Lista Série e Sequencias

Prévia do material em texto

Lista de Exercícios Sobre Sequências e Séries
1. Mostre que {xn = cos(pin)} nao tem limite.
2. Enuncie e demonstre o Teorema de Sanduiche para sequências.
3. Mostre que as seqüencias { n√n} e { n√a} com a > 0 convergem para 1.
4. Mostre que lim
n→∞
n
√
n! =∞
5. Determine os quatro primeiros termos de cada seqüência, analise a sua convergência e encontre o limite
caso exista:
a) an = n
2
n+2 , b) xn = (−1)n+1en, c) b =
{√
n
n!
}
, d) yn =
(−1)n
(2n)! , e) cn =
en+n2
e2n−2n , f) tn =
sen(2n+1)+n
2n+1
6. Seja a seqüência definida pela recorrência
{
x0 = 1
xn+1 =
x2n+3
2xn
. Sabendo que ele converge para valor po-
sitivo, encontre o seu limite.
7. Verifique a convergência das seguintes séries
(a)
∑ (−1)n(n+1)
n , (b)
∞∑
n=1
1√
n
, (c)
∑ 2n+1
nn , (d)
∞∑
k=2
cos(npi)
n2
, (e)
∑ 2+cosn
n , (f)
∑ 1+(−1)n
42n
, (g)
∑ cosn√
n3
,
(h)
∑ 2n
n! , (i)
∞∑
n=5
(−1)n n+1
n2
, (j)
∑ n!
nn
8. Podemos aplicar o teste da razão no ítem (f) da questão acima? Justifique.
9. Analise a convergência das seguintes séries através do teste da raiz ou do teste da integral.
(a)
∑ 1
n2
, (b)
∑
(2n)n, (c)
∞∑
k=0
n+1
n! , (d)
∑ (−1)nn
(2n)n
10. Obtenha o valor, usando séries geométricas:
(a)
∞∑
n=3
pi
(
1
2
)2n−7, (b) 2.5 31 31 . . .
11. Mostre que, se 0 < a0 ≤ a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ · · · então a séries alternada
∞∑
n=0
(−1)nai diverge.
12. Mostre que a séries harmônica alternada
∞∑
n=1
(−1)n+1
n converge e estime o valor com erro máximo de 0.2.
13. Encontre o centro e o raio de convergência das séries de potências
a)
∑
(−1)n√nxn b)
∑ en
n!
xn c)
∑ en
22n
(x−
√
3)3n−5
14. Determine o intervalo de convergência
a)
∑
n!xn b)
∑ 1
n!
xn c)
∑ n3
n+ 1
(x− 2)n d)
∑ lnn
2n
(x−
√
2)n
15. Encontre a série de potência de
(a) arctan(x2), sabendo que arctan′(x) = 1
1+x2
.
(b) arcsenx, usando arcsen′x = 1√
1−x2 e a série binomial (1+x)
k = 1+kx+k(k−1)2! x
2+k(k−1(k−2)3! x
3+· · ·
16. Mostre que (1 + x)k = 1 + kx+ k(k−1)2! x
2 + k(k−1(k−2)3! x
3 + · · ·
17. Encontre a série de Maclaurin de f(x) =
∫ x
0 e
−t2dt.
18. Mostre que a função f(x) = senx pode ser representado como série de Taylor em torno de pi2para todo
x.
19. Seja f(x) = 1
(2−x)3
(a) Encontre a Série de Maclaurin de f (sem usar a série binomial) e mostre que a série representa a
função em [−1, 1].
(b) Usando a série obtida acima, encontre a expressão de
∫ 1
−1
1
(2− x)3dx
20. Encontre a série de Taylor de cosx em torno de pi2 .
21. Encontre a representação em série de potências e determine o seu raio de convergência
a) ln
(
1
2 + 3x
)
b) f(
√
x) onde (0) = 1, (f ′(0) = 0 e f ′′(x) = 1
1+x4
22. Verifique a convergência das séries
a)
∑ (−1)n
en b)
∑ senn+ cos n2
n2
23. Encontre o centro e o raio de convergência das series de potencias
a)
∑ n2n
(n!)n
xn b)
∑
e−n(x− 3)2n
24. Encontre o limite da seqüência convergente an tal que a0 = 1 e an+1 = an + 12n+1 para n > 1.
Entregar seguintes exercícios resolvidos da lista ou do livro até P1:
• Um sobre sequências.
• Um sobre séries geométrica.
• Um sobre séries alternada que envolve estimativa de erros.
• Um sobre teste da raiz ou da razão.
• Um sobre séries de potências para obter raio e intervalo de convergências.
• Um sobre séries de potências que representa a função conhecida.
• Mais dois a sua escolha.
Respostas e dicas
1. Use a subsequencia.
2. Reescreva o que foi feito na aula ou no livro.
3. Use a função ln
4. Dica: n! ≥ (n2 )n2
5. a) lim
n→∞ an =∞, b) limn→∞xn = @, c) limn→∞ bn = 0, d) limn→∞ yn = 0, e) limn→∞ cn = 0, f) limn→∞ tn =
1
2
.
6. lim
n→∞xn =
√
3. Dica: Chame o limite de L e aplique o limite na fórmula de recorrência.
7. (a), (b) e (e) divergem. (c), (d), (f), (g), (h) e (j) convergem absolutamente. (i) converge condicional-
mente.
8. Não. Porquê?
9. (a), (c) e (d) convergem, (b) diverge
10. (a) é 8pi3 (b) é
25
10 +
31
990 =
2506
990 . Dica: 2.5 31 31 . . . = 2.5 + 0.031 + 0.00031 + · · ·
11. Dica: mostre que lim
n→∞ |an| 6= 0
12. Terá que somar até n = 5. O valor aproximado é 4760 .
13. Sendo c o centro e R o raio, será a) c = 0, R = 1, b) c = 0, R =∞, c) c = √3, R = 3
√
4
e
14. a) @, b) I = R, c) I = (1, 3), d) I =
(√
2− 2,√2 + 2)
15. a) arctanx é a soma da série de potências. Integrando, teremos a série de arctanx. Substitua o x2
nesta série.
b) Integrando a serie binomial que representa o arcsen′x, teremos o arcsenx.
16. Use a série de Maclaurin.
17. Obter a séries de Maclaurin diretamente não é fácil. Encontre a séries de Maclaurin de et e partir dele,
obtenha a series de e−t2 e calcule a integral.
18. Mostre que todas derivadas são limitadas.
19. a) f(x) =
∞∑
n=0
(−1)n(n+ 2)(n+ 1)
2× 2n+3 x
n, mostre que lim
n→∞
∣∣∣∣∣f (n+1)(ξn)xn+1(n+ 1)!
∣∣∣∣∣ = 0 para |x| < 1. Depois
mostre que a séries converge para |x| = 1 e use o Teorema de Abel (a séries de potências é contínua o
intervalo de convergência).
b)
∫ 1
−1
f(x)dx =
∞∑
n=0
(−1)n(n+ 2)
2× 2n+3 +
∞∑
n=0
(n+ 2)
2× 2n+3
20.
∞∑
n=0
(−1)n
(2n+ 1)!
(
x− pi
2
)2n+1
21. a)
∞∑
n=0
(−1)n6n+1xn, raio = 16 b) 1 +
∞∑
n=1
(−1)n+1xn
2n(2n− 1) , r = 1
22. Todas convergem.
23. a) raio =∞, b) raio = 1e
24. lim
n→∞ an = 2. Dica: Mostre que an =
n∑
i=0
(
1
2
)i 1
2
(aplicar limite em ambos lados da relação de recor-
rência não resolve).