2⊢4 
4⊢6 
6⊢8 
3 
4 
6 
1 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
1-Em uma escola o número de funcionários em cada função é : 4 serventes, 15 professores 
sub , 20 professores P1, 50 professores P2 e 3 coordenadores pedagógicos. Os salários para 
cada função são, respectivamente, R$200,00;R$300,00;R$500,00;R$1.000,00 e 
R$3.000,00.Qual a média de salários pagos por essa escola? 
 
2- O salário de 40 funcionários de uma empresa está distribuído segundo o quadro abaixo. 
Calcule o salário médio destes funcionários 
 
 
Classe Salários $ Nº de 
funcionarios fi 
 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
400 ⊢ 500 
500 ⊢ 600 
600 ⊢ 700 
700 ⊢ 800 
800 ⊢900 
 900 ⊢1000 
12 
15 
8 
3 
1 
1 
 
 
 
3- Uma empresa de TI observou em seus registros recentes, o tempo de mão de obra gasto 
na revisão de um programa: 
 
 
 
 
 
 
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Classe Tempo de mão 
de obra(horas) 
Nº de programas 
fi 
 
1 
2 
3 
4 
5 
0 ⊢4 
4 ⊢8 
8 ⊢12 
12⊢16 
16⊢20 
1 
5 
10 
12 
4 
 
 
 
a)Determine o número de horas necessárias para a revisão de cada programa 
b)Qual deve ser o tempo total para a revisão de dez programas? 
c)Se a empresa dispõe no momento de três funcionários trabalhando 8 horas por dia nestas 
revisões conseguirá provavelmente revisar estes dez programas em quatro dias? 
 
4- Considere uma pesquisa realizada com famílias de quatro filhos, tomando para variável o 
nº de filhos do sexo masculino. Determine a média de filhos homens por família. 
Nº de meninos fi 
0 
1 
2 
3 
4 
1 
4 
8 
1 
4 
 
 ∑=18 
 
MÉDIA GEOMÉTRICA SIMPLES 
 
Mg = ��	.. ��.��… . �
 
 
 
Exemplo:Calcule a media aritmética e a media geométrica simples entre: 
3,5,7 e 9. 
Ma = 6 
Mg= 5,54 
 
 Quando o número de observações for muito grande, é aconselhável o 
emprego de logaritmos( decimal ou neperiano) 
Mg = ��	.. ��.��… . �
 
Logaritmando os dois lados da equação, temos: 
����� = ��� ��	.. ��.��… . �
 = ���(�	. ��…�
)	
 
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 ����� = �� ���(�	. ��…�
) 
 
 ����� = �� (����	 + 	�����…+����
) 
 
 ����� = ��∑ ����� 
 
Mg = antilog�∑ !"#$� % 
 
 
Exemplo: Calcular Mg de 5,7,15,20 e 23 
 
�� logxi 
5 0,6990 
7 0,8451 
15 1,1761 
20 1,3010 
23 1,3617 
total 5,3829 
 
Mg = antilog�∑ !"#$� % = antilog(&,()*+& ) = antilog(1,07658) = 11,93 
 
Média Geométrica Ponderada 
 
Exemplo: 
xi fi 
2 3 
8 2 
10 1 
 
,� =	 √��. .�. 	/0 =√1	�/0 =4,15 
 
Mg = ���23 . �*24 …��25637647..65 
 
,� =	 89�:;:
∑;:
 
ou 
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log Mg = log ( ∏(xi)fi)1/∑fi 
 
 
log Mg = �∑2$ log (∏(xi)
fi) 
log Mg = ��∑<�log (xi) 
 
Mg = antilog �∑2$. !"#$� % 
 
 
Exercícios 
1- Qual a média geométrica de x={3,6,12,24,48} 
Resp: 12 
 
2- Dê a Mg de 2,3,4,5 e 6 ponderados por 6,5,4,3,2 
Resp:3,26 
 
3- Uma experiência com 25 indivíduos consistiu em determinar a 
concentração mínima inibitória(CMI)de determinado antibiótico para 
um certo tipo de bactéria: 
 
CMI(µµµµg/ml) Número de 
indivíduos 
1,00000 
0,50000 
0,25000 
0,12500 
0,06250 
0,03125 
 
1 
2 
6 
4 
3 
9 
 
Total 25 
 
Fonte: Arango, H.G.,Bioestatística, teórica e computacional, Guanabara-
Koogan, 2001 
 Obs: Note que a distribuição de freqüências da CMI é concentrada do 
lado esquerdo. O uso da média aritmética simples, da moda ou da 
mediana, neste caso, não fornece um resultado adequado. O ideal é 
calcular a média geométrica simples . A CMI normal para este tipo de 
bactéria é de 0,10 µg/ml. 
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MÉDIA HARMÔNICA 
 
 É o inverso da média aritmética dos inversos dos valores. 
�= =	 11>∑ 1��
 
 
 
Ou 
 
 
Exemplo: Determinar a média entre 2,5,7,9: 
 
�= = 412 + 15 + 17 + 19
= 4,193 
 
Exercício: Dada a série 3,4,6,e,12, determine a média harmônica 
Resp:4,8 
 
Para dados agrupados: 
 
�= =	 ∑<�∑ <���
 
 
Exemplo: Estaturas de 76 pessoas: 
 
Estaturas(cm) Fi xi fi/xi 
150⊢156 5 153 0,032670 
156⊢162 4 159 0,025157 
162⊢168 19 165 0,115152 
168⊢174 18 171 0,105263 
174⊢180 14 177 0,079096 
180⊢186 12 183 0,065574 
186⊢192 4 189 0,021164 
total 76 0,444085 
�= = 760,444085 = 171,14	FG 
�= = >∑ 1��
 
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Exercícios 
1- Calcule a média harmônica entre 2,5 e 8 
Resp.3,64 
2- Encontre a média harmônica da velocidade, para um veículo que 
percorre 1000 km do seguinte modo: 
Distância(km) 200 100 400 300 
Velocidade(km/h) 80 70 60 50 
 
