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Oscilações 1 Sempre que um sistema sofre uma perturbação da sua posição de equilíbrio estável, ocorre um movimento de oscilação. Movimento Oscilatório 2 Exemplos de oscilação Como podemos construir estruturas para diminuir o risco de danos causados por tremores de terra e ventanias? 3 https://www.youtube.com/watch?v=BtKUTIuRahI https://www.youtube.com/watch?v=K9gRblneYnQ https://www.youtube.com/watch?v=GF5VQWCkJmw 4 Exemplo 1: Taipei 101: Terceiro maior prédio do mundo - Taiwan Movimento Oscilatório – Exemplos 5 Uma gigantesca bola de ferro, colocada no 92º andar, serve de contrapeso mecânico contra as vibrações, absorvendo a energia e minimizando as oscilações. 6 7 Na Ponte Rio-Niterói as oscilações que já chegaram a 60 centímetros e obrigam o fechamento das pistas, por questões de segurança. Solução: A 70 metros de altura, dentro do vão central da Ponte Rio-Niterói, 32 equipamentos, instalados para funcionar como amortecedores, para estabilizar a estrutura na hora que o vento insistir em balançar a ponte. Sessenta e quatro toneladas de aço penduradas por molas e fixadas na parte metálica acompanham o ritmo da ponte. Exemplo 2: Ponte Rio-Niterói. Funcionamento: Todas as vezes que o vento empurrar a estrutura para cima, o equipamento vai contra-atacar, puxando a estrutura para baixo. O mesmo efeito contrário acontece se a pressão do vento for para baixo. 8 O amortecedor entra para diminuir o número e a amplitude das oscilações. Ele é uma bomba de óleo localizada entre o chassi do carro e as rodas. Exemplo 3: Amortecedor de um carro. 9 Exemplo 4: Amortecedor de massa usado em linhas de transmissão para atenuar a oscilação dos cabos causada pelos ventos. Movimento Harmônico Simples (MHS) Período, T – tempo necessário para completar uma oscilação (s). 10 Quando um movimento se repete em intervalos de tempo regulares é chamado Movimento Harmônico Simples (MHS) Frequência (f) – número de oscilações completadas por unidade de tempo (Hz, s-1). Amplitude (A) – deslocamento máximo em relação à posição de equilíbrio produzido pela oscilação. 11 Movimento Harmônico Simples 12 Lei de Hooke: Fs = - kx onde Fs é a força restauradora. Mhs – representação matemática A força descrita pela lei de Hooke é a força na segunda lei de Newton: 13 MHS - Representação matemática Escolhe-se x como o eixo ao longo do qual a oscilação ocorre. Então: = -w2x 14 MHS:Representação matemática É preciso uma função que satisfaça a equação. As funções seno e cosseno satisfazem estes requisitos. Uma solução é: x(t) = A cos (wt + f) 15 MHS:Representação matemática 16 ω é a frequência angular. Ela se repete pela primeira vez quando o argumento de fase aumenta de 2 π rad. Unidade: rad/s. f é a constante de fase ou o ângulo de fase inicial. MHS:Representação matemática Se a partícula está em x = A para t = 0, então f = 0. A fase do movimento é a quantidade (wt + f). 17 Velocidade e aceleração (MHS) Velocidade de uma partícula a oscilar é dada por: 18 A sua aceleração será dada por: x(t) = A cos (ωt +ɸ) Velocidade e Aceleração máximas 19 Exemplo 1 Um bloco de 4,00 kg esta suspenso de uma certa mola, estendendo-se a 16,0 cm além de sua posicão de repouso. (a) Qual é a constante da mola? (b) O bloco é removido e um corpo com 0,500 kg é suspenso na mesma mola. Se esta for então puxada e solta, qual o período de oscilação? 20 Exemplo 2 Os amortecedores de um carro velho de 1000 kg estão completamente gastos. Quando uma pessoa de 980 N sobe lentamente no centro de gravidade do carro, ele baixa 2,8 cm. Quando essa pessoa está dentro do carro durante uma colisão com um buraco, o carro oscila verticalmente com MHS. Modelando o carro e a pessoa com uma única massa apoiada sobre uma única mola, calcule o período e a frequência da oscilação. 21 Exemplo 3 Um oscilador harmônico simples consiste em um bloco de massa 2 kg preso a uma mola de constante elástica 100 N/m. Quando t = 1 s, a posição e a velocidade do bloco são x = 0,129 m e v = 3,415 m/s. (a) Qual é a amplitude das oscilações? Quais eram (b) a posição e (c) a velocidade do bloco em t = 0? 