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apostila I Fenômenos Transporte MECÂNICA DO FLUIDOS

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FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 1
 
 
 
CLÉCIO RIBEIRO COSENZA 
 
 
FENÔMENOS DE TRANSPORTES 
PARTE I – MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
(Notas de aula) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ITABUNA – BAHIA 
Março 2017 
 
 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 2
 
INTRODUÇÃO: 
O processo de transporte é caracterizado pela tendência ao equilíbrio, que é uma condição 
onde não ocorre nenhuma variação. Os fatos comuns a todos os processos de transporte são: 
 
A Força Motriz: O movimento no sentido do equilíbrio é causado por uma diferença de 
potencial 
O Transporte: Alguma quantidade física é transferida 
O Meio: A massa e a geometria do material onde as variações ocorrem afetam a velocidade e 
a direção do processo. 
 
Como exemplos podemos citar: 
 
� Quando um fluido está entre duas placas paralelas e uma delas se movimenta, o processo 
de transferência de quantidade de movimento faz com que as camadas de fluido adjacentes à 
placa se movimentem com velocidade próxima à da placa, tendendo a um estado de equilíbrio 
onde a velocidade do fluido varia de V na superfície da placa em movimento até 0 na 
superfície da placa estacionária. 
� Os raios solares aquecem a superfície externa de uma parede e o processo de transferência 
de calor faz com que energia seja transferida através da parede, tendendo a um estado de 
equilíbrio onde a superfície interna será tão quente quanto à externa. 
� Uma gota de corante é colocada em recipiente com água e o processo de transferência de 
massa faz com que o corante se difunda através da água, atingindo um estado de equilíbrio, 
facilmente detectado visualmente. 
 
1. MECÂNICA DOS FLUIDOS: 
 
1.1. Conceitos gerais 
 
FLUIDO: É uma substância que não possui forma própria, assume o formato do recipiente 
que o contém. Não resiste a tensões de cisalhamento, deforma-se continuamente. 
 
TENSÃO DE CISALHAMENTO OU TENSÃO VISCOSA: É a razão entre o módulo da 
componente tangencial da força e a área da superfície sobre a qual a força está sendo aplicada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS: Em um sólido, quando submetido a tensões de cisalhamento admite-se que a 
deformação sofrida é definida e finita alterando-se apenas quando aumentamos a tensão de 
cisalhamento. 
Ft 
Fn 
τ= Ft 
A 
τ= dF
 dA 
OU 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 3
Para um fluido submetido a tensões viscosas, produzindo um escoamento, os elementos de 
fluido estão continuamente sofrendo deformações devido à diferença de velocidade entre seus 
pontos. Esta deformação contínua é representada por uma taxa de deformação, ou seja, uma 
variação da deformação no tempo. 
 
 
 
1.2. Grandezas principais associadas a fluidos 
 
� Viscosidade dinâmica ou absoluta 
 
A viscosidade µ é a propriedade que relaciona a tensão de cisalhamento aplicada aos fluidos 
newtonianos e sua respectiva taxa de deformação. 
 
 
A unidade de viscosidade é Pa.s (N.s/m2 ou kg/m.s). Comumentemente emprega-se o 
submúltiplo 10-3 Pa.s (“mili-Pa.s”), o qual é exatamente equivalente ao cP (“centi-poise”), 
pois 1 Poise = g/cm.s = 0,1 Pa.s. 
 
Por exemplo, a viscosidade do um óleo é tipicamente maior do que a viscosidade da água, a 
qual é maior do que a viscosidade do ar. Graficamente: 
 
 
 
OBS: De forma geral, a viscosidade é uma função fraca da pressão, e apresenta uma 
dependência significativa com a temperatura. 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 4
 
Relação entre a taxa de deformação e o campo de velocidade. 
Pela dificuldade de se trabalhar com a taxa deformação procura-se relacioná-la com a 
velocidade de escoamento e posição de um fluido. Para escoamentos paralelos (uni-
dimensionais) encontra-se uma relação simples entre a velocidade do meio fluido e a taxa de 
deformação. 
Consideremos o escoamento de um fluido onde analisemos a deformação de um “elemento de 
fluido” de altura dy, conforme figura abaixo: 
 
 
Observa-se, no triângulo cinza da figura acima, que a deformação do elemento de fluido 
(amarelo) é dada por: 
d
dy
γ δ= 
e visto que os pontos com velocidade diferente percorrem distâncias diferentes, então 
 
( )δ = + −v v( ) ( ) .y dy y dt 
Logo: 
′ = =
+ −
=γ γd
dt
y dy y
dy
d
dy
v v v( ) ( )
 
 
Sendo assim, a relação de viscosidade passa a ser: 
 
 
 
 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 5
Exemplo de aplicações: 
 
• Placa plana deslizando sobre uma camada de fluido (laminar). 
 
velocidade 
v vo( )y
y
H
= 
 
tensão 
τ µ( )y
H
=
vo
 
 
• Fluxo laminar num conduto cilíndrico. 
 
 
velocidade 
v vo( )r
r
R
= −













1
2
 
 
tensão 
τ µ( )r
R
r= −2 2
vo
 
 
OBS: O valor negativo de τ(r) indica tensão no sentido contrário ao movimento do fluido. 
 
EXEMPLOS: 
 
1- Obter a taxa de deformação de um fluido que escoa com velocidade 40 cm/s a 2 m de 
altura e 20 cm/s a 1m de altura em relação a uma referencia. 
 
2- Duas placas planas paralelas estão situadas a 3 mm de espaçamento com um fluido 
ocupando o espaço entre elas. Considerando que a placa superior com área de 100 cm² 
se desloca com 4 m/s submetido a uma força de 0,18 N e que a placa inferior está 
imóvel, qual a viscosidade absoluta do fluido? 
 
 
 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 6
 
� Massa específica ou densidade (ρ): 
Define - se massa específica como sendo a massa do fluido (M) considerada por 
unidade de seu volume (V). 
 
 
� Peso específico (γ): 
Define - se peso específico como sendo o peso do fluido (G) considerado por unidade 
de volume (V). 
 
 
Relação entre peso específico e massa específica: 
 
 
� Densidade relativa ou simplesmente densidade (γr): 
Define-se densidade relativa (γr), como sendo a relação da massa ou peso específico 
do fluido considerado e a massa ou peso específico padrão da água para líquidos e do 
ar para gases. 
 
 
 
� Viscosidade cinemática (ν): 
A viscosidade cinemática é geralmente obtida em laboratórios através dos 
viscosímetros e é definida como sendo a relação entre a viscosidade dinâmica e a 
massa específica do fluido, ambas consideradas à mesma pressão e temperatura. 
 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 7
A viscosidade cinemática foi criada a partir da equação de Poiseuille, para a 
determinação da viscosidade em viscosímetros industriais. Esta lei é válida para 
escoamentos laminares e em regime permanente, desde que o fluido seja considerado 
Newtoniano e seu escoamento seja considerado incompressível. A unidade de 
viscosidade cinemática pode ser obtida conforme abaixo: 
 
 
Logo: 
 
 
A equação relaciona o tempo necessário (t) para que um volume padrão (V) de um 
dado fluido a uma pressão “p”,escoe em um tubo capilar de comprimento “L” e raio 
“R” é dada por: 
 
 
 
 
EXEMPLOS DE VALORES TÍPICOS DE VISCOSIDADE CINEMÁTICA: 
TABELA VISC. CINEMÁTICA ASSOCIADA A TEMPERATURA 
COMPONENTE T (ºC) 
VISC. 
CINEMÁTICA 
(x10-6 m²/s) 
Água 10 1,31 
Água 20 1,00 
Água 40 0,66 
Água 80 0,37 
Água do mar 5 1,61 
Água do mar 15 1,22 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 8
TABELA VISC. CINEMÁTICA ASSOCIADA A TEMPERATURA 
COMPONENTE T (ºC) 
VISC. 
CINEMÁTICA 
(x10-6 m²/s) 
Água do mar 25 0,97 
Álcool metílico 20 0,727 
Asfalto 120 1600 
Azeite 38 43 
Benzol 20 0,744Gasolina 20 0,6 
Glicerina 0 8310 
Glicerina 20 1180 
Glicerina 40 223 
Leite 20 1,13 
Óleo bruto dens. 0,855 30 5,5 
Óleo bruto dens. 0,855 40 4,5 
Óleo bruto dens. 0,855 60 3,5 
Óleo bruto dens. 0,855 80 2,7 
Óleo bruto dens. 0,855 100 2,1 
Óleo bruto dens. 0,855 120 1,7 
Óleo bruto dens. 0,855 150 1,5 
Óleo comb. dens. 0,940 30 400 
Óleo comb. dens. 0,940 40 180 
Óleo comb. dens. 0,940 60 60 
Óleo comb. dens. 0,940 80 25 
Óleo comb. dens. 0,940 100 13 
Óleo comb. dens. 0,940 120 8 
Óleo comb. dens. 0,968 40 1200 
Óleo comb. dens. 0,968 60 300 
Óleo comb. dens. 0,968 80 80 
Óleo comb. dens. 0,968 100 35 
Óleo comb. dens. 0,968 120 18,5 
Óleo comb. dens. 0,968 150 10 
Óleo de algodão 38 38 
Óleo de baleia 38 38 
Óleo de linhaça 38 30 
Óleo de soja 38 35 
 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 9
TABELA VISC. CINEMÁTICA ASSOCIADA A TEMPERATURA 
COMPONENTE T (ºC) 
VISC. 
CINEMÁTICA 
(x10-6 m²/s) 
Óleo SAE-10 20 80 
Óleo SAE-10 30 45 
Óleo SAE-10 40 30 
Óleo SAE-10 60 15 
Óleo SAE-10 80 10 
Óleo SAE-10 100 5 
Óleo SAE-10 120 3 
Óleo SAE-30 20 250 
Óleo SAE-30 30 130 
Óleo SAE-30 40 80 
Óleo SAE-30 60 35 
Óleo SAE-30 80 19 
Óleo SAE-30 100 10 
Óleo SAE-30 120 6,5 
Tetracloreto carbono 20 0,612 
Fonte: Valores extraídos de Kreith, Lencastre e Simon. 
 