Resp:60,26 km/h 
 
Exemplo 
Em uma certa situação, a média harmônica provê a correta noção de média. Por exemplo, 
se metade da distância de uma viagem é feita a 40 km por hora e a outra metade da 
distância a 60 km por hora, então a velocidade média para a viagem é dada pela média 
harmônica, que é 48; isso é, o total de tempo para a viagem seria o mesmo se se viajasse a 
viagem inteira a 48 quilômetros por hora. (Note, entretanto que se se tivesse viajado por 
metade do tempo em uma velocidade e a outra metade na outra velocidade, a média 
aritmética, nesse caso 50 km por hora, proveria a correta noção de média). 
“Da mesma forma, se um circuito elétrico contém dois resistores conectados em paralelo, 
um com uma resistência de 40 ohm e o outro com 60 ohm, então a média das resistências 
dos dois resistores é 48 ohm. Isto é, a resistência do circuito é a mesma que a de dois 
resistores de 48 ohm conectados em paralelo. Isso não é para ser confundido com sua 
resistência equivalente, 24Ω, que é a resistência necessária para substituir as duas 
resistências em paralelo. Note que a resistência equivalente é igual a metade do valor da 
média harmônica de duas resistências em paralelo. 
Em finanças, a média harmônica é usada para calcular o custo médio de ações compradas 
durante um período. Por exemplo, um investidor compra $1000 em ações todo mês durante 
três meses. Se os preços na hora de compra forem de $8, $9 e $10, então o preço média 
que o investidor pagou por ação é de $8,926. Entretanto, se um investidor comprasse 1000 
ações por mês, a média aritmética seria usada. Outras utilizações são em previsões do 
tempo que é o campo estudado pelos meterologistas”.fonte: http://pt.wikipedia.org 
 
Escolha da Média: 
 O diagrama de dispersão – ou a curva característica da função – 
pode ser uma boa pista para a escolha. Para uma progressão aritmética 
aconselha-se a média aritmética. Para uma progressão geométrica, por 
exemplo, crescimento de populações, cuja representação é uma exponencial, 
utiliza-se a média geométrica. Para uma série onde os inversos de seus valores 
definem uma série aritmética é mais indicada a média harmônica. 
 ESTATÍSTICA APLICADA ProfªAna Scardino 
 18
Exemplos: 
Média aritmética X :H1,3,5,7,9I 
Média geométrica Y : H3,6,12,24,48I 
Média harmônica: Z: H3,4,6,12I.O inverso da série é J�( , �K , �L , ��*M uma PA de 
razão- �		�* 
 
 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
 
MEDIANA 
É o número que se encontra no centro de uma série de números, estando estes 
dispostos segundo uma ordem. Separa em dois subconjuntos de mesmo número de 
elementos. 
Ex. Dada a série 5,13,10,2,18,15,6,16,9 
Primeiro é necessário ordenar: 
 2,5,6,9,10,13,15,16,18 
O valor central que apresenta o mesmo nº de elementos á direita e à esquerda é o 10. 
 Se a série tiver um nº par de termos, a mediana será qualquer dos nº compreendidos 
entre os dois valores centrais. Utiliza-se o ponto médio nesse caso. 
Ex.2,6,7,10,12,13,18,21 
Md = 11 
Obs.1- A mediana depende da posição , e não do valor dos elementos. 
Ex. 5,7,10,13,15 X= 10 Md = 10 
 5,7,10,13,65 X=20 Md =10 
2-O valor da mediana pode ou não coincidir com um elemento da série. 
3-A mediana e a média não têm ,necessariamente o mesmo valor . 
4-A mediana pode ser chamada por valor mediano 
 
Mediana de dados agrupados 
Posição da Md = ∑fi/2 
 
-Sem intervalos de classe 
 
Determinar a mediana da distribuição de notas obtidas pela loja on-line “tal”, sendo 
consultados 10 clientes: 
 Notas (Xi) fi 
2 
5 
6 
8 
1 
4 
3 
2 
 
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 19
A mediana será o valor que ocupa a posição: 10/2 � Entre 5ª e 6ª. Se construirmos a 
coluna das fac verificamos que esse elemento deve estar na 2ª e 3ª classe, ou seja, a média 
entre as notas 5 e 6 : Md = (5 + 6)/2= 5,5 
 
Exemplo: 
1-Calcule a mediana 
xi fi fac 
12 
14 
15 
16 
17 
20 
1 
2 
1 
2 
1 
1 
1 
3 
4 
6 
7 
8 
 ∑=8 
∑fi/2 = 8/2=4.Mas fac3 =4,então Md=xi+xi+1 
 2 
Md=(15+16)/2 = 15,5 
 
Exercício : Det.a mediana 
xi fi fac 
2 
4 
6 
8 
10 
3 
7 
12 
8 
4 
 
 
-Com intervalos de classes 
Considere a distribuição de freqüências dos salários de funcionários 
selecionados em uma empresa. 
 
Classe Salários R$ Fi Fac 
1 1.000,00 ⊢ 1.200,00 2 2 
2 1.200,00 ⊢ 1.400,00 6 8 
3 1.400,00 ⊢ 1.600,00 10 18 
4 1.600,00 ⊢ 1.800,00 5 23 
5 1.800,00 ⊢ 2.000,00 2 25 
 
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 20
A mediana é o valor de separa o nº de elementos da série em dois grupos, contendo 
cada um deles 50% dos elementos. Portanto, a posição da mediana na série é N/2.No ex. 
25/2 = 12,5ª posição. 
O valor decimal 12,5 indica que a mediana é um valor posicionado entre o décimo segundo 
e o décimo terceiro elemento da série. 
Verificando na coluna da freqüência acumulada para identificar em qual classe 
estão situados esses elementos: 3ª classe. 
A mediana deve ser umvalor entre R$1.400,00 e R$1.600,00.Esse intervalo 
contém dez elementos. Supondo que eles estão uniformemente distribuídos neste intervalo, 
então dividiremos este intervalo de modo proporcional à posição da mediana na série. 
 
 8ª 12,5ª 18ª 
 
 1400 Md 1600 
Ou seja 18-8___ = 12,5-8 
1600-1400 Md – 1400 
 
(Md –1400) . 10 = (12,5 –8).200 
Md= 1400 + 12,5 –8 .200 = 1490,00 
 10 
 
1400 é o li da classe mediana 
12,5 é posição central dos elementos da série,N/2 
8 é a freqüência acumulada da classe anterior à classe mediana 
10 é a freqüência simples da classe mediana 
200 é a amplitude do intervalo de classe 
 
Md = li(md) +( N/2 – Facant. ) . h 
 fmd 
 
Exercícios 
1-Calcule a mediana da seqüência: 
2,5,8,10,12,15,8,5,12 
 
2-Calcule a mediana da distribuição: 
xi fi 
2 
4 
5 
6 
8 
5 
20 
32 
40 
2 
 
 
3- Salário de 25 funcionários : 
classe Salários –R$ Nº de func. 
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 21
1 
2 
3 
4 
5 
 
1000⊢1400 
1400⊢1800 
1800⊢2200 
2200⊢2600 
2600⊢3000 
4 
10 
16 
6 
2 
 
 
 
4- A coordenação de vendas de uma empresa, resolveu premiar com uma viagem a metade 
dos vendedores que contribuírem com mais “vendas”. Para isto, fez um levantamento 
mensal, obtendo a tabela: A partir de qual volume de vendas (em real) a turma será 
premiada? 
Vendas- R$ Nº de turmas 
 0⊢100,00 
100,00⊢200,00 
200,00⊢300,00 
300,00⊢400,00 
400,00⊢500,00 
1 
12 
27 
31 
10 
 
 
 
