TERMODINÂMICA E TRANSMISSÃO DE CALOR (I E II)

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TERMODINÂMICA E TRANSMISSÃO DE CALOR (I E II) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
SUMÁRIO 
 
 
LISTA DE EQUAÇÕES 
LISTA DE ABREVIATURAS E SÍMBOLOS 
Parte I 
1. TERMOMETRIA......................................................................................................13 
1.1 EQUAÇÃO DE CONVERSÃO................................................................................13 
1.2 EXERCÍCIOS EXEMPLO (9)..................................................................................14 
 
2. CALORIMETRIA.....................................................................................................19 
2.1 CALOR SENSÍVEL E LATENTE...........................................................................19 
2.2 CÁLCULO DA QUANTIDADE DE CALOR SENSÍVEL (EQUAÇÃO 
FUNDAMENTAL DA CALORIMETRIA)...................................................................19 
2.2.1 Caloria – calor específico sensível da água.........................................................20 
2.2.2 Capacidade térmica (C).......................................................................................20 
2.3 EXERCÍCIOS (3)......................................................................................................21 
 
3. DILATAÇÃO TÉRMICA........................................................................................22 
3.1 DILATAÇÃO TÉRMICA DOS SÓLIDOS..............................................................22 
3.1.1 Dilatação linear – cálculo de ∆L............................................................................22 
3.1.2 Dilatação superficial...............................................................................................23 
3.1.3 Dilatação volumétrica.............................................................................................24 
3.2 EXERCÍCIOS............................................................................................................24 
 
4. TÓPICOS FUNDAMENTAIS DE TERMODINÂMICA......................................27 
4.1. SISTEMA.................................................................................................................27 
4.2. ESTADO E PROPRIEDADE..................................................................................27 
4.2.1 Mudanças de estado..............................................................................................28 
4.2.2 Estados físicos da matéria.......................................................................................28 
4.3 NOMENCLATURA PARA AS MUDANÇAS DE ESTADO OU DE 
FASE...............................................................................................................................28 
4.3.1 Mudança de estado...............................................................................................29 
4.3.2 Calor latente..........................................................................................................30 
4.4 LEIS GERAIS DA MUDANÇA DE ESTADO........................................................30 
4.5 EXERCÍCIOS EXEMPLO........................................................................................30 
4.6 CURVAS DE AQUECIMENTO E DE RESFRIAMENTO.....................................32 
4.7 TRANSFORMAÇÃO E PROCESSOS.....................................................................36 
 
5. CONSERVAÇÃO DA ENERGIA...........................................................................38 
5.1. BALANÇO ENERGÉTICO.....................................................................................39 
5.2 EXERCÍCIOS EXEMPLOS......................................................................................40 
5.3. EQUIVALÊNCIA EM ÁGUA.................................................................................40 
5.4 EXERCÍCIO..............................................................................................................41 
5.5 CALOR......................................................................................................................41 
5.6. TRABALHO (W).....................................................................................................41 
5.6.1. Trabalho devido ao movimento da fronteira....................................................42 
 3 
5.6.2. Trabalho produzido pela força de pressão........................................................43 
5.6.3. Trabalho de um eixo............................................................................................43 
5.7. ENERGIA DO FLUIDO QUE ATRAVESSA A FRONTEIRA.............................43 
5.7.1. Energia cinética...... ............................................................................................44 
5.7.2 Energia potencial de posição...............................................................................44 
5.8. EQUAÇÃO GERAL DA TERMODINÂMICA......................................................44 
5.8.1. Sistema fechado...................................................................................................45 
5.8.1.1. Transformação acíclica......................................................................................45 
5.8.1.2. Transformação cíclica........................................................................................45 
5.8.2. Aplicação do primeiro princípio........................................................................46 
5.8.2.1. Sistema aberto em regime permanente...............................................................46 
5.9. TRABALHO E DIAGRAMA P-V...........................................................................47 
5.10. CALOR E DIAGRAMA T-s..................................................................................48 
5.11. CALORES ESPECÍFICOS....................................................................................49 
 
6. GASES PERFEITOS................................................................................................50 
6.1 VARIÁVEIS DE ESTADO DE UM GÁS................................................................51 
6.1.1 Volume (V)............................................................................................................51 
6.1.2 Pressão (P).............................................................................................................51 
6.1.3 Temperatura (T)...................................................................................................51 
6.1.4 Modelo de um gás ideal........................................................................................51 
6.2 EQUAÇÕES DE ESTADO.......................................................................................52 
6.2.1 Equação de Clapeyron.........................................................................................52 
6.2.2 Exercícios...............................................................................................................53 
6.3. PRINCIPAIS PROCESSOS REALIZADOS COM GASES PERFEITOS.............56 
6.3.1. Processo isocórico (V = cte).................................................................................56 
6.3.2. Processo isobárico (P = cte).................................................................................57 
6.3.3. Processo isoentrópico (s = cte) ...........................................................................58 
6.4 LEIS FÍSICAS DOS GASES....................................................................................59 
6.4.1 Lei de Avogadro....................................................................................................63 
6.5 EXERCÍCIOS............................................................................................................637. TERMODINÂMICA.................................................................................................66 
7.1 TRABALHO DE UM SISTEMA EM UMA TRANSFORMAÇÃO QUALQUER
.
66 
7.2 EXERCÍCIOS............................................................................................................69 
7.3 ENERGIA INTERNA...............................................................................................72 
7.4 PRIMEIRO PRINCÍPIO DA TERMODINÂMICA.................................................
.
73 
7.5 TRANSFORMAÇÕES ADIABÁTICAS..................................................................75 
7.6 EXERCÍCIOS............................................................................................................77 
 
8. MÁQUINAS TÉRMICAS........................................................................................80 
8.1 EXERCÍCIOS (3)......................................................................................................83 
8.2. SEGUNDO PRINCÍPIO DA TERMODINÂMICA................................................85 
8.2.1. Enunciado Planck-Kelvin...................................................................................86 
8.2.2. Enunciado de Clausius........................................................................................88 
8.2.3. Equivalência de enunciados................................................................................91 
8.2.4 A desigualdade de Clausius.................................................................................91 
8.2.5 EXERCÍCIOS.......................................................................................................91 
 
 4 
9. MÁQUINAS TÉRMICAS E SEUS CICLOS TERMODINÂMICOS..................93 
9.1. INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE CICLOS DE POTÊNCIA................................93 
9.1.1. Introdução aos motores alternativos.......................................................95 
9.1.1.1 Exercícios.................................................................................................... 
9.1.2. Classificação dos motores alternativos quanto à 
ignição........................................................................................................................
.
97 
9.1.2.1. Classificação dos motores alternativos quanto ao número de tempos do ciclo de 
operação...........................................................................................................................98 
9.1.2.3. Principais diferenças entre os motores de ignição por faísca e 
espontânea.....................................................................................................................100 
9.1.3. Introdução aos motores rotativos.....................................................................100 
9.1.3.1. Turbinas a gás...................................................................................................101 
9.1.3.1.1 Turbinas a gás executando um ciclo Brayton com regeneração.....................104 
 
9.1.3.1.2 Exercícios........108 
9.1.3.1.3 Turbinas a gás executando um ciclo Brayton com reaquecimento................
.
107 
9.1.3.2. Motor Wankel...................................................................................................108 
9.1.4. Introdução aos motores a jato e foguetes........................................................108 
9.1.5 HISTÓRICO.........................................................................................................109 
9.1.6 APLICAÇÕES......................................................................................................109 
 
9.2. UMA ÊNFASE NOS MOTORES A COMBUSTÃO INTERNA 
9.2.1 Introdução 
9.2.1.1 Ciclo Otto MIF 
9.2.1.2 Ciclo Diesel MIE 
9.2.1.3 Ciclo misto de Sabathé 
9.2.1.4 Ciclo Brayton – Representativo do ciclo simples para turbinas a gás 
9.2.2 Tipos de motores 
9.2.3 Sobre os ciclos termodinâmicos Otto e Diesel utilizados nos motores a 
combustão interna 
9.2.3.1 Diagramas de variação da pressão de um motor 4 tempos (4T) de ignição por 
faísca (Otto) 
9.2.3.2 Diagramas de variação da pressão de um motor 4 tempos (4T) de ignição 
espontânea (Diesel) 
9.2.3.3. Exercício 
9.2.4 Propriedades e curvas características do motor 
9.2.4.1 Momento de força, conjugado no eixo ou torque (T) 
 
9.2.4.2 Freio dinamométrico ou dinamômetro 
9.2.4.2.1 Freio de Prony 
9.2.4.2.2 Dinamômetro hidráulico 
9.2.4.2.3 Dinamômetros elétricos 
9.2.4.2.3.1 Dinamômetro de correntes parasitas 
9.2.4.2.3.2 Dinamômetro de corrente contínua 
9.2.4.3 Propriedades do motor 
9.2.4.3.1 Potência efetiva (Ne) 
9.2.4.3.2 Potência de atrito (Na) 
9.2.4.3.3 Potência de atrito (Ni) 
9.2.4.3.4 Relacionamento entre as potências 
 5 
9.2.4.3.5 Relação combustível/ar (F) 
9.2.4.3.6 Consumo de ar ( )amɺ e rendimento volumétrico ( )Vη 
9.2.4.3.7 Controle ou variação da potência do motor 
9.2.4.3.8 Consumo específico 
9.2.4.3.9 Relações envolvendo pressão média 
9.2.4.4 Determinação da potência de atrito 
9.2.4.4.1 Acionando um motor de combustão desligado por meio de um motor elétrico 
9.2.4.4.2 Teste de Morse 
9.2.4.4.3 Reta de Willan 
9.2.4.5 Curvas características dos motores 
9.2.4.6 Redução da potência do motor a condições atmosféricas 
9.2.4.7 Previsão do comportamento de um motor instalado em um dado veículo, 
relacionamento motor/veículo 
9.2.5. A combustão nos motores alternativos 
9.2.5.1. A combustão nos motores de ignição por faísca 
9.2.5.1.1 Combustão normal 
9.2.5.1.2 Detonação no motor de ignição por faísca 
9.2.5.1.3. Fatores que influem na detonação do motor Otto 
9.2.5.2 Câmaras de combustão (CC) 
9.2.5.3 A combustão nos motores Diesel 
9.2.5.4 Fatores que influenciam na detonação no Diesel 
9.2.5.5 Tipos básicos de câmaras de combustão para motores ciclo Diesel 
9.2.5.5.1 Câmara de injeção direta (ou aberta) 
9.2.5.5.2 Câmara de injeção indireta (ou divididas) 
9.2.5.5.2.1 Câmara turbulenta 
9.2.5.5.2.2 Câmara de pré-combustão 
9.2.5.5.3 Comparação entre as câmaras divididas e abertas 
9.2.5.6 Exercícios 
9.2.6 Formação da mistura combustível/ar nos motores Otto 
9.2.6.1 Introdução 
9.2.6.2 Fração relativa combustível/ar (FR) 
 
