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IFRS - Mestrado em Tecnologia e Engenharia de Materiais 
DISCIPLINA: Ciência dos Materiais 
PROFESSOR: Juliano Toniollo 
 
ALUNO: PAULO CESAR FRITZEN 
 
30 Exercícios Resolvidos 
CAPÍTULO 3 – ESTRUTURA CRISTALINA 
 
O presente material se refere a publicação de exercícios, da disciplina de Ciência dos 
Materiais, referentes ao curso de Pós-graduação Stricto Sensu em Engenharia e 
Tecnologia dos Materiais do IFRS (Instituto Federal do Rio Grande do Sul). A lista de 
exercícios em questão proporciona um conhecimento abrangente de todo o conteúdo 
ministrado em aula, desta forma se mostra uma excelente ferramenta de aprendizado, 
levando ao aluno casos reais a serem explicados. 
 
1- Quais são os níveis de ordenação dos átomos em um sólido e como diferem entre si? 
São medidos de acordo com a regularidade na qual os átomos ou íons se dispõem em 
relação ao seu vizinho. 
Ordenação de longo alcance – nele os átomos formam uma rede que se repetem 
regularmente (ex.: cristal) 
Ordenação de curto alcance – sem arranjo atômico preferencial, ocupando o espaço 
aleatoriamente (ex.: vidros, polímeros) 
Sem ordenamento - átomos dispostos aleatoriamente no espaço (ex.: gás). 
 
2- O que se entende por estrutura cristalina de um material? 
Estrutura cristalina é o arranjo espacial dos átomos, ions ou moléculas, ou seja, 
posicionamento dos mesmos em uma matriz que se repete ou que é periódica ao longo 
de grandes distâncias atômicas, ou seja, existe ordem de longo alcance, onde cada 
átomo está ligado aos seus átomos vizinhos mais próximos. A partir desta estrutura que 
as propriedades dos sólidos são definidas, porém, alguns materiais podem ter mais de 
uma estrutura cristalina em diferentes estados de temperatura e pressão. 
 
3- O que é a célula unitária de uma rede cristalina. 
Pequenos grupos de átomos que se repetem, ou seja, a rede cristalina se subdivide em 
pequenas partes repetitivas que se chamam células unitárias. Uma célula unitária 
consiste na unidade estrutural básica (ou bloco) da estrutura cristalina em virtude de sua 
geometria e das posições dos átomos em seu interior, ou seja, é escolhida para 
representar a simetria da estrutura cristalina em virtude da sua geometria e das posições 
dos átomos em seu interior. 
 
4- Quantos e quais são os sistemas cristalinos? Como diferem entre si? Quais são suas 
características? 
Os sistemas cristalinos são os sete descritos abaixo: 
Cúbico simples (CS); cúbico de face centrada (CFC); cúbico de corpo centrado (CCC); 
Tetragona, podendo ser simples e de corpo centrado. 
Hexagonal; 
Triclínico; 
Ortorrômbico, podendo ser simples ou de base centrada 
Os mesmos se diferenciam basicamente pelo tamanho das arestas iguais ou diferentes e 
pelos seus ângulos entre os eixos e desta forma se estabelece o número de átomos 
presentes na célula unitária. 
 
5- O que é parâmetro de rede da célula unitária? 
Parâmetro de rede da célula unitária é a combinação entre os comprimentos das 3 
arestas a,b e c e os 3 ângulos entre os eixos alfa, beta e gama, ou seja, está baseado na 
geometria da célula unitária. 
 
6- Faça uma lista de metais com estrutura cristalina hexagonal, outra com metais CFC e 
CCC. 
CCC: Cromo; Ferro; Molibdênio; Tântalo; Tungstênio; Titânio, Bario 
CFC: Ferro; Níquel; Chumbo; Alumínio; Cobre; Ouro; Platina; Prata; 
HC: Osmio, Zinco, Cobalto; Titânio; Magnésio e Cádmio 
 
7- Quantos tipos de células unitárias são conhecidas. Que são redes de Bravais? 
São no total 14 tipos diferentes de células unitárias que definem os sete sistemas 
cristalinos. Redes de Bravais são alterações da rede cristalina nos seus sistemas de 
empacotamento, uma homenagem a Auguste Bravais que propôs o sistema de 
classificação. 
 
8- Qual o número de átomos (ou número de pontos de rede) das células unitárias do 
sistema cúbico para metais? 
Três estruturas cristalinas são as possíveis para a maioria dos metais, sendo duas 
cúbicas e uma hexagonal, ou seja: 
CFC (Cúbica de Faces Centradas): 4 átomos presentes na célula; 
CCC (Cúbica de Corpo Centrado): 2 átomos presentes na célula; 
HC (Hexagonal Compacta): 6 átomos presentes na cálula. 
Na estrutura Cúbica Simples (CS) a célula unitária contem apenas 01 átomo e por este 
motivo os metais não cristalizam na estrutura em questão, ou seja, baixo 
empacotamento atômico. 
 
9- Determine as relações entre o raio atômico e o parâmetro de rede para o sistema 
cúbico em metais. 
Esta relação entre o raio atômico (r) e o parâmetro de rede (a) é determinada através da 
direção em que os átomos estão em contato. 
 