MODA 
 
 É o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de valores. 
Moda = valor que mais se repete 
 
Ex. Seja a série 3,4,5,5,5,6,6,6,6,6,7,8,9,9 
A moda Mo = 6 
 
 Se não ocorrer valores que se repetem a série é amodal 
Ex. 3,5,7,8,9 
 
 Se houver dois ou mais valores de concentração, dizemos que a série tem dois ou 
mais valores modais. 
Ex.2,3,4,4,4,5,6,7,7,7,8,9 – série bimodal 
 
Variável discreta: É só identificar o elemento de maior freqüência na série: 
 
 
Exemplo:Notas obtidas em uma turma: 
 
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 22
Notas (xi) fi 
0 
2 
5 
7 
9 
2 
5 
8 
3 
1 
A maior freqüência é 8 e corresponde ao elemento 5 .Mo=5 
 
Variável contínua: 
Moda de Pearson 
 
Mo = 3 Md – 2 X 
Exemplo : 
Classe Salários R$ Fi Xi Xi fi fac 
1 1.000,00 ⊢ 1.200,00 2 1100 2200 2 
2 1.200,00 ⊢ 1.400,00 6 1300 7800 8 
3 1.400,00 ⊢ 1.600,00 10 1500 15000 18 
4 1.600,00 ⊢ 1.800,00 5 1700 8500 23 
5 1.800,00 ⊢ 2.000,00 2 1900 3800 25 
total 25 37300 
Cálculo da média e da mediana 
X = 37300/25= R$ 1.492,00 
Md= R$ 1.490,00 
 
Mo = 3x 1490 – 2 x 1492 = R$1.486,00 
 
EXERCÍCIOS 
 
1-Calcule a moda das séries abaixo: 
a)2,3,5,4,2,5,7 
b) 
xi fi 
2 
3 
4 
5 
1 
7 
2 
2 
 
 
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 23
2-Calcule a média aritmética e a moda para a distribuição que representa a nota de 60 
alunos em uma prova: 
 
Classe Notas Nº de alunos 
1 
2 
3 
4 
5 
 
0 ⊢2 
2 ⊢4 
4 ⊢6 
6 ⊢8 
8⊢10 
5 
20 
12 
20 
3 
 
3- Calcule a média aritmética simples, a mediana e a moda da distribuição que representa 
as alturas de 70 alunos de uma classe 
 
Classe Altura N º de alunos 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
150 ⊢160 
160 ⊢170 
170 ⊢180 
180 ⊢190 
190 ⊢200 
200 ⊢210 
2 
15 
18 
28 
16 
1 
 
 
 
MEDIDAS SEPARATRIZES 
 QUARTIS: 
 Dividem um conjunto de dados em 4 partes iguais 
 
O quartil 2 coincide com a mediana 
Determinação: 
1º) Calcula-se a posição do quartil pela fórmula in/4 
2º) Identifica-se a classe Q1 pela fac 
3º) Aplica-se a fórmula: 
N� = 	 �O� +	
PQR4 − <TFUVWX . ℎ
<N� 
 
Exemplos: 
xi fi fac 
7⊢17 6 6 
0 25% 50% 75% 100%
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 24
17⊢27 15 21 
27⊢37 20 41 
37⊢47 10 51 
47⊢57 5 56 
 
Resp: Q1=22,33 e Q3 = 38 
 
 
DECIS: 
 São os valores que dividem a série em 10 partes iguais 
 
D[ = 	 l][ +	
P in10 −	faccdeX . h
fg[ 
 
Exemplo: 
 
xi Fi fac 
4⊢9 8 8 
9⊢14 12 20 
14⊢19 17 37 
19⊢24 3 40 
 
I=4; n=40; 
D4= 12,33 
PERCENTIS 
 
 Dividem a série em 100 partes iguais 
 
Pi = �h� +	 P
$i
3jjk	2UlminX.o
2p$ 
 
 
Exemplo: Considerando a tabela anterior, temos in =72x40; P72 = 16,59 
 
 
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE 
 
 
Podemos sintetizar um conjunto de valores em poucos valores representativos: a 
média, a mediana e a moda. No entanto, mesmo essas medidas de tendência central não são 
suficientes para ter-se uma idéia retrospectiva de como os dados se apresentavam na tabela. 
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%
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 25
Ex. O preço médio de uma mercadoria ser igual a R$70,00 em várias cidades pode 
significar uma oscilação de R$5,00 à R$160,00 ou então de R$68,00 à R$72,00. Vamos 
analisar os seguintes conjuntos de valores: 
A: 70,70,70,70,70 
B:68,69,70,71,72 
C:5,15,50,120,160 
Calculando a média aritmética de cada um desses conjuntos, obtemos: 
XA = 350/5=70 
XB = 350/5=70 
XC = 350/5=70 
 
Vejamos a amplitude total de cada série: 
 
Aa = 70-70 =0 
Ab = 72-68 =4 
Ac = 160-5=155 
 
A amplitude total é um valor instável, por se deixar influenciar por valores extremos, que 
são na sua maioria ,devido ao acaso 
Para evitar essa falha define-se as medidas: variância e desvio padrão 
Vejamos inicialmente o conceito de desvio médio simples: 
 
DESVIO MÉDIO SIMPLES(D.M.S.) 
 
Rol: DMS = ∑xi – X  
 ∑fi 
 
Ex.2,8,5,6 X =( 2+8+5+6)/4 = 5,25 
x1 – X  = 3,25 
x2 – X  =2,75 
x3 - X  =0,25 
x4 - X = 0,75 
 
O DMS é a média aritmética simples destes valores: 
DMS = 3,15+2,75 + 0,25+0,75 = 7 =1,75 
 4 4 
Em média , cada elemento da seqüência está afastado do valor 5,25 por 1,75 unidades 
 
Variável discreta: 
xi fi Xifi xi- X  . fi 
1 
3 
4 
5 
2 
5 
2 
1 
2 
15 
8 
5 
4 
0 
2 
2 
 ESTATÍSTICA APLICADA ProfªAna Scardino 
 26
 10 30 8 
A média da série é 30/10 =3 
O DMS é: 
 
DMS= ∑ xi- X  .fi = 8/10 = 0,8 
 
 ∑fi 
Em média cada elemento da série está afastado do valor 3 por 0,8 
 
 
Variável contínua: 
 x fi xi xifi xi – X  . fi 
2 ⊢ 4 
4⊢ 6 
6⊢ 8 
8⊢ 10 
5 
10 
4 
1 
3 
5 
7 
9 
15 
50 
28 
9 
10,50 
 1,00 
7,60 
3,90 
 20 102 23 
 
DMS = ∑ Xi – X  .fi 
 
∑fi 
DMS = 23/20 = 1,15 
Em média cada elemento da série está afastado de 1,15 da média 5,1 
 
Exercícios 
1-calcule o DMS das séries: 
a)3,8,12,3,9,7 
b) 
xi fi 
2 
4 
5 
6 
8 
10 
 
3 
8 
10 
6 
2 
1 
 
 
c) 
salários Nº de vendedores 
70 ⊢ 120 
120 ⊢ 170 
88 
28 
 
 ESTATÍSTICA APLICADA ProfªAna Scardino 
 27
170 ⊢220 
220 ⊢270 
270 ⊢320 
320 - 370 
54 
32 
12 
6 
 
 
 
VARIÂNCIA 
 
Uma forma de fazer com que as diferenças xi- X sejam sempre positivas é 
considerar o quadrado dessas diferenças: 
(xi- X )2 
Se substituirmos esse quadrado na fórmula do DMS obtemos a fórmula da variância σ2. 
 