EXEMPLOS: 
 
1- A massa específica de um combustível leve é 805 kg/m3. Determinar o peso 
específico e a densidade deste combustível. (considerar g=9,8 m/s²). 
 
2- Um reservatório graduado contém 500 ml de um líquido que pesa 6 N. Determine 
o peso específico, a massa específica e a densidade do líquido (considerar g=9,8 
m/s²). 
 
3- A viscosidade cinemática de um óleo 0,033 m²/s e a sua densidade é 0,86. 
Determinar a sua viscosidade dinâmica em Pas.O peso específico da água é 
aproximadamente 1000 kg/m3. 
 
4- Duas placas planas paralelas estão situadas a 3 mm de distância. A placa superior 
move-se com velocidade de 4m/s, enquanto que a inferior está imóvel. 
Considerando que um óleo com viscosidade cinemática de 0,15 st. e densidade de 
905 kg/m³ ocupa o espaço entre elas, determinar a tensão de cisalhamento que 
agirá sobre o óleo. 
 
 
 
 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 10 
5- Uma placa retangular de 40 cm por 50 cm escorrega sobre o plano inclinado da 
figura, com velocidade constante, e se apóia sobre uma película de óleo de 2 mm 
de espessura e de µ = 2,0 Pas. Se o peso da placa é 100 N, quanto tempo levará 
para que a sua parte dianteira alcance o fim do plano inclinado? 
 
 
6- Um engenheiro foi designado a obter a viscosidade cinemática de um fluido para 
utilizar numa mistura de argamassa. Para isto, extraiu uma amostra de 1 litro do 
fluido que após pesado deu 9,2 N. Fez então escorregar um cilindro maciço de um 
metal com 2,5kg de massa por uma rampa também metálica separada do cilindro 
por uma película de 0,5 mm deste fluido. Mediu-se então com um cronômetro o 
tempo de descida deste cilindro de A até B conforme figura, obtendo o valor de 86 
seg. Calcular o valor da viscosidade cinemática medida pelo engenheiro em cm²/s 
(st). 
 
 
1.3 Lei de stokes para viscosidade 
Consideremos uma esfera de raio R movendo-se através de um fluido com uma velocidade 
constante. Então, sobre esta esfera existe uma força de resistência exercida pelo fluido, cujo 
módulo F depende do coeficiente de viscosidade µ do fluido, do raio R da esfera e do módulo 
v de sua velocidade (se este é pequeno). A única maneira pela qual estas grandezas podem ser 
combinadas para que o resultado tenha dimensão de força é no produto µRv. Pela análise 
física deste problema, Stokes descobriu que o módulo da força de resistência do fluido sobre a 
esfera se escreve (lei de Stokes): 
 F = 6πµRv 
 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 11 
OBS: 
É interessante notar que se as gotas de chuva provenientes de nuvens situadas a alguns 
quilômetros de altura não encontrassem a resistência do ar, elas seriam extremamente danosas 
ao atingir qualquer corpo na superfície da Terra. Isto não acontece porque elas alcançam uma 
velocidade terminal pequena. Para gotas de 1 mm de diâmetro, por exemplo, o módulo desta 
velocidade vale cerca de 4,3 m/s e para gotas de 2 mm de diâmetro, vale cerca de 5,8 m/s. 
 
PROCESSO DE MEDIÇÃO: 
A obtenção do coeficiente de viscosidade de um líquido através da lei de Stokes pode ser feita 
considerando a queda de uma esfera sob o efeito de seu peso com velocidade constante 
(velocidade terminal), através de um fluido viscoso. As forças que agem na esfera são, além 
do seu peso, o empuxo (Teorema de Arquimedes ) e a força de resistência do fluido, de 
módulos P, E e F, respectivamente. 
Como a velocidade da esfera é constante: P = E + F. 
Sendo R o raio da esfera, m, sua massa, ρ, sua densidade, ρ*, a densidade do fluido em 
questão e g, o módulo da aceleração gravitacional, temos: 
 
 
 
 
Assim, medindo-se a velocidade terminal v da esfera pode-se determinar o coeficiente de 
viscosidade do fluido µ. 
 
 
 
 
 
 
 
(4/3)piR3ρ g = (4/3)piR3ρ*g + 6piµRv 
 
ou 
µ = (2g/9v)R2(ρ − ρ*) 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 12 
PROCESSOS DE MEDIÇÃO DE VISCOSIDADE: 
 
 
EXEMPLO DE UM PROCEDIMENTO PARA MEDIÇÃO DE VISCOSIDADE: 
 
• Encha uma proveta com o líquido de densidade conhecida e cujo coeficiente de 
viscosidade deseja determinar. 
 
• Abandone uma esfera de raio e densidade conhecidas dentro do líquido, medindo o 
tempo que leva para percorrer uma certa distância, cuidando que a esfera tenha 
atingido a velocidade terminal. 
 
• Calcule o módulo desta velocidade. 
 
• Repita o procedimento algumas vezes e calcule o módulo da velocidade terminal 
média. 
 
EXEMPLOS: 
1- Num recipiente com óleo bruto de densidade 0,855 (a 30ºc), mergulhou-se uma esfera 
de raio 4 cm e massa 265g. Nestas condições espera-se que em quanto tempo essa 
esfera se deslocará de 150cm no sentido vertical para o fundo do recipiente, dado a 
viscosidade cinemática do óleo de 5,5 cm²/s. 
 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 13 
2- Uma esfera de peso 1,73N e densidade 7860 Kg/m³, move-se através de um fluido 
cujo 1 litro tem peso de 9,5N. Após várias medições observou-se que os 78cm de 
descida da esfera percorrida com velocidade constante ocorreu num tempo médio de 
20 segundos. Obter a viscosidade cinemática deste fluído em cm²/s e indicar qual tipo 
de fluido mais se aproxima considerando a tabela de viscosidade cinemática. 
 
 
3- Num recipiente com determinado tipo de óleo mergulhou-se uma esfera de 10 cm de 
diâmetro e massa de 700 g. Observou-se que a esfera percorreu 150 cm em 10 
segundos. Sabendo que 1 litro deste óleo pesa 0,940 Kgf, qual dos tipos de óleo abaixo 
mais se enquadra no experimento? 
(1) Óleo comb. 30ºC – 400 cm²/s 
(2) Óleo comb. 35ºC – 290 cm²/s 
(3) Óleo comb. 40ºC – 180 cm²/s 
(4) Óleo SAE 30 20ºC – 250 cm²/s 
 
VISCOSÍMETROS 
A viscosidade é medida em viscosímetros, os quais podem ser classificados em dois grupos: 
primário e secundário. 
No grupo primário estão os instrumentos que realizam medidas diretas da tensão e da taxa de 
deformação do fluido. Instrumentos com diversos arranjos podem ser concebidos para este 
fim: entre eles há o de disco, o de cone-disco e o de cilindro rotativo, todos eles visando a 
reprodução do escoamento entre placas planas paralelas. 
 
EXEMPLO: 
Um viscosímetro do tipo primário é o Brookfield, muito popular pela facilidade de manuseio. A 
Figura mostra um viscosímetro Brookfielde seus vários "spindles" (junto à base, à direita na 
figura), cada um apropriado para medir a viscosidade de fluidos em uma faixa específica: os de 
menor diâmetro, as maiores viscosidades; os de maior diâmetro, as menores viscosidades. 
 
Os viscosímetros do grupo secundário inferem a razão entre a tensão aplicada e a taxa de 
deformação por meios indiretos, isto é, sem medir a tensão e deformação diretamente. Nesta 
categoria está o viscosímetro capilar, no qual a viscosidade é obtida por meio da medida do 
gradiente de pressão de um escoamento laminar em um tubo e o viscosímetro de Stokes, onde 
ela é determinada através de medições do tempo de queda livre de uma esfera através de um 
fluido. 
 
 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 14 
EXEMPLO: 
Um viscosímetro do tipo secundário é o copo Ford. Este aparelho, tipo secundário, é utilizado 
para determinações rápidas e genéricas de viscosidade cinemática. Atende as normas NBR 5849, 
ASTM 1200 e MB 1117. A viscosidade medida está relacionada com o tempo de esvaziamento de 
um copo de volume conhecido que tem um orifício calibrado na sua base. É muito usado para 
estimar a viscosidade de vernizes, tintas, resinas, xampu, creme rinse, cremes, matérias primas e 
outros líquidos com propriedades Newtonianas. 
 
1.4 Estática dos fluidos: Pressão e Empuxo 
1.4.1 – PRESSÃO: 
Pressão é definida como a relação entre a força perpendicular que atual numa área e a própria 
área, conforme figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um sólido, sendo rígido, pode experimentar a ação de uma força que atue sobre um único 
ponto. Um fluido em repouso, contudo, só experimenta a ação de uma força através de uma 
superfície. 
 
É conveniente, portanto, descrever as forças que atuam num fluido especificando a pressão p, 
definida como o número que mede a força atuante em cada unidade de área. 
 
A pressão se transmite às superfícies do recipiente ou através de seções arbitrárias de um 
fluido, sempre perpendicularmente a essas superfícies ou seções em cada ponto. 
 
 
 
 
 
 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 15 
Assim tomando um pequeno elemento de superfície que contém um ponto e considerando o 
quociente quando o elemento tende para este ponto, a pressão neste ponto pode ser dada por: 
 
 
 
 
 
 
• Variação da pressão em fluido em repouso: 
 
Se um fluido está em equilíbrio, qualquer porção deste fluido estará também em equilíbrio. 
Seja um pequeno elemento de fluido situado em seu interior. Consideremos que este elemento 
tenha a forma de um disco de pequena espessura dy, situado a uma distancia y de um nível de 
referência, conf. figura abaixo: 
 
Observa-se que: 
- As forças exercidas neste elemento pelo fluido que o rodeia são perpendiculares a sua 
superfície. 
 
- A componente horizontal da resultante destas forças é nula, pois não existe aceleração 
no eixo horizontal. 
 
