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Instituto Superior Te´cnico Departamento de Matema´tica Secc¸a˜o de A´lgebra e Ana´lise Exerc´ıcios Resolvidos Integral de Linha de um Campo Escalar Exerc´ıcio 1 Considere o caminho g : [0, 1]→ R2 definido por g(t) = (et cos(2pit), et sen(2pit)). a) Calcule o comprimento L(g) do caminho g. b) Calcule a coordenada x¯ do centro´ide da curva representada por g. Resoluc¸a˜o: Na Figura 1 encontra-se representada a linha descrita pelo caminho g. PSfrag replacements x y Figura 1: a) Dado que g e´ de classe C1, o comprimento e´ dado pelo integral L(g) = ∫ 1 0 ||g′(t)||dt. Sendo g′(t) = (et cos(2pit)− 2piet sen(2pit), et sen(2pit) + 2piet cos(2pit)) e ||g′(t)|| = √ 1 + 4pi2 et enta˜o, L(g) = ∫ 1 0 ||g′(t)||dt = ∫ 1 0 √ 1 + 4pi2etdt = √ 1 + 4pi2 (e− 1). b) Por definic¸a˜o, a coordenada x¯ do centro´ide e´ dada pelo integral x¯ = 1 L(g) ∫ 1 0 x(g(t))||g′(t)||dt = 1 (e− 1) ∫ 1 0 e2t cos(2pit)dt. Integrando por partes duas vezes obtemos x¯ = e2 − 1 2(e− 1)(1 + pi2) . 1 Exerc´ıcio 2 Um aro circular de raio 1 rola sem deslizar ao longo de uma linha recta. Calcule o comprimento da trajecto´ria descrita por um ponto do aro entre dois contactos consecutivos com o solo. Resoluc¸a˜o: Podemos colocar o aro no plano Oxy a rolar ao longo do eixo Ox de tal forma que, no in´ıcio do movimento, o centro se encontra no ponto (0, 1) e o ponto do aro em questa˜o se encontra na origem. O facto de o aro rolar sem deslizar significa que quando o centro se desloca uma distaˆncia s ao longo do eixo Ox, o ponto no aro descreve, em relac¸a˜o ao centro do aro, um arco de circunfereˆncia de comprimento s. Por exemplo, num quarto de volta do aro, o centro sofrera´ um deslocamento de comprimento pi2 . A curva assim descrita por um ponto do aro chama-se ciclo´ide. 0 PSfrag replacements x s s y 1 2pi Figura 2: Esboc¸o da ciclo´ide O movimento do ponto do aro pode ser decomposto em dois: o movimento do centro do aro e o movimento do ponto em relac¸a˜o ao centro. Se usarmos a distaˆncia percorrida pelo aro como paraˆmetro, a trajecto´ria do centro e´ descrita pelo caminho g1 : [0, 2pi] −→ R2 definido por g1(s) = (s, 1). Por outro lado, a trajecto´ria do ponto no aro em relac¸a˜o ao centro e´ descrita pelo caminho g2 : [0, 2pi] −→ R2 definido por g2(s) = (cos(−pi 2 − s), sen(−pi 2 − s)) = (− sen s,− cos s), ja´ que o vector que une o centro ao ponto do aro comec¸a por fazer um aˆngulo de − pi2 com o eixo Ox e roda no sentido dos ponteiros do relo´gio. Portanto, a trajecto´ria do ponto no aro e´ descrita pela soma destes dois caminhos g(s) = g1(s) + g2(s) = (s− sen s, 1− cos s). O comprimento deste caminho e´ dado pela expressa˜o∫ C 1 = ∫ 2pi 0 ||g′(s)||ds onde C = g([0, 2pi]). Como g′(s) = (1− cos s, sen s) 2 temos ||g′(s)|| = √ 1− 2 cos s + cos2 s + sen2 s = √ 2(1− cos s) e, portanto, ∫ C 1 = 4 ∫ 2pi 0 √ 2(1− cos s)ds = 4 ∫ 1 0 √ 2(1− u) du√ 1− u2 = 4 √ 2 ∫ 1 0 du√ 1 + u = 8 √ 2( √ 2− 1) onde na passagem da primeira para a segunda linha se usou a mudanc¸a de varia´vel u = cos s. Exerc´ıcio 3 Um avia˜o a he´lice desloca-se em linha recta a uma velocidade constante igual a 1. A he´lice do avia˜o tem raio r e