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estudo de caso quantidade de movimento

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Faculdade Comunitária de Campinas 3 
Engenharia de Controle e Automação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula 
Fenômenos de Transporte II 
 
Prof. Jonathan Gazzola 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAMPINAS 
OUTUBRO DE 2008 
Estudo de casos – Quantidade de Movimento 
 
Caso 1 – Redução gradual de seção 
 
A configuração para um duto com seção reduzida é dado pela figura 
abaixo: 
 
 
 
Onde v1 e v2 são as direções da velocidade de escoamento do fluido e n1 e 
n2 são os versores normais de entrada e saída, respectivamente. A 
velocidade terá uma única direção durante o trajeto do escoamento, sendo 
da esquerda para direita, conforme mostra nosso desenho acima. 
Como foi citado anteriormente, os versores são direcionados de forma a 
estarem no sentido externo à tubulação, ou seja, o versor n1 correspondente 
à entrada tem sentido da direita para a esquerda, enquanto que o versor de 
saída n2 tem sentido da esquerda para a direita, sempre ambos apontados 
para o sentido externo à tubulação. 
Definidos as direções dos vetores de velocidade e versores normais, 
podemos então definir a equação de movimento para este caso. Para isso a 
equação geral do movimento é dada por: 
 
)]([ 12222111
→→→
−++−= vvQnAPnAPF mLS
 (IX) 
 
 
V1 
n1 
V2 
n2 y 
x 
 
Defini-se então o valor de n para cada ponto. Para este valor ser definido, 
faz-se então um estudo angular entre o sentido da velocidade e o sentido do 
versor no ponto estudado. Para o ponto de entrada a velocidade v1 e o 
versor n1 possuem um ângulo de 180º, portanto n1=-1. Para o ponto de 
saída a velocidade v2 e o versor n2 estão no mesmo sentido, logo o ângulo 
entre ambos é de 0º, portanto n2=+1. Logo nossa equação ficará da seguinte 
maneira: 
)]()1()1([ 122211
→→→
−+++−−= vvQAPAPF mLS 
)]([ 122211
→→→
−++−−= vvQAPAPF mLS 
)]( 122211
→→→
−−−= vvQAPAPF mLS 
)]( 2112211
→→→
−+−= vvQAPAPF mLS (X) 
 
Vale salientar que esta força está no plano x, ou seja, FLS=FX. Para o eixo y 
a força FY é nula, não sendo necessário qualquer cálculo neste caso. 
 
Caso 2 – Redução gradual de seção e mudança de direção. 
 
 
Este caso é análogo ao caso anterior, porém diferencia-se pelo fato de haver 
um ângulo na saída do fluido gerando forças no eixo x e eixo y. Para 
entendermos este caso será adotado o desenho abaixo: 
 
 
 
Note que neste caso há forças nos dois sentidos. Este tipo de problema, 
basicamente envolve a determinação das forças no sentido x e no sentido y 
e depois a força resultante final FLS será determinado através da regra do 
paralelogramo, ou teorema de pitágoras como é comumente conhecido. 
O sentido da velocidade e dos versores são mostrados na figura acima e sua 
definição de sentido é análoga ao estudo de caso apresentado acima. 
 
Eixo X 
Para este caso o versor normal de entrada possui ângulo de 180º com a 
velocidade (n1=-1), porém o ponto de saída do tubo possui uma inclinação 
de θº. A velocidade v2 e o versor normal projetados no eixo x é cosθ. 
Portanto n2=cosθ e vx=v2cosθ. 
A equação de movimento para a definição da força aplicada na parede no 
eixo x será então dada por: 
)]cos.()(cos)1([ 122211
→→→
−++−−= vvQAPAPF mX θθ 
)]cos.()(cos[ 122211
→→→
−++−−= vvQAPAPF mX θθ 
)cos.()(cos 212211 θθ
→→→
−+−+= vvQAPAPF mX (XI) 
 
 
 
Eixo Y 
Para este caso o versor normal de entrada possui ângulo de 90º com a 
velocidade (n1=0; v1=0), porém o ponto de saída do tubo possui uma 
inclinação de θº. A velocidade v2 e o versor normal projetados no eixo x é 
sen θ. Portanto n2=sen θ e vy=v2sen θ. 
A equação de movimento para a definição da força aplicada na parede no 
eixo y será então dada por: 
)]0.()()0([ 22211 −++−=
→→
θθ senvQsenAPAPF mY 
)].(0[ 222 θθ senvQsenAPF mY
→→
++−= 
).( 222 θθ senvQsenAPF mY
→→
−−= (XII) 
 
