Cálculo Vetorial: Funções e Integrais

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CÁLCULO VETORIAL. Aula 1
MSc. Priscila Nunes Brito
Engenheira de Alimentos
ÁREA 1 - 2004. II
pbrito2@area1.edu.br
priscila.docufba@gmail.com
EMENTA
O aluno nesta disciplina terá a oportunidade de desenvolver habilidades em cálculo diferencial e integral aplicando os conceitos básicos de várias variáveis e suas integrais em problemas que envolvam máximos e mínimos. Ele será exposto a problemas do cotidiano da engenharia e exercitará as formas de solucionar os problemas aplicando técnicas de cálculo diferencial e integral em funções vetoriais e técnicas de análise vetorial em campos escalares e vetoriais. Ainda deverá aplicar técnicas para solucionar integrais duplas e triplas de aplicações em coordenadas polares.
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OBJETIVOS
- Aplicar os conceitos básicos de várias variáveis e suas integrais em problemas que envolvam máximos e mínimos.
- Aplicar técnicas de análise vetorial em campos escalares e vetoriais.
- Realizar exercícios de cálculo diferencial e integral em funções vetoriais e suas aplicações na engenharia.
- Aplicar técnicas para solucionar integrais duplas e triplas e aplicações em coordenadas polares
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CONTEÚDO
UNIDADE 1. Função vetorial de uma variável real.
1.1. Definições
1.2. Limite, continuidade e derivada
UNIDADE 2. Curvas no espaço
2.1. Reta tangente e plano normal
2.2. Comprimento de arco, parametrização pelo comprimento do arco
2.3. Fórmulas de Serrat-Fenet
2.4. Plano osculador, retificador e normal
UNIDADE 3. Campos escalares
3.1. Derivada direcional 
3.2. Gradiente
3.3 Conjunto de nível
3.4. Teorema do Valor médio
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CONTEÚDO
UNIDADE 4. Fórmulas de Taylor, máximo e mínimo de funções de várias variáveis
4.1. Máximos e mínimos condicionados
4.2. Multiplicadores de Lagrange
UNIDADE 5. Integral dependente de um parâmetro
5.1. Duplas, triplas e suas aplicações 
5.2. Coordenadas polares
5.3. Cilíndricas e esféricas
UNIDADE 6. Funções do Rn e Rm
6.1. Derivadas parciais vetoriais
6.2. Matriz Jacobiana
6.3. Dependência Funcional
UNIDADE 7. Teoremas da função inversa e implícita
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CONTEÚDO
UNIDADE 8. Campos vetoriais
8.1. Divergente e rotacional curvilíneas
8.2. Fórmula de Green no plano - suas aplicações
UNIDADE 9. Superfícies
9.1. Equações paramétricas
9.2. Valor normal (orientação)
9.3. Plano tangente e reta normal
9.4. Elemento vetorial da área de uma superfície
UNIDADE 10. Integrais de superfície
10.1. Fluxo de uma campo vetorial
 
UNIDADE 11. Teorema de Stocks e Gauss e Teorema de Green no espaço
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BIBLIOGRAFIA BÁSICA
CAROLI, Alesio de; CALLIOLI, Carlos A.; FEITOSA, Miguel O. Matrizes, vetores, geometria analítica: teoria e exercícios. São Paulo: Nobel, 1984.
STEINBRUCH, Alfredo. Geometria analítica. São Paulo: Martins Fontes, 2006.
ANTON, Howard. Cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2007. v. 2.
BIBLIOGRAFIA BÁSICA
LEITHOLD, Louis. o Cálculo Com Geometria Analítica: um. São Paulo: Editor Borsoi, 1994.
GONÇALVES, Miriam Buss; FLEMMING, Diva. Cálculo B. São Paulo: Makron Books, 1999.
SIMMONS, G. F. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Pearson, 2005. v. 2.
THOMAS, G. B. Cálculo. Vol. 1. São Paulo: Addison Wesley, 2002.
STEWART,James. Cálculo Vol.2. São Paulo: Pioneira, 2001.
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Revisão: Vetores 
Noções Vetoriais:
A utilidade e aplicabilidade de vetores em problemas físicos é baseada na geometria Euclidiana. 
 - dois pontos se unem por uma reta
 - todos os ângulos retos são 
 congruentes
 - a adição de dois vetores nem 
 sempre se somam
 - lei de termos de vetores acarreta
 a hipótese que a Lei de Euclides é
 válida.
.
9
.
10
Grandezas físicas:
 Tudo que pode ser medido
 
 - ESCALAR
 caracterizada com o módulo
 - VETORIAL
 módulo, direção e sentido e são representados por elementos de linha orientados no espaço.
.
11
Vetores
É uma grandeza tendo direção, sentido e intensidade!
.
GRANDEZASVETORIAIS
GRANDEZA
SÍMBOLO
UNIDADE
POSIÇÃO
m
DESLOCAMENTO
m
VELOCIDADE
m/s
ACELERAÇÃO
m/s2
FORÇA
N
MOMENTUM
N. kg/s
IMPULSO
N.s
CAMPO ELÉTRICO
V/m
CAMPO MAGNÉTICO
T
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Vetores
VETOR EQUIPOLENTES: mesma direção, módulo e sentido
VETOR OPOSTO: mesma direção e módulo e sentidos contrários
.
13
Vetores
VETOR DIRETAMENTE OPOSTOS: mesma direção, módulo e sentido, mesma reta suporte um apontando para o outro
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OPERAÇÕES
SOMA DE VETORES
F1
F2
F2
F3
F1
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exemplos
Dados os vetores , e representados na figura em que cada quadrícula apresenta um lado correspondente a uma unidade de medida, é correto afirmar que a resultante dos vetores tem módulo
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exemplos
2)
paralelogramo
Produto de número real por um vetor
Produto escalar entre vetores
Produto vetorial entre dois vetores
Decomposição de vetores
exercícios
exercícios
3) Na soma A + B = C, o vetor A tem um módulo de 12 m e ângulo de 40 o no sentido anti-horário em relação ao eixo x positivo e o vetor C tem um módulo de 15 m e um ângulo de 20º no sentido anti-horário em relação ao semi-eixo x negativo. Determine (a) o módulo de B e (b) o ângulo de B em relação ao semi-eixo x positivo.
exercícios
3) Na soma A + B = C, o vetor A tem um módulo de 12 m e ângulo de 40 o no sentido anti-horário em relação ao eixo x positivo e o vetor C tem um módulo de 15 m e um ângulo de 20º no sentido anti-horário em relação ao semi-eixo x negativo. Determine (a) o módulo de B e (b) o ângulo de B em relação ao semi-eixo x positivo.
exercícios
3) Na soma A + B = C, o vetor A tem um módulo de 12 m e ângulo de 40 o no sentido anti-horário em relação ao eixo x positivo e o vetor C tem um módulo de 15 m e um ângulo de 20º no sentido anti-horário em relação ao semi-eixo x negativo. Determine (a) o módulo de B e (b) o ângulo de B em relação ao semi-eixo x positivo.
exercícios
exercícios