- Não existe aceleração também na vertical, logo as forças que agem sobre o elemento na 
vertical é nula. 
 
 
 
 
∆A 
 
∆F 
 
 
 p +dp 
p 
dy 
y 
A 
(p + dp).A 
p.A 
 dw (peso do 
disco imaginário) 
dy 
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 16 
 Assim temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja agora considerando dois pontos de um fluido em repouso, conf. figura: 
 
Temos: 
 
dp/dy = - ρ.g 
 
 
Assim: 
 
 
Então: P2 - P1 = -ρ.g (y1-y2) 
 
 
 
Como y2>y1, teremos p2<p1 indicando que a pressão diminui quanto mais perto da superfície 
estivermos. 
 
Fazendo: 
 p2 = p 
 y2 - y1 = h 
 p1 = p0 
 
 
 
 
 
 
 p2 y1 
∫ dp = - ρ.g ∫ dy 
p1 y2 
Chega-se a: 
 
P = p0 + ρ.g.h 
 
 
1 
2 
P1 
P2 
y1 
y2 
(p + dp).A + dw = p.A, mas dw=dm.g 
 
e ρ = dm/dV = dm/(A.dy); 
 
ou dw = ρ.g.A.dy; 
 
então: 
 
p.A + Adp + ρ.g.A.dy = p.A, 
 
logo : A.dp = - ρ.g.A.dy e assim: dp/dy = - ρ.g 
 
e: dp/dy = -γ(γ(γ(γ(y)))) 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 17 
• Lei de stevin: 
“A diferença de pressão entre dois pontos fluidos, pertencentes a um fluido contínuo, 
incompressível e em repouso é igual ao produto do seu peso específico pela diferença de 
cotas entre os pontos.” 
 
Considerando que o recipiente representado pela figura, encerra um fluido contínuo, 
incompressível, em repouso, que PH é um plano horizontal traçado no meio fluido e que 
p0 - p1 = γ . h = p0 - p2 = p0 - p3=p0 - p4, podemos obter as seguintes conclusões: 
 
 
1ª - Ao traçarmos um plano horizontal em um meio fluido contínuo, incompressível e em 
repouso, todos os seus pontos estarão submetidos a mesma pressão. 
2ª - A pressão em um ponto fluido pertencente a um fluido contínuo, incompressível e em 
repouso não depende do formato do recipiente que o contém, isto desde que o mesmo não 
seja capilar. 
3ª - A diferença de pressão obtida entre dois pontos pertencentes a um fluido contínuo, 
incompressível e em repouso, não depende da distância entre os pontos, depende somente da 
diferença de cotas entre os pontos e de seu peso específico. 
 
Exemplos: 
1- A figura mostra um tanque de gasolina com infiltração de água. Se a densidade da 
gasolina for 0,68 determine a pressão no fundo do tanque ( γH2O = 9800 N/m3 ). 
 
 
2- A água de um lago localizado em uma região montanhosa apresenta uma profundidade 
máxima de 40 m. Se a pressão barométrica local é 598 mmHg, determine a pressão 
absoluta na região mais profunda (γHg = 133 KN/m3 ). Se a densidade média do ar for de 
1,2 Kg/m³, a que altura estimada fica este lago em relação ao nível do mar? 
 
3- A figura mostra um tanque fechado que contém água. O manômetro indica que a 
pressão do ar é 48,3 kPa. Determine: 
a) a altura h da coluna aberta; 
b) a pressão relativa no fundo do tanque 
c) a pressão absoluta do ar no topo do tanque se a pressão atmosférica for 101,13 kPa 
 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 18 
• Lei de Pascal: 
A pressão aplicada em um ponto de um fluido incompressível em repouso é transmitida 
integralmente a todos os pontos do fluido. Sendo assim, considerando o sistema de êmbolos 
da figura abaixo, teremos: 
 
 
 
 
EXEMPLO DE APLICAÇÃO: 
Qual o valor da máxima massa M que um motor de 1/3 cv pode levantar a velocidade 
constante a uma altura de 1 m em 90 segundos? A relação entre as áreas A2 e A1 é 1/4. 
Desprezar o efeito do atrito. Dados: 1cv = 736W; g=9,8 m/s². 
 
 
 
 
 
• Escalas de pressão: 
 
A Terra está envolvida por uma camada de ar, a atmosfera. A pressão atmosférica (PATM) é a 
pressão exercida sobre a superfície da Terra pelo peso da atmosfera. Um modo de medir a 
pressão atmosférica é a experiência de Torricelli. 
 
Torricelli usou um tubo de vidro com aproximadamente 1 m de comprimento fechado em 
uma das extremidades, e cheio de mercúrio, emborcando-o em um recipiente contendo 
também mercúrio, sem que entrasse ar no tubo. A coluna de mercúrio no interior do tubo 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 19 
permaneceu com uma altura de aproximadamente 760 mm, sustentada pela pressão 
atmosférica na superfície livre do mercúrio dentro do recipiente. 
A pressão atmosférica é equivalente à pressão de uma coluna de mercúrio de 760 mm de 
altura, ao nível do mar, a 0 oC e em um local ondea aceleração gravitacional tem módulo 
g = 9,81 m/s2. 
 
Escreve-se assim, simbolicamente: PATM = 760 mmHg = 1 atm. 
 
A pressão atmosférica ao nível do mar pode ser calculada pela expressão: 
 
PATM = mg/A = ρρρρVg/A = ρρρρgh 
 
e como o mercúrio tem uma densidade de 13,6 x 103 kg/m3 temos: 
 
PATM = (13,6 x 103 kg/m3)(9,81 m/s2)(0,76 m) ~ 105 Pa 
 
Ou seja: 
1 atm equivale a aproximadamente 100 kPa (101,325 kPa valor oficial) 
ou 1kgf/cm² 
A tabela abaixo apresenta as principais conversões das unidades de pressão: 
 
 
 
1 kPa = 1.000 Pa = 10³ Pa 
1 kPa= 1.000.000 Pa = 106 Pa 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 20 
 
• Equações manométricas: 
É a expressão que permite, por meio de um manômetro, determinar a pressão de um 
reservatório ou a diferença de pressão entre dois reservatórios. 
Seja o manômetro da figura abaixo, onde se pretende calcular a pressão no fundo dos dois 
ramos: Da direita e esquerda. Pelo Teorema de Stevin, e considerando que, segundo Pascal, a 
pressão se transmite integralmente a todos os pontos do fluido, tem-se: 
 
Pressão no fundo do tanque pelo ramo esquerdo: 
 
Pressão no fundo do tanque pelo ramo direito: 
 
Como o fluído está em equilíbrio, então a pressão no mesmo nível deve ser a mesma. 
Logo, 
 
 
Observa-se que cada peso específico aparece multiplicado pela respectiva altura da coluna, 
sem necessidade de adotar como referência o fundo. Baseada nessa observação pode-se obter 
uma regra prática e de fácil aplicação para a solução das equações manométricas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 21 
Observando a figura abaixo, começa-se do lado esquerdo somando à pressão pA a pressão das 
colunas descendentes e subtraindo aquela das colunas ascendentes. Importante observar que 
as cotas são sempre dadas até a superfície de separação de dois fluidos do manômetro. 
Sendo assim: 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS: 
1- Encontre a pressão da tubulação de água da figura abaixo. Dado: γ (H20)=9800N/m³ e 
γd(Hg)=13,6. 
 
 
2- Determine de pressão entre a tubulação de água e a tubulação de óleo mostrada na 
figura abaixo. 
 
 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 22 
3- Dado o dispositivo da figura, onde h1 = 25 cm, h2 = 10 cm e h3 = 25 cm, h4 = 25 cm, 
calcular: 
a) A pressão efetiva do Gás 2. 
b) A pressão efetiva do Gás 1, sabendo que o manômetro metálico indica uma pressão de 
15000 N/m2. 
c) A pressão absoluta do Gás 1, considerando que a pressão atmosférica local é 730 
mmHg. Dados : γ oleo = 8000 N/m3; γ Hg = 133280 N/m3; γ agua = 9800 N/m3. 
 
4- No dispositivo da figura o manômetro indica 61600 N/m² para a diferença de pressão 
entre o Gás 2 e o Gás 1. Dados γágua = 9800 N/m3 e γHg = 133000 N/m3, determinar: 
a) A pressão do Gás 2. 
b) A distância x na figura. 
 
 
 
 
• Medidores de pressão: 
 
- Manômetro metálico ou de bourdon: 
Pressões ou depressões podem em geral serem medidas por um tipo de manômetro metálico. 
A pressão é medida pela deformação de um tubo metálico indicado na figura. Ao ligar o 
manômetro pela tomada de pressão, o tubo fica internamente submetido a uma pressão p que 
o deforma, havendo um deslocamento de sua extremidade que, ligada ao ponteiro por um 
sistema de alavancas, relacionará sua deformação com a pressão do reservatório. 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 23 
 
 
Este aparelho é usado em diversas aplicações da Engenharia. 
Alguns exemplos: calibragem de pneus em postos de gasolina, “garrafas de oxigênio” em 
hospitais, etc. 
 
 
A leitura da pressão na escala efetiva será feita diretamente no mostrados, quando a parte 
externa do manômetro estiver exposta à pressão atmosférica. 
Exemplo: Seja a medição de pressão realizada na figura a seguir: 
 
Nesse caso, a parte interna do tubo metálico está sujeita à pressão p1, e a externa à pressão p2. 
Desta forma, o manômetro indicará a diferença p1-p2 
Logo, defini-se pressão efetiva como sendo: 
 
 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 24 
 
 
- Coluna piezométrica ou piezômetro: 
 Consiste num simples tubo de vidro que, ligado ao reservatório, permite medir diretamente a 
carga de pressão em função da altura h da coluna. 
 
 
 
- Manômetro com tubo em U: 
A figura a seguir mostra o esquema de um manômetro com tubo em U. Com a inclusão de um 
fluido manométrico (em geral o mercúrio) possibilita-se a medição de pressões efetivas 
negativas. Se isso ocorrer, a coluna de fluido do lado direito ficará abaixo do nível A-A, como 
pode ser visto pela figura (b). 
 
