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Instituto Superior Te´cnico
Departamento de Matema´tica
Secc¸a˜o de A´lgebra e Ana´lise
Exerc´ıcios Resolvidos
Integral de Linha de um Campo Escalar
Exerc´ıcio 1 Considere o caminho g : [0, 1]→ R2 definido por
g(t) = (et cos(2pit), et sen(2pit)).
a) Calcule o comprimento L(g) do caminho g.
b) Calcule a coordenada x¯ do centro´ide da curva representada por g.
Resoluc¸a˜o: Na Figura 1 encontra-se representada a linha descrita pelo caminho g.
PSfrag replacements
x
y
Figura 1:
a) Dado que g e´ de classe C1, o comprimento e´ dado pelo integral
L(g) =
∫ 1
0
||g′(t)||dt.
Sendo
g′(t) = (et cos(2pit)− 2piet sen(2pit), et sen(2pit) + 2piet cos(2pit))
e
||g′(t)|| =
√
1 + 4pi2 et
enta˜o,
L(g) =
∫ 1
0
||g′(t)||dt =
∫ 1
0
√
1 + 4pi2etdt =
√
1 + 4pi2 (e− 1).
b) Por definic¸a˜o, a coordenada x¯ do centro´ide e´ dada pelo integral
x¯ =
1
L(g)
∫ 1
0
x(g(t))||g′(t)||dt = 1
(e− 1)
∫ 1
0
e2t cos(2pit)dt.
Integrando por partes duas vezes obtemos
x¯ =
e2 − 1
2(e− 1)(1 + pi2) .
1
Exerc´ıcio 2 Um aro circular de raio 1 rola sem deslizar ao longo de uma linha recta. Calcule o
comprimento da trajecto´ria descrita por um ponto do aro entre dois contactos consecutivos com o
solo.
Resoluc¸a˜o: Podemos colocar o aro no plano Oxy a rolar ao longo do eixo Ox de tal forma que, no
in´ıcio do movimento, o centro se encontra no ponto (0, 1) e o ponto do aro em questa˜o se encontra
na origem.
O facto de o aro rolar sem deslizar significa que quando o centro se desloca uma distaˆncia s ao
longo do eixo Ox, o ponto no aro descreve, em relac¸a˜o ao centro do aro, um arco de circunfereˆncia
de comprimento s. Por exemplo, num quarto de volta do aro, o centro sofrera´ um deslocamento
de comprimento pi2 . A curva assim descrita por um ponto do aro chama-se ciclo´ide.
0
PSfrag replacements
x
s
s
y
1
2pi
Figura 2: Esboc¸o da ciclo´ide
O movimento do ponto do aro pode ser decomposto em dois: o movimento do centro do aro e
o movimento do ponto em relac¸a˜o ao centro.
Se usarmos a distaˆncia percorrida pelo aro como paraˆmetro, a trajecto´ria do centro e´ descrita
pelo caminho g1 : [0, 2pi] −→ R2 definido por
g1(s) = (s, 1).
Por outro lado, a trajecto´ria do ponto no aro em relac¸a˜o ao centro e´ descrita pelo caminho
g2 : [0, 2pi] −→ R2 definido por
g2(s) = (cos(−pi
2
− s), sen(−pi
2
− s))
= (− sen s,− cos s),
ja´ que o vector que une o centro ao ponto do aro comec¸a por fazer um aˆngulo de − pi2 com o eixo
Ox e roda no sentido dos ponteiros do relo´gio.
Portanto, a trajecto´ria do ponto no aro e´ descrita pela soma destes dois caminhos
g(s) = g1(s) + g2(s)
= (s− sen s, 1− cos s).
O comprimento deste caminho e´ dado pela expressa˜o∫
C
1 =
∫ 2pi
0
||g′(s)||ds
onde C = g([0, 2pi]).
Como
g′(s) = (1− cos s, sen s)
2
temos
||g′(s)|| =
√
1− 2 cos s + cos2 s + sen2 s
=
√
2(1− cos s)
e, portanto,
∫
C
1 = 4
∫ 2pi
0
√
2(1− cos s)ds
= 4
∫ 1
0
√
2(1− u) du√
1− u2
= 4
√
2
∫ 1
0
du√
1 + u
= 8
√
2(
√
2− 1)
onde na passagem da primeira para a segunda linha se usou a mudanc¸a de varia´vel u = cos s.
Exerc´ıcio 3 Um avia˜o a he´lice desloca-se em linha recta a uma velocidade constante igual a 1.
A he´lice do avia˜o tem raio r e roda a velocidade constante, efectuando ω voltas por unidade de
tempo. Determine o comprimento da trajecto´ria descrita por um extremo da he´lice quando o avia˜o
se desloca L unidades de comprimento.