σ2 = ∑(xi – X )2 
 N 
 
Exemplo: 
a)Rol: 
4,5,8,5 
X =(4+5+8+5)/4=5,5 
(x1-X)2=(4-5,5)2= 2,25 
(x2-X)2= (5-5,5)2=0,25 
(x3-X)2= (8-5,5)2=6,25 
(x4-X)2 =(5-5,5)2=0,25 
 
∑(xi-X)2=9 
 
σ2= 9/4=2,25 
 
DESVIO PADRÃO:σσσσ 
 
É a raiz quadrada positiva da variância. 
Sendo a variância calculada a partir dos quadrados dos desvios, ela é um número em 
unidade quadradaem relação à variável em questão, o que é inconveniente. Por isso, 
imaginou-se uma nova medida que tem utilidade e interpretação práticas ,denominada 
desvio padrão. 
 
σ = √ ∑(xi- X)2 
 N 
Exemplo: Cálculo do desvio padrão do ex. anterior: 
σ(x) = √ σ2 = √2,25 = 1,5 unidades 
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 28
 
VARIÁVEL DISCRETA: 
Exemplo: 
xi fi xifi (xi-X)2.fi 
2 
3 
4 
5 
3 
5 
8 
4 
6 
15 
32 
20 
8,1675 
2,1125 
0,9800 
7,2900 
 20 73 18,55 
Variância = σ2= ∑(xi-X)2..fi / ∑fi = 18,55/20 = 0,9275 � σ = √0,9275 = 0,963 
- Variável contínua: 
 
Int.classe fi xi xifi (xi-X)2.fi 
2 ⊢4 
4 ⊢6 
6 ⊢ 8 
8 ⊢10 
5 
10 
4 
1 
3 
5 
7 
9 
15 
50 
28 
9 
22,05 
0,1 
14,44 
15,21 
 ∑fi=20 ∑xifi=102 ∑(xi-x)2.fi = 
51,8 
 
σ2= ∑ (xi – x )2.fi = 51,8/20 = 2,59 � σ =1,61 
 ∑fi 
Observações 
No cálculo da variância quando elevamos ao quadrado a diferença ( xi- x), a unidade de 
medida da série fica também elevada ao quadrado. 
Ex. Dados expressos em metros, variância expressa em m2.Em alguns casos a unidade de 
medida da variância nem faz sentido.Ex.litros2. 
Para suprir essa deficiência é que se define o desvio padrão, que tem sempre a mesma 
unidade de medida do dado. 
Para o caso de dados amostrais , a fórmula para o desvio padrão será 
σ2 = ∑(xi-x)2 .fi 
 N-1 
 
POSIÇÃO RELATIVA DA MÉDIA, MEDIANA E MODA 
 
DISTRIBUIÇÃO SIMÉTRICA 
As três medidas coincidem: X= Md = Mo 
 
 
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 29
 
 
 
 
 X=Md=Mo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Mo<Md<X X<Md<Mo 
Assimétrica positiva assimétrica negativa 
 
MEDIDAS DE ASSIMETRIA 
COEFICIENTE DE PEARSON 
 
As= X – M0 
 σ 
 
As = 0 distribuição é simétrica 
As <0 distribuição é assimétrica negativa 
As >0 distribuição é assimétrica positiva 
MEDIDAS DE CURTOSE 
 
Mede o grau de achatamento da curva de distribuição 
 Observando a concentração dos valores de uma série em torno de sua moda, 
podemos observar três situações: 
 
1-Os dados estão fortemente concentrados em torno da moda. 
2-Os dados estão razoavelmente concentrados em torno da moda, o que faria a curva de 
freqüência ser razoavelmente afilada 
3-Os dados estão fracamente concentrados em torno da moda: 
 
 
 
 leptocúrtica 
 
 mesocúrtica 
 
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 30
 platicúrtica 
 
Para classificar uma distribuição quanto a sua curtose, podemos utilizar o coeficiente de 
curtose dado por: 
 
 ∑(xi-x)4 .fi 
K= ∑fiii -3 
 σ4 
 
K=0 mesocúrtica 
k>0 leptocúrtica 
k<0 platicúrtica 
 
O valor 3 representa o valor da curtose para uma distribuição teórica de probabilidades 
chamada distribuição normal padrão, que caracteriza distribuição mesocúrtica. 
 
Exemplos: 
1- Classifique quanto à assimetria a distribuição abaixo: 
(amostra) 
Xi fi 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
2 
10 
6 
4 
2 
1 
 
2-Classifique quanto à assimetria e quanto à curtose: 
xi fi 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
2 
4 
6 
10 
6 
4 
2 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS – 
 
1-Uma empresa que monta microcomputadores verificou que o nº de defeitos encontrados 
por computador segue a tabela: 
Nº de defeitos Nº de 
computadores 
 
0 32 
 ESTATÍSTICA APLICADA ProfªAna Scardino 
 31
1 
2 
3 
4 
5 
28 
11 
4 
3 
1 
 
Pede-se: 
a) O nº médio de defeitos por computador 
b) A porcentagem de computadores com 2 defeitos 
c) A moda 
d) O D.M.S 
e) A variância 
f) O desvio padrão 
g) O coeficiente de variação 
h) A classificação quanto à assimetria 
i) A classificação quanto à curtose 
 
2- Um teste de 50 questões foi aplicado em uma turma, tendo-se obtido os seguintes resultados 
Classe acertos fi 
1 7⊢12 2 
2 12⊢17 5 
3 17⊢22 13 
4 22⊢27 10 
5 27⊢32 9 
6 32⊢37 6 
7 37⊢42 5 
 
a) O valor médio dos acertos 
b) O polígono de freqüências 
c) O valor mediano dos acertos 
d) A moda 
e) O D.M.S 
f) A variância 
g) O desvio padrão 
h) O coeficiente de variação 
i) Classificar quanto à assimetria 
j) Classificar quanto à curtose 
 