22 O pêndulo simples O pêndulo simples também exibe movimento periódico. O movimento ocorre no plano vertical e é impelido pela força gravitacional. O movimento é muito aproximadamente MHS se o ângulo é <10o O pêndulo simples As forças que atuam no corpo são T e mg. T é a força exercida no corpo pela corda. mg é a força gravitacional. A componente tangencial da força gravitacional é uma força restauradora. O pêndulo simples O comprimento, L, do pêndulo é constante e, para pequenos valores de Ɵ, sen Ɵ Ɵ e s = L Ɵ : Confirmando que o movimento é MHS. O pêndulo simples A frequência angular é O período é Simulação 27 https://phet.colorado.edu/sims/html/pendulum-lab O pêndulo físico Se um objeto pendurado oscila em torno de um eixo fixo que não passa pelo centro de massa e o objeto não pode ser aproximado por uma partícula, o sistema é chamado de pêndulo físico. O pêndulo físico A força gravitacional proporciona um torque em em relação a um eixo que passa por O. A intensidade do torque é mgd sin Ɵ. I é o momento de inércia em relação a um eixo que passa por O. Assumindo que Ɵ é pequeno, temos: O pêndulo físico A frequência angular é: O período é: 31 Em um laboratório de Física, um grupo de alunos, Grupo A, obtém dados, apresentados na tabela a seguir, para a freqüência (em hertz) num experimento de Pêndulo Simples, utilizando-se três pêndulos diferentes. Esses resultados foram passados para um segundo grupo, Grupo B, que não compareceu à aula. Uma vez que os alunos do Grupo B não viram o experimento, os integrantes desse grupo formularam uma série de hipóteses para interpretar os resultados. Assinale a ÚNICA hipótese correta. A massa do pêndulo 1 é menor do que a massa do pêndulo 2 que, por sua vez, é menor do que a massa do pêndulo 3. A massa do pêndulo 1 é maior do que a massa do pêndulo 2 que, por sua vez, é maior do que a massa do pêndulo 3. O comprimento L do fio do pêndulo 1 é maior do que o comprimento do pêndulo 2 que, por sua vez, é maior do que o comprimento do pêndulo 3. O comprimento L do fio do pêndulo 1 é menor do que o comprimento do pêndulo 2 que, por sua vez, é menor do que o comprimento do pêndulo 3 Exemplo 4 32 Energia no MHS 33 Exemplo 5 Muitos edifícios altos possuem amortecedores de massa, cuja finalidade é evitar que os edifícios oscilem excessivamente por causa do vento. Em muitos casos, o amortecedor é um grande bloco instalado no alto do edifício, que oscila na extremidade de uma mola, movendo-se em um trilho lubrificado. Quando o edifício se inclina em uma direção (para a direita, por exemplo), o bloco se move na mesma direção, mas com certo retardo, de modo que, quando o bloco finalmente oscila para a direita, o edifício está se inclinando para a esquerda. Assim, o movimento do bloco está sempre defasado em relação ao movimento do edifício. Vamos supor que o bloco possui uma massa m = 2,72 × 105 kg e que foi projetado para oscilar com uma frequência f = 10,0 Hz e com uma amplitude xm = 20,0 cm. A energia mecânica total do sistema massa-mola e a velocidade do bloco ao passar pelo ponto de equilíbrio são iguais a (a) 1,1 x 107 J e 0. (b) 2,1 x 107 J e 0. (c) 1,1 x 107 J e 6 m/s. (d) 2,1 x 107 J e 12,5 m/s. 34 Oscilações Amortecidas Nos sistemas realistas, estão presentes o ATRITO o movimento não oscila indefinidamente movimento amortecido. Corpo ligado a uma mola e submerso num líquido viscoso. A força de atrito pode ser expressa como b é o coeficientede amortecimento. v a velocidade do corpo de massa m. 36 A função x que satisfaz a equação diferencial acima é: onde 37 Exemplo Animations courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University 37 Oscilação Subcrítica: é a oscilação cuja amplitude reduz-se de acordo com uma curva exponencial (tracejada) definida. Este tipo de oscilação é o mais comum na prática. Tipos de Oscilações Amortecidas Oscilação Crítica: Chama-se oscilação crítica quando o oscilador para na posição de equilíbrio, antes de completar a primeira oscilação. Oscilação Supercrítica: é quando o oscilador segue lentamente até a posição de equilíbrio. 38 Vídeo https://www.youtube.com/watch?v=BtKUTIuRahI Tipos de Oscilações Amortecidas Oscilações forçadas É possível compensar a perda de energia de um Sistema amortecido aplicando uma força externa. A equação do movimento amortecido para oscilações forçadas é: Oscilações forçadas onde é a frequência angular natural do oscilado.r onde é a frequência angular da força aplicada no oscilador. com A amplitude do movimento permanecerá constante se o aumento de energia for igual à diminuição da energia por cada ciclo. Ressonância Quando a frequência angular da força aplicada (frequência forçada) é igual à frequência angular natural ( ) ocorre um aumento na amplitude A: Chama-se RESSONÂNCIA a esse aumento na amplitude. Tacoma bridge Em 1940 ventos constantes causaram vibrações na ponte de Tacoma desencadeando sua oscilação numa frequência próxima de uma das frequências naturais da estrutura da ponte. Foi estabelecida a condição de ressonância ( ) a ponte caiu 44 Exemplo 6 45 Considere que você está examinando a suspensão de um automóvel de 2000 kg. A suspensão ”cede” 10 cm, quando o peso do automóvel inteiro e ́ colocado sobre ela. Além disso, a amplitude da oscilação diminui 50% durante uma oscilação completa. Estime os valores de k e b para o sistema de mola e amortecedor em uma roda, considerando que cada uma suporta 500 kg.
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