Resistência dos Materiais_ Gestão e Engenharia Industrial

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Resistência dos Materiais 2003/2004 
Curso de Gestão e Engenharia Industrial 
 
 
 
10ª Aula e 11ª Aula 
 
Duração - 2 Horas 
Data - 3 de Novembro de 2003 
 
 
Sumário: Conceito de viga. Vigas Isostáticas. Equações de Equilíbrio de Forças e 
Momentos. Reacções de Apoio. Esforços Transversos e Momentos Flectores. Esforço 
Axial. Diagramas de Esforços. 
 
Objectivos da Aula: Rever a forma de Cálculo de Reacções de Apoio em Vigas 
Isostáticas e Aprender a traçar os Diagramas de Esforços Transversos e Momentos 
Flectores. 
 
 
Resumo do Conteúdo da Aula 
 
 
1- Introdução 
 
 
Uma peça linear pode estar sujeita a forças laterais, esforços transversos e 
momentos flectores como se representa na figura 10.1, podendo ser considerada plana ou 
tridimensional conforme o tipo de solicitação a que está sujeita. No caso das acções 
estarem contidas num plano, o chamado plano de solicitação que também contém o eixo 
da peça linear, a viga é dita viga plana, é sobre este tipo de vigas que se vai fazer incidir 
a maior parte do estudo sobre peças lineares. O tipo de ligações ao exterior usualmente 
consideradas estão também representadas. As peças lineares consideradas são do tipo 
viga plana isostática, isto é, são vigas cujo eixo está contido no plano de solicitação e 
para as quais as equações da Estática são suficientes para efeitos de cálculo das reacções 
de apoio. Os tipos de apoios considerados são: o encastramento, que impede todos os 
movimentos de rotação e translação, o apoio duplo que impede dois movimentos de 
translação e o apoio simples que impede um movimento de translação. No caso das vigas 
planas, no encastramento desenvolvem-se três reacções, duas forças e um momento, no 
apoio duplo desenvolvem-se duas reacções que são duas forças e no apoio simples 
desenvolve-se uma reacção que é uma força. Nas secções de corte consideradas em B nas 
vigas da figura 10.1, estão representados os esforços que se desenvolvem e que são 
esforços transversos, T e momentos Flectores, M, estes esforços surgem em 
consequência da necessidade de cada um dos sólidos elementares em que a viga foi 
decomposta estarem em equilíbrio. Os diagramas de corpo livre para as duas vigas 
planas consideradas estão representados na figura 10.2. 
 2/28
Apoio Duplo
A
B
M
T
T
M
B
P
C
L
Encastramento 
x
A x
P
B C
P
T
M
A
B
B
M
T
C
L
A
x
B
P
C x
Apoio Simples
Figura 10.1: Esforços Transversos e Momentos Flectores 
 
θ
θ
θ
Apoio DuploEncastramento Apoio Simples
θoscP
θsenP
θsenP/2 θsenP/2θoscP
θsenPL
 
Figura 10.2: Diagramas de Corpo Livre 
 
 
Neste capítulo pretende-se proceder ao cálculo das reacções nos apoios de vigas 
planas sujeitas a acções externas e ao cálculo dos esforços transversos e momentos 
flectores nas várias secções das vigas. 
Os tipos de acções mais frequentes, a que uma viga pode estar sujeita, são as 
acções ditas concentradas e as acções ditas distribuídas. A carga concentrada numa viga é 
considerada aplicada num ponto para efeitos de cálculo e as cargas distribuídas estão 
distribuídas numa parcela da viga. Para efeitos de cálculo, as acções, desde que possível, 
são reduzidas a cargas distribuídas por unidade de comprimento e a cargas concentradas. 
 3/28
2. Esforços Internos e Externos 
 
As cargas exteriores e as reacções de apoio constituem o conjunto dos esforços 
externos na viga, as forças directamente aplicadas são em geral conhecidas e as reacções 
de apoio necessitam em geral de ser calculadas. Os esforços internos são os esforços que 
se desenvolvem numa secção da viga e são obtidos considerando um corte na viga 
passando na referida secção e impondo o equilíbrio estático de cada uma das partes em 
que a viga ficou dividida. 
Para efeitos de cálculo das Reacções de apoio em vigas planas isostáticas é 
suficiente considerar as equações de equilíbrio de forças e momentos, conhecidas da 
Estática. Considere-se uma viga isostática plana, por exemplo uma das vigas 
representadas na figura 10.3. As equações de equilíbrio de forças a considerar são duas, 
a equação de equilíbrio de forças segundo x e a equação de equilíbrio de forças segundo y 
 
0F
0F
y
x
=∑
=∑
 
10.1 
O eixo dos xx é considerado coincidente com o eixo da viga, o eixo dos yy é 
considerado perpendicular ao eixo dos xx e contido no plano de solicitação e o eixo dos 
zz é normal ao plano Oxy. 
Além das duas equações de equilíbrio de forças já referidas é necessário 
considerar a equação de equilíbrio de momentos segundo z num ponto 
 
0M z =∑ 
10.2 
x
y
P
p(x) y p(x)
x
P
p(x)P P p(x) P
y
x x
y
Figura 10.3: Vigas Isostáticas Planas 
 