 
Ao mesmo tempo, utilizando um fluido manométrico de elevado peso específico, diminui-se a 
altura da coluna que se formaria com um líquido qualquer. 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 25 
Os manômetros de tubo em u, ligados a dois reservatórios pressurizados sem ramos abertos a 
atmosfera são chamados de manômetros diferenciais. A figura abaixo ilustra estes tipos de 
manômetros. 
 
EXEMPLOS: 
5. No manômetro da figura, o fluido A é água (peso específico de 1000 Kgf/m3 ) e o 
fluido B é mercúrio (peso específico de 13.600 Kgf/m3 ). As alturas são h1 = 5 cm, 
h2 = 7,5 cm e h3 = 15 cm. Qual é a pressão P1? 
 
 
6. Obter a medição da pressão no manômetro pm da figura abaixo se a massa específica 
da água é 1,0 kg/m³ e a do mercúrio 13,6 g/cm³. 
 
 
7. No piezômetro da figura temos o peso específico do fluido 1 igual a 800 kgf/m³ e do 
fluido 2 igual a 1700 kgf/m³. Qual a pressão efetiva medida em p? 
 
 
 
 
 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 26 
1.4.2 – EMPUXO: 
 
Teorema de Arquimedes 
Um corpo mergulhado num líquido recebe forças do líquido em toda sua superfície, 
conforme a figura. 
 
 As componentes horizontais das forças se equilibram e as componentes verticais fornecem 
uma resultante para cima. 
Vamos considerar um corpo cilíndrico totalmente submerso num líquido em equilíbrio, 
conforme mostra a figura. 
 
 
 
O líquido exerce pressão em todos os pontos do cilindro. 
Seja F1 a força que o líquido exerce em cima do cilindro de área A1 e F2 a força que o líquido 
exerce embaixo do cilindro de área A2. 
Como A1 = A2 e P2 > P1 (a pressão aumenta com a profundidade), temos: 
 
A diferença das intensidades das forças F1 e F2 é a intensidade da força de empuxo E. 
 
 
 
Todo corpo imerso em um fluido recebe uma força vertical para cima chamada 
empuxo, de intensidade igual à intensidade de peso do fluido deslocado. 
 
 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 27 
Sejam: 
 ρc - massa específica do corpo que será imerso. 
 mc - massa do corpo 
 Vc - volume do corpo 
 Gc - peso do corpo. 
h- altura do corpo sólido 
 ρL - massa específica do líquido 
 mL - massa do líquido deslocado 
 VL - volume do líquido deslocado 
 GL peso do líquido deslocado 
 
Para o fluido: 
 
 
 
Para o corpo sólido: 
 
1o Caso 
Seja mergulhar num líquido um corpo menos denso que o líquido. Ele vai flutuar com 
uma parte submersa. 
 
 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 28 
2o Caso 
 Seja mergulhar um corpo de mesma densidade que o líquido. Ele ficará totalmente 
submerso, numa situação de equilíbrio indiferente. 
 
 
 3o Caso 
 Seja mergulhar um corpo mais denso do que o líquido. Ele ficará em contato com o 
fundo do recipiente. 
 
 
 Peso AparenteVamos medir a intensidade da força peso Gc de um corpo utilizando um dinamômetro: 
 
 
Com o corpo em equilíbrio, temos: Gc = T. Neste caso, com o objeto no vácuo o 
dinamômetro indica o valor da força peso do objeto. Contudo, quando este processo de 
medição é realizado com o corpo imerso num fluido (gás ou líquido), o corpo fica sujeito 
a uma força de empuxo E, aplicada pelo fluido. 
 
 
 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 29 
Assim, a intensidade da força T, que é medida pelo dinamômetro, é: 
T = Gc – E (na situação de equilíbrio) 
 
Esse valor é chamado de peso aparente: 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS: 
 
1. Um bloco de madeira, cuja massa específica é de 0,6 g/cm3 é colocado num recipiente 
contendo água de massa específica 1,0 g/cm3 num local onde g = 10 m/s2. Calcule a razão 
entre o volume submerso e o volume total do bloco. 
 
2. Uma esfera maciça de raio 5 cm está totalmente submersa, sem tocar o fundo do 
recipiente em equilíbrio num líquido de massa específica 2 g/cm3, num local onde g = 10 
m/s2. Calcule: 
a) a massa específica do material da esfera; 
b) a intensidade do empuxo recebido pela esfera. 
 
3. Uma plataforma de madeira de massa 600 kg boia na superfície da água com 7 cm de sua 
espessura submersa. Ao colocar um objeto sobre a superfície da plataforma observou-se 
que a parte submersa da espessura passou a 9 cm. Qual a massa do objeto? 
 
 
 
 
4. Um cilindro oco de aço resgado pela metade, conf. figura, possui uma relação entre sua 
espessura e diâmetro externo igual a 1/48. Sabendo que a massa específica do aço é 
10000 kg/m³, qual o percentual que ele ficará submerso na água em relação ao seu volume 
total? Dado: massa especif. da água = 1000 kg/m³. 
 
 
 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 30 
1.5 Forças submersas em superfícies planas: barragens 
As superfícies submersas em fluidos ficam sujeitas a pressões que variam com a 
profundidade, e se distribuem uniformemente pela superfície plana submersa. O produto da 
pressão pela área da superfície submersa determina uma força F equivalente aplicada a ela. 
Consideremos a figura abaixo, onde a superfície plana AB está submersa num fluido com 
peso específico γ. Objetiva-se determinar uma força equivalente F concentrada e seu ponto de 
aplicação (CP) que represente a carga distribuída pela sua superfície. 
 
- FORÇA EQUIVALENTE: 
 
Por definição sabemos que o centro de gravidade (CG) de uma figura plana é dado 
por: 
 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 31 
Logo, a força equivalente F na superfície submersa descrita por: 
 
Pode ser dada também por: 
 
Mas o centro de gravidade da superfície submersa no eixo perpendicular à 
superfície do fluido é dada por: 
 
Assim, a força equivalente F na superfície submersa pode ser obtida pela 
relação: 
 
 
 
- PONTO DE APLICAÇÃO DE F: CENTRO DAS PRESSÕES (CP) 
Define-se “centro das pressões” (CP) como o ponto de aplicação da força 
resultante das pressões (força equivalente F) sobre uma dada área submersa em 
fluido de peso específico γ. 
 
 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 32 
Seja a figura: 
 
Temos: 
 
Aplicando momento em relação a Oy, temos 
 
e: 
 
O ponto de aplicação da força equivalente F é dado pela relação: 
 
Onde YCP é o ponto de aplicação da força equivalente F (Centro das pressões). 
Logo: 
 
Mas: 
 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 33 
Então: 
 
O que dá: 
 
A relação ∫y².dA é definida como momento de inércia de área I0 em relação a x. 
Assim: 
 
Onde YCP é o ponto de aplicação da força equivalente 
 
OBS: Em geral o ponto de aplicação da força equivalente F, YCP, coincide com o 
CG da figura formada pelo diagrama de pressão sobre a placa submersa. 
 
Assim teremos: 
1- Placa submersa a partir do nível σ do fluido 
 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 34 
2- Placa plana submersa a uma altura H a partir do nível σ do fluido. 
Neste caso os esforços na placa submersa podem ser divididos em 2 partes: 
I – Esforço devido a pressão até a profundidade H 
II – Esforços devido a variação da pressão na placa submersa de altura h. 
 
Os dois diagramas de esforços podem ser representados por duas forças 
equivalentes atuando na placa submersa FI e FII, representando os efeitos 
devido a pressão até a profundidade H e a variação da pressão sobre a placa 
submersa, respectivamente. 
 
Estas forças e seus CP podem então ser representados na placa submersa da 
seguinte forma: 
 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 35 
O centro de pressão para as duas forças combinadas será obtido por: 
 
LOGO: 
 
Observa-se que: 
 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 36 
Assim, pode-se dizer que o centro de pressões (CP) localiza-se sempre abaixo do 
C.G. da placa submersa, tendendo a se igualar com ele para grandes 
profundidades comparadas com a altura da placa submersa. 
Ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 37 
ESFORÇOS EM BARRAGENS PLANAS – RESUMO 
 
 
 
O gráfico mostra a tendência do ponto de aplicação (YCP) da força equivalente na barragem 
de atingir o valor do centro de gravidade da mesma (h/2) quando ela se situa a grandes 
profundidades comparado com sua altura, independendo 
do valor da mesma. 
H (m)
h (m)
F1
F2
F1
F2
YCP=2h/3 Y=h/2 
YCP = h.(3.H + 2.h)
3.(2.H + h)
YCP x (F1+F2) = F1x(h/2)+F2x(2h/3) 
h/2 = Centro de gravidade da figura 
formada pelos esforços de pressão F1.
2h/3 = Centro de gravidade da figura
formada pelos esforços de pressão F2.
h (m)= 1 2 3
H (m) YCP (h=1m) YCP (h=2m) YCP (h=2m)
0 0,6667 1,3333 2,0000
1 0,5556 1,1667 1,8000
2 0,5333 1,1111 1,7143
3 0,5238 1,0833 1,6667
4 0,5185 1,0667 1,6364
5 0,5152 1,0556 1,6154
6 0,5128 1,0476 1,6000
7 0,5111 1,0417 1,5882
8 0,5098 1,0370 1,5789
9 0,5088 1,0333 1,5714
10 0,5079 1,0303 1,5652
11 0,5072 1,0278 1,5600
12 0,5067 1,0256 1,5556
13 0,5062 1,0238 1,5517
14 0,5057 1,0222 1,5484
15 0,5054 1,0208 1,5455
16 0,5051 1,0196 1,5429
17 0,5048 1,0185 1,5405
18 0,5045 1,0175 1,5385
19 0,5043 1,0167 1,5366
20 0,5041 1,0159 1,5349
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920
H(m)
YC
P
YCP (h=1m) YCP (h=2m) YCP (h=2m)
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 38 
 
EXEMPLOS: 
 
1. Para o cálculo de forças sobre superfícies planas submersas considere a comporta 
retangular mostrada abaixo de peso desprezível e articulada em O e apoiada em C. Obter a 
altura h a partir do qual a comporta girará, no sentido horário em torno do eixo que passe por 
O. A largura da comporta é 2m. 
 
