Matematica Livro Texto Unidade II

Prévia do material em texto

47
MateMática
Re
vi
sã
o:
 L
ea
nd
ro
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
3/
05
/1
1 
 //
 2
ª R
ev
isã
o 
- 
Am
an
da
 / 
Co
rr
eç
ão
 -
 M
ár
ci
o 
- 
16
/0
5/
11
Unidade II
3 Introdução à álgebra
Para esta unidade, iremos resgatar os conceitos de álgebra. A matemática em geral é abstrata, 
porém a álgebra é um dos ramos da matemática em que mais se exige da capacidade de abstração, 
ou seja, requer que imaginemos coisas que não podemos ver, que não têm correspondência na 
vida prática, mas que formam as estruturas de pensamento com as quais compreendemos o 
mundo em que vivemos. Na unidade anterior, vimos os conceitos de regra de três, por exemplo, 
no qual utilizamos a álgebra intuitivamente. Agora, vamos trabalhar com equações, inequações e 
sistemas de equações, com os quais modelaremos situações aplicando conceitos matemáticos já 
adquiridos.
3.1 resgatando conceitos aritméticos 
Em geral, um dos primeiros contatos que temos na escola com a matemática é feito no momento em 
que nos são apresentados os números. Nesse momento, aprendemos a contar, por exemplo, nossa idade 
ou a quantidade de canetas que temos em nosso estojo. Quando começamos a estudar matemática, 
aprendemos a escrever os números e efetuar operações com eles. A esse contato inicial com os números 
e suas operações, chamamos de aritmética.
 
Exemplo prático:
Jéssica trabalha fazendo doces por encomenda. Seu brigadeiro é o mais famoso de seus produtos, 
pois pesa em média 60 g, o que significa um peso maior que a média, sem contar o sabor, que é 
incomparável. Ela vendeu 50 brigadeiros por R$ 1,50 cada um. Para fazê-los, gastou R$ 12,50 com 
ingredientes (leite condensado, margarina, chocolate em pó, chocolate granulado etc.), R$ 6,30 com gás 
e R$ 2,70 com forminhas. Qual foi seu lucro?
Resolução:
R$ 1,50 x 50 = R$ 75,00 → receita (recebeu)
R$ 12,50 + R$ 6,30 + R$ 2,70 = R$ 21,50 → custo (gastou)
R$ 75,00 - R$ 21,50 = R$ 53,50 → lucro (diferença entre a receita e o custo)
Jéssica lucrou: R$ 53,50.
Esses cálculos efetuados por Jéssica, em matemática, são chamadas de expressões numéricas, que 
nada mais são do que expressões matemáticas que envolvem operações com números.
48
Unidade II
Re
vi
sã
o:
 L
ea
nd
ro
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
3/
05
/1
1 
 //
 2
ª R
ev
isã
o 
- 
Am
an
da
 / 
Co
rr
eç
ão
 -
 M
ár
ci
o 
- 
16
/0
5/
11
3.2 resgatando conceitos geométricos
Outro contato tido com a matemática é feito no momento em que nos são apresentadas as formas. 
Ainda pequenos, começamos a identificar cada uma delas (quadrado, círculo, triângulo, retângulo). Em 
programas de televisão infantis são bem explorados esses conceitos. Quando começamos a estudar 
matemática, em particular a geometria, começamos a resolver problemas sobre medidas. Geometria é 
uma palavra grega que é formada por duas raízes:
 
Metria
(palavra em 
português)
Metron
(palavra em 
grego)
Medida
(significado)
Geo
(palavra em 
português)
Geos
(palavra em 
grego)
Terra
(significado)
Geometria = medida da terra
A geometria estuda as figuras planas e espaciais e suas respectivas propriedades.
 
Exemplo prático:
Um terreno tem um formato retangular com 4,5 metros de frente e 25 metros de fundo. Em todo 
seu redor deseja-se construir uma mureta com 2 metros de largura. Qual será a área total do terreno 
ocupada pela mureta?
25m
4,5m
4,5m
25m2m
2m
29m
8,5m
49
MateMática
Re
vi
sã
o:
 L
ea
nd
ro
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
3/
05
/1
1 
 //
 2
ª R
ev
isã
o 
- 
Am
an
da
 / 
Co
rr
eç
ão
 -
 M
ár
ci
o 
- 
16
/0
5/
11
Resolução geométrica:
Podemos dividir a mureta em 4 retângulos. Sabemos que a área de um retângulo é igual a 
multiplicação do seu comprimento pela sua largura. como dividimos a figura em 4 :
8,5m
2m
25m
25m
4,5m
2m
Analisando a 3ª figura do exemplo, temos 2 retângulos na vertical de medidas 8,5 m por 2 m e, 
calculando sua área, temos:
8,5 m x 2 m = 17 m2
Temos também 2 retângulos na posição horizontal com medidas 25 m por 2 m e calculando sua área 
temos:
25 m x 2 m = 50 m2 
Para sabermos a área total dessa mureta é necessário somar a área dos 4 retângulos:
17 m2 + 17 m2 + 50 m2 + 50 m2 = 134 m2 
 