Resoluc¸a˜o: Podemos imaginar o avia˜o a deslocar-se ao longo do eixo Ox e de tal forma que,
no instante inicial, o centro da he´lice se encontra na origem. Enta˜o a trajecto´ria percorrida pelo
centro da he´lice e´ descrita pelo caminho g1 : [0, L] −→ R3, definido por
g1(t) = (t, 0, 0).
Por outro lado, a he´lice roda a uma velocidade constante em relac¸a˜o ao centro, num plano per-
pendicular ao eixo Ox.
Na Figura 3 apresenta-se a trajecto´ria do extremo da he´lice e a respectiva projecc¸a˜o no plano
x = 0.
PSfrag replacements
x
zz
yy
x = 0
2pi
Figura 3: Trajecto´ria do extremo da he´lice
3
Em relac¸a˜o ao centro, um extremo da he´lice descreve uma circunfereˆncia definida pelo caminho
g2 : [0, L] −→ R3
g2(t) = (0, r cos(2piωt), r sen(2piωt)).
Assim, a trajecto´ria C de um extremo da he´lice e´ descrita pela soma dos dois caminhos em R3,
ou seja, e´ descrita pelo caminho g : [0, L] −→ R3, definido por
g(t) = (t, r cos(2piωt), r sen(2piωt)).
O comprimento deste caminho e´ dado pelo integral∫
C
1 =
∫ L
0
||g′(t)||dt
onde C = g([0, L]).
Sendo
g′(t) = (1,−2piωr sen(2piωt), 2piωr cos(2piωt)),
enta˜o
||g′(t)|| =
√
1 + 4pi2r2ω2 sen2(2piωt) + 4pi2r2ω2 cos2(2piωt)
=
√
1 + 4pi2r2ω2
e, portanto, ∫
C
1 = L
√
1 + 4pi2r2ω2
Exerc´ıcio 4 Um fio C, com densidade de massa ρ(x, y, z) = |x(y + 1)|, tem a configurac¸a˜o da
intersecc¸a˜o das superf´ıcies
S = {(x, y, z) ∈ R3 : z =
√
x2 + y2}
P = {(x, y, z) ∈ R3 : y +
√
2z = 1}.
Calcule a massa de C.
Resoluc¸a˜o: Na Figura 4 encontra-se representada a intersecc¸a˜o do cone S com o plano P que e´
paralelo ao eixo Ox.
A massa do fio e´ dada pelo integral de linha
m =
∫
C
ρ.
Para calcular este integral de linha e´ conveniente determinar um caminho de classe C1 que
descreva a curva C. Comecemos por determinar a equac¸a˜o da projecc¸a˜o de C no plano Oxy, que
designamos por C′ : {
z =
√
x2 + y2
z = 1√
2
(1− y) ⇒ x
2 + y2 = 12 − y + y
2
2
⇔ x2 + (y+1)22 = 1.
Portanto, a projecc¸a˜o C′ e´ uma elipse centrada no ponto (0,−1, 0) com eixo maior de compri-
mento
√
2 e eixo menor de comprimento 1 tal como se representa na Figura 4. Assim, a curva C
pode ser descrita pelo caminho
g(t) = (cos t,
√
2 sen t− 1,
√
2− sen t), t ∈ [0, 2pi] ,
4
PSfrag replacements
S
P
x
y
z
C
C
′
1
−1
PSfrag replacements
S
P
x
y
z
C
C
′
1
−1
Figura 4: Intersecc¸a˜o do cone S com o plano P e respectiva projecc¸a˜o no plano z = 0
onde se usou o facto de que, quando t percorre o intervalo [0, 2pi] , a func¸a˜o (cos t,
√
2 sen t− 1, 0)
descreve a projecc¸a˜o C′, e
z =
1√
2
(1− y(g(t))) = 1√
2
(1− (
√
2 sen t− 1)) =
√
2− sen t.
Enta˜o, temos
g′(t) = (− sen t,
√
2 cos t,− cos t)
||g′(t)|| =
√
sen2 t + 2 cos2 t + cos2 t =
√
1 + 2 cos2 t
ρ(g(t)) = | cos t(
√
2 sen t− 1 + 1)| = 1√
2
| sen(2t)|,
e, portanto,
m =
∫ 2pi
0
ρ(g(t))||g′(t)||dt = 1√
2
∫ 2pi
0
| sen(2t)|
√
1 + 2 cos2 tdt
=
4√
2
∫ pi
2
0
sen(2t)
√
1 + 2 cos2 tdt
=
4
3
√
2
[
−(1 + 2 cos2 t) 32
]pi
2
0
=
4
3
√
2
(3
3
2 − 1).
5

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