Aula 2 - Cálculo Diferencial e Integral II

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
Aula 2 - Comprimento de Arco e Sistemas de coordenadas
Tema da Apresentação
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Conteúdo Programático desta aula
Definição de comprimento de arco;
Sistemas de coordenadas polares;
Sistemas de coordenadas cilíndricas;
Sistemas coordenadas esféricas.
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Comprimento de Arcos
Definição. Dizemos que uma função vetorial r é suavemente parametrizada ou que r é uma função suave de t quando r’ é contínua e r’ (t)  0 em todo valor de t do conjunto D = dom r.
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Comprimento de arco
Seja C uma curva parametrizada pela função (vetorial) suave (ou parcialmente suave) 
 r(t) = (x(t), y(t)) 
com t[a,b] no plano ou r(t)=(x(t), y(t), z(t)) no espaço.
Para calcular o comprimento S de um arco AB com t[a,b] sendo AO = r(a) e OB = r(b) devemos particiona o intervalo [a,b].
P: a = t0 < t1 < t2 < ... < ti-1 < ti < ti+1 < ... < tn = b uma partição qualquer do intervalo [a, b].
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Funções vetoriais: Curvas espaciais
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Comprimento de arco
A integral 
 S = S(t) = | r’(t) | dt
define uma função de t chamada função comprimento de arco e mede o comprimento orientado de arco sobre C no intervalo [t0, t].
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Sistema de coordenadas polares
Temos o sistema de coordenadas polares, o qual é constituído por apenas um semi-eixo e, chamado de semi-eixo polar e um ponto de origem p, chamado pólo.
 Todo ponto P do plano é representado por um par ordenado (ρ,θ), onde ρ é à distância do ponto P ao pólo p e θ é o ângulo formado entre o segmento Pp e o semi-eixo polar. O ângulo θ é medido em radianos a partir do eixo polar e no sentido anti-horário. Assim, ρ ≥ 0 e 0 ≤ θ ≤ 2π . 
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Sistema de coordenadas polares: Exemplo
Sistema de coordenadas polares dos pontos:
 
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Sistema de coordenadas polares
Podemos relacionar o sistema de coordenadas cartesianas ortogonais com o sistema de coordenadas polares. Coincidindo a origem O(0,0) do sistema cartesiano com o pólo p do sistema polar e o semi-eixo polar com o semi-eixo positivo do eixo Ox. 
No triângulo retângulo temos:
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Sistema de coordenadas cilíndricas
A primeira generalização tridimensional das coordenadas polares são as chamadas coordenadas polares cilíndricas, ou, simplesmente, coordenadas cilíndricas. Neste sistema de coordenadas trabalhamos inicialmente, no plano do R3 em coordenadas polares e depois no eixo z, ortogonal ao plano. 
Cada ponto é descrito pelo terno ordenado (r, θ, z). 
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Sistema de coordenadas cilíndricas
Escolhendo a origem de um sistema cartesiano no pólo das coordenadas polares, mantendo a mesma convenção de fazer θ = 0 corresponder à semi-reta da parte positiva do eixo x e fazendo o eixo z das coordenadas cartesianas e das cilíndricas coincidirem (convencionamos usar-se a mesma letra), a mudança de coordenadas toma a forma: 
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Sistema de coordenadas cilindrícas
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Sistema de coordenadas cilindrícas
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Sistema de coordenadas esféricas
Mantendo o raciocínio de proximidade das coordenadas polares planas estudaremos o sistema de coordenadas polares esféricas, ou, simplesmente, coordenadas esféricas. 
Novamente, a ideia é apontar a direção em que se deve ir e a distância a ser percorrida. Esta direção será dada por um ponto na esfera, assim usamos dois ângulos para descrever a direção (parecido com os ângulos de latitude e longitude que são usados geograficamente).
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Sistema de coordenadas esféricas
Uma escolha comum dos ângulos é manter o mesmo θ das coordenadas cilíndricas (que geograficamente é a longitude) e trabalhar com um ângulo  medido a partir do semi-eixo z>0 das coordenadas cilíndricas (muitas vezes chamado de co-latitude). 
Naturalmente para cobrir todas as direções será suficiente usar θ∈[0,2π] e ∈[0,π]. Com essas escolhas, e chamando de ρ a distância ao pólo, teremos a seguinte mudança de coordenadas entre esféricas e cilíndricas: 
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Sistema de coordenadas esféricas
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Sistema de coordenadas esféricas
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Comprimento de Arco e Sistemas de coordenadas
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