Exercícios de Otimização e Gráficos de Funções

Prévia do material em texto

MA22 - Unidade 15
Exerc´ıcios
Luiz Manoel Figueiredo
Ma´rio Olivero
PROFMAT - SBM
20 de maio de 2013
Trac¸ado de gra´fico de func¸a˜o
Para cada uma das func¸o˜es a seguir:
(a) Encontre as ass´ıntotas horizontais e verticais;
(b) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento;
(c) Encontre os pontos de ma´ximo e m´ınimo locais;
(d) Encontre os intervalos de concavidade para cima e para baixo
e os pontos de inflexa˜o;
(e) Esboce o gra´fico da func¸a˜o.
1. f (x) =
x
x − 1.
2. f (x) =
x2
x2 + 1
.
3. f (x) = 2x
2
3 − x .
4. f (x) = x − 2 sen (x).
PROFMAT - SBM MA22 - Unidade 15 slide 2/5
Problemas de otimizac¸a˜o
1. Divida o nu´mero 200 em duas partes de forma que o produto
das partes seja ma´ximo.
2. Se xy = 48, encontre o valor m´ınimo de x + y3 para x e y
positivos.
3. Encontre o ponto do gra´fico de f (x) = x2 mais pro´ximo de
(0, 2).
4. Encontre o ponto no eixo OX que minimiza a soma dos
quadrados das distaˆncias aos pontos (0, 1) e (3, 4).
5. Prove que o retaˆngulo de maior a´rea que pode ser inscrito em
um c´ırculo de raio fixado e´ um quadrado.
PROFMAT - SBM MA22 - Unidade 15 slide 3/5
Problemas de otimizac¸a˜o
6. Um carro B se encontra 30 km a leste de um carro A. Ao
mesmo tempo, o carro A comec¸a a se mover para o norte com
uma velocidade de 60 km/h e o carro B para oeste com uma
velocidade de 40 km/h. Encontre a distaˆncia m´ınima entre os
carros.
A
60 km/h
B
40 km/h
30 km
7. Encontre as dimenso˜es do cone de ma´ximo volume que pode
ser inscrito em uma esfera de raio 1.
PROFMAT - SBM MA22 - Unidade 15 slide 4/5
Problemas de otimizac¸a˜o
8. Uma lata cil´ındrica deve ter a capacidade de 50pi cm3. O
material do topo e base da caixa custa R$ 25,00 por m2,
enquanto que o material com o qual os lados sa˜o feitos custa
R$ 20,00 por m2. Encontre o raio da base e a altura da lata
que minimiza o custo da lata.
9. Seja um triaˆngulo iso´sceles cujos lados iguais teˆm uma medida
fixada. Qual aˆngulo entre estes lados resulta em um triaˆngulo
de a´rea ma´xima.
b b
b
θ
ll
PROFMAT - SBM MA22 - Unidade 15 slide 5/5