9.3 CICLO TERMODINÂMICO DE CARNOT 
9.3.1 Temperatura termodinâmica absoluta 
9.3.2 Determinação do zero absoluto 
9.3.3. Desigualdade de Clausius 
9.3.4 Entropia como propriedade de estado 
9.3.5. Variação de entropia em um processo irreversível 
9.3.6 Exercícios 
 
9.4 CICLO TERMODINÂMICO DE RANKINE 
9.4.1. Ciclo ideal de Rankine 
9.4.2. Rendimento do ciclo Rankine 
9.4.3. Fatores que influem no rendimento de um ciclo Rankine 
9.4.3.1. Utilização do vapor superaquecido 
9.4.3.2. Elevação da pressão do vapor 
9.4.3.3. Reaquecimento do vapor 
9.4.3.4. Preaquecimento da água 
9.4.3.5. Redução da temperatura de condensação 
 6 
9.4.4 Exercícios 
 
 
Parte II 
1. INTRODUÇÃO A TRANSMISSÃO DE CALOR 
2. MODOS DE TROCA DE CALOR 
2.1. CONDUÇÃO 
2.1.1. Exercícios básicos de condução 
2.1.2 Equação da condução de calor (ou equação da difusão de calor) 
2.1.2.1 Exercícios 
2.2 CONVECÇÃO 
2.2.1 Regimes de escoamento 
2.2.1.1 Regime laminar 
2.2.1.2 Regime turbulento 
2.2.1.3 Camada limite 
2.2.2 Escoamento em regime permanente 
2.2.3 Exercícios 
2.3 RADIAÇÃO 
2.3.1 Exercícios 
3. ANALOGIAS ELÉTRICAS 
3.1 RESISTÊNCIA TÉRMICA 
3.1.1 Raio crítico de isolamento 
3.1.1.1 Exercícios 
3.1.2 Analogia elétrica 
3.2 EXERCÍCIOS 
4. SUPERFÍCIES ESTENDIDAS - ALETAS 
4.1 INTRODUÇÃO 
4.2 ESTUDO DE UMA ALETA LONGITUDINAL 
4.2.1 Hipóteses e definições adotadas para uma aleta longitudinal 
4.2.2 Fluxo de calor transferido por uma aleta longitudinal 
4.2.3 Aleta ideal 
4.2.4 Rendimento da aleta 
4.2.5 Resistência térmica de uma superfície aletada 
4.3 ALETA TRANSVERSAL CIRCULAR 
4.3.1 Aleta longitudinal equivalente 
4.3.2 Rendimento da aleta transversal 
4.3.3 Resistência térmica dasuperfície com aletas transversais 
4.4 UTILIZAÇÃO EFICIENTE DE TUBOS ALETADOS 
4.4.1 Resultados experimentais com aletas 
4.4.2 Regras práticas para uma boa eficiência 
4.5 GUIA PRÁTICO PARA RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 
4.6 EXERCÍCIOS 
5. PARÂMETROS CONCENTRADOS 
5.1 REGIME TRANSIENTE 
5.1.1 Método de capacitância global 
5.1.2 Cartas de comparação 
6. GERAÇÃO INTERNA DE ENERGIA, qG. 
 
10. DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DO COEFICIENTE DE 
CONVECÇÃO 
 7 
 
10.1. INTRODUÇÃO 
10.2 TEOREMA π 
10.3 FÓRMULAS EXPERIMENTAIS PARA O CÁLCULO DO COEFICIENTE DE 
CONVECÇÃO 
10.3.1 Aquecimento ou resfriamento de fluidos em tubos longos e regime 
turbulento 
10.3.2 Aquecimento e resfriamento de líquidos em regime laminar 
10.3.3 Escoamento de metais líquidos, dentro de tubos em regime turbulento 
10.3.4 Aquecimento ou resfriamento de uma superfície esférica 
10.3.5 Escoamento turbulento sobre uma superfície plana 
10.3.6 Escoamento de um fluido perpendicular a um tubo 
10.4 CONVECÇÃO E O USO DE SEUS ADIMENSIONAIS 
10.5 DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
QUANDO ESCOAMENTO EM CONVECÇÃO NATURAL 
10.6 EXERCÍCIOS SOBRE COEFICIENTE DE CONVECÇÃO 
10.6.1 Exercícios de convecção natural 
 
15. CONVECÇÃO 
15.1 PROPRIEDADES FÍSICAS 
15.2 TIPOS DE ESCOAMENTO 
15.2.1 REGIMES DE ESCOAMENTO 
15.3 DÚVIDAS MAIS COMUNS 
15.4 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
16. ANÁLISE DIMENSIONAL 
16.1 PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS 
16.2 PARÂMETROS ADIMENSIONAIS 
 
18. ESCOAMENTOS EXTERNOS NÃO SUBMERSOS 
18.1 EQUAÇÕES 
18.1.1 Continuidade 
18.1.2 Momentum 
18.1.3 Energia 
18.2 EXERCÍCIOS 
 
19. ESCOAMENTOS EXTERNOS SUBMERSOS 
19.1 INTRODUÇÃO E SITUAÇÃO FÍSICA DE INTERESSE 
19.2 ESCOAMENTOS SOBRE CORPOS SUBMERSOS 
19.3 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
19.4 RESULTADOS PARA FEIXES DE TUBOS 
 
20. CONVECÇÃO – ESCOAMENTOS INTERNOS. 
20.1 OBJETIVOS 
20.2 INTRODUÇÃO E SITUAÇÕES FÍSICAS DE INTERESSE 
20.3 CARACTERÍSTICAS PRINCIPAIS 
20.3.1 Escoamento hidrodinâmico 
20.3.2 Camada-limite térmica 
20.4 BALANÇO DE ENERGIA 
20.4.1 Fluxo constante na parede do duto 
20.4.2 Temperatura superficial constante 
 8 
20.5 COEFICIENTES DE TROCA DE CALOR POR CONVECÇÃO 
20.5.1 Regime turbulento 
20.6 DÚVIDAS MAIS COMUNS 
20.7 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
CAP. 22 – TROCADORES DE CALOR – FUNDAMENTOS 
22.1 OBJETIVOS 
22.2 CLASSIFICAÇÃO DOS TROCADORES DE CALOR 
22.3 QUANTO A FORMA DE TROCA DE CALOR E EQUAÇÕES 
22.4 OS MÉTODOS DE EFETIVIDADE E DE UNIDADES DE TRANSFERÊNCIA 
DE CALOR (NUT) 
22.5 EXERCÍCIOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 9 
 
 
LISTA DE EQUAÇÕES 
Parte I 
 
32
 
5 9
C F° ° −
=
 (Eq. 1.1) 
 
Q = m.c.∆T (Eq. 2.1) 
 
P
V
c
c
υ = (Eq. 2.2) 
 
∆L = L1 .α . ∆T (Eq. 3.1) 
 
 
Q = m.L (Eq. 4.1) 
 
1 e(T T )
. . . . 
dTq k A k A
dx L
−
= − = −
 (Eq. 5.1) 
 
Equação da Temperatura de emenda de duas barras (R.P.): 
 
1 1 2 2
1 2
1 2
1 2
.T .T
 e
k k
dx dxT
k k
dx dx
+
=
 
+ 
 
 ...Exercício 5.6.3 
 
Equação da Condutividade de uma barra emendada (R.P.): 
 
1 2
1 2
1 2
 
dx dxk dx dx
k k
+
=
+
 ...Exercício 5.6.3 
 
FP
A
=
 (Eq. 5.1) 
 
. . .PV n R T=
 (Eq. 5.2) 
 
m
n
M
=
 (Eq. 5.3) 
1 1 2 2
1 2
. .
 
P V P V
T T
=
 (Eq. 5.4) 
. . .R R A A B B
R A B
P V P V P V
T T T
= + (Eq. 5.5) 
 10 
 
W1-2 = P.dV (Eq. 6.1) 
Ecinética da translação de moléculas = 
3 3
. . . . .
2 2
n R T PV= (Eq. 6.2) 
LEI DE JOULE: Q = I2.R.t (Eq. 6.3) 
(I = corrente, R = resistência e t = tempo) 
Quando a corrente não for constante em relação ao tempo: 2
1
2
.
t
t
Q R i dt= ∫ 
 
Pelét = V.I = R.I2 (Eq 6.4) 
 
2
.
 
3.
M vT
R
= (Eq. 6.5) 
 
∆U = Q – W (Eq. 6.6) 
 
A
W
Qη = (Eq. 8.1) 
 
1A B B
A A
Q Q Q
Q Qη
−
= = − (Eq. 8.2) 
 
1 FF
FQ
T
T
η = − (Eq. 8.3) 
 
 
Parte II 
 
Ee – Es = Uf - Ui = ∆U (Eq. 1.1) 
 
. .e e e e G s s s sQ W m e q Q W m e U+ + + − − − = ∆ (Eq. 1.2) 
. . corpo
dTU m c calor sensível
dt
∆ = (Eq. 1.3) 
. corpo LU m c calor latente∆ = (Eq. 1.4) 
 .corpo
hU m
dt
∆∆ = (Eq. 1.5) 
 
. .k
dTq k A
dx
= (Eq. 2.1) 
.
k
LR
A k
= (Eq. 2.2) 
 
k
k
Tq
R
∆
= (Eq. 2.3) 
 11 
int
ln
2. . .
ext
k
r
r
R
L kpi
 
 
 
= (Eq. 2.4) 
 
int
int4. . . .
ext
k
ext
r rR
k r rpi
−
= (Eq. 2.5) 
 
2 2 2
2 2 2
1
.
gqT T T T
x y z k tα
∂ ∂ ∂ ∂
+ + + =
∂ ∂ ∂ ∂
 (Eq. 2.6) 
 
2 2
2 2 2
1 1 1
. . . . .
gqT T T T
r
r r r r z k tφ α
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
+ + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
 (Eq. 2.7) 
 
2
2
2 2 2 2
1 1 1 1
. . . . . . . .
. .
gqT T T T
r sen
r r r r sen r sen k t
θ
θ θ θ θ φ α
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
+ + + =   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
 (Eq. 2.8) 
 