O número de equações necessárias para efeitos de cálculo das reacções são três, 
eventualmente duas no caso de não existirem forças axiais. 
As equações de equilíbrio estático a considerar para efeitos de cálculo dos esforços 
internos são as equações de equilíbrio de momentos e forças, referidas no cálculo das 
reacções, no caso da viga estar sujeita a forças no plano de solicitação. 
 4/28
A fim de exemplificar o cálculo de reacções e esforços internos, vão considerar-se alguns 
casos simples 
 
2.1.Vigas Encastradas 
 
Considerem-se as vigas encastradas representadas na figura 10.4 e calculem-se as 
reacções de apoio. No caso das vigas da figura não existem esforços axiais e é necessário 
considerar apenas duas equações de equilíbrio, uma equação de equilíbrio de forças 
segundo y e uma equação de equilíbrio de momentos segundo z. As duas reacções 
existentes são uma reacção R y e um momento M, como se representa na figura. 
x
y
P
y
xA B
BA
M M
Ry Ry
PLMM
PRF
z
yy
=⇒=∑
=⇒=∑
0
0
L L
/2LpMM
pLRF
2
z
yy
=⇒=∑
=⇒=∑
0
0
p(x)=p
Figura 10.4: Reacções de Apoio em Vigas Encastradas 
 
No caso de se tratarem de outras solicitações, as equações de equilíbrio a considerar 
ainda seriam as mesmas, mas as forças intervenientes seriam distintas. 
 
Exemplo 10.1 
 
Considere a viga encastrada representada na figura 10.5 e determine 
a) As reacções de Apoio. 
b)Os Esforços Transversos e os Momemtos Flectores nas Secções B-B eC-C. 
 
Resolução 
 
a) Cálculo das Reacções de Apoio 
 
m.kN480480820M0M
kN1002080R0F
Az
Ay
=×+×=⇒=∑
=+=⇒=∑
 
 
m.kN480M;kN100R AA == 
 5/28
10kN/m
20kN
8m
2.0m
3.0m
A
B
B
C
C
20kN
20kN
M A
M A
M B
M B
M C
M C
TB
T B
TC
TC
R A
R A
Figura 10.5: Viga Encastrada 
 
b)Cálculo dos Esforças Transversos em B-B e C-C 
O esforço T B é igual à resultante das forças à direita da Secção B-B, ou seja 
kNT B 7051020 =×+= 
O esforço T C é igual à resultante das forças à direita da Secção C-C, ou seja 
kNT C 4021020 =×+= 
Cálculo dos Momentos flectores em B-B e C-C 
O momento M B é igual ao momento em B-B das forças à direita da Secção B-B, ou seja 
m.kN2255.2510520M B =××+×= 
O momento M C é igual ao momento em C-C das forças à direita da Secção B-B, ou seja 
C 20 2 10 2 1 60kN.mM = × + × × = 
 
2.2.Vigas Simplesmente Apoiadas 
 
Considerem-se as vigas simplesmente apoiadas representadas na figura 10.6 e calculem-
se as reacções de apoio. No caso das vigas da figura não existem esforços axiais e é 
necessário considerar apenas duas equações de equilíbrio, uma equação de equilíbrio de 
forças segundo y e uma equação de equilíbrio de momentos segundo z. As reacções são 
uma reacção R y em A e uma reacção R y em C, como se representa na figura. 
 6/28
y
x
y
x
P
A B C
p(x)=p
L/2 L/2 L
R A R C R A R C
P/2RP/2;R
PL/2LR0M
PRR0F
CA
Cz
CAy
==
=⇒=∑
=+⇒=∑
pL/2RpL/2;R
/2LpLR0M
pLRR0F
CA
2
Cz
CAy
===⇒=∑
=+⇒=∑
CA
 
Figura 2.6: Reacções em Vigas Simplesmente Apoiadas 
 
O cálculo das reacções de apoio é em geral necessário para efeitos de cálculo dos 
Esforços Transversos e Momentos Flectores. 
 
 
Exemplo 10.2 
 
Considere a viga simplesmente apoiada representada na figura 10.7 e determine 
a) As Reacções de Apoio. 
b) Os Esforços Transversos e os Momemtos Flectores nas Secções B-B eC-C. 
 
Resolução 
 
Equações de equilíbrio de forças e momentos 
 
m.kN5.4725.3305.3715R70M
kN13530715RR0F
Dz
DAy
=×+××=×⇒=∑
=+×=+⇒=∑
 
Resolvendo o sistema de equações obtido, obtém-se: 
 
5.67R;5.67R DA == 
 7/28
30kN
2.0m
B
15kN/mB
2.0m
C
C
3.5m 3.5m
A D
R A
R A
R D
R D
M B
M B
T B
30kN
15kN/m
15kN/m
15kN/m
30kN
15kN/m
M C
M C
TB
TC
T C
 
Figura2.7: Viga simplesmente Apoiada 
 
b) 
Cálculo dos Esforças Transversos em B-B e C-C 
 
O esforço T B é igual à resultante das forças à esquerda da Secção B-B, ou seja 
kN5.372155.67T B =×−= 
O esforço T C é igual à resultante das forças à esquerda da Secção C-C, ou seja 
kN5.37515305.67T C −=×−−= 
 
