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p1 2014.1

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Universidade Federal do Rio de Janeiro – Insti-
tuto de F´ısica
F´ısica III – 2014/1 – Primeira Prova: 24/03/2014
Teste
VERSA˜O: A
Formula´rio
~F
e
= q ~E , ~E = k0
q
r2
rˆ
(
onde k0 =
1
4πǫ0
)
,
∮
S
~E ·d~A = Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = k0 q
r
U = k0
qq′
r
, ~E = ~E0/K , C = Q/V
I =
∫
S
~J ·d~A , ~J = nq~v , V = RI ,
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Um capacitor de placas planas e paralelas, imersas no
va´cuo, e´ conectado a uma bateria de forc¸a eletromo-
triz constante. Se a distaˆncia entre as placas do ca-
pacitor e´ duplicada enquanto o capacitor permanece
conectado a bateria, a energia armazenada no capaci-
tor
(a) quadruplica.
(b) duplica.
(c) na˜o se altera.
(d) reduz-se a metade.
(e) reduz-se a um quarto.
2. Considere as seguintes afirmativas: (I) No interior de
um condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico, o potencial
ele´trico e´ sempre nulo. (II) Se o campo ele´trico e´
nulo em um determinado ponto do espac¸o, o poten-
cial ele´trico tambe´m sera´ nulo nesse ponto. (III) Se o
potencial ele´trico e´ nulo em um determinado ponto do
espac¸o, o campo ele´trico tambe´m deve ser nulo nesse
ponto. Qual(is) delas e´(sa˜o) verdadeira(s)?
(a) Apenas a I.
(b) Apenas a II.
(c) Apenas a III.
(d) Apenas a I e a II.
(e) Apenas a I e a III.
(f) Apenas a II e a III.
(g) Todas sa˜o verdadeiras.
(h) Nenhuma e´ verdadeira.
1
3. Qual e´ o trabalho necessa´rio para formamos a confi-
gurac¸a˜o de treˆs part´ıculas, todas com a mesma carga
q, supondo que tais part´ıculas esta˜o, de in´ıcio, infini-
tamente afastadas?
(a)
2k0q
2
a
.
(b)
4k0q
2
a
.
(c)
5k0q
2
a
.
(d)
6k0q
2
a
.
(e)
3k0q
2
a
.
4. Uma esfera isolante com carga Q uniformemente
distribu´ıda e´ envolvida por uma casca esfe´rica,
conceˆntrica, condutora, e de carga qc, com raio interno
a e raio externo b (b > a). A densidade superficial de
carga na parede interna da casca condutora vale:
(a) 0 .
(b) − Q
4πa2
.
(c)
Q
4πa2
.
(d) − Q
4πb2
.
(e)
Q
4πb2
.
(f)
Q+ qc
4πa2
.
(g)
Q+ qc
4πb2
.
5. Uma corrente e´ estabelecida num tubo de descarga de
ga´s quando uma diferenc¸a de potencial (ddp) e´ apli-
cada entre os dois eletrodos no tubo. O ga´s se ioniza,
os ele´trons movem-se em direc¸a˜o ao terminal positivo
e os ı´ons positivos em direc¸a˜o ao terminal negativo.
Em um tubo de descarga de hidrogeˆnio, 7,00 × 1018
ele´trons e 3,00×1018 pro´tons passam atrave´s da sec¸a˜o
reta do tubo a cada segundo. Quais sa˜o o mo´dulo I da
corrente ele´trica e o sentido do vetor densidade de cor-
rente ele´trica neste tubo de descarga? Lembre-se que
o mo´dulo da carga do ele´tron vale 1,60×10−19 C.
(a) I = 1,60 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(b) I = 0,640 A. Sentido: do terminal positivo
para o negativo.
(c) I = 1,60 A. Sentido: do terminal negativo
para para o positivo.
(d) I = 0,640 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
(e) I = 1,12 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(f) I = 1,12 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
6. Um condutor, carregado com carga Q, possui uma
cavidade esfe´rica em seu interior. Nessa cavidade, ha´
duas part´ıculas, de cargas q e −q. Chame de regia˜o I
o espac¸o fora do condutor, de regia˜o II o condutor, e
de regia˜o III a cavidade. Qual das opc¸o˜es a seguir
descreve corretamente o comportamento do campo
ele´trico nas treˆs regio˜es?
(a) ~EI = ~0, ~EII 6= ~0 e ~EIII 6= ~0.
(b) ~EI 6= ~0, ~EII 6= ~0 e ~EIII 6= ~0.
(c) ~EI 6= ~0, ~EII = ~0 e ~EIII 6= ~0.
(d) ~EI = ~0, ~EII = ~0 e ~EIII = ~0.
(e) ~EI 6= ~0, ~EII = ~0 e ~EIII = ~0.
2
7. Considere um enea´gono (pol´ıgono de nove lados) re-
gular, com part´ıculas de carga q em cada um de seus
ve´rtices, exceto um deles, conforme mostrado na fi-
gura. Qual e´ a forc¸a ele´trica resultante sobre uma
part´ıcula, de carga −q, no centro do pol´ıgono?
(a) −9k0q
2
a2
xˆ .
(b)
9k0q
2
a2
xˆ .
(c) −8k0q
2
a2
xˆ .
(d)
8k0q
2
a2
xˆ .
(e)
k0q
2
a2
xˆ .
(f) −k0q
2
a2
xˆ .
8. Das afirmativas abaixo, assinale a u´nica que e´ incor-
reta.
(a) O campo ele´trico produzido por um corpo com
carga total igual a zero pode ser diferente de
zero.
(b) O campo ele´trico no interior de um material
diele´trico e´ sempre zero, mesmo que ele esteja
em uma regia˜o com campo ele´trico.
(c) O campo ele´trico entre as placas de um ca-
pacitor isolado diminui quando a regia˜o entre
suas placas e´ completamente preenchida por
um material de constante diele´trica K > 1.
(d) Quando um material diele´trico e´ inserido en-
tre as placas de um capacitor, surge uma den-
sidade superficial de carga induzida nas su-
perf´ıcies do diele´trico que causa a mudanc¸a da
capacitaˆncia.
(e) Quando um material diele´trico e´ inserido entre
as placas de um capacitor, e´ poss´ıvel submeter
esse capacitor a maiores diferenc¸as de poten-
cial, sem que ocorra a ruptura diele´trica.
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [2,6 pontos] Um fio de comprimento 2L foi carregado de modo a dotar a metade superior com densidade linear de
carga λ e a metade inferior com densidade linear de carga −λ, onde λ e´ uma constante positiva.