3.3 álgebra
As equações algébricas constituem a parte da matemática que explora a capacidade de abstrair, 
generalizar. Elas são introduzidas nos estudos escolares, em geral, no 7º ano (antiga 6ª série) do Ensino 
Fundamental, quando nos são apresentados os conceitos de equações, inequações e proporcionalidade 
(regra de três). 
Exemplo prático:
Seu Nelson gastou um quarto do seu salário com alimentação e um terço com despesas da 
casa. Após ter quitado suas contas do mês, sobraram-lhe R$ 380,00. Qual é o salário do senhor 
Nelson?
Esse problema está descrito como um problema cotidiano. Para resolvê-lo precisamos fazer algumas 
adaptações matemáticas:
50
Unidade II
Re
vi
sã
o:
 L
ea
nd
ro
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
3/
05
/1
1 
 //
 2
ª R
ev
isã
o 
- 
Am
an
da
 / 
Co
rr
eç
ão
 -
 M
ár
ci
o 
- 
16
/0
5/
11
1
4
0 25
→
→,
 Um sobre quatro , ou 1 4 0 25÷ = , .
O mesmo fazemos para representar um terço:
1
3
0 33
→
→, ..
 Um sobre três, ou 1 3 0,33...÷ =
Essas representações matemáticas nós já aprendemos fazer, e sabemos também que, após o 
pagamento de todas as contas, sobraram R$ 380,00.
Sendo assim, temos:
1
4
 (alimentação) + 1
3
 (aluguel) + 380 (sobra) = ???
Somente com essas informações não é possível resolver o problema, pois não sabemos o valor do 
salário. É nesse momento que utilizamos um símbolo (uma letra) para representar esse número. Em geral 
utilizamos a letra x, que, nesse caso, assume o papel de uma incógnita. Sendo assim, utilizando a letra x 
para representar o salário, temos:
1
4
1
3
380x x x+ + =
Esse é um modelo matemático que nos possibilita efetuar a resolução. Porém existem algumas 
técnicas e procedimentos que devemos executar para resolvermos:
1
4
1
3
380
3 4
12
380
7
12
380
7 12
12
380
5
12
3
x x x
x x
x
x
x
x x
x
+ + =
+
+ =
− = −
−
= −
−
= − 880
5 380 12
5 4560
4560
5
912
− = −
− = −
=
−
−
=
x
x
x
x
.
51
MateMática
Re
vi
sã
o:
 L
ea
nd
ro
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
3/
05
/1
1 
 //
 2
ª R
ev
isã
o 
- 
Am
an
da
 / 
Co
rr
eç
ão
 -
 M
ár
ci
o 
- 
16
/0
5/
11
 lembrete
Igualdade: em uma sentença matemática, usamos o símbolo = para 
representarmos uma igualdade. 
3.3.1 O x da questão
As literais –a, b, x, y – são utilizadas em matemática para expressar valores que não são conhecidos. 
Essas literais podem assumir três papéis: incógnitas, parâmetros e variáveis. Uma literal é considerada uma 
incógnita quando está substituindo um valor determinado, porém não conhecido. Usualmente, utilizamos 
as letras finais do alfabeto – x, y e z – para expressar incógnitas. Estas aparecem mais frequentemente 
quando queremos expressar uma situação cotidiana utilizando um modelo matemático a fim de possibilitar 
o emprego das técnicas algébricas para resolução do problema e descobrirmos o valor desconhecido. Esse 
valor desconhecido pode ser determinado, seja ele em posse de igualdades ou desigualdades.
 observação
Quando usamos letras para representarvalores desconhecidos em 
uma expressão matemática, essas letras são chamadas de literais. E essas 
expressões matemáticas passam a se chamar expressões algébricas, pois, 
além de números, contêm literais.
As literais assumem o papel de parâmetros, ou números genéricos, quando queremos descrever uma 
estrutura matemática útil em diferentes situações – um modelo –, sendo que, em uma aplicação prática, 
aquele valor será conhecido e predeterminado. Nesse caso, geralmente são utilizadas as letras iniciais 
do alfabeto, a, b, c etc. 
Como exemplo do uso de literais como parâmetros, podemos analisar a forma genérica de uma 
função do 1º grau (conteúdo no qual nos aprofundaremos nas próximas unidades): 
y = ax + b,
onde a e b são utilizados como parâmetros e x e y são as variáveis (como veremos a seguir). Os 
termos a e b significam, na expressão anterior, valores quaisquer que não interferem significativamente 
na resolução do problema. No caso da expressão matemática anterior, para quaisquer valores que 
substituam os parâmetros a e b , a função continuará sendo do 1º grau e todas as propriedades desta 
serão válidas. Por exemplo, a raiz de uma função do 1º grau (valor de x que iguala y a zero) é sempre 
dada por x
b
a
=
−
. Assim, uma função do 1º grau dada por y = 2 x + 4 terá como raiz o valor - 2, pois 
x
b
a
=
−
=
−
= −
4
2
2.
52
Unidade II
Re
vi
sã
o:
 L
ea
nd
ro
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
3/
05
/1
1 
 //
 2
ª R
ev
isã
o 
- 
Am
an
da
 / 
Co
rr
eç
ão
 -
 M
ár
ci
o 
- 
16
/0
5/
11
Dessa forma, usando a e b como parâmetros, podemos escrever uma forma genérica - x
b
a
=
−
 - que 
servirá para qualquer função do 1º grau, independente dos valores de a e b.
O último uso de literais se dá quando representam variáveis e seu uso está relacionado às 
funções matemáticas, tema sobre o qual falaremos na próxima unidade. Nesse caso, é usual 
utilizarmos as letras finais do alfabeto, como x, y e z, sendo que geralmente a letra x é a primeira 
opção escolhida. Dizer que x é a variável da função significa dizer que x pode assumir vários, 
geralmente infinitos, valores, e que para cada valor que x assume a expressão terá um resultado, 
um outro valor associado àquele valor de x. 
Como exemplo, podemos considerar o cálculo do custo de uma compra de pão. Suponha que você 
vá à padaria mais próxima de sua casa para comprar pãezinhos para o café da manhã, e que o preço 
pago depende do peso total dos pãezinhos que você comprar. Se o preço do quilograma do pão for 
R$ 6,00, podemos estabelecer uma relação entre o peso do pão e o valor que você pagará por eles. 
Assim, sendo x o peso dos pãezinhos que você comprará, podemos dizer que o valor a ser pago será 
dado pela expressão: 
y = 6x,
onde y é o valor total a pagar. Dessa forma, x assumirá um valor diferente para cada dia que você 
comprar pão, e mesmo um valor diferente para cada cliente que for àquela padaria. Ou seja, x não tem 
um valor determinado, mas sim variável, e para cada valor de x a variável y também será alterada. Por 
isso dizemos que na expressão y = 6x, y e x são variáveis e não incógnitas ou parâmetros.
Agora, em uma mesma expressão matemática podemos ter as literais funcionando como suas 3 
funções. Vejamos o exemplo da função do 1º grau mostrada acima. A fórmula geral da função do 1º 
grau é: y = ax + b. Como visto, nesse caso, as literais a e b são parâmetros, e devem ser substituídas 
por valores numéricos quando a função for utilizada em uma aplicação específica. Vamos considerar o 
exemplo anterior da compra dos pãezinhos, no qual a expressão utilizada foi y = 6x. Nesse caso, quais 
teriam sido os valores assumidos pelos parâmetros a e b? Não é difícil perceber que utilizamos o valor 
6 para o parâmetro a e 0 para o parâmetro b. Assim, fazendo a = 6 e b = 0, a expressão genérica da 
função do 1º grau y = ax + b torna-se a expressão particular y = 6x, que é a função do 1º grau que 
modela o problema do valor pago na compra dos pãezinhos. Vimos, então, que quando substituímos os 
parâmetros de uma expressão genérica, ela gera outra expressão que é específica para um problema em 
particular. Agora, temos que x e y são as variáveis dessa função, pois x pode assumir infinitos valores (na 
prática não seriam infinitos, mas teoricamente você poderia comprar qualquer quantidade de pão que 
quiser), e y assumirá um valor diferente para cada valor possível de x. Finalmente, se você for à padaria e 
comprar exatamente 0,2 quilogramas (= 200 g) de pão, então, para esse caso particular dessa compra, a 
variável x valerá 0,2, e, no caso específico dessa compra, teremos expressão y = 6 × 0,2, a que chamamos 
de equação matemática. Agora, na equação y = 6 × 0,2, a literal y não é mais chamada de variável, pois 
seu valor é determinado, porém desconhecido. Nesse caso, a literal y está fazendo o papel de incógnita, 
e seu valor pode ser calculado, quando chegamos a y = 1,2. 
53
MateMática
Re
vi
sã
o:
 L
ea
nd
ro
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
3/
05
/1
1 
 //
 2
ª R
ev
isã
o 
- 
Am
an
da
 / 
Co
rr
eç
ão
 -
 M
ár
ci
o 
- 
16
/0
5/
11
Nesse último exemplo, começamos com uma função genérica do 1º grau, y = ax + b, onde tínhamos 
os parâmetros a e b e as variáveis x e y, substituímos os parâmetros por valores específicos do problema 
estudado, chegando à função aplicada y = 6x, que modelava o problema da compra de pães, e onde x 
e y eram variáveis e finalmente utilizamos a função para calcular uma situação específica, chegando à 
expressão y = 6 × 0,2, onde y passou a ser uma incógnita. Assim, pudemos estabelecer a relação entre 
parâmetro, variável e incógnita.
3.4 equações de primeiro grau 
3.4.1 Modelos matemáticos
A matemática, como já vimos, é uma linguagem que serve para expressar ideias racionais, ou seja, 
expressar a forma como o ser humano raciocina. Entretanto, como qualquer outra linguagem, utiliza 
símbolos que não são inatos, símbolos que devem ser aprendidos. Uma vez que aprendamos a fazer essa 
“tradução” da linguagem coloquial para a linguagem matemática, a solução de problemas que às vezes 
nos parecem complicados torna-se, na verdade, bastante simples.
A modelagem matemática ou os modelos matemáticos são exatamente a tradução de problemas 
cotidianos para linguagem matemática com o objetivo de organizar nosso raciocínio e facilitar o estudo 
do problema. Um exemplo disso é o seguinte:
Suponha que você vá a uma loja para comprar uma nova TV de LCD, e o modelo que você gostou 
está custando R$ 2.100,00. Você tenta negociar o preço, e o vendedor lhe oferece 10% de desconto 
para pagamento à vista ou então um parcelamento em 5 vezes “sem juros” de R$ 420,00. Se você tem 
o valor para pagamento à vista aplicado na poupança, que está rendendo, por suposição, 0,6% ao mês, 
o que compensa mais? Tirar todo o dinheiro da poupança e pagar à vista, ou deixar o dinheiro aplicado 
e ir pagando as parcelas?
Sem um método matemático adequado, esse problema torna-se extremamente difícil de ser resolvido. 
Entretanto, se você souber o padrão de cálculo para juros compostos, o problema passa a ser resolvido 
com uma simples fórmula. E uma fórmula matemática é justamente isso: uma forma concisa e universal 
de representar um padrão de comportamento existente em uma dada situação. 
Nesse caso, o padrão de comportamento do cálculo de juros compostos de uma série de pagamentos 
periódicos e iguais, chamado popularmente de parcelamento, é representado por ( )
n1 1 i
V P
i
−
− +
= , onde 
V é o valor presente do investimento, P é o valor do pagamento periódico, i é a taxa de juros considerada 
e n é o período. Utilizando essa fórmula no problema anterior,podemos fazer que P = R$ 410,00, que é 
o valor da parcela, i = 0,6%, que é a taxa de juros oferecida pela poupança e n = 5, pois a TV poderá ser 
paga em cinco parcelas. Dessa forma, chegamos a V = R$ 2.013,61, que é o chamado valor presente do 
parcelamento, ou seja, o valor correspondente se você fosse pagar à vista. O vendedor lhe ofereceu 10% 
de desconto para pagamento à vista, e a TV então ficaria em R$ 1.890,00. Dessa forma, fica muito mais 
fácil perceber que o valor à vista (R$ 1.890,00) é mais vantajoso do que parcelamento (R$ 2.013,61), e 
que, portanto, você deveria tirar o dinheiro da poupança e evitar o parcelamento.
54
Unidade II
Re
vi
sã
o:
 L
ea
nd
ro
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
3/
05
/1
1 
 //
 2
ª R
ev
isã
o 
- 
Am
an
da
 / 
Co
rr
eç
ão
 -
 M
ár
ci
o 
- 
16
/0
5/
11
Embora a modelagem matemática tenha lhe ajudado a resolver o problema da compra da 
TV de LCD, essa talvez não seja sua maior utilidade. A grande vantagem do equacionamento 
matemático é que a fórmula utilizada para resolver essa questão está parametrizada, ou seja, suas 
variáveis estão expressas por literais que podem ser modificadas para resolver quaisquer problemas 
do mesmo tipo, como aplicações financeiras, investimentos, cálculo de juros de financiamento, 
cálculo de prazo para se obter determinado valor e assim por diante. E, além disso, é possível 
trabalhar com simulações por meio da variação dos parâmetros. Você pode facilmente verificar 
hipóteses no caso de alteração na taxa de rendimento da poupança, ou no aumento do prazo de 
parcelamento. E essa é talvez a maior utilidade da construção dos modelos matemáticos: testar 
hipóteses. 
Problema
real
Modelo
matemático
Experimento Hipótese
Abstração
Modificação
Validação
Solução Resolução
A modelagem matemática não serve apenas para problemas tipicamente numéricos. Suas aplicações 
englobam planejamentos de urbanização, mapeamento e distribuição de força policial, desenvolvimento 
de políticas eficazes de educação básica, saneamento público e outras infinitas situações. 
Um livro que dá alguns exemplos da utilidade da modelagem matemática é Freakonomics, de Steven 
Levitt, que explora situações comuns sob a ótica de um economista que se utiliza da matemática para 
discutir temas politicamente incorretos.
 Saiba mais
Para apliar sua compreensão em relação à modelagem matemática, visite 
os sites:
<http://www6.ufrgs.br/espmat/disciplinas/funcoes_modelagem/
modulo_I/modelagem_barbosa.pdf>.
<http://dionisioburak.com.br/I%20EPMEM.pdf>.
3.4.2 Modelagem: primeiros passos
A modelagem matemática é um tema vastíssimo e um estudo completo de seus métodos e aplicações 
certamente daria, sozinho, um curso universitário. Nosso foco aqui é relembrar seus tópicos iniciais, 
estabelecendo uma base inicial para estudos futuros. 
55
MateMática
Re
vi
sã
o:
 L
ea
nd
ro
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
3/
05
/1
1 
 //
 2
ª R
ev
isã
o 
- 
Am
an
da
 / 
Co
rr
eç
ão
 -
 M
ár
ci
o 
- 
16
/0
5/
11
Vamos trabalhar inicialmente a “tradução” de frases da língua portuguesa para equações da 
linguagem matemática. Observe a seguinte tabela:
Expressão Equação
Um número x
O dobro de um número 2x
O triplo de um número 3x
Um número mais dois x + 2
Um número menos três x - 3
A metade de um número
x
2
A quinta parte de um número
x
5
Dois quintos de um número
2
x
5
Outro número y
A soma de dois números x + y
A diferença entre dois números x - y
O produto de dois números x × y
Um número excede o outro em 5 x = y + 5
Um número mais sua metade é igual a 7
x
x 7
2
+ =
O dobro de um número o excede em 3 2x = x + 3
Um número é cinco vezes maior do que a metade do outro
y
x 5
2
= ×
O quadrado de um número 2x
A quinta parte do cubo de um número é igual ao número mais um
3x
x 1
5
= +
3.4.3 Resolvendo equações
Os passos para a resolução de um problema não são complicados, uma vez que tenhamos feito 
a tradução do português para o “matematiquês”. Essa solução obedece às regras das operações 
matemáticas que aprendemos durante o Ensino Fundamental. O objetivo final é chegar ao valor da 
incógnita desconhecida, ou seja, o valor do x. Assim, temos que trabalhar matematicamente a equação 
para chegar a uma que tenha o x de um lado e um valor do outro (x = 2, x = 17, x = 0). Para chegar a 
essa equação, o que temos que fazer é eliminar, por meio de operações matematicamente válidas, tudo 
o que estiver agrupado ao x. Veja o seguinte exemplo:
Equação Comentário
3 × x + 5 = 11 Temos que eliminar o 5 que está somado ao x , subtraindo 5.
3 × x + 5 -5 = 11 - 5 Para manter a igualdade, temos que subtrair 5 dos dois lados da igualdade.
56
Unidade II
Re
vi
sã
o:
 L
ea
nd
ro
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
3/
05
/1
1 
 //
 2
ª R
ev
isã
o 
- 
Am
an
da
 / 
Co
rr
eç
ão
 -
 M
ár
ci
o 
- 
16
/0
5/
11
3 × x + 0 = 6 Somar 0 não altera o valor, então podemos eliminá-lo.
3 × x = 6 Agora só falta eliminar o 3 e fazemos isso multiplicando por 
1
3
.
1 1
3 x 6
3 3
× × = × Não esqueça nunca de fazer a mesma operação dos dois lados da igualdade 
justamente para preservá-la.
1 × x = 2 Qualquer número multiplicado por 1 é ele mesmo.
x = 2 Temos aí a equação final que nos dá a resposta procurada.
Existem ainda algumas operações que não são triviais e as relacionamos abaixo.
Tipo de equação Exemplo Solução
Fracionárias
x 2
8
5 3
+ = Ache o MMC e elimine o denominador.
Racionais x 2 5+ = Eleve os dois lados ao quadrado; depois teste as soluções encontradas.
Exponenciais x2 8= Coloque todos na mesma base.
Quadráticas 2x 3x 8+ = Utilize a fórmula de Bhaskara.
É interessante notar ainda que todas essas equações matemáticas têm, além da solução algébrica, 
uma solução geométrica e, portanto, podem ser resolvidas utilizando-se programas de construção de 
gráficos de funções. Um ótimo programa para isso é o Winplot, que pode ser baixado gratuitamente da 
internet.
exemplos de aplicação
1. O triplo de um número, mais dois, é igual ao próprio número menos quatro. Qual é o número?
Resolução:
Modelando matematicamente, temos:
3x 2 x 4
3x x 4 2
2x 6
6
x
2
x 3
+ = −
− = − −
= −
= −
= −
2. O quádruplo de um número, menos 10, é igual ao dobro desse número, mais 55. Qual é esse 
número?
57
MateMática
Re
vi
sã
o:
 L
ea
nd
ro
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
3/
05
/1
1 
 //
 2
ª R
ev
isã
o 
- 
Am
an
da
 / 
Co
rr
eç
ão
 -
 M
ár
ci
o 
- 
16
/0
5/
11
Resolução:
Modelando matematicamente, temos:
 
