Equação da Energia para Regime Permanente

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Prof. Afonso Gabriel
Fenômenos de 
Transporte
Equação de energia para regime 
permanente
Bernoulli
Slides obtidos do Prof. Douglas Esteves e Felipe Eugênio
Introdução:
Na aula anterior foi introduzida a equação da continuidade.
Ela conclui que para a hipótese de regime permanente seja verdadeira, a
massa de fluido que passa por uma seção de um tubo deve ser idêntica
aquela que o abandona por outra seção qualquer. Dessa forma foi feito um
balanço das massas entre as seções de entrada ou saída de um certo
escoamento.
Com base no fato de que a energia não pode ser criada nem destruída, mas
apenas transformada, é possível construir uma equação que permitirá fazer
o balanço das energias nos fluidos entre essas seções.
Tipos de Energia Associadas a um Fluido
Energia Potencial (Ep): É o estado de energia do sistema devido à sua posição
no campo gravitacional em relação a um plano horizontal de referência ( PHR ).
Essa energia é medida pelo potencial de realização de trabalho do sistema.
Como o trabalho (W) = Força x Deslocamento
Então: W = G.z = mgz Ep = m.g.z
Energia Cinética (Ec) : É o estado de energia determinado pelo movimento 
do fluido. Seja um sistema m de velocidade v; a energia cinética será dada por:
𝑬𝒄 =
𝒎 .𝒗𝟐
𝟐
Energia de Pressão (Epr): essa energia corresponde ao trabalho potencial
das forças de pressão que atuam no escoamento do fluido. Admitindo que
a pressão seja uniforme na seção, então a força aplicada pelo fluido numa
seção transversal, com área “A”, será F = p x A. No intervalo de tempo dt,
o fluido irá se deslocar de um ds, sob a ação da força F, produzindo um
trabalho.
Energia mecânica total do fluido (E): excluindo-se energias
térmicas e levando em conta apenas efeitos mecânicos, a energia total de
um sistema de fluidos será:
E = Ep + Ec + Epr
𝐄 = 𝐄𝐏 + 𝐄𝐂 + 𝐄𝐏𝐫
𝐨𝐮 𝐞𝐧𝐭ã𝐨 ∶ 𝐄 = 𝐦𝐠𝐳 +
𝐦. 𝐕
𝟐
𝟐
+ 𝐩𝐝𝑽
EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA FLUIDO IDEAL
Daniel Bernoulli, mediante considerações de energia aplicada ao
escoamento de fluidos, conseguiu estabelecer a equação fundamental da
Hidrodinâmica. Tal equação é uma relação entre a pressão, a velocidade e a
altura em pontos de um fluido.
Pelo princípio de conservação da energia, temos :
Fazendo G = m.g , temos :
Dividindo ambos membros por G, temos da famosa
EQUAÇÃO DE BERNOULLI
Onde,
Z = carga de posição ; ( energia Potencial)
𝑃
𝛾
= 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑠𝑜
𝑣2
2. 𝑔
= 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑠𝑜
p1/
v1²/2g
Plano de referência
z1
z2
p2/
v2²/2g
H = H1 – H2
Q
Q
Q
Exemplos de Aplicação:
1) O tanque da figura tem grandes dimensões e descarrega água pelo tubo
indicado. Considerando o fluido ideal, determinar a vazão em volume de água
descarregada, se a seção do tubo é 10 cm2.
Solução:
Para aplicar a equação de Bernoulli adotamos como seção (1) a superfície livre da 
água e (2) a saída do tubo. Portanto, temos que :
Como adotamos a escala efetiva de pressão, as pressões P1 e P2 são
nulas pois são iguais à pressão atmosférica. Assim P1 = P2 = 0
Em relação ao plano de referência, temos que : Z1 = 10m e Z2 = 2m.
Como o tanque tem grandes dimensões, a velocidade da superfície livre
da água pode ser considerada desprezível. Portanto : V1 = 0
A vazão em volume será :
Logo, a equação de Bernoulli fica reduzida à:
2) A água se move com uma velocidade de 5,0 m/s em um cano com uma seção
reta de 4,0 cm2. A água desce gradualmente 10 m enquanto a seção reta
aumenta para 8,0 cm2. Qual é a velocidade da água depois da descida? Se a
pressão antes da descida era de 1,5 . 105 Pa, qual é a pressão depois da descida?
Solução:
𝑣1 = 5
𝑚
𝑠
; 𝐴1 = 4 𝑐𝑚
2 = 4 . 10−4𝑚2 ; ℎ1 = 10 𝑚 ; ℎ2 = 0 ; 𝐴2 = 8 𝑐𝑚
2
= 8 . 10−4𝑚2 ; 𝑃1 = 1,5 . 10
5 𝑃𝑎
Como a vazão em volume é a mesma nos dois pontos podemos encontrar a
velocidade depois da descida.