(a) Determine o campo ele´trico (mo´dulo, direc¸a˜o e sentido) num ponto P situado a uma distaˆncia x do fio, na
perpendicular a partir de seu ponto me´dio. [1,4 ponto]
(b) Obtenha o potencial ele´trico no ponto P supracitado. [0,5 ponto]
(c) Mesmo para grandes distaˆncias (|x| ≫ L), o campo ele´trico na˜o e´ exatamente nulo. Qual e´ o comportamento
do campo ele´trico, como func¸a˜o de x, nessa aproximac¸a˜o? Interprete seu resultado. [0,7 ponto]
2. [2,6 pontos] Dois ane´is circulares, de mesmo raio L, perpendiculares ao eixo X, teˆm seus centros em x = −L e
x = L. Ambos possuem a mesma carga total Q, uniformemente distribu´ıda.
(a) Determine o potencial ele´trico devido aos ane´is, em um ponto gene´rico do eixo X, com abscissa x, tomando
tal potencial como zero no infinito (x→∞)? [1,2 ponto]
(b) Usando o potencial do item (a), determine o campo ele´trico devido aos ane´is, no mesmo ponto supracitado.
[1,0 ponto]
3
Figura 1: Questa˜o discursiva 1
Figura 2: Questa˜o discursiva 2.
(c) Considere agora uma part´ıcula de carga q, ainda no mesmo ponto supracitado. Determine a energia potencial
associada a` interac¸a˜o dessa part´ıcula com o campo ele´trico produzido pelos ane´is? [0,4 ponto]
4
Figura 3: Gabarito da questa˜o discursiva 1.
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (d)
2. (h)
3. (e)
4. (b)
5. (a)
6. (c)
7. (f)
8. (b)
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) Usaremos o princ´ıpio de superposic¸a˜o para calcular o campo ele´trico resultante devido ao basta˜o “dipolar”.
Para tanto, percebemos, por simetria, que a u´nica componente que restara´ e´ a componente y, dada por (cf. Fig. 12)
1
dEy = d~E · yˆ
=
k0 dq
r2
rˆ · yˆ
=
k0 λ dy
r2
(
−y
r
)
= −k0 λ y dy
(x2 + y2)3/2
.
Logo,
Ey = −2k0 λ
∫ L
y=0
y dy
(x2 + y2)3/2
, (1)
o que sugere a seguinte substituic¸a˜o trivial de varia´veis:
u := x2 + y2 =⇒ du = 2y dy .
Inserindo isso na Eq. (1), obtemos
Ey = −2k0 λ
∫ x2+L2
u=x2
du/2
u3/2
= −k0 λ u
−1/2
(−1/2)
∣∣∣∣
x2+L2
u=x2
.
Finalmente, pois,
~E(x, y = z = 0) = 2k0 λ
(
1√
x2 + L2
− 1|x|
)
yˆ . (2)
�
(b) Para o ca´lculo do potencial no mesmo ponto, tambe´m usaremos o princ´ıpio de superposic¸a˜o, desta feita para
potenciais, obviamente. Devido, contudo, a` simetria da distribuic¸a˜o de carga, com respeito ao eixo X, e´ o´bvio queo potencial resultante em qualquer ponto de tal eixo e´ identicamente zero:
V (x, y = z = 0) = 0 .
�
(c) Basta tomarmos o limite, usando a aproximac¸a˜o do binoˆmio de Newton,
(1 + ε)α ≃ 1 + α u+ . . . (ε, α ∈ R, |u| ≪ 1) ,
da Eq. (2), quando |x| ≫ L, ou seja, para ε := x/L→ 0. Obtemos, enta˜o,
lim
|x|≫L
~E = lim
|x|≫L
2k0 λ
[
1√
x2 + L2
− 1|x|
]
yˆ
= 2k0 λ
[
1
|x|√1 + (L/x)2 − 1|x|
]
yˆ
=
2k0 λ
|x|
{[
1 + (L/x)2
]−1/2 − 1} yˆ
=
2k0 λ
|x|
[
1− 1
2
L2
x2
+ . . .− 1
]
yˆ .
2
Finalmente, enta˜o,
lim
|x|≫L
~E(x, y = z = 0) = −k0 λL
2
x3
yˆ = −k0 ~p
x3
.
Tal expressa˜o e´ justamente aquela do campo ele´trico de um dipolo (“pontual”), em um ponto de seu plano me´dio,
a uma distaˆncia |x| de seu centro (|x| ≫ L), sendo o seu vetor momento de dipolo ele´trico dado justamente por
~p = QLyˆ ,
onde Q = λL, e L desempenhando justamente o papel da extensa˜o do dipolo, ou seja, a distaˆncia entre os pontos
me´dios de cada um dos dois segmentos (acima e abaixo da origem).
�
2. Resoluc¸a˜o:
(a) Usaremos o princ´ıpio de superposic¸a˜o para potenciais, ou seja,
V (x, y = z = 0) = V−(x, y = z = 0) + V+(x, y = z = 0) .
Aqui V− e´ o potencial devido ao anel com centro em x = −L, ou seja,
V−(x, y = z = 0) =
k0Q
r−
=
k0Q√
L2 + (x+ L)2
,
e V+ e´ o potencial devido ao nale com centro em x = L, ou seja,
V+(x, y = z = 0) =
k0Q
r+
=
k0Q√
L2 + (x− L)2 .
Logo, o potencial resultante e´
V (x, y = z = 0) = k0Q
{[
L2 + (L+ x)2
]−1/2
+
[
L2 + (x− L)2]−1/2} . (3)
�
(b) Devido a` simetria axial da distribuic¸a˜o de cargas nos ane´is, o campo ele´trico resultante tera´ somente componente
x, igual a [cf. Eq. (3)]:
Ex(x, y = z = 0) = −∂V (x, y = z = 0)
∂x
= −k0Q
{(
−1
2
)[
L2 + (L+ x)2
]−3/2
2(L+ x) +
(
−1
2
)[
L2 + (x− L)2]−3/2 2(x− L)} ,
ou, finalmente,
~E(x, y = z = 0) = k0Q
{
x+ L
[L2 + (x+ L)2]3/2
+
x− L
[L2 + (x− L)2]3/2
}
xˆ .
�
(c) Para tal item, so´ precisamos multiplicar o potencial no ponto x pela carga da part´ıcula, ou seja,
U = k0qQ
{[
L2 + (L+ x)2
]−1/2
+
[
L2 + (x− L)2]−1/2} .