. . . .( )C s s sq h A T h A T T∞= ∆ = − (Eq. 2.9) 
 
. . q U A T= ∆ (Eq. 2.10) 
 
. .Re v Dρ
µ
= (Eq. 2.11) 
 
1
.
C
C
R
h A
= (Eq. 2.12) 
 
4
. .Rq ATσ= (Eq. 2.13) 
 
4 4
1 1 1 2. . .( )Rq A T Tε σ= − (Eq. 2.14) 
 
 
 
cilindro isolamento
crítico
k
r
h
∞
= (Eq. 3.1) 
2.
 
esfera isolamento
crítico
k
r
h
∞
= (Eq. 3.2) 
TQ
R
−∆
=
Σ
 (Eq. 3.3) 
 
1 2
Tq
R R
−∆
=
+
 1
1 1
1
.
R
h A
= 2
2 2
1
.
R
h A
= (Eq. 4.1) 
 
2.( . . ) 2.( ).LatdA L dx e dx L e dx= + = + (Eq. 4.2) 
 
 12 
( )x x FT T T∆ = − (Eq. 4.3) 
 
( )x xdT d T
dx dx
∆
= (Eq. 4.4) 
 
. . xdQ h Pdx T= ∆ ou . . x
dQ h P T
dx
= ∆ (Eq. 4.5) 
2
2. .
x
d TdQ k A
dx dx
= (Eq. 4.6) 
 
2
2
2 . 0
x
x
d T
m T
dx
∆
− ∆ = (Eq. 4.7) 
1 2. .
x xm m
xT C e C e
−∆ = + (Eq. 4.8) 
11 21
F
m
Tp TC
e
−
=
+
 e 
12 21
F
m
Tp TC
e−
−
=
+
 (Eq. 4.9) 
 
.( ) ( )mmx F
mml
p F
T T e l x e l x
T T e e
−
−
− − + −
=
− +
 (Eq. 4.10) 
 
. . .( ). tanh( )p Fq m k A T T ml= − (Eq. 4.11) 
 
. . .( ). tanh( )a p FQ m k A T T ml= − (Eq. 4.12) 
 
Qi = h.Alateral.(Tb – TF) (Eq. 4.13) 
 
Qi = h.(Pst.l).(Tb – TF) (Eq. 4.14) 
 
tanh( . )
.
m l
m l
η = (Eq. 4.15) 
 
QT = N.Qa + Qsa (Eq. 4.16) 
 
Qsa = h.Asa.(Tb - )T∞ (Eq. 4.17) 
 . . .( . ).( )aa a i a a b F
i
Q Q Q h P l T TQη η η= ∴ = = − (Eq. 4.18) 
sa
1
.[ . .( . ) A ]s a st
R
h N P lη
=
+
 (Eq. 4.19) 
 
Qi = h.π. ( )2 23 2r r− .(Tb – TF) (Eq. 4.20) 
 
3 2
3
2
ln
ml
D Dd
D
D
−
= (Eq. 4.21) 
 
 13 
Qi = h.(2.π.dml).l.(Tb– TF) (Eq. 4.22) 
 
m = 
.
.
st
st
h P
k A
 (Eq. 4.23) 
 
 
( . )dH d U PV= + (Eq. 5.1) 
 
. . .PQ c V TρΣ = ∆ (Eq. 5.2) 
 
qC = h.As.(Ts - T∞ ).dt (Eq. 5.3) 
 
qG + Qe + We + me.ee - Qs + Ws + ms.es = ∆U (Eq. 5.4) 
 
- h.As.(T - T
∞
).dt = . . .Pc V Tρ ∆ (Eq. 5.5) 
 
. .
. .
s
s P
h A tdT
T T c Vρ
∞
= −
−
 (Eq. 5.6) 
 
. .
.exp
. .
s
P
h A tT C
T T c Vρ
∞
 ∆
= − 
−  
 (Eq. 5.7) 
 
. .
. . ( . ). .exp
. .
s
P
h A t
c V Bi Fos
o P
h A tT T
e e
T T c V
ρ
ρ
 
− 
−∞  
∞
 
−
= − = = 
−  
 (Eq. 5.8) 
 
q = . . .P
T
c V
dt
ρ ∆ (Eq. 5.9) 
 
.
. . .( ).(1 )Bi FoP oQ c V T T eρ −∞= − − (Eq. 5.10) 
 
VLc
A
= (Eq. 5.11) 
 
.h LcBi
k
= (Eq. 5.12) 
 
2
.tFo
Lc
α
= (Eq. 5.13) 
 
α = 
. P
k
cρ
 (Eq. 5.14) 
 
. . .
* 8. 8.
. .
P Pc V m ct
h As h As
ρ
= = (Eq. 5.15) 
 14 
 
2
2
1
.
T T
x tα
∂ ∂
=
∂ ∂
 (Eq. 5.16) 
 
 
 
.h DNu
k
= ∴ 
.Nu kh
D
= (Eq. 10.1) 
1
0,8 30,023.Re .PrNu = (Eq. 10.2) 
1 0,14
3
1,86. Re.Pr . .
s
DNu
L
µ
µ
  
=   
   
 (Eq. 10.3) 
0,40,625.(Re.Pr)Nu = (Eq. 10.4) 
 
0,5 0,50,37 .ReNu = (Eq. 10.5) 
 
. .Re v Dρ
µ
∞ ∞
∞
= (Eq. 10.6) 
1
0,830,36.Pr .ReNu = (Eq. 10.7) 
 
. .Re v Lρ
µ
∞ ∞
∞
= (Eq.10.8) 
.
Pr p
c
k
µυ
α
∞
∞
= = (Eq. 10.9) 
 
.h LNu
k
∞
= (Eq. 10.10) 
 
0,520,35 0,56.ReNu = + (Eq. 10.11) 
0,52 0,3(0,35 0, 47.Re ).PrNu = + (Eq. 10.12) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 15 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE SÍMBOLOS E UNIDADES 
 
A = área (A) 
c = calor específico (J/kg.K) 
J = Joule (N.m) 
m = massa (kg) 
M = massa molar (u.m.a) 
p = pressão (Pa) 
Q = calor (W ou J) 
s = entropia (kJ/kg.K) 
s = segundos (s) 
T = temperatura (K) 
V = volume (m3) 
V = volt (V) 
W = trabalho (W ou J) 
W = Watt (J/s) 
α = dilatação térmica (K-1) 
α = difusividade térmica (m2/s) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16 
 
Termodinâmica e Transmissão de calor (I e II) 
 
 
Parte II 
 
 
Agora o assunto se desvia um pouco da termodinâmica (clássica) para se 
entender como o calor é tranferido. Portanto, a partir desta parte o foco muda 
para como o calor é trocado e seus modos de transferência. 
 
 
 
1. INTRODUÇÃO A TRANSMISSÃO DE CALOR 
 
Conhecer o fluxo de calor (Q) é fundamental para a compreensão, especificação 
e melhorias em trocadores de calor, caldeiras, condensadores, ar-condicionados, 
cafeteiras, ferros de passar etc, o que por sua vez implica em custos também. 
 
O curso de transmissão de calor interessa, por exemplo, quando uma peça de 
material qualquer está sendo fundida, ou uma sala a ser condicionada ou um motor a ser 
refrigerado. 
 
Definindo calor (Q) como a energia trocada (explicada pelas teorias de Planck 
ou Maxwell) na presença de um gradiente de temperaturas ( ∇ T ou dT/dx), a 
termodinâmica clássica lida a maneira com que esta energia altera as propriedades 
(dependentes e independentes) de um sistema (os quais podem ser aberto, fechado ou 
isolado) no estado de equilíbrio. Em outras palavras, discute-se a troca de calor que 
acontece na presença de uma diferença de temperatura entre dois pontos. 
 
Em transmissão de calor se vê como estes dois pontos interagem. Em 
transmissão de calor se está mais interessado em taxas de troca de calor (watt = J/s) e 
não em trocas de energia (joule = N.m). 
 
A equação mais importante da termodinâmica é a Primeira lei da termodinâmica, 
sendo igual a: 
 
. .e e e e G s s s sQ W m e q Q W m e U+ + + − − − = ∆ .... (Eq. 1.1) 
 
Onde os índices e e s significam entrada e saída do sistema, respectivamente. 
O primeiro termo representa o calor que entra através da fronteira (Qe), o segundo é o 
trabalho que entra (We; entenda-o como trabalho de fronteira, de eixo ou elétrico), o 
terceiro é a energia quer seja cinética, potencial ou de pressão, contida em uma massa, 
m), qG = calor gerado pelo corpo devido à: reações químicas, por exemplo exotérmicas, 
endotérmicas, ou efeito Joule etc. 
∆U é a variação de energia interna (U) sofrida pelo sistema, também podendo ser 
calculada como: 
 
. . corpo
dTU m c calor sensível
dt
∆ = .... (Eq. 1.2) [Está aquecendo ou resfriando] 
 17 
. corpo
E
hU m calor latente
dt
∆∆ =
.... (Eq. 1.3) [Está mudando de fase (p.e.: líq→gás)] 
 
A primeira lei vale para uma “coisa” (objeto bem definido), ou seja, um volume, 
uma superfície (plano), uma linha ou um ponto. 
 
A 1ª lei também sugere, simplificadamente, que a energia (na forma de Q ou 
trabalho, W) não é criada e sim, transformada. 
 Considerando um sistema fechado (m´ = 0) aplicada a um volume (V) constante, 
tem-se: 
ji
i j
dWdQ
E
dt dt
Σ − Σ = ∆ .... (Eq. 1.1´) 
 
 As duas grandezas (Q e W) estão aplicadas à razão d
dt
. Porém, esta formulação 
deve ser aplicada ao estado de equilíbrio do sistema termodinâmico. 
 
Os valores de variação temporal destas taxas, assim como sua dependência do 
tipo de meio e da superfície de absorção/ emissão de calor, não são aqui consideradas, 
só em transmissão de calor. 
 Existem três modos de troca de calor: Condução, convecção e radiação 
(condução e radiação podem ocorrer isoladamente). Convecção já envolve condução de 
Q com transporte de massa. (na verdade não é fácil separá-las, mas é mais didático). 
Processos mais sofisticados, como ebulição e condensação, envolvem condução, 
transporte de massa e mudança de fase. 
 