𝑄𝑣1 = 𝑄𝑣2 → 𝑣1 . 𝐴1 = 𝑣2 . 𝐴2 → 𝑣2 =
𝐴1 . 𝑣1
𝐴2
→ 𝑣2 =
4. 10−4 𝑚2
8 . 10−4 𝑚2
𝑥 5,0
𝑚
𝑠
→ 𝒗𝟐 = 𝟐, 𝟓 𝒎/𝒔
Usando a equação de Bernoulli encontramos a pressão:
sendo γ = 10.000
N
m3
= 10 kN/m³
𝑧1 +
𝑃1
𝛾
+
𝑣1
2
2. 𝑔
= 𝑧2 +
𝑃2
𝛾
+
𝑣2
2
2. 𝑔
→ 𝑧1 +
𝑃1
𝛾
+
𝑣1
2
2. 𝑔
=
𝑃2
𝛾
+
𝑣2
2
2. 𝑔
→
𝑃2
𝛾
=
𝑃1
𝛾
+
𝑣1
2
2. 𝑔
+𝑧1 −
𝑣2
2
2. 𝑔
→
𝑃2
𝛾
=
1,5 . 105𝑃𝑎
𝛾
+
5𝑚
𝑠
2
2. 10
𝑚
𝑠2
+ 10 𝑚 −
2,5𝑚
𝑠
2
2 . 10
𝑚
𝑠2
𝑃2
𝛾
=
1,5 . 105𝑃𝑎
𝛾
+
25𝑚2/𝑠2
20𝑚/𝑠2
+ 10 𝑚 −
6,25
𝑚2
𝑠2
20
𝑚
𝑠2
→
→ 𝑃2 = 1,5 . 10
5𝑃𝑎 + 1,25𝑚 𝑥10.000
𝑁
𝑚³
+ 10𝑚 𝑥 10.000
𝑁
𝑚³
− 0,3125𝑚 𝑥 10.000
𝑁
𝑚³
→
→ 𝑃2= 1,5 . 10
5𝑃𝑎 + 12500 𝑃𝑎 + 100.000 𝑃𝑎 − 3125 𝑃𝑎 →
→ 𝑃2 = 1,5 . 10
5𝑃𝑎 + 0.125. 105𝑃𝑎 + 1. . 10
5𝑃𝑎 − 0,03125 . 10
5𝑃𝑎 → 𝑷𝟐 = 𝟐, 𝟔 . 𝟏𝟎
𝟓 𝑷𝒂
3) Determinar a velocidade de saída e a vazão da água que escoa através do 
bocal da figura a seguir.
Equação de Bernoulli para Fluido Ideal com Máquina no Escoamento
Máquina é qualquer elemento, introduzido no escoamento, capaz de
fornecer ou retirar energia do fluido na forma de trabalho. A maneira de
funcionamento da máquina não interessará por enquanto, importando somente
como sua presença afeta a equação de Bernoulli . Podemos ter dois casos :
- Bomba : qualquer máquina que fornece energia ao fluido
- Turbina : qualquer máquina que retira energia do fluido
Consideremos um escoamento de um fluido. Se não houver máquina no 
escoamento, sabemos que:
Caso haja uma máquina no escoamento, teremos o seguinte
a) Se for bomba, o fluido receberá um acréscimo de energia tal que:
H1 + HB = H2 ( H1 < H2 )
onde HB = carga ou altura manométrica fornecida pela bomba (mca)
b) Se for turbina, o fluido fornecerá um acréscimo de energia tal que:
H1 - HT = H2 ( H1 > H2 )
onde HT = carga ou altura manométrica retirada pela turbina (mca)
Portanto, a equação de Bernoulli ficará
assim:
Potência Retirada ou Fornecida e Rendimento
Da definição de trabalho, temos: Trabalho = Força x Deslocamento
Sabemos que Potência = Trabalho / Tempo
dividindo pelo tempo, obtemos:
G = m.g
Unidades de Potência 
Sistema Internacional 
Sistema Métrico 
O Rendimento ( η ) é definido como :
No caso da bomba a potência útil fornecida ao fluido é menor que a potência 
da máquina, assim: 
Onde 𝑛𝐵 é o rendimento da bomba.
No caso da turbina a potência útil da máquina é menor que a potência 
fornecida pelo fluido, assim :
onde 𝑛𝑇 é o rendimento da turbina.