Cálculo dos Momentos flectores em B-B e C-C 
 
O momento M B é igual ao momento em B-B das forças à esquerda da Secção B-B, ou 
seja 
m.kN105121525.67M B =××−×= 
O momento M C é igual ao momento em C-C das forças à direita da Secção B-B, ou seja 
m.kN1055.1305.251555.67M C =×−××−×= 
 
 
2.3.Vigas Simplesmente Apoiadas com tramo em consola 
 
Considerem-se as vigas simplesmente apoiadas com tramo em consola 
representadas na figura 10.8 e calculem-se as reacções de apoio. No caso das vigas da 
figura não existem esforços axiais e é necessário considerar apenas duas equações de 
equilíbrio, uma equação de equilíbrio de forças segundo y e uma equação de equilíbrio de 
momentos segundo z. As reacções são uma reacção R y em A e uma reacção R y em C, 
como se representa na figura. 
 8/28
y p(x)=p
x
y
xA
R A R A
A
B
P
C
L/3
C
R C
L/3 L/3
P/2RP/2;R
PL/3L/32R0M
PRR0F
CA
Cz
CAy
==
=⇒=∑
=+⇒=∑
R C
2L/3 L/3
3pL/4RpL/3;R
/18L5p/18L4p
L/32R0M
pLRR0F
CA
22
Cz
CAy
==
+=
=⇒=∑
=+⇒=∑
Figura 10.8: Vigas Simplesmente Apoiadas com tramo em Consola 
 
Exemplo 10.3 
 
Considere a viga simplesmente apoiada com tramo em consola representada na figura 
10.9 e determine 
a) As Reacções de Apoio. 
b) Os Esforços Transversos e os Momentos Flectores nas Secções B-B e C-C. 
 
Resolução 
 
a) 
 
 Cálculo das Reações de Apoio 
 
Equações de equilíbrio de forças e momentos 
 
m.kN3655.62525.25.420R5.40M
kN115255.420RR0F
Dz
DAy
=×+××=×⇒=∑
=+×=+⇒=∑
 
Resolvendo o sistema de equações obtido, obtém-se: 
 
kN)1(1.81R;kN)8(8.33R DA == 
 
b) Cálculo dos Esforças Transversos em B-B e C-C 
 
O esforço T B é igual à resultante das forças à esquerda da Secção B-B, ou seja 
kN)8(8.13220)8(88.33T B −=×−= 
O esforço T C é igual à resultante das forças à direita da Secção C-C, ou seja 
kN25T C = 
 
 
 9/28
2.0m
B
B
A
C
C
RA
R A
MB
M B
TB
TB
1.0m
1.0m
R D
D
TC
MC
T C
MC
R D
20kN/m
25kN
2.5m
20kN/m
20kN/m
20kN/m
25kN
25kN
 
Figura2.9: Viga simplesmente Apoiada com tramo em consola 
 
Cálculo dos Momentos flectores em B-B e C-C 
 
O momento M B é igual ao momento em B-B das forças à esquerda da Secção B-B, ou 
seja 
m.kN)7(7.2712202)8(8.33M B =××−×= 
O momento M C é igual ao momento em C-C das forças à direita da Secção B-B, ou seja 
m.kN25125M C =×= 
 
 
3. Diagramas de Esforços 
 
O diagrama de esforços transversos é um gráfico que mostra o valor do esforço 
transverso em função da distância x ao longo do eixo da viga e o diagrama de momentos 
flectores é um gráfico que mostra o valor do momento flector em função da distância x ao 
longo do eixo da viga. 
Para traçar os diagramas de esforços (entendidos como esforço transverso e momento 
flector) é necessário considerar um corte na viga a uma distância x da origem e 
determinar os valores dos esforços transversos e momentos flectores em função de x e 
desenhar o gráfico das funções obtidas. Para ilustrar o processo, considerem-se os 
exemplos seguintes. No traçado dos diagramas de esforços transversos e momentos 
flectores usa-se a convenção de sinais representada na figura10.10. 
 10/28
Esforços Transversos 
Positivos
+
Esforços Transversos 
Negativos
-
+
Momentos Flectores 
Positivos
Momentos Flectores 
Negativos
Figura 10.10: Convenção de Sinais 
 
Exemplo 10.4 
 
Considere a viga encastrada representada na figura 10.11 e desenhe os diagramas de 
esforços transversos e momentos flectores. 
 
P
L
x
A B C CB
BA
R A
M A
P
TB
T B
M B
M B
PT B =
PxM B =
 
Figura 10.11: Viga Encastrada- Carga Pontual 
 
Resolução: 
 
Em geral, é necessário calcular as reacções de apoio, no caso da viga encastrada pode 
evitar-se o cálculo das reacções de apoio considerando a origem do sistema de eixos na 
extremidade livre da viga como se representa na figura 10.11. O esforço transverso 
numa secção a uma distância x da extremidade livre são como se representa na figura 
T=P e M=Px. 
 11/28
O traçado dos diagramas é facilmente feito tendo em conta que T é constante e igual a P 
e M é linear sendo a recta de inclinação P, como se representa na figura 10.12. 
 