 
2. MODOS DE TROCA DE CALOR 
 
Recapitulando: 
 
1) Uma das definições de calor seria considerá-lo como a energia em trânsito 
devido à diferença de temperatura entre um sistema e sua vizinhança, ou em partes 
diferentes de um mesmo sistema. 
 
 2) O calor pode ser transferido de três modos: Condução, convecção e radiação. 
Normalmente, os três modos ocorrem simultaneamente, mas é mais didático separá-los, 
como na figura 2.1: 
 
Os meios materiais podem ser classificados como: 
 
• Diatérmicos: São os meios pelos quais se permitem a passagem de ondas de 
calor através deles. Por exemplo o ar atmosférico. 
 
 
• Atérmicos: São os meios pelos quais não se permitem a passagem de ondas de 
calor através deles. Por exemplo parede de alvenaria, mas lembrando que não 
existe isolamento perfeito. 
 18 
Figura 2.1: Modos, mecanismos e meios de transferência de calor. 
 
 
 
 
2.1. CONDUÇÃO 
 
 Condução de calor (qk) é o processo de troca de energia (de um sistema, ou 
partes do mesmo em diferentes temperaturas) que ocorre pela interação molecular, na 
qual moléculas de alto nível energético transferem energia, pelo impacto, às outras de 
menor nível, gerando uma onda térmica, cuja velocidade de propagação depende da 
natureza da matéria. 
É um processo pelo qual o calor flui de uma região de temperatura (T) maisalta 
para outra de T mais baixa, dentro de um meio (sólido, líquido ou gasoso) ou entre 
meios diferentes em contato físico direto. (por ex.: ar no capô do carro). 
 A energia (Q) do corpo de T mais alta agita as moléculas do corpo de T mais 
baixa, fazendo com que a cinética média das moléculas deste último se eleve, 
 19 
aumentando assim, sua energia interna específica (u). Processo que também é chamado 
de difusão do calor. 
Em metais este processo é acelerado devido aos elétrons livres. Quando 
excitados, afastam-se da face mais aquecida. Isto explica porque bons condutores 
elétricos são bons condutores térmicos. (Exceção é o diamante, que é um isolante 
elétrico, mas é melhor condutor térmico que a prata e o cobre). 
 
Para sólidos não metálicos, devido à inexistência dos elétrons livres, o 
mecanismo básico de condução de calor está associado às vibrações das estruturas 
eletrônicas. Gases e líquidos não têm elétron livres e só podem trocar energia pela 
interação molecular e eletrônica (daí não serem tão bons condutores de calor). 
 
Segundo a definição do cientista J.B.J. Fourier, 1882, a quantidade de calor 
transmitida por condução segue a seguinte lei: 
 
. .k
dTq k A
dx
= .... (Eq. 2.1) 
Onde: k = condutividade térmica, A = área (perpendicular ao fluxo de calor), dT
dx
= 
gradiente de T na seção. 
 
 Nesta formulação, toma-se como convenção a direção do aumento na 
coordenada x como fluxo positivo de Q. 
 
 Para a correta aplicação da equação da condução reparar que há forte 
dependência da geometria. O estudo se inicia com três geometrias bem utilizadas, ditas: 
paredes planas, cilíndricas e esféricas. Repare no detalhe de paredes cilíndricas e 
esféricas, portanto não são maciças. 
 
 
● Quando for parede plana (figura 2.2): 
 
. .k
dTq k A
dx
= 
 
Utilizando a técnica de separação de variáveis: 
 
. . .kq dx k A dT= 
 
Integrando dos dois lados: 
 
0
0
0
. . .
. . .
. . .
FF
FQ
FF
FQ
FF
FQ
TL
k
T
TL
k
T
L T
k T
q dx k A dT
q dx k A dT
q x k A T
=
=
=
∫ ∫
∫ ∫ 
 20 
 
.( 0) . .( )k FF FQq L k A T T− = − 
 
. . .kq L k A T= ∆ 
 
. .k
Tq k A
L
∆
= ...(Eq. 1´) 
 
 Como visto, aplicando a fórmula de Fourier para parede plana em regime 
permanente, sem geração interna de calor (qg), resulta: . .k
Tq k A
L
∆
= − . Onde L é a 
espessura da parede, conforme visto na figura 2.2. 
 Reposicionando os termos 
.
L
A k
 chama-se resistência térmica à condução ( )kR . 
 
 .... ( . 1 2.2) .... ( . 1 2.3)
.
k k
k
L TR Eq q Eq
A k R
∆
= ∴ = 
Estas formas de equações simplificam bastante os problemas de transmissão de 
calor, como será visto a partir da seção 13 deste trabalho. 
 
Em diversos casos, k se altera conforme a T (resolve-se por aproximação linear). 
Para alguns metais, k diminui com a T, ao passo que para gases e materiais isolantes ela 
aumenta com a T. A condutividade k varia com a anisotropia. 
 
Modos básicos de transmissão de calor por CONDUÇÃO: 
 
Equação de Fourier: . .k
dTq k A
dx
= 
- Parede plana: 
Diagrama linear: 2 1T TdT T
dx x L
−∆
= =
∆
 
(a) (b) 
 
Figura 2.2: Representação da transmissão de calor através de paredes planas. Em (a) um 
tijolo por exemplo, cuja área perpendicular ao fluxo de calor possui seção quadrada ou em 
(b), com seção circular. 
 
A Resistência térmica de uma parede pode ser calculada por: 
.
k
LR
k A
= .... (Eq. 2.2) 
OBS 1: Para parede plana, regime permanente e sem geração de calor, o fluxo de calor 
pode ser calculado através da derivada da reta ∆T/∆x (vermelha), conforme a figura 2.3: 
 21 
 
Figura 2.3: Parede plana, em regime permanente (R.P.) e sem qG. 
 
OBS 2: Pode-se ter associação de paredes planas. Estas serão tratadas como sendo em 
série e/ou paralelo, conforme subseção 3.1.2 deste trabalho. 
 
Da associação surge o conceito da resistência de contato (Rcont), a qual trata das 
imperfeições entre as superfícies. 
 
● No caso da geometria ser cilíndrica, como a da figura 2.4, tem-se: 
 
Quando for parede cilíndrica: A transmissão se dá de forma radial, então o calor é 
perpendicular a área lateral conforme a equação: Acil = 2.π.r.L. Além disso, não depende 
mais de x e sim de r ao se substituir na equação da condução de Fourier. 
 
. .k
dTq k A
dr
= 
 
Utilizando a técnica de separação de variáveis, resulta: 
 
. .2. .r.L.
.
.2. .r.L
k
k
q dr k dT
q dr dT
k
pi
pi
=
=
 
 
Integrando dos dois lados: 
 
.
.2. .r.L
.
2. . .L
.ln
2. . .L
ext FF
int FQ
ext FF
int FQ
ext FF
int FQ
r T
k
r T
r T
k
r T
r Tk
r T
q dr dT
k
q dr dT
k r
q
r T
k
pi
pi
pi
=
=
=
∫ ∫
∫ ∫ 
 
ln
.
2. . .
ext
int
k
r
r
q T
k Lpi
 
 
 
= ∆ 
 
 22 
2. . . .
ln
k
ext
int
k L Tq
r
r
pi ∆
=
 
 
 
 ...(Eq. 1.1´) 
 
 
- Parede Cilíndrica (condução radial e unidimensional): 
 
(a) (b) 
Figura 2.4: A parede pode ser cilíndrica, conforme as representações acima. 
 
A Resistência térmica de um cilindro pode ser calculada por: int
ln
2. . .
ext
k
r
r
R
L kpi
 
 
 
= ....(Eq. 2.4) 
 
● No caso da geometria ser esférica, como a da figura 2.5, tem-se: 
 
Quando for parede esférica: A transmissão se dá de forma radial, então o calor é 
perpendicular a área lateral da esfera conforme a equação: Aesf = 4.π.r2. Além disso, não 
depende mais de x e sim de r. 
 
. .k
dTq k A
dr
= 
 
Utilizando a técnica de separação de variáveis, resulta: 
 
2
2
. .4. .r .
.
.4. .r
k
k
q dr k dT
q dr dT
k
pi
pi
=
=
 
 
Integrando dos dois lados: 
 
2
2
.
.4. .r
.
4. . r
1
.
4. .
1 1
.
4. .
ext FF
int FQ
ext FF
int FQ
ext
FF
FQ
int
r T
k
r T
r T
k
r T
r
Tk
T
r
k
ext int
q dr dT
k
q dr dT
k
q T
k r
q T
k r r
pi
pi
pi
pi
=
=
 
− = 
 
 
− + = ∆ 
 
∫ ∫
∫ ∫
 
 23 
 
.
4. . .
k ext int
int ext
q r r T
k r rpi
 
−
= ∆ 
 
 
 
4. . . .
. .
4. . .
k ext int ext int
k
ext int ext int
q r r k r rq T
k r r r r
pi
pi
 
−
= = ∆ 
− 
 ...(Eq. 1.2´) 
 
- Parede Esférica (condução radial): 
 
 
Figura 2.5: A parede pode ser esférica, conforme a representação acima. 
 
A Resistência térmica de uma esfera pode ser calculada por: int
int4. . . .
ext
k
ext
r rR
k r rpi
−
= ...
.
(Eq. 
2.5) 
Onde, 
k = condutividade térmica do material 
A = área perpendicular ao fluxo de calor 
qk = fluxo de calor por condução 
dT
dx
= gradiente de temperatura na direção x. 
L = espessura da parede/comprimento do cilindro 
rext = raio externo 
rint = raio interno 
Rk = resistência térmica à condução. 
 