4x 10 2x 55
4x 2x 55 10
2x 65
65
x
2
− = +
− = +
=
=
3. A diferença entre um número e sua quinta parte é igual a 32. Qual é esse número?
Resolução:
Modelando matematicamente, temos:
x
x 32
5
5x x
32
5
4x
32
5
4x 32 5
4x 160
160
x
4
x 40
− =
−
=
=
= ×
=
=
=
4. O triplo de um número é igual a sua metade mais 10. Qual é esse número?
Resolução:
Modelando matematicamente, temos:
x
3x 10
2
x
3x 10
2
6x x
10
2
5x
10
2
5x 10 2
5x 20
20
x
5
x 4
= +
− =
−
=
=
= ×
=
=
=
58
Unidade II
Re
vi
sã
o:
 L
ea
nd
ro
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
3/
05
/1
1 
 //
 2
ª R
ev
isã
o 
- 
Am
an
da
 / 
Co
rr
eç
ão
 -
 M
ár
ci
o 
- 
16
/0
5/
11
x
3x 10
2
x
3x10
2
6x x
10
2
5x
10
2
5x 10 2
5x 20
20
x
5
x 4
= +
− =
−
=
=
= ×
=
=
=
5. A metade dos objetos de uma caixa, mais a terça parte desses objetos, é igual a 25. Quantos 
objetos há na caixa?
Resolução:
Modelando matematicamente, temos:
x x
25
2 3
3x 2x
25
6
5x
25
6
5x 25 6
5x 150
150
x
5
x 30
+ =
+
=
=
= ×
=
=
= 
3.5 Inequações
Desigualdade: em uma sentença matemática em que usamos o símbolo ≠ (diferente de) representamos 
uma desigualdade, ou seja, se a ≠ b ⇒ a > b ou a < b.
A ideia de inequação é bem semelhante à de equação, ou seja, inequação é uma sentença matemática 
que contém uma ou mais incógnitas e que representa uma desigualdade. 
Exemplo:
4x < 12 → é considerada uma inequação, pois possui um sinal de desigualdade < (menor que) e 
uma incógnita (x).
62 + 1 < 72 → não é considerada inequação, ainda que possua um sinal de desigualdade < (menor 
que), pois não possui incógnitas.
59
MateMática
Re
vi
sã
o:
 L
ea
nd
ro
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
3/
05
/1
1 
 //
 2
ª R
ev
isã
o 
- 
Am
an
da
 / 
Co
rr
eç
ão
 -
 M
ár
ci
o 
- 
16
/0
5/
11
Entretanto, enquanto que para uma equação a solução do problema (o valor de x que torna a 
expressão matemática verdadeira) é geralmente única, nas inequações é comum que existam infinitas 
soluções, ou seja, infinitos números que tornam a inequação verdadeira. 
 