�
3
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Insti-
tuto de F´ısica
F´ısica III – 2014/1 – Primeira Prova: 24/03/2014
Teste
VERSA˜O: B
Formula´rio
~F
e
= q ~E , ~E = k0
q
r2
rˆ
(
onde k0 =
1
4πǫ0
)
,
∮
S
~E ·d~A = Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = k0 q
r
U = k0
qq′
r
, ~E = ~E0/K , C = Q/V
I =
∫
S
~J ·d~A , ~J = nq~v , V = RI ,
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Uma corrente e´ estabelecida num tubo de descarga de
ga´s quando uma diferenc¸a de potencial (ddp) e´ apli-
cada entre os dois eletrodos no tubo. O ga´s se ioniza,
os ele´trons movem-se em direc¸a˜o ao terminal positivo
e os ı´ons positivos em direc¸a˜o ao terminal negativo.
Em um tubo de descarga de hidrogeˆnio, 7,00 × 1018
ele´trons e 3,00×1018 pro´tons passam atrave´s da sec¸a˜o
reta do tubo a cada segundo. Quais sa˜o o mo´dulo I da
corrente ele´trica e o sentido do vetor densidade de cor-
rente ele´trica neste tubo de descarga? Lembre-se que
o mo´dulo da carga do ele´tron vale 1,60×10−19 C.
(a) I = 1,60 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(b) I = 0,640 A. Sentido: do terminal positivo
para o negativo.
(c) I = 1,60 A. Sentido: do terminal negativo
para para o positivo.
(d) I = 0,640 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
(e) I = 1,12 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(f) I = 1,12 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
2. Uma esfera isolante com carga Q uniformemente
distribu´ıda e´ envolvida por uma casca esfe´rica,
conceˆntrica, condutora, e de carga qc, com raio interno
a e raio externo b (b > a). A densidade superficial de
carga na parede interna da casca condutora vale:
(a) 0 .
(b) − Q
4πa2
.
(c)
Q
4πa2
.
(d) − Q
4πb2
.
(e)
Q
4πb2
.
(f)
Q+ qc
4πa2
.
(g)
Q+ qc
4πb2
.
1
3. Um capacitor de placas planas e paralelas, imersas no
va´cuo, e´ conectado a uma bateria de forc¸a eletromo-
triz constante. Se a distaˆncia entre as placas do ca-
pacitor e´ duplicada enquanto o capacitor permanece
conectado a bateria, a energia armazenada no capaci-
tor
(a) quadruplica.
(b) duplica.
(c) na˜o se altera.
(d) reduz-se a metade.
(e) reduz-se a um quarto.
4. Considere as seguintes afirmativas: (I) No interior de
um condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico, o potencial
ele´trico e´ sempre nulo. (II) Se o campo ele´trico e´
nulo em um determinado ponto do espac¸o, o poten-
cial ele´trico tambe´m sera´ nulo nesse ponto. (III) Se o
potencial ele´trico e´ nulo em um determinado ponto do
espac¸o, o campo ele´trico tambe´m deve ser nulo nesse
ponto. Qual(is) delas e´(sa˜o) verdadeira(s)?
(a) Apenas a I.
(b) Apenas a II.
(c) Apenas a III.
(d) Apenas a I e a II.
(e) Apenas a I e a III.
(f) Apenas a II e a III.
(g) Todas sa˜o verdadeiras.
(h) Nenhuma e´ verdadeira.
5. Considere um enea´gono (pol´ıgono de nove lados) re-
gular, com part´ıculas de carga q em cada um de seus
ve´rtices, exceto um deles, conforme mostrado na fi-
gura. Qual e´ a forc¸a ele´trica resultante sobre uma
part´ıcula, de carga −q, no centro do pol´ıgono?
(a) −9k0q
2
a2
xˆ .
(b)
9k0q
2
a2
xˆ .
(c) −8k0q
2
a2
xˆ .
(d)
8k0q
2
a2
xˆ .
(e)
k0q
2
a2
xˆ .
(f) −k0q
2
a2
xˆ .
6. Qual e´ o trabalho necessa´rio para formamos a confi-
gurac¸a˜o de treˆs part´ıculas, todas com a mesma carga
q, supondo que tais part´ıculas esta˜o, de in´ıcio, infini-
tamente afastadas?
(a)
2k0q
2
a
.
(b)
4k0q
2
a
.
(c)
5k0q
2
a
.
(d)
6k0q
2
a
.
(e)
3k0q
2
a
.
2
7. Um condutor, carregado com carga Q, possui uma
cavidade esfe´rica em seu interior. Nessa cavidade, ha´
duas part´ıculas, de cargas q e −q. Chame de regia˜o I
o espac¸o fora do condutor, de regia˜o II o condutor, e
de regia˜o III a cavidade. Qual das opc¸o˜es a seguir
descreve corretamente o comportamento do campo
ele´trico nas treˆs regio˜es?
(a) ~EI = ~0, ~EII 6= ~0 e ~EIII 6= ~0.
(b) ~EI 6= ~0, ~EII 6= ~0 e ~EIII 6= ~0.
(c) ~EI 6= ~0, ~EII = ~0 e ~EIII 6= ~0.
(d) ~EI = ~0, ~EII = ~0 e ~EIII = ~0.
(e) ~EI 6= ~0, ~EII = ~0 e ~EIII = ~0.
8. Das afirmativas abaixo, assinale a u´nica que e´ incor-
reta.
(a) O campo ele´trico produzido por um corpo com
carga total igual a zero pode ser diferente de
zero.
(b) O campo ele´trico no interior de um material
diele´trico e´ sempre zero, mesmo que ele esteja
em uma regia˜o com campo ele´trico.
(c) O campo ele´trico entre as placas de um ca-
pacitor isolado diminui quando a regia˜o entre
suas placas e´ completamente preenchida por
um material de constante diele´trica K > 1.
(d) Quando um material diele´trico e´ inserido en-
tre as placas de um capacitor, surge uma den-
sidade superficial de carga induzida nas su-
perf´ıcies do diele´trico que causa a mudanc¸a da
capacitaˆncia.
(e) Quando um material diele´trico e´ inserido entre
as placas de um capacitor, e´ poss´ıvel submeter
esse capacitor a maiores diferenc¸as de poten-
cial, sem que ocorra a ruptura diele´trica.
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [2,6 pontos] Um fio de comprimento 2L foi carregado de modo a dotar a metade superior com densidade linear de
carga λ e a metade inferior com densidade linear de carga −λ, onde λ e´ uma constante positiva.