 
2.1.1. Exercícios básicos de condução unidimensional 
 
1. Deseja-se dissipar 1840 W por uma parede cujas dimensões não podem ser 
maiores do que 0,08 m2 e espessura de 0,1 m. A face da esquerda não pode 
ultrapassar 110°C e a da direita não pode cair abaixo de 40°C, determine a 
condutividade do material a ser utilizado. (R.: 32,86 W/m.K) 
 
 
2. Uma parede retangular de um forno industrial é construída de tijolo refratário 
com 15 cm de espessura, cuja condutividade térmica é de 1,7 
.
W
m K
. Medidas 
feitas ao longo da operação em regime estacionário revelam temperaturas de 
1400 e 1150 K nas paredes interna e externa, respectivamente. Qual a taxade 
calor perdida através de uma parede que mede 0,5 x 1,2 m? (R.: 1700 W) 
 24 
 
3. Uma tubulação de um metro de comprimento contém em seu interior vapor de 
água. O diâmetro externo do tubo é de 70 mm e o interno 60 mm. Calcule a 
temperatura da superfície externa desta tubulação sabendo que a temperatura 
interna do mesmo é de 100°C. Dados: Condutividade térmica = 30 
.
W
m K
 e QT = 
2.000 W. (R.: 98,36°C) 
 
 
4. Uma quantidade de calor equivalente a 6 kW atravessa uma esfera oca em 
regime permanente. Seus diâmetros interno e externo são, respectivamente, 4 e 5 
cm. A esfera é feita de um material com condutividade térmica de 150 
.
W
m K
 e 
sua temperatura na superfície externa é de 700°C, pede-se a temperatura na sua 
superfície interna. (R.: 731,83°C) 
 
 
5. A fim de projetar um ambiente de uma casa deseja-se um cômodo com uma 
temperatura de 20°C. Sabendo-se que a temperatura média no verão é de 35°C, 
um engenheiro considerou em algum momento, um fluxo de calor através de 
uma das paredes, cujo valor é de 105 W/m2, conforme a figura ilustra. 
 
 
 A tabela a seguir apresenta alguns valores de condutividade térmica para os 
materiais usuais de construção de uma parede. 
 25 
 
 
A fim de se obter a temperatura desejada qual deve ser o material utilizado, entre os 
materiais apresentados na tabela, para a composição da parede? 
a) Concreto. 
b) Pedra natural. 
c) Placa de madeira prensada. 
d) Placa com espuma rígida de poliuretano. 
e) Placa de aglomerado de fibras de madeira. 
 
 
6. Pediu-se para um engenheiro determinar a taxa de transferência de calor em um 
dispositivo semelhante a um tronco de cone reto, conforme a figura a, cuja 
superfície lateral está completamente isolada. Determine em regime permanente, 
ausência de geração interna de calor e transferência de calor quase 
unidimensional: 
 
a) A taxa de transferência de calor através da peça em formato cônico. (R.: 181 W) 
b) Um outro engenheiro sugeriu como uma simplificação (figura b), calcular a taxa 
de transferência de calor considerando o cone como um cilindro de raio médio 
(Rm = 2.R + R = 1,5.R). Sabendo-se que 5% de erro é um valor aceitável para a 
determinação desta grandeza, qual será o módulo do erro devido esta 
simplificação? (R.: 11%) 
 
Dados: 
Raio, R = 12 cm. Condutividade do tronco de cone igual a 3 W/m.K. 
Comprimento, L = 15 cm. 
T1 = 140°C e T2 = 40°C. 
 26 
 
 
 
 
 
7. Um sólido de formato cônico (truncado) possui seção transversal circular e o seu 
diâmetro está relacionado à coordenada axial (x) através de uma expressão: D = 
3
2x 
(com o diâmetro e a coordenada axial em metros). A superfície lateral é isolada 
termicamente, enquanto a superfície superior é mantida a 100°C, a inferior é mantida a 
20°C. Determine a taxa de transferência de calor através do cone. Admita regime 
permanente sem geração interna de calor e transferência de calor quase unidimensional. 
A condutividade térmica do alumínio é 238 W/m.K. (R.: 189,26 W) 
 
 
 
 
2.1.2 Equação da condução de calor (ou equação da difusão de calor) 
 
 As equações a seguir tratam da distribuição de temperaturas dentro de qualquer 
sólido ao longo do tempo. 
 Os primeiros três termos das equações abaixo são as coordenadas (operador 
laplaciano 2∇ ). O quarto termo do lado esquerdo é o calor gerado (energia interna 
desprezível ou não). O lado direito é a parte transiente (∆T/∆t), esquentando ou 
resfriando com o tempo. Em outras palavras, o segundo termo da equação é zero quando 
o regime for permanente. 
 Só uma coordenada (x, y ou z) será importante quando houver condição 
unidimensional. As coordenadas podem ser divididas nas três geometrias já 
mencionadas, conforme abaixo: 
 27 
• Coordenadas cartesianas 
 
2 2 2
2 2 2
1
.
gqT T T T
x y z k tα
∂ ∂ ∂ ∂
+ + + =
∂ ∂ ∂ ∂
 .... (Eq. 2.6) 
 
 
• Coordenadas cilíndricas 
 
2 2
2 2 2
1 1 1
. . . . .
gqT T T T
r
r r r r z k tφ α
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
+ + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
.... (Eq. 2.7) 
 
 
• Coordenadas esféricas 
 
2
2
2 2 2 2
1 1 1 1
. . . . . . . .
. .
gqT T T T
r sen
r r r r sen r sen k t
θ
θ θ θ θ φ α
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
+ + + =   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
.... (Eq. 2.8) 
 
 
Onde: α é a difusividade térmica. 
2
. p
k m
c s
α
ρ
 
=  
 
; k = condutividade térmica, ρ = 
massa específica (densidade) e cp = calor específico a pressão constante. 
 
A seqüência de resolução dos problemas usando a equação da difusão do calor é: 
Quando houver geração interna de calor, qg diferente de zero. 
Isolar as derivadas e depois integrar os dois lados. 
Integrar de novo quando necessário. 
 
Todos os exercícios terão condições de contorno para acharmos C1 e C2 se as integrais 
não forem definidas. 
 
 28 
As condições de contorno mais utilizadas: 
• Para x = .... T = .... 
• Para x = .... 0dT
dx
= (máximo ou mínimo) 
• Para x = isolamento 0dT
dx
= 
• q(x) = conhecido q = -k.A. dT
dx
 
para x = ... ....dT
dx
= 
 
2.1.2.1 Exercícios 
 
1. A transmissão de calor de um ponto para outro devido ao deslocamento do próprio 
material aquecido é um fenômeno dito: 
 
a) Irradiação b) Convecção c) Condução d) Radiação 
e) Emissão 
 
2. A radiação é o único processo possível de transmissão de calor: 
a) Nos gases b) Nos supercondutores c) No vácuo 
d) Nos sólidos em geral e) Nos cristais 
 
3. Um cobertor de lã tem por função: 
a) Dar calor ao corpo. 
b) Reduzir a transferência de calor do corpo para o meio exterior. 
c) Impedir a entrada de frio. 
d) Aquecer o ar entre ele e o corpo. 
 
4. Corpo negro é: 
a) Qualquer objeto que emita radiação correspondente a cor preta. 
b) Cavidade de paredes opacas com um pequeno orifício. 
c) Um objeto capaz de absorver integralmente as radiações de qualquer comprimento de 
onda que incidam sobre ele. 
d) Um objeto capaz de absorver integralmente as radiações de qualquer comprimento de 
onda que incidam sobre ele, porém incapaz de reemiti-las (não sendo um radiador ideal) 
 
5. Em certos dias verifica-se o fenômeno da inversão térmica, que causa aumento da 
poluição e doenças relacionadas. Esta ocorrência se deve por quê? 
a) A temperatura das camadas inferiores do ar atmosférico (mais próximas do solo) 
permanece maior do que a das camadas superiores. 
b) A convecção força as camadas poluídas a circular. 
c) A condutibilidade do ar diminui. 
d) A temperatura do ar se homogeneíza. 
e) As camadas superiores do ar atmosférico têm temperatura superior à das camadas 
inferiores. 
 
 
 29 
6. Uma placa de material isolante tem 1 m2 de seção transversal e 8 cm de espessura. 
Pede-se o fluxo de calor que atravessa a placa sendo que a diferença de temperaturas 
entre as faces opostas é de 100°C. Dado: condutividade térmica do material: 2.10-2 
cal/s.m.°C. (R.: 25 cal/s) 
 
 
7. A figura a seguir mostra uma das extremidades de uma barra de cobre, de 80 cm de 
comprimento e 10 cm2 de área da seção transversal (AT), a qual está situada em um 
banho de vapor de água em ebulição, sob pressão de 1 bar, enquanto a outra 
extremidade se encontra em uma mistura de gelo fundente e água (na mesma pressão e a 
0°C). As perdas pelas laterais da barra e dos recipientes podem ser desprezadas. 
 
 
 
Determine: 
a) O fluxo de calor (corrente térmica) através da barra. 
b) A quantidade de calor que atravessa a barra durante 5 minutos. 
c) A temperatura em um ponto situado a 20 cm da extremidade mais quente da barra. 
d) Esboce um gráfico da temperatura em função do comprimento da barra. 
Dado: condutividade térmica do cobre: 96 cal/s.m.°C. 
 
 
8. Duas barras cilíndricas de mesma área transversal e comprimentos L1 e L2,com 
condutividades térmicas C1 e C2, respectivamente, são emendadas formando 
aparentemente uma única barra. Se as temperaturas das extremidades forem T1 e T2, 
constantes e sabendo que T1 < T2, determine: 
a) A temperatura na emenda (Te). 
b) A condutividade térmica resultante da barra. 
c) Construa um gráfico T – posição. 
 
Dados: L1 = 40 cm L2 = 60 cm 
 k1 = 10 cal/s.m.°C k2 = 20 cal/s.m.°C 
 T1 = 10°C T2 = 90°C 
 
 
9. Considere que a placa da base de um ferro de passar de 1200 W tenha espessura de 
0,5 cm, área da base igual a 300 cm2 e a condutividade térmica 15 W/m.K. A superfície 
interna da placa é submetida a um fluxo de calor uniforme, gerado pela resistência 
elétrica interna, enquanto a superfície externa perde calor para o meio (de temperatura 
20°C) por convecção, como indicado na figura abaixo. Assumindo que o coeficiente de 
transferência de calor por convecção seja de 80 W/m2.K e desprezando a perda de calor 
por radiação, obtenha uma expressão para a variação de temperatura na placa da base do 
 30 
ferro. A expressão deve ser do tipo T = T(x), onde T deve estar obrigatoriamente em °C 
e x em metros. Determine também a temperatura em x = 0 e x = L (no detalhe, indique 
graficamente o resultado na placa). A orientação do sistema de coordenadas está 
indicada na figura e não pode ser alterado. Supondo operação em regime permanente e 
troca de calor unidimensional (apenas na direção x). Indique claramente quais são os 
termos a serem desprezados na equação da condução e as hipóteses simplificadoras 
adotadas. (R.: T = - 2666,7.x + 533,3) 
 