roda a velocidade constante, efectuando ω voltas por unidade de tempo. Determine o comprimento da trajecto´ria descrita por um extremo da he´lice quando o avia˜o se desloca L unidades de comprimento. Resoluc¸a˜o: Podemos imaginar o avia˜o a deslocar-se ao longo do eixo Ox e de tal forma que, no instante inicial, o centro da he´lice se encontra na origem. Enta˜o a trajecto´ria percorrida pelo centro da he´lice e´ descrita pelo caminho g1 : [0, L] −→ R3, definido por g1(t) = (t, 0, 0). Por outro lado, a he´lice roda a uma velocidade constante em relac¸a˜o ao centro, num plano per- pendicular ao eixo Ox. Na Figura 3 apresenta-se a trajecto´ria do extremo da he´lice e a respectiva projecc¸a˜o no plano x = 0. PSfrag replacements x zz yy x = 0 2pi Figura 3: Trajecto´ria do extremo da he´lice 3 Em relac¸a˜o ao centro, um extremo da he´lice descreve uma circunfereˆncia definida pelo caminho g2 : [0, L] −→ R3 g2(t) = (0, r cos(2piωt), r sen(2piωt)). Assim, a trajecto´ria C de um extremo da he´lice e´ descrita pela soma dos dois caminhos em R3, ou seja, e´ descrita pelo caminho g : [0, L] −→ R3, definido por g(t) = (t, r cos(2piωt), r sen(2piωt)). O comprimento deste caminho e´ dado pelo integral∫ C 1 = ∫ L 0 ||g′(t)||dt onde C = g([0, L]). Sendo g′(t) = (1,−2piωr sen(2piωt), 2piωr cos(2piωt)), enta˜o ||g′(t)|| = √ 1 + 4pi2r2ω2 sen2(2piωt) + 4pi2r2ω2 cos2(2piωt) = √ 1 + 4pi2r2ω2 e, portanto, ∫ C 1 = L √ 1 + 4pi2r2ω2 Exerc´ıcio 4 Um fio C, com densidade de massa ρ(x, y, z) = |x(y + 1)|, tem a configurac¸a˜o da intersecc¸a˜o das superf´ıcies S = {(x, y, z) ∈ R3 : z = √ x2 + y2} P = {(x, y, z) ∈ R3 : y + √ 2z = 1}. Calcule a massa de C. Resoluc¸a˜o: Na Figura 4 encontra-se representada a intersecc¸a˜o do cone S com o plano P que e´ paralelo ao eixo Ox. A massa do fio e´ dada pelo integral de linha m = ∫ C ρ. Para calcular este integral de linha e´ conveniente determinar um caminho de classe C1 que descreva a curva C. Comecemos por determinar a equac¸a˜o da projecc¸a˜o de C no plano Oxy, que designamos por C′ : { z = √ x2 + y2 z = 1√ 2 (1− y) ⇒ x 2 + y2 = 12 − y + y 2 2 ⇔ x2 + (y+1)22 = 1. Portanto, a projecc¸a˜o C′ e´ uma elipse centrada no ponto (0,−1, 0) com eixo maior de compri- mento √ 2 e eixo menor de comprimento 1 tal como se representa na Figura 4. Assim, a curva C pode ser descrita pelo caminho g(t) = (cos t, √ 2 sen t− 1, √ 2− sen t), t ∈ [0, 2pi] , 4 PSfrag replacements S P x y z C C ′ 1 −1 PSfrag replacements S P x y z C C ′ 1 −1 Figura 4: Intersecc¸a˜o do cone S com o plano P e respectiva projecc¸a˜o no plano z = 0 onde se usou o facto de que, quando t percorre o intervalo [0, 2pi] , a func¸a˜o (cos t, √ 2 sen t− 1, 0) descreve a projecc¸a˜o C′, e z = 1√ 2 (1− y(g(t))) = 1√ 2 (1− ( √ 2 sen t− 1)) = √ 2− sen t. Enta˜o, temos g′(t) = (− sen t, √ 2 cos t,− cos t) ||g′(t)|| = √ sen2 t + 2 cos2 t + cos2 t = √ 1 + 2 cos2 t ρ(g(t)) = | cos t( √ 2 sen t− 1 + 1)| = 1√ 2 | sen(2t)|, e, portanto, m = ∫ 2pi 0 ρ(g(t))||g′(t)||dt = 1√ 2 ∫ 2pi 0 | sen(2t)| √ 1 + 2 cos2 tdt = 4√ 2 ∫ pi 2 0 sen(2t) √ 1 + 2 cos2 tdt = 4 3 √ 2 [ −(1 + 2 cos2 t) 32 ]pi 2 0 = 4 3 √ 2 (3 3 2 − 1). 5
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