AULAS DE CÁLCULO I II III IV NÍVEL SUPERIOR (14)

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MA22 - Unidade 12
Exerc´ıcios
Luiz Manoel Figueiredo
Ma´rio Olivero
PROFMAT - SBM
11 de maio de 2013
Derivada da func¸a˜o inversa
Para cada func¸a˜o a seguir, determine um dom´ınio para a func¸a˜o f
no qual f seja invert´ıvel e tal que este dom´ınio na˜o possa ser
estendido.
1. f (x) = x2 + 2
2. f (x) = x3
3. f (x) = 1x
4. f (x) =
√
x
5. f (x) = 5
√
x
6. f (x) = 1
x2
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Derivada da func¸a˜o inversa
Para cada uma das func¸o˜es abaixo, determine se satisfazem as
condic¸o˜es do teorema da func¸a˜o inversa e, caso satisfac¸am, aplique
o teorema para determinar a derivada da inversa no ponto x0 dado.
7. f (x) =
√
x − 1, definida em I = (1,∞), x0 = 2.
8. f (x) = 1x−1 , definida em I = (1,∞), x0 = 2.
Assumindo que as hipo´teses do teorema da func¸a˜o inversa se
verificam, calcule o valor de
(
f −1
)′
(y) dado o seguinte:
9. y = 2, f (1) = 2 e f ′(1) = 3.
10. y = 12 , f
(
pi
6
)
= 12 e f
′ (pi
6
)
=
√
3
2 .
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Func¸o˜es trigonome´tricas inversas
Escolha dom´ınios apropriados e defina as func¸o˜es:
1. Arco secante y = arcsec x .
2. Arco cossecante y = arccosec x .
3. Arco cotangente y = arccotan x .
Prove as seguintes relac¸o˜es:
4. arccos x = pi2 − arcsen x
5. arccosec x = pi2 − arcsec x
6. arcsen (−x) = − arcsen x
7. arccos(−x) = pi − arccos x
8. arcsen (1/x) = arccosec x
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Func¸o˜es trigonome´tricas inversas
Usando o Teorema da func¸a˜o inversa, mostre que:
9. ( arccotan x)′ (x) = − 1
1 + x2
para todo x ∈ R.
10. ( arcsec x)′ (x) =
1
|x |√x2 − 1 para todo x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞).
11. ( arccosec x)′ (x) = − 1|x |√x2 − 1 para todo x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞).
Para cada uma das func¸o˜es abaixo, determine seu dom´ınio, os
pontos onde e´ deriva´vel e sua derivada.
12. f (x) = arcsen
(
1
x
)
13. f (x) = arccos(x2 − 1)
14. f (x) = arccos( sen x)
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