 
10. A usina termonuclear de Angra II queima combustível através de uma reação 
nuclear de fissão para gerar o calor necessário para produzir vapor superaquecido. O 
combustível está na forma de dióxido de urânio (de condutividade térmica igual a 4 
W/m.K). O núcleo do reator é composto de dezenas de milhares de varetas cilíndricas 
de combustíveis com 8 mm de diâmetro e 3,63 m de altura, podendo ser considerado um 
cilindro muito longo. Considere uma vareta combustível média onde as reações de 
fissão geram uma produção uniforme interna de calor de qg = 4,3.108 W/m3 e induzem 
uma temperatura na sua superfície de 540°C. Determine, em regime permanente e 
condução radial, a temperatura máxima do combustível que ocorre no centro do 
cilindro. (R.: 970°C) 
 
 
11. Considere uma esfera homogênea (maciça e confeccionada completamente do 
mesmo material) de raio externo 40 mm composta de um material radioativo que gera 
calor a uma taxa uniforme e constante de 4.107 W/m3. O calor gerado é dissipado 
constantemente para o ambiente. A superfície externa da esfera é mantida a uma 
temperatura uniforme de 80°C e a condutividade térmica da esfera é de 15 W/m.K. 
Assumindo que a transferência de calor é unidimensional e permanente: 
a) Obtenha uma expressão da temperatura (°C) em função do raio da esfera (m); 
b) Determine a temperatura no centro da esfera. 
(R.: -444.444,4.r2 + 791,11 e 791,11°C) 
 
 
 
12. Em certos instantes de tempo, a distribuição de temperaturas em uma parede com 
0,3 m de espessura é T = a + b.x + c.x2, onde a temperatura está em graus Celsius e a 
coordenada independente (x) em metros, a = 200°C, b = -200°C/m e c = 30°C/m2. A 
parede possui uma condutividade térmica de 1 W/m.K. Admita troca de calor 
unidimensional e área de troca de calor unitária para ambas as faces da parede. 
Despreze os efeitos de troca de calor por radiação. Determine: 
 
a) A taxa de transferência de calor na face em x = 0 m (face esquerda) e também em x = 
0,3 m (face direita) indique se em cada uma das faces a parede está recebendo ou 
cedendo calor ao meio externo. (R.: 200 W – recebendo e 182 W – cedendo) 
 
 31 
b) Se a superfície “fria” estiver exposta a um fluido a 100°C, qual é o coeficiente de 
transferência de calor por convecção? (R.: h = 4,26 W/m2.K) 
 
c) Nas condições apresentadas, indique (justificando) se o regime é permanente, e em 
caso negativo, se a placa está aquecendo ou resfriando com o tempo. (R.: Como a 
parede recebe maior quantidade de calor (energia) na face esquerda do que perde pela 
face direita, há aumento de temperatura com o tempo). 
 
13. Condução unidimensional (apenas na direção x), em regime permanente, com 
geração interna uniforme de calor (igual a 0,01 W/cm3) ocorre em uma parede plana 
com espessura de 85 mm e uma condutividade térmica constante igual a 0,5 W/m.K. 
Nessas condições, a distribuição de temperatura na placa segue a equação: 
( )2 12
1
.
. .
2. 2.
g gq q LT TT x x T
k L k
 −
= − + + + 
 
. O coeficiente de transferência de calor por 
convecção do lado esquerdo e do lado direito valem respectivamente, 20 e 10 W/m2.K. 
Despreze os efeitos da radiação térmica. Sabendo que T1 igual a 25°C, determine: 
a) A temperatura T2 (na face direita da placa com x = 85 mm). (R.: 65°C) 
b) A temperatura máxima na placa e sua localização (valor da coordenada x). (R.: x = 
66,03 mm; Tmáx = 68,6°C) 
 
 
 
14. O reator IEA-R1 é um reator nuclear de pesquisa que utiliza elementos combustíveis 
do tipo placa (uma ilustração do núcleo pode ser observada na figura com cotas em 
milímetros). O reator está localizado no IPEN – SP. Sabendo que será testado um novo 
tipo de material nuclear no cerne de seu combustível U3O8Al (k = 20 W/m.K) e que a 
temperatura não deve ser superior a 80°C (em nenhuma localização do cerne). Cálculos 
de neutrônica indicaram um valor para a geração de calor (no cerne) de valor igual a 
2.108 W/m3 (uniforme). O valor do coeficiente de transferência de calor por convecção 
para a vazão de fluido refrigerante no núcleo é de 3265 W/m2.K, a condutividade 
térmica do alumínio de revestimento é igual a 239 W/m.K. Admita transferência de 
calor permanente e unidimensional. 
a) Determine qual deverá ser a temperatura média do fluido refrigerante. (R.: 41,25°C) 
b) Faça um gráfico da variação da temperatura na placa indicada na seção. 
 
 32 
15. Condução bidimensional, em regime permanente, ocorre em um sólido cilíndrico 
oco de condutividade térmica 16 W/m.K, raio externo igual a 1 metro e comprimento 
total, L = 2.ze = 5 m. A origem do sistema de coordenada encontra-se localizada no 
meio da linha de centro do cilindro. A superfície interna do cilindro (localizada em r = 
ri) é isolada termicamente e a distribuição de temperaturas no cilindro obedece a 
seguinte equação: T = -0,4 – 3.r2 + 0,24.ln(r) + 6.z2. A coordenada radial r e a 
coordenada longitudinal z estão em metros e a temperatura T em °C. Determine: 
a) O raio interno, ri, do cilindro. (R.: 0,2 m) 
b) Obtenha uma expressão (ou o valor) para a taxa volumétrica de geração de calor qg 
nas unidades do S.I. (R.: zero) 
 
 
16. Considere uma esfera homogênea (maciça e confeccionada completamente de 
mesmo material) de raio externo 40 mm composta de um material radioativo que gera 
calor a uma taxa de geração de calor não uniforme: qg = 3.107.r. Onde r é uma 
coordenada radial medida a partir do centro da esfera. O calor gerado é dissipado 
constantemente para o ambiente. A superfície externa da esfera é mantida a uma 
temperatura uniforme de 80°C e a condutividade térmica da esfera é de 5 W/m.K. 
Assumindo que a transferência de calor é unidimensional e permanente, determine: 
 
a) Uma equação para a distribuição de temperatura T (°C) na esfera em função do raio r 
(m). (R.: T = -5.105.r3 + 112) 
 
b) A taxa de transferência de calor através da superfície da esfera. (R.: 241,27 W) 
 
c) Um gráfico de taxa de transferência de calor (W) versus posição radial r (m) para a 
esfera. (calculando os valores para r em intervalos de 0,01 m) 
 
d) Supondo que a superfície da esfera possa trocar calor exclusivamente com um fluido 
de condutividade térmica igual a 0,6 W/m.K, determine o gradiente de temperatura no 
fluidojunto a superfície da esfera. 
0,04r m
dT
dr
=
 
 
 
(R.: -20.000 K/m) 
 
 
17. A superfície exposta (x = 0) de uma parede plana, com condutividade térmica k, está 
sujeita à radiação de microondas, causando um aquecimento volumétrico (semelhante à 
geração interna de calor) que varia segundo: qg = 0. 1
xq
L
 
− 
 
, onde q0 [W/m3] é uma 
constante. A fronteira da placa em x = L está perfeitamente isolada, enquanto a 
superfície exposta é mantida a uma temperatura constante T0. Determine a distribuição 
 33 
de temperatura T(x) em termos de x, L, k, q0 e T0. (R.: 
2 3
0 0
0
.
. .
2 6. 2.
q q Lx xT x T
k L k
 
= − − + + 
 
) 
 
 
 
2.2. CONVECÇÃO 
 
É o processo de transporte de energia pela ação combinada da condução de Q, 
armazenamento de energia e movimento de mistura. Importante principalmente quando 
se tem um fluido interagindo com uma superfície sólida. Para os fluidos (gases e 
líquidos) o principal mecanismo de troca de calor está associado à movimentação de 
partes macroscópicas. Já que em fluidos, a mobilidade das partículas é grande, 
aquecidas pelo contato direto com a superfície sólida tendem a migrar para locais onde 
as T são mais baixas. Esta movimentação acarreta uma transferência de energia de uma 
posição para outra, caracterizando a transmissão de calor por convecção. 
Outra coisa interessante é que à medida que o líquido vai esquentando, começa a 
se movimentar mais rápido. 
Aumenta-se a troca de Q se houver movimento relativo entre um corpo e o 
fluido que o cerca, estando em diferentes T. Este tipo de mecanismo de troca de calor, 
envolvendo contato térmico entre fluido em movimento relativo e uma superfície é 
chamado convecção. 
Quando o movimento do fluido for criado artificialmente, por uma bomba, 
ventilador etc., diz-se que a troca de Q é feita por convecção forçada. (Se não for, se diz 
convecção natural ou livre). 
Em qualquer um destes, o calor trocado por convecção é descrito pela lei de 
resfriamento de Newton: 
 
. . . .( )C s s sq h A T h A T T∞= ∆ = − .... (Eq. 2.9) 
 
Onde, 
 h = coeficiente de troca de calor por convecção, de dimensão 2
. .
J
s L K
 
  
, cuja 
unidade no sistema internacional (S.I.) é 2
.
W
m K
 
  
. 
As = área superficial, ou de contato, entre a peça e o meio ambiente (fluido). 
Ts = temperatura superficial da peça. 
T
∞
= temperatura do meio ambiente (fluido). 
 34 
O conceito de T
∞
 é da temperatura em um ponto longínquo ao objeto de estudo, 
onde considera-se que a temperatura do meio ambiente é constante no tempo. 
O coeficiente h, ou de película ou filme, é função de geometria, orientação, das 
condições superficiais (p.ex.: bola de golfe), características e velocidade do meio 
ambiente. 
A troca de calor é influenciada pela natureza do fluido, por exemplo água, óleo, 
sal etc. 
Usando-se a definição de condutância térmica (KC) e resistência térmica à 
convecção (RC), resulta: 
 
1
. 
 