Figura 4: Questa˜o discursiva 1
(a) Determine o campo ele´trico (mo´dulo, direc¸a˜o e sentido) num ponto P situado a uma distaˆncia x do fio, na
perpendicular a partir de seu ponto me´dio. [1,4 ponto]
3
(b) Obtenha o potencial ele´trico no pontoP supracitado. [0,5 ponto]
(c) Mesmo para grandes distaˆncias (|x| ≫ L), o campo ele´trico na˜o e´ exatamente nulo. Qual e´ o comportamento
do campo ele´trico, como func¸a˜o de x, nessa aproximac¸a˜o? Interprete seu resultado. [0,7 ponto]
2. [2,6 pontos] Dois ane´is circulares, de mesmo raio L, perpendiculares ao eixo X, teˆm seus centros em x = −L e
x = L. Ambos possuem a mesma carga total Q, uniformemente distribu´ıda.
Figura 5: Questa˜o discursiva 2.
(a) Determine o potencial ele´trico devido aos ane´is, em um ponto gene´rico do eixo X, com abscissa x, tomando
tal potencial como zero no infinito (x→∞)? [1,2 ponto]
(b) Usando o potencial do item (a), determine o campo ele´trico devido aos ane´is, no mesmo ponto supracitado.
[1,0 ponto]
(c) Considere agora uma part´ıcula de carga q, ainda no mesmo ponto supracitado. Determine a energia potencial
associada a` interac¸a˜o dessa part´ıcula com o campo ele´trico produzido pelos ane´is? [0,4 ponto]
4
Figura 6: Gabarito da questa˜o discursiva 1.
Gabarito para Versa˜o B
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (a)
2. (b)
3. (d)
4. (h)
5. (f)
6. (e)
7. (c)
8. (b)
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) Usaremos o princ´ıpio de superposic¸a˜o para calcular o campo ele´trico resultante devido ao basta˜o “dipolar”.
Para tanto, percebemos, por simetria, que a u´nica componente que restara´ e´ a componente y, dada por (cf. Fig. 12)
1
dEy = d~E · yˆ
=
k0 dq
r2
rˆ · yˆ
=
k0 λ dy
r2
(
−y
r
)
= −k0 λ y dy
(x2 + y2)3/2
.
Logo,
Ey = −2k0 λ
∫ L
y=0
y dy
(x2 + y2)3/2
, (1)
o que sugere a seguinte substituic¸a˜o trivial de varia´veis:
u := x2 + y2 =⇒ du = 2y dy .
Inserindo isso na Eq. (1), obtemos
Ey = −2k0 λ
∫ x2+L2
u=x2
du/2
u3/2
= −k0 λ u
−1/2
(−1/2)
∣∣∣∣
x2+L2
u=x2
.
Finalmente, pois,
~E(x, y = z = 0) = 2k0 λ
(
1√
x2 + L2
− 1|x|
)
yˆ . (2)
�
(b) Para o ca´lculo do potencial no mesmo ponto, tambe´m usaremos o princ´ıpio de superposic¸a˜o, desta feita para
potenciais, obviamente. Devido, contudo, a` simetria da distribuic¸a˜o de carga, com respeito ao eixo X, e´ o´bvio que
o potencial resultante em qualquer ponto de tal eixo e´ identicamente zero:
V (x, y = z = 0) = 0 .
�
(c) Basta tomarmos o limite, usando a aproximac¸a˜o do binoˆmio de Newton,
(1 + ε)α ≃ 1 + α u+ . . . (ε, α ∈ R, |u| ≪ 1) ,
da Eq. (2), quando |x| ≫ L, ou seja, para ε := x/L→ 0. Obtemos, enta˜o,
lim
|x|≫L
~E = lim
|x|≫L
2k0 λ
[
1√
x2 + L2
− 1|x|
]
yˆ
= 2k0 λ
[
1
|x|√1 + (L/x)2 − 1|x|
]
yˆ
=
2k0 λ
|x|
{[
1 + (L/x)2
]−1/2 − 1} yˆ
=
2k0 λ
|x|
[
1− 1
2
L2
x2
+ . . .− 1
]
yˆ .
2
Finalmente, enta˜o,
lim
|x|≫L
~E(x, y = z = 0) = −k0 λL
2
x3
yˆ = −k0 ~p
x3
.
Tal expressa˜o e´ justamente aquela do campo ele´trico de um dipolo (“pontual”), em um ponto de seu plano me´dio,
a uma distaˆncia |x| de seu centro (|x| ≫ L), sendo o seu vetor momento de dipolo ele´trico dado justamente por
~p = QLyˆ ,
onde Q = λL, e L desempenhando justamente o papel da extensa˜o do dipolo, ou seja, a distaˆncia entre os pontos
me´dios de cada um dos dois segmentos (acima e abaixo da origem).
�
2. Resoluc¸a˜o:
(a) Usaremos o princ´ıpio de superposic¸a˜o para potenciais, ou seja,
V (x, y = z = 0) = V−(x, y = z = 0) + V+(x, y = z = 0) .
Aqui V− e´ o potencial devido ao anel com centro em x = −L, ou seja,
V−(x, y = z = 0) =
k0Q
r−
=
k0Q√
L2 + (x+ L)2
,
e V+ e´ o potencial devido ao nale com centro em x = L, ou seja,
V+(x, y = z = 0) =
k0Q
r+
=
k0Q√
L2 + (x− L)2 .
Logo, o potencial resultante e´
V (x, y = z = 0) = k0Q
{[
L2 + (L+ x)2
]−1/2
+
[
L2 + (x− L)2]−1/2} . (3)
�
(b) Devido a` simetria axial da distribuic¸a˜o de cargas nos ane´is, o campo ele´trico resultante tera´ somente componente
x, igual a [cf. Eq. (3)]:
Ex(x, y = z = 0) = −∂V (x, y = z = 0)
∂x
= −k0Q
{(
−1
2
)[
L2 + (L+ x)2
]−3/2
2(L+ x) +
(
−1
2
)[
L2 + (x− L)2]−3/2 2(x− L)} ,
ou, finalmente,
~E(x, y = z = 0) = k0Q
{
x+ L
[L2 + (x+ L)2]3/2
+
x− L
[L2 + (x− L)2]3/2
}
xˆ .
�
(c) Para tal item, so´ precisamos multiplicar o potencial no ponto x pela carga da part´ıcula, ou seja,
U = k0qQ
{[
L2 + (L+ x)2
]−1/2
+
[
L2 + (x− L)2]−1/2} .
