Transformações Geométricas

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Computação
Gráfica
Anderson Rodrigo Farias
Transformações Geométricas
“Translandar significa
movimentar o objeto”
Transformação de Translação
Y
X
(4,5)
(3,2) (5,2)
x’ = x + Tx
y’ = y + Ty
B
A C
Y
X
(4,5)
(3,2) (5,2)
Tx = 2 Ty = 1
B
A C
Ax’ = Ax + Tx
Ax’ = 3 + 2
Ax’ = 5
Ay’ = Ay + Ty
Ay’ = 2 + 1
Ay’ = 3
Transformação de Translação
Y
X
(6,6)
(5,3) (7,3)
B’
A’ C’
Transformação de Translação
Y
X
(4,5)
(3,2) (5,2)
x’ = x . Sx
y’ = y . Sy
B
A C
Transformação de Escala
Representação Matricial:
[x y] . Sx 0
0 SY [ ]
Y
X
(4,5)
(3,2) (5,2)
Sx = 1,0
B
A C
Transformação de Escala
= 100%
Sy = 0,5 = 50%
Ax’ = Ax * Sx
Ax’ = 3 * 1
Ax’ = 3
Ay’ = Ay * Sy
Ay’ = 2 * 0,5
Ay’ = 1
Y
X
(4, 2.5)
(3,1) (5,1)
B’
A’ C’
Transformação de Escala
Y
X
P (x,y)
α
Transformação de Rotação
Y
X
Transformação de Rotação
r . cos (α)
α
r . sen(α)
Y
X
P (x,y)
α
Transformação de Rotação
β
P’ (x’,y’)
Y
X
Transformação de Rotação
r . cos (α)
α
r . sen(α)
Y
X
Transformação de Rotação
r . cos (β + α) r . cos (α)
α
β
r . sen (β + α)
r . sen(α)
Transformação de Rotação
x’ = x . cos (β) – y . sen (β)
y’ = y . cos (β) + x . sen (β)
Representação Matricial:
[x y] . cos(β) sen(β)
-sen(β) cos(β) [ ]
Y
X
(4,5)
(3,2) (5,2)
B
A C
Transformação de Rotação
β = 45º
A’ =?
B’ = ?
C’ = ?
Y
X
Transformação de Rotação
β = 45º
A’ =?
B’ = ?
C’ = ?
β
(3,2) (5,2)A C
(4,5)B
Y
X
Transformação de Rotação
β
[3,2] . cos(β) sen(β)
-sen(β) cos(β) [ ]
[4,5] . cos(β) sen(β)
-sen(β) cos(β) [ ]
[5,2] . cos(β) sen(β)
-sen(β) cos(β) [ ]
Y
X
(-0,707 6,366)
(2,121 4,949)
B’
A’
C’
Transformação de Rotação
β
[3,2] . 0,707 0,707 
- 0,707 0,707 [ ]
[ 3 . 0,707 + 2 . (- 0,707); 3 . 0,707 + 2 . 0,707) ] 
(0,707 3,535)
Y
X
(4,5)
(3,2) (5,2)
B
A C
Transformação de Rotação
β = 45º com 
eixo de rotação 
no Ponto A
B’ = ?
C’ = ?
Y
X
Transformação de Rotação
1º Passo
Translação Tx e Ty. Mas 
quanto translandar?
Valores em que o Ponto 
“A” fique na coordenada 
(0,0)
Y
X
Transformação de Rotação
β
2º Passo
Aplicar a matriz de 
rotação para todos os 
pontos menos o ponto 
fixado, no caso aqui o “A”
Y
X
Transformação de Rotação
3º Passo
Somar os pontos B e C, o 
valores que foram 
diminuidos, (3,2), para 
que o Ponto A ficasse na 
origem do sistemas de 
coordenadas,
(1,586 ; 4,828)B’
4,414 ; 3,414)
C’
(3,2)A
Transformação de Reflexão
Y
X
(4,5)
(3,2) (5,2)
B
A C
Representação Matricial 
da reflexão no eixo do y:
Transformação de Reflexão
Y
X
(-4,5)
(-3,2)(-5,2)
B
AC
Representação Matricial 
da reflexão no eixo do y:
Transformação de Reflexão
Y
X
(4,5)
(3,2) (5,2)
B
A C
Representação Matricial 
da reflexão no eixo do x:
Transformação de Reflexão
X
(4,-5)
(3,-2) (5,-2)
B
A C
Representação Matricial 
da reflexão no eixo do x:Y
Transformação de Reflexão
Y
X
(4,5)
(3,2) (5,2)
B
A C
Representação Matricial 
da reflexão no eixo x e y :
Transformação de Reflexão
X
(-4,-5)
(-3,-2)(-5,-2)
B
AC
Y
Representação Matricial 
da reflexão no eixo x e y :
Atividades
Desenvolver um aplicativo para calcular:
1. Translação do ponto.
2. Escala do ponto.
3. Rotação do ponto.
4. Plotar o antes e o depois no gráfico