C C
C
C
K h A e R
K
Tq
R
= =
∆
∴ =
 
 
Nos casos reais, há a mistura dos três modos de troca de calor e a equação acima 
se torna: 
1 2 3
 
... n
Tq
R R R R
∆
=
+ + + +
 
1 2 3
1
onde o termo 
... nR R R R+ + + +
 é usualmente chamado de coeficiente global de 
transmissão de calor, U. . . q U A T∴ = ∆ .... (Eq. 2.10) 
 
Coeficiente global de transferência de calor (U): Artifício facilitador, pois engloba 
todas as resistências e tudo que ocorre no sistema. 
1
.
. .
eq
U
R A
q U A T
=
= ∆
 
 
 
2.2.1 Regimes de escoamento 
 
2.2.1.1 Regime laminar 
 
 Um fluido pode apresentar diferentes comportamentos quanto ao movimento 
relativo entre as suas partículas. Quando elas caminham em camadas que não se 
misturam, o regime de escoamento é dito laminar (por exemplo, apenas no eixo x). A 
elevada viscosidade e a baixa velocidade do fluido são as responsáveis pelo 
estabelecimento e manutenção deste tipo de escoamento. Lembre-se da experiência de 
Osborne Reynolds. 
 35 
 Em uma tubulação, o regime laminar ocorre quando o número de Reynolds é 
menor do que 2.000. Como se observa pela equação 2.11 abaixo, o número de Reynolds 
é proporcional à velocidade do fluido e inversamente à sua viscosidade. Quando a 
velocidade aumenta, as forças de inércia provocam o deslocamento entre as lâminas e o 
regime laminar tende a se desfazer (por exemplo, movimento das partículas em x e y). 
Por outro lado, a viscosidade elevada de um fluido tende a facilitar o regime laminar, 
superando as forças de inércia. 
 
. .Re v Dρ
µ
= ... (Eq. 2.11) 
 
Onde: ρ = massa específica (densidade); µ = viscosidade dinâmica; v = velocidade 
média do fluido na seção de escoamento e D = diâmetro interno da tubulação. 
 
 
 
2.2.1.2 Regime turbulento 
 
 Quando a velocidade aumenta (ou a viscosidade diminui), as forças de inércia do 
movimento tendem a superar as forças viscosas e o regime deixa de ser laminar. 
Inicialmente as camadas se descolam, mas não se verifica uma mistura total entre as 
partículas do fluido. Em seguida, com o aumento da velocidade, verifica-se uma mistura 
total e o regime se torna turbulento (por exemplo, movimento das partículas em x, y e 
z). Em tubulações, este regime verifica-se quando o número de Reynolds supera o valor 
de 2.400. Entre 2.000 e 2.400, verifica-se uma fase intermediária, denominada regime 
transitório. 
 
A forma de escoamento de um fluido interfere diretamente no processo de troca 
de calor por convecção, pois neste caso, a transferência de calor é feita através do 
movimento da massa fluida. 
 
Verificando o escoamento de fluido sobre uma superfície, vê-se que, devido aos 
efeitos viscosos, a velocidade do fluido relativa à superfície é nula, ou seja, o fluido 
adere a superfície. Isto constitui a condição de não deslizamento. Assim, existirá uma 
pequena camada de fluido adjacente à superfície onde o mecanismo de troca de calor é 
condução de Q pura. De maneira mais geral, as regiões onde efeitos viscosos ou de 
 36 
difusão são importantes são chamadas de camadas limite hidrodinâmicas (difusão de 
quantidade de movinento) ou térmicas (difusão térmica). No presente caso, é essa 
película ou filme que controla a troca de calor, controlando assim, o valor de h (por isso 
h às vezes é chamado de coeficiente de filme ou película). 
 A agitação tem como efeito quebrar a estratificação, misturando os pacotes 
quentes com os frios. 
 
2.2.1.3 Camada limite 
 
 Sempre que um fluido se movimenta ao longo de uma superfície sólida, a 
primeira partícula se adere a ela, dando origem a uma força viscosa. Forma-se então 
uma camada de fluido de espessura ε de baixas velocidades, onde se estabelece o 
regime laminar. Dentro desta camada, as velocidades são variáveis, aumentando na 
medida em que o fluido se afasta da superfície. 
 A região que sofre interferência com a presença do corpo sólido, denomina-se 
camada limite, e sua formação deve-se à viscosidade do fluido. Esta propriedade faz 
com que uma partícula fluida em movimento arraste as demais com as quais ela está em 
contato. Este movimento vai se transferindo para as camadas mais distantes, com 
intensidade cada vez menor até se anular. 
 A figura 2.5 representa uma placa plana sobre a qual passa um fluido que se 
aproxima com a velocidade uniforme, v0. O ponto A sobre a placa, define a origem de 
um sistema de coordenadas, tendo como abscissa a velocidade v e como ordenada a 
distância y das camadas mais distantes da origem. 
 
Figura 2.5: Uma placa interagindo com um fluido em movimento. 
 
No ponto A, a velocidade é nula porque a partícula está em contatocom a placa 
e, na medida em que o ponto se afasta da origem, as velocidades aumentam tendendo à 
velocidade de aproximação v0. No ponto B, a velocidade do fluido é 99% de v0, 
podendo-se afirmar, com erro menor ou igual a 1%, que fora desta região a presença da 
placa não interfere no movimento do fluido. 
Uma linha paralela à placa, passando pelo ponto B, separa duas regiões: Uma 
abaixo desta linha, denominada camada limite e outra, acima dela, denominada região 
 37 
de fluido livre, na qual a presença da placa, praticamente não interfere no movimento do 
fluido. A camada limite está representada na figura 2.6. Um fluido pode se movimentar 
de uma forma totalmente irregular, misturando-se as partículas desordenadamente. Este 
tipo de movimento denomina-se regime turbulento, como já foi dito. 
Nas proximidades da placa devido às baixas velocidades, forma-se o regime 
laminar, em que as camadas caminham umas sobre as outras. A espessura da camada 
laminar varia em função da velocidade v0 do fluido que se aproxima da placa, que é a 
mesma da região do fluido livre. 
 
Figura 2.6 Representação esquemática da camada limite de um fluido com 
velocidade v0, interagindo com uma placa. 
 
 Qualquer que seja o regime do fluido que se aproxima com a velocidade v0, 
dentro da camada limite formam-se sempre os dois regimes. A espessura ε do filme 
laminar é variável, de acordo com a velocidade v0. Quando esta velocidade é alta, a 
região turbulenta tende a se expandir, diminuindo a espessura da camada laminar. Esta 
espessura é definitiva na troca de calor por convecção. 
 
 
2.2.2 Escoamento em regime permanente 
 
 Um sistema fluido que interage como o seu meio pode sofrer alterações em todas 
as suas propriedades. No estudo de transmissão de calor, a temperatura é a propriedade 
que mais interessa nesse conceito, pois ela é afetada pelas trocas de calor com o meio. 
 Um sistema funciona em regime permanente em relação à temperatura, quando 
em todos os seus pontos, a temperatura permanece inalterada ao longo do tempo, 
podendo entretanto, variar de um ponto para outro do sistema. Ou seja, quando o objeto 
de estudo não se aquece (calor sensível) ou não muda de fase (calor latente), o regime é 
dito permanente. Isto quer dizer que, se todos os pontos internos ao sistema apresentam 
temperatura constante, também em cada ponto não há variação de energia interna. Não 
havendo variação de energia interna acumulada no sistema, de acordo com a primeira 
lei da Termodinâmica, a quantidade de energia que entra no sistema é igual a que sai, 
durante o mesmo tempo (∆U = zero). 
 38 
 Pode ser dito que: Quando o regime for permanente, o fluxo de calor que entra é 
igual ao que sai e a temperatura interna permanece inalterada em cada ponto, podendo 
variar de um ponto para outro. 
 
 Quando o regime não for permanente se diz que o é regime transiente, nesta 
condição, a temperatura em um mesmo ponto do sistema varia com o tempo, um 
exemplo seria um motor nos segundos decorrentes a sua ignição ou em seu 
desligamento. 
 
 Este tema será tratado no capítulo 5.1 deste livro. 
 
 
 
Modos básicos de transmissão de calor por CONVECÇÃO: 
 
Equação do resfriamento de Newton: . .C cq h A T= ∆ 
 
Figura 2.7: Representação de uma superfície horizontal em uma determinada 
temperatura, trocando calor com um fluido em outra temperatura, caracterizando a 
convecção do calor. 
 
A Resistência à convecção pode ser calculada por: 1
.
C
C
R
h A
= .... (Eq. 2.11) 
Onde, 
Ch = coeficiente médio de troca de calor por convecção 
A = área de troca de calor 
qC = condução de calor por convecção 
 
 
2.2.3 Exercícios 
 
1. A face direita de uma parede plana, de área igual a 35 cm2, com temperatura de 
100°C, está em contato com água em convecção forçada, a 25°C. Determine a taxa de 
calor trocado por convecção. Obs: Utilize o valor médio de h na condição proposta 
consultando o anexo C desta apostila e despreze a radiação. (R.: 3,05 kW) 
 
 39 
2. Uma tubulação de vapor de água, sem isolamento térmico, atravessa uma sala na qual 
o ar e as paredes se encontram a 25°C. O diâmetro externo do tubo é de 70 mm e sua 
temperatura superficial é de 200°C. Despreze a radiação dos corpos. Sendo o 
coeficiente associado à transferência de calor por convecção natural da superfície para o 
ar de 15 2
.
W
m K
, qual é a taxa de calor perdida pela superfície por unidade de 
comprimento do tubo? (R.: 577, 3 W) 
 
 
2.3. RADIAÇÃO 
 
É o processo de transmissão de calor entre dois corpos separados no espaço, 
ainda que exista vácuo entre eles. 
Conhecido como qr (calor radiante) o calor transmitido por radiação. 
Não há necessidade de contato físico, esta forma de energia se assemelha 
fenomenologicamente, com a radiação da luz, diferindo apenas nos comprimentos de 
onda, a transmissão de calor pode ser explicada pelas hipóteses de Planck, na forma de 
quanta (porções discretamente definidas) de energia ou pela teoria de Maxwell (ondas). 
O estudo da radiação é importante, por exemplo, em uma caldeira, além da energia que 
é transmitida do combustível queimado às paredes da caldeira, existe também uma 
parcela de calor radiante. Existem peças que devem ser adicionadas à ela de forma a 
proteger, por exemplo superheaters. 
 Todos os corpos que possuam temperatura absoluta (Tabs) diferente de 0 K 
emitem calor radiante, a qual será uma função do tipo do corpo etc. 
 Para os corpos chamados irradiadores perfeitos, ou corpos negros, esta 
quantidade de calor é feita em uma taxa proporcional à quarta potência da temperatura 
absoluta (Tabs) do corpo: 
 
4
. . .... ( . 2.12)Rq AT Eqσ= 
 
 , onde σ = constante de Stefan-Boltzmann = 4,88.10-8 2 4
. .
kcal
h m K
 
 ou 5,67.10-8 2 4
.
W
m K
. 
 