Tome, por exemplo, a equação x + 2 = 5. Existe um único valor de x que torna a expressão verdadeira, 
que é x = 3. Para qualquer outro valor de x, por exemplo, x = 1, a expressão fica incorreta, ou, em 
linguagem matemática, a expressão torna-se falsa. Portanto, para uma equação, em geral, há somente 
uma única solução. 
 observação
Na verdade, a quantidade de soluções de uma equação depende de 
vários fatores, incluindo o grau da variável. Mas como as equações estudadas 
aqui são todas lineares, então vale a afirmação de que a solução é única.
Agora veja o que acontece com uma inequação semelhante, como x + 2 ≠ 5. Quantas são as soluções 
para essa inequação? Quais os valores de x que tornam a expressão verdadeira? Se você fizer x = 4, a 
expressão é verdadeira, pois 4 + 2 = 6, e 6 ≠ 5. Porém, se você fizer x = 2, teremos 2 + 2 = 4, e 4 ≠ 
5, e assim x = 2 também é solução do problema. Na verdade, para qualquer valor de x diferente de 3 
a expressão é verdadeira. Então, não temos apenas uma solução para essa inequação, mas sim uma 
quantidade infinita de valores que compõem o conjunto solução do problema. Portanto, escrevemos a 
solução como sendo: { }S x / x 3= ∈ ≠� , querendo dizer que qualquer valor real de x diferente de 3 é 
solução para a inequação.
3.6 resolvendo inequações
Assim, como a solução de uma equação não é complicada, a resolução de uma inequação também 
não é. Os processos utilizados para se encontrar o valor da incógnita são praticamente os mesmos, 
porém, quando uma inequação envolve os sinais de maior que (>) ou menor que (<), devemos tomar 
alguns cuidados especiais. Veja a situação a seguir:
A igualdade matemática 1 +1 = 2 é claramente verdadeira. Se você multiplicar toda a expressão 
(ambos os lados) por um número positivo, por exemplo, 5, você terá a igualdade 5 + 5 = 10, que 
continua sendo verdadeira. Se você multiplicar a expressão por um número negativo, por exemplo, -2, a 
expressão fica (-2) + (-2) = -4, que também é verdadeira, ou seja, ela preserva a igualdade. Agora vamos 
ver o que acontece com uma inequação.
 lembrete
A multiplicação de uma igualdade por qualquer número não nulo 
preserva a igualdade.
60
Unidade II
Re
vi
sã
o:
 L
ea
nd
ro
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
3/
05
/1
1 
 //
 2
ª R
ev
isã
o 
- 
Am
an
da
 / 
Co
rr
eç
ão
 -
 M
ár
ci
o 
- 
16
/0
5/
11
A expressão 1 < 2 é verdadeira, pois efetivamente 1 é menor do que 2. Se multiplicarmos toda a 
expressão por um número positivo, 5, a expressão fica: 5 < 10, que continua sendo verdadeira. Porém, se 
multiplicarmos a expressão por um número negativo, usando o -2, como no exemplo acima, teremos a 
expressão -2 < -4. Porém, essa expressão é falsa, pois -2 é maior que -4. Então, toda vez que multiplicamos 
uma desigualdade por um número negativo temos que inverter o sentido da desigualdade, ou seja, se a 
expressão for menor que (<), devemos mudá-la para maior que (>), e vice-versa. Assim, a expressão acima 
deveria ficar: -2 < -4, pois substituímos o menor que pelo maior que, e a expressão fica correta.
 lembrete
Quando uma desigualdade é multiplicada por um número negativo, 
devemos inverter o sentido da desigualdade.
Outra situação na qual devemos ter uma atenção extra é quando invertemos os membros da 
desigualdade. Em uma equação podemos mudar da expressão 4 = x + 2 para x + 2 =4 e a expressão 
continua correta. Dizemos, então, que a igualdade é uma relação simétrica, pois se x = y, então 
y = x. Porém, as inequações do tipo maior que ou menor que são relações do tipo antissimétricas 
e, nesse caso, temos que se x < y, então y > x, o que é bem fácil de entender quando utilizamos 
números. 
Sabemos que 2 < 3 é uma expressão verdadeira, porém, se você simplesmente inverter os números, 
3 < 2, a expressão fica falsa. O correto é também invertermos a desigualdade, fazendo 3 < 2. Embora 
isso seja muito fácil de entender quando usamos números, é muito comum cometer esse erro quando 
trabalhamos com expressões. Então, não podemos esquecer que se tivermos uma inequação como 
4 < x + 2, se invertemos os termos da inequação, temos que também inverter o operador, fazendo 
x + 2 > 4. 
 lembrete
Na inversão dos termos de uma inequação devemos também inverter o 
sentido da desigualdade.
Veja o seguinte exemplo:
Inequação Comentário
11 3x 5< + Temos que eliminar o 5 subtraindo 5.
11 5 3x 5 5− < + − Para manter a desigualdade, temos que subtrair 5 dos dois lados da desigualdade.
6 3x 0< + Somar 0 não altera o valor, então podemos eliminá-lo.
6 3x< Agora só falta eliminar o 3 e fazemos isso multiplicando por 
1
3
.
61
MateMática
Re
vi
sã
o:
 L
ea
nd
ro
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
3/
05
/1
1 
 //
 2
ª R
ev
isã
o 
- 
Am
an
da
 / 
Co
rr
eç
ão
 -
 M
ár
ci
o 
- 
16
/0
5/
11
1 1
6 3 x
3 3
× < × × Não esqueça nunca de fazer a mesma operação dos dois lados da desigualdade 
justamente para preservá-la.
2 1 x< × Qualquer número multiplicado por 1 é ele mesmo.
2 x< Temos aí a inequação final que nos dá a resposta procurada. Agora vamos inverter o 
sentido da desigualdade.
x 2> Na inversão dos termos de uma inequação devemos também inverter o sentido da 
desigualdade.
exemplos de aplicação 
1. Uma caixa d´água, quando totalmente cheia, pode conter x litros de água. Se retirarmos 30 litros 
de água, a quantidade que resta é maior que 1
4
 da capacidade total desse reservatório. Quais são os 
valores possíveis que podem representar a capacidade total dessa caixa d´água?
Resolução:
Modelando matematicamente, temos:
1
x 30 x
4
1
x x 30
4
4x x
30
4
3x
30
4
3x 30 4
3x 120
120
x
3
x 40
− >
− >
−
>
>
> ×
>
>
>
2. Um retângulo possui 15 cm de largura, enquanto um quadrado possui 15 cm de lado. Quais os 
valores que o comprimento do retângulo pode assumir para que o perímetro desse retângulo seja maior 
que o perímetro do quadrado?
Resolução:
Sabemos que o perímetro de uma figura plana é a soma de todos os seus lados, então podemos 
modelar essa situação matematicamente da seguinte forma:
62
Unidade II
Re
visã
o:
 L
ea
nd
ro
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
3/
05
/1
1 
 //
 2
ª R
ev
isã
o 
- 
Am
an
da
 / 
Co
rr
eç
ão
 -
 M
ár
ci
o 
- 
16
/0
5/
11
2 15 2 x 4 x
30 2x 4x
2x 4x 30
2x 30 ( -1)
2x<30
30
x<
2
x 15
× + × > ×
+ >
− > −
− > − ×
<
3. Dada a seguinte inequação: 
3(2x 1) 2x 1 10(x 2) 6x 1
2 6 3 2
+ + + −
− > − , determine o conjunto solução, 
sabendo que U =� .
Resolução:
Primeiro aplicaremos a propriedade distributiva na inequação:
3(2x 1) 2x 1 10(x 2) 6x 1
2 6 3 2
6x 3 2x 1 10x 20 6x 1
2 6 3 2
18x 9 2x 1 20x 40 18x 3
6 6
16x 8 2x 43
6 6
14x 43 8
6 6
14x 35
6 6
35 6
14x
6
14x 35
35
x
14
5
x
2
+ + + −
− > −
+ + + −
− > −
+ − − + − +
>
+ +
>
−
>
>
×
>
>
>
>
4. A solução da inequação: 2x - 7 < 5x + 8 é:
Resolução:
63
MateMática
Re
vi
sã
o:
 L
ea
nd
ro
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
3/
05
/1
1 
 //
 2
ª R
ev
isã
o 
- 
Am
an
da
 / 
Co
rr
eç
ão
 -
 M
ár
ci
o 
- 
16
/0
5/
11
Agrupando os termos semelhantes, temos:
2x 7 5x 8
2x 5x 8 7
3x 15 ( -1)
3x 15
15
x
3
x 5
− < +
− < +
− < ×
> −
> −
> − 
5. Dados os seguintes números -1, 1, 2, 3 e 4, quantos são soluções da inequação 
x
4x 2 2
4
− > + :
Resolução:
Resolvendo a inequação, temos:
 
x
4x 2 2
4
x
4x 2 2
4
16x x
4
4
15x
4
4
15x 4 4
15x 16
16
x
15
− > +
− > +
−
>
>
> ×
>
>
x deve ser um número maior que 
16
15
, ou seja, se efetuarmos essa divisão, obteremos 1,06666666, 
um número maior que 1. O problema nos dá o seguinte conjunto de números: {–1; 1; 2; 3; e 4}, então 
os valores que satisfazem essa inequação são: {2; 3; e 4}.
4 SIStemaS de equaçõeS lIneareS 
Muitas vezes o problema que estudamos não tem somente uma variável; aliás, a grande maioria 
dos problemas reais têm muitas variáveis. Esse tipo de problema que contém mais de uma variável não 
é resolvido por meio de uma equação, mas sim de muitas equações que traduzem as relações entre 
essas variáveis. A esse conjunto de equações de um modelo matemático damos o nome de sistema 
de equações e, se, nessas equações, houver somente as operações básicas de adição e multiplicação, 
teremos, então, um sistema de equações lineares.
64
Unidade II
Re
vi
sã
o:
 L
ea
nd
ro
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
3/
05
/1
1 
 //
 2
ª R
ev
isã
o 
- 
Am
an
da
 / 
Co
rr
eç
ão
 -
 M
ár
ci
o 
- 
16
/0
5/
11
Um sistema de equações lineares é um conjunto de n equações independentes com m incógnitas. 
Nesse caso, temos duas possibilidades:
• n > m: o sistema será possível e determinado (existe uma única solução) ou impossível;
• n m< : o sistema será possível e indeterminado (existem infinitas soluções) ou impossível.
Um sistema é considerado impossível se existem duas equações conflitantes. Por exemplo:
x y 2
x y 3
+ =
+ =
Não há dois números que somados resultem em 2 e 3 ao mesmo tempo. Esse tipo de sistema é 
impossível, não há solução para ele. Ao contrário do que possa parecer à primeira vista, esse tipo de 
sistemas nem sempre é inútil. Quando, durante o equacionamento de um problema, chegamos a esse 
tipo de sistema, muitas vezes ele nos indicará que não existe a solução que procuramos, ou seja, a nossa 
hipótese é incorreta. 
Os sistemas possíveis e indeterminados são aqueles nos quais há infinitas soluções para os problemas. 
Exemplo:
{x + y = 2
Nesse sistema, os valores x = 1 e y = 1 são solução para a equação. Entretanto, se escolhermos 
x = 0 e y = 2, também resolvemos o sistema. Assim como x = -1 e y = 3 e, claro, uma infinidade de 
outros valores. Ou seja, existem soluções para o problema, só que existem infinitas soluções e nenhuma 
delas é melhor do que a outra. Assim, dizemos que esse sistema é possível, mas indeterminado, pois 
não existe uma única resposta possível. Esse tipo de sistema também nos fornece uma informação 
importante: em situações de modelagem matemática nas quais surgem os sistemas possíveis e 
indeterminados, é muito provável que não estejamos trabalhando com todas as variáveis existentes 
no problema, ou então que nos esquecemos de incluir alguma relação entre duas variáveis que é 
importante para a representação do sistema real.
4.1 resolvendo um sistema possível e determinado
Os sistemas de equações lineares foram estudados por muitos matemáticos em diferentes épocas 
da história humana, pois dizem respeito a situações extremamente comuns em muitas áreas do 
conhecimento humano e, por isso, existem muitas formas de resolver os problemas que eles trazem. 
Estudaremos aqui duas dessas formas.
4.1.1 Substituição de variável 
Nesse caso, obtém-se de uma das equações o valor de uma variável em função da outra, e substitui-
se o valor na outra equação, para que tenhamos, então, uma equação com uma única incógnita.
65
MateMática
Re
vi
sã
o:
 L
ea
nd
ro
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
3/
05
/1
1 
 //
 2
ª R
ev
isã
o 
- 
Am
an
da
 / 
Co
rr
eç
ão
 -
 M
ár
ci
o 
- 
16
/0
5/
11
Exemplo: 
Seja o seguinte sistema:
 x y 3 equação I
x y 1 equação II
+ = →
− = →
Da equação I temos que:
{x y 3+ =
{x 3 y equação III= − →
Substituindo o valor de x, encontrado na equação III, na equação II temos:
x y 1
(3 y) y 1
3 2y 1
2y 1 3
2y 2
y 1
− =
− − =
− =
− = −
− = −
=
Agora que temos o valor de y, voltamos à equação III:
x 3 y
x 3 1
x 2
= −
= −
=
 