�
3
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Insti-
tuto de F´ısica
F´ısica III – 2014/1 – Primeira Prova: 24/03/2014
Teste
VERSA˜O: C
Formula´rio
~F
e
= q ~E , ~E = k0
q
r2
rˆ
(
onde k0 =
1
4πǫ0
)
,
∮
S
~E ·d~A = Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = k0 q
r
U = k0
qq′
r
, ~E = ~E0/K , C = Q/V
I =
∫
S
~J ·d~A , ~J = nq~v , V = RI ,
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Uma esfera isolante com carga Q uniformemente
distribu´ıda e´ envolvida por uma casca esfe´rica,
conceˆntrica, condutora, e de carga qc, com raio interno
a e raio externo b (b > a). A densidade superficial de
carga na parede interna da casca condutora vale:
(a) 0 .
(b) − Q
4πa2
.
(c)
Q
4πa2
.
(d) − Q
4πb2
.
(e)
Q
4πb2
.
(f)
Q+ qc
4πa2
.
(g)
Q+ qc
4πb2
.
2. Um capacitor de placas planas e paralelas, imersas no
va´cuo, e´ conectado a uma bateria de forc¸a eletromo-
triz constante. Se a distaˆncia entre as placas do ca-
pacitor e´ duplicada enquanto o capacitor permanece
conectado a bateria, a energia armazenada no capaci-
tor
(a) quadruplica.
(b) duplica.
(c) na˜o se altera.
(d) reduz-se a metade.
(e) reduz-se a um quarto.
1
3. Uma corrente e´ estabelecida num tubo de descarga de
ga´s quando uma diferenc¸a de potencial (ddp) e´ apli-
cada entre os dois eletrodos no tubo. O ga´s se ioniza,
os ele´trons movem-se em direc¸a˜o ao terminal positivo
e os ı´ons positivos em direc¸a˜o ao terminal negativo.
Em um tubo de descarga de hidrogeˆnio, 7,00 × 1018
ele´trons e 3,00×1018 pro´tons passam atrave´s da sec¸a˜o
reta do tubo a cada segundo. Quais sa˜o o mo´dulo I da
corrente ele´trica e o sentido do vetor densidade de cor-
rente ele´trica neste tubo de descarga? Lembre-se que
o mo´dulo da carga do ele´tron vale 1,60×10−19 C.
(a) I = 1,60 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(b) I = 0,640 A. Sentido: do terminal positivo
para o negativo.
(c) I = 1,60 A. Sentido: do terminal negativo
para para o positivo.
(d) I = 0,640 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
(e) I = 1,12 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(f) I = 1,12 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
4. Um condutor, carregado com carga Q, possui uma
cavidade esfe´rica em seu interior. Nessa cavidade, ha´
duas part´ıculas, de cargas q e −q. Chame de regia˜o I
o espac¸o fora do condutor, de regia˜o II o condutor, e
de regia˜o III a cavidade. Qual das opc¸o˜es a seguir
descreve corretamente o comportamento do campo
ele´trico nas treˆs regio˜es?
(a) ~EI = ~0, ~EII 6= ~0 e ~EIII 6= ~0.
(b) ~EI 6= ~0, ~EII 6= ~0 e ~EIII 6= ~0.
(c) ~EI 6= ~0, ~EII = ~0 e ~EIII 6= ~0.
(d) ~EI = ~0, ~EII = ~0 e ~EIII = ~0.
(e) ~EI 6= ~0, ~EII = ~0 e ~EIII = ~0.
5. Das afirmativas abaixo, assinale a u´nica que e´ incor-
reta.
(a) O campo ele´trico produzido por um corpo com
carga total igual a zero pode ser diferente de
zero.
(b) O campo ele´trico no interior de um material
diele´trico e´ sempre zero, mesmo que ele esteja
em uma regia˜o com campo ele´trico.
(c) O campo ele´trico entre as placas de um ca-
pacitor isolado diminui quando a regia˜o entre
suas placas e´ completamente preenchida por
um material de constante diele´trica K > 1.
(d) Quando um material diele´trico e´ inserido en-
tre as placas de um capacitor, surge uma den-
sidade superficial de carga induzida nas su-perf´ıcies do diele´trico que causa a mudanc¸a da
capacitaˆncia.
(e) Quando um material diele´trico e´ inserido entre
as placas de um capacitor, e´ poss´ıvel submeter
esse capacitor a maiores diferenc¸as de poten-
cial, sem que ocorra a ruptura diele´trica.
2
6. Considere um enea´gono (pol´ıgono de nove lados) re-
gular, com part´ıculas de carga q em cada um de seus
ve´rtices, exceto um deles, conforme mostrado na fi-
gura. Qual e´ a forc¸a ele´trica resultante sobre uma
part´ıcula, de carga −q, no centro do pol´ıgono?
(a) −9k0q
2
a2
xˆ .
(b)
9k0q
2
a2
xˆ .
(c) −8k0q
2
a2
xˆ .
(d)
8k0q
2
a2
xˆ .
(e)
k0q
2
a2
xˆ .
(f) −k0q
2
a2
xˆ .
7. Qual e´ o trabalho necessa´rio para formamos a confi-
gurac¸a˜o de treˆs part´ıculas, todas com a mesma carga
q, supondo que tais part´ıculas esta˜o, de in´ıcio, infini-
tamente afastadas?
(a)
2k0q
2
a
.
(b)
4k0q
2
a
.
(c)
5k0q
2
a
.
(d)
6k0q
2
a
.
(e)
3k0q
2
a
.
8. Considere as seguintes afirmativas: (I) No interior de
um condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico, o potencial
ele´trico e´ sempre nulo. (II) Se o campo ele´trico e´
nulo em um determinado ponto do espac¸o, o poten-
cial ele´trico tambe´m sera´ nulo nesse ponto. (III) Se o
potencial ele´trico e´ nulo em um determinado ponto do
espac¸o, o campo ele´trico tambe´m deve ser nulo nesse
ponto. Qual(is) delas e´(sa˜o) verdadeira(s)?
(a) Apenas a I.
(b) Apenas a II.
(c) Apenas a III.
(d) Apenas a I e a II.
(e) Apenas a I e a III.
(f) Apenas a II e a III.
(g) Todas sa˜o verdadeiras.
(h) Nenhuma e´ verdadeira.
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [2,6 pontos] Um fio de comprimento 2L foi carregado de modo a dotar a metade superior com densidade linear de
carga λ e a metade inferior com densidade linear de carga −λ, onde λ e´ uma constante positiva.