 
 
 
2. Determinar a força F que deverá ser aplicada no ponto A da comporta da figura para que 
permaneça em equilíbrio, sabendo que ela pode girar em torno do ponto O. 
 
 
 
 
 
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 39 
 
1.6 Cinemática dos fluidos: Vazão 
• VAZÃO EM VOLUME 
Vazão em Volume é o volume de fluido que escoa através de uma certa seção em um 
intervalo de tempo. 
 
 
 
 
• VAZÃO EM MASSA 
Vazão em MassaVazão em MassaVazão em MassaVazão em Massa é a massa de fluido que escoa através de uma certa seção em um 
intervalode tempo. 
 
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 40 
 
• VAZÃO EM PESO 
Vazão em pesoVazão em pesoVazão em pesoVazão em peso é o peso de fluido que escoa através de uma certa seção em um intervalo 
de tempo. 
 
 
• EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE PARA REGIME PERMANENTE 
No regime permanente a massa em cada seção é a mesma. 
 
No caso em que o fluido é incompressível, como sua massa específica é constante, a equação 
da continuidade poderá ser então escrita: 
 
• EQUAÇÃO DA JUNÇÃO DE DUTOS 
Quando há a junção de dois ou mais dutos observa-se que a soma das vazões em 
massa na junção é igual a zero. 
 
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 41 
 
• RELAÇÃO VAZÃO, ALTURA E POTÊNCIA DE UM FLUIDO 
Seja obter a potência mínima necessária para elevar um fluido com vazão Q de uma altura h, 
ou a máxima potência que pode se obter de um fluido a uma altura h com vazão média Q. 
 
Temos: 
 
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 42 
EXEMPLOS: 
1- Na tubulação convergente da figura, calcule a vazão em volume e a velocidade na 
seção 2 sabendo que o fluido é incompressível. 
 
2- No tanque misturador da figura 20 l/s de água (ρ = 1000 Kg/m3 ) são misturados 
com 10/s de um óleo (ρ = 800 Kg/m3 ) formando uma mistura. Determinar a massa 
específica e a velocidade da mistura formada. 
 
3- O avião esboçado na figura voa a 971 km/h. A área da seção frontal de alimentação 
de ar da turbina é igual a 0,8 m2 e o ar, neste local, apresenta massa específica de 0,736 
kg/m3. Um observador situado no avião detecta que a velocidade dos gases na exaustão da 
turbina é igual a 2021 km/h. A área da seção transversal da exaustão da turbina é 0,558 
m2 e a massa específica dos gases é 0,515 kg/m3. Determine a vazão em massa de 
combustível utilizada na turbina. 
 
4- Os dois tanques cúbicos com água são esvaziados ao mesmo tempo, pela tubulação 
indicada na figura, em 500 s. Determinar a velocidade da água na seção A, supondo 
desprezível a variação de vazão com a altura. 
 
 
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 43 
5- A Água é descarregada de um tanque cúbico de 5 m de aresta por um tubo de 5 cm de 
diâmetro localizado na base. A vazão de água no tubo é 10 l/s. Determinar a velocidade de 
descida da superfície livre da água do tanque e, supondo desprezível a variação de vazão, 
determinar o tempo que o nível da água levará para descer 20 cm. 
 
6- Dois reservatórios cúbicos de 10 m e 5 m de aresta, são enchidos por água proveniente de 
uma mesma tubulação em 500 s e 100 s, respectivamente. Determinar a velocidade da 
água na tubulação sabendo que o seu diâmetro é 1,0 m. 
 
7- Após estudos realizados em um riacho observou-se a possibilidade da construção de uma 
PCH com 30 m de queda e uma vazão média medida de 200 L/s. Baseado nestes valores 
obter: 
a- O valor máximo da potência elétrica que pode-se obter. 
b- Considerando uma perda elétrica e mecânica de 40% para a obtenção da potência útil, 
e que o consumo médio mensal de um conjunto de unidades consumidoras (UCs) a 
serem atendidas é de 180 kWh, quantas UCs espera-se que esta PCH possa atender? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 44 
1.7 Dinâmica dos fluidos: Equação de Bernoulli 
1.7.4 Conceitos gerais sobre escoamento de fluidos: 
 
Uma das maneiras de descrever o movimento dos fluidos consiste em imaginá-los divididos 
em elementos infinitesimais de volume, que pode-se chamar de partículas do fluido e 
acompanhar o movimento de cada uma delas. 
 
Por exemplo, seja atribuir a cada partícula do fluido as coordenadas x, y, z e exprimi-las em 
função do tempo t. No instante t0 cada partícula do fluido encontra-se no ponto de 
coordenadas x0, y0 e z0. 
 
No instante t as coordenadas x, y e z seriam determinadas pelas funções X(x0, y0, z0, t0); 
Y(x0, y0, z0, t0) e Z(x0, y0, z0, t0); respectivamente, que então descrevem o movimento do 
fluido. 
Este tratamento usa conceitos de mecânica da partícula desenvolvida por lagrange (1736 – 
1813). 
Um outro tratamento, desenvolvido por Leonhard Euler (1707-1783) tem sido mais usual pela 
sua praticidade. Neste método abandona-se a tentativa de especificar o comportamento de 
cada partícula, a cada instante e especifica-se, por exemplo, a densidade e velocidade do 
fluido, a pressão, etc. em cada ponto do espaço a cada instante. 
 
Assim, por exemplo, descreve-se o movimento do fluido especificando, por exemplo, a 
densidade φ(x, y, z, t) e a velocidade ν(x, y, z, t) para cada ponto x, y, z no instante t. 
 
t0 
t 
P0 
P 
x0 
y0 
z0 
x 
y 
z 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 45 
 
Qualquer grandeza usada para descrever o estado do fluido, por exemplo pressão p, terá 
valores definidos em cada ponto do espaço e a cada instante. 
 
Características gerais sobre o escoamento dos fluidos: 
 
O escoamento de um fluido pode ser estacionário (laminar) ou não estacionário 
(Turbulento). 
 
- O escoamento é denominado estacionário ou laminar quando a velocidade v 
de escoamento for independente do tempo, ou seja, CONSTANTE, num 
determinado ponto. Essa condição geralmente é alcançada para pequenas 
velocidades de escoamento. 
 Ex. Córrego que escoa mansamente. 
 
- O escoamento é denominado não estacionário ou turbulento quando as 
velocidades v são funções do tempo, variando de um ponto a outro ao acaso, 
como também de um instante para o seguinte. 
Ex. cachoeiras, quedas d’água, rio com piso muito irregular e fortes 
correntezas. 
 
 
 
 
v0, po, etc 
P0 
P 
x0 
y0 
z0 
x 
y 
z 
v, p, etc 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 46 
O escoamento de um fluido pode também ser classificado como rotacional ou 
irrotacional. 
 
- Se cada ponto de um elemento do fluido possui velocidade angular nula em 
torno daquele ponto o escoamento é irrotacional. Caso contrário será 
rotacional. 
Ex. Seja uma pequena roda de pás imersa em um fluido móvel, conf. figura 
abaixo. 
 
 
 
Se a roda se mover sem girar o movimento é irrotacional. Caso contrário será 
rotacional. 
 
Em geral para escoamentos irrotacionais as modelagens matemáticas para 
representação do fenômeno são mais simples. Já no caso dos escoamentos 
rotacionais essas modelagens se tornam mais complexas, pois têm que 
abranger movimentos turbulentos como, por exemplo, redemoinhos. 
 
- O escoamento do fluido pode ainda ser classificado como compressível 
 (massa específica variável) ou incompressível (massa específica constante). 
 Em geral, o escoamento dos líquidos pode ser considerados como 
incompressíveis. Já para os gases apenas em alguns casos. 
 
- O escoamento de um fluido pode também ser classificado em viscoso e não 
viscoso. A viscosidade do movimento de um fluido é análoga ao atrito no 
movimento dos sólidos. 
 
Neste item será abordado o equacionamento para escoamento laminar, 
irrotacional, incompressível e não viscoso. 
 
 
 
 
 
 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 47 
 
1.7.2. Equação de Bernoulli pra fluido ideal (sem perdas): 
 
Uma relação fundamental da mecânica dos fluidos derivada das leis básicas da 
mecânica Newtoniana é a EQUAÇÃO DE BERNOULLI. 
 
 A equação de Bernoulli utiliza mecânica Newtoniana para seu 
equacionamento, ou seja, consideremos o fluido da figura abaixo emescoamento 
da seção (1) para a seção (2): 
 
 
 
Pela lei da conservação de energia: 
∆ T T T T + ∆Ec + ∆Ep+ ∆Q+ ∆Em = 0; onde: 
 
∆ T = F. ∆l: Variação do trabalho mecânico 
∆Ec = ½.m.v²: Variação da energia cinética 
∆Ep = m.g.y: Variação da energia potencial 
∆Q = m.c.∆T: Variação da energia sob forma de calor 
∆Em= ½.k.x²: Variação da energia de mola 
 
Para o caso em questão: 
∆Q = 0 
∆Em= 0 
 
 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 48 
Então: l 
∆ T + ΔEc + ΔEp = 0 
(F2.∆l2 – F1.∆l1) + (½ mv2²- 1/2mv1²) + (mgy2-mgy1) = 0 
(p2.A2.∆l2-p1.A1.∆l1) + (½ mv2²- ½mv1²) + (mgy2-mgy1) = 0 
Mas 
A2.∆l2 =A1 ∆l1=V 
Então: 
(p2 – p1).V + ½.m.(v2²- v1²) + m.g.(y2-y1) 
Sabemos que a massa específica de um fluido é dada por: ρ = m/V, 
Logo: V= m/ρ, o que leva a 
(p2 – p1).m/ρ + ½.m.(v2²- v1²) + m.g.(y2-y1)=0 
e, simplificando as massas m: 
(p2 – p1)/ρ + ½.(v2²- v1²) + g.(y2-y1)=0 
Dividindo ambos os membros por g, teremos: 
(p2 – p1)/ρ.g + (v2²/2g - v1²/2g) + (y2-y1)=0 
Como peso específico γ = ρ.g 
A eq. De Bernoulli fica: 
 
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 49 
Define-se então a grandeza ALTURA MANOMÉTRICA (H) como a relação: 
 
 
Onde: 
 
 
• Equação de Bernoulli para fluido ideal (sem perdas): 
 
 
 
 
 
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 50 
 Exemplos: 
 
1- O tanque da figura tem grandes dimensões e descarrega água pelo tubo indicado. 
Considerando o fluido ideal, determinar a vazão em volume de água descarregada, se a 
seção do tubo é 10 cm². 
 
