9 Resolução de sistemas lineares escalonamento 2x2

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Resolução de sistemas
lineares ? escalonamento
2x2
Nessa aula você aprenderá a encontrar a solução de um sistema linear por um
método chamado de Escalonamento. Começaremos com os sistemas 2x2.
Encontrando a solução de um sistema linear
Temos vários métodos para encontrar a solução de um sistema linear.Começaremos com um
método que se chama escalonamento.
Nesse método, o intuito é montarmos um sistema equivalente ao sistema original, efetuando-
se combinações lineares (multiplicações por constantes, somas e subtrações, trocas, etc.) com as
linhas do sistema. Dessa forma, procura-se montar um sistema triangularizado, de modo que a
solução desse sistema seja o mesmo do sistema original. Trabalharemos, primeiramente, com
sistemas de ordem 2.
Vejamos um exemplo:
Seja o sistema
Vamos tentar eliminar uma das incógnitas na 2ª linha. Por exemplo, vamos tentar eliminar a
incógnita y.
Dessa forma, podemos multiplicar a 2ª linha por 3 e somar com a 1ª linha. Assim:
Obtemos então um sistema triangularizado, equivalente ao sistema original. Isso significa que a
solução desse sistema equivalente é igual a solução do sistema original. Daí, temos:
Agora, basta substituir o valor de x na 1ª equação, para obtermos o valor de y. Daí:
Portanto, a solução do sistema linear é o par ordenado (-1,1).
Vale observar que se tivéssemos escolhido eliminar a incógnita x, o resultado não mudaria.
Esse tipo de resolução é válido para qualquer sistema linear.
Vejamos outro exemplo:
Encontrar a solução do sistema 
Vamos agora fazer essa resolução por escalonamento usando as matrizes completas
associadas ao sistema.
Veja que conseguimos eliminar, dessa forma, a incógnita y da 2ª linha. Assim, o sistema
equivalente será , de onde obtemos como solução o par ordenado (-2,5).
Vejamos agora mais um exemplo:
Encontrar a solução do sistema 
Solução
Então o sistema equivalente ao sistema original será , e assim, encontramos
como solução do sistema o par ordenado 
Vamos ver outros exemplos:
1º passo: a idéia é se somarmos a primeira equação com a segunda ficara uma única
incógnita? Neste caso sim, logo se faz interessante a soma.
2º passo: substituir o valor de x, em qualquer uma das duas equações do sistema, para achar o
y.
3º passo: é interessante fazer uma prova real, para saber se o exercício está correto, substituir
os resultados na equação que não foi utilizada.
1º passo: a idéia é, se somarmos a primeira equação com a segunda, ficará uma única
incógnita? Neste caso não. Então temos que multiplicar uma das equações para quando somarmos
as equações eliminarmos uma das incógnitas.
2º passo: a idéia é, se somarmos a primeira equação com a segunda, ficará uma única
incógnita? Sim, portanto:
3º passo: substituir o valor de y, em qualquer uma das duas equações do sistema, para achar o
x.
4º passo: é interessante fazer uma prova real para saber se o exercício está correto,
substituindo os resultados na equação que não foi utilizada.
 
 
Quiz 
 1
Encontre a solução do sistema 
(1,2)
(-1,2)
(1,3)
(-1,3)
Referências
BOULOS, P.; CAMARGO, I. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. 2ª ed. São Paulo: Pearson
Education: Makron Books, 2003. 385 p.
CAROLI, A.M.O. Matrizes, Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Nobel, 1984. 167 p.
STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Education: Makron Books,
2004. 292 p. 
WINTERLE, P. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Education, 2009