(a) Determine o campo ele´trico (mo´dulo, direc¸a˜o e sentido) num ponto P situado a uma distaˆncia x do fio, na
perpendicular a partir de seu ponto me´dio. [1,4 ponto]
(b) Obtenha o potencial ele´trico no ponto P supracitado. [0,5 ponto]
(c) Mesmo para grandes distaˆncias (|x| ≫ L), o campo ele´trico na˜o e´ exatamente nulo. Qual e´ o comportamento
do campo ele´trico, como func¸a˜o de x, nessa aproximac¸a˜o? Interprete seu resultado. [0,7 ponto]
2. [2,6 pontos] Dois ane´is circulares, de mesmo raio L, perpendiculares ao eixo X, teˆm seus centros em x = −L e
x = L. Ambos possuem a mesma carga total Q, uniformemente distribu´ıda.
3
Figura 7: Questa˜o discursiva 1
Figura 8: Questa˜o discursiva 2.
(a) Determine o potencial ele´trico devido aos ane´is, em um ponto gene´rico do eixo X, com abscissa x, tomando
tal potencial como zero no infinito (x→∞)? [1,2 ponto]
(b) Usando o potencial do item (a), determine o campo ele´trico devido aos ane´is, no mesmo ponto supracitado.
[1,0 ponto]
(c) Considere agora uma part´ıcula de carga q, ainda no mesmo ponto supracitado. Determine a energia potencial
associada a` interac¸a˜o dessa part´ıcula com o campo ele´trico produzido pelos ane´is? [0,4 ponto]
4
Figura 9: Gabarito da questa˜o discursiva 1.
Gabarito para Versa˜o C
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (b)
2. (d)
3. (a)
4. (c)
5. (b)
6. (f)
7. (e)
8. (h)
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) Usaremos o princ´ıpio de superposic¸a˜o para calcular o campo ele´trico resultante devido ao basta˜o “dipolar”.
Para tanto, percebemos, por simetria, que a u´nica componente que restara´ e´ a componente y, dada por (cf. Fig. 12)
1
dEy = d~E · yˆ
=
k0 dq
r2
rˆ · yˆ
=
k0 λ dy
r2
(
−y
r
)
= −k0 λ y dy
(x2 + y2)3/2
.
Logo,
Ey = −2k0 λ
∫ L
y=0
y dy
(x2 + y2)3/2
, (1)
o que sugere a seguinte substituic¸a˜o trivial de varia´veis:
u := x2 + y2 =⇒ du = 2y dy .
Inserindo isso na Eq. (1), obtemos
Ey = −2k0 λ
∫ x2+L2
u=x2
du/2
u3/2
= −k0 λ u
−1/2
(−1/2)
∣∣∣∣
x2+L2
u=x2
.
Finalmente, pois,
~E(x, y = z = 0) = 2k0 λ
(
1√
x2 + L2
− 1|x|
)
yˆ . (2)
�
(b) Para o ca´lculo do potencial no mesmo ponto, tambe´m usaremos o princ´ıpio de superposic¸a˜o, desta feita para
potenciais, obviamente. Devido, contudo, a` simetria da distribuic¸a˜o de carga, com respeito ao eixo X, e´ o´bvio que
o potencial resultante em qualquer ponto de tal eixo e´ identicamente zero:
V (x, y = z = 0) = 0 .
�
(c) Basta tomarmos o limite, usando a aproximac¸a˜o do binoˆmio de Newton,
(1 + ε)α ≃ 1 + α u+ . . . (ε, α ∈ R, |u| ≪ 1) ,
da Eq. (2), quando |x| ≫ L, ou seja, para ε := x/L→ 0. Obtemos, enta˜o,
lim
|x|≫L
~E = lim
|x|≫L
2k0 λ
[
1√
x2 + L2
− 1|x|
]
yˆ
= 2k0 λ
[
1
|x|√1 + (L/x)2 − 1|x|
]
yˆ
=
2k0 λ
|x|
{[
1 + (L/x)2
]−1/2 − 1} yˆ
=
2k0 λ
|x|
[
1− 1
2
L2
x2
+ . . .− 1
]
yˆ .
2
Finalmente, enta˜o,
lim
|x|≫L
~E(x, y = z = 0) = −k0 λL
2
x3
yˆ = −k0 ~p
x3
.
Tal expressa˜o e´ justamente aquela do campo ele´trico de um dipolo (“pontual”), em um ponto de seu plano me´dio,
a uma distaˆncia |x| de seu centro (|x| ≫ L), sendo o seu vetor momento de dipolo ele´trico dado justamente por
~p = QLyˆ ,
onde Q = λL, e L desempenhando justamente o papel da extensa˜o do dipolo, ou seja, a distaˆncia entre os pontos
me´dios de cada um dos dois segmentos (acima e abaixo da origem).
�
2. Resoluc¸a˜o:
(a) Usaremos o princ´ıpio de superposic¸a˜o para potenciais, ou seja,
V (x, y = z = 0) = V−(x, y = z = 0) + V+(x, y = z = 0) .
Aqui V− e´ o potencial devido ao anel com centro em x = −L, ou seja,
V−(x, y = z = 0) =
k0Q
r−
=
k0Q√
L2 + (x+ L)2
,
e V+ e´ o potencial devido ao nale com centro em x = L, ou seja,
V+(x, y = z = 0) =
k0Q
r+
=
k0Q√
L2 + (x− L)2 .
Logo, o potencial resultante e´
V (x, y = z = 0) = k0Q
{[
L2 + (L+ x)2
]−1/2
+
[
L2 + (x− L)2]−1/2} . (3)
�
(b) Devido a` simetria axial da distribuic¸a˜o de cargas nos ane´is, o campo ele´trico resultante tera´ somente componente
x, igual a [cf. Eq. (3)]:
Ex(x, y = z = 0) = −∂V (x, y = z = 0)
∂x
= −k0Q
{(
−1
2
)[
L2 + (L+ x)2
]−3/2
2(L+ x) +
(
−1
2
)[
L2 + (x− L)2]−3/2 2(x− L)} ,
ou, finalmente,
~E(x, y = z = 0) = k0Q
{
x+ L
[L2 + (x+ L)2]3/2
+
x− L
[L2 + (x− L)2]3/2
}
xˆ .
�
(c) Para tal item, so´ precisamos multiplicar o potencial no ponto x pela carga da part´ıcula, ou seja,
U = k0qQ
{[
L2 + (L+ x)2
]−1/2
+
[
L2 + (x− L)2]−1/2} .