P
L
x
A B C
R A
M A PT =
PxM =
y
+
-
P
PL
 
Figura 10.12: Viga Encastrada sujeita a uma Carga Pontual 
 
Exemplo 10.5 
 
Considere a viga simplesmente apoiada sujeita a uma carga pontual, representada na 
figura 10.13 e desenhe os diagramas de esforços transversos e momentos flectores. 
 
P
a b
L
R A R C
B C
Pa/LRPb/L;R cA ==
x
R A
R A
x
T
M
M
T
P
0<x<a
a<x<L
A
y
x
Figura 10.13: Viga Simplesmente Apoiada sujeita a uma Carga Pontual 
 
Resolução: 
 
Determinação das Reacções de Apoio 
 
 12/28
L/PaR;L/PbR
ou
PaLR0M
PRR0F
CA
Cz
CAy
==
=⇒=∑
=+⇒=∑
 
 
Para efeitos de cálculo dos esforços transversos e momentos flectores a viga tem de ser 
dividida em duas partes, uma entre A e B, 0<x<a e outra entre B e C, a<x<L, como se 
representa na referida figura. 
Os esforços transversos são: 
 
RT A= 
 =Pb/L para 0<x<a 
 
L/PaRRPT BA ==−= para a<x<L 
sendo este esforço, de acordo com a convenção de sinais, negativo. 
 
Os momentos flectores são: 
L/PbxxRM A == para 0<x<a 
)ax(PL/Pbx)ax(PxRM A −−=−−= para a<x<L 
De acordo com a convenção de sinais, estes momentos flectores, são positivos. 
Os diagramas de esforços estão representados na figura 10.14. 
 
P
a b
L
A B C
y
x
+
-
Esforços Transversos
Momentos Flectores
+
y
y
x
x
R A R C
Pa/LRPb/L;R cA ==
Pb/LR A =
Pa/LR C =
Pab/L
 
Figura 10.14: Diagramas de Esforços- Viga Simplesmente Apoiada-Carga Pontual 
 
Exemplo 10.6 
 
Considere a viga encastrada sujeita a uma carga uniformemente distribuida, 
representada na figura 10.15 e desenhe os diagramas de esforços transversos e 
momentos flectores. 
 13/28
L
x
B
M B
M B
B CA
p(x)=p
A
T B
B
TB
C
/2xPM 2B =
pxT B =
R A
M A
M A
R A
Figura 10.15: Viga Encastrada Sujeita a uma Carga Uniformemente Distribuída 
 
Resolução: 
 
Cálculo das Reacções de Apoio 
 
2/LpM0M
pLR0F
2
Az
Ay
=⇒=∑
=⇒=∑
 
 
O esforço transverso numa secção a uma distância x da extremidade livre da viga é: 
T=px 
O momento flector numa secção a uma distância x da extremidade livre da viga é: 
2/xpM 2= 
Os diagramas de esforços estão representados na figura 10.16.L
x
A B C
R A
M A
p(x)=p
pxT =
x
+
/2xPM 2=
x
-
pL
pLR A =
/2LpM 2A = /2Lp
2
 
Figura 10.16: Diagramas de Esforços - Viga Encastrada - Carga Uniformemente 
Distribuída 
 14/28
Exemplo 10.7 
 
Considere a viga simplesmente apoiada, sujeita a uma carga uniformemente distribuída, 
representada na figura 10.17 e desenhe os diagramas de esforços transversos e 
momentos flectores. 
 
A C
x
y
x
B
x
L
R A R C
PL/2RPL/2;R cA ==
R A
/2xppLx/2M 2B −=
M B
M B
TB
T B
p(x)=p
p(x)=p
p(x)=p
pxpL/2T B −=
 
Figura 10.17: Viga Simplesmente Apoiada Sujeita a uma Carga uniformemente 
Distribuída 
 
Resolução: 
 
Cálculo das Reacções de Apoio 
 
2/LpLR0M
pLRR0F
2
Cz
CAy
=×⇒=∑
=+⇒=∑
 
ou seja: 
2/pLRR CA == 
O esforço transverso, numa secção a uma distância x da extremidade A da viga, é igual à 
diferença entre a reacção RA e a resultante da carga distribuída ao longo de um 
comprimento x: 
pxpLT −= 2/ 
O momento flector, numa secção a uma distância x da extremidade A da viga, é igual ao 
momento resultante da reacção de apoio RA menos o momento da resultante da carga 
distribuída ao longo de um comprimento x, ou seja: 
2/xp2/pLxM 2−= 
Os diagramas de esforços estão representados na figura 10.18. 
 15/28
2/pLRR CA ==
L
A
x
B
y
C x
Momentos Flectores pL/2
pL/2
Esforços Transversos
/8Lp 2
px2/pL)x(T −=
2/xp2/pLX)x(M 2−=
 
Figura 10.18:Diagramas de Esforços- Viga Simplesmente Apoiada - Carga 
Uniformemente Distribuída 
 