 
 
 
2- Na figura abaixo, a água escoa em regime permanente através de um tubo redutor 
inclinado. Determine a pressão efetiva necessária na seção 1 para que seja possível 
fornecer uma vazão de 20 litros por segundo para seção 2 à pressão atmosférica. 
Dado: g= 9,8 m/s² e ρΗ20 = 1000 kg/m³. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 51 
1.7.4 Equação de Bernoulli para fluido real (perdas): 
 
Seja o conduto abaixo com o fluido em escoamento. É comum a representação da 
perda de carga dos trechos de uma tubulação durante o escoamento de um fluido 
por uma altura manométrica Hp. 
 
É bastante comum esta perda ser representada por uma potência perdida Np no 
trecho da tubulação dada por: 
 
 
Onde: 
γ − Peso específico do fluido em N/m³ 
Q – Vazão do fluido (m³/s) 
Hp – Altura manométrica equivalente de perda de carga (m) 
Np – Potencia perdida (W) 
 
OBS: Esta perda de carga está associada ao atrito do fluido com a tubulação e 
obtida de forma experimental ou empírica em função da velocidade de 
escoamento e características da tubulação como rugosidade, curvas, etc. 
 
 
 
 
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 52 
Logo a equação de Bernoulli para fluido real fica: 
 
 
Exemplos: 
 
3- O tanque da figura descarrega água pela tubulação inclinada. Considerando uma perda 
de carga proporcional ao dobro da extensão da parte inclinada da tubulação, 
determinar a vazão de água descarregada, se a seção de descarga da água tem área de 
50 cm². Dado: g= 10 m/s². Tanque de grandes dimensões. 
 
 
4- Na instalação da figura abaixo, a água é descarregada na atmosfera com uma vazão de 
10 L/s pelo tubo, cuja seção é 10 cm². Determinar a perda de carga em (W) entre as 
seções (1) e (2). 
 
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 53 
 
1.7.4 MÁQUINAS HIDRÁULICAS 
 
Define-se máquina hidráulica como o dispositivo que fornece e retira energia do fluido. 
Classifica-se a máquina hidráulica em relação a sua capacidade de fornecer ou retirar ou 
transformar a energia do fluido incompressível. 
 
São elas: 
- MÁQUINAS GERATRIZES – Recebem trabalho mecânico e o transforma em energia fluida. 
Ex. bombas hidráulicas, ventiladores, etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- MÁQUINAS MOTRIZES – Transformam a energia de um fluido em energia mecânica. 
Ex. Turbinas hidráulicas e a ar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BOMBA HIDRÁULICA 
TURBINAS 
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 54 
- MÁQUINAS MISTAS – São dispositivos que apenas modificam a energia que o fluido 
possui. Ex. Carneiros hidráulicos, ejetores. 
 
O bombeamento de água utilizando CARNEIRO HIDRÁULICO é amplamente empregado 
em muitas propriedades, principalmente onde a energia elétrica é escassa ou inexistente. 
Apresenta as vantagens de não necessitar de fonte externa de energia, manutenção barata e 
simples e não exigir mão-de-obra qualificada. 
 
O princípio de funcionamento do carneiro hidráulico é decorrente do golpe de aríete causado 
pelo fechamento de uma válvula, que interrompe o movimento da água proveniente de uma 
fonte de alimentação localizada em nível superior. 
 
 
 
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 55 
Carneiro Hidráulico: Equacionamento: 
 A descarga (vazão) fornecida pelo carneiro hidráulico depende da vazão de acionamento e 
também da altura de queda; 
A altura H a que se pretende elevar a água influi igualmente sobre o valor do rendimento do 
carneiro; 
A capacidade do carneiro hidráulico, isto é, a vazão (descarga) recalcada q, é calculada pela 
equação: 
 
 
 
O Rendimento Hidráulico do Carneiro (R) varia segundo a relação entre a ALTURA DE 
QUEDA e a ALTURA TOTAL DE RECALQUE (Desnível + Perda de Carga). A Tabela a 
seguir apresenta valores médios de rendimento hidráulico para diferentes relações de h / H: 
 
 
Exemplo: 
Para o fornecimento de água às diversas atividades agrícolas de uma fazenda, foi construída 
uma caixa d’água com capacidade de 6 m3, a qual deve ser abastecida diariamente. Próximo a 
este reservatório, com cota 6 m abaixo, existe uma fonte de água com vazão contínua de 0,5 
L/s (30 L/min) que permite uma queda de 3 m. Desprezando as perdas na tubulação de 
recalque, determinar a vazão e o tempo de abastecimento do reservatório. 
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 56 
 
 
 
Os EJETORES são dispositivos apropriados para aspirar e recalcar um fluído (líquido, gás 
ou vapor) ou uma mistura fluído-sólido, por aplicação prática do fenômeno de Venturi. 
 
 
 
 
 
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 57 
- Potência do Fluido (N) 
 
Para definirmos a potência do fluido (N), utilizamos o conceito de altura manométrica de 
uma máquina hidráulica (HM). Como HM representa a energia fornecida (ou retirada) por 
unidade de peso do fluido (G), podemos concluir que a energia total do fluido (Ef), que foi 
fornecida, ou retirada, pode ser calculada pela equação: 
 
Ao considerarmos a energia total do fluido (Ef) por unidade de tempo, estaremos definindo a potência 
do fluido (N). 
 
- Equação de Bernoulli com presença de máquinas hidráulicas 
 
Seja uma máquina hidráulica M instalada entre as seções (1) e (2) de uma instalação hidráulica, conf 
abaixo: 
 
 
Pode-se obter a equação efetuando o balanço de energias entre as seções 1 e 2 de forma que : 
 
 
- Se a máquina hidráulica for uma BOMBA hidráulica teremos: 
 
 
 
O que representa a altura manométrica da bomba ou energia por unidade de peso que a bomba 
fornece. A equação fica: 
 
 
 
 
 
 
- Se a máquina hidráulica for uma TURBINA teremos: 
 
 
 
O que representa a altura manométrica da turbina ouenergia por unidade de peso que a turbina 
absorve do fluido, transformando-a em energia mecânica. 
A equação fica: 
 
 
 
M 
(1) (2) 
H1 + HM = H2 +HP 
 HM = HB > 0 
H1 + HB = H2 +HP 
 HM = - HT < 0 
H1 - HT = H2 +HP 
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 58 
 
- As máquinas mistas apenas alteram os termos internos das alturas manométricas, não 
fornecendo nem retirando energia do fluido, podendo apenas influir em suas perdas HP 
- Rendimento das Máquinas hidráulicas 
 
- Bomba (NB) 
Para a compreensão deste tópico, consideramos o funcionamento convencional de uma bomba, 
como o representado pela figura a seguir; onde: 
 
 
 
 
Lembrando o conceito de rendimento de uma máquina ( η ), temos: 
 
 
 
Através do conceito de rendimento, podemos concluir: 
 
 
Considerando só a bomba, podemos definir o rendimento da bomba (ηB) pela equação: 
 
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 59 
 
 
OBS: 
 
 
 
- Turbina (NT) 
 
Consideremos o funcionamento convencional da turbina representado pela figura abaixo, onde: 
 
 
Considerando só a turbina, teremos para o rendimento (ηT) da turbina: 
 
 
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 60 
 
OBS: 
 
EXEMPLO: 
 
5- O reservatório de grandes dimensões da figura descarrega água pelo tubo a uma vazão de 
10 l/s. Considerando o fluido ideal, determinar se a máquina instalada é bomba ou turbina 
e determinar sua potência se o rendimento for de 75%. A área da seção do tubo é 10 
cm². 
 
6- Na instalação da figura a máquina é uma bomba e o fluido é água. A bomba tem potência 
de 3600 W e seu rendimento é 80%. A água é descarregada na atmosfera a uma 
velocidade de 5 m/s pelo tubo, cuja área da seção é 10 cm2. Determinar a perda de carga 
entre as seções (1) e (2). 
 
7- Uma entrada de água em uma represa tem seção reta com área igual a 0,7m². A água 
escoa com velocidade 0,4m/s na entrada. No edifício gerador que está a 174m abaixo da 
entrada d’água, esta á abandonada a velocidadede 9,4m/s. Calcule a potência da turbina a 
ser utilizada considerando um rendimento médio de 0,85 e a potência de um gerador a ser 
utilizado considerando um rendimento médio de 0,90. 
 
 
 
 
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 61 
1.8 Equação da Energia para o Escoamento Unidirecional, Incompressível e 
em Regime Permanente em Instalações com Diversas Entradas e 
Saídas. 
 
A equação estabelecida anteriormente, H1+HM=H2+HP, só é válida para instalação com uma entrada 
e uma saída o que equivale a dizer que só é válida para uma única vazão. 
 
Nos casos de instalações com mais de uma entrada e/ou saída, onde teríamos mais do que uma 
vazão diferente, conf. mostrado abaixo, o balanço das equações deve ser feito com relação as 
potências do fluido, das máquinas hidráulicas e perdas de carga. 
 
Assim, seja, por exemplo, a instalação abaixo. 
 