Note que na equação não há meio. 
 40 
 De um corpo negro para outro, que o envolve completamente, a máxima troca 
possível de calor por radiação é: 
 
4 4
1 1 2. .( ) , 1 é o corpo envolvido e 2 é o corpo que envolve.Rq A T T ondeσ= −
 
A grandeza 
1
Rq
A
é chamada de poder emissivo (E) e tem dimensão 2
W
m
 
  
. Esta 
equação acima só é válida para corpos negros considerados perfeitos. 
Para levar isto em conta, define-se emissividade (ε) que relaciona a radiação da 
superfície real com a ideal. 4 41 1 2 . . .( ) .Rq A T Tε σ∴ = − 
Para se identificar toda a energia radiante que deixa a superfície deve-se 
entender o conceito de energia radiante. Seja a irradiação, G também em 2
W
m
 
  
, já que 
se trata da quantidade de energia por unidade de área em um determinado ponto sobre a 
superfície em questão. A transmissividade (capacidade de transmissão) de um material é 
função da natureza e da espessura. 
A radiação incidente faz aumentar a energia interna do corpo (indicando energia 
absorvida). Escreve-se: 
 
. . . 1
 .
 .
 .
G G G G onde
fração da energia incidente absorvida
fração da energia incidente refletida
fração da energia incidente transmitida
α ρ τ α ρ τ
α
ρ
τ
= + + + + =
=
=
=
 
 
Agora seja a radiosidade, J, como a soma de todos os componentes de radiação 
que deixam a superfície. 
No regime permanente tem-se o equilíbrio entre a energia absorvida e a emitida, 
resultando em T cte. do corpo. 
A emissão de radiação se dá em todas as direções, embora não necessariamente 
de modo uniforme. 
É costume em casos reais aplicar-se o conceito de fator de forma, F1-2. Se duas 
superfícies “se enxergam” elas podem trocar calor, esta é a essência do fator de forma 
ou de vista. Em outras palavras, se alguma parte delas não estiver passível de troca de 
calor,a troca de calor será prejudicada. E assim, fica a equação: 
 
4 4
1 2 1 1 2. . .( )Rq F A T Tσ−= − 
 
Na maior parte dos casos práticos, o Q transmitido por irradiação está em 
conjunto com outras formas de transmissão de Q. Portanto, usa-se a definição de 
condutância térmica (KR – kcal/h.°C) e resistência térmica a irradiação (RR). 
 
 41 
4 4
1 2 1 1 2
1
. . .( )
 
2
1
R
R
R
F A T TK
dTT
dt
R
K
σ
−
−
=
 
− 
 
=
 
 
A equação acima pode ser escrita como: 
 
2
1
 R
R
dTT
dtq
R
 
− 
 
= T2 = qualquer T de referência. 
 
Outra definição importante na irradiação é o coeficiente médio de transmissão de 
calor (irradiado), dado por: 2
. .
R
R
R
Kkcalh
h m C R
 
= 
° 
. 
Para determinar o coeficiente combinado de transmissão de calor, hcomb, deve-se 
adotar: hcomb = hC + hR. Apenas quando a T da vizinhança for igual a T do meio. 
 
 
Modos básicos de transmissão de calor por RADIAÇÃO: 
 
Equação de Stefan-Boltzmann da radiação líquida entre dois corpos: 
 
4 4
1 1 1 2. . .( )Rq A T Tε σ= − .... (Eq. 2.13) 
 
 
Figura 2.8: Calor trocado por radiação entre uma placa e uma vizinhança. 
 
Coeficiente médio de transmissão de calor por radiação: 
4 4
1 2
1 2
. .( )
R
T Th
T T
ε σ −
=
−
 
Resistência à radiação: 1
.
R
R
R
h A
= 
Corpo negros (ideais) possuem emissividade (ε) igual a 1, para os outros corpos este 
valor varia de zero a um. 
 
 
 
 
 42 
2.3.1 Exercícios 
 
1. Uma tubulação de vapor de água, sem isolamento térmico, atravessa uma sala na qual 
o ar e as paredes se encontram a 25°C. O diâmetro externo do tubo é de 70 mm, sua 
temperatura superficial é de 200°C e esta possui emissividade igual a 0,8. Quais são o 
poder emissivo da superfície e sua irradiação? Sendo o coeficiente associado à 
transferência de calor por convecção natural da superfície para o ar de 15 2
.
W
m K
, qual é 
a taxa de calor perdida pela superfície por unidade de comprimento do tubo? (R.: E = 
2270 2
W
m
, G = 447,1 2
W
m
 e QT = 998 W) 
 
 
3. ANALOGIAS ELÉTRICAS 
 
3.1 RESISTÊNCIA TÉRMICA 
 
O conceito de resistência térmica foi apresentado no item 2.1 (parte II) deste 
trabalho. Ao se reposicionar os termos em qualquer uma das equações de transmissão 
de calor, é possível encontrar o que se chama resistência térmica (R). 
A partir deste conceito inicia-se o estudo de isolamentos em cilindros e esferas e 
as analogias com a elétrica. 
 
3.1.1 Raio crítico de isolamento 
 
O conceito de raio crítico de isolamento é útil para calcular a espessura de um 
isolante em cilindros (portanto fios, cabos elétricos etc) e esferas. 
 
 
 
Figura 3.1: À esquerda detalhe da camada de um isolante qualquer. À direita resistência 
térmica (R) do objeto, em função do raio do isolante (r0). 
 
 43 
A respeito do raio crítico, olhando o gráfico da figura 3.1 [Resistência térmica 
(R) - raio externo (r0)], percebe-se como aumentar o raio externo do isolamento faz 
aumentar a resistência à troca de calor por condução (mais material empregado) e faz 
diminuir a resistência à troca por convecção (pois maior será a área de contato com o 
meio). A curva de Resistência TOTAL é a soma das duas e o ponto de inflexão é 
chamado de raio crítico. 
 
 Abaixo é possível ver como se calcula o raio crítico de um cilindro e de uma 
esfera, respectivamente, além de um resumo do gráfico da figura 3.1, portanto: 
0
0
2.
 
 .
 
cilindro esferaisolamento isolamento
crítico crítico
crítico
crítico
k k
r e r
h h
Se r r o calor dissipado DIMINUI
Se r r o calor dissipado é MÁX
∞ ∞
= =
>
=
0
.
 .crítico
IMO
Se r r o calor dissipado AUMENTA<
 
 
Para se calcular a resistência térmica de condução e convecção em cilindros, 
respectivamente, valem as fórmulas: 
0
0
ln
2. . .
1 1
. .2. . .
iIsolante
K
isolante
C
r
r
R
k L
R
h A h r L
pi
pi
 
 
 
=
= =
 
Analogamente, para calcular a resistência térmica de condução e convecção em esferas, 
respectivamente, valem as fórmulas: 
2
4. . . .
1 1
. .4. .
e i
K
e i
C
r rR
k r r
R
h A h r
pi
pi
−
=
= =
 
 
Se o problema pedir a maior troca de calor possível significa que o raio 
externo (r0) é igual ao raio crítico (rc). 
 
 
 
 
 
 44 
3.1.1.1 Exercícios 
 
1. Para cobrir um fio de 10 mm de diâmetro e temperatura externa de 100°C utiliza-se 
um isolante de condutividade térmica de 0,08 W/m.K. Sendo a temperatura do ambiente 
de 30°C e o coeficiente de convecção no valor de 10 W/m2.K, pede-se: 
 
a) O raio crítico (R.: 8 mm). 
b) Sendo instalada uma espessura de isolamento de 8 mm, o que irá ocorrer com o fluxo 
de calor? E se for instalada uma espessura de 2 mm? 
c) Qual o máximo fluxo de calor dissipado por metro de fio? (R.: 23,9 W) 
 
 
 
 
2. Um fio de cobre usado para transporte de energia elétrica (de 3 mm de diâmetro e 5 
m de comprimento) é recoberto com uma camada constante de material plástico, cuja 
condutividade térmica é 0,15 W/m.K. Se o fio isolado é exposto a um ambiente de 30°C 
e coeficiente de troca de calor por convecção é 12 W/m2.K, admitindo regime 
permanente determine: 
 
a) A espessura de isolamento para que a temperatura na interface fio/isolamento seja a 
menor possível (nas condições indicadas) sabendo que a potência a ser dissipada pelo 
fio é de 80 W. (R.: 11 mm) 
 
b) O valor da temperatura na interface fio/isolamento na condição do item a. (R.: 83°C) 
 
 
 
3. Uma esfera de 14 cm de diâmetro contém rejeitos nucleares que, devido ao 
decaimento dos produtos da fissão geram calor (de modo homogêneo) a uma taxa de 
5.104 W/m3. As esferas são envolvidas em Zircaloy (k = 17,3 W/m.K) que possui 
espessura desprezível. Na superfície do Zircaloy é aplicado um isolante com 
condutividade térmica de 2 W/m.K. Sabe-se que as esferas deverão ficar armazenadas 
em um reservatório que contém água a 20°C, e se desenvolve um coeficiente de 
transferência de calor por convecção igual a 50 W/m2.K. Determine: 
 45 
 
a) A espessura do isolante para que se obtenha a máxima taxa de transferência de calor 
(R. 1 cm) 
 
b) A temperatura na interface rejeito/Zircaloy na condição do item (a). (R.: 43°C) 
 
Como simplificação assuma: regime permanente, transferência de calor unidimensional 
e resistência de contato desprezível. 
 
 
 
3.1.2 Analogia elétrica 
 
 É possível usar a analogia elétrica para resolver problemas de transmissão de 
calor quando estes forem unidimensionais, em regime permanente, ausente de fontes 
internas de calor e quando a temperatura inicial e final do circuito forem iguais. 
 
O desenho de resistências térmicas chama-se circuito térmico. 
 
A resolução de exercícios por analogia elétrica se dá através das equações 
abaixo: 
 
O fluxo de calor pode ser calculado como: TQ
R
−∆
=
Σ
 
Resistências em série: 1R
n
eq i iR== Σ 
Resistências em paralelo: 1
1 1
R
n
i
eq iR
=
= Σ 
Onde: 
Q = fluxo de calor. 
∆T = variação de temperatura. 
R = resistência térmica. (Rk = resistência térmica à condução, RC = resistência térmica à 
convecção e RRad = resistência térmica à radiação). 
ΣR = somatória das resistências térmicas. 
Req = resistência térmica equivalente. 
 
Revisando: 
A partir da equação de Fourier para condução, temos que: 
 
. . 
.
k
dT t tq k A q dxdx R
k A
∆ ∆
= − ⇒ = − = − 
 
A partir da equação de resfriamento de Newton para convecção,