 
Exemplo 10. 8 
 
Considere a viga encastrada sujeita a uma carga linearmente distribuída, representada 
na figura 2.19 e desenhe os diagramas de esforços transversos e momentos flectores. 
y
x
x
p(x)=px/L
A B C
p(x)=px/L
pL/2R A =
/6LpM 2A −=
R A R A
M A
M A M B
TB
T B
M B
/2LxpT 2B =
/6LxpM 3B −=
 
Figura 10.19: Viga Encastrada sujeita a uma carga linearmente distribuída 
 
Resolução: 
 
Cálculo das Reacções de Apoio 
6/LpM0M
2/pLR0F
2
Az
Ay
−=⇒=∑
=⇒=∑
 
 16/28
A uma distância x da extremidade livre a intensidade da carga p(x) é p(x)=px/L, como se 
representa na figura 10.19. 
O esforço transverso, numa secção a uma distância x da extremidade livre da viga, é 
igual à resultante da carga triangular de altura x e base px/L, ou seja: ( ) LxpxLpxT 2/2// 2−=×−= 
O momento flector, numa secção a uma distância x da extremidade livre da viga, é igual 
ao momento resultante da carga triangular de altura x e base px/L: 
3M (px / L) (x / 2) x / 3 p / 6Lx= − × × = − 
Os diagramas de esforços estão representados na figura 10.20. 
 
 
y
x
x
p(x)=px/L
A B C
Esforços Transversos
pL/2
R AM A
pL/2R A =
/6LpM 2A −=
/2LxpT(x) 2=
Momentos Flectores
-
/6Lxp)x(M 3−=
/6Lp 2
 
 
Figura 10.20: Viga Encastrada sujeita a uma Carga Linearmente Distribuída 
 
Exemplo 10. 9 
 
Considere a viga simplesmente apoiada sujeita a uma carga linearmente distribuída, 
representada na figura 10.21 e desenhe os diagramas de esforços transversos e 
momentos flectores. 
 17/28
y
x
p(x)=px/L
A B C
R A
p(x)=px/L
R A
2pL/6px-/2Lxp 2BT +=
2pLx/6/2xp-/6Lxp 23BM +=
R C
R C
x
pL/6R C =
pL/2R A =
L
M B
M B
T B
T B
 
 
Figura 10.21: Viga Simplesmente Apoiada Sujeita a um Carregamento Linearmente 
Distribuído 
 
Resolução: 
 
Cálculo das Reacções de Apoio 
 
6/0
2/0
2LpLR
pLRR
Cy
CAy
M
F
=⇒=
=+⇒=
∑
∑
 
ou seja: 
6/;6/2 pLRpLR CA == 
 
O esforço transverso, numa secção a uma distância x da extremidade A da viga, é 
calculado determinando a diferença entre a reacção de apoio e a resultante da carga 
distribuida na área trapezoidal de comprimento x, tendo em conta que a carga 
distribuída é –px/L+p, ou seja: 
 
6/22/
2
)/()( 2 pLpxLxpx
pLpxp
RxT A +−=×+−+−= 
 
O momento flector, numa secção a uma distância x da extremidade A da viga, é obtido 
por adição do momento resultante da reacção RA com o momento resultante da carga 
trapezoidal de comprimento x: 
 
( )
6/22/6/)(
)/(3
2/2
2
)/()(
23 pLxxpLxpxM
ppLpx
ppLpxxxxpLpxpxRxM A
+−=




++−
++−×−××+−+−×=
 
 18/28
 
Os diagramas de esforços estão representados na figura 10.22. 
 
y
x
p(x)=px/L
A B C
RA RC
x
L
+
-
Esforços Transversos
Momentos Flectores
+
2pL/6 pL/6
2pL/6px-/2LxpT(x) 2 +=
2pLx/6/2xp-/6LxpM(x) 23 += 
 
Figura 10.22: Diagramas de Esforços- Viga Simplesmente Apoiada Sujeita a Carga 
Linearmente Distribuida 
 
 
4. Equações de Equilíbrio 
 
Considere-se uma viga rectilínea sob a acção de forças e momentos exteriores, 
como se representa na figura 10.23, um elemento da viga de dimensão dx, a uma 
distância x da origem do sistema de eixos deve estar em equilíbrio sob a acção de forças 
exteriores e de esforços internos, momentos e esforços transversos. 
x dx M+dMM
T
pdx
M
T
M+dM
T+dT
T+dT
dx
y
x
p(x)
 
Figura 10.23: Esforços Transversos e Momentos Flectores num Elemento de 
Dimensão Infinitesimal 
 
 19/28
 
As cargas exteriores aplicadas no elemento de dimensão dx, têm uma resultante igual a 
pdx, os esforços de corte ou transversos resultantes nas secções de corte são, T e T+dT, 
como se representa na figura 10.23. A equação de equilíbrio de forças segundo o eixo dos 
yy é: 
 
0)( =+−+ pdxTdTT 
Simplificando obtém-se: 
p
dx
dT −= 
10.3 
A equação de equilíbrio de momentos no elemento de dimensão dx é: 
 
