SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

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3- SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
3.1 Equação Linear 
Equação Linear é uma equação da forma: na qual 
 são os respectivos coeficientes das variáveis, e b é o 
termo independente. 
3.2 Solução de uma Equação Linear 
Uma solução da equação linear é qualquer conjunto de valores das variáveis que satisfazem à equação. Esses 
valores são denominados raízes da equação linear. 
EXEMPLO: 2x+y=10 
3.3 Sistemas de Equações Lineares 
Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas é um conjunto de equações lineares do 
tipo: 
{
 
 
 
 
 
Com , o índice i indica a equação sendo e o índice j indica a variável , números 
reais (ou complexos). 
3.4 Solução de um Sistema Linear 
Os valores das variáveis que satisfazem a todas as equações do sistema, constituem sua 
solução. Esses valores são denominados raízes do sistema de equações lineares. 
3.5 Classificação dos sistemas 
3.5.1 Sistema Compatível: diz-se que um sistema de equações lineares é compatível quando admite 
solução, isto é, quando tem raízes. 
 Sistema Compatível (Possível) Determinado: um sistema compatível é determinado quando admite 
uma única solução. 
Exemplo: {
 
 
 
 Sistema Compatível (Possível) Indeterminado: um sistema compatível é indeterminado quando 
admite mais de uma solução (na verdade, admite infinitas soluções). 
EXEMPLO: {
 
 
 
3.5.2 Sistema Incompatível (Impossível): diz-se que um sistema é incompatível (ou impossível) quando 
não admite solução. 
EXEMPLO: {
 
 
 
3.6 Sistema Linear Homogêneo: quando num sistema de equações lineares os termos independentes são 
todos nulos, o sistema é chamado homogêneo. 
EXEMPLO: {
 
 
 
 
 
Todo sistema linear homogêneo tem pelo menos uma solução, denominada solução trivial. 
3.7 Sistemas Equivalentes: diz-se que dois sistemas de equações lineares são equivalentes quando admitem 
a mesma solução. 
EXEMPLO: Os sistemas {
 
 
 {
 
 
 
3.8 Operações Elementares e Sistemas Equivalentes: um sistema de equações lineares se transforma num 
sistema equivalente quando se efetuam operações elementares sobre suas equações: 
 Permutação de duas equações ( ) 
 Multiplicação de uma equação por um número real diferente de zero ( ). 
 Substituição de uma equação por sua soma com outra equação previamente multiplicada por um 
número real diferente de zero ( ). 
 
 
3.9 Sistemas e Matrizes 
Dado um sistema na sua forma genérica: 
 
 
 
 
 
o qual podemos escrever numa forma matricial: 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
] [
 
 
 
 
] [
 
 
 
 
] 
 ou A . X = B 
onde: 
 [
 
 
] é a matriz dos coeficientes, 
 [
 
 
 
] a matriz das incógnitas [
 
 
 
] a matriz dos termos independentes. 
Uma outra matriz que podemos associar ao sistema é: 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
] que chamamos matriz ampliada do sistema. 
Cada linha desta matriz é simplesmente uma representação abreviada da equação correspondente no sistema. 
EXEMPLO: Dado um sistema de equações lineares {
 
 
 
 
3.10 Métodos de Resolução 
3.10.1 Método da Eliminação Gaussiana: 
Consiste em substituir o sistema dado por outro que lhe seja equivalente e mais simples, chamado sistema 
escalonado. Para isso, devemos trabalhar com a matriz ampliada do sistema e aplicar a ela uma série de 
operações elementares adequadas, a fim de aumentar o número de coeficientes iniciais nulos a cada linha (a 
partir da segunda) em relação à linha precedente. Este método é também chamado de Método 
Escalonamento Parcial. 
EXEMPLO: {
 
 
 