3- Os dados abaixo referem-se às notas de Estatística do 1º Bi 3º: 
8,0 4,5 6,0 9,5 5,0 
4,5 6,0 9,5 7,5 9,0 
5,5 7,0 5,0 6,0 6,0 
6,0 3,5 8,0 2,5 9,0 
5,5 8,5 6,0 6,5 6,0 
6,0 7,5 8,5 6,0 10,0 
9,5 4,0 2,0 9,0 3,5 
8,5 6,0 8,5 7,0 4,5 
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 32
5,0 8,5 9,0 9,0 6,5 
10,0 
 
a)Construir o rol e calcular a média aritmética. 
b)Construir a distribuição de freqüências com h=2, começando de zero 
c)Calcular a média aritmética da distribuição de freqüência 
d)Localizar no rol a mediana e a moda. 
e)Calcular a mediana e a moda 
f)Calcular a variância e o desvio padrão 
g)calcular o coeficiente de variação 
h)verificar se a percentagem de dados nos intervalos considerados no ítem acima coincidem com os 
valores obtidos do rol 
i)Qual a percentagem de alunos que tiraram nota igual ou maior do que 7,0 
j)Qual a percentagem de alunos que tiraram nota inferior à 4,0 
 
 
4- Qual das séries abaixo apresenta maior dispersão? 
a) Xa = 10 , σa = 1 
 ou Xb = 100 , σb = 20 
 
PROBABILIDADES 
 
 
Fenômenos aleatórios 
a) determinísticos-repetidos sob mesmas condições iniciais conduzem sempre a um só 
resultado. Ex. corpo em queda livre. As condições iniciais se não são as mesmas, 
podem ser consideradas assim, já que as diferenças podem ser desprezadas 
b) aleatórios-repetidos sob mesmas condições iniciais podem conduzir a mais que um 
resultado. Ex. lançamento de um dado. Ao se verificar o nº de pontos da face superior 
do dado, dificilmente conseguiremos após repetidos lançamentos obter o mesmo 
resultado. Pequenas variações no momento de lançamento do dado muda as condições 
que inferirão no resultado final, tornando esse um fenômeno aleatório. 
 
A maioria dos fenômenos que trata a estatística são de natureza aleatória ou 
probabilística. O cálculo de probabilidades é portanto um necessidade para o estudo 
da estatística indutiva ou inferencial. 
 
 Os experimentos são fenômenos aleatórios que possuem as características de 
repetitividade e regularidade. 
 
ESPAÇO AMOSTRAL 
 
 Ao conjunto de resultados possíveis em um experimento aleatório damos o nome de 
espaço amostral, representado por S 
Exemplo: 
Lançamento de uma moeda: S = {cara, coroa} 
Lançamento de um dado: S ={1,2,3,4,5,6} 
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 33
 
Em dois lançamentos sucessivos de uma moeda podemos obter: 
S={(ca,ca),(ca,co),(Co,ca),(co,co)} 
 
Cada um dos elementos de S que corresponde a um resultado recebe o nome 
de ponto amostral 
 
EVENTOS 
 
 Chamamos de evento qualquer subconjunto do espaço amostral S de um 
experimento aleatório. 
Exemplo: 
No lançamento de um dado, onde S={1,2,3,4,5,6} 
Temos: 
A={2,4,6} está contido em S, logo é um evento de S 
B={5} é tb. um evento de S 
 
 
 
PROBABILIDADE 
 
Chamamos probabilidade de um evento A o número real p(A), tal que 
P(A) = n(A)/n(S) 
 
Onde n(A) = n.º de elementos de A 
 n(S) = n.º de elementos de S 
 
 
Exemplos: 
a)lançamento de uma moeda.Evento A:obter cara 
s={ca,co} -> n(S) = 2 
A={ca} -> n(A) = 1 
 
P(A) = ½ 
Temos 50% de chance de que apareça cara na face superior da moeda 
 
b)lançamento de um dado: 
-probabilidade do evento A:”obter um n.º par na face superior” 
acontecer 
S={1,2,3,4,5,6} 
A={2,4,6} 
P(A) = 3/6 = ½ 
 -prob. do evento B:”obter um n.º menor ou igual a 6 
S={1,2,3,4,5,6} 
A={1,2,3,4,5,6}P(B) = 6/6 = 1 = 100 % 
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 34
- prob. do evento C: “ obter o n.º 4 
S={1,2,3,4,5,6} 
C={4} -> n(C) = 1 
 
P(C) = 1/6 
-prob. do evento D: “obter um n.º maior que 6 
n(S) = 6 
D = vazio -> n(D) =0 
P(D) = 0/6 = 0 
 
EVENTOS COMPLEMENTARES 
 
 Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que ele 
ocorra ( sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra(insucesso), para um mesmo 
evento existe sempre a relação : 
 
p + q = 1 ou q = 1 - p 
Assim se a probabilidade de realizar um evento é p=1/5, a prob. de que ele não ocorra é q 
=1 – 1/5 = 4/5 
 
Sabemos que a prob. de tirar o 4 no lançamento de um dado é 1/6.Logo , a prob. de não 
tirar o 4 é q = 1 – 1/6 = 5/6 
 
EVENTOS INDEPENDENTES 
 Dois eventos são independentes quando a realização ou a não realização de um dos 
eventos não afeta a prob. de realização do outro e vice-versa 
 
Exemplo.Lançamento de dois dados. O resultado obtido em um deles independe do 
resultado obtido no outro. 
A probabilidade de que dois eventos independentes ocorram simultaneamente é igual ao 
produto das probabilidades de realização de cada evento. 
P=p1*p2 
 
Exemplo:lançamento de dois dados.A prob. de obtermos 1 no primeiro dado é 
p=1/6. 
A prob. de obtermos 5 no segundo dado é p = 1/6 
 
logo , a prob. de obtermos, simultaneamente, 1 no 1º e 5 no 2º é 
p = 1/6 * 1/6 = 1/36 
Observando o espaço amostral e o conjunto A dos eventos temos: 
 
S = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), 
 (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), 
 (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), 
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 35
 (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), 
 (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), 
 (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} 
 
A={(1,5)} 
 
P=1/36 
 
SOMA DE PROBABILIDADES: 
 
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS 
 
 Dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização 
de um exclui a realização dos outros. 
 
Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probab. de que um ou outro 
se realize é igual a soma das probabilidades de que cada um deles se 
realiza. 
 p= p1 + p2 
 
 
Ex. Lançamento de um dado.A prob. de tirar o 3 ou o 5 é: 
p = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 
 
Eventos não exclusivos 
Ocorrência de um evento A ou um evento B,não mutuamente exclusivos.Ex. Urna 
com 30 bolas, numeradas de 1 a 30 .Extrair uma bola para verificar a ocorrência de um 
múltiplo de 2 ou de 3 
 
S= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,.....................30} 
A= {2,4,6,8,10,12,14,16,18,.....................................................30} 
B={3,6,9,12,15,18,.........................................30} 
Observar a ocorrência de A ou de B significa aceitar como resultados a ocorrência : 
somente de A ( e não de B) 
 Somente de B 
 de A e B , simultaneamente 
 
PA = 15/30 =1/2 
PB = 10/30 = 1/3 
 
 
 A 
 A 
 
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 36
 
 Múltiplos de 3 
Múltiplos de 2 
 
 
 Múltiplos de 2 e 3(ou múltiplos de 6) 
Observar a ocorrência de A ou B equivale a observar a ocorrência da união dos dois 
eventos, isto é, do evento A ∪B . 
 nA∩B = nA + nB - nA∩B 
 
dividindo ambos os membros dessa igualdade por nS 
 
nA∪B = nA + nB - n A∩B 
 ns ns ns ns 
 
pA∪B = pA + pB - pA∩B 
 
 
Como os valores {6,12,18,24,30} aparecem em ambos os conjuntos A e B é necessário 
quando somamos os elementos nA e nB, descontar esses múltiplos de 6 (de 2 e 3 
simultaneamente), pois foram somados duas vezes. 
 
No nosso exemplo: p A∩B = 5/30 =1/6 
 
Portanto: pA∪B = pA + pB - pA∩B 
 P= 1/2 + 1/3 - 1/6 
 P=2/3 
No caso em que A∩B = ∅ , dizemos que A e B são eventos mutuamente exclusivos, isto é 
,se um deles ocorrer, o outro certamente não ocorrerá. 
Então p = pA + pB 
 
Exercícios 
 
1-Qual a probabilidade de sair o ás de ouro quando retiramos uma carta de um baralho de 
52 cartas? 
 P= 1/52 
 
2- Qual a probabilidade de sair um rei nesse baralho? 
P=4/52 = 1/13 
 
3-Em um lote de 12 peças , 4 são defeituosas. Sendo retirada uma peça, calcule: 
a)a probabilidade de essa peça ser defeituosa 
p=4/12 = 1/3 
 
c) a probabilidade de não ser defeituosa 
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 37
p= 1 – 1/3 = 2/3 
 
4-No lançamento de 2 dados ,qual a probabilidade de se obter soma igual a 5? 
 
A={(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)} � n(A) = 4 
 
S = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), 
 (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), 
 (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), 
 (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), 
 (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), 
 (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} 
P = 4/36 = 1/9 
 
1- De 2 baralhos de 52 cartas retiram-se , simultaneamente, uma carta do primeiro baralho 
e uma carta do segundo. Qual a probabilidade de a carta do primeiro baralho ser um rei 
e a do segundo ser o 5 de ouro? 
 
 P1 = 4/52 = 1/13 p2 = 1/52 
 
 P= 1/13*1/52 = 1/676 (eventos independentes e simultâneos) 
6-De um baralho de 52 cartas, retiram-se , ao acaso, duas cartas sem reposição. Qual é a 
probabilidade de a primeira carta ser o ás de ouro e a Segunda ser o rei de ouro? 
 P = 1/52 * 1/51 = 1/2652 
 
7-Qual a probabilidade de sair uma figura quando retiramos uma carta de um baralho de 52 
cartas? 
P(rei) = 4/52 = 1/13 
P(dama) = 4/52 = 1/13 
P(valete) = 4/52 = 1/13 
 P = 1/13 + 1/13 + 1/13 = 3/13 
Ou p = 12/52 = 3/13 
 
8-Considere bolas coloridas colocada em 3 urnas segundo a tabela abaixo: 
Urna brancas pretas verdes 
A 3 4 2 
B 5 2 1 
C 2 3 4 
 
Qual a probabilidade de as 3 bolas retiradas da primeira, Segunda e terceira urnas serem, 
respectivamente, branca, preta e verde? 
 
P(branca) = 3/9 = 1/3 
P(preta) = 2/8 = ¼ 
P(verde) = 4/9 = 4/9 
 
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 38
P = 1/3*1/4*4/9 = 1/27 
 
9-Qual a probabilidade de sair uma carta de copas ou de ouro quando retiramos uma carta 
de um baralho de 52 cartas? 
P(copas) = 13/52 = ¼ 
P(ouro) = 13/52 = ¼ 
Eventos exclusivos : p = ¼ + ¼ = 2/4 = ½ 
 
10- No lançamento de um dado, qual a probabilidade de se obter um nº não inferior a 5 ? 
 
A= {5,6} � p = 2/6 = 1/3 
11- São dados 2 baralhos de 52 cartas. Tiramos ao mesmo tempo uma carta do primeiro e 
uma carta do segundo.Qual a probabilidade de tirarmos uma dama e um rei, não 
necessariamente nessa ordem? 
 
Eventos independentes: 4/52 * 4/52 = 1/169 ( um rei e uma dama) 
 4/52*4/52 = 1/169(uma dama e um rei) 
eventos mutuamente exclusivos : 1/169+1/169 = 2/169 
 
12-Dois dados são lançados conjuntamente. Qual a probabilidade de a soma ser 10 ou mais. 
 
Soma 10 � A ={(4,6),(5,5),(6,4)} p = 3/36 = 1/12 
Soma 11 � B={ (5,6),(6,5)} p = 2/36 = 1/18 
Soma 12 � C={(6,6)} p = 1/36 
 
Mutuamente exclusivos : 1/18 + 1/36 + 2/36 = 1/6 
 
13- Um casal planeja ter 3 filhos .Calcule a probabilidade de nascerem: 
a) 0 homens 
b) 1 homem 
c) 2 homens 
d) 3 homens 
 
S={(H,M,M),(H,H,H),(H,M,H),(H,H,M),(M,M,M),(M,H,H),(M,M,H),(M,H,M)} 
a) 1/8 
b) 3/8 
c) 3/8 
d) 1/8 
 
14-Faça uma distribuição de probabilidades e o gráfico correspondente: 
 
X(evento homens) 0 1 2 3 
P(X) 1/8 3/8 3/8 1/8 
 
 
 
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 39
 
 
 0 1 2 3 x(nº de homens) 
 
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
 
 Exemplo:Considere uma urna contendo 4 bolas brancas e 6 bolas pretas 
Qual a prob.de sair bola branca seguidade preta sem que seja feita reposição da bola tirada 
no primeiro sorteio? 
P(branca) = 4/10 
P(preta) = 6/10 (dado que antes já saiu bola branca) 
 P = 4/10 *6/9 = 24/90 = 4/15 
 
 
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES 
 
-Distribuição binomial 
 
 Antes de definirmos a função probabilidade ,vamos avaliar alguns exemplos 
obtidos com o lançamento de uma moeda: 
a)probabilidades obtidas ao se lançar uma moeda duas vezes (ou lançar duas moedas ao 
mesmo tempo). 
Possíveis resultados: 
Moedas cara Coroa 
Cara Ca,ca Ca,co 
Coroa Co,ca Co,co 
 
Sendo x o número de caras , podemos montar a tabela: 
 
