Introdução às Matrizes

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1- MATRIZES 
1.1- Introdução 
Definição: Uma matriz é um quadro � × � elementos (números, funções, polinômios, etc) dispostos em 
linhas e colunas. 
� = �
��� ���
��� ���
… ���
… ���
⋮ ⋮
��� ���
⋱ ⋮
… ���
� 
Neste caso, a matriz é de ordem � × � (m linhas e n colunas). 
Obs.: 1) Utilizam-se letras maiúsculas para indicar matrizes genéricas e letras minúsculas correspondentes 
para os elementos. 
 2) � = ������ �
, os elementos da matriz A são indicados ���, onde i indica a linha sendo i ∈ 
{1,2,...m}, e o segundo, j sendo j ∈ {1,2,..., n} indica a coluna a que o elemento pertence. 
 Exemplo 2: Determinar os elementos da matriz � = �������
 onde ���=2i-j. 
 
 1.2. Tipos de matrizes. 
 Matriz retangular: é uma matriz na qual � ≠ �. � = �
1 − 5 0
2 7 �
� 
 Matriz quadrada: é uma matriz onde o número de linhas é igual ao número de colunas. Quando nos 
referimos a uma matriz quadrada � × �, podemos dizer que sua ordem é �. 
� = �
− 2 4
0 − 1
�
���
 � = �
1 − 3 2
2 1 − 3
4 − 3 − 1
�
���
 
Diagonal Principal – os elementos ��� de uma matriz quadrada, em que i=j, formam uma diagonal denominada 
diagonal principal. A outra diagonal é dita diagonal secundária. 
� =
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
��� ��� ��� … ���
��� ��� ��� … ���
���
.
���
���
.
���
���
.
���
…
.
…
���
.
���⎦
⎥
⎥
⎥
⎤
 
 
 
 Matriz Diagonal: é uma matriz quadrada (m=n) onde ���=0, para �≠ �, isto é, os elementos que não 
estão na diagonal principal são nulos. 
� = �
8 0
0 2
� � = �
2 0 0
0 0 0
0 0 − 5
� � = �
3 0 0
0 3 0
0 0 3
� � = �
0 0 0
0 0 0
0 0 0
� 
 
 Matriz Unidade ou Matriz Identidade: é a matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos 
da diagonal principal são iguais a 1 (um), e os demais elementos são iguais a 0 (zero), ou seja, ���=1 
quando i=j e ���=0 para �≠ �. Representa-se por ��. 
�� = �
1 0
0 1
� �� = �
1 0 0
0 1 0
0 0 1
� 
Diagonal principal Diagonal secundária 
 Matriz Diagonal Superior ou Triangular Superior: é uma matriz quadrada onde todos os elementos 
abaixo da diagonal são nulos, isto é, m=n e ���=0, para �> �. 
� = �
� �
0 �
� � = �
2 − 1 − 2
0 1 3
0 0 4
� 
 
 
 Matriz Diagonal Inferior ou Triangular Inferior: é aquela que m=n e ���=0, para �< �. 
� = �
� 0
� �
� � = �
2 0 0
0 4 0
1 8 7
� 
 
 Matriz Nula: é aquela em que todos os elementos são iguais a zero, ou seja, ���=0, para todo i e j. 
� = �
0 0
0 0
� 
 Matriz Linha: é aquela que possui uma única linha. (m=1) 
� = [2 − 5 3 6]��� 
 Matriz Coluna: é aquela que possui uma única coluna. (n=1) 
� = �
2
3
4
�
���
 
 
1.3. Operações com Matrizes. 
 
Igualdade de Matrizes: As matrizes � = ����� � � = ����� são iguais se e somente se tiverem a mesma 
ordem e os respectivos elementos iguais. 
�
2 � − 3 ���1
���0 √− 1
�
0
� = �
8 − 3 0
1 − 1 ��0
� 
 
 Determine x e y tal que A=B, onde � = �
2 2 � − 4
3 5
− 4 0
� � � = �
2 8
� − 5 5
− 4 0
�. 
 