�
3
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Insti-
tuto de F´ısica
F´ısica III – 2014/1 – Primeira Prova: 24/03/2014
Teste
VERSA˜O: D
Formula´rio
~F
e
= q ~E , ~E = k0
q
r2
rˆ
(
onde k0 =
1
4πǫ0
)
,
∮
S
~E ·d~A = Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = k0 q
r
U = k0
qq′
r
, ~E = ~E0/K , C = Q/V
I =
∫
S
~J ·d~A , ~J = nq~v , V = RI ,
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Considere as seguintes afirmativas: (I) No interior de
um condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico, o potencial
ele´trico e´ sempre nulo. (II) Se o campo ele´trico e´
nulo em um determinado ponto do espac¸o, o poten-
cial ele´trico tambe´m sera´ nulo nesse ponto. (III) Se o
potencial ele´trico e´ nulo em um determinado ponto do
espac¸o, o campo ele´trico tambe´m deve ser nulo nesse
ponto. Qual(is) delas e´(sa˜o) verdadeira(s)?
(a) Apenas a I.
(b) Apenas a II.
(c) Apenas a III.
(d) Apenas a I e a II.
(e) Apenas a I e a III.
(f) Apenas a II e a III.
(g) Todas sa˜o verdadeiras.
(h) Nenhuma e´ verdadeira.
2. Um capacitor de placas planas e paralelas, imersas no
va´cuo, e´ conectado a uma bateria de forc¸a eletromo-
triz constante. Se a distaˆncia entreas placas do ca-
pacitor e´ duplicada enquanto o capacitor permanece
conectado a bateria, a energia armazenada no capaci-
tor
(a) quadruplica.
(b) duplica.
(c) na˜o se altera.
(d) reduz-se a metade.
(e) reduz-se a um quarto.
1
3. Uma esfera isolante com carga Q uniformemente
distribu´ıda e´ envolvida por uma casca esfe´rica,
conceˆntrica, condutora, e de carga qc, com raio interno
a e raio externo b (b > a). A densidade superficial de
carga na parede interna da casca condutora vale:
(a) 0 .
(b) − Q
4πa2
.
(c)
Q
4πa2
.
(d) − Q
4πb2
.
(e)
Q
4πb2
.
(f)
Q+ qc
4πa2
.
(g)
Q+ qc
4πb2
.
4. Considere um enea´gono (pol´ıgono de nove lados) re-
gular, com part´ıculas de carga q em cada um de seus
ve´rtices, exceto um deles, conforme mostrado na fi-
gura. Qual e´ a forc¸a ele´trica resultante sobre uma
part´ıcula, de carga −q, no centro do pol´ıgono?
(a) −9k0q
2
a2
xˆ .
(b)
9k0q
2
a2
xˆ .
(c) −8k0q
2
a2
xˆ .
(d)
8k0q
2
a2
xˆ .
(e)
k0q
2
a2
xˆ .
(f) −k0q
2
a2
xˆ .
5. Um condutor, carregado com carga Q, possui uma
cavidade esfe´rica em seu interior. Nessa cavidade, ha´
duas part´ıculas, de cargas q e −q. Chame de regia˜o I
o espac¸o fora do condutor, de regia˜o II o condutor, e
de regia˜o III a cavidade. Qual das opc¸o˜es a seguir
descreve corretamente o comportamento do campo
ele´trico nas treˆs regio˜es?
(a) ~EI = ~0, ~EII 6= ~0 e ~EIII 6= ~0.
(b) ~EI 6= ~0, ~EII 6= ~0 e ~EIII 6= ~0.
(c) ~EI 6= ~0, ~EII = ~0 e ~EIII 6= ~0.
(d) ~EI = ~0, ~EII = ~0 e ~EIII = ~0.
(e) ~EI 6= ~0, ~EII = ~0 e ~EIII = ~0.
6. Qual e´ o trabalho necessa´rio para formamos a confi-
gurac¸a˜o de treˆs part´ıculas, todas com a mesma carga
q, supondo que tais part´ıculas esta˜o, de in´ıcio, infini-
tamente afastadas?
(a)
2k0q
2
a
.
(b)
4k0q
2
a
.
(c)
5k0q
2
a
.
(d)
6k0q
2
a
.
(e)
3k0q
2
a
.
2
7. Uma corrente e´ estabelecida num tubo de descarga de
ga´s quando uma diferenc¸a de potencial (ddp) e´ apli-
cada entre os dois eletrodos no tubo. O ga´s se ioniza,
os ele´trons movem-se em direc¸a˜o ao terminal positivo
e os ı´ons positivos em direc¸a˜o ao terminal negativo.
Em um tubo de descarga de hidrogeˆnio, 7,00 × 1018
ele´trons e 3,00×1018 pro´tons passam atrave´s da sec¸a˜o
reta do tubo a cada segundo. Quais sa˜o o mo´dulo I da
corrente ele´trica e o sentido do vetor densidade de cor-
rente ele´trica neste tubo de descarga? Lembre-se que
o mo´dulo da carga do ele´tron vale 1,60×10−19 C.
(a) I = 1,60 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(b) I = 0,640 A. Sentido: do terminal positivo
para o negativo.
(c) I = 1,60 A. Sentido: do terminal negativo
para para o positivo.
(d) I = 0,640 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
(e) I = 1,12 A. Sentido: do terminal positivo para
o negativo.
(f) I = 1,12 A. Sentido: do terminal negativo
para o positivo.
8. Das afirmativas abaixo, assinale a u´nica que e´ incor-
reta.
(a) O campo ele´trico produzido por um corpo com
carga total igual a zero pode ser diferente de
zero.
(b) O campo ele´trico no interior de um material
diele´trico e´ sempre zero, mesmo que ele esteja
em uma regia˜o com campo ele´trico.
(c) O campo ele´trico entre as placas de um ca-
pacitor isolado diminui quando a regia˜o entre
suas placas e´ completamente preenchida por
um material de constante diele´trica K > 1.
(d) Quando um material diele´trico e´ inserido en-
tre as placas de um capacitor, surge uma den-
sidade superficial de carga induzida nas su-
perf´ıcies do diele´trico que causa a mudanc¸a da
capacitaˆncia.
(e) Quando um material diele´trico e´ inserido entre
as placas de um capacitor, e´ poss´ıvel submeter
esse capacitor a maiores diferenc¸as de poten-
cial, sem que ocorra a ruptura diele´trica.
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
Todas as respostas devem ter ampla justificativa!
1. [2,6 pontos] Um fio de comprimento 2L foi carregado de modo a dotar a metade superior com densidade linear de
carga λ e a metade inferior com densidade linear de carga −λ, onde λ e´ uma constante positiva.