X(cara) 0 1 2 
probabilidade 1/4 2/4 ¼ 
 
 
 
 
 0 1 2 (nº de caras) 
Repetindo o mesmo procedimento para uma moeda jogada 3 vezes ( ou 3 moedas jogadas 
uma vez) 
 
Moedas Ca,ca Ca,co Co,ca Co,co 
Ca Ca,ca,ca Ca,co,ca Co,ca,ca Co,co,ca 
Co Ca,ca,co Ca,co,co Co,ca,co Co,co,co 
 
Montando o quadro de distribuição 
X(cara) 0 1 2 3 
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 40
P(x) 1/8 3/8 3/8 1/8 
 
 
 
 0 1 2 3 
Repetindo o mesmo para o lançamento de 4 moedas: 
 
Moedas Ca,ca,ca Ca,ca,co Ca,co,ca Ca,co,co Co,ca,ca Co,ca,co Co,co,ca Co,co,co 
Ca C,c,c,c C,c,k,c C,k,c,c C,k,k,c K,c,c,c K,c,k,c K,k,c,c K,k,k,c 
Co C,c,c,k C,c,k,k C,k,c,k C,k,k,k K,c,c,k K,c,k,k K,k,c,k K,k,k,k 
 
X(caras) 0 1 2 3 4 
P(x) 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16 
 
 
 
 
 
 
 0 1 2 3 4 
Vejamos como expressar matematicamente esses resultados: 
a) para dois lançamento: ca2 + 2.ca.co + co2 = (ca+co)2 =(p+q)2 =p2+2p.q+q2 
onde p2 = probabilidade de ocorrer 2 caras = p*p = 1/2*1/2 =1/4, 
2*p*q=prob. de ocorrer uma cara(e portanto uma coroa) = 2*1/2*1/2=2/4 e 
q*q = prob. de ocorrer nenhuma cara(2 coroas)=1/2*1/2=1/4 
 
b) para três lançamentos: ca3+ 3ca2co +3caco2 +co3=(ca+co)3=(p+q)3 = p3+3p2.q + 3 p 
q2+q3 
onde p3=probabilidade de ocorrer 3 caras=1/2*1/2*1/2 =1/8 
3*p2*q = probab. de ocorrer 2 caras e uma coroa = 3*(1/2)2*1/2 = 3/8, 
3*p*q2 = probab. de ocorrer 1 cara(2 coroas)=3*1/2*(1/2)2 = 3/8 e 
q3=probab. de ocorrer nenhuma cara(3 coroas) = (1/2)3=1/8 
c) para 4 lançamentos: ca4+4ca3co + 6ca2co2+4caco3+co4 =(ca+co)4=(p+q)4 
p4+4p3q + 6 p2q2 + 4pq3+q4 
onde p4= probab.de ocorrer cara nas 4 moedas = (1/2)4 = 1/16 
4*p3q = probab. de ocorrer cara em 3 moedas=4*(1/2)3*1/2 = 4/16 
6*p2q2= probab. de ocorrer cara em 2 moedas = 6*(1/2)2(1/2)2= 6/16 
4*p*q3= probab. de ocorrer cara em 1 moeda = 4*1/2*(1/2)3= 4/16 
e q4 = probab. de ocorrer cara em nenhuma moeda(ocorrer coroa em todas) = (1/2)4 = 1/16 
 
Este é o desenvolvimento do Binômio de Newton,cujos coeficientes dessa expansão são: 
 
(n=1) 1 1 
(n=2) 1 2 1 
(n=3) 1 3 3 1 
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(n=4) 1 4 6 4 1 
(n=5) 1 5 10 10 5 1 
(n=6) 1 6 15 20 15 6 1 
(n=7) 1 7 21 35 35 21 7 1 
(n=8) 1 8 28 56 70 56 28 8 1 
(n=9) 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 
(n=10)1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 
 
A disposição dos coeficientes lembra um triângulo.daí o nome triângulo de Pascal(em 
homenagem ao matemático Blaise Pascal,que foi quem primeiro escreveu um tratado sobre 
as propriedades dessa tabela) 
Essa tabela também pode ser construída com os números binomiais. 
 
 
P00X 
								P10X P
1
1X 
 
 P20X P
2
1X P
2
2X 
 
 P30X P
3
1X P
3
2X P
3
3X 
 P40X P
4
1X P
4
2X P
4
3X P
4
4X 
 
 
 .................................................... 
onde PRqX = n! e n!= n.(n-1)(n-2)(n-3).. 
 k!(n-k)! 
então 
(p+q)n= PR0X p0qn + P
R
1X p1qn-1 + P
R
2X p2qn-2 + ..... P
R
qXpnq0 = P
R
qX pk qn-k 
 
 
Notemos que o número que representa a posição do termo na expansão é uma unidade 
maior que a classe do coeficiente binomial. 
A probabilidade de que um evento se realize K vezes de n tentativas é dada então,pela 
função: 
Tp+1 = PRqX pkqn-k 
 
 
Função probabilidade = p(x) 
P(x) = PRqX pkqn-k 
 
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 42
 
Note que K é o expoente de p no desenvolvimento do Binômio de Newton. 
 
P(x) = p(k) = probabilidade de que o evento se realize k vezes em n provas 
p é a probabilidade de que o evento se realize em uma única prova(sucesso) 
q é a probabilidade de que o evento não se realize em uma só prova(insucesso) 
 n é o coeficiente binomial de n sobre k, igual a n! . 
 K!(n-k)! 
 
Condições para se ter distribuição binomial: 
a- o experimento deve ser repetido, nas mesmas condições, um nº finito de vezes(n) 
b- as provas repetidas devem ser independentes, isto é ,o resultado de uma não deve afetar 
os resultados sucessivos 
c- em cada prova deve aparecer um dos dois possíveis resultados:sucesso e insucesso 
d- no decorrer do experimento, a probabilidade p do sucesso e a probabilidade q do 
insucesso manter-se-ão constantes. 
e- P(x=k) é a prob. De que o evento se realize K vezes em n provas;p é a prob. de que o 
evento se realize em uma só prova-sucesso e q é a prob. de que o evento não se realize -
insucesso 
 
Exercícios. 
1-Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas e independentes.Calcule a prob . de serem obtidas 
3 caras nessas 5 provas 
 
n=5 k=3 
P(x=3) = P53X p3q5-3 = P
5
3Xp3q2 
 
=5.4.3.2.1 *(1/2)3(1/2)2 
 3.2.1.2.1 
=5/16 
 
2-Dois times de futebol A e B jogam entre si 6 vezes. Encontre a probabilidade de o time A 
ganhar 4 jogos 
n=6,k=4 p=1/3 e q=1-1/3 =2/3 
 
P(X=4) = P64X (1/3)4.(2/3)2= 15.1/81.4/9 = 20/243 
 
3-Calcular a prob.de 3 caras em 8 jogadas: 
n=8, k=3 ,p=1/2 e q=1/2 
P(X=3) = P83X p3q5 = 56p3q5 = 0,2187472 
 
 
4-Num exame de 10 testes(5 alternativas cada, uma só correta),um aluno “chuta” os 10 
testes.Qual a probabilidade dele acertar a metade?(em percentagem) 
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 43
n=10, k=5, p=1/5, q= 1-1/5 =4/5 
 
p(x=5) = (5) p5q5 = 252.(1/5)5.(4/5)5 = 0,02642 = 2,64 % 
5-Lançando-se um dado 5 vezes , qual a probabilidade de ocorrer o número 6 no mínimo 3 
vezes? 
 