Cúbica de Faces Centradas (CFC): a = 4r/(2
1/2
) 
 
Cúbicas de Corpo Centrado (CCC): a = 4r/(3
1/2
) 
 
Hexagonal Compacta (HC): a = 2r 
 
 
10- Número de coordenação: o que é e do que depende? Quais são os números de 
coordenação nas células unitárias dos metais? 
Número de coordenação se refere ao número de átomos de contato, ou seja, é o número 
de vizinhos mais próximos. Depende da covalência, ou seja, números de ligações 
covalentes que o átomo pode compartilhar e do fator de empacotamento. 
Segue abaixo os números de coordenação das células unitárias presentes nos metais. 
Cúbica de Face Centrada (CFC): NC = 12 
Cúbica de Corpo Centrado (CCC): NC = 8 
Hexagonal Compacta (HC): NC = 12 
Na estrutura Cúbica Simples (CS) a célula unitária contem apenas 01 átomo e por este 
motivo os metais não cristalizam na estrutura em questão, ou seja, baixo 
empacotamento atômico. 
 
11- O que é fator de empacotamento em uma célula unitária? Calcule o fator de 
empacotamento para as células cúbicas para metais. 
O fator de empacotamento (FE) é a fração de volume da célula unitária efetivamente 
ocupada por átomos, assumindo que átomos são esferas rígidas. 
 
Cúbica simples (CS): OBS: metais não cristalizam na estrutura em questão 
 
 
Cúbica de Corpo Centrado (CCC): 
 
 
Cúbica de Face Centrada (CFC): 
 
 
Hexagonal Compacta (HC): 
 
 
12- Calcule a densidade do Fe (CFC) e Fe (CCC). 
A densidade teórica de um cristal é igual a massa da célula unitária dividida pelo seu 
volume. 
 
 
Fe (CCC) 
 
Fe na estrutura CCC, que tem um a0 de 2,866A e massa atômica de 55,85 g/g.mol. 
 
A densidade medida é 7,870 Mg/m3. 
 
Fe – CFC 
 
 
Volume da célula unitária: 
 
Densidade CFC: 
 
 A densidade medida é 8,013 Mg/m3. 
 
13 Quantas células unitárias estão presentes em um centímetro cúbico do Ni - CFC? 
CFC a0 = 4r/√ 2 – Raio atômico do Ni=0,125×10-7 cm 
Volume da célula unitária= a0 x 3 
= [(4x 0,125×10-7cm)/ √2] x 3 
= [(0,5×10-7cm)/ √ 2] x 3 
= [(0,3536×10-7cm] x 3 
=0,0441×10-21cm3 
Quantidade de células unitárias = 1cm3 / Volume da célula unitária 
= 0,0441×10-21cm3 
=1cm3 / 0,0441×10-21cm3 = 2,2675 x 10
22 
células unitárias 
 
14- O que é alotropia? O que é anisotropia? 
Alotropia: é o fenômeno no qual um material sólido de elementos puros pode apresentar 
mais de uma estrutura cristalina, dependendo da temperatura e da pressão. 
Anisotropia: é a característica de um material cristalizado de reagir diferentemente 
segundo a direção de propagação de um determinado fenômeno físico, e está 
relacionado com a direção em que o cristal está formado e com o espaçamento atômico 
ou iônico. 
15- O que é distância interplanar. 
É a distância de dois planos com os mesmos índices de Miller 
 
 
16- Determine: 
a) Os índices de Miller para as direções das Figuras 1 e 2. 
b) Determine os índices de Miller para os planos das Figuras 3 e 4. 
 
a) Figura 1: 
A = [1 -1 -1/2] = [2 -2 -1]B = [-1 0 -1] 
C = [1 -1 1] 
D = [-1/4 1 -2/3] = [-3 12 -8] 
 
b) Figura 3: 
A = (1/2 3/4 1) = (2 3 4) 
B = (2 1 1/4) = (8 4 1) 
C = (1 0 1/4) = ( 4 0 1) 
 
17- O lantânio tem uma estrutura CFC abaixo de 865oC com a=5.337 A, mas tem uma 
estrutura CCC com a=4,26 A acima de 865°C. Calcule a troca de volume quando La 
passa por 865°C. La expande ou contrai se lhe fornece energia a essa temperatura? 
O Lantânio de CFC com a = 5,337 A. 
Volume da célula unitária para CFC : (5,337)³ = (15,20×10)-30 
Volume da célula unitária para CCC : ( 4,26)³ = (7,73X10)-30 volume de 4 átomos = 2 
x 7,73 = 15,46 
Diferença de volume = 15,46-15,20 = 0,0171 = 1,71 % 
Acorre um aumento do volume do lantânio de 1,71% ao passar da estrutura CFC para 
CCC. 
 