Figura 10: Questa˜o discursiva 1
3
(a) Determine o campo ele´trico (mo´dulo, direc¸a˜o e sentido) num ponto P situado a uma distaˆncia x do fio, na
perpendicular a partir de seu ponto me´dio. [1,4 ponto]
(b) Obtenha o potencial ele´trico no ponto P supracitado. [0,5 ponto]
(c) Mesmo para grandes distaˆncias (|x| ≫ L), o campo ele´trico na˜o e´ exatamente nulo. Qual e´ o comportamento
do campo ele´trico, como func¸a˜o de x, nessa aproximac¸a˜o? Interprete seu resultado. [0,7 ponto]
2. [2,6 pontos] Dois ane´is circulares, de mesmo raio L, perpendiculares ao eixo X, teˆm seus centros em x = −L e
x = L. Ambos possuem a mesma carga total Q, uniformemente distribu´ıda.
Figura 11: Questa˜o discursiva 2.
(a) Determine o potencial ele´trico devido aos ane´is, em um ponto gene´rico do eixo X, com abscissa x, tomando
tal potencial como zero no infinito (x→∞)? [1,2 ponto]
(b) Usando o potencial do item (a), determine o campo ele´trico devido aos ane´is, no mesmo ponto supracitado.
[1,0 ponto]
(c) Considere agora uma part´ıcula de carga q, ainda no mesmo ponto supracitado. Determine a energia potencial
associada a` interac¸a˜o dessa part´ıcula com o campo ele´trico produzido pelos ane´is? [0,4 ponto]
4
Figura 12: Gabarito da questa˜o discursiva 1.
Gabarito para Versa˜o D
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (h)
2. (d)
3. (b)
4. (f)
5. (c)
6. (e)
7. (a)
8. (b)
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) Usaremos o princ´ıpio de superposic¸a˜o para calcular o campo ele´trico resultante devido ao basta˜o “dipolar”.
Para tanto, percebemos, por simetria, que a u´nica componente que restara´ e´ a componente y, dada por (cf. Fig. 12)
1
dEy = d~E · yˆ
=
k0 dq
r2
rˆ · yˆ
=
k0 λ dy
r2
(
−y
r
)
= −k0 λ y dy
(x2 + y2)3/2
.
Logo,
Ey = −2k0 λ
∫ L
y=0
y dy
(x2 + y2)3/2
, (1)
o que sugere a seguinte substituic¸a˜o trivial de varia´veis:
u := x2 + y2 =⇒ du = 2y dy .
Inserindo isso na Eq. (1), obtemos
Ey = −2k0 λ
∫ x2+L2
u=x2
du/2
u3/2
= −k0 λ u
−1/2
(−1/2)
∣∣∣∣
x2+L2
u=x2
.
Finalmente, pois,
~E(x, y = z = 0) = 2k0 λ
(
1√
x2 + L2
− 1|x|
)
yˆ . (2)
�
(b) Para o ca´lculo do potencial no mesmo ponto, tambe´m usaremos o princ´ıpio de superposic¸a˜o, desta feita para
potenciais, obviamente. Devido, contudo, a` simetria da distribuic¸a˜o de carga, com respeito ao eixo X, e´ o´bvio que
o potencial resultante em qualquer ponto de tal eixo e´ identicamente zero:
V (x, y = z = 0) = 0 .
�
(c) Basta tomarmos o limite, usando a aproximac¸a˜o do binoˆmio de Newton,
(1 + ε)α ≃ 1 + α u+ . . . (ε, α ∈ R, |u| ≪ 1) ,
da Eq. (2), quando |x| ≫ L, ou seja, para ε := x/L→ 0. Obtemos, enta˜o,
lim
|x|≫L
~E = lim
|x|≫L
2k0 λ
[
1√
x2 + L2
− 1|x|
]
yˆ
= 2k0 λ
[
1
|x|√1 + (L/x)2 − 1|x|
]
yˆ
=
2k0 λ
|x|
{[
1 + (L/x)2
]−1/2 − 1} yˆ
=
2k0 λ
|x|
[
1− 1
2
L2
x2
+ . . .− 1
]
yˆ .
2
Finalmente, enta˜o,
lim
|x|≫L
~E(x, y = z = 0) = −k0 λL
2
x3
yˆ = −k0 ~p
x3
.
Tal expressa˜o e´ justamente aquela do campo ele´trico de um dipolo (“pontual”), em um ponto de seu plano me´dio,
a uma distaˆncia |x| de seu centro (|x| ≫ L), sendo o seu vetor momento de dipolo ele´trico dado justamente por
~p = QLyˆ ,
onde Q = λL, e L desempenhando justamente o papel da extensa˜o do dipolo, ou seja, a distaˆncia entre os pontos
me´dios de cada um dos dois segmentos (acima e abaixo da origem).
�
2. Resoluc¸a˜o:
(a) Usaremos o princ´ıpio de superposic¸a˜o para potenciais, ou seja,
V (x, y = z = 0) = V−(x, y = z =0) + V+(x, y = z = 0) .
Aqui V− e´ o potencial devido ao anel com centro em x = −L, ou seja,
V−(x, y = z = 0) =
k0Q
r−
=
k0Q√
L2 + (x+ L)2
,
e V+ e´ o potencial devido ao nale com centro em x = L, ou seja,
V+(x, y = z = 0) =
k0Q
r+
=
k0Q√
L2 + (x− L)2 .
Logo, o potencial resultante e´
V (x, y = z = 0) = k0Q
{[
L2 + (L+ x)2
]−1/2
+
[
L2 + (x− L)2]−1/2} . (3)
�
(b) Devido a` simetria axial da distribuic¸a˜o de cargas nos ane´is, o campo ele´trico resultante tera´ somente componente
x, igual a [cf. Eq. (3)]:
Ex(x, y = z = 0) = −∂V (x, y = z = 0)
∂x
= −k0Q
{(
−1
2
)[
L2 + (L+ x)2
]−3/2
2(L+ x) +
(
−1
2
)[
L2 + (x− L)2]−3/2 2(x− L)} ,
ou, finalmente,
~E(x, y = z = 0) = k0Q
{
x+ L
[L2 + (x+ L)2]3/2
+
x− L
[L2 + (x− L)2]3/2
}
xˆ .
�
(c) Para tal item, so´ precisamos multiplicar o potencial no ponto x pela carga da part´ıcula, ou seja,
U = k0qQ
{[
L2 + (L+ x)2
]−1/2
+
[
L2 + (x− L)2]−1/2} .
�
3

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