 
N=5,k=3,p=1/6 e q = 5/6 
 
P1=probabilidade de ocorrer A em 3 vezes: 
 
P1= P53X (1/6)3(5/6)2 = 10.(1/6)3(5/6)2 
 
P1=0,03215 
 
P2=probabilidade de ocorrer A em 4 vezes: 
P2= P54X (1/6)4(5/6) = 5.(1/6)4(5/6) = 0,000643 
 
P3=probabilidade de ocorrer a em 5 vezes 
P3= P55X (1/6)5 = 0,0001286 
 
 
P = p1+p2+p3 = 0,3215+0,000643+0,0001286=0,03292 = 3.29% 
 
Exercícios propostos: 
1-Lançando-se uma moeda 10 vezes , determine a probabilidade de ocorrer: 
a)cara na 8ª vez 
b)cara na 8ª vez, sabendo que nas 7 primeiras jogadas ocorrem cara 
d) 3 vezes cara 
 
2-Sabendo que um casal pretenda ter 4 filhos e supondo que não haja nascimento de 
gêmeos, qual a probabilidade de 2 dos 4 filhos serem do sexo feminino? 
 
3- E a probabilidade de 3 dos 4 filhos serem do sexo feminino? 
 
4-Numa caixa de controle há 10 interruptores, cada um comandando um circuito elétrico. 
Cada circuito tem probabilidade de 20 % de queimar ao ser acionado. Acionando 10 
interruptores, qual a probabilidade de no máximo dois circuitos resultarem queimados? 
 
 
Gabarito: 
1-a)1/2 
b)1/2 
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2- 3/8 
3-1/4 
4-67,78% 
 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL- CURVA DE GAUSS 
 
 
 A distribuição normal, de variável aleatóriacontínua, é uma das mais empregadas . 
Essa distribuição segue as seguintes propriedades: 
• A variável X pode assumir qualquer valor real 
• A representação gráfica é uma curva em forma de sino- A CURVA DE GAUSS 
• A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual a 1. Essa área 
corresponde à probabilidade de a variável aleatória x assumir qualquer valor. 
• A curva é simétrica em torno da média. A probabilidade de ocorrer valor maior do 
que a média é igual à probabilidade de ocorrer valor menor do que a média. 
P(x>rs)=p(x<rs) = 0,5 
 
 Para verificar a probabilidade de uma variável aleatória assumir um valor em um 
determinado intervalo , que é o maior interesse nesse tipo de distribuição , vejamos um 
exemplo. 
 Uma prova aplicada em um concurso apresentou média igual a 100 e desvio padrão 
10. Vejamos a probabilidade de um indivíduo apresentar nota maior que 120: 
 
 
 
 
 
 
A probabilidade em questão 
corresponde à área hachurada da figura 
acima.Para determinar essa 
probabilidade é necessário recorrer à 
distribuição normal reduzida, uma distribuição normal de média 0 e desvio padrão 1.A 
vantagem da distribuição reduzida é que seus valores já estão tabelados ,sem a necessidade 
de se efetuarem os cálculos. 
Para trabalhar com essas tabelas, temos que determinar a variável z: 
z =	#k	tsu 
A tabela de distribuição normal reduzida nos fornece a probabilidade de z tomar qualquer 
valor entre a média 0 e um dado valor z, isto é : p(0 < Z < z) 
Pode- se trabalhar com a seguinte igualdade: 
p(�̅ < X < x ) =p(0 < Z < z). 
No caso para p(Z > 0 ) é igual a 0,5. 
Para determinar p(Z>2) , então, temos que diminuir 0,5 de 0,4772 = 0,0228 = 2,28%. 
Essa é a probabilidade procurada. 
 
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Exemplo: Qual a probabilidade de um indivíduo apresentar nota entre 100 e 120? 
Como queremos calcular p (100<x<120) , então teremos que determinar z . 
Para x = 100: Z = �wwk�ww�w =0 
Par x = 120: x = 	 �*wk�ww�w = 2 
 Vamos então verificar a p( 0 < Z < 2) na tabela , que é igual a 0,4772, ou seja 
47,72% 
 
 Os exemplos acima e exercícios abaixo citados foram retirados do livro CRESPO, 
ANTÔNIO ARNOT, Estatística Fácil, SãoPaulo:Saraiva,8ªed,1991,pg.145 a 147 
1- Seja x a variável aleatória que representa os diâmetros dos parafusos produzidos por 
certa máquina. Supor média = 2 cm e desvio padrão igual a 0,04 cm. Qual a 
probabilidade de um parafuso ter diâmetro com valor entre 2 e 2,05 cm? 
 
Procuramos p ( 2<x<2,05) 
 
 
 
 
 
 
 
 2 2,05 
 
P(2<x<2,05 )=? 
Z = #k	#̅
σ
 
Para obter essa probabilidade ,precisamos , em primeiro lugar, calcular o valor de 
z que corresponde a x=2,05 ( x=2 ,implica em z=0) 
Z=*,w&k*w,wK = 	 w,w&w,wK = 1,25 
Procuremos agora na tabela do anexo 0 valor z = 1,25. Na primeira coluna 
encontramos o valor 1,2. Em seguida , encontramos, na primeira linha, o valor 5, 
que corresponde ao último algarismo do número 1,25. Na intersecção da linha e 
coluna correspondentes encontramos o valor 0,3944, o que dá a probabilidade 
procurada como sendo 39,44%. 
 
2- a) Determine a probabilidade p(-1,25<Z<0) 
Resp: 39,44% 
b)p(-0,5<Z<1,48) 
Resp:62,21% 
c)p(0,8<Z<1,23) 
Resp:10,26% 
d)p(z>0,6) 
Resp:0,5-0,2257 = 0,2743 
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3- Um teste efetuado em um concurso tem distribuição normal com média 100 
e desvio padrão 10. Determine a probabilidade de um indivíduo submetido 
ao teste ter nota: 
a) maior que 120 
Resp: 2,28% 
b)Maior que 80 
Resp: 97,72% 
c)entre 85 e 115 
Resp: 86,64% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Anexo:Tabela de Distribuição Normal reduzida. 
 
Tabela 01 
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981 
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990