Ao observamos a figura, verificamos que a equação anterior é válida no trecho (I) e (II), nos demais 
não seria, já que teríamos mais do que uma vazão, neste caso o balanço deve ser feito em relação as 
potências, ou seja: 
 
 
 
Considerando a figura, podemos escrever que: 
 
 
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 62 
 
 
Devemos notar, que a situação descrita pela figura, não prevê nenhuma máquina hidráulica, se a 
mesma fosse colocada entre as seções (I) e (II), o equacionamento seria: 
 
EXEMPLO: 
Uma bomba hidráulica alimenta dois esguichos idênticos com água saindo com mesma velocidade 
proveniente de dois reservatórios de grandes dimensões mantidos às cotas de h1=2m e h2=1m. 
Calcular o rendimento e altura manométrica da bomba, sabendo que a potência dissipada na 
tubulação é de 1137W e que na bomba são dissipadas 500KJ em cada 20 min. O primeiro 
recipiente tem 72m³ de capacidade e o segundo 36m³. Ambos devem ser esvaziados em 1 hora. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 63 
1.9 Medidas de vazão: 
 
1.9.1 INTRODUÇÃO: 
 
A forma mais simples de se obter a vazão de escoamento de uma instalação é através de um 
reservatório de seção transversal A conhecida e um cronômetro para marcar o tempo de 
variação do nível ∆h do reservatório. 
 
Outra forma seria medir a massa do reservatório vazio m0 e depois após um intervalo de tempo de t 
segundos medir novamente a massa mt. 
 
Desta forma a vazão em massa seria dada por: 
 
 
A vazão em volume será: 
 
Apesar da simplicidade destes métodos, na prática, geralmente suas aplicações não são viáveis, pois 
se teria que desviar o fluxo da instalação toda vez que fosse necessário determinar a vazão. 
 
 
 
∆h em t 
Q 
A 
 
Q = A.∆h t (m³/s) 
 
 
Qm = m t 
 
- m o 
t 
(Kg /s) 
 
 
 
BALANÇA 
t=0 
t 
Q 
 
 
Q = Qm ρ (m³/s) 
Onde ρ é a massa específica do líquido em 
em escoamento. 
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 64 
- Desta forma, faz-se necessário o uso de aparelhos medidores de vazão para obtenção de 
forma indireta. Eles devem ser ensaiados para determinação de sua curva característica e 
calibrados para determinação de sua curva de calibração. 
 
- Em função disto podem ser usados coeficientes de correção nos medidores de Vazão, tais 
como: 
 
•••• Coeficiente de velocidade Cv que equivale a relação V real /V teórica do fluido. 
•••• Coeficiente de contração Cc que equivale a relação Área contraída/Área normal do 
fluido. 
•••• Coeficiente de vazão ou descarga Cd que equivale a relação entre a Vazão real Qr e 
a vazão teórica Qt. 
 
Neste caso pode-se mostrar que: Cd = Cv.Cc 
 
EXEMPLO: 
Obter o valor do coeficiente de velocidade da instalação abaixo, para h=3m; x=3,16m e y=1m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h (m)
Y (m)
X (m)
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 65 
 
1.9.2 MEDIÇÃO DE VAZÃO: Tubo de Venturi 
É um tipo de medidor de vazão de forma indireta através da diferença de pressão medida em 
dois pontos do tubo com áreas transversais diferentes e conhecida, conf. figura abaixo. Sua 
aplicação mais usual é para fluidos em forma líquida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
No tubo de Venturi da figura água escoa como fluido ideal. A área na seção (1) é 20 cm² 
enquanto que a da seção (2) é 10 cm². Um manômetro cujo fluido manométrico é mercúrio 
(gHg =13600 kgf/m³ ) é ligado entre as seções (1) e (2) e indica um desnível "h" de 10 cm. 
Obter a vazão em volume de água. (gH2O = 1000 kgf/m³). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Q 
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 66 
1.9.3 MEDIÇÃO DE VAZÃO: Tubo de Pitot 
O Tubo de Pitot é um instrumento utilizado para a medição de velocidades de escoamentos, 
tanto internos quanto externos, para líquidos ou gases. O instrumento foi apresentado em 1732 
por Henry de Pitot. 
 
Algumas das aplicações deste aparelho: 
Líquidos: 
 
- Determinação da velocidade/vazão de escoamento de cursos de água rápidos; 
- Determinação da velocidade/vazão de líquidos em tubulações. 
Gases: 
- Determinação da velocidade no acondicionamento de ar; 
- Determinação da curva de um ventilador; 
- Determinação da velocidade em transporte pneumático; 
- Determinação da velocidade em fluxo de gás combustível; 
- Determinação da velocidade em sistemas de gás de processamento; 
- Determinação de velocidadede aviões; 
- Determinação de vazamento em redes de distribuição (pitometria); etc 
 
Os conceitos básicos necessários para o entendimento e para o uso do Tubo de Pitot estão 
associados às pressões do escoamento: 
 
Pressão Estática – é a pressão real ou a pressão termodinâmica que atua no fluido. Pode também ser 
definida como a pressão acusada por um sensor que acompanha o fluido, com a mesma velocidade 
deste. É medida através do uso de um pequeno orifício executado na parede da tubulação ou de outra 
superfície alinhada com o escoamento, tendo-se o cuidado de que esta medição altere o mínimo 
possível o movimento do fluido. 
 
Pressão Dinâmica – é a pressão decorrente da transformação da energia cinética do fluido em 
pressão, através de uma desaceleração isoentrópica do mesmo. 
Pressão Total, de Impacto ou de Estagnação – é a soma da pressão estática com a pressão dinâmica. A 
sua medição é feita através de uma tomada de pressão voltada contra o escoamento e alinhada com as 
linhas de corrente, de forma a receber o impacto do fluido. 
 
Na Figura 1, considera-se uma linha de corrente de um escoamento horizontal, contendo os pontos 1 e 
2. O ponto 2 se encontra justamente no interior do sensor de pressão e o fluido neste ponto está em 
repouso. Utilizando-se a Equação de Bernoulli, tem-se que as energias potenciais dos pontos 1 e 2 são 
idênticas e não necessitam ser consideradas. Assim, tem-se do lado esquerdo da equação (1), 
respectivamente, a energia cinética e a “energia de pressão” ou trabalho de escoamento do ponto 1. Do 
lado direito tem-se os mesmos termos relativos ao ponto 2. Como a velocidade no ponto 2, v2, é nula, 
tem-se do lado direito apenas o termo relativo à pressão, no caso, à pressão total ou de estagnação. 
Esta pressão é igual à pressão estática no ponto 1, adicionada à energia cinética do escoamento no 
ponto 1, equação (2). 
 
 
 
 
 
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 67 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando-se ainda as definições apresentadas, pode-se acompanhar os sensores indicados 
na Figura 1. O sensor (a), mede a pressão estática por estar conectado à tubulação. O sensor 
(b) mede a pressão estática, pois também está conectado à tubulação como (a), e recebe o 
impacto do fluido, medindo adicionalmente a pressão dinâmica. Portanto o sensor (b) acusa a 
pressão total do escoamento. Pela forma de sua montagem, o sensor (c) indica no lado direito 
a pressão estática juntamente com a dinâmica e do lado esquerdo indica apenas a pressão 
estática. Em consequência (c) indica apenas a pressão dinâmica. 
 
 
 
Na Figura 2 são mostradas duas montagens em que o fluido manométrico é o mesmo fluido 
em escoamento. No caso (a) trata-se de um escoamento em um canal aberto, sendo que a 
altura obtida com o tubo estático praticamente coincide com o nível da superfície livre do 
líquido, sendo que pequenas diferenças podem ocorrer em virtude dos erros cometidos na 
própria leitura desta pressão. O tubo de pressão total acusa uma altura acima da superfície 
livre, correspondendo à pressão dinâmica, que transformada em unidades de comprimento, 
fornece a altura que atinge uma partícula sólida em movimento vertical, possuindo velocidade 
inicial idêntica à velocidade do fluido em escoamento. 
No caso (b) trata-se do escoamento em uma tubulação e a altura no primeiro tubo indica o 
valor correspondente à pressão estática do escoamento. O segundo tubo indica a pressão total, 
sendo que a diferença entre os dois corresponde à pressão dinâmica ou à energia cinética do 
escoamento. A altura do segundo tubo também indica toda a energia disponível no 
escoamento naquele ponto (no caso trata-se de energia mecânica, conforme os termos 
presentes na Equação de Bernoulli). 
(a) (b) (c) 
Figura 1 – Leituras de pressões estática, total e dinâmica. 
 
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 68 
A montagem da Figura 1(c) constitui um tubo de Pitot, com a pressão estática sendo medida 
na parede do tubo. 
 
Figura 2 – Pressões estática, total e dinâmica em um canal aberto (a) e em uma tubulação (b). 
 
Outra possibilidade de montagem é apresentada na Figura 3, sendo também conhecida como 
Sonda de Prandtl. Neste caso a leitura da pressão estática ocorre no tubo externo e a da 
pressão total, no tubo interno. Para a leitura da primeira é necessário que a tomada de pressão 
esteja colocada em uma superfície plana, paralela ao escoamento. 
No caso da Figura 3, usou-se como superfície a própria parede da sonda, enquanto que na Figura 2, 
usou-se a própria parede da tubulação. 
Para a montagem da Figura 3 ou da própria Figura 1(c), a velocidade obtida através da Equação de 
Bernoulli será dada pela Equação: 
 
 
 
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 69 
 
Sendo que: 
ρf e ρm são as massas específicas do fluido em escoamento e do líquido manométrico, 
respectivamente, 
g é a aceleração gravitacional, 
h a altura lida no manômetro. 
A diferença entre as massas específicas apresentada na equação ocorre em função da 
contraposição das duas colunas no manômetro, uma preenchida com o fluido em escoamento 
e a outra com o líquido manométrico. 
 
EXEMPLOS: 
 
 
1- Num tubo de seção circular de diâmetro 10 cm o escoamento é laminar. Um tubo de 
pitot está instalado de forma a medir a velocidade no eixo central do tubo, conforme 
figura. Considerando que neste caso a velocidade média de escoamento no tubo é 
metade da máxima, obter a vazão do tubo. 
 