0)()()( 2
1 =+++−+ dxpdxMdMMdxdTT 
 
Desprezando os infinitésimos de ordem superior à primeira obtém-se: 
 
0=− dMTdx 
ou no limite 
T
dx
dM = 
10.4 
que representa a equação de equilíbrio de momentos no elemento de dimensão dx. 
Substituindo a equação 10.4 na equação 10.3, obtém-se: 
 
p
xd
Md −=
2
2
 
10.5 
Observando a equação 10.4 e 10.5, conclui-se que o máximo do momento flector M 
ocorre para valores nulos do esforço transverso T, as equações 10.3, 10.4 e 10.5 resultam 
só da consideração do equilíbrio estático e são portanto independentes do material da 
viga. 
A equação 10.3, pode ser integrada entre duas secções, uma a uma distância x1 e outra a 
uma distância x2 da origem, obtendo-se: 
∫∫ −=
=
=
x
x
xx
xx
pdxdT
2
1
2
1
 
Designando por T1 o esforço transverso a uma distância x1 e por T 2 o esforço transverso 
a uma distância x2 da origem, a equação anterior toma a forma: 
∫−= x
x
pdxTT
2
1
12 
2.6 
 20/28
A equação 10.4, pode ser integrada entre duas secções, uma a uma distância x1 e outra a 
uma distância x2 da origem, obtendo-se: 
∫∫ =
=
=
x
x
xx
xx
TdxdM
2
1
2
1
 
Designando por M 1 o esforço transverso a uma distância x1 e por M 2 o esforço 
transverso a uma distância x2 da origem, a equação anterior toma a forma 
∫+= x
x
TdxMM
2
1
12 
10.7 
O valor de T(x) pode ser obtido considerando a equação 10.6 e considerando xx =2 , ou 
seja: 
∫−=
x
x
pdxTxT
1
1)( 
10.8 
Substituindo este valor na equação 10.7 obtém-se: 
dx
x
x
x
x
pdxxxTMxM ∫ ∫ 





−−+=
1 1
)()( 111 
10.9 
As equações 10.8 e 10.9 podem ser utilizadas para calcular as expressões dos esforços 
transversos e momentos flectores a uma distância x de um ponto de referência x1 . Estas 
equações podem ser utilizadas para efeitos de traçado dos diagramas de esforços em 
alternativa ao processo utilizado no parágrafo anterior. 
 
5. Diagramas de Esforços utilizando as Equações de Equilíbrio 
 
Os exemplos anteriormente considerados podem ser refeitos fazendo uso das 
equaçõesde equilíbrio estático e da convenção de sinais anteriormente apresentada, estes 
exemplos podem ser bastante elucidativos quanto à utilização das referidas equações quer 
no que respeita à obtenção dos diagramas quer no que respeita à interpretação dos 
mesmos. Alguns dos referidos exemplos serão repetidos considerando agora as equações 
de Equilíbrio Estático. 
 
Exemplo 10.10 
 
Considere a viga simplesmente apoiada representada na figura 10.24 e fazendo uso das 
equações de equilíbrio estático, determine: 
 
a) Os diagramas de Esforços 
b) O momento máximo e o ponto em que ocorre. 
 
 21/28
Resolução 
 
a) O cálculo das reacções de apoio é o primeiro passo, e este cálculo como foi indicado 
anteriormente conduz às reacções seguintes: 
 
LPaRLPbR CA /;/ == 
 
A viga tem de ser dividida em dois tramas, o tramo 1 que corresponde a 0<x<a e o 
tramo 2 que corresponde a a<x<L, no ponto em que está aplicada a carga pontual existe 
uma discontinuidade no esforço transverso. A carga p(x) nos dois tramos é p(x)=0. 
Para 0<x<a o esforço transverso é: 
)0()()0()(
0
TdxxpTxT
x
=−= ∫ 
ou seja tendo em conta que T(0)= RA e que p(x)=0,o esforço transverso T(x) é: 
 
LPbRxT A /)( == 
 
 
P
a b
L
dx
xy
dx
P
)2/( xxM ∆− )2/( xxM ∆+
)2/( xxT ∆−
)2/( xxT ∆+
 Esforços Transversos
+
LPb /
Momentos Flectores
+
0/ =dxdTsalto para T=P
0)(/ =−= xpdxdT
LPbTdxdM // ==
LPbxM /= LxLPaM /)( −=
LPaTdxdM // −==
T
Pa/L
M
x
x
∫+
−=+=
=⇒<<
×+==
=⇒<<
x
a
dxxTaMxMaTxT
xpLxa
xR AMxMTxT
xpax
)()()();()(
0)(
)0()();0()(
0)(0
LPaRLPbR BA /;/ ==
 
 
Figura 10.24: Viga Simplesmente apoiada Sujeita a uma Carga Pontual 
 
Para 0<x<a o momento flector é tal que. 
 