Finalmente a força final FLS é dado pela regra do paralelogramo: 
 
22 )()( YXLS FFF += (XIII) 
 
Caso 3 - Desviador de Jato Fixo 
 
O desviador de jato fixo é caracterizado por um aparato sólido desvia o 
curso do fluido que sai de um bocal com determinada velocidade, como é 
mostrado na figura abaixo. Um exemplo clássico de desviador de jato são 
as pás de turbinas de um avião. 
 
 
 
Para definirmos a equação deste caso, novamente apelamos para a equação 
de quantidade de movimento. 
 
)]([ 12222111
→→→
−++−= vvQnAPnAPF mLS
 (IX) 
 
Primeiramente vamos estudar as pressões no nosso sistema. Este caso em 
estudo é caracterizado pelo fato da pressão absoluta p1 (saída do duto) e p2 
(qualquer ponto adotado pelo trajeto do fluido) ser sempre a pressão 
atmosférica, ou seja, a pressão efetiva será nula (p1=p2=pefe=0). Logo, 
aplicando tais valores na equação da quantidade de movimento, temos: 
 
)](.0.0[ 122211
→→→
−++−= vvQnAnAF m 
)( 12
→→→
−−= vvQF m (XIV) 
 
Ou seja, pode ser concluído que a força aplicada em um desviador de jato 
será exercida apenas pelo movimento do fluido em si. 
Novamente, como há um desvio, necessariamente há uma mudança na 
direção dos versores normais, portanto teremos forças no eixo y e no eixo 
x. Vamos determinar quais são as forças em cada eixo. 
 
 
Eixo X 
Para o eixo x, vamos determinar as velocidades que compõe o eixo. A 
velocidade no eixo x terá componentes da velocidade v1 e v2. Lembrem-se 
que a velocidade no eixo x é dado pela equação vX=v.cosθ. 
A velocidade v1 possui um ângulo de 0º (cos 0º=1), portanto vX1=v1. A 
velocidade v2 possui um ângulo de inclinação θ, portanto vX2=v2.cos θ. 
Aplicando as duas velocidades na equação (XIV), temos: 
 
)cos( 12
→→→
−−= vvQF mX θ 
)cos( 21 θ
→→→
−= vvQF mX (XV) 
 
Eixo Y 
Analogamente determinaremos as velocidades que compõe o eixo Y. Para 
o eixo Y a decomposição da velocidade neste eixo é determinado pela 
equação vY=v. senθ. 
A velocidade v1 possui um ângulo de 0º (sen 0º=0), portanto vX1=0. A 
velocidade v2 possui um ângulo de inclinação θ, portanto vX2=v2.senθ. 
A nossa equação será dada por: 
 
)0( 2 −−=
→→
θsenvQF mY 
θsenvQF mY .. 2
→→
−= (XVI) 
 
Um fato interessante é que as perdas por atrito neste caso é muito pequena, 
ou seja, praticamente a velocidade v2 e v1 são as mesmas. Podemos adotar 
que v1=v2=vj. Sendo vj a velocidade do jato. 
E finalmente a força resultante FLS é determinada pela regra do 
paralelogramo. 
22 )()( YXLS FFF += 
 
Caso 4 – Jato incidente em uma placa plana. 
 
Um jato incidente em uma placa plana assemelha-se ao caso anterior. 
Porém um caso mais simples de ser estudado pois os ângulos são de 0º para 
o versor n1 e de 90º para o versor n2 como mostra a figura abaixo. 
 
 
Eixo X 
Como as equações já foram definidas anteriormente, não cabe mais discutir 
sobre estes novamente. A força no eixo x é dado por: 
)cos( 21 θ
→→→
−= vvQF mX 
 
Para n1 o cos 0º=1 e para n2 cos 90º=0, logo a equação será reduzida a: 
)0.( 21
→→→
−= vvQF mX 
1.
→→
= vQF mX (XVII) 
 
Para o caso de placa plana, a força FY não é contabilizada, pois o versor 
normal faz um ângulo de 0º com a placa e obviamente o eixo Y não influi 
nenhuma força sobre esta. Portanto FX=FLS.

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