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Lista de Exercícios Sobre Sequências e Séries 1. Mostre que {xn = cos(pin)} nao tem limite. 2. Enuncie e demonstre o Teorema de Sanduiche para sequências. 3. Mostre que as seqüencias { n√n} e { n√a} com a > 0 convergem para 1. 4. Mostre que lim n→∞ n √ n! =∞ 5. Determine os quatro primeiros termos de cada seqüência, analise a sua convergência e encontre o limite caso exista: a) an = n 2 n+2 , b) xn = (−1)n+1en, c) b = {√ n n! } , d) yn = (−1)n (2n)! , e) cn = en+n2 e2n−2n , f) tn = sen(2n+1)+n 2n+1 6. Seja a seqüência definida pela recorrência { x0 = 1 xn+1 = x2n+3 2xn . Sabendo que ele converge para valor po- sitivo, encontre o seu limite. 7. Verifique a convergência das seguintes séries (a) ∑ (−1)n(n+1) n , (b) ∞∑ n=1 1√ n , (c) ∑ 2n+1 nn , (d) ∞∑ k=2 cos(npi) n2 , (e) ∑ 2+cosn n , (f) ∑ 1+(−1)n 42n , (g) ∑ cosn√ n3 , (h) ∑ 2n n! , (i) ∞∑ n=5 (−1)n n+1 n2 , (j) ∑ n! nn 8. Podemos aplicar o teste da razão no ítem (f) da questão acima? Justifique. 9. Analise a convergência das seguintes séries através do teste da raiz ou do teste da integral. (a) ∑ 1 n2 , (b) ∑ (2n)n, (c) ∞∑ k=0 n+1 n! , (d) ∑ (−1)nn (2n)n 10. Obtenha o valor, usando séries geométricas: (a) ∞∑ n=3 pi ( 1 2 )2n−7, (b) 2.5 31 31 . . . 11. Mostre que, se 0 < a0 ≤ a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ · · · então a séries alternada ∞∑ n=0 (−1)nai diverge. 12. Mostre que a séries harmônica alternada ∞∑ n=1 (−1)n+1 n converge e estime o valor com erro máximo de 0.2. 13. Encontre o centro e o raio de convergência das séries de potências a) ∑ (−1)n√nxn b) ∑ en n! xn c) ∑ en 22n (x− √ 3)3n−5 14. Determine o intervalo de convergência a) ∑ n!xn b) ∑ 1 n! xn c) ∑ n3 n+ 1 (x− 2)n d) ∑ lnn 2n (x− √ 2)n 15. Encontre a série de potência de (a) arctan(x2), sabendo que arctan′(x) = 1 1+x2 . (b) arcsenx, usando arcsen′x = 1√ 1−x2 e a série binomial (1+x) k = 1+kx+k(k−1)2! x 2+k(k−1(k−2)3! x 3+· · · 16. Mostre que (1 + x)k = 1 + kx+ k(k−1)2! x 2 + k(k−1(k−2)3! x 3 + · · · 17. Encontre a série de Maclaurin de f(x) = ∫ x 0 e −t2dt. 18. Mostre que a função f(x) = senx pode ser representado como série de Taylor em torno de pi2para todo x. 19. Seja f(x) = 1 (2−x)3 (a) Encontre a Série de Maclaurin de f (sem usar a série binomial) e mostre que a série representa a função em [−1, 1]. (b) Usando a série obtida acima, encontre a expressão de ∫ 1 −1 1 (2− x)3dx 20. Encontre a série de Taylor de cosx em torno de pi2 . 21. Encontre a representação em série de potências e determine o seu raio de convergência a) ln ( 1 2 + 3x ) b) f( √ x) onde (0) = 1, (f ′(0) = 0 e f ′′(x) = 1 1+x4 22. Verifique a convergência das séries a) ∑ (−1)n en b) ∑ senn+ cos n2 n2 23. Encontre o centro e o raio de convergência das series de potencias a) ∑ n2n (n!)n xn b) ∑ e−n(x− 3)2n 24. Encontre o limite da seqüência convergente an tal que a0 = 1 e an+1 = an + 12n+1 para n > 1. Entregar seguintes exercícios resolvidos da lista ou do livro até P1: • Um sobre sequências. • Um sobre séries geométrica. • Um sobre séries alternada que envolve estimativa de erros. • Um sobre teste da raiz ou da razão. • Um sobre séries de potências para obter raio e intervalo de convergências. • Um sobre séries de potências que representa a função conhecida. • Mais dois a sua escolha. Respostas e dicas 1. Use a subsequencia. 2. Reescreva o que foi feito na aula ou no livro. 3. Use a função ln 4. Dica: n! ≥ (n2 )n2 5. a) lim n→∞ an =∞, b) limn→∞xn = @, c) limn→∞ bn = 0, d) limn→∞ yn = 0, e) limn→∞ cn = 0, f) limn→∞ tn = 1 2 . 6. lim n→∞xn = √ 3. Dica: Chame o limite de L e aplique o limite na fórmula de recorrência. 7. (a), (b) e (e) divergem. (c), (d), (f), (g), (h) e (j) convergem absolutamente. (i) converge condicional- mente. 8. Não. Porquê? 9. (a), (c) e (d) convergem, (b) diverge 10. (a) é 8pi3 (b) é 25 10 + 31 990 = 2506 990 . Dica: 2.5 31 31 . . . = 2.5 + 0.031 + 0.00031 + · · · 11. Dica: mostre que lim n→∞ |an| 6= 0 12. Terá que somar até n = 5. O valor aproximado é 4760 . 13. Sendo c o centro e R o raio, será a) c = 0, R = 1, b) c = 0, R =∞, c) c = √3, R = 3 √ 4 e 14. a) @, b) I = R, c) I = (1, 3), d) I = (√ 2− 2,√2 + 2) 15. a) arctanx é a soma da série de potências. Integrando, teremos a série de arctanx. Substitua o x2 nesta série. b) Integrando a serie binomial que representa o arcsen′x, teremos o arcsenx. 16. Use a série de Maclaurin. 17. Obter a séries de Maclaurin diretamente não é fácil. Encontre a séries de Maclaurin de et e partir dele, obtenha a series de e−t2 e calcule a integral. 18. Mostre que todas derivadas são limitadas. 19. a) f(x) = ∞∑ n=0 (−1)n(n+ 2)(n+ 1) 2× 2n+3 x n, mostre que lim n→∞ ∣∣∣∣∣f (n+1)(ξn)xn+1(n+ 1)! ∣∣∣∣∣ = 0 para |x| < 1. Depois mostre que a séries converge para |x| = 1 e use o Teorema de Abel (a séries de potências é contínua o intervalo de convergência). b) ∫ 1 −1 f(x)dx = ∞∑ n=0 (−1)n(n+ 2) 2× 2n+3 + ∞∑ n=0 (n+ 2) 2× 2n+3 20. ∞∑ n=0 (−1)n (2n+ 1)! ( x− pi 2 )2n+1 21. a) ∞∑ n=0 (−1)n6n+1xn, raio = 16 b) 1 + ∞∑ n=1 (−1)n+1xn 2n(2n− 1) , r = 1 22. Todas convergem. 23. a) raio =∞, b) raio = 1e 24. lim n→∞ an = 2. Dica: Mostre que an = n∑ i=0 ( 1 2 )i 1 2 (aplicar limite em ambos lados da relação de recor- rência não resolve).
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