Adição e subtração de matrizes: 
Dadas duas matrizes de mesma ordem, ���� = �����, ���� = �����, definimos: 
Adição � + � = ���� + ������� Subtração � − � = ���� − ������� 
EXEMPLO: Dadas as matrizes � = �
1 2 0
− 2 4 5
� e � = �
− 2 1 3
− 5 0 − 1
�, determine a matriz: 
a) A+B b) A-2B 
Propriedades da Adição 
i) � + � = � + � (Comutativa) 
ii) (� + �) + � = � + (� + �) (Associativa) 
iii) � + 0 = 0 + � = � (Elemento Neutro) 
iv) � + (− �) = 0 (Elemento Oposto) 
 
 
Multiplicação por um escalar: Seja ���� = ����� e k um número, então definimos k. � = ��.����. 
 
Propriedades da Multiplicação por Escalar: 
i) (��)� = �(��) 
ii) �(� + �) = �� + �B 
iii) (� + �)� = �� + �� 
iv) 1 � = � 
Sendo A e B matrizes de mesma ordem e �, � ∈ ℜ. 
Multiplicação de Matrizes 
Consideremos a seguinte situação: Um corretor da bolsa de valores, calculando o patrimônio adquirido no dia 
por dois clientes, nas quatro primeiras horas do pregão, montou as seguintes matrizes: 
� = �
5000 2000 1800 1000
2000 3000 800 1200
� � � = �
2
2 ,5
3
4
� em que: 
 Cada elemento ��� da matriz A é quantidade das ações de uma empresa adquiridas pelo cliente 
i na hora j. Por exemplo, o elemento ���=1200 nos diz que foram adquiridas 1200 ações pelo 
cliente 2 na hora 4. 
 Cada elemento ��� da matriz B é o preço, em dólares, de cada ação na hora i. Por exemplo, 
���=3 nos diz que na hora 3 o preço de cada ação era de 3 dólares. 
Quanto investiu cada cliente para adquirir suas ações? 
 
Definição: Duas matrizes ���� = �����, ���� = �����, chama-se produto das matrizes A e B e a matriz 
���� = �����, tal que ��� é obtido multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i da matriz A pelos 
elementos da coluna j da matriz B, adicionando-se, em seguida, os produtos obtidos. 
IMPORTANTE: De acordo com a definição, somente é possível multiplicar matrizes onde o número de 
colunas da primeira é igual ao número de linhas da segunda matriz. 
 
 
 
 = 
 
 
 
OBS.: O elemento ��� (i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz produto) é obtido, multiplicando os elementos 
de i-ésima linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da segunda matriz, e 
somando estes resultados. 
EXEMPLO: Sejam as matrizes: � = �
2 − 1 0
3 − 3 4
1 5 1
� � = �
1 1 − 1
2 0 2
3 − 1 4
� � = �
1 2 3
− 2 4 1
�. 
Determine, se possível: a) AB b) CA c)BA 
 ��� é a ordem de C 
���� ���� 
���� 
iguais 
 
Propriedades da Multiplicação de Matrizes 
a) ��� = (��)� = �(��) (Associativa) 
b) �(� + �) = �� + �� (Distributiva à Direita) 
c) (� + �)� = �� + �� (Distributiva à Esquerda) 
d) �(��) = (��)� = �(��), � ∈ ℜ 
e) �0 = 0 
f) �� = �� = � 
g) Geralmente �� ≠ �� 
 
Transposição de Matrizes: Se A é uma matriz de ordem m x n, denominamos transposta de A (ou matriz 
transposta da matriz A a matriz de ordem n x m obtida pela troca ordenada das linhas pelas colunas. Indica-se 
transposta de A por ��. 
EXEMPLO: � = �
1 2
− 3 5
√2 0
�
���
 �� = 
Propriedades da transposta 
a) (��)� = � 
b) (� + �)� = �� + �� 
c) (��)� = ���� 
d) (��)� = ���, � ∈ ℜ 
Matriz Simétrica: uma matriz quadrada A é simétrica se � = ��. 
EXEMPLO: � = �
4 3 − 1
3 2 0
− 1 0 5
� �� = 
Obs.: Toda matriz simétrica possui os elementos opostos a diagonal principal iguais. 
Matriz Anti-simétrica: uma matriz quadrada é anti-simétrica se �� = − �. 
EXEMPLO: � = �
0 2 − 4
− 2 0 7
4 − 7 0
� �� = − � = 
Obs.: Em toda matriz anti-simétrica os elementos opostos a diagonal principal são simétricos e a diagonal 
principal é nula.