 
 
 
 
2- Considerando o dispositivo da figura abaixo obter a vazão do escoamento de água no 
conduto considerando γH2O =10 kN/m³; γm= 60 kN/m³; p2=20 kPa; A=100cm² e 
g=10m/s². Desprezar as perdas e considerar o diagrame de velocidades uniforme na 
seção. 
 
 
 
 
 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 70 
 
1.9.4 MEDIÇÃO DE VAZÃO EM CONDUTOS LIVRES: Cursos d’água 
 
A determinação da vazão em cursos d’água é fundamental para o estudo de inúmeras 
aplicações, sendo que em algumas se tem à necessidade de conhecer a vazão máxima, 
enquanto que em outras se devem conhecer a vazão mínima. 
 
Das aplicações, onde se deve conhecer a vazão destaca-se: 
- projetos de vão de pontes; 
- projetos de obras de drenagens; 
- retificação de cursos d'água; 
- dimensionamento de vertedores de barragens; 
- controle de enchentes; 
- navegação interior; 
- abastecimento d'água urbano / industrial; 
- controle da poluição; 
- Geração de energia elétrica; etc. 
 
A determinação da vazão, seja ela máxima ou mínima, é feita em geral nos postos 
fluviométricos, os quais devem ser instalados respeitando-se as seguintes condições: 
 
- Localização em trechos mais ou menos retilíneos de curso d'água. 
- De preferência a sua jusante as margens devem ser bem definidas e livres de 
singularidades que poderiam causar perturbações no escoamento; 
- Seção transversal tanto quanto possível simétrica; 
- Velocidades superiores a 0,3 m/s. 
 
A seção transversal de um dado canal, deve ser dividida em várias outras, como mostra a 
figura: 
 
Após a divisão da seção transversal, deve-se calcular a velocidade média em cada uma das 
verticais que limitam cada uma das subdivisões. 
Considerando uma dada vertical com profundidade Hi, pode -se determinar a sua velocidade 
média (vi) por um dos seguintes processos: 
 
- Dos dois pontos: Neste processo efetua-se apenas duas medidas por vertical, a 20 e 80% da 
profundidade e com erros menores que 10%, obtém-se a velocidade 
média da vertical (vi) 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS71 
 
 
 
 
 
- Do ponto único: Neste processo efetua-se apenas uma medida por vertical, a 60% da 
profundidade, onde temos a velocidade média da vertical (vi): 
 
 
 
 
A medida da velocidade média pelo processo do ponto único é menos exata que o processo 
dos dois pontos. 
 
- Dos três pontos: Para este processo efetuamos as medidas indicadas pela figura, onde a 
velocidade média é obtida pela equação abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determinando-se as velocidades médias, pode-se, através da equação Q=ΣΣΣΣvi.Ai, determinar a 
vazão em condutos livres, como por exemplo a vazão de rios. 
 
Para exemplificarmos esta aplicação, consideramos a seção transversal do rio representada 
pela figura onde a vazão é calculada pela equação abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em geral p/ : Hi >1m 
Em geral p/ Hi <1m 
 
Em geral Hi > 5 a 10m 
 
 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 72 
 
A equação acima aplicada à figura , resulta: 
 
 
As velocidades nas verticais podem ser determinadas, por exemplo, através do molinete, onde 
a velocidade de escoamento é medida em função da rotação de sua hélice ou conjunto de pás 
móveis. 
 
 
Exemplo prático para determinação da vazão máxima em um curso d'água 
 
Neste exemplo, será utilizada uma técnica simples, onde serão efetuadas leituras do nível 
d’água com uma régua limnimétrica associado uma distância média da margem. Neste trecho 
serão obtidas quatro leituras de tempo em que um pedaço de isopor demora em percorrer uma 
distancia predeterminada de 4m, paralelo à margem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Leito do rio 
4m 
T1,T2,T3,T4 
Margem 
esquerda do 
rio 
Distância d1 da margem 
esq. c/ profundidade H1 
H1 
Leito do rio 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 73 
 
Para obtenção dos dados, deve-se: 
 
a) Distribuir equidistantemente as verticais conforme as normas práticas obedecendo ao 
espaçamento entre 0,25 a 0,50m p/ largura até 4m e 0,5 a 1,5m para larguras maiores; 
 
b) Ler a altura do nível d'água com a régua limnimétrica bem vertical; 
 
c) Posicionar o pedaço de isopor a distância di da margem esquerda na corrente do rio, 
locando desta forma o ponto no qual se deseja efetuar a leitura 
 
d) Com auxilio de um observador, medir o tempo em que o pedaço de isopor leva para 
percorrer a distância definida. 
 
e) O percurso do isopor deve ser o mais retilíneo possível, seguindo a margem do rio. 
 
f) Preencher o formulário “medição de descarga” 
 
g) Esquematizar a seção transversal do rio utilizando papel milimetrado, conf figura: 
 
MATERIAL UTILIZADO: 
 - Régua liminimétrica marcada em centímetros de no mínimo 2m 
 - Bolas de isopor 
 - Trena 
 - Cronômetro ou similar 
 - Corda fina de 4m p/ servir de guia, na medição dos tempos de deslocamento do isopor. 
 
Os dados levantados encontram-se na folha denominada medição de descarga. 
Através dos dados da folha medição de descarga, elabora-se a figura abaixo, onde na seção 
transversal do rio, marcamos as verticais utilizadas para as medidas, onde para cada uma 
delas, especificamos a sua respectiva profundidade, que representa a informação necessária e 
suficiente para a decisão do processo adotado para a determinação da velocidade média da 
vertical (Vi) . 
A velocidade em cada trecho (ou raia) pode ser obtida pela fórmula: 
 
H1 H2 H3 H4 H5
d1 d2d d d d
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 74 
A vazão máxima será obtida pela soma da multiplicação da média das velocidades de dois 
trechos contíguos e pela área transversal formada por esses trechos: 
 
Onde ∆Ai pode ser obtida aproximando-se o perfil da seção transversal a um trapézio. 
Assim: 
 
 
 
 
EXEMPLO: 
 
Obter a vazão média de um curso d'água em litros/segundo após a realização das medidas abaixo. 
Montar o perfil da seção do riacho em papel milimetrado ou quadriculado e calcular a potência 
máxima de aproveitamento da energia da água em kW, considerando altura de queda H=20 m e 
rendimento η= 85%. considerar a largura da margem 4,00 m. 
 
Dados da medição: 
 
DISTÂNCIA 
DA MARGEM PROFUNDIDADE 
DESLOCAMENTO = 4m 
MEDIÇÃO DO TEMPO (segundos) 
( m ) (cm) T1 T2 T3 T4 
0,50 30,0 15,0 12,0 10,0 13,0 
1,00 45,0 13,0 11,0 12,0 10,0 
1,50 60,0 12,0 11,0 11,0 9,0 
2,00 100,0 10,0 8,0 11,0 9,0 
2,50 70,0 11,0 12,0 12,0 11,0 
3,00 30,0 13,0 12,0 12,0 10,0 
3,50 50,0 12,0 12,0 13,0 11,0 
 
 
 
 
 
 
 
∆Ai = 
( Hi-1+Hi ) 
2 
X di vi = 
( vi + vi-1) 
2 
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 75 
1.10 Escoamento Laminar e Turbulento 
 
A classificação dos escoamentos incompressíveis é obtida em função do deslocamento 
transversal de massa e pode ser classificada como: 
 
Laminar: Deslocamento transversal de massa desprezível, o que implica dizer que o 
escoamento se dá em lâminas, onde temos predominância das forças viscosas. 
 
Turbulento: O deslocamento transversal de massa é predominante e o escoamento se dá em 
turbilhões, onde a força viscosa é desprezível em relação à força de inércia. 
 
Transição: Representa a passagem do escoamento laminar para o turbulento ou vice-versa. 
 
A classificação do escoamento incompressível é fundamental para o seu estudo e pode ser 
obtida através do número adimensional denominado de número de Reynolds, que é 
representado pela equação: 
 Onde: 
 
 
 
 
 
 
Através das experiências realizadas por Reynolds, foi estabelecido que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
A classificação atual estabelecida pela ABNT difere um pouco da estabelecida por Reynolds e 
é a seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
Devemos salientar que a equação mostrada apresenta a restrição de ser válida somente para 
um conduto forçado de seção transversal circular. 
 - massa específica (Kg/m³) 
 - viscosidade dinâmica (Pa.s) 
- velocidade de escoamento do fluido (m/s) 
- Diâmetro hidráulico da tubulação ou canal (m) 
 FFFEEENNNÔÔÔMMMEEENNNOOOSSS DDDEEE TTTRRRAAANNNSSSPPPOOORRRTTTEEESSS 
 76 
Conceito de diâmetro hidráulico (DH) e raio hidráulico (RH): 
Os conceitos de diâmetro hidráulico e raio hidráulico além de generalizar as informações 
obtidas por Reynolds são fundamentais para a determinação de vazão em canais como será 
mostrado mais adiante. 
Para generalizar o número de Reynolds estabelecido inicialmente para um conduto forçado de 
seção transversal circular, introduz-se o conceito de diâmetro hidráulico (DH), que para o 
conduto nas condições descritas anteriormente é igual ao diâmetro interno, mas que pode ser 
definido, tanto para o conduto forçado, como para o conduto livre e para qualquer tipo de 
seção transversal. 
Imbuído deste objetivo, definiu-se o diâmetro hidráulico como a relação entre o quádruplo 
da seção transversal do conduto livre com o perímetro molhado do fluido, onde se considera 
como perímetro molhado o perímetro formado pelo contato de fluido com superfície sólida. 
 
 
1- Conduto forçado de seção transversal circular de diâmetro interno igual a D. 
 
Através deste exemplo, podemos generalizar o número de Reynolds, como é mostrado: 
 
 
2- Canal aberto com seção transversal retangular com dimensões mostradas na figura: 
 
 
Após a conceituação do diâmetro hidráulico, define-se o raio hidráulico (RH), conforme a 
equação a seguir:

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