AULAS DE CÁLCULO I II III IV NÍVEL SUPERIOR (16)

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MA22 - Unidade 14
Exerc´ıcios
Luiz Manoel Figueiredo
Ma´rio Olivero
PROFMAT - SBM
14 de maio de 2013
Para cada uma das func¸o˜es dos itens 1 a 5, encontre os intervalos
em que ela e´ crescente e decrescente.
1. f (x) = x3 − 5x + 4.
2. f (x) = 3x4 − 20x3 + 24x2 − 7.
3. f (x) = (1− x)2(1 + x)3.
4. f (x) =
{
x2 − 4 se x ≥ −1
2x − 1 se x > −1 .
5. f (x) = x + cos x .
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Use o teste da derivada primeira ou o teste da derivada segunda
para encontrar os m´ınimos e ma´ximos relativos das seguintes
func¸o˜es.
6. f (x) = x5 − 5x .
7. f (x) = x +
√
1− x em (−∞, 1).
8. f (x) = x + 1/x .
9. f (x) = x
√
x + 1.
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Encontre os intervalos onde a func¸a˜o e´ crescente e onde e´
decrescente e estude a concavidade da func¸a˜o. Fac¸a um esboc¸o do
gra´fico.
10. f (x) = x3 − x .
11. f (x) = x3 + 2x2.
12. f (x) = 3x4 + 8x3 − 18x2 + 12.
13. f (x) = x − 1
x2
.
14. f (x) = x
1
3 + x
4
3 .
15. f (x) = xx+2 .
16. f (x) = 2 cos(x)− cos(2x).
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17. Esboce gra´fico de uma func¸a˜o cont´ınua f : R− {3} → R tal
que f ′(x) < 0 para todo x ∈ R− {3}; f ′′(x) < 0 para x < 3 e
f ′′(x) > 0 para x > 3; limx→−∞ f (x) = limx→∞ f (x) = 1;
limx→3− f (x) = −∞ e limx→3+ f (x) =∞.
18. Seja f uma func¸a˜o deriva´vel no intervalo aberto I . Suponha
que f tenha concavidade para cima em I . Mostre que para
quaisquer a, b ∈ I , vale que
f (ta + (1− t)b) < tf (a) + (1− t)f (b) , para todo t ∈ (0, 1) .
Interprete geometricamente o resultado acima.
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