Assim, x = 2 e y = 1 é a solução do sistema proposto.
4.1.2 Método da adição
Outro método que pode ser utilizado para a resolução de um sistema de equação é o método da 
adição.
 lembrete
Esse método também pode ser chamado de método da comparação.
O objetivo do método da adição é cancelar uma das incógnitas envolvidas no sistema. O 
cancelamento ocorre por meio da adição de uma equação com a outra.
66
Unidade II
Re
vi
sã
o:
 L
ea
nd
ro
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
3/
05
/1
1 
 //
 2
ª R
ev
isã
o 
- 
Am
an
da
 / 
Co
rr
eç
ão
 -
 M
ár
ci
o 
- 
16
/0
5/
11
Por exemplo: 
x y 3 equação I
x y 1 equação II
+ = →
− = →
Vamos somar os termos da equação:
 x y 3
x y 1
2x 0y 4
+ =
+
− = + =
Agora, temos somente uma equação e uma variável e as resolvemos facilmente.
2 0 4
2 4
4
2
2
x y
x
x
x
+ =
=
=
=
Com o valor de x, escolhemos uma das equações iniciais para achar o valor de y. Escolhendo a 
equação I, temos:
x y 3
2 y 3
y 3 2
y 1
+ =
+ =
= −
=
E encontramos os valores x = 2 e y = 1.
Para se utilizar o método da adição, nem sempre é possível cancelar uma das variáveis trivialmente. 
Quando isso ocorre, utilizamos a noção de equivalência de equações, buscando multiplicar, dividir, 
adicionar ou subtrair de forma que uma das incógnitas seja cancelada para a obtenção do valor da 
outra.
Por exemplo: 
3x y 9 equação I
x 2y 4 equação II
− = − →
+ = →
67
MateMática
Re
vi
sã
o:
 L
ea
nd
ro
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
3/
05
/1
1 
 //
 2
ª R
ev
isã
o 
- 
Am
an
da
 / 
Co
rr
eç
ão
 -
 M
ár
ci
o 
- 
16
/0
5/
11
Para cancelarmos a incógnita x, precisamos multiplicar a equação II por -3:
x+2y=4 → x (–3)
–3x –6y= –12
Agora, podemos somaras duas equações do sistema:
3x y 9
3x 6y 12
0x 7y 21
− = −
+
− − = −
− = −
Agora, temos somente uma equação e uma variável e as resolvemos facilmente.
7y 21
21
y
7
y 3
− = −
−
=
−
=
Com o valor de y, escolhemos uma das equações iniciais para achar o valor de x. Escolhendo a 
equação I, temos:
3x y 9
3x 3 9
3x 9 3
6
x
3
x 2
− = −
− = −
= − +
−
=
= −
Ou, escolhendo a equação II, temos:
x 2y 4
x 2.3 4
x 6 4
x 4 6
x 2
+ =
+ =
+ =
= −
= −
E encontramos os valores x = -2 e y = 3.
68
Unidade II
Re
vi
sã
o:
 L
ea
nd
ro
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
3/
05
/1
1 
 //
 2
ª R
ev
isã
o 
- 
Am
an
da
 / 
Co
rr
eç
ão
 -
 M
ár
ci
o 
- 
16
/0
5/
11
 observação
Caso queira cancelar a incógnita y, multiplique a equação I por 2 ou 
1
2
. 
Faça o teste e verificará que os valores para x e y serão os mesmos.
4.1.3 Outros métodos 
Como já dito anteriormente, existem outros métodos para resolução de sistemas. Dois outros métodos 
que valem a pena ser citados são os determinantes de Laplace e o método geométrico. Fica aqui a sugestão de 
pesquisa desses dois métodos, que certamente lhe darão uma visão mais ampla do assunto.
-1 1 2 3 4 5
x - y = 1
x + y = 3
(2,1)
y
x
3
2
1
-1
-2
Método geométrico: traçam-se os gráficos das equações e a solução é seu ponto de intersecção.
exemplos de aplicação
1. A soma das idades de duas pessoas é igual a 40 anos. A idade de uma delas é 3/5 da idade da outra. 
Qual a idade de cada uma delas?
Resolução:
Modelando o problema, temos:
x y equacao I
x y equacao II
+ = →
= →



40
3
5
çã
çã
Utilizaremos o método da substituição. 
Substituindo II em I, temos:
69
MateMática
Re
vi
sã
o:
 L
ea
nd
ro
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
3/
05
/1
1 
 //
 2
ª R
ev
isã
o 
- 
Am
an
da
 / 
Co
rr
eç
ão
 -
 M
ár
ci
o 
- 
16
/0
5/
11
3
y y 40
5
3y 5y
40
5
8y
40
5
8y 5 40
8y 200
200
y
8
y 25
+ =
+
=
=
= ×
=
=
=
Achamos o valor de y. Para descobrirmos o valor de x, basta substituir y em qualquer uma das 2 
equações.
Substituindo y em l, temos:
x + 25 = 40 x
x = 40 - 25
x = 15
2. Uma empresa A tem 5 anos a mais de mercado que uma empresa B. A soma da idade de ambas é 
igual a 39 anos. Qual é a idade de cada uma?
Resolução:
Modelando o problema, temos:
A B equacao I
A B equacao II
= + →
+ = →

5
39
çã
çã
Se organizarmos o sistema colocando as incógnitas do lado esquerdo da igualdade, temos:
A B equacao I
A B equacao II
− = →
+ = →

5
39
çã
çã
Utilizando o método da adição, temos:
A B 5
A B 39
2A 0B 44
− =
+ =
+ =
70
Unidade II
Re
vi
sã
o:
 L
ea
nd
ro
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
3/
05
/1
1 
 //
 2
ª R
ev
isã
o 
- 
Am
an
da
 / 
Co
rr
eç
ão
 -
 M
ár
ci
o 
- 
16
/0
5/
11
Achamos o valor de A. Para descobrirmos o valor de B, basta substituir A em qualquer uma das 2 equações.
Substituindo A em II, temos:
22 B 39
B 39 22
B 17
+ =
= −
=
3. Dois sócios de uma determinada indústria têm juntos US$ 3.500.000,00. Um dos sócios tem 
US$ 600.000,00 a mais que o outro. Quanto tem cada um?
Resolução:
Modelando o problema, temos:
x y equacao I
x y equacao II
+ = →
= + →

3500 000 00
600 000 00
. ,
. ,
çã
çã
Se organizarmos o sistema colocando as incógnitas do lado esquerdo da igualdade, temos:
x y equacao I
x y equacao II
+ = →
− = →

3500 000 00
600 000 00
. ,
. ,
çã
çã
Utilizando o método da adição, temos:
x y 3.500.000,00
x y 600.000,00
2x 0y 4.100.000,00
2x 4.100.000,00
4.100.000,00
x
2
x 2.050.000,00
+ =
− =
+ =
=
=
=
Achamos o valor de x. Para descobrirmos o valor de y, basta substituir x em qualquer uma das 2 equações.
Substituindo x em l, temos:
x y 3500.000,00
2.050.000,00 y 3500.000,00
y 3.500.000,00 2.050.000,00
y 1.450.000,00
+ =
+ =
= −
=
71
MateMática
Re
vi
sã
o:
 L
ea
nd
ro
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
3/
05
/1
1 
 //
 2
ª R
ev
isã
o 
- 
Am
an
da
 / 
Co
rr
eç
ão
 -
 M
ár
ci
o 
- 
16
/0
5/
11
4. Um sócio A tem R$ 200.000,00 a mais que o sócio B e um sócio C tem R$ 140.000,00 a menos que 
o sócio B. Os três sócios juntos possuem R$1.560.000,00. Quanto tem cada um dos sócios?
Resolução:
Esse sistema é um pouco diferente do que estivemos resolvendo até aqui, pois possui três variáveis. 
Porém, o método de resolução é igual para o sistema de duas variáveis. Modelando o problema, temos:
A B equacao I
B C equacao II
A B C
= + →
= + →
+ + =
200 000 00
140 000 00
1560
. ,
. ,
.0000 00, →