18- Calcule a densidade linear e o fator de empacotamento linear nos sistemas: 
a) CS para a direção [011] 
 b) CCC para a direção [111], supondo ligações metálicas entre os átomos e que o 
parâmetro de rede seja 4 Å. 
 
a) DL = 1 átomo = 1 / (4² + 4²)1/2 = 1/5,657 = 0,177 * 10
8
 átomos por A 
DL = 1,77 * 10
7
 átomos/cm 
FEL = 4 / (4² + 4²)1/2 = 4 / 5,657 = 0,707 
 
b) DL = 2 átomo = 2 / (4² + 4²+ 4²)1/2 = 2/ 6,92 = 0,289 * 108 átomos por A0 
DL = 2,89 * 107 átomos/cm 
FEL = 1 
 
19- Para um metal hipotético com parâmetro de rede de 0,4 nm calcule a densidade 
planar: 
A) de um plano (101) para a célula CCC. 
B) do plano (020) de uma célula CFC. 
 
a) DP = N° de átomos do plano / área do plano 
(0,4
2
 + 0,4
2
)
1/2
 = 0,4 x 2
1/2
 = 0,566 nm 
A = 0,4nm x 0,566nm = 0,226nm
2 
DP = 2 átomos / 0,226nm
2
 = 8,85 átomos /nm
2
 
 
b) DP = 2 átomos / 0,4nm x 0,4nm = 12,5 átomos / nm2 
 
20- Para o cobre: qual é o espaçamento de repetição (vetor de Burgers) dos átomos na 
direção [211]? 
 
21- Como podem apresentar-se os compostos cerâmicos de estrutura AX? Descreva-os. 
Os materiais cerâmicos comuns são aqueles em que existem números iguais de cátions e 
ânions, são denominados AX onde A representa o cátion e X representa o ânion, nas 
estruturas AX os cátions ocupam quatro das 8 posições intersticiais tetraedais possíveis 
e os íons se tocam pela diagonal do tubo. 
 
22- Como podem apresentar-se os compostos cerâmicos de estrutura AmXp? Descreva-
os. 
Nas estruturas AmXp existe uma relação de um cátion para cada 2 ânions, cada átomo 
A tem oito vizinhos X, a estrutura é cubica de face centrada e este composto cerâmico 
apresenta 8 interstícios octaédricos ocupados, os locais octaédricos ocupados mantém a 
neutralidade devido a valência. 
 
23- Como podem apresentar-se os compostos cerâmicos de estrutura AmBnXp? 
Descreva-os. 
A estrutura AmBnXp apresenta um óxido duplo com dois cátions, a sua estrutura é mais 
complexa devido a presença de mais um átomo na célula unitária, esta estrutura por ser 
usada em materiais magnéticos não metálicos aplicados em componentes eletrônicos. 
 
24- Defina a constante de Madelung. Qual é seu significado físico? 
A constante de Madelung, representada pela letra A, o significado físico é a razão entre 
a energia de ligação do íon na rede cristalina e a energia de ligação do íon na molécula. 
É uma constante para o cálculo da energia de ligação em uma rede tridimensional de 
cristais iônicos. 
 
25 Baseado na razão entre os raios e a necessidade de balanço de cargas da estrutura 
cúbica, qual o arranjo atômico do CoO? 
Sendo: r = 0,65 R = 1,67 
r/R=0,389, Sendo assim o arranjo atômico será CFC ou HC. 
 
 
 
26- Baseado no raio iônico, determine o número de coordenação esperado para os 
seguintes compostos: 
a)FeO 
r/R=0,65/1,72 = 0,378 Assim, NC=4 
b)CaO 
r/R=0,65/2,23 = 0,291 Assim, NC=4 
c)SiC 
r/R=0,91/1,46 = r/R=0,62 Assim, NC=6 
d)PbS 
r/R=0,1,09/1,81 = 0,602 Assim, NC=6 
e)B2O3 
r/R=0,65/1,17 = 0,555 Assim, NC=6 
Nota: Utilizada a tabela anexada à questão acima. 
 
27- Calcule a densidade do composto CdS. 
Sendo: r(S)=1,09 e R(Cd)=1,71 
r/R=0,148/0,184 = 0,804 
Assim, NC=8 CS(cubico simples) 
A0=(2R+2r) = (2*0,184+2*0,148) = 0,664 
 
MCU = 2,4X10-22g 
VCU = 0,292 
Ρ = 2,4x10-22g / 0,664 x 10-27m3 
ρ = 3,61 x 105g / m3 ou 0,361g/cm3 
 
 
28- Descreva a estrutura cristalina do Al2O3. 
A estrutura cristalina é do tipo AX2, conforme imagem abaixo. Sendo que 2/3 dos 
locais tetraédricos estão ocupados por Al
3
, e desta forma este composto mantém sua 
neutralidade elétrica devido a valência. 
 
 
29- Descreva a estrutura cristalina tipo perovskita. Cite um exemplo. 
É uma estrutura do tipo NaBmXp que possui um óxido duplo com dois cátions, sua 
estrutura é mais complexa devido a presença de mais um átomo. 
 
 
 
 
30- Descreva a estrutura cristalina tipo espinélio. Cite um exemplo. 
É formada por dois metais de valência diferente, onde um forma um interstício 
tetraédrico e outro um interstício octaédrico o ânion forma a rede CFC, um exemplo é o 
FeAl2O4.