0/)(/ >=== LPbRxTdxdM A 
 
ou seja é rectilíneo uma vez que a inclinação é constante e crescente até x=a, uma vez 
que a inclinação é positiva, ou seja integrando a equação anterior 
 22/28
LPbxxRdxxTMxM
x
A /)()0()(
0
==+= ∫ 
uma vez que M(0)=0, M(x) representa a área do diagrama de esforços Transversos entre 
0 e x. 
No ponto x=a existe uma discontinuidade de esforços transversos e considerando o 
equilíbrio de forças no elemento de dimensão dx representado na figura conclui-se que 
é: 
PxaTxaT −∆−=∆+ )
2
()
2
( ou LPaPaTaT /)()( −=−= −+ 
Considerando o equilíbrio de momentos no referido elemento conclui-se que: 
)()( aMaM −+ = 
 
ou seja existe continuidade de momento para x=a, embora exista uma mudança de 
inclinação como resulta do facto de o esforço transverso à direita e à esquerda ter 
valores distintos, sendo um valor positivo e outro negativo. 
Para a<x<L o esforço transverso é: 
)()()()(
0
aTdxxpaTxT
x
++ =−= ∫ =-Pa/L 
O momento flector para a<x<L é tal que: 
 
0/)(/ <−=−== LPaRxTdxdM B 
 
ou seja é rectilíneo tendo em conta que a inclinação é constante e decrescente ente x=a 
e x=L, atendendo que a inclinação é negativa, integrando a equação anterior obtém-se. 
 
LxLPadxRaRdxxTaMxM
x
a
B
x
a
A /)()()()( −=−=+= ∫∫+ 
 
Os diagramas resultantes estão representados na figura 10.24. 
 
b) O momento máximo ocorre no ponto a que corresponde um esforço transverso 
nulo, neste caso o referido ponto corresponde a x=a. O momento correspondente é: 
M=Pab/L. 
 
Exemplo 10.11 
 
Considere a viga simplesmente apoiada representada na figura 10.25 e fazendo uso das 
equações de equilíbrio estático, determine: 
a)Os diagramas de Esforços 
b)O momento máximo e o ponto em que ocorre. 
 
 
 
 23/28
Resolução 
 
a)O cálculo das reacções de apoio é o primeiro passo, este cálculo, como foi indicado 
anteriormente, conduz às reacções seguintes: 
 
2/;2/ pLRpLR CA == 
 
Neste caso não há necessidade de dividir a viga em troços tendo em conta que a carga é 
uniformemente distribuída em todo o tramo, não havendo lugar a discontinuidades de 
carregamento ou ligação ao exterior. 
A carga p(x) é p(x)=p e consequentemente é: 
pxTdxxpTxT
x
−=−= ∫ )0()()0()(
0
 
Tendo em conta que T(0) é igual à reacção no apoio A, a expressão de T(x) toma a 
forma: 
 
pxpLpxRpxTxT A −=−=−= 2/)0()( 
 
 
L
xy
∫−=
−=
=
x
dxxTMxM
pxTxT
pxp
0
)()0()(
)0()(
)(
2/;2/ pLRpLR BA ==
 Esforços Transversos
+
Momentos Flectores
+
M
x
x
T
2/pL
2/pL
pdxdT −=/
0/ >dxdM 0/ <dxdM
0/ =dxdM
8/2Lp
 
Figura 10.25: Viga Simplesmente Apoiada Sujeita a uma Carga Uniformemente 
Distribuída 
 
O momento flector é obtido por integração da equação dM/dx=T(x), ou seja: 
2/2/)()0()( 2
0
xppLxdxxTMxM
x
−=−= ∫ 
b) O momento flector máximo ocorre quando for T(x)=0, ou seja para x=T(0)/p. Tendo 
em conta que T(0) é igual à reacção em A e que tem o valor de pL/2, a distância x a 
 24/28
que ocorre o momento máximo é x=L/2. 
O momento máximo é: 
8/)2/( 2LpLM = 
 
 
Exemplo 10.12 
 
Considere a viga simplesmente apoiada representada na figura 10.26 e determine: 
 
a) As Reacções de Apoio 
b) b)Os diagramas de Esforços 
c) c)Os valores máximos dos Esforços e sua localização 
 
Resolução: 
a)Fazendo uso das equações de equilíbrio estático obtém-se: 
 
6.0m 4.0m
6kN/m
A B
kNRkNR CA 8.10;2.25 ==
Esforços Transversos
Reacções de Apoio
T
6/ −=dxdT
25.2
10.8
+
0/ =dxdT2.256)( +−= xxT
8.10)( −=xT
Momentos Flectores
+
x
x
M 0/ =dxdM
xxMxM 2.253)0()( 2 +−=
1088.10)( −−= xxM
C
x
y
 
Figura10.26: Viga Simplesmente Apoiada parcialmente carregada com Carga 
Uniformemente Distribuída 
 