 equacao III
çã
çã
çã
Utilizaremos o método da substituição. Substituindo I e II em III, temos:
 200.000,00 140.000,00 C 140.000,00 C C 1560.000,00
480.000,00 3C 1560.000,00
3C 1560.000,00 480.000,00
3C 1080.000,00
1080.000,00
C
3
C 360.000,00
+ + + + + =
+ =
= −
=
=
=
Achamos o valor de C. Para descobrirmos o valor de B, basta substituir C em equação II e temos:
B 140.000,00 360.000,00
B 500.000,00
= +
=
Achamos o valor de B. Para descobrirmos o valor de A, basta substituir B em equação I e temos:
A 200.000,00 500.000,00
A 700.000,00
= +
=
5. Uma empresa possui uma sala retangular, reservada para negociações e dinâmicas de grupo, com 26 m 
de perímetro. Quais são suas dimensões, sabendo-se que o comprimento tem 3 m a mais que a largura?
Resolução:
Sendo o perímetro de uma figura plana, a soma de todos os lados é:
x comprimento
y largura
=
=
72
Unidade II
Re
vi
sã
o:
 L
ea
nd
ro
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
3/
05
/1
1 
 //
 2
ª R
ev
isã
o 
- 
Am
an
da
 / 
Co
rr
eç
ão
 -
 M
ár
ci
o 
- 
16
/0
5/
11
2 2 26
3
x y equacao I
x y equacao II
+ = →
= + →
 çã
çã
Utilizaremos o método da substituição. Substituindo II em I, temos:
 2(y 3) 2y 26
2y 6 2y 26
4y 26 6
4y 20
20
y
4
y 5
+ + =
+ + =
= −
=
=
=
Achamos o valor de y. Para descobrirmos o valor de x, basta substituir y em qualquer uma das 2 equações.
Substituindo y em II, temos:
x 5 3
x 8
= +
=
4.2 Produtos notáveis e fatoração 
4.2.1 Produtos notáveis 
Na matemática existem alguns produtos (multiplicações) que aparecem com bastante frequência e, 
por esse motivo, eles recebem o nome de produtos notáveis. Os produtos notáveis, quando identificados, 
facilitam a resolução de expressões algébricas, porém, eles não são imprescindíveis para a matemática.
A seguir iremos apresentar os mais utilizados.
4.2.2 Quadrado da soma de dois termos
73
MateMática
Re
vi
sã
o:
 L
ea
nd
ro
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
3/
05
/1
1 
 //
 2
ª R
ev
isã
o 
- 
Am
an
da
 / 
Co
rr
eç
ão
 -
 M
ár
ci
o 
- 
16
/0
5/
11
2 2 2(a b) a 2ab b+ = + +
( ) ( )
2 2
2 2
a b a b
a a a b b a b b
a ab ab b
a 2ab b
+ × + =
× + × + × + × =
+ + + =
+ +
Dizemos que o quadrado da soma de dois termos é o primeiro termo ao quadrado, mais duasvezes 
o primeiro pelo segundo termo, mais o segundo termo ao quadrado.
4.2.3 Quadrado da diferença de dois termos
2 2 2(a b) a 2ab b− = − +
( ) ( )
2 2
2 2
a b a b
a a a b b a b b
a ab ab b
a 2ab b
− × − =
× − × − × + × =
− − + =
− +
Dizemos que o quadrado da diferença de dois termos é o primeiro termo ao quadrado, menos duas 
vezes o primeiro pelo segundo termo, mais o segundo termo ao quadrado.
4.2.4 Produto da soma pela diferença de dois termos
( ) ( ) 2 2a b a b a b+ × − = −
( ) ( )
2 2
a b a b
a a a b b a b b
a b
+ × − =
× − × + × + × =
−
74
Unidade II
Re
vi
sã
o:
 L
ea
nd
ro
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
3/
05
/1
1 
 //
 2
ª R
ev
isã
o 
- 
Am
an
da
 / 
Co
rr
eç
ão
 -
 M
ár
ci
o 
- 
16
/0
5/
11
Dizemos que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro 
termo, menos o quadrado do segundo termo.
 observação
Existem outros produtos ditos notáveis, porém eles não são tão usuais 
quanto os apresentados neste texto.
 Saiba mais
Conheça outras prossibilidades envolvendo Álgebra Geométrica, a partir 
de 16 atividades e um um manipulador algébrico virtual, nos sites:
<http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/540-2.pdf>.
< h t t p : / / n l v m . u s u . e d u / e s / n a v / f ra m e s _ a s i d _ 1 8 9 _ g _ 1 _ t _
2.html?open=activities>.
4.3 Fatoração
A fatoração nada mais é que você escrever em formas de produtos as expressões algébricas.
Existem alguns métodos de fatoração que serão explorados a seguir.
4.3.1 Evidência do fator comum
Colocar em evidência é achar o fator comum a todos os termos da expressão. Por exemplo, ao fatorarmos 
um polinômio de expoente 4, devemos verificar na expressão qual o menor expoente desse fator comum e 
colocarmos em evidência. Uma maneira de verificar se sua fatoração está correta é multiplicar novamente o 
fator comum pela expressão, isso deverá resultar na expressão original (sem termos em produto). Exemplo:
4 3 2
2 2
x 3x 2x
x (x 3x 2)
+ + =
× + +
4.3.2 Agrupamento 
Nem sempre é fácil identificar um fator comum para ser colocado em evidência, ou, pelo menos, 
nem sempre é trivial. Em alguns casos, é necessário agrupar termos para que se consiga reduzir a 
expressão em produtos. Por exemplo:
ax bx ay by
(ax bx) (ay by)
x (a b) y (a b)
(a b) (a y)
− + − =
− + − =
× − + × − =
− × +
75
MateMática
Re
vi
sã
o:
 L
ea
nd
ro
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
3/
05
/1
1 
 //
 2
ª R
ev
isã
o 
- 
Am
an
da
 / 
Co
rr
eç
ão
 -
 M
ár
ci
o 
- 
16
/0
5/
11
4.3.3 Trinômio quadrado perfeito
Em alguns tópicos atrás, vimos os produtos notáveis, e um trinômio quadrado perfeito 
nada mais é do que um produto notável. Os trinômios quadrados perfeitos possuem algumas 
características:
• possuem três termos (por isso o nome trinômio);
• os termos de seus extremos são quadrados perfeitos, ou seja, é a multiplicação de um número por 
ele mesmo;
• o termo que fica no meio é, mais ou menos, duas vezes o produto do primeiro pelo segundo 
termo. Por exemplo: 
2 2a 2ab b
(a b) (a b)
+ + =
+ × +
4.3.4 Fatoração por diferença de quadrados
A fatoração por diferença de quadrados consiste em transformar produtos da soma pela diferença, 
o inverso do produto notável quadrado da diferença entre dois termos. Por exemplo:
2 2a b
(a b) (a b)
− =
+ × −
 observação
Existem outras formas de fatoração, porém elas não são tão usuais quanto as apresentadas 
neste texto.
4.4 equações de 2º grau
Exemplo:
Uma caixa foi montada a partir de um quadrado de papelão do qual foram retirados quadrados de 
4 cm de lado, um em cada canto. Desse modo, o papelão ficou com 36 cm2. Qual é a medida do lado do 
quadrado de papelão usado no início do processo?
76
Unidade II
Re
vi
sã
o:
 L
ea
nd
ro
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
3/
05
/1
1 
 //
 2
ª R
ev
isã
o 
- 
Am
an
da
 / 
Co
rr
eç
ão
 -
 M
ár
ci
o 
- 
16
/0
5/
11
Vamos pensar:
Qual a área do quadrado inicial? Se os seus lados são x e sabemos que a área do quadrado 
é igual a A = I2, então temos que: A = x2. Qual a área de cada quadrado retirado do quadrado 
inicial? Se os seus lados são 4 e sabemos que a área do quadrado é igual a A = x2, então temos que: 
A = 42 = 16.
Após a retirada dos quadrados dos quatro cantos do quadrado inicial, quantos centímetros 
quadrados de papelão foram retirados? Sabemos que a área de cada quadrado retirado é 
A - 42 = 16. Como retiramos 4 quadrados de mesma área, então retiramos 4.16 = 64 cm2.
Vamos modelar uma equação que possa resolver esse problema:
Sabemos que a área inicial é x2. Sabemos também que o total de área retirado foi: 4 × 16 = 64 cm2 
e agora temos um total de 36 cm2. Modelando matematicamente, temos:
x2 - 64 = 36
Se observarmos, vamos verificar que essa equação não é uma equação de 1º grau, pois o expoente 
da incógnita é 2.
Então, toda equação que possuir o maior valor do expoente da incógnita igual a 2 é denominada 
equação de 2º grau.
A forma geral de uma equação de 2º grau é:
2ax bx c 0+ + =
77
MateMática
Re
vi
sã
o:
 L
ea
nd
ro
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
3/
05
/1
1 
 //
 2
ª R
ev
isã
o 
- 
Am
an
da
 / 
Co
rr
eç
ão
 -
 M
ár
ci
o 
- 
16
/0
5/
11
Como exemplos de equações de 2º grau (ou quadráticas), temos:
2x 6x 5 0− + = 
2x 9 0− =
23x 2x 1 0+ + = 
23x 3x 0− =
22x 3x 4 0− − + = 
2x 0=
4.4.1 Resolvendo equações do 2º grau 
Os métodos de resolução de uma equação de 2º grau são significativamente mais complexos do 
que aqueles utilizados para equações do 1º grau, principalmente naquelas equações do 2º grau ditas 
completas. Como o expoente da incógnita é 2, podemos ter até dois valores diferentes para x, mas 
também podemos ter somente um único valor para x, ou até mesmo nenhum, como será explicado mais 
adiante. 
Na resolução de uma equação do 2º grau, é comum utilizarmos dois métodos: A fórmula de Bhaskara 
e o método da soma e produto.
4.4.2 Fórmula de Bhaskara
Apenas como curiosidade, a fórmula de Bhaskara não foi desenvolvida por Bhaskara, mas sim 
pelo matemático hindu Sridara. O motivo de a fórmula levar esse nome é desconhecido.
A fórmula:
b
x
2a
− ± ∆
= , onde 2b 4 a c∆ = − × ×
O parâmetro a refere-se ao coeficiente do x2, e em uma equação do 2º grau sempre terá um valor 
diferente de zero.
O parâmetro b refere-se ao coeficiente do x, e pode ser nulo, no caso de uma equação de 2º grau 
incompleta.
O parâmetro c é o termo independente, ou seja, aquele que não está ligado à incógnita x e também 
pode assumir um valor nulo.
Vamos, então, utilizar a fórmula de Bhaskara para achar os valores de x de uma equação quadrática. 
Seja a equação 3x2 - 2x + 1 = 0. Nessa equação, temos que a = -3, b = -2 e c = 1. Substituindo na 
fórmula, teremos:
78
Unidade II
Re
vi
sã
o:
 L
ea
nd
ro
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
3/
05
/1
1 
 //
 2
ª R
ev
isã
o 
- 
Am
an
da
 / 
Co
rr
eç
ão
 -
 M
ár
ci
o 
- 
16
/0
5/
11
2
2
b 4×a×c
( 2) (4 3 1)
4 12
16
∆ = −
∆ = − − × − ×
∆ = +
∆ =
b
x
2a
( 2) 16
x
2. 3
2 4
x
6
− ± ∆
=
− − ±
=
−
±
=
−
2 4 6
x ' 1
6 6
+
= = = −
− − 
2 4 2 1
x ''
6 6 3
− −
= = =
−−
Como pudemos ver, a equação 23x 2x 1 0− − + = tem dois valores que zeram a equação. De fato, se 
fizermos x = -1, teremos 2f(x) 3 ( 1) 2 ( 1) 1 3 2 1 0= − × − − × − + = − + + = , e se fizermos 
1
x
3
= , teremos 
 