 
- Procedimento para escalonar um sistema: 
 Fixamos como primeira equação uma das que possua o coeficiente da primeira variável diferente de 
zero. 
 Utilizamos as operações elementares, anulamos todos os coeficientes da primeira variável das 
demais equações. 
 Anulamos todos os coeficientes da segunda variável a partir da terceira equação. 
 Repetimos o processo com as demais variáveis, até que o sistema se torne escalonado. 
Podemos observar que as operações elementares efetuadas nas equações são equivalentes a operarmos nas 
linhas da Mariz ampliada associada ao sistema. 
EXEMPLO: Resolva o sistema: {
 
 
 
 
3.11 Forma escada 
Definição: uma matriz está em forma escada se: 
a) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1. 
b) Se a linha k não consiste apenas em zeros, o número de zeros no início da linha k+1 é maior do que o 
número de zeros no início da linha k. 
c) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas. 
EXEMPLOS: As matrizes estão em forma escada. 
 [
 
 
 
] [
 
 
 
] C=[
 
 
 
] 
3.13 Outros Métodos de Resolução 
3.13.1 Regra de Cramer 
A regra de Cramer consiste num método para se resolver um sistema de n equações lineares com n 
variáveis. Seja o sistema: 
{
 
 
 
 
 
Matriz dos coeficientes de A 
 [
 
 
 
] 
Matriz , oriunda da matriz A, substituindo-se a coluna dos coeficientes de pela coluna dos termos 
independentes. 
 [
 
 
 
] 
Pela regra de Cramer 
 
 ( )
 ( )
 
De maneira análoga podemos determinar os valores das demais incógnitas. 
 [
 
 
 
] 
 ( )
 ( )
 
 
EXEMPLO: 
1) Resolva o seguinte sistema: {
 
 
 
 
2) Dado o sistema {
 
 
 
 , para que valores de a e b este sistema é: 
a) Possível e determinado 
b) Impossível 
c) Possível e indeterminado 
 
EXERCÍCIOS: 
1- O curso de Álgebra I A do ano passado teve três provas. As questões valiam um ponto cada uma, 
mas os pesos das provas eram diferentes. Juca que acertou 3 questões na primeira prova, 6 na 
segunda e 6 na terceira, obteve no final um total de 54 pontos. Zé acertou 6,5 4, totalizando 47 
pontos. Por sua vez o Mané acertou 2, 7 e 5 questões, atingindo 50 pontos. Já o Kico fez 5 questões 
certas na primeira prova, 8 na segunda e 3 na terceira. Qual foi o total de pontos de Kico? 
2- Três pessoas lancharam da seguinte maneira: a primeira tomou um refrigerante, comeu 4 pastéis e 5 
balas; a segunda 2 refrigerantes, 1 pastel e 6 balas e a terceira, 1 pastel e 2 balas. Quais os preços do 
refrigerante, do pastel e da bala, se a primeira pessoa gastou R$4,00; a segunda R$2,20 e a terceira 
R$0,90? 
3- Calcule os valores das variáveis dos sistemas: 
a) {
 
 
 
 ) {
 
 
 
 ) {
 
 
 
 
d){
 
 
 
 e){
 
 
 
 f) { 
 
 
 
 
g){h){
 
 
 
 i){
 
 
 
 
j){
 
 
 
 
 k) {
 
 
 
 l){
 
 
 
 
4- Classifique os sistemas: 
a) {
 
 
 ) {
 
 
 
 c) {
 
 
 
 
d){
 
 
 
 e){
 
 
 
 f) {
– 
 
 
 
5- Dado o sistema {
 
 
 ( ) 
 , para que valores de a e b este sistema é: 
a) Possível b) impossível c) indeterminado 
6- Determine o valor de k, de modo que o sistema: {
 
 
 
 , seja: 
a) Indeterminado b) impossível 
7- Discuta, em função de m, os seguintes sistemas: 
a) {
 
( ) ( ) 
 b){
 
 
 c) {
 
 
 
8- Estabelecer a condição que deve ser satisfeita pelos termos independentes a, b e c para que seja 
compatível o sistema: {