336100
360
×=⇒=
=+⇒=
∑
∑
RM
kNRRF
Cz
CAy
 
ou seja: 
kNRekNR CA 8.102.25 == 
b) 
Para 0<x<6 a equação de equilíbrio de forças é: 
 25/28
6−=
dx
dT donde se conclui que 2.2566)0()( +−=−= xxTxT 
A equação de equilíbrio de momentos para 0<x<6 é: 
2.256)( +−== xxT
dx
dM 
donde se conclui que 
 
 xxxxMxM 2.2532.253)0()( 22 +−=+−= 
 
Para 6<x<10 a equação de equilíbrio de forças é: 
0=
dx
dT donde se conclui que ∫ −=+= x dxxpTxT
6
8.10)()6()( 
A equação de equilíbrio de momentos para 6<x<10 é: 
8.10)( −== xT
dx
dM 
donde se conclui que 
xxdxxTMxM
x
8.100.10868.108.102.45)()6()(
6
−=×+−=+= ∫ 
Os diagramas que resultam das expressões acabadas de obter estão representados na 
figura 10.26. 
c) O valor máximo do momento ocorre para T(x)=0 o que corresponde a ser no 
intervalo 0<x<6 e ao valor 02.256)( =+−= xxT , donde se conclui que x=4.2m. 
Para este valor de x, o momento é: 
mkNM .92.522.42.252.43)2.4( 2 =×+×−= 
 
Exemplo 10.13 
 
Considere a viga simplesmente apoiada representada na figura 10.27 e determine: 
 
a) As Reacções de Apoio 
b) Os diagramas de Esforços 
c) Os valores máximos dos Esforços e sua localização. 
 
 26/28
Figura 10.27: Viga Simplesmente Apoiada com Tramo em Consola 
 
Resolução: 
 
a)Fazendo uso das equações de equilíbrio estático obtém-se: 
As reacções de apoio são em consequência das equações anteriores 
kNRkNR CA 5010 == 
 
b)No troço 0<x<4 a equação de equilíbrio de forças é 
10−=
dx
dT que conduz a ∫ −=−= x xdxTxT
0
101010)0()( 
No troço 0<x<4 a equação de equilíbrio de momentos é 
)(xT
dx
dM = que conduz a ∫ −=−+= x xxdxxMxM
0
2510)1010()0()( 
No troço 4<x<6 a equação de equilíbrio de forças é 
0=
dx
dT que implica que seja: ∫ =+−=+=−= x kNTdxTxT
4
205030)4(0)4()( 
tendo em conta que no ponto B existe uma discontinuidade do esforço transverso sendo o 
esforço transverso À direita de B igual a –30kN e à esquerda de B igual a 20kN, como 
resulta da existência de uma reacção concentrada em B. 
No troço 4<x<6 a equação de equilíbrio de momentos é: 
)(xT
dx
dM = que 
implica que seja: 
4.0m
A
10kN/m2.0m
Esforços Transversos
B C
20kN
-
+
RA RC
kNRkNR CA 50;10 ==
Momentos Flectores
xxT 1010)( −=
T
M
x x
xxxM 2510)( −=
xxM 2040)( −=
20)( =xT
x
2008012024020640
600
=+=×+×=×⇒=
=+⇒=
∑
∑
RM
RRF
CA
CAy
 27/28
xxdxMxM
x
20120420204020)4()(
4
+−=×−+−=+= ∫ 
Os diagramas resultantes das equações obtidas estão representados na figura 10.27. 
 
 
6. Problemas Propostos para Resolução na Aula 
 
 
1. Obtenha os diagramas de esforços, N, T e M, para as vigas simplesmente apoiadas 
representadas nas figuras 10.28 a) …f) 
 
 
Figura 10.28: Vigas Simplesmente Apoiadas 
 
 
 
2. Obtenha os diagramas de esforços, N, T e M, para as vigas simplesmente apoiadas com 
tramos em consola representadas nas figuras 10.29 a) …f) 
 
xy 
xy 
xy 
x y
x 
y
x 
y
L=1m 
M=1500N.m 
P=3000N 
M=1500Nm 
0.5 m 0.25m 
1000N/m 
0.5m 0.5m 
a) 
b) 
c) 
2000N/m 
0.5m 0.5m 
3m 2m
2 kN/m 
4kN/m d) 
e) 
0.25m 0.5m 0.25m 
3kN/m 3kN/m 
f) 
 28/28
 
 
 
 
 
 
Figura 10.29: Vigas com tramos em Conso 
 
3. Obtenha os diagramas de esforços, N, T e M, para as vigas encastradas representadas 
nas figuras 10.30 a) e b) 
 
 
 
7- Leituras a Efectuar nas Horas de Estudo 
 
- V. Dias da Silva, Mecânica e Resistência dos Materiais, Ediliber Editora, 1995. 
- Carlos Moura Branco, Mecânica dos Materiais, Teoria e Aplicação, McGraw-Hill, 
1989. 
- J. F. Silva Gomes, Apontamentos de Mecânica dos Sólidos, Editorial de Engenharia. 
xy 
1000N/m 
x
y 
0.25 m 0.25m 
x y
0.5m 
xy 
L=1m 
P=2kN 
M=3kNm 
x 
y 
x 
y 
a) b) 
4.5kN/m 
2kNm 
0.5m 0.5m 
2kNm 5kN/m 
0.25m 0.25m 0.5m 
5kN 
x 
y
x 
y
M=1500N.m 
0.25m 
0.5m 0.5m 
a) 
b) 
c) 
2000N/m 
0.5m 
3m 2m 
2 kN/m 
4kN/m d) 
e) 
3kN/m 3kN/m 
f) 
0.25m 0.5m0.25m