 
21 1 1 2
f(x) 3 2 1 3 1
3 3 9 3
3 2 3 6 9
1 0
9 3 9
 
= − × − × + = − × − + =  
− − − +
− + = =
.
4.4.3 Discriminante 
Para que serve o ∆ na fórmula das raízes da equação quadrática? O ∆, chamado de discriminante 
da equação, fornece, além de outras informações, o número de raízes dessa equação. Se ∆ > 0, ou seja, 
positivo, então a equação tem 2 raízes reais. Se ∆ = 0, nulo, então a equação tem apenas uma raiz (ou 
duas raízes iguais, matematicamente falando), e se ∆ < 0, negativo, não há raiz real da equação e ela 
não tem solução.
4.4.4 Fatoração: regra da soma e produto
Outra forma de achar as raízes de uma equação quadrática é por meio da propriedade da soma e 
produto. Em uma equação de 2º grau do tipo 2ax bx c 0+ + = , temos:
Soma das raízes: 
b
x ' x ''
a
+ = − , pois segundo a fórmula de Bhaskara:
b
x '
2a
− + ∆
= e 
b
x ''
2a
− − ∆
= . Somando membro a membro dessa igualdade, temos: 
79
MateMática
Re
vi
sã
o:
 L
ea
nd
ro
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
3/
05
/1
1 
 //
 2
ª R
ev
isã
o 
- 
Am
an
da
 / 
Co
rr
eç
ão
 -
 M
ár
ci
o 
- 
16
/0
5/
11
b b
x ' x ''
2a
2b b
2a a
− + ∆ − − ∆
+ = =
− −
=
Produto das raízes: 
c
x ' x ''
a
× = , pois segundo a fórmula de Bhaskara, 
b
x '
2a
− + ∆
= e 
b
x ''
2a
− − ∆
= . 
Multiplicando membro a membro dessa igualdade, temos:
2
2 2
2
2
2
b b
x ' x ''
2a 2a
( b ) ( b )
4a
( b ) ( )
4a
b
4a
− + ∆ − − ∆
× = × =
− + ∆ × − − ∆
=
− − ∆
=
− ∆
Como 2b 4ac∆ = − , temos:
2 2
2
2 2
2
2
b (b 4ac)
x ' x ''
4a
b b 4ac
4a
4ac c
a4a
− −
× = =
− +
=
=
No exemplo de equação 23x 2x 1 0− − + = que resolvemos por Bhaskara, temos que a soma das 
raízes é 2 2
3 3
−
− = −
−
 e seu produto é 1 1
3 3
= −
−
. Então, temos que achar dois números cuja soma é 
2
3
− 
e o produto é 1
3
−
. Vemos que os números -1 e 1
3
−
 satisfazem essas duas condições e chegamos, assim, 
às raízes da equação.
exemplos de aplicação
1. A soma de um número com seu quadrado é 72. Qual é o número?
Resolução: 
80
Unidade II
Re
vi
sã
o:
 L
ea
nd
ro
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
3/
05
/1
1 
 //
 2
ª R
ev
isã
o 
- 
Am
an
da
 / 
Co
rr
eç
ão
 -
 M
ár
ci
o 
- 
16
/0
5/
11
Modelando matematicamente, temos:
2x x 72+ =
Vamos transformá-la em uma equação de 2º grau:
2
2
x x 72
x x 72 0
a 1
b 1
c 72
+ =
+ − =
=
=
= −
Calculando ∆, temos:
2
2
b 4ac
1 4 1 ( 72)
1 288
289
∆ = −
∆ = − × × −
∆ = +
∆ =
Substituindo em:
b
x
2a
1 289
x
2 1
1 17
x
2
1 17 16
x ' 8
2 2
1 17 18
x '' 9
2 2
− ± ∆
=
− ±
=
×
− ±
=
− +
= = =
− − −
= = = −
Ou podemos utilizar a regra de soma e produto:
b
x ' x ''
a
1
x ' x '' 1
1
+ = −
+ = − = −
 
c
x ' x ''
a
72
x ' x '' 72
1
× =
−
× = = −
Nesse caso, devemos ter o seguinte raciocínio:
Quais os números que, quando somados, obtém-se como resultado -1 e, quando multiplicados, 
obtém-se o resultado -72.
81
MateMática
Re
vi
sã
o:
 L
ea
nd
ro
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
3/
05
/1
1 
 //
 2
ª R
ev
isã
o 
- 
Am
an
da
 / 
Co
rr
eç
ão
 -
 M
ár
ci
o 
- 
16
/0
5/
11
Se somarmos 8 + (-9) = -1. E se multiplicarmos 8 × (-9) = -72. Ou seja, 8 e -9 são raízes da 
equação.
2. A diferença entre o quadrado e o triplo de um mesmo número é 10. Qual é o número?
Resolução:
Modelando matematicamente, temos:
2x 3x 10− =
Vamos transformá-la em uma equação de 2º grau:
2
2
x 3x 10
x 3x 10 0
a 1
b 3
c 10
− =
− − =
=
= −
= −
Calculando ∆, temos:
2
2
b 4ac
3 4 1 ( 10)
9 40
49
∆ = −
∆ = − − × × −
∆ = +
∆ =
Substituindo em:
b
x
2a
( 3) 49
x
2 1
3 7
x
2
3 7 10
x ' 5
2 2
3 7 4
x '' 2
2 2
− ± ∆
=
− − ±
=
×
±
=
+
= = =
− −
= = = −
82
Unidade II
Re
vi
sã
o:
 L
ea
nd
ro
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
3/
05
/1
1 
 //
 2
ª R
ev
isã
o 
- 
Am
an
da
 / 
Co
rr
eç
ão
 -
 M
ár
ci
o 
- 
16
/0
5/
11
Ou podemos utilizar a regra de soma e produto:
( 3)
x ' x ''
1
3
x ' x '' 3
1
− −
+ =
+ = =
 
c
x ' x ''
a
10
x ' x '' 10
1
× =
−
× = = −
Nesse caso, devemos ter o seguinte raciocínio:
Quais os números que, quando somados, obtém-se como resultado 3 e, quando multiplicados, 
obtém-se o resultado -10.
Se somarmos 5 ( 2) 3+ − = . E se multiplicarmos 5 ( 2) 10× − = − . Ou seja, 5 e 2− são raízes da 
equação.
3. Um senhor tem um terreno que mede 26 m de comprimento por 16 m de largura. Ele deseja 
aumentar a sua área para 816 m² acrescentando faixas de mesma largura a um dos lados e aos fundos. 
Qual deve ser a largura dessas faixas?
Resolução:
Modelando matematicamente, temos:
(16 x) (26 2) 816+ × + =
Aplicando a propriedade distributiva, temos:
2416 26x 16x x 816+ + + =
Vamos transformá-la em uma equação de 2º grau, e reduzir os termos semelhantes:
2
2
x 42x 416 816 0
x 42x 400 0
a 1
b 42
c 400
+ + − =
+ − =
=
=
= −
Calculando ∆, temos:
83
MateMática
Re
vi
sã
o:
 L
ea
nd
ro
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
3/
05
/1
1 
 //
 2
ª R
ev
isã
o 
- 
Am
an
da
 / 
Co
rr
eç
ão
 -
 M
ár
ci
o 
- 
16
/0
5/
11
2
2
b 4ac
42 4 1 ( 400)
1764 1600
3364
∆ = −
∆ = − × × −
∆ = +
∆ =
Substituindo em:
b
x
2a
42 3364
x
2 1
42 58
x
2
42 58 16
x ' 8
2 2
42 58 100
x '' 50
2 2
− ± ∆
=
− ±
=
×
− ±
=
− +
= = =
− − −
= = = −
Ou podemos utilizar a regra de soma e produto:
b
x ' x ''
a
42
x ' x '' 42
1
−
+ =
−
+ = = −
 
c
x ' x ''
a
400
x ' x '' 400
1
× =
−
× = = −
Nesse caso devemos ter o seguinte raciocínio:
Quais os números que, quando somados, obtém-se como resultado -42 e, quando multiplicados, 
obtém-se o resultado -400.
Se somarmos 8 +(-50) = -42. E se multiplicarmos 8 ×(-50) = -400. Ou seja, 8 e -50 são raízes da 
equação.
Por se tratar de um exemplo que contém medidas de terreno, devemos desconsiderar as raízes 
negativas, ou seja, o valor a ser considerado é 8.
4. Os 3/5 de um número aumentado de 12 são iguais aos 5/7 desse número. Qual é esse número?
Resolução:
Modelando matematicamente, temos:
84
Unidade II
Re
vi
sã
o:
 L
ea
nd
ro
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
3/
05
/1
1 
 //
 2
ª R
ev
isã
o 
- 
Am
an
da
 / 
Co
rr
eç
ão
 -
 M
ár
ci
o 
- 
16
/0
5/
11
3 5
x 12 x
5 7
3 5
x x 12
5 7
21x 25x
12
35
4x
12
35
4x 12 35
4x 420
420
x
4
x 105
+ =
− = −
−
= −
−
= −
− = − ×
− = −
−
=
−
=
3 5
x 12 x
5 7
3 5
x x 12
5 7
21x 25x
12
35
4x
12
35
4x 12 35
4x 420
420
x
4
x 105
+ =
− = −
−
= −
−
= −
− = − ×
− = −
−
=
−
=
5.O Skyvoice pesa cerca de m kg. Obter m sabendo-se que a soma de seus quocientes por 2, por 3 
e por 5 é 124.
Resolução:
Modelando matematicamente, temos:
m m m
124
2 3 5
15m 10m 6m
124
30
31m
124
30
31m 124 30
31m 3720
3720
m
31
m 120
+ + =
+ +
=
=
= ×
=
=
=
6. Em uma das unidades de uma fábrica de porte internacional, um terço dos empregados são 
estrangeiros e 72 empregados são brasileiros. Quantos são os empregados dessa fábrica?
Resolução:
Modelando matematicamente, temos:
85
MateMática
Re
vi
sã
o:
 L
ea
nd
ro
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
3/
05
/1
1 
 //
 2
ª R
ev
isã
o 
- 
Am
an
da
 / 
Co
rr
eç
ão
 -
 M
ár
ci
o 
- 
16
/0
5/
11
1
x 72 x
3
1
x x 72
3
1x 3x
72
3
2x
72
3
2x 72 3
2x 216
216
x
2
x 108
+ =
− = −
−
= −
−
= −
− = − ×
= −
−
=
−
=
1
x 72 x
3
1
x x 72
3
1x 3x
72
3
2x
72
3
2x 72 3
2x 216
216
x
2
x 108
+ =
− = −
−
= −
−
= −
− = − ×
= −
−
=
−
=
7. Um sexto de um salário é reservado para o aluguel; cerca de dois nonos é gasto com alimentação 
restando ainda R$ 1.100,00 para os demais gastos. Qual é o valor desse salário?
Resolução:
Modelando matematicamente, temos:
1 2
x x 1100 x
6 9
1 2
x x x 1100
6 9
3x 4x 18x
1100
18
11x
1100
18
11x 1100 18
11x 19800
19800
x
11
x 1800
+ + =
+ − = −
+ −
= −
−
= −
− = − ×
− = −
−
=
−
=
8. Uma determinada firma saldou uma dívida junto a uma financiadora em três prestações. Na 1ª 
prestação, pagou-se a metade do valor do débito, na 2ª prestação, a terça parte e na última, R$ 3.000,00. 
Qual o valor total pago?
86
Unidade II
Re
vi
sã
o:
 L
ea
nd
ro
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
3/
05
/1
1 
 //
 2
ª R
ev
isã
o 
- 
Am
an
da
 / 
Co
rr
eç
ão
 -
 M
ár
ci
o 
- 
16
/0
5/
11
Resolução:
Modelando matematicamente, temos:
1
2
1
3
3000
1
2
1
3
3000
3 2 6
6
3000
6
3000
3
x x x
x x x
x x x
x
x
+ + =
+ − = −
+ −
= −
−
= −
− = − 0000 6
18000 1
18000
×
− = − × −
=
x
x
( )
9. Cerca de 780 veículos, entre carros e motos, utilizam semanalmente um determinado 
estacionamento. Nos últimos anos ocorreu um aumento considerável no número de motos, de 
modo que, após certo período de observação, notou-se que, semanalmente, o número de carros 
que se utilizam desse estacionamento é aproximadamente cinco vezes o número de motos. 
Quantas motos fazem uso semanal de estacionamento?
Resolução:
Modelando o problema, temos:
Sendo:
 
x carros
y motos
=
=
x y equacao I
x y equacao II
+ = →
= →

780
5
çã
çã
Utilizaremos o método da substituição. Substituindo II em I, temos:
5y y 780
6y 780
780
y
6
y 130
+ =
=
=
=
87
MateMática
Re
vi
sã
o:
 L
ea
nd
ro
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
3/
05
/1
1 
 //
 2
ª R
ev
isã
o 
- 
Am
an
da
 / 
Co
rr
eç
ão
 -
 M
ár
ci
o 
- 
16
/0
5/
11
10. O triplo de um número, somado a 4, é maior que seu quíntuplo diminuído de 4. Esse número é 
necessariamente:
Resolução:
Modelando a inequação, temos:
3x 4 5x 4
3x 5x 4 4
3x 8
8
x
3
8
x
3
+ > −
− > − −
− > −
−
<
−
<
11. Determine o conjunto solução da seguinte inequação 2x 1 4 x
3 5 3
−
+ > , sabendo que U =� .
Resolução:
2x 1 4 x
3 5 3
2x 1 x 4
3 3 5
x 1 4
3 5
4 3
x 1
5
12
x 1
5
12
x 1
5
12 5
x
5
7
x
5
−
+ >
−
− > −
−
> −
×
− > −
− > −
> − +
− +
>
> −
 resumo
Nesta unidade foram resgatados alguns conceitos algébricos com o 
objetivo de explorar a capacidade de abstração. Foram criados modelos 
matemáticos para a resolução de problemas.
88
Unidade II
Re
vi
sã
o:
 L
ea
nd
ro
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
3/
05
/1
1 
 //
 2
ª R
ev
isã
o 
- 
Am
an
da
 / 
Co
rr
eç
ão
 -
 M
ár
ci
o 
- 
16
/0
5/
11
Vimos os conceitos de equações de 1º e 2º graus, inequações e sistemas 
de equações, bem como alguns métodos utilizados para as resoluções 
deles.
 exercícios
Questão 1. (ENEM-2010) O salto triplo é uma modalidade do atletismo em que o atleta dá um salto 
em um só pé, uma passada e um salto, nessa ordem. Sendo que o salto com impulsão em um só pé será 
feito de modo que o atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na passada ele cairá 
com o outro pé, do qual o salto é realizado.
Disponível em: www.cbat.org.br (adaptado).
Um atleta da modalidade salto triplo, depois de estudar seus movimentos, percebeu que, do segundo 
para o primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m e, do terceiro para o segundo salto, o alcance 
diminuía 1,5 m. Querendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova e considerando os seus estudos, a 
distância alcançada no primeiro salto teria de estar entre:
A) 4,0 m e 5,0 m.
B) 5,0 m e 6,0 m.
C) 6,0 m e 7,0 m.
D) 7,0 m e 8,0 m.
E) 8,0 m e 9,0 m.
Resposta correta: alternativa D.
Análise das alternativas
Supondo-se que o alcance do segundo salto é 1,2 m menor que o do primeiro salto e que o alcance 
do terceiro salto é 1,5 m menor que do segundo salto e se a distância alcançada no primeiro salto é x, 
então, para atingir a meta de 17,4 m, tem-se:
x (x 1,2) (x 1,2 1,5) 17,4
3x 1,2 1,2 1,5 17,4
3x 3,9 17,4
3x 17,4 3,9
3x 21,3
x 7,1m
+ − + − − =
− − − =
− =
= +
=
=
89
MateMática
Re
vi
sã
o:
 L
ea
nd
ro
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 0
3/
05
/1
1 
 //
 2
ª R
ev
isã
o 
- 
Am
an
da
 / 
Co
rr
eç
ão
 -
 M
ár
ci
o 
- 
16
/0
5/
11
Logo,
A) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
B) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
C) Alternativa incorreta. 
Justificativa: de acordo com os cálculos.
D) Alternativa correta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
E) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
Questão 2. (FUVEST-2007) Uma fazenda estende-se por dois municípios A e B. A parte da fazenda 
que está em A ocupa 8% da área desse município. A parte da fazenda que está em B ocupa 1% da área 
desse município. Sabendo-se que a área do município B é dez vezes a área do município A, a razão entre 
a área da parte da fazenda que está em A e a área total da fazenda é igual a: 
A) 
2
9
B) 
3
9
C) 
4
9
D) 
5
9
E) 
7
9
